Ministerul Educației al Republicii Belarus
instituție educațională
Universitatea de Stat Gomel poartă numele F. Skaryna"
Facultatea de Matematică
Departamentul MPM
Transformări identice ale expresiilor și metode de predare a elevilor cum să le execute
Executor testamentar:
Student Starodubova A.Yu.
supraveghetor:
Cand. fizica si matematica Științe, conf. Lebedeva M.T.
Gomel 2007
Introducere
1 Principalele tipuri de transformări și etapele studiului lor. Etapele stăpânirii aplicării transformărilor
Concluzie
Literatură
Introducere
Cele mai simple transformări ale expresiilor și formulelor, bazate pe proprietățile operațiilor aritmetice, se realizează în școala elementară și în clasele a 5-a și a 6-a. Formarea deprinderilor și abilităților de a efectua transformări are loc în cursul algebrei. Aceasta este legată atât de creșterea bruscă a numărului și varietatea transformărilor efectuate, cât și de complicarea activităților de fundamentare a acestora și de clarificare a condițiilor de aplicabilitate, cu identificarea și studiul conceptelor generalizate de identitate, transformare identică, transformare echivalentă.
1. Principalele tipuri de transformări și etapele studiului lor. Etapele stăpânirii aplicării transformărilor
1. Începuturile algebrei
Se folosește un sistem nepartiționat de transformări, reprezentat de regulile pentru efectuarea acțiunilor asupra uneia sau ambelor părți ale formulei. Scopul este de a obține fluență în efectuarea sarcinilor de rezolvare a celor mai simple ecuații, simplificarea formulelor care definesc funcțiile, în efectuarea rațională a calculelor pe baza proprietăților acțiunilor.
Exemple tipice:
Rezolvarea ecuațiilor:
A) ; b) ; în) .
Transformarea identității (a); echivalent și identic (b).
2. Formarea deprinderilor de aplicare a unor tipuri specifice de transformări
Concluzii: formule de înmulțire prescurtate; transformări asociate cu exponentiație; transformări asociate cu diferite clase de funcţii elementare.
Organizarea unui sistem holistic de transformări (sinteză)
Scopul este formarea unui aparat flexibil și puternic adecvat pentru a fi utilizat în rezolvarea unei varietăți de sarcini educaționale.. Trecerea la această etapă se realizează în timpul repetării finale a cursului în cursul înțelegerii materialului deja cunoscut învățat pe părți, pentru anumite tipuri de transformări, la tipurile studiate anterior li se adaugă transformări ale expresiilor trigonometrice. Toate aceste transformări pot fi numite „algebrice” și transformările „analitice” le includ pe cele bazate pe regulile de diferențiere și integrare și transformarea expresiilor care conțin tranziții limită. Diferența de acest tip constă în natura mulțimii prin care trec variabilele în identități (anumite seturi de funcții).
Identitățile studiate sunt împărțite în două clase:
I sunt identități de multiplicare prescurtate valabile într-un inel comutativ și identități
echitabil în domeniu.
II - identități care leagă operațiile aritmetice și funcțiile elementare de bază.
2 Caracteristici ale organizării sistemului de sarcini în studiul transformărilor identice
Principiul de bază al organizării unui sistem de sarcini este de a le prezenta de la simplu la complex.
Ciclu de exerciții- combinarea în succesiunea exercițiilor a mai multor aspecte ale studiului și metodelor de aranjare a materialului. Când se studiază transformări identice, ciclul de exerciții este legat de studiul unei identități, în jurul căreia se grupează alte identități, care se află într-o legătură firească cu aceasta. Alcătuirea ciclului, împreună cu sarcinile executive, include sarcini, impunând recunoașterea aplicabilității identității avute în vedere. Identitatea studiată este utilizată pentru a efectua calcule pe diverse domenii numerice. Sarcinile din fiecare ciclu sunt împărțite în două grupuri. La primul include sarcinile efectuate în timpul cunoașterii inițiale cu identitatea. Ele servesc ca material didactic pentru mai multe lecții consecutive, unite printr-o singură temă.
A doua grupă exercițiul conectează identitatea studiată cu diverse aplicații. Acest grup nu formează o unitate compozițională - exercițiile de aici sunt împrăștiate pe diverse subiecte.
Structurile ciclului descrise se referă la stadiul formării deprinderilor de aplicare a transformărilor specifice.
În stadiul de sinteză, ciclurile se schimbă, grupurile de sarcini se combină spre complicare și ciclurile legate de diferite identități sunt comasate, ceea ce crește rolul acțiunilor de recunoaștere a aplicabilității uneia sau alteia identități.
Exemplu.
Ciclul sarcinii de identitate:
I grup de sarcini:
a) prezent sub forma unui produs:
b) Verificați corectitudinea egalității:
c) Extindeți parantezele în expresia:
.
d) Calculați:
e) factorizați:
e) simplificați expresia:
.
Elevii tocmai s-au familiarizat cu formularea identității, înregistrarea ei sub formă de identitate și dovada.
Sarcina a) este legată de fixarea structurii identității studiate, de stabilirea unei legături cu mulțimi numerice (compararea structurilor semnului identității și a expresiei în curs de transformare; înlocuirea unei litere cu un număr în identitate). În ultimul exemplu, acesta trebuie încă redus la forma studiată. În exemplele următoare (e și g), există o complicație cauzată de rolul aplicat al identității și de complicarea structurii semnului.
Sarcinile de tip b) vizează dezvoltarea competențelor de substituție 
pe . Rolul sarcinii c) este similar.
Exemple de tip d), în care se cere alegerea uneia dintre direcțiile de transformare, completează dezvoltarea acestei idei.
Sarcinile grupului I sunt axate pe stăpânirea structurii identității, a operațiunii de substituție în cazurile cele mai simple, fundamental cele mai importante, și a ideii de reversibilitate a transformărilor efectuate de identitate. Îmbogățirea limbajului înseamnă arătarea diferitelor aspecte ale identității este, de asemenea, foarte importantă. O idee despre aceste aspecte este dată de textele sarcinilor.
Grupa II de sarcini.
g) Folosind identitatea pentru , factorizați polinomul .
h) Eliminați iraționalitatea în numitorul fracției.
i) Demonstrați că dacă este un număr impar, atunci este divizibil cu 4.
j) Funcția este dată de expresia analitică
.
Scăpați de semnul modulo luând în considerare două cazuri: , .
l) Rezolvați ecuația 
.
Aceste sarcini vizează utilizarea cât mai deplină posibilă și luarea în considerare a specificului acestei identități particulare, sugerează formarea abilităților în utilizarea identității studiate pentru diferența de pătrate. Scopul este de a aprofunda înțelegerea identității prin luarea în considerare a diverselor aplicații ale acesteia în diverse situații, în combinație cu utilizarea materialelor legate de alte subiecte ale cursului de matematică.
sau 
.
Caracteristici ale ciclurilor de locuri de muncă legate de identități pentru funcții elementare:
1) sunt studiate pe baza materialului funcțional;
2) identitățile primului grup apar mai târziu și sunt studiate folosind abilitățile deja formate pentru realizarea transformărilor identice.
Primul grup de sarcini ale ciclului ar trebui să includă sarcini pentru a stabili o conexiune între aceste noi zone numerice și zona originală a numerelor raționale.
Exemplu.
Calculati:
;
.
Scopul unor astfel de sarcini este de a stăpâni caracteristicile înregistrărilor, inclusiv simbolurile de noi operațiuni și funcții, și de a dezvolta abilități de vorbire matematică.
O parte semnificativă a utilizării transformărilor identitare asociate cu funcțiile elementare revine soluției ecuațiilor iraționale și transcendentale. Secvența de pași:
a) găsiți o funcție φ pentru care ecuația dată f(x)=0 poate fi reprezentată ca:
b) faceți o substituție y=φ(x) și rezolvați ecuația
c) rezolvați fiecare dintre ecuațiile φ(x)=y k , unde y k este mulțimea rădăcinilor ecuației F(y)=0.
Atunci când se utilizează metoda descrisă, pasul b) este adesea efectuat implicit, fără a introduce o notație pentru φ(x). În plus, elevii aleg adesea dintre diferitele căi care duc la găsirea unui răspuns pentru a-l alege pe cel care duce la ecuația algebrică mai rapid și mai ușor.
Exemplu. Rezolvați ecuația 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (pasul a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 x -3=0. (pasul b)
Exemplu. Rezolvați ecuația:
a) 2 2x -3*2 x +2=0;
b) 2 2x -3*2 x -4=0;
c) 2 2x -3*2 x +1=0.
(Sugerați pentru auto-decizie.)
Clasificarea sarcinilor în cicluri legate de rezolvarea ecuațiilor transcendentale, inclusiv o funcție exponențială:
1) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x \u003d y 0 și au un răspuns simplu, general sub formă:
2) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x = a k , unde k este un număr întreg, sau a x = b, unde b≤0.
3) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x =y 0 și necesită o analiză explicită a formei în care numărul y 0 este scris explicit.
De mare beneficiu sunt sarcinile în care transformări identice sunt utilizate pentru a reprezenta grafice în timp ce simplifică formulele care definesc funcțiile.
a) Trasează funcția y=;
b) Rezolvați ecuația lgx+lg(x-3)=1
c) pe ce mulțime este formula lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) o identitate?
Utilizarea transformărilor identice în calcule (J. Matematica la școală, nr. 4, 1983, p. 45)
Sarcina numărul 1. Funcția este dată de formula y=0,3x 2 +4,64x-6. Găsiți valorile funcției la x=1,2
y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.
Sarcina numărul 2. Calculați lungimea catetei unui triunghi dreptunghic dacă lungimea ipotenuzei acestuia este de 3,6 cm, iar celălalt catet este de 2,16 cm.
Sarcina numărul 3. Care este aria unei parcele dreptunghiulare având dimensiunile a) 0,64 m și 6,25 m; b) 99,8m și 2,6m?
a) 0,64 * 6,25 \u003d 0,8 2 * 2,5 2 \u003d (0,8 * 2,5) 2;
b) 99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Aceste exemple fac posibilă dezvăluirea aplicării practice a transformărilor identice. Elevul trebuie să fie familiarizat cu condițiile de fezabilitate a transformării (vezi diagramele).
| |
- imaginea unui polinom, unde orice polinom se potrivește în contururi rotunde (Schema 1)
-
se dă condiţia de fezabilitate a conversiei produsului unui monom şi a unei expresii care permite conversia la diferenţa de pătrate. (schema 2)
-
aici, hașura înseamnă monomii egale și este dată o expresie care poate fi convertită într-o diferență de pătrate (Schema 3).
| |
| |
- o expresie care permite înlăturarea unui factor comun.
Pentru a forma abilitățile elevilor în identificarea condițiilor, puteți folosi următoarele exemple:
Care dintre următoarele expresii poate fi transformată prin scoaterea din paranteze a factorului comun:
2) 
3) 0,7a 2 +0,2b 2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x2 +3x2 +5y2;
7) 0,21+0,22+0,23.
Majoritatea calculelor în practică nu îndeplinesc condițiile de fezabilitate, așa că elevii au nevoie de abilitățile pentru a le aduce la o formă care să permită calculul transformărilor. În acest caz, următoarele sarcini sunt adecvate:
când studiem eliminarea unui factor comun din paranteze:
această expresie, dacă este posibil, se transformă într-o expresie, care este descrisă de schema 4:
4) 2a * a 2 * a 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
Atunci când se formează conceptul de „transformare identică”, trebuie amintit că aceasta înseamnă nu numai că expresia dată și rezultată ca urmare a transformării au valori egale pentru orice valoare a literelor incluse în ea, dar de asemenea că în timpul transformării identice trecem de la expresia care determină un mod de evaluare, la o expresie care definește un alt mod de evaluare a aceleiași valori.
Este posibil să ilustrați schema 5 (regula pentru transformarea produsului dintre un monom și un polinom) cu exemple
0,5a(b+c) sau 3,8(0,7+).
Exerciții pentru a învăța să puneți în paranteză factorul comun:
Calculați valoarea expresiei:
a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
b) a+bc la a=0,96; b=4,8; c=9,8.
c) a(a+c)-c(a+b) cu a=1,4; b=2,8; c=5,2.
Să ilustrăm cu exemple formarea deprinderilor și abilităților în calcule și transformări identice (J. Matematica la școală, nr. 5, 1984, p. 30)
1) aptitudinile și abilitățile sunt dobândite mai rapid și păstrate mai mult timp dacă formarea lor are loc în mod conștient (principiul didactic al conștiinței).
1) Puteți formula regula pentru adunarea fracțiilor cu aceiași numitori sau mai întâi, folosind exemple specifice, luați în considerare esența adunării părților egale.
2) La factorizarea prin scoaterea din paranteze a factorului comun, este important să vedeți acest factor comun și apoi să aplicați legea distribuției. La efectuarea primelor exerciții, este util să scrieți fiecare termen al polinomului ca produs, unul dintre ai cărui factori este comun tuturor termenilor:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Este util să faceți acest lucru atunci când unul dintre monomiile polinomului este scos din paranteze:
II. Primul stagiu formarea abilităților - stăpânirea abilității (exercițiile sunt efectuate cu explicații și note detaliate)
(întâi se rezolvă întrebarea semnului)
Faza a doua- etapa de automatizare a deprinderii prin eliminarea unor operatii intermediare
III. Puterea abilităților este obținută prin rezolvarea de exemple care sunt diverse atât ca conținut, cât și ca formă.
Subiect: „Bracketing factorul comun”.
1. Notează multiplicatorul lipsă în loc de polinomul:
2. Factorizați astfel încât înaintea parantezelor să existe un monom cu coeficient negativ:
3. Factorizați astfel încât polinomul dintre paranteze să aibă coeficienți întregi:
4. Rezolvați ecuația:
IV. Formarea deprinderilor este cea mai eficientă în cazul executării orale a unor calcule sau transformări intermediare.
(oral);
V. Abilitățile și abilitățile formate ar trebui incluse în sistemul format anterior de cunoștințe, abilități și abilități ale elevilor.
De exemplu, atunci când învățați să factorizați polinoame folosind formule de înmulțire abreviate, sunt oferite următoarele exerciții:
Multiplica:
VI. Necesitatea efectuării raționale a calculelor și transformărilor.
în) simplificați expresia:
Raționalitatea constă în deschiderea parantezelor, pentru că
VII. Conversia expresiilor care conțin un grad.
№1011 (Alg.9) Simplificați expresia:
№1012 (Alg.9) Scoateți factorul de sub semnul rădăcinii:
№1013 (Alg.9) Introduceți un factor sub semnul rădăcină:
№1014 (Alg.9) Simplificați expresia:
În toate exemplele, efectuați preliminar fie factorizarea, fie eliminarea unui factor comun, fie „vedeți” formula de reducere corespunzătoare.
№1015 (Alg.9) Reduceți fracția:
Mulți studenți întâmpină unele dificultăți în transformarea expresiilor care conțin rădăcini, în special atunci când investighează egalitatea:
Prin urmare, fie descrieți în detaliu expresii ale formei sau 
sau mergi la un grad cu un exponent rațional.
№1018 (Alg.9) Aflați valoarea expresiei:
№1019 (Alg.9) Simplificați expresia:
2.285 (Scanavi) Simplificați expresia
și apoi grafică funcția y pentru
Nr. 2.299 (Skanavi) Verificați valabilitatea egalității:
Transformarea expresiilor care conțin un grad este o generalizare a deprinderilor și abilităților dobândite în studiul transformărilor identice ale polinoamelor.
Nr. 2.320 (Skanavi) Simplificați expresia:
În cursul Algebra 7, sunt date următoarele definiții.
Def. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru valorile variabilelor se spune că sunt identic egale.
Def. Egalitatea, adevărată pentru orice valori ale variabilelor numite. identitate.
№94(Alg.7) Este identitatea egalitatea:
A) 
c) 
d) 
Definiția descrierii: Înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta, se numește transformare identică sau pur și simplu o transformare a unei expresii. Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
№ (Alg.7) Printre expresii
găsiți cele care sunt identic egale cu .
Subiect: „Transformări identice ale expresiilor” (tehnica întrebărilor)
Prima temă din „Algebra-7” - „Expresii și transformările lor” ajută la consolidarea abilităților de calcul dobândite în clasele 5-6, la sistematizarea și generalizarea informațiilor despre transformările expresiilor și soluțiilor ecuațiilor.
Găsirea valorilor expresiilor numerice și alfabetice face posibilă repetarea cu elevii a regulilor de acțiune cu numere raționale. Capacitatea de a efectua operații aritmetice cu numere raționale stă la baza întregului curs de algebră.
Când se iau în considerare transformările expresiilor în mod formal, abilitățile operaționale rămân la același nivel care a fost atins în clasele 5-6.
Cu toate acestea, aici studenții se ridică la un nou nivel în stăpânirea teoriei. Sunt introduse conceptele de „expresii identice egale”, „identitate”, „transformări identice ale expresiilor”, al căror conținut va fi constant dezvăluit și aprofundat la studierea transformărilor diferitelor expresii algebrice. Se subliniază că baza transformărilor identice o reprezintă proprietățile acțiunilor asupra numerelor.
La studierea temei „Polinoame”, se formează abilități formal-operaționale de transformări identice ale expresiilor algebrice. Formulele de înmulțire abreviate contribuie la procesul ulterioar de formare a abilităților de a efectua transformări identice ale expresiilor întregi, capacitatea de a aplica formule atât pentru înmulțirea abreviată, cât și pentru factorizarea polinoamelor este folosită nu numai în transformarea expresiilor întregi, ci și în operații cu fracții, rădăcini, puteri cu exponent rațional .
În clasa a VIII-a, deprinderile dobândite de transformări identice se exersează pe acțiuni cu fracții algebrice, rădăcini pătrate și expresii care conțin grade cu exponent întreg.
În viitor, metodele transformărilor identice se reflectă în expresii care conțin un grad cu exponent rațional.
Un grup special de transformări identice sunt expresiile trigonometrice și expresiile logaritmice.
Rezultatele de învățare obligatorii pentru cursul de algebră din clasele 7-9 includ:
1) transformări identice ale expresiilor întregi
a) deschidere și bracketing;
b) reducerea membrilor similari;
c) adunarea, scăderea și înmulțirea polinoamelor;
d) factorizarea polinoamelor prin scoaterea din paranteze a factorului comun și formulele de înmulțire abreviate;
e) factorizarea unui trinom pătrat.
„Matematica la școală” (B.U.M.) p.110
2) transformări identice ale expresiilor raționale: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor, precum și aplicarea deprinderilor enumerate la efectuarea transformărilor simple combinate [p. 111]
3) elevii ar trebui să fie capabili să efectueze transformări ale expresiilor simple care conțin grade și rădăcini. (pag. 111-112)
Au fost luate în considerare principalele tipuri de sarcini, capacitatea de rezolvare care permite elevului să obțină o evaluare pozitivă.
Unul dintre cele mai importante aspecte ale metodologiei de studiu a transformărilor identice este dezvoltarea de către studenți a obiectivelor de a efectua transformări identice.
1) 
- simplificarea valorii numerice a expresiei
2) care dintre transformări ar trebui efectuate: (1) 
sau (2) Analiza acestor opțiuni este o motivație (de preferință (1), deoarece în (2) zona de definiție este restrânsă)
3) Rezolvați ecuația:
Factorizarea în rezolvarea ecuațiilor.
4) Calculați:
Să aplicăm formula de înmulțire prescurtată:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Aflați valoarea expresiei:
Pentru a găsi valoarea, înmulțiți fiecare fracție cu conjugatul:
6) Trasează graficul funcției:
Să selectăm întreaga parte: .
Prevenirea erorilor la efectuarea transformărilor identice poate fi obținută prin diferite exemple de execuție a acestora. În acest caz, se elaborează tehnici „mici”, care, ca componente, sunt incluse într-un proces de transformare mai voluminos.
De exemplu:
În funcție de direcțiile ecuației, pot fi avute în vedere mai multe probleme: de la dreapta la stânga înmulțirea polinoamelor; de la stânga la dreapta - factorizare. Partea stângă este un multiplu al unuia dintre factorii din partea dreaptă și așa mai departe.
Pe lângă variația exemplelor, puteți utiliza apologie între identităţi şi egalităţi numerice.
Următorul truc este să explici identitățile.
Pentru a spori interesul elevilor, se poate atribui căutarea diverselor modalități de rezolvare a problemelor.
Lecțiile despre studiul transformărilor identice vor deveni mai interesante dacă le sunt dedicate găsirea unei soluții la o problemă .
De exemplu: 1) reduceți fracția:
3) demonstrați formula „radical complex”.
Considera:
Să transformăm partea dreaptă a egalității:
-
suma expresiilor conjugate. Ele ar putea fi înmulțite și împărțite prin conjugat, dar o astfel de operație ne va conduce la o fracție al cărei numitor este diferența radicalilor.
Rețineți că primul termen din prima parte a identității este un număr mai mare decât al doilea, așa că puteți pătra ambele părți:
Lecția practică numărul 3.
Tema: Transformări identice ale expresiilor (tehnica întrebării).
Literatură: „Atelier despre MPM”, p. 87-93.
Un semn al unei culturi înalte a calculelor și transformărilor identice în rândul studenților este o cunoaștere solidă a proprietăților și algoritmilor operațiilor asupra valorilor exacte și aproximative și aplicarea abil a acestora; metode raționale de calcule și transformări și verificarea acestora; capacitatea de a fundamenta aplicarea tehnicilor și regulilor de calcule și transformări, automatitatea abilităților de execuție fără erori a operațiilor de calcul.
Din ce clasă ar trebui elevii să înceapă să lucreze la dezvoltarea acestor abilități?
Linia transformărilor identice ale expresiilor începe cu utilizarea metodelor de calcul rațional și începe cu utilizarea metodelor de calcul rațional al valorilor expresiilor numerice. (clasa 5)
Când studiați astfel de subiecte într-un curs de matematică școlar, ar trebui să le acordați o atenție deosebită!
Efectuarea conștientă a transformărilor identice de către elevi este facilitată de înțelegerea faptului că expresiile algebrice nu există de la sine, ci sunt indisolubil legate de o mulțime numerică, ele sunt înregistrări generalizate ale expresiilor numerice. Analogiile dintre expresiile algebrice și numerice (și transformările acestora) sunt legitime din punct de vedere logic, utilizarea lor în predare ajută la prevenirea greșelilor elevilor.
Transformările identității nu sunt o temă separată a cursului de matematică școlară, ele sunt studiate pe tot parcursul cursului de algebră și începutul analizei matematice.
Programul de matematică pentru clasele 1-5 este un material propedeutic pentru studierea transformărilor identice ale expresiilor cu o variabilă.
În cursul algebrei 7 celule. sunt introduse definiţii ale identităţii şi transformărilor identitare.
Def. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valori ale variabilelor, numite. identic egale.
AOD. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.
Valoarea identității constă în faptul că permite înlocuirea unei expresii date cu o alta identic egală cu ea.
Def. Se numește înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta transformarea identităţii sau pur și simplu transformare expresii.
Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Transformările echivalente pot fi considerate ca bază a transformărilor identice.
AOD. Două propoziții, fiecare fiind o consecință logică a celeilalte, numite. echivalent.
AOD. Propoziție cu variabilele A numită. consecință a propoziției cu variabilele B dacă regiunea de adevăr B este o submulțime a regiunii de adevăr A.
O altă definiție a propozițiilor echivalente poate fi dată: două propoziții cu variabile sunt echivalente dacă regiunile lor de adevăr sunt aceleași.
a) B: x-1=0 peste R; A: (x-1) 2 peste R => A~B deoarece regiunile de adevăr (soluții) coincid (x=1)
b) A: x=2 peste R; B: x 2 \u003d 4 peste R => zona de adevăr A: x \u003d 2; regiunea de adevăr B: x=-2, x=2; deoarece regiunea de adevăr A este cuprinsă în B, atunci: x 2 =4 este o consecință a propoziției x=2.
Baza transformărilor identice este posibilitatea de a reprezenta același număr în forme diferite. De exemplu,
-
o astfel de reprezentare va ajuta la studierea subiectului „proprietățile de bază ale unei fracții”.
Abilitățile de a efectua transformări identice încep să se formeze la rezolvarea unor exemple similare cu următoarele: „Aflați valoarea numerică a expresiei 2a 3 + 3ab + b 2 cu a = 0,5, b = 2/3”, care sunt oferite elevilor din clasă. 5 și permit conceptul propedeutic al funcției.
Când se studiază formulele de înmulțire prescurtată, trebuie să se acorde atenție înțelegerii profunde și asimilării lor puternice. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următoarea ilustrație grafică:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Întrebare: Cum să explicăm elevilor esența formulelor de mai sus conform acestor desene?
O greșeală comună este confundarea expresiilor „suma pătrate” și „suma pătratelor”. Indicația profesorului că aceste expresii diferă în ordinea acțiunii nu pare semnificativă, întrucât elevii consideră că aceste acțiuni sunt efectuate pe aceleași numere și, prin urmare, rezultatul nu se modifică de la schimbarea ordinii acțiunilor.
Sarcină: Compuneți exerciții orale pentru a dezvolta abilitățile elevilor de a utiliza cu acuratețe formulele de mai sus. Cum să explic cum aceste două expresii sunt similare și cum diferă una de cealaltă?
O mare varietate de transformări identice îngreunează elevilor să înțeleagă scopul pentru care sunt efectuate. Cunoașterea neclară a scopului efectuării transformărilor (în fiecare caz specific) afectează negativ conștientizarea acestora, servește ca sursă de erori masive ale elevilor. Acest lucru sugerează că explicarea studenților a obiectivelor efectuării diferitelor transformări identice este o parte importantă a metodologiei de studiere a acestora.
Exemple de motivații pentru transformări identice:
1. simplificarea găsirii valorii numerice a expresiei;
2. alegerea unei transformări a ecuaţiei care să nu conducă la pierderea rădăcinii;
3. atunci când efectuați o transformare, puteți marca aria ei de calcul;
4. utilizarea transformărilor în calcul, de exemplu, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Pentru a gestiona procesul de decizie, este important ca profesorul să aibă capacitatea de a oferi o descriere exactă a esenței erorii făcute de elev. Caracterizarea corectă a erorii este cheia pentru alegerea corectă a acțiunilor ulterioare întreprinse de profesor.
Exemple de erori ale elevilor:
1. efectuarea înmulțirii: elevul a primit -54abx 6 (7 celule);
2. efectuând exponentiația (3x 2) 3, elevul a primit 3x 6 (7 celule);
3. transformând (m + n) 2 într-un polinom, elevul a primit m 2 + n 2 (7 celule);
4. reducerea fracției primite de elev (8 celule);
5. efectuarea scăderii: 
, studentul scrie (8 celule)
6. Reprezentând o fracție sub formă de fracții, elevul a primit: 
(8 celule);
7. extragerea rădăcinii aritmetice, elevul a primit x-1 (9 celule);
8. rezolvarea ecuaţiei (9 celule);
9. transformând expresia, elevul primeşte: (9 celule).
Concluzie
Studiul transformărilor identice se realizează în strânsă legătură cu mulțimile numerice studiate într-o clasă sau alta.
La început, elevul ar trebui să fie rugat să explice fiecare pas al transformării, să formuleze regulile și legile care se aplică.
În transformările identice ale expresiilor algebrice se folosesc două reguli: înlocuirea și înlocuirea cu egale. Cea mai des folosită substituție, deoarece numărarea formulelor se bazează pe aceasta, adică găsiți valoarea expresiei a*b cu a=5 și b=-3. Foarte des, elevii neglijează parantezele atunci când efectuează operația de înmulțire, crezând că semnul înmulțirii este subînțeles. De exemplu, o astfel de înregistrare este posibilă: 5*-3.
Literatură
1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metode funcționale și grafice pentru rezolvarea problemelor de examinare”, Mn.. Aversev, 2004
2. O.N. Piryutko „Erori tipice în testarea centralizată”, Mn.. Aversev, 2006
3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Sarcini-capcane privind testarea centralizată”, Mn.. Aversev, 2006
4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metode pentru rezolvarea problemelor trigonometrice”, Mn.. Aversev, 2005
Expresii numerice și algebrice. Conversia expresiei.
Ce este o expresie în matematică? De ce sunt necesare conversiile expresiilor?
Întrebarea, după cum se spune, este interesantă... Faptul este că aceste concepte stau la baza tuturor matematicii. Toată matematica constă din expresii și transformările lor. Nu foarte clar? Lasă-mă să explic.
Să presupunem că ai un exemplu rău. Foarte mare și foarte complex. Să zicem că ești bun la matematică și nu ți-e frică de nimic! Poti sa raspunzi imediat?
Va trebui decide acest exemplu. Secvenţial, pas cu pas, acest exemplu simplifica. După anumite reguli, desigur. Acestea. face conversia expresiei. Cât de bine realizați aceste transformări, deci sunteți puternic la matematică. Dacă nu știi să faci transformările corecte, la matematică nu poți face nimic...
Pentru a evita un viitor atât de incomod (sau prezent...), nu strica să înțelegeți acest subiect.)
Pentru început, să aflăm ce este o expresie în matematică. Ce expresie numerică si ce este expresie algebrica.
Ce este o expresie în matematică?
Exprimarea în matematică este un concept foarte larg. Aproape tot ceea ce ne ocupăm în matematică este un set de expresii matematice. Orice exemple, formule, fracții, ecuații și așa mai departe - toate constă în expresii matematice.
3+2 este o expresie matematică. c 2 - d 2 este și o expresie matematică. Și o fracție sănătoasă și chiar un număr - toate acestea sunt expresii matematice. Ecuația, de exemplu, este:
5x + 2 = 12
constă din două expresii matematice legate printr-un semn egal. O expresie este în stânga, cealaltă este în dreapta.
În termeni generali, termenul expresie matematică" este folosit, cel mai adesea, pentru a nu bolborosi. Te vor întreba ce este o fracție obișnuită, de exemplu? Și cum să răspunzi?!
Răspunsul 1: „Este... m-m-m-m... asa ceva... in care... Pot sa scriu mai bine o fractiune? Pe care o vrei?"
A doua opțiune de răspuns: „O fracțiune obișnuită este (cu bucurie și cu bucurie!) expresie matematică , care constă dintr-un numărător și un numitor!"
A doua opțiune este oarecum mai impresionantă, nu?)
În acest scop, sintagma „ expresie matematică „foarte bine. Atât corect, cât și solid. Dar pentru aplicare practică, trebuie să fii bine versat tipuri specifice de expresii în matematică .
Tipul specific este o altă problemă. Aceasta este cu totul altceva! Fiecare tip de expresie matematică are A mea un set de reguli și tehnici care trebuie utilizate în decizie. Pentru a lucra cu fracții - un set. Pentru lucrul cu expresii trigonometrice - al doilea. Pentru lucrul cu logaritmi - al treilea. etc. Undeva aceste reguli coincid, undeva diferă puternic. Dar nu vă temeți de aceste cuvinte groaznice. Logaritmi, trigonometrie și alte lucruri misterioase pe care le vom stăpâni în secțiunile relevante.
Aici vom stăpâni (sau - repetați, după cum doriți...) două tipuri principale de expresii matematice. Expresii numerice și expresii algebrice.
Expresii numerice.
Ce expresie numerică? Acesta este un concept foarte simplu. Numele însuși sugerează că aceasta este o expresie cu numere. Așa este. O expresie matematică formată din numere, paranteze și semne ale operațiilor aritmetice se numește expresie numerică.
7-3 este o expresie numerică.
(8+3.2) 5.4 este de asemenea o expresie numerică.
Și acest monstr:
tot o expresie numerică, da...
Un număr obișnuit, o fracție, orice exemplu de calcul fără x și alte litere - toate acestea sunt expresii numerice.
caracteristica principală numeric expresii din ea fara litere. Nici unul. Doar numere și pictograme matematice (dacă este necesar). E simplu, nu?
Și ce se poate face cu expresiile numerice? Expresiile numerice pot fi de obicei numărate. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie să deschideți paranteze, să schimbați semnele, să prescurtați, să schimbați termeni - de ex. face conversii de expresie. Dar mai multe despre asta mai jos.
Aici ne vom ocupa de un caz atât de amuzant când cu o expresie numerică nu trebuie să faci nimic. Ei bine, nimic! Această operațiune frumoasă A nu face nimic)- se execută când expresia nu are sens.
Când nu are sens o expresie numerică?
Desigur, dacă vedem un fel de abracadabra în fața noastră, cum ar fi
atunci nu vom face nimic. Din moment ce nu este clar ce să faci cu el. Niște prostii. Cu excepția cazului în care, pentru a număra numărul de plusuri...
Dar în exterior există expresii destul de decente. De exemplu aceasta:
(2+3) : (16 - 2 8)
Cu toate acestea, această expresie este de asemenea nu are sens! Din simplul motiv că în a doua paranteză - dacă numărați - obțineți zero. Nu poți împărți la zero! Aceasta este o operație interzisă în matematică. Prin urmare, nici cu această expresie nu este nevoie să faceți nimic. Pentru orice sarcină cu o astfel de expresie, răspunsul va fi întotdeauna același: „Expresia nu are sens!”
Pentru a da un astfel de răspuns, desigur, a trebuit să calculez ce ar fi între paranteze. Și uneori între paranteze o astfel de răsucire... Ei bine, nu e nimic de făcut în privința asta.
Nu există atât de multe operații interzise în matematică. Există doar unul în acest thread. Impartirea cu zero. Interdicțiile suplimentare care apar în rădăcini și logaritmi sunt discutate în subiectele relevante.
Deci, o idee despre ceea ce este expresie numerică- a primit. concept expresia numerică nu are sens- realizat. Să mergem mai departe.
Expresii algebrice.
Dacă într-o expresie numerică apar litere, această expresie devine... Expresia devine... Da! Devine expresie algebrica. De exemplu:
5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...
Astfel de expresii se mai numesc expresii literale. Sau expresii cu variabile. Este practic același lucru. Expresie 5a +c, de exemplu - atât literal cât și algebric și expresie cu variabile.
concept expresie algebrica - mai larg decât numeric. Aceasta includeși toate expresiile numerice. Acestea. o expresie numerică este și o expresie algebrică, doar fără litere. Fiecare hering este un pește, dar nu orice pește este un hering...)
De ce literal- Este curat. Ei bine, din moment ce sunt litere... Expresie expresie cu variabile de asemenea, nu foarte perplex. Dacă înțelegi că numerele sunt ascunse sub litere. Tot felul de numere pot fi ascunse sub litere ... Și 5, și -18, și orice doriți. Adică o scrisoare poate a inlocui pentru numere diferite. De aceea se numesc literele variabile.
În expresie y+5, De exemplu, la- variabil. Sau doar spune " variabil", fără cuvântul „valoare”. Spre deosebire de cele cinci, care este o valoare constantă. Sau pur și simplu - constant.
Termen expresie algebricaînseamnă că pentru a lucra cu această expresie, trebuie să folosiți legile și regulile algebră. În cazul în care un aritmetic funcționează cu numere specifice, atunci algebră- cu toate numerele deodată. Un exemplu simplu pentru clarificare.
În aritmetică, se poate scrie asta
Dar dacă scriem o egalitate similară prin expresii algebrice:
a + b = b + a
vom decide imediat toateîntrebări. Pentru toate numerele accident vascular cerebral. Pentru un număr infinit de lucruri. Pentru că sub litere Ași b subînțeles toate numerele. Și nu numai numere, ci chiar și alte expresii matematice. Așa funcționează algebra.
Când nu are sens o expresie algebrică?
Totul este clar despre expresia numerică. Nu poți împărți la zero. Și cu litere, este posibil să aflăm cu ce împărțim?!
Să luăm ca exemplu următoarea expresie variabilă:
2: (A - 5)
Are sens? Dar cine îl cunoaște? A- orice număr...
Oricare, orice... Dar există un singur sens A, pentru care această expresie exact nu are sens! Și care este acel număr? Da! Sunt 5! Dacă variabila Aînlocuiți (se spune - „înlocuitor”) cu numărul 5, între paranteze, zero va fi. care nu poate fi divizat. Deci, se dovedește că expresia noastră nu are sens, dacă a = 5. Dar pentru alte valori A are sens? Puteți înlocui alte numere?
Cu siguranță. În astfel de cazuri, se spune pur și simplu că expresia
2: (A - 5)
are sens pentru orice valoare A, cu excepția a = 5 .
Întregul set de numere poate sa substitut în expresia dată se numește interval valid această expresie.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat. Ne uităm la expresia cu variabile și ne gândim: la ce valoare a variabilei se obține operația interzisă (diviziunea la zero)?
Și apoi asigurați-vă că vă uitați la întrebarea sarcinii. Ce intreaba ei?
nu are sens, valoarea noastră interzisă va fi răspunsul.
Dacă întreabă la ce valoare a variabilei expresia are sensul(simți diferența!), răspunsul va fi toate celelalte numere cu excepția celor interzise.
De ce avem nevoie de sensul expresiei? El este acolo, el nu este... Care este diferența?! Cert este că acest concept devine foarte important în liceu. Foarte important! Aceasta este baza unor astfel de concepte solide, cum ar fi domeniul de valori valide sau domeniul de aplicare al unei funcții. Fără aceasta, nu veți putea rezolva deloc ecuații sau inegalități serioase. Ca aceasta.
Conversia expresiei. Transformări de identitate.
Ne-am familiarizat cu expresiile numerice și algebrice. Înțelegeți ce înseamnă expresia „expresia nu are sens”. Acum trebuie să ne dăm seama ce conversia expresiei. Răspunsul este simplu, scandalos.) Aceasta este orice acțiune cu o expresie. Si asta e. Tu faci aceste transformări încă de la prima clasă.
Luați expresia numerică cool 3+5. Cum poate fi convertit? Da, foarte usor! Calculati:
Acest calcul va fi transformarea expresiei. Puteți scrie aceeași expresie într-un mod diferit:
Nu am numărat nimic aici. Doar scrieți expresia într-o formă diferită. Aceasta va fi, de asemenea, o transformare a expresiei. Se poate scrie asa:
Și aceasta este, de asemenea, transformarea unei expresii. Puteți face oricâte dintre aceste transformări doriți.
Orice acţiune asupra unei expresii orice scrierea lui într-o formă diferită se numește transformare de expresie. Și toate lucrurile. Totul este foarte simplu. Dar este un lucru aici regula foarte importanta. Atât de important încât poate fi apelat în siguranță regula principala toată matematica. Încălcarea acestei reguli inevitabil duce la erori. intelegem?)
Să presupunem că ne-am transformat expresia în mod arbitrar, astfel:
Transformare? Cu siguranță. Am scris expresia într-o formă diferită, ce este greșit aici?
Nu e așa.) Cert este că transformările "tot ceea ce" matematica nu este deloc interesată.) Toată matematica este construită pe transformări în care aspectul se schimbă, dar esența expresiei nu se schimbă. Trei plus cinci pot fi scrise în orice formă, dar trebuie să fie opt.
transformări, expresii care nu schimbă esența numit identic.
Exact transformări identiceși ne permite, pas cu pas, să transformăm un exemplu complex într-o expresie simplă, păstrând esența exemplului. Dacă greșim în lanțul transformărilor, vom face o transformare NU identică, atunci vom decide o alta exemplu. Cu alte răspunsuri care nu au legătură cu cele corecte.)
Aici este regula principală pentru rezolvarea oricăror sarcini: respectarea identității transformărilor.
Am dat un exemplu cu o expresie numerică 3 + 5 pentru claritate. În expresiile algebrice, transformările identice sunt date prin formule și reguli. Să presupunem că există o formulă în algebră:
a(b+c) = ab + ac
Deci, în orice exemplu, putem în loc de expresie a(b+c) simțiți-vă liber să scrieți o expresie ab+ac. Si invers. Aceasta este transformare identică. Matematica ne oferă posibilitatea de a alege dintre aceste două expresii. Și care să scrieți depinde de exemplul specific.
Alt exemplu. Una dintre cele mai importante și necesare transformări este proprietatea de bază a unei fracții. Puteți vedea mai multe detalii la link, dar aici reamintesc doar regula: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr sau cu o expresie care nu este egală cu zero, fracția nu se va modifica. Iată un exemplu de transformări identice pentru această proprietate:
După cum probabil ați ghicit, acest lanț poate fi continuat la nesfârșit...) O proprietate foarte importantă. Acesta vă permite să transformați tot felul de monștri exemplu în albi și pufosi.)
Există multe formule care definesc transformări identice. Dar cel mai important - o sumă destul de rezonabilă. Una dintre transformările de bază este factorizarea. Este folosit în toate matematicile - de la elementar la avansat. Să începem cu el. în lecția următoare.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii numerelor.
Proprietatea comutativă a adunării: atunci când termenii sunt rearanjați, valoarea sumei nu se modifică. Pentru orice numere a și b, egalitatea este adevărată
Proprietatea asociativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată
Proprietatea comutativă a înmulțirii: permutarea factorilor nu modifică valoarea produsului. Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată
Proprietatea asociativă a înmulțirii: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea.
Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată
Proprietate distributivă: Pentru a înmulți un număr cu o sumă, puteți înmulți acel număr cu fiecare termen și adăugați rezultatele. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată
Din proprietățile comutative și asociative ale adunării rezultă că în orice sumă puteți rearanja termenii după cum doriți și îi puteți combina în grupuri într-un mod arbitrar.
Exemplul 1 Să calculăm suma 1,23+13,5+4,27.
Pentru a face acest lucru, este convenabil să combinați primul termen cu al treilea. Primim:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Din proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii rezultă: în orice produs, puteți rearanja factorii în orice fel și îi puteți combina în mod arbitrar în grupuri.
Exemplul 2 Să aflăm valoarea produsului 1,8 0,25 64 0,5.
Combinând primul factor cu al patrulea și al doilea cu al treilea, vom avea:
1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.
Proprietatea de distribuție este valabilă și atunci când numărul este înmulțit cu suma a trei sau mai mulți termeni.
De exemplu, pentru orice numere a, b, c și d, egalitatea este adevărată
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Știm că scăderea poate fi înlocuită cu adunare prin adăugarea la minuend a numărului opus scăderii:
Acest lucru permite ca o expresie numerică de forma a-b să fie considerată suma numerelor a și -b, o expresie numerică de forma a + b-c-d să fie considerată suma numerelor a, b, -c, -d etc. proprietăţile considerate ale acţiunilor sunt valabile şi pentru asemenea sume.
Exemplul 3 Să găsim valoarea expresiei 3,27-6,5-2,5+1,73.
Această expresie este suma numerelor 3,27, -6,5, -2,5 și 1,73. Aplicând proprietățile de adunare, obținem: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.
Exemplul 4 Să calculăm produsul 36·().
Multiplicatorul poate fi considerat ca suma numerelor și -. Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, obținem:
36()=36-36=9-10=-1.
Identități
Definiție. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valoare a variabilelor se spune a fi identic egale.
Definiție. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.
Să găsim valorile expresiilor 3(x+y) și 3x+3y pentru x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.
Am obtinut acelasi rezultat. Din proprietatea distributivă rezultă că, în general, pentru orice valoare a variabilelor, valorile corespunzătoare ale expresiilor 3(x+y) și 3x+3y sunt egale.
Luați în considerare acum expresiile 2x+y și 2xy. Pentru x=1, y=2 ele iau valori egale:
Cu toate acestea, puteți specifica valorile x și y astfel încât valorile acestor expresii să nu fie egale. De exemplu, dacă x=3, y=4, atunci
Expresiile 3(x+y) și 3x+3y sunt identic egale, dar expresiile 2x+y și 2xy nu sunt identic egale.
Egalitatea 3(x+y)=x+3y, adevărată pentru orice valori ale lui x și y, este o identitate.
Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități.
Deci, identitățile sunt egalități care exprimă principalele proprietăți ale acțiunilor asupra numerelor:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Alte exemple de identități pot fi date:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Transformări identitare ale expresiilor
Înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta, se numește transformare identică sau pur și simplu transformare a unei expresii.
Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Pentru a găsi valoarea expresiei xy-xz având în vedere valorile x, y, z, trebuie să efectuați trei pași. De exemplu, cu x=2,3, y=0,8, z=0,2 obținem:
xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.
Acest rezultat poate fi obținut în doar două etape, folosind expresia x(y-z), care este identic egală cu expresia xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.
Am simplificat calculele prin înlocuirea expresiei xy-xz cu expresia identic egală x(y-z).
Transformările de identitate ale expresiilor sunt utilizate pe scară largă în calcularea valorilor expresiilor și rezolvarea altor probleme. Au fost deja efectuate unele transformări identice, de exemplu, reducerea termenilor similari, deschiderea parantezelor. Amintiți-vă regulile pentru efectuarea acestor transformări:
pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei;
dacă în fața parantezelor există un semn plus, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnul fiecărui termen cuprins între paranteze;
dacă există un semn minus înaintea parantezelor, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnului fiecărui termen cuprins între paranteze.
Exemplul 1 Să adăugăm termeni similari în suma 5x+2x-3x.
Folosim regula pentru reducerea termenilor similari:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Această transformare se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii.
Exemplul 2 Să extindem parantezele din expresia 2a+(b-3c).
Aplicarea regulii de deschidere a parantezelor precedate de semnul plus:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea asociativă a adunării.
Exemplul 3 Să extindem parantezele din expresia a-(4b-c).
Să folosim regula pentru extinderea parantezelor precedate de semnul minus:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii și proprietatea asociativă a adunării. Să o arătăm. Să reprezentăm al doilea termen -(4b-c) din această expresie ca produs (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Aplicând aceste proprietăți ale acțiunilor, obținem:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru
Adesea auzim această frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:
„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.
Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini.
Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la un număr (doar!) obișnuit (da, la naiba cu aceste litere).
Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fii capabil se ocupă de fracțiiși factorizarea polinoamelor.
Prin urmare, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.
Citit? Dacă da, atunci ești gata.
Sa mergem sa mergem!)
Operații de simplificare a expresiei de bază
Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.
Cel mai simplu dintre ele este
1. Aducerea asemănătoare
Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre.
Similar sunt termeni (monoame) cu aceeași parte de literă.
De exemplu, în suma, termenii similari sunt și.
Amintit?
Aduceți similare- înseamnă să adăugați mai mulți termeni similari unul cu celălalt și să obțineți un termen.
Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.
Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte.
De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia?
Două scaune plus trei scaune, cât va fi? E drept, scaune: .
Acum încearcă această expresie:
Pentru a nu te confunda, lasă litere diferite să desemneze obiecte diferite.
De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă.
scaune mese scaune mese scaune scaune mese
Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți.
De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.
Deci, regula pentru a aduce similare:
Exemple:
Aduceți similare:
Raspunsuri:
2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).
2. Factorizarea
Aceasta este de obicei cea mai importantă parte în simplificarea expresiilor.
După ce ați dat altele similare, cel mai adesea este nevoie de expresia rezultată factorizați, adică reprezintă ca produs.
Mai ales asta important în fracții: deoarece pentru a reduce fracția, numărătorul și numitorul trebuie exprimate ca produs.
Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat.
Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple (trebuie să factorizați)
Exemple:
Solutii:
3. Reducerea fracțiilor.
Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?
Aceasta este frumusețea abrevierilor.
E simplu:
Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.
Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:
Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).
Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:
1) numărător și numitor factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, acestea pot fi șterse.
Exemple:
Principiul, cred, este clar?
Aș dori să vă atrag atenția asupra unei greșeli tipice de abreviere. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- inseamna divide numărător și numitor cu același număr.
Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.
De exemplu: trebuie să simplificați.
Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.
Un alt exemplu: reduce.
„Cel mai inteligent” va face asta:
Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.
Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine în ansamblu nu este descompus în factori.
Iată un alt exemplu: .
Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:
Puteți împărți imediat la:
Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă o modalitate ușoară de a determina dacă o expresie este luată în considerare:
Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”.
Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori).
Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).
Pentru a rezolva singur, câteva exemple:
Exemple:
Solutii:
4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul lipsă și adunăm / scădem numărătorii.
Să ne amintim:
Raspunsuri:
1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:
2. Aici numitorul comun este:
3. Aici, în primul rând, transformăm fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi - conform schemei obișnuite:
Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:
Să începem simplu:
a) Numitorii nu conțin litere
Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:
acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:
Incearca-l tu insuti:
Raspunsuri:
b) Numitorii conțin litere
Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:
În primul rând, determinăm factorii comuni;
Apoi scriem toți factorii comuni o dată;
și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.
Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:
Subliniem factorii comuni:
Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):
Acesta este numitorul comun.
Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:
Descompunem numitorii în factori;
determina multiplicatori comuni (identici);
scrie toți factorii comuni o dată;
Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.
Deci, in ordine:
1) descompuneți numitorii în factori:
2) determinați factorii comuni (identici):
3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):
Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:
Apropo, există un truc:
De exemplu: .
Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:
in masura
in masura
in masura
în grad.
Să complicăm sarcina:
Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?
Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:
Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!
Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?
Deci, o altă regulă de neclintit:
Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!
Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?
Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:
Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”.
De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.
Ce zici de exprimare? Este elementar?
Nu, deoarece poate fi factorizat:
(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).
Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.
Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).
Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:
Alt exemplu:
Decizie:
Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:
Amenda! Apoi:
Alt exemplu:
Decizie:
Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:
S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:
Deci hai sa scriem:
Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.
Acum aducem la un numitor comun:
Am înţeles? Acum să verificăm.
Sarcini pentru soluție independentă:
Raspunsuri:
5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:
Procedură
Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:
ai numarat?
Ar trebui să funcționeze.
Deci, vă reamintesc.
Primul pas este să calculezi gradul.
Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.
Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.
Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!
Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.
Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.
Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):
Bine, totul este simplu.
Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?
Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.
De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.
De exemplu:
Să simplificăm expresia.
1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:
Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).
2) obținem:
Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.
3) Acum puteți scurta:
Asta e. Nimic complicat, nu?
Alt exemplu:
Simplificați expresia.
Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.
Decizie:
În primul rând, să definim procedura.
Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una.
Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție.
Voi numerota schematic pașii:
În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:
1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.
2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.
Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:
Și a promis chiar de la început:
Raspunsuri:
Soluții (pe scurt):
Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.
Acum, la învățare!
CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ
Operatii de simplificare de baza:
- Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
- Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
- Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
1) numărător și numitor factorizați
2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!
- Adunarea și scăderea fracțiilor:
; - Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
;
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
La examen nu vi se va cere teorie.
Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.
Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.
Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (nu neapărat) și cu siguranță le recomandăm.
Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble
Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
In concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.
„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
Numerele și expresiile care alcătuiesc expresia originală pot fi înlocuite cu expresii care sunt identic egale cu acestea. O astfel de transformare a expresiei originale duce la o expresie care este identic egală cu aceasta.
De exemplu, în expresia 3+x, numărul 3 poate fi înlocuit cu suma 1+2 , din care rezultă expresia (1+2)+x , care este identic egală cu expresia originală. Un alt exemplu: în expresia 1+a 5 gradul a 5 poate fi înlocuit cu un produs identic egal cu acesta, de exemplu, de forma a·a 4 . Aceasta ne va da expresia 1+a·a 4 .
Această transformare este, fără îndoială, artificială și este de obicei o pregătire pentru o transformare ulterioară. De exemplu, în suma 4·x 3 +2·x 2 , ținând cont de proprietățile gradului, termenul 4·x 3 poate fi reprezentat ca un produs 2·x 2 ·2·x . După o astfel de transformare, expresia originală va lua forma 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Evident, termenii din suma rezultată au un factor comun 2 x 2, deci putem efectua următoarea transformare - paranteze. După aceasta, vom ajunge la expresia: 2 x 2 (2 x+1) .
Adunarea și scăderea aceluiași număr
O altă transformare artificială a unei expresii este adunarea și scăderea aceluiași număr sau expresie în același timp. O astfel de transformare este identică, deoarece este, de fapt, echivalentă cu adăugarea zero, iar adăugarea zero nu schimbă valoarea.
Luați în considerare un exemplu. Să luăm expresia x 2 +2 x . Dacă adăugați unul și scădeți unul, atunci acest lucru vă va permite să efectuați o altă transformare identică în viitor - selectați pătratul binomului: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografie.
- Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
