La estimând probabilitatea apariției oricărui eveniment aleatoriu, este foarte important să avem o idee bună în prealabil dacă probabilitatea () de apariție a evenimentului care ne interesează depinde de modul în care se dezvoltă alte evenimente.

În cazul schemei clasice, când toate rezultatele sunt la fel de probabile, putem deja estima singuri valorile probabilității evenimentului individual care ne interesează. Putem face acest lucru chiar dacă evenimentul este o colecție complexă de mai multe rezultate elementare. Și dacă mai multe evenimente întâmplătoare apar simultan sau secvenţial? Cum afectează acest lucru probabilitatea evenimentului care ne interesează?

Dacă arunc un zar de câteva ori și vreau să obțin un șase și sunt mereu ghinionist, înseamnă că ar trebui să-mi măresc pariul pentru că, conform teoriei probabilităților, sunt pe cale să am noroc? Din păcate, teoria probabilității nu spune nimic de acest fel. Fără zaruri, fără cărți, fără monede nu-mi amintesc ce ne-au arătat data trecută. Nu contează deloc pentru ei dacă pentru prima oară sau pentru a zecea oară astăzi îmi testez soarta. De fiecare dată când arunc din nou, știu un singur lucru: și de data aceasta probabilitatea de a da din nou un „șase” este de o șesime. Desigur, asta nu înseamnă că numărul de care am nevoie nu va cădea niciodată. Înseamnă doar că pierderea mea după prima aruncare și după orice altă aruncare sunt evenimente independente.

Evenimentele A și B sunt numite independent, dacă implementarea unuia dintre ele nu afectează în niciun fel probabilitatea celuilalt eveniment. De exemplu, probabilitățile de a lovi o țintă cu prima dintre cele două tunuri nu depind de dacă cealaltă armă a lovit ținta, astfel încât evenimentele „prima armă a lovit ținta” și „a doua armă a lovit ținta” sunt independente.

Dacă două evenimente A și B sunt independente și probabilitatea fiecăruia dintre ele este cunoscută, atunci probabilitatea apariției simultane atât a evenimentului A, cât și a evenimentului B (notat cu AB) poate fi calculată folosind următoarea teoremă.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente

P(AB) = P(A)*P(B)- probabilitate simultan Două independent evenimentele este muncă probabilitățile acestor evenimente.

Exemplu.Probabilitățile de lovire a țintei la tragerea cu primul și respectiv al doilea tun sunt egale: p 1 =0,7; p2 = 0,8. Găsiți probabilitatea de a lovi cu o salvă de ambele arme simultan.

Decizie: După cum am văzut deja, evenimentele A (lovită de prima armă) și B (lovită de a doua armă) sunt independente, adică. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Ce se întâmplă cu estimările noastre dacă evenimentele inițiale nu sunt independente? Să schimbăm puțin exemplul anterior.

Exemplu.Doi trăgători dintr-o competiție trag în ținte, iar dacă unul dintre ei trage cu precizie, atunci adversarul începe să devină nervos, iar rezultatele sale se înrăutățesc. Cum să transformi această situație de zi cu zi într-o problemă matematică și să schițezi modalități de a o rezolva? Este intuitiv clar că este necesar să separăm cumva cele două scenarii, să compunem, de fapt, două scenarii, două sarcini diferite. În primul caz, dacă adversarul ratează, scenariul va fi favorabil sportivului nervos și precizia acestuia va fi mai mare. În al doilea caz, dacă adversarul și-a realizat decent șansa, probabilitatea de a lovi ținta pentru al doilea sportiv este redusă.

Pentru a separa posibilele scenarii (deseori sunt numite ipoteze) de desfășurare a evenimentelor, vom folosi adesea schema „arborele probabilității”. Această diagramă este similară ca semnificație cu arborele de decizie, cu care probabil ați avut deja de a face. Fiecare ramură este un scenariu separat, doar că acum are propriul său sens al așa-numitului condiţional probabilități (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Această schemă este foarte convenabilă pentru analiza evenimentelor aleatoare succesive.

Rămâne să clarificăm încă o întrebare importantă: unde sunt valorile inițiale ale probabilităților situatii reale ? La urma urmei, teoria probabilității nu funcționează cu aceleași monede și zaruri, nu-i așa? De obicei, aceste estimări sunt luate din statistici, iar când statisticile nu sunt disponibile, ne desfășurăm propriile cercetări. Și adesea trebuie să începem nu cu colectarea de date, ci cu întrebarea de ce informații avem nevoie în general.

Exemplu.Într-un oraș cu 100.000 de locuitori, să presupunem că trebuie să estimăm dimensiunea pieței pentru un nou produs neesențial, cum ar fi un balsam de păr vopsit. Să luăm în considerare schema „arborele probabilităților”. În acest caz, trebuie să estimăm aproximativ valoarea probabilității pe fiecare „ramură”. Deci, estimările noastre privind capacitatea pieței:

1) 50% din toți locuitorii orașului sunt femei,

2) dintre toate femeile, doar 30% își vopsesc părul des,

3) dintre aceștia, doar 10% folosesc balsamuri pentru părul vopsit,

4) dintre aceștia, doar 10% își pot face curajul să încerce un produs nou,

5) 70% dintre ei cumpără de obicei totul nu de la noi, ci de la concurenții noștri.

Decizie: Conform legii înmulțirii probabilităților, determinăm probabilitatea evenimentului care ne interesează A = (un locuitor al orașului cumpără de la noi acest nou balsam) = 0,00045.

Înmulțiți această valoare a probabilității cu numărul de locuitori ai orașului. Drept urmare, avem doar 45 de potențiali cumpărători și, având în vedere că un flacon din acest produs este suficient pentru câteva luni, comerțul nu este foarte animat.

Cu toate acestea, există beneficii din evaluările noastre.

În primul rând, putem compara previziunile diferitelor idei de afaceri, acestea vor avea diferite „furci” pe diagrame și, desigur, valorile probabilității vor fi, de asemenea, diferite.

În al doilea rând, așa cum am spus deja, o variabilă aleatoare nu se numește aleatoare deoarece nu depinde deloc de nimic. Doar ea corect valoarea nu este cunoscută dinainte. Știm că numărul mediu de cumpărători poate fi crescut (de exemplu, prin promovarea unui produs nou). Așa că are sens să ne concentrăm asupra acelor „furci” în care distribuția probabilităților nu ni se potrivește în mod deosebit, asupra acelor factori pe care suntem capabili să-i influențăm.

Luați în considerare un alt exemplu cantitativ de cercetare a comportamentului consumatorilor.

Exemplu.În medie, 10.000 de oameni vizitează piața alimentară pe zi. Probabilitatea ca un vizitator al pieței să intre într-un pavilion de produse lactate este de 1/2. Se știe că în acest pavilion se vând în medie 500 kg de diverse produse pe zi.

Se poate argumenta că achiziția medie în pavilion cântărește doar 100 g?

Discuţie. Desigur că nu. Este clar că nu toți cei care au intrat în pavilion au ajuns să cumpere ceva de acolo.

După cum se arată în diagramă, pentru a răspunde la întrebarea despre greutatea medie de achiziție, trebuie să găsim răspunsul la întrebarea care este probabilitatea ca o persoană care intră în foișor să cumpere ceva acolo. Dacă nu avem la dispoziție astfel de date, dar avem nevoie de ele, va trebui să le obținem singuri, după ce vom observa de ceva vreme vizitatorii pavilionului. Să presupunem că observațiile noastre arată că doar o cincime dintre vizitatorii pavilionului cumpără ceva.

Imediat ce aceste estimări sunt obținute de noi, sarcina devine deja simplă. Din cei 10.000 de oameni care au venit pe piață, 5.000 vor merge la pavilionul de produse lactate, vor fi doar 1.000 de achiziții.Greutatea medie de achiziție este de 500 de grame. Este interesant de observat că, pentru a construi o imagine completă a ceea ce se întâmplă, logica „ramificării” condiționate trebuie definită în fiecare etapă a raționamentului nostru la fel de clar ca și cum am lucra cu o situație „concretă”, și nu cu probabilităţi.

Sarcini pentru autotest

1. Să existe un circuit electric format din n elemente conectate în serie, fiecare dintre ele funcționând independent de celelalte.

Este cunoscută probabilitatea p de nedefecțiune a fiecărui element. Determinați probabilitatea de funcționare corectă a întregii secțiuni a circuitului (eveniment A).

2. Elevul cunoaște 20 din cele 25 de întrebări de examen. Găsiți probabilitatea ca elevul să cunoască cele trei întrebări care i-au fost adresate de examinator.

3. Producția constă din patru etape succesive, fiecare dintre ele operează echipamente pentru care probabilitățile de defecțiune în luna următoare sunt, respectiv, p 1 , p 2 , p 3 și p 4 . Găsiți probabilitatea ca într-o lună să nu se întrerupă producția din cauza defecțiunii echipamentului.

Necesitatea operațiunilor pe probabilități apare atunci când probabilitățile unor evenimente sunt cunoscute și este necesar să se calculeze probabilitățile altor evenimente care sunt asociate cu aceste evenimente.

Adunarea probabilității este utilizată atunci când este necesar să se calculeze probabilitatea unei combinații sau a unei sume logice de evenimente aleatoare.

Suma evenimentelor Ași B desemna A + B sau A ∪ B. Suma a două evenimente este un eveniment care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre evenimente. Înseamnă că A + B- un eveniment care are loc dacă și numai dacă un eveniment are loc în timpul observării A sau eveniment B, sau în același timp Ași B.

Dacă evenimentele Ași B sunt reciproc inconsecvente și probabilitățile lor sunt date, probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să se producă ca urmare a unei încercări este calculată utilizând adunarea probabilităților.

Teorema adunării probabilităților. Probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente incompatibile reciproc să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

De exemplu, s-au tras două focuri de armă în timpul vânătorii. Eveniment DAR– lovirea unei rațe de la prima lovitură, eveniment LA– lovitură din a doua lovitură, eveniment ( DAR+ LA) - lovitura din prima sau a doua lovitura sau din doua lovituri. Deci dacă două evenimente DARși LA sunt evenimente incompatibile, deci DAR+ LA- apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente sau a două evenimente.

Exemplul 1 O cutie conține 30 de bile de aceeași dimensiune: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Calculați probabilitatea ca o minge colorată (nu albă) să fie luată fără să se uite.

Decizie. Să presupunem că evenimentul DAR– „s-a luat mingea roșie”, și evenimentul LA- „Mingea albastră este luată”. Apoi evenimentul este „se ia o minge colorată (nu albă)”. Găsiți probabilitatea unui eveniment DAR:

si evenimente LA:

Evenimente DARși LA- incompatibile reciproc, deoarece dacă se ia o minge, atunci nu pot fi luate bile de culori diferite. Prin urmare, folosim adunarea probabilităților:

Teorema adunării probabilităților pentru mai multe evenimente incompatibile. Dacă evenimentele alcătuiesc setul complet de evenimente, atunci suma probabilităților lor este egală cu 1:

Suma probabilităților de evenimente opuse este, de asemenea, egală cu 1:

Evenimentele opuse formează un set complet de evenimente, iar probabilitatea unui set complet de evenimente este 1.

Probabilitățile de evenimente opuse sunt de obicei notate cu litere mici. pși q. În special,

din care rezultă următoarele formule pentru probabilitatea evenimentelor opuse:

Exemplul 2Ținta din liniuță este împărțită în 3 zone. Probabilitatea ca un anumit trăgător să tragă la o țintă din prima zonă este de 0,15, în a doua zonă - 0,23, în a treia zonă - 0,17. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta și probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta.

Soluție: Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta:

Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta:

Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .

Adăugarea probabilităților de evenimente comune

Se spune că două evenimente aleatoare sunt comune dacă apariția unui eveniment nu exclude apariția unui al doilea eveniment în aceeași observație. De exemplu, la aruncarea unui zar, evenimentul DAR este considerat a fi apariția numărului 4 și evenimentul LA- eliminarea unui număr par. Deoarece numărul 4 este un număr par, cele două evenimente sunt compatibile. În practică, există sarcini pentru calcularea probabilităților de apariție a unuia dintre evenimentele comune.

Teorema adunării probabilităților pentru evenimente comune. Probabilitatea ca unul dintre evenimentele comune să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, din care se scade probabilitatea apariției comune a ambelor evenimente, adică produsul probabilităților. Formula pentru probabilitățile evenimentelor comune este următoarea:

Pentru că evenimentele DARși LA compatibil, eveniment DAR+ LA are loc dacă are loc unul dintre cele trei evenimente posibile: sau AB. Conform teoremei adunării evenimentelor incompatibile, calculăm după cum urmează:

Eveniment DAR apare dacă are loc unul dintre cele două evenimente incompatibile: sau AB. Cu toate acestea, probabilitatea de apariție a unui eveniment din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților tuturor acestor evenimente:

În mod similar:

Înlocuind expresiile (6) și (7) în expresia (5), obținem formula probabilității pentru evenimente comune:

Atunci când se utilizează formula (8), trebuie luat în considerare faptul că evenimentele DARși LA poate fi:

• independent reciproc;
• dependente reciproc.

Formula probabilității pentru evenimente independente reciproc:

Formula probabilității pentru evenimente dependente reciproc:

Dacă evenimentele DARși LA sunt inconsecvente, atunci coincidența lor este un caz imposibil și, astfel, P(AB) = 0. A patra formulă de probabilitate pentru evenimente incompatibile este următoarea:

Exemplul 3În cursele auto, atunci când conduceți cu prima mașină, probabilitatea de a câștiga, când conduceți cu a doua mașină. A găsi:

• probabilitatea ca ambele mașini să câștige;
• probabilitatea ca cel puțin o mașină să câștige;

1) Probabilitatea ca prima mașină să câștige nu depinde de rezultatul celei de-a doua mașini, deci evenimentele DAR(prima mașină câștigă) și LA(a doua mașină câștigă) - evenimente independente. Găsiți probabilitatea ca ambele mașini să câștige:

2) Găsiți probabilitatea ca una dintre cele două mașini să câștige:

Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .

Rezolvați singur problema adunării probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4 Se aruncă două monede. Eveniment A- pierderea stemei de pe prima monedă. Eveniment B- pierderea stemei de pe a doua monedă. Găsiți probabilitatea unui eveniment C = A + B .

Înmulțirea probabilității

Înmulțirea probabilităților este utilizată atunci când se calculează probabilitatea unui produs logic al evenimentelor.

În acest caz, evenimentele aleatoare trebuie să fie independente. Se spune că două evenimente sunt independente reciproc dacă apariția unui eveniment nu afectează probabilitatea apariției celui de-al doilea eveniment.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente. Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente DARși LA este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente și se calculează prin formula:

Exemplul 5 Moneda este aruncată de trei ori la rând. Găsiți probabilitatea ca stema să cadă de trei ori.

Decizie. Probabilitatea ca stema să cadă la prima aruncare a unei monede, a doua oară și a treia oară. Găsiți probabilitatea ca stema să cadă de trei ori:

Rezolvați singur problemele de înmulțire a probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 6 Există o cutie cu nouă mingi de tenis noi. Se iau trei mingi pentru joc, după care se pun înapoi. Atunci când aleg mingi, acestea nu fac distincție între mingile jucate și cele nejucate. Care este probabilitatea ca după trei jocuri să nu mai fie mingi nejucate în careu?

Exemplul 7 32 de litere ale alfabetului rus sunt scrise pe carduri cu alfabet tăiat. Cinci cărți sunt extrase la întâmplare, una după alta, și așezate pe masă în ordinea în care apar. Găsiți probabilitatea ca literele să formeze cuvântul „sfârșit”.

Exemplul 8 Dintr-un pachet complet de cărți (52 de coli), patru cărți sunt scoase simultan. Găsiți probabilitatea ca toate cele patru cărți să fie de aceeași culoare.

Exemplul 9 Aceeași problemă ca în exemplul 8, dar fiecare carte este returnată în pachet după ce a fost extrasă.

Sarcini mai complexe, în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, precum și calcularea produsului mai multor evenimente, pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .

Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele reciproc independente să se producă poate fi calculată scăzând produsul probabilităților de evenimente opuse din 1, adică prin formula:

Exemplul 10 Mărfurile sunt livrate prin trei moduri de transport: fluvial, feroviar și rutier. Probabilitatea ca marfa să fie livrată prin transport fluvial este de 0,82, pe calea ferată 0,87, pe drum de 0,90. Găsiți probabilitatea ca mărfurile să fie livrate de cel puțin unul dintre cele trei moduri de transport.

Cititorul a observat deja în prezentarea noastră folosirea frecventă a conceptului de „probabilitate”.

Aceasta este o trăsătură caracteristică a logicii moderne, spre deosebire de logica antică și medievală. Logicianul modern înțelege că toate cunoștințele noastre sunt doar mai mult sau mai puțin probabiliste și nu sigure, așa cum sunt obișnuiți să gândească filozofii și teologii. El nu este prea îngrijorat de faptul că inferența inductivă oferă doar probabilitate concluziei sale, deoarece nu se așteaptă la nimic mai mult. Cu toate acestea, va ezita dacă va găsi motive să se îndoiască chiar și de probabilitatea concluziei sale.

Astfel, două probleme au devenit mult mai importante în logica modernă decât în ​​vremurile trecute. În primul rând, este natura probabilității și, în al doilea rând, semnificația inducției. Să discutăm pe scurt aceste probleme.

Există, respectiv, două tipuri de probabilitate - definită și nedefinită.

Probabilitatea de un anumit fel apare în teoria matematică a probabilității, unde se discută probleme precum aruncarea zarurilor sau aruncarea monedelor. Are loc oriunde există mai multe posibilități, iar niciuna nu poate fi preferată alteia. Dacă aruncați o monedă, aceasta trebuie să cadă fie capete, fie cozi, dar ambele par la fel de probabile. Prin urmare, șansele de cap și coadă sunt de 50%, unul este luat drept fiabilitate. În mod similar, dacă aruncați un zar, acesta poate cădea pe oricare dintre cele șase fețe și nu există niciun motiv să preferați una dintre ele, așa că șansa fiecăreia este de 1/6. Campaniile de asigurare folosesc acest tip de probabilitate în munca lor. Ei nu știu ce clădire va arde, dar știu ce procent din clădiri arde în fiecare an. Ei nu știu cât va trăi o anumită persoană, dar știu speranța medie de viață într-o anumită perioadă. În toate astfel de cazuri, estimarea probabilității nu este ea însăși pur și simplu probabilă, decât în ​​sensul că toată cunoașterea este doar probabilă. Estimarea probabilității în sine poate avea un grad ridicat de probabilitate. Altfel, companiile de asigurări ar fi dat faliment.

S-au făcut eforturi mari pentru a crește probabilitatea de inducție, dar există motive să credem că toate aceste încercări au fost în zadar. Caracteristica de probabilitate a inferențelor inductive este aproape întotdeauna, așa cum am spus mai sus, nedeterminată.

Acum voi explica despre ce este vorba.

A devenit banal să afirmăm că toată cunoașterea umană este greșită. Este evident că erorile sunt diferite. Dacă spun asta Buddha trăit în secolul al VI-lea înainte de nașterea lui Hristos, probabilitatea de eroare va fi foarte mare. Dacă spun asta Cezar a fost ucis, probabilitatea de eroare va fi mică.

Dacă spun că acum are loc un mare război, atunci probabilitatea de eroare este atât de mică încât doar un filosof sau un logician poate admite existența lui. Aceste exemple se referă la evenimente istorice, dar există o gradare similară în ceea ce privește legile științifice. Unele dintre ele au caracterul explicit al ipotezelor, cărora nimeni nu le va acorda un statut mai serios, având în vedere lipsa datelor empirice în favoarea lor, în timp ce altele par atât de sigure încât practic nu există nicio îndoială din partea oamenilor de știință cu privire la lor. adevăr. (Când spun „adevăr,” mă refer la „adevăr aproximativ,” deoarece fiecare lege științifică este supusă unor modificări.)

Probabilitatea este ceva între ceea ce suntem siguri și ceea ce suntem mai mult sau mai puțin înclinați să admitem, dacă acest cuvânt este înțeles în sensul teoriei matematice a probabilității.

Ar fi mai corect să vorbim despre grade de certitudine sau grade de fiabilitate . Este un concept mai larg despre ceea ce am numit „o anumită probabilitate”, care este, de asemenea, mai important.”

Bertrand Russell, Arta de a desena concluzii / Arta de a gândi, M., House of Intellectual Books, 1999, p. 50-51.

• Probabilitate - gradul (măsură relativă, evaluare cantitativă) al posibilității apariției unui eveniment. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - improbabil sau improbabil. Preponderența motivelor pozitive față de cele negative și invers, poate fi în grade diferite, drept urmare probabilitatea (și improbabilitatea) este mai mare sau mai mică. Prin urmare, probabilitatea este adesea evaluată la nivel calitativ, mai ales în cazurile în care o evaluare cantitativă mai mult sau mai puțin precisă este imposibilă sau extrem de dificilă. Sunt posibile diferite gradații de „niveluri” de probabilitate.

  Studiul probabilității din punct de vedere matematic este o disciplină specială - teoria probabilității. În teoria probabilității și statistica matematică, conceptul de probabilitate este formalizat ca o caracteristică numerică a unui eveniment - o măsură a probabilității (sau valoarea acesteia) - o măsură a unui set de evenimente (subseturi ale unui set de evenimente elementare), luând valori de la

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Sens

  (\displaystyle 1)

  Corespunde unui eveniment valid. Un eveniment imposibil are o probabilitate de 0 (reversul, în general, nu este întotdeauna adevărat). Dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă este

  (\displaystyle p)

  Atunci probabilitatea neapariției sale este egală cu

  (\displaystyle 1-p)

  În special, probabilitatea

  (\displaystyle 1/2)

  Înseamnă probabilitate egală de apariție și neapariție a evenimentului.

  Definiția clasică a probabilității se bazează pe conceptul de equiprobabilitate a rezultatelor. Probabilitatea este raportul dintre numărul de rezultate care favorizează un anumit eveniment și numărul total de rezultate la fel de probabile. De exemplu, probabilitatea de a obține „capete” sau „cozi” la o aruncare aleatorie de monede este de 1/2, dacă se presupune că apar doar aceste două posibilități și sunt la fel de probabile. Această „definiție” clasică a probabilității poate fi generalizată la cazul unui număr infinit de valori posibile - de exemplu, dacă un eveniment poate avea loc cu probabilitate egală în orice punct (numărul de puncte este infinit) al unei arii limitate a ​​​spațiu (plan), atunci probabilitatea ca aceasta să apară într-o anumită parte a acestei zone permise este egală cu raportul dintre volumul (aria) acestei părți și volumul (aria) ariei tuturor punctelor posibile .

  „Definiția” empirică a probabilității este legată de frecvența apariției unui eveniment, pe baza faptului că, cu un număr suficient de mare de încercări, frecvența ar trebui să tindă spre gradul obiectiv de posibilitate a acestui eveniment. În prezentarea modernă a teoriei probabilității, probabilitatea este definită axiomatic, ca un caz particular al teoriei abstracte a măsurii unei mulțimi. Totuși, legătura dintre măsura abstractă și probabilitate, care exprimă gradul de posibilitate al unui eveniment, este tocmai frecvența observării acestuia.

  Descrierea probabilistică a anumitor fenomene a devenit larg răspândită în știința modernă, în special în econometrie, fizica statistică a sistemelor macroscopice (termodinamice), unde chiar și în cazul unei descrieri deterministe clasice a mișcării particulelor, o descriere deterministă a întregului sistem. de particule nu este practic posibil și adecvat. În fizica cuantică, procesele descrise în sine sunt de natură probabilistică.

Acesta este raportul dintre numărul de observații în care a avut loc evenimentul în cauză și numărul total de observații. O astfel de interpretare este admisibilă în cazul unui număr suficient de mare de observații sau experimente. De exemplu, dacă aproximativ jumătate dintre oamenii pe care îi întâlniți pe stradă sunt femei, atunci puteți spune că probabilitatea ca persoana pe care o întâlniți pe stradă să fie femeie este de 1/2. Cu alte cuvinte, frecvența apariției sale într-o serie lungă de repetări independente ale unui experiment aleatoriu poate servi ca o estimare a probabilității unui eveniment.

Probabilitatea în matematică

În abordarea matematică modernă, probabilitatea clasică (adică nu cuantică) este dată de axiomatica lui Kolmogorov. Probabilitatea este o măsură P, care este setat pe platou X, numit spațiu de probabilitate. Această măsură trebuie să aibă următoarele proprietăți:

Din aceste condiții rezultă că probabilitatea măsoară P are si proprietatea aditivitatea: dacă se setează A 1 și A 2 nu se intersectează, atunci . Pentru a dovedi, trebuie să puneți totul A 3 , A 4 , … egal cu mulțimea goală și aplică proprietatea aditivității numărabile.

Este posibil ca măsura probabilității să nu fie definită pentru toate subseturile setului X. Este suficient să-l definiți pe sigma-algebra constând din unele submulțimi ale mulțimii X. În acest caz, evenimentele aleatoare sunt definite ca subseturi măsurabile ale spațiului X, adică ca elemente ale algebrei sigma.

Simțul probabilității

Când constatăm că motivele pentru care un fapt posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, luăm în considerare acest fapt probabil, in caz contrar - incredibil. Această predominanță a bazelor pozitive față de cele negative, și invers, poate reprezenta un set nedefinit de grade, drept urmare probabilitate(și improbabilitate) s-a întâmplat Mai mult sau Mai puțin .

Faptele unice complicate nu permit un calcul exact al gradelor lor de probabilitate, dar chiar și aici este important să se stabilească niște subdiviziuni mari. Deci, de exemplu, în domeniul dreptului, atunci când un fapt personal supus judecății este stabilit pe baza mărturiei martorilor, acesta rămâne întotdeauna, strict vorbind, doar probabil, și este necesar să se cunoască cât de semnificativă este această probabilitate; în dreptul roman, aici era acceptată o diviziune cvadruplă: probatio plena(unde probabilitatea se transformă practic în autenticitate), Mai departe - probatio minus plena, apoi - probatio semiplena majorși, în sfârșit probatio semiplena minor .

Pe lângă problema probabilității cazului, poate apărea, atât în ​​domeniul dreptului, cât și în cel al moralității (cu un anumit punct de vedere etic), întrebarea cât de probabil este ca un anumit fapt constituie o încălcare a legii generale. Această întrebare, care servește drept motiv principal în jurisprudența religioasă a Talmudului, a dat naștere în teologia morală romano-catolică (mai ales de la sfârșitul secolului al XVI-lea) unor construcții sistematice foarte complexe și a unei literaturi enormă, dogmatică și polemică (vezi Probabilism). ).

Conceptul de probabilitate admite o expresie numerică definită în aplicarea sa numai la astfel de fapte care fac parte din anumite serii omogene. Deci (în cel mai simplu exemplu), când cineva aruncă o monedă de o sută de ori la rând, găsim aici o serie generală sau mare (suma tuturor căderilor unei monede), care este compusă din două private sau mai mici, în acest caz egal numeric, serie (cade "vultur" și căde "cozi"); Probabilitatea ca de data aceasta moneda să cadă cozi, adică ca acest nou membru al rândului general să aparțină acestuia dintre cele două rânduri mai mici, este egală cu o fracție care exprimă raportul numeric dintre acest rând mic și cel mai mare, și anume 1/2, adică aceeași probabilitate aparține uneia sau alteia dintre cele două serii private. În exemple mai puțin simple, concluzia nu poate fi trasă direct din datele problemei în sine, ci necesită o inducție prealabilă. Deci, de exemplu, se întreabă: care este probabilitatea ca un nou-născut dat să trăiască până la 80 de ani? Aici trebuie să existe o serie generală sau mare de un număr cunoscut de oameni născuți în condiții similare și care mor la vârste diferite (acest număr trebuie să fie suficient de mare pentru a elimina abaterile aleatorii și suficient de mic pentru a păstra omogenitatea seriei, deoarece pentru o persoană, născută, de exemplu, la Sankt Petersburg, într-o familie culturală înstărită, întreaga populație de milioane de oameni a orașului, din care o parte semnificativă este formată din oameni din diverse grupuri care pot muri prematur - soldați, jurnaliști , lucrători în profesii periculoase - reprezintă un grup prea eterogen pentru o definiție reală a probabilității) ; să fie această serie generală să fie formată din zece mii de vieți umane; include rânduri mai mici reprezentând numărul celor care trăiesc până la una sau alta vârstă; unul dintre aceste rânduri mai mici reprezintă numărul celor care trăiesc până la 80 de ani. Dar este imposibil să se determine dimensiunea acestei serii mai mici (precum și toate celelalte). a priori; aceasta se realizează într-un mod pur inductiv, prin statistică. Să presupunem că studiile statistice au stabilit că din 10.000 de Petersburgi din clasa de mijloc, doar 45 supraviețuiesc până la vârsta de 80 de ani; astfel, acest rând mai mic este legat de cel mai mare ca 45 până la 10.000, iar probabilitatea ca o anumită persoană să aparțină acestui rând mai mic, adică să trăiască până la 80 de ani, este exprimată ca o fracțiune de 0,0045. Studiul probabilității din punct de vedere matematic constituie o disciplină specială, teoria probabilității.

Vezi si

Note

Literatură

• Alfred Renyi. Scrisori despre probabilitate / trad. din Hung. D. Saas şi A. Crumley, ed. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Curs de probabilitate. M., 2007. 42 p.
• Kuptsov V.I. Determinism și probabilitate. M., 1976. 256 p.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Sinonime:

Antonime:

Vedeți ce este „Probabilitatea” în alte dicționare:

General științific și filozofic. o categorie care denotă gradul cantitativ al posibilității de apariție a evenimentelor aleatoare de masă în condiții fixe de observare, care caracterizează stabilitatea frecvențelor relative ale acestora. În logică, gradul semantic ...... Enciclopedie filosofică

PROBABILITATE, un număr în intervalul de la zero la unu, inclusiv, reprezentând posibilitatea ca acest eveniment să se întâmple. Probabilitatea unui eveniment este definită ca raportul dintre numărul de șanse ca un eveniment să se producă și numărul total de posibile ... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

După toate probabilitățile .. Dicționar de sinonime și expresii rusești similare ca înțeles. sub. ed. N. Abramova, M.: Dicționare rusești, 1999. probabilitate, posibilitate, probabilitate, șansă, posibilitate obiectivă, maza, admisibilitate, risc. Furnică. imposibilitate...... Dicţionar de sinonime

probabilitate- O măsură că un eveniment poate avea loc. Notă Definiția matematică a probabilității este „un număr real între 0 și 1 legat de un eveniment aleatoriu”. Numărul poate reflecta frecvența relativă într-o serie de observații ... ... Manualul Traducătorului Tehnic

Probabilitate- „o caracteristică matematică, numerică a gradului de posibilitate de apariție a oricărui eveniment în anumite condiții specifice care poate fi repetat de un număr nelimitat de ori”. Bazat pe acest clasic…… Dicţionar economic şi matematic

- (probabilitate) Posibilitatea apariției unui eveniment sau a unui anumit rezultat. Poate fi reprezentat ca o scară cu diviziuni de la 0 la 1. Dacă probabilitatea unui eveniment este zero, apariția lui este imposibilă. Cu o probabilitate egală cu 1, debutul... Glosar de termeni de afaceri