Luați în considerare o ecuație pătratică.

Să-i definim rădăcinile.

Nu există un număr real al cărui pătrat este -1. Dar dacă formula definește operatorul i ca unitate imaginară, atunci soluția acestei ecuații poate fi scrisă sub forma . în care și - numere complexe, în care -1 este partea reală, 2 sau în al doilea caz -2 este partea imaginară. Partea imaginară este, de asemenea, un număr real (real). Partea imaginară înmulțită cu unitatea imaginară înseamnă deja număr imaginar.

În general, un număr complex are forma

z = X + iy ,

Unde X y sunt numere reale, este o unitate imaginară. Într-un număr de științe aplicate, de exemplu, în inginerie electrică, electronică, teoria semnalului, unitatea imaginară este notată cu j. Numere reale x = Re(z)și y=Sunt(z) numit părți reale și imaginare numere z. Expresia se numește forma algebrică notarea unui număr complex.

Orice număr real este un caz special al unui număr complex în formă . Un număr imaginar este, de asemenea, un caz special al unui număr complex. .

Definiția mulțimii numerelor complexe C

Această expresie se citește după cum urmează: set Cu, constând din elemente astfel încât Xși y aparțin mulțimii numerelor reale Rși este unitatea imaginară. Rețineți că etc.

Două numere complexe și sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. și .

Numerele și funcțiile complexe sunt utilizate pe scară largă în știință și tehnologie, în special în mecanică, analiza și calculul circuitelor de curent alternativ, electronică analogică, teoria și procesarea semnalelor, teoria controlului automat și alte științe aplicate.

1. Aritmetica numerelor complexe

Adunarea a două numere complexe constă în adăugarea părților lor reale și imaginare, adică.

În consecință, diferența a două numere complexe

Număr complex numit complex conjuga număr z=x +i.y.

Numerele complexe conjugate z și z * diferă în semnele părții imaginare. Este evident că

.

Orice egalitate între expresii complexe rămâne valabilă dacă în această egalitate peste tot i inlocuit de - i, adică mergi la egalitatea numerelor conjugate. Numerele iși – i sunt algebric indistinguibile deoarece .

Produsul (înmulțirea) a două numere complexe poate fi calculat după cum urmează:

Împărțirea a două numere complexe:

Exemplu:

1. Plan complex

Un număr complex poate fi reprezentat grafic într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Să setăm un sistem de coordonate dreptunghiular în plan (X y).

pe osie Bou vom aranja piesele reale X, se numeste axa reală (reala)., pe axă Oi– părți imaginare y numere complexe. Ea poartă numele axa imaginară. În plus, fiecărui număr complex îi corespunde un anumit punct al planului și se numește un astfel de plan plan complex. punct DAR planul complex va corespunde vectorului OA.

Număr X numit abscisă număr complex, număr y – ordonată.

O pereche de numere conjugate complexe este afișată ca puncte situate simetric față de axa reală.

Dacă în avionul setat sistem de coordonate polare, apoi fiecare număr complex z determinat de coordonatele polare. în care modul numere este raza polară a punctului și unghiul - unghiul său polar sau argumentul numărului complex z.

Modulul numărului complex întotdeauna nenegativ. Argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic. Valoarea principală a argumentului trebuie să satisfacă condiția . Fiecare punct al planului complex corespunde, de asemenea, valorii totale a argumentului. Argumentele care diferă cu un multiplu de 2π sunt considerate egale. Argumentul număr zero nu este definit.

Valoarea principală a argumentului este determinată de expresiile:

Este evident că

în care
, .

Reprezentarea numerelor complexe z la fel de

numit formă trigonometrică număr complex.

Exemplu.

1. Forma exponențială a numerelor complexe

Descompunerea în Seria Maclaurin pentru funcții argument reale se pare ca:

Pentru funcţia exponenţială a unui argument complex z descompunerea este similară

.

Expansiunea seriei Maclaurin pentru funcția exponențială a argumentului imaginar poate fi reprezentată ca

Identitatea rezultată este numită Formula lui Euler.

Pentru un argument negativ, se pare că

Combinând aceste expresii, putem defini următoarele expresii pentru sinus și cosinus

.

Folosind formula Euler, din forma trigonometrică a reprezentării numerelor complexe

poti sa o obtii demonstrativ(exponențială, polară) formă a unui număr complex, adică reprezentarea ei în formă

,

Unde - coordonatele polare ale unui punct cu coordonate dreptunghiulare ( X,y).

Conjugatul unui număr complex se scrie în formă exponențială după cum urmează.

Pentru forma exponențială, este ușor să definiți următoarele formule pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe

Adică, în formă exponențială, produsul și împărțirea numerelor complexe este mai ușor decât în ​​formă algebrică. La înmulțire, modulele factorilor sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate. Această regulă se aplică oricărui număr de factori. În special, la înmulțirea unui număr complex z pe i vector z se rotește în sens invers acelor de ceasornic cu 90

La împărțire, modulul numărătorului este împărțit la modulul numitorului, iar argumentul numitorului este scăzut din argumentul numărătorului.

Folosind forma exponențială a numerelor complexe, se pot obține expresii pentru identitățile trigonometrice binecunoscute. De exemplu, din identitate

folosind formula lui Euler, putem scrie

Echivalând părțile reale și imaginare din această expresie, obținem expresii pentru cosinusul și sinusul sumei unghiurilor

1. Puterile, rădăcinile și logaritmii numerelor complexe

Ridicarea unui număr complex la o putere naturală n produs conform formulei

Exemplu. Calcula .

Imaginați-vă un număr în formă trigonometrică

’

Aplicând formula de exponențiere, obținem

Punerea valorii în expresie r= 1, obținem așa-numitul formula lui De Moivre, cu care puteți determina expresiile pentru sinusurile și cosinusurile unghiurilor multiple.

Rădăcină n puterea a unui număr complex z Are n diferite valori determinate de expresie

Exemplu. Sa gasim .

Pentru a face acest lucru, exprimăm numărul complex () în forma trigonometrică

.

Conform formulei de calcul a rădăcinii unui număr complex, obținem

Logaritmul unui număr complex z este un număr w, pentru care . Logaritmul natural al unui număr complex are un număr infinit de valori și se calculează prin formula

Constă din părți reale (cosinus) și imaginare (sinus). O astfel de solicitare poate fi reprezentată ca un vector de lungime Hm, fază inițială (unghi), care se rotește cu viteza unghiulară ω .

Mai mult, dacă se adaugă funcții complexe, atunci se adaugă părțile lor reale și imaginare. Dacă o funcție complexă este înmulțită cu o constantă sau cu o funcție reală, atunci părțile ei reale și imaginare sunt înmulțite cu același factor. Diferențierea/integrarea unei astfel de funcții complexe se reduce la diferențierea/integrarea părților reale și imaginare.

De exemplu, diferențierea expresiei stresului complex

este să o înmulțim cu iω este partea reală a funcției f(z), și este partea imaginară a funcției. Exemple: .

Sens z este reprezentată de un punct în planul complex z și valoarea corespunzătoare w- un punct din planul complex w. Când este afișat w = f(z) liniile plane z trece în liniile avionului w, figurile unui plan în figurile altuia, dar formele liniilor sau figurilor se pot schimba semnificativ.