Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pătratice. Să extindem acum metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale numite expresii alcătuite din numere, variabile, gradele acestora și semnele operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care se reduc la ecuații liniare. Acum să luăm în considerare acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații pătratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Decizie:

O fracție este 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este 0 și numitorul ei nu este 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu se potrivește cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât să se obțină 0 în partea dreaptă.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0, conform următorului algoritm: .

4. Notați acele rădăcini care sunt obținute în prima ecuație și satisfaceți a doua inegalitate ca răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Decizie

La început, transferăm toți termenii în partea stângă, astfel încât 0 să rămână în dreapta. Obținem:

Acum aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Obținem că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care sunt reduse la ecuații patratice.

În lecția următoare, vom considera ecuațiile raționale ca modele de situații reale și vom lua în considerare, de asemenea, problemele de mișcare.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. - M.: Educație, 2006.

1. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Teme pentru acasă

„Ecuații raționale cu polinoame” este unul dintre subiectele cel mai frecvent întâlnite în testele USE la matematică. Din acest motiv, repetarea lor ar trebui să i se acorde o atenție deosebită. Mulți elevi se confruntă cu problema găsirii discriminantului, transferarea indicatorilor din partea dreaptă în partea stângă și aducerea ecuației la un numitor comun, ceea ce face dificilă îndeplinirea unor astfel de sarcini. Rezolvarea ecuațiilor raționale în pregătirea examenului de pe site-ul nostru vă va ajuta să faceți față rapid sarcinilor de orice complexitate și să treceți perfect testul.

Alegeți portalul educațional „Shkolkovo” pentru pregătirea cu succes pentru examenul unificat de matematică!

Pentru a cunoaște regulile de calcul a necunoscutelor și pentru a obține cu ușurință rezultatele corecte, utilizați serviciul nostru online. Portalul Shkolkovo este o platformă unică în care sunt colectate materialele necesare pregătirii pentru examen. Profesorii noștri au sistematizat și au prezentat într-o formă ușor de înțeles toate regulile matematice. În plus, îi invităm pe școlari să încerce să rezolve ecuații raționale tipice, a căror bază este actualizată și completată în mod constant.

Pentru o pregătire mai eficientă pentru testare, vă recomandăm să urmați metoda noastră specială și să începeți prin a repeta regulile și a rezolva probleme simple, trecând treptat la altele mai complexe. Astfel, absolventul va putea evidenția cele mai dificile subiecte pentru sine și se va concentra asupra studiului lor.

Începeți să vă pregătiți pentru testarea finală cu Shkolkovo astăzi, iar rezultatul nu vă va face să așteptați! Alegeți cel mai simplu exemplu dintre cele date. Dacă ați stăpânit rapid expresia, treceți la o sarcină mai dificilă. Astfel, vă puteți îmbunătăți cunoștințele până la rezolvarea sarcinilor USE în matematică la nivel de profil.

Educația este disponibilă nu numai pentru absolvenții de la Moscova, ci și pentru școlari din alte orașe. Petreceți câteva ore pe zi studiind pe portalul nostru, de exemplu, și foarte curând veți putea face față ecuațiilor de orice complexitate!

Până acum, am rezolvat doar ecuații întregi în raport cu necunoscutul, adică ecuații în care numitorii (dacă există) nu conțineau necunoscutul.

Adesea trebuie să rezolvați ecuații care conțin necunoscuta în numitori: astfel de ecuații se numesc fracționale.

Pentru a rezolva această ecuație, înmulțim ambele părți ale acesteia, adică cu un polinom care conține necunoscutul. Va fi noua ecuație echivalentă cu cea dată? Pentru a răspunde la întrebare, să rezolvăm această ecuație.

Înmulțind ambele părți ale acestuia cu , obținem:

Rezolvând această ecuație de gradul întâi, găsim:

Deci, ecuația (2) are o singură rădăcină

Înlocuind-o în ecuația (1), obținem:

Prin urmare, este și rădăcina ecuației (1).

Ecuația (1) nu are alte rădăcini. În exemplul nostru, acest lucru se poate observa, de exemplu, din faptul că în ecuația (1)

Cum trebuie să fie divizorul necunoscut egal cu dividendul 1 împărțit la câtul 2, adică

Deci, ecuațiile (1) și (2) au o singură rădăcină și, prin urmare, sunt echivalente.

2. Acum rezolvăm următoarea ecuație:

Cel mai simplu numitor comun: ; înmulțiți toți termenii ecuației cu ea:

După reducere obținem:

Să extindem parantezele:

Aducând termeni similari, avem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem:

În partea stângă, am primit expresii care nu au sens.

Prin urmare, rădăcina ecuației (1) nu este. Aceasta implică faptul că ecuațiile (1) și nu sunt echivalente.

În acest caz, spunem că ecuația (1) a dobândit o rădăcină străină.

Să comparăm soluția ecuației (1) cu soluția ecuațiilor pe care le-am considerat mai devreme (vezi § 51). În rezolvarea acestei ecuații, a trebuit să efectuăm două astfel de operații care nu au fost văzute înainte: în primul rând, am înmulțit ambele părți ale ecuației cu o expresie care conține necunoscutul (numitorul comun) și, în al doilea rând, am redus fracțiile algebrice cu factori care conțin necunoscutul .

Comparând ecuația (1) cu ecuația (2), vedem că nu toate valorile x valide pentru ecuația (2) sunt valabile pentru ecuația (1).

Numerele 1 și 3 nu sunt valori admisibile ale necunoscutului pentru ecuația (1), iar ca urmare a transformării au devenit admisibile pentru ecuația (2). Unul dintre aceste numere s-a dovedit a fi o soluție a ecuației (2), dar, desigur, nu poate fi o soluție a ecuației (1). Ecuația (1) nu are soluții.

Acest exemplu arată că la înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un factor care conține necunoscutul, și la reducerea fracțiilor algebrice, se poate obține o ecuație care nu este echivalentă cu cea dată și anume: pot apărea rădăcini străine.

Prin urmare, tragem următoarea concluzie. Când se rezolvă o ecuație care conține o necunoscută în numitor, rădăcinile rezultate trebuie verificate prin substituție în ecuația originală. Rădăcinile străine trebuie aruncate.

Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și foarte interesante. Luați în considerare tipurile de ecuații fracționale și modalitățile de rezolvare a acestora.

Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător

Dacă este dată o ecuație fracțională, unde necunoscuta este în numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără bătăi de cap inutile. Forma generală a unei astfel de ecuații este x/a + b = c, unde x este o necunoscută, a, b și c sunt numere obișnuite.

Aflați x: x/5 + 10 = 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen al ecuației cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 se reduce, 10 și 70 se înmulțesc cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Aflați x: x/5 + x/10 = 90.

Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții aici.

• Opțiunea 1: Scăpați de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu un numitor mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitorul comun este 10. Împărțiți 10 la 5, înmulțiți cu x, obținem 2x. 10 împărțit la 10, înmulțit cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Adesea există ecuații fracționale în care x-urile sunt pe părțile opuse ale semnului egal. Într-o astfel de situație, este necesar să transferați toate fracțiile cu x într-o direcție, iar numerele în alta.

• Aflați x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor

Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Indicarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă a deciziei corecte. Dacă nu le atribuiți, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.

Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este o necunoscută, a, b, c sunt numere ordinare. Rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi zero, deoarece nu puteți împărți la 0. Aceasta este tocmai condiția suplimentară pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori acceptabile, prescurtat - ODZ.

Aflați x: 15/x + 18 = 21.

Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația conform schemei standard, scăpând de fracții. Înmulțim toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, cum ar fi adunarea sau scăderea.

Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi egal cu zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Transferăm -3 în partea dreaptă, schimbând semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. ODZ este indicat.

Rezolvați ecuația, înmulțiți totul cu x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Mutați x-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.

Să ne familiarizăm cu ecuațiile raționale și fracționale, să le dăm definiția, să dăm exemple și să analizăm, de asemenea, cele mai comune tipuri de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuație rațională: definiție și exemple

Cunoașterea expresiilor raționale începe în clasa a VIII-a a școlii. În acest moment, la lecțiile de algebră, elevii încep din ce în ce mai mult să îndeplinească sarcini cu ecuații care conțin expresii raționale în notele lor. Să ne reîmprospătăm memoria despre ceea ce este.

Definiția 1

ecuație rațională este o ecuație în care ambele părți conțin expresii raționale.

În diverse manuale, puteți găsi o altă formulare.

Definiția 2

ecuație rațională- aceasta este o ecuație, a cărei înregistrare a părții stângi conține o expresie rațională, iar cea din dreapta conține zero.

Definițiile pe care le-am dat pentru ecuațiile raționale sunt echivalente, deoarece înseamnă același lucru. Corectitudinea cuvintelor noastre este confirmată de faptul că pentru orice expresii raționale Pși Q ecuații P=Qși P − Q = 0 vor fi expresii echivalente.

Acum să ne întoarcem la exemple.

Exemplul 1

Ecuații raționale:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Ecuațiile raționale, la fel ca și ecuațiile de alte tipuri, pot conține orice număr de variabile de la 1 la mai multe. Pentru început, ne vom uita la exemple simple în care ecuațiile vor conține o singură variabilă. Și apoi începem să complicăm treptat sarcina.

Ecuațiile raționale sunt împărțite în două grupuri mari: întregi și fracționale. Să vedem ce ecuații se vor aplica fiecărui grup.

Definiția 3

O ecuație rațională va fi un număr întreg dacă înregistrarea părților sale din stânga și din dreapta conține expresii raționale întregi.

Definiția 4

O ecuație rațională va fi fracțională dacă una sau ambele părți conțin o fracție.

Ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă, sau variabila este prezentă în numitor. Nu există o astfel de împărțire în scrierea ecuațiilor întregi.

Exemplul 2

3 x + 2 = 0și (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 sunt ecuații raționale întregi. Aici ambele părți ale ecuației sunt reprezentate prin expresii întregi.

1 x - 1 = x 3 și x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sunt ecuații fracționale raționale.

Ecuațiile raționale întregi includ ecuații liniare și pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce de obicei la transformarea lor în ecuații algebrice echivalente. Acest lucru poate fi realizat prin efectuarea de transformări echivalente ale ecuațiilor în conformitate cu următorul algoritm:

• mai întâi obținem zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta este necesar să transferăm expresia care se află în partea dreaptă a ecuației în partea stângă a acesteia și să schimbăm semnul;
• apoi transformăm expresia din partea stângă a ecuației într-un polinom de formă standard.

Trebuie să obținem o ecuație algebrică. Această ecuație va fi echivalentă cu ecuația originală. Cazurile simple ne permit să rezolvăm problema reducând întreaga ecuație la una liniară sau pătratică. În cazul general, rezolvăm o ecuație algebrică a gradului n.

Exemplul 3

Este necesar să găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Decizie

Să transformăm expresia originală pentru a obține o ecuație algebrică echivalentă cu aceasta. Pentru a face acest lucru, vom transfera expresia conținută în partea dreaptă a ecuației în partea stângă și vom schimba semnul în opus. Ca rezultat, obținem: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Acum vom transforma expresia din partea stângă într-un polinom al formei standard și vom efectua acțiunile necesare cu acest polinom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Am reușit să reducem soluția ecuației inițiale la soluția unei ecuații pătratice de formă x 2 − 5 x − 6 = 0. Discriminantul acestei ecuații este pozitiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Aceasta înseamnă că vor exista două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcinilor ecuației pătratice:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 sau x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 sau x 2 = - 1

Să verificăm corectitudinea rădăcinilor ecuației pe care le-am găsit în cursul soluției. Pentru acest număr, pe care l-am primit, înlocuim în ecuația originală: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3și 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. In primul caz 63 = 63 , in secunda 0 = 0 . Rădăcini x=6și x = − 1 sunt într-adevăr rădăcinile ecuației date în condiția exemplu.

Răspuns: 6 , − 1 .

Să ne uităm la ce înseamnă „puterea întregii ecuații”. Vom întâlni adesea acest termen în acele cazuri când trebuie să reprezentăm o întreagă ecuație sub forma uneia algebrice. Să definim conceptul.

Definiția 5

Gradul unei ecuații întregi este gradul unei ecuații algebrice echivalente cu întreaga ecuație originală.

Dacă te uiți la ecuațiile din exemplul de mai sus, poți stabili: gradul întregii ecuații este al doilea.

Dacă cursul nostru s-a limitat la rezolvarea ecuațiilor de gradul doi, atunci analiza subiectului ar putea fi finalizată aici. Dar totul nu este atât de simplu. Rezolvarea ecuațiilor de gradul trei este plină de dificultăți. Și pentru ecuațiile de peste gradul al patrulea, nu există deloc formule generale pentru rădăcini. În acest sens, soluționarea ecuațiilor întregi de gradul al treilea, al patrulea și alte grade necesită să folosim o serie de alte tehnici și metode.

Cea mai frecvent utilizată abordare pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi se bazează pe metoda factorizării. Algoritmul acțiunilor în acest caz este următorul:

• transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă, astfel încât zero să rămână în partea dreaptă a înregistrării;
• reprezentăm expresia din partea stângă ca un produs al factorilor și apoi trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Exemplul 4

Aflați soluția ecuației (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Decizie

Transferăm expresia din partea dreaptă a înregistrării în partea stângă cu semnul opus: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Convertirea părții stângi într-un polinom al formei standard este nepractică, deoarece aceasta ne va oferi o ecuație algebrică de gradul al patrulea: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Ușurința transformării nu justifică toate dificultățile în rezolvarea unei astfel de ecuații.

Este mult mai ușor să mergem în altă direcție: scoatem factorul comun x 2 − 10 x + 13 . Astfel ajungem la o ecuație a formei (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Acum înlocuim ecuația rezultată cu un set de două ecuații pătratice x 2 − 10 x + 13 = 0și x 2 − 2 x − 1 = 0și găsiți rădăcinile lor prin discriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Răspuns: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

În mod similar, putem folosi metoda introducerii unei noi variabile. Această metodă ne permite să trecem la ecuații echivalente cu puteri mai mici decât cele din întreaga ecuație originală.

Exemplul 5

Ecuația are rădăcini? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Decizie

Dacă acum încercăm să reducem o întreagă ecuație rațională la una algebrică, vom obține o ecuație de gradul 4, care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, ne va fi mai ușor să mergem în altă direcție: introduceți o nouă variabilă y, care va înlocui expresia din ecuație x 2 + 3 x.

Acum vom lucra cu întreaga ecuație (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Transferăm partea dreaptă a ecuației în partea stângă cu semnul opus și efectuăm transformările necesare. Primim: y 2 + 4 y + 3 = 0. Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: y = − 1și y = − 3.

Acum să facem înlocuirea inversă. Obținem două ecuații x 2 + 3 x = − 1și x 2 + 3 x = - 3 . Să le rescriem ca x 2 + 3 x + 1 = 0 și x 2 + 3 x + 3 = 0. Folosim formula rădăcinilor ecuației pătratice pentru a găsi rădăcinile primei ecuații obținute: - 3 ± 5 2 . Discriminantul celei de-a doua ecuații este negativ. Aceasta înseamnă că a doua ecuație nu are rădăcini reale.

Răspuns:- 3 ± 5 2

Ecuațiile întregi de grade înalte apar destul de des în probleme. Nu trebuie să-ți fie frică de ei. Trebuie să fiți gata să aplicați o metodă non-standard de rezolvare a acestora, inclusiv o serie de transformări artificiale.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

Începem examinarea acestui subtopic cu un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 , unde p(x)și q(x) sunt expresii raționale întregi. Rezolvarea altor ecuații raționale fracționale poate fi întotdeauna redusă la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Metoda cea mai des folosită pentru rezolvarea ecuațiilor p (x) q (x) = 0 se bazează pe următoarea afirmație: fracție numerică u v, Unde v este un număr diferit de zero, egal cu zero numai în cazurile în care numărătorul fracției este egal cu zero. Urmând logica afirmației de mai sus, putem afirma că soluția ecuației p (x) q (x) = 0 poate fi redusă la îndeplinirea a două condiții: p(x)=0și q(x) ≠ 0. Pe aceasta, se construiește un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0:

• găsim soluția întregii ecuații raționale p(x)=0;
• verificăm dacă condiția este îndeplinită pentru rădăcinile găsite în timpul soluției q(x) ≠ 0.

Dacă această condiție este îndeplinită, atunci rădăcina găsită. Dacă nu, atunci rădăcina nu este o soluție la problemă.

Exemplul 6

Aflați rădăcinile ecuației 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Decizie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională de forma p (x) q (x) = 0 , în care p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Să începem să rezolvăm ecuația liniară 3 x - 2 = 0. Rădăcina acestei ecuații va fi x = 2 3.

Să verificăm rădăcina găsită, dacă îndeplinește condiția 5 x 2 - 2 ≠ 0. Pentru a face acest lucru, înlocuiți o valoare numerică în expresie. Obținem: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Condiția este îndeplinită. Înseamnă că x = 2 3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns: 2 3 .

Există o altă opțiune pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale p (x) q (x) = 0 . Amintiți-vă că această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe intervalul de valori admisibile ale variabilei x din ecuația originală. Acest lucru ne permite să folosim următorul algoritm în rezolvarea ecuațiilor p(x) q(x) = 0:

• rezolva ecuatia p(x)=0;
• găsiți intervalul de valori acceptabile pentru variabila x ;
• luăm rădăcinile care se află în regiunea valorilor admisibile ale variabilei x ca rădăcini dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Decizie

Mai întâi, să rezolvăm ecuația pătratică x 2 − 2 x − 11 = 0. Pentru a calcula rădăcinile sale, folosim formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient par. Primim D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12și x = 1 ± 2 3 .

Acum putem găsi ODV-ul lui x pentru ecuația originală. Acestea sunt toate numerele pentru care x 2 + 3 x ≠ 0. Este la fel ca x (x + 3) ≠ 0, de unde x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Acum să verificăm dacă rădăcinile x = 1 ± 2 3 obținute în prima etapă a soluției se află în intervalul valorilor acceptabile ale variabilei x . Vedem ce intră. Aceasta înseamnă că ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini x = 1 ± 2 3 .

Răspuns: x = 1 ± 2 3

A doua metodă de rezolvare descrisă este mai simplă decât prima în cazurile în care aria valorilor admisibile ale variabilei x este ușor de găsit, iar rădăcinile ecuației p(x)=0 iraţional. De exemplu, 7 ± 4 26 9 . Rădăcinile pot fi raționale, dar cu un numărător sau numitor mare. De exemplu, 127 1101 și − 31 59 . Acest lucru economisește timp pentru verificarea stării. q(x) ≠ 0: este mult mai ușor să excludeți rădăcinile care nu se potrivesc, conform ODZ.

Când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai oportun să se folosească primul algoritm descris pentru rezolvarea ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0 . Găsirea mai rapidă a rădăcinilor unei întregi ecuații p(x)=0, apoi verificați dacă condiția este îndeplinită pentru ei q(x) ≠ 0, și nu găsiți ODZ, apoi rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.

Exemplul 8

Aflați rădăcinile ecuației (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Decizie

Începem prin a considera întreaga ecuație (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0și găsindu-și rădăcinile. Pentru a face acest lucru, aplicăm metoda de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare. Se dovedește că ecuația inițială este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, dintre care trei sunt liniare și unul este pătrat. Găsim rădăcinile: din prima ecuație x = 1 2, din a doua x=6, din a treia - x \u003d 7, x \u003d - 2, din a patra - x = − 1.

Să verificăm rădăcinile obținute. Este dificil pentru noi să determinăm ODZ în acest caz, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvăm o ecuație algebrică de gradul cinci. Va fi mai ușor să verificați condiția conform căreia numitorul fracției, care se află în partea stângă a ecuației, nu ar trebui să dispară.

La rândul său, înlocuiți rădăcinile în locul variabilei x din expresie x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 si calculeaza-i valoarea:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Verificarea efectuată ne permite să stabilim că rădăcinile ecuației raționale fracționale originale sunt 1 2 , 6 și − 2 .

Răspuns: 1 2 , 6 , - 2

Exemplul 9

Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Decizie

Să începem cu ecuația (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Să-i găsim rădăcinile. Este mai ușor pentru noi să reprezentăm această ecuație ca o combinație de ecuații patratice și liniare 5 x 2 - 7 x - 1 = 0și x − 2 = 0.

Folosim formula rădăcinilor unei ecuații pătratice pentru a găsi rădăcinile. Obținem două rădăcini x = 7 ± 69 10 din prima ecuație și din a doua x=2.

Înlocuirea valorii rădăcinilor în ecuația originală pentru a verifica condițiile va fi destul de dificilă pentru noi. Va fi mai ușor de determinat LPV al variabilei x . În acest caz, DPV al variabilei x este toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția este îndeplinită x 2 + 5 x − 14 = 0. Se obține: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Acum să verificăm dacă rădăcinile pe care le-am găsit aparțin intervalului de valori acceptabile pentru variabila x.

Rădăcinile x = 7 ± 69 10 - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale și x=2- nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns: x = 7 ± 69 10 .

Să examinăm separat cazurile în care numărătorul unei ecuații raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 conține un număr. În astfel de cazuri, dacă numărătorul conține un alt număr decât zero, atunci ecuația nu va avea rădăcini. Dacă acest număr este egal cu zero, atunci rădăcina ecuației va fi orice număr din ODZ.

Exemplul 10

Rezolvați ecuația rațională fracțională - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Decizie

Această ecuație nu va avea rădăcini, deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui x valoarea fracției date în condiția problemei nu va fi egală cu zero.

Răspuns: fara radacini.

Exemplul 11

Rezolvați ecuația 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Decizie

Deoarece numărătorul fracției este zero, soluția ecuației va fi orice valoare a lui x din variabila ODZ x.

Acum să definim ODZ. Va include toate valorile x pentru care x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluții de ecuație x 4 + 5 x 3 = 0 sunteți 0 și − 5 , deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) = 0, și, la rândul său, este echivalent cu mulțimea a două ecuații x 3 = 0 și x + 5 = 0 unde aceste rădăcini sunt vizibile. Ajungem la concluzia că intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0și x = -5.

Se pare că ecuația rațională fracțională 0 x 4 + 5 x 3 = 0 are un număr infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și - 5.

Răspuns: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Acum să vorbim despre ecuațiile raționale fracționale de formă arbitrară și despre metodele de rezolvare a acestora. Ele pot fi scrise ca r(x) = s(x), Unde r(x)și s x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Soluția unor astfel de ecuații se reduce la soluția ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0 .

Știm deja că putem obține o ecuație echivalentă transferând expresia din partea dreaptă a ecuației în partea stângă cu semnul opus. Aceasta înseamnă că ecuația r(x) = s(x) este echivalentă cu ecuația r (x) − s (x) = 0. Am discutat deja despre cum se transformă o expresie rațională într-o fracție rațională. Datorită acestui lucru, putem transforma cu ușurință ecuația r (x) − s (x) = 0în fracția sa rațională identică de forma p (x) q (x) .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x) = s(x) la o ecuație de forma p (x) q (x) = 0 , pe care am învățat deja cum să o rezolvăm.

Trebuie remarcat faptul că atunci când se fac tranziții de la r (x) − s (x) = 0 la p (x) q (x) = 0 și apoi la p(x)=0 este posibil să nu luăm în considerare extinderea intervalului de valori valide ale variabilei x.

Este destul de realist că ecuația originală r(x) = s(x)și ecuație p(x)=0 ca urmare a transformărilor acestea vor înceta să mai fie echivalente. Apoi soluția ecuației p(x)=0 ne poate da rădăcini care ne vor fi străine r(x) = s(x). În acest sens, în fiecare caz este necesar să se efectueze o verificare prin oricare dintre metodele descrise mai sus.

Pentru a vă facilita studierea subiectului, am generalizat toate informațiile într-un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale de forma r(x) = s(x):

• transferăm expresia din partea dreaptă cu semnul opus și obținem zero în dreapta;
• transformăm expresia inițială într-o fracție rațională p (x) q (x) , efectuând secvențial operații cu fracții și polinoame;
• rezolva ecuatia p(x)=0;
• relevăm rădăcinile străine verificând apartenența lor la ODZ sau substituind în ecuația originală.

Vizual, lanțul de acțiuni va arăta astfel:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandonul r o n d e r o o n s

Exemplul 12

Rezolvați ecuația rațională fracțională x x + 1 = 1 x + 1 .

Decizie

Să trecem la ecuația x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Să transformăm expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației în forma p (x) q (x) .

Pentru a face acest lucru, trebuie să reducem fracțiile raționale la un numitor comun și să simplificăm expresia:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Pentru a găsi rădăcinile ecuației - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, trebuie să rezolvăm ecuația − 2 x − 1 = 0. Obținem o singură rădăcină x = - 1 2.

Ne rămâne să efectuăm verificarea prin oricare dintre metode. Să le luăm în considerare pe amândouă.

Înlocuiți valoarea rezultată în ecuația inițială. Se obține - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Am ajuns la egalitatea numerică corectă − 1 = − 1 . Înseamnă că x = − 1 2 este rădăcina ecuației inițiale.

Acum vom verifica prin ODZ. Să determinăm aria valorilor acceptabile pentru variabila x . Acesta va fi întregul set de numere, cu excepția − 1 și 0 (când x = − 1 și x = 0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina pe care o avem x = − 1 2 aparține ODZ. Aceasta înseamnă că este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: − 1 2 .

Exemplul 13

Aflați rădăcinile ecuației x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Decizie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională. Prin urmare, vom acționa conform algoritmului.

Să mutăm expresia din partea dreaptă în partea stângă cu semnul opus: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Să efectuăm transformările necesare: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Ajungem la ecuație x=0. Rădăcina acestei ecuații este zero.

Să verificăm dacă această rădăcină este una străină pentru ecuația originală. Înlocuiți valoarea din ecuația inițială: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . După cum puteți vedea, ecuația rezultată nu are sens. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină, iar ecuația rațională fracțională originală nu are rădăcini.

Răspuns: fara radacini.

Dacă nu am inclus alte transformări echivalente în algoritm, asta nu înseamnă deloc că nu pot fi folosite. Algoritmul este universal, dar este conceput pentru a ajuta, nu a limita.

Exemplul 14

Rezolvați ecuația 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Decizie

Cel mai simplu mod este de a rezolva ecuația rațională fracțională dată conform algoritmului. Dar există o altă cale. Să luăm în considerare.

Scădem din părțile din dreapta și din stânga 7, obținem: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Din aceasta putem trage concluzia că expresia din numitorul părții stângi ar trebui să fie egală cu reciproca numărului din partea dreaptă, adică 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Scădeți din ambele părți 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Prin analogie 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de unde 1 5 - x 2 \u003d 1 3, și mai departe 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Să verificăm pentru a stabili dacă rădăcinile găsite sunt rădăcinile ecuației originale.

Răspuns: x = ± 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter