Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. de exemplu, în expresia numerică \(5 3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5 3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\), se va calcula mai întâi adunarea între paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemplu. Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
Decizie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemplu. Extindeți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decizie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemplu. Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Decizie : Avem \(3\) și \(-x\) în paranteză și cinci în fața parantezei. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \ (5 \) - vă reamintesc că semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză la matematică nu este scris pentru a reduce dimensiunea înregistrărilor.

Exemplu. Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Decizie : Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) dintre paranteze sunt înmulțite cu \(-2\).

Exemplu. Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Decizie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Rămâne de luat în considerare ultima situație.

Atunci când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemplu. Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Decizie : Avem un produs de paranteze și poate fi deschis imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați primul parantez - fiecare dintre membrii săi este înmulțit cu al doilea paranteză:

Pasul 2. Extindeți produsele suportului cu factorul descris mai sus:
- primul primul...

Apoi al doilea.

Pasul 3. Acum înmulțim și aducem termeni similari:

Nu este necesar să pictați toate transformările în detaliu, vă puteți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți să deschideți paranteze - scrieți în detaliu, vor fi mai puține șanse să faceți o greșeală.

Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

paranteză în paranteză

Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: pentru a simplifica expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pentru a avea succes în aceste sarcini, trebuie să:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.

Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să luăm ca exemplu sarcina de mai sus.

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decizie:

Exemplu. Extindeți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Decizie :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Acesta este un triplu cuib de paranteze. Începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața parantezei, așa că este pur și simplu eliminat.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia prin plasarea unor termeni similari în această a doua paranteză.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Există un multiplicator în fața parantezei - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Și deschide ultima paranteză. Înainte de paranteză minus - deci toate semnele sunt inversate.

Deschiderea parantezei este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste trei în clasele a 8-a și a 9-a. Prin urmare, recomand o bună înțelegere a acestui subiect.

Acum vom trece doar la deschiderea parantezelor în expresiile în care expresia dintre paranteze este înmulțită cu un număr sau expresie. Să formulăm regula pentru deschiderea parantezelor precedate de semnul minus: parantezele împreună cu semnul minus sunt omise, iar semnele tuturor termenilor din paranteze sunt înlocuite cu altele opuse.

Un tip de transformare a expresiei este extinderea parantezelor. Expresiile numerice, literale și variabile sunt compuse folosind paranteze, care pot indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile, conțin un număr negativ etc. Să presupunem că în expresiile descrise mai sus, în loc de numere și variabile, pot exista orice expresii.

Și să acordăm atenție încă un punct referitor la particularitățile scrierii soluției la deschiderea parantezelor. În paragraful anterior, ne-am ocupat de ceea ce se numește extinderea parantezei. Pentru a face acest lucru, există reguli pentru deschiderea parantezelor, pe care acum le revizuim. Această regulă este dictată de faptul că se obișnuiește să scrieți numere pozitive fără paranteze, parantezele în acest caz nu sunt necesare. Expresia (−3,7)−(−2)+4+(−9) poate fi scrisă fără paranteze ca −3,7+2+4−9.

În cele din urmă, a treia parte a regulii se datorează pur și simplu particularităților scrierii numerelor negative în stânga în expresie (pe care am menționat-o în secțiunea paranteze pentru scrierea numerelor negative). Este posibil să întâlniți expresii formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Dacă extindeți parantezele, trecând de la interior la exterior, atunci soluția va fi: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Cum se deschide paranteze?

Iată o explicație: −(−2 x) este +2 x și, deoarece această expresie vine mai întâi, atunci +2 x poate fi scris ca 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x și −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prima parte a regulii scrise pentru deschiderea parantezelor decurge direct din regula pentru înmulțirea numerelor negative. A doua parte a acesteia este o consecință a regulii de înmulțire a numerelor cu semne diferite. Să trecem la exemple de extindere paranteze în produse și câte a două numere cu semne diferite.

Deschiderea parantezei: reguli, exemple, soluții.

Regula de mai sus ia în considerare întregul lanț al acestor acțiuni și accelerează semnificativ procesul de deschidere a parantezelor. Aceeași regulă vă permite să deschideți paranteze în expresii care sunt produse și expresii private cu semnul minus care nu sunt sume și diferențe.

Luați în considerare exemple de aplicare a acestei reguli. Dăm regula corespunzătoare. Mai sus, am întâlnit deja expresii de forma −(a) și −(−a), care fără paranteze sunt scrise ca −a și, respectiv, a. De exemplu, −(3)=3 și. Acestea sunt cazuri speciale ale regulii enunțate. Acum luați în considerare exemple de paranteze de deschidere când sume sau diferențe sunt incluse în ele. Vom arăta exemple de utilizare a acestei reguli. Notăm expresia (b1+b2) ca b, după care folosim regula de înmulțire a parantezei cu expresia din paragraful anterior, avem (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Prin inducție, această afirmație poate fi extinsă la un număr arbitrar de termeni din fiecare paranteză. Rămâne să deschidem parantezele în expresia rezultată, folosind regulile din paragrafele anterioare, ca rezultat, obținem 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Regula la matematică este deschiderea parantezelor dacă există (+) și (-) în fața parantezelor, o regulă foarte necesară

Această expresie este produsul a trei factori (2+4), 3 și (5+7 8). Parantezele trebuie deschise secvenţial. Acum folosim regula pentru înmulțirea unei paranteze cu un număr, avem ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Gradele, ale căror baze sunt câteva expresii scrise între paranteze, cu exponenți naturali pot fi considerate ca un produs al mai multor paranteze.

De exemplu, să transformăm expresia (a+b+c)2. În primul rând, îl scriem ca produs a două paranteze (a + b + c) (a + b + c), acum înmulțim paranteza cu paranteză, obținem a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a+c b+c c.

Mai spunem că pentru a ridica sumele și diferențele a două numere la o putere naturală, este indicat să folosiți formula binomială Newton. De exemplu, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nu este mai puțin convenabil să înlocuiți în mod preliminar diviziunea cu înmulțirea și apoi să utilizați regula corespunzătoare pentru deschiderea parantezelor în produs.

Rămâne să ne dăm seama de ordinea deschiderii parantezelor folosind exemple. Luați expresia (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Înlocuiți aceste rezultate în expresia originală: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Rămâne doar să finalizam deschiderea parantezelor, ca rezultat avem −5+3 2:4+6 7. Aceasta înseamnă că la trecerea din partea stângă a egalității în partea dreaptă, parantezele au fost deschise.

Rețineți că în toate cele trei exemple, pur și simplu am eliminat parantezele. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune mentală poate fi efectuată, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că ordinea schimbată a operațiilor va simplifica foarte mult calculele.

Cum să deschideți parantezele într-un grad diferit

Exemplu și regulă ilustrative. Luați în considerare un exemplu: . Puteți găsi valoarea expresiei adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze. Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor. Pentru a deschide parantezele, în acest caz, trebuie să reamintim proprietatea distributivă.

Numerele simple între paranteze

Greșeala ta nu este în semne, ci în lucrul greșit cu fracțiile? În clasa a VI-a ne-am familiarizat cu numerele pozitive și negative. Cum vom rezolva exemple și ecuații?

Cât este între paranteze? Ce se poate spune despre aceste expresii? Desigur, rezultatul primului și celui de-al doilea exemplu este același, așa că puteți pune un semn egal între ele: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Deci, ce am făcut cu parantezele?

Demonstrarea slide 6 cu regulile de deschidere a parantezelor. Astfel, regulile pentru deschiderea parantezelor ne vor ajuta să rezolvăm exemple, să simplificăm expresiile. În continuare, elevii sunt invitați să lucreze în perechi: este necesar să legați expresia care conține paranteze cu expresia corespunzătoare fără paranteze cu săgeți.

Slide 11 Odată ajunsi în orașul însorit, Znayka și Dunno s-au certat care dintre ei a rezolvat corect ecuația. În continuare, elevii rezolvă în mod independent ecuația, aplicând regulile pentru deschiderea parantezelor. Rezolvarea ecuațiilor „Obiectivele lecției: educaționale (fixarea ZUN-urilor pe tema:“ Deschiderea parantezelor.

Subiectul lecției: „Parantezele de deschidere. În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. În primul rând, sunt luați primii doi factori, încadrați într-un singur parantez, iar în interiorul acestor paranteze, parantezele sunt deschise conform uneia dintre regulile deja cunoscute.

rawalan.freezeet.ru

Deschiderea parantezei: reguli și exemple (clasa a 7-a)

Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor expresii numerice . de exemplu, în expresia numerică \(5 3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5 3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\), se va calcula mai întâi adunarea între paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Totuşi, dacă avem de-a face cu expresie algebrica conținând variabil- de exemplu, așa: \ (2 (x-3) \) - atunci este imposibil să se calculeze valoarea din paranteză, variabila interferează. Prin urmare, în acest caz, parantezele sunt „deschise”, folosind regulile adecvate pentru aceasta.

Reguli de extindere a parantezei

Dacă există un semn plus înaintea parantezei, atunci paranteza este pur și simplu eliminată, expresia din el rămâne neschimbată. Cu alte cuvinte:

Aici este necesar să lămurim că la matematică, pentru a reduce intrările, se obișnuiește să nu se scrie semnul plus dacă este primul din expresie. De exemplu, dacă adăugăm două numere pozitive, de exemplu, șapte și trei, atunci scriem nu \(+7+3\), ci pur și simplu \(7+3\), în ciuda faptului că șapte este, de asemenea, un număr pozitiv . În mod similar, dacă vedeți, de exemplu, expresia \((5+x)\) - știți că in fata parantezei este un plus, care nu este scris.

Exemplu . Deschideți paranteza și dați termeni similari: \((x-11)+(2+3x)\).
Decizie : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Dacă există un semn minus în fața parantezei, atunci când paranteza este îndepărtată, fiecare membru al expresiei din interiorul său își schimbă semnul în opus:

Aici este necesar să clarificăm faptul că a, în timp ce era între paranteze, avea un semn plus (pur și simplu nu l-au scris), iar după eliminarea parantezei, acest plus s-a schimbat în minus.

Exemplu : Simplificați expresia \(2x-(-7+x)\).
Decizie : există doi termeni în interiorul parantezei: \(-7\) și \(x\), iar înaintea parantezei există un minus. Aceasta înseamnă că semnele se vor schimba - iar cele șapte vor fi acum cu un plus, iar x cu un minus. deschide suportul și aduceți condiții asemănătoare .

Exemplu. Extindeți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decizie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Dacă există un factor în fața parantezei, atunci fiecare membru al parantezei este înmulțit cu acesta, adică:

Exemplu. Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Decizie : Avem \(3\) și \(-x\) în paranteză și un cinci în fața parantezei. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \ (5 \) - vă reamintesc că semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză la matematică nu este scris pentru a reduce dimensiunea înregistrărilor.

Exemplu. Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Decizie : Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) dintre paranteze sunt înmulțite cu \(-2\).

Rămâne de luat în considerare ultima situație.

Atunci când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:

Exemplu. Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Decizie : Avem un produs de paranteze și poate fi deschis imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtăm primul parantez - fiecare dintre membrii săi este înmulțit cu al doilea paranteză:

Pasul 2. Extindeți produsele suportului cu factorul descris mai sus:
- primul primul...

Pasul 3. Acum înmulțim și aducem termeni similari:

Nu este necesar să pictați toate transformările în detaliu, vă puteți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți să deschideți paranteze - scrieți în detaliu, vor fi mai puține șanse să faceți o greșeală.

Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

paranteză în paranteză

Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: pentru a simplifica expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pentru a avea succes în aceste sarcini, trebuie să:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.

Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să luăm ca exemplu sarcina de mai sus.

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decizie:

Să începem sarcina prin deschiderea suportului interior (cel din interior). Deschizând-o, avem de-a face doar cu faptul că este direct legată de el - acesta este paranteza în sine și minusul din fața lui (evidențiat cu verde). Orice altceva (neselectat) este rescris așa cum a fost.

Rezolvarea problemelor de matematică online

Calculator online.
Simplificare polinomială.
Înmulțirea polinoamelor.

Cu acest program de matematică, puteți simplifica un polinom.
În timp ce programul rulează:
- multiplica polinoamele
- însumează monomii (dau acelea asemănătoare)
- deschide paranteze
- Ridică un polinom la o putere

Programul de simplificare polinomială nu oferă doar răspunsul problemei, ci oferă o soluție detaliată cu explicații, i.e. afișează procesul de rezolvare, astfel încât să vă puteți verifica cunoștințele de matematică și/sau algebră.

Acest program poate fi util pentru elevii școlilor de învățământ general în pregătirea pentru teste și examene, atunci când testează cunoștințele înainte de Examenul Unificat de Stat și pentru părinți pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.

pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Vă rugăm să așteptați sec.

Un pic de teorie.

Produsul unui monom și al unui polinom. Conceptul de polinom

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:

Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, un binom are un al treilea grad, iar un trinom are un al doilea.

De obicei, membrii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților acesteia. De exemplu:

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt și, adică pătratul sumei, pătratul diferenței și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, deci, de exemplu, - acesta, desigur, nu este doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame:

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

- pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și de două ori produsul.

- pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublu.

- diferența de pătrate este egală cu produsul diferenței cu suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și teste OGE online Jocuri, puzzle-uri Reprezentarea grafică a funcțiilor Dicționarul ortografic al limbii ruse Dicționarul argoului pentru tineri Directorul școlilor rusești Catalogul școlilor secundare din Rusia Catalogul universităților rusești fracții numerice Rezolvarea problemelor pentru procente Numere complexe: sumă, diferență, produs și coeficient Sisteme de 2 ecuații liniare cu două variabile Rezolvarea unei ecuații pătratice Sortarea pătratului unui binom și factorizarea unui trinom pătrat Rezolvarea inegalităților Rezolvarea sistemelor de inegalități Construirea unui grafic al unei funcții patratice Construirea unui grafic a unei funcții liniare fracționale Rezolvarea progresiilor aritmetice și geometrice Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, exponențiale, logaritmice Calcularea limitelor, derivatelor, tangentelor Integrale, antiderivate Rezolvarea triunghiurilor Calcularea operațiilor cu vectori Calcularea acțiunilor acțiuni cu linii și planuri Aria formelor geometrice Perimetrul formelor geometrice Volumul corpurilor geometrice Aria suprafeței corpurilor geometrice
Constructor de situații de trafic
Vremea - știri - horoscoape

www.mathsolution.ru

Extindere suport

Continuăm să studiem elementele de bază ale algebrei. În această lecție, vom învăța cum să deschidem parantezele în expresii. A extinde paranteze înseamnă a elimina expresia acestor paranteze.

Pentru a deschide paranteze, trebuie să înveți pe de rost doar două reguli. Cu practica regulata, poti deschide parantezele cu ochii inchisi, iar acele reguli care trebuiau memorate pe de rost pot fi uitate in siguranta.

Prima regulă de extindere a parantezei

Luați în considerare următoarea expresie:

Valoarea acestei expresii este 2 . Să deschidem parantezele din această expresie. A extinde parantezele înseamnă a scăpa de ele fără a afecta sensul expresiei. Adică, după ce am scăpat de paranteze, valoarea expresiei 8+(−9+3) ar trebui să fie în continuare egal cu doi.

Prima regulă de extindere a parantezei arată astfel:

La deschiderea parantezelor, dacă există un plus înainte de paranteze, atunci acest plus este omis împreună cu parantezele.

Deci vedem asta în expresie 8+(−9+3) există un plus în fața parantezelor. Acest plus trebuie omis împreună cu parantezele. Cu alte cuvinte, parantezele vor dispărea împreună cu plusul care stătea în fața lor. Și ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:

8−9+3 . Această expresie este egală cu 2 , ca și expresia anterioară între paranteze a fost egală cu 2 .

8+(−9+3) și 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Exemplul 2 Extinde paranteze într-o expresie 3 + (−1 − 4)

Există un plus în fața parantezelor, așa că acest plus este omis împreună cu paranteze. Ceea ce era între paranteze va rămâne neschimbat:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Exemplul 3 Extinde paranteze într-o expresie 2 + (−1)

În acest exemplu, extinderea parantezelor a devenit un fel de operație inversă de înlocuire a scăderii cu adunarea. Ce înseamnă?

În expresie 2−1 are loc scăderea, dar poate fi înlocuită prin adunare. Apoi obțineți expresia 2+(−1) . Dar dacă în expresie 2+(−1) deschide parantezele, primești originalul 2−1 .

Prin urmare, prima regulă de extindere a parantezei poate fi utilizată pentru a simplifica expresiile după unele transformări. Adică, scăpați de paranteze și faceți-l mai ușor.

De exemplu, să simplificăm expresia 2a+a−5b+b .

Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari. Amintiți-vă că pentru a reduce termenii similari, trebuie să adăugați coeficienții termenilor similari și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei:

Am o expresie 3a+(−4b). În această expresie, deschideți parantezele. Există un plus înainte de paranteze, așa că folosim prima regulă pentru deschiderea parantezelor, adică omitem parantezele împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze:

Deci expresia 2a+a−5b+b simplificat la 3a−4b .

După ce a deschis unul dintre paranteze, alții se pot întâlni pe parcurs. Le aplicăm aceleași reguli ca și prima. De exemplu, să extindem parantezele din următoarea expresie:

Există două locuri în care trebuie să extindeți parantezele. În acest caz, se aplică prima regulă pentru extinderea parantezelor, și anume, omiterea parantezelor împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Exemplul 3 Extinde paranteze într-o expresie 6+(−3)+(−2)

În ambele locuri unde există paranteze, acestea sunt precedate de un semn plus. Din nou, se aplică prima regulă de extindere a parantezei:

Uneori, primul termen dintre paranteze este scris fără semn. De exemplu, în expresia 1+(2+3−4) primul termen între paranteze 2 scris fără semn. Se pune întrebarea, ce semn va veni înainte de doi după ce sunt omise parantezele și plusul din fața parantezelor? Răspunsul sugerează de la sine - va fi un plus în fața celor doi.

De fapt, chiar fiind între paranteze, este un plus în fața zeului, dar nu îl vedem din cauza faptului că nu este scris. Am spus deja că notația completă a numerelor pozitive arată ca +1, +2, +3. Dar plusurile nu sunt în mod tradițional notate, motiv pentru care vedem numerele pozitive care ne sunt familiare. 1, 2, 3 .

Prin urmare, pentru a deschide paranteze într-o expresie 1+(2+3−4) , trebuie să omiteți parantezele, ca de obicei, împreună cu plusul din fața acestor paranteze, dar scrieți primul termen care a fost între paranteze cu semnul plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Exemplul 4 Extinde paranteze într-o expresie −5 + (2 − 3)

Există un plus în fața parantezelor, așa că aplicăm prima regulă pentru deschiderea parantezelor și anume, omitem parantezele împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze. Dar primul termen, care este scris între paranteze cu semnul plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Exemplul 5 Extinde paranteze într-o expresie (−5)

Inaintea parantezei este un plus, dar nu este scris datorita faptului ca inaintea ei nu existau alte numere sau expresii. Sarcina noastră este de a elimina parantezele prin aplicarea primei reguli pentru extinderea parantezelor, și anume, omiterea parantezelor împreună cu acest plus (chiar dacă este invizibil)

Exemplul 6 Extinde paranteze într-o expresie 2a + (−6a + b)

Există un plus în fața parantezelor, așa că acest plus este omis împreună cu paranteze. Ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Exemplul 7 Extinde paranteze într-o expresie 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

În această expresie, există două locuri în care trebuie să deschideți paranteze. În ambele secțiuni, există un plus în fața parantezelor, ceea ce înseamnă că acest plus este omis împreună cu paranteze. Ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

A doua regulă pentru deschiderea parantezelor

Acum să ne uităm la a doua regulă de extindere a parantezei. Se folosește când există un minus înaintea parantezei.

Dacă există un minus înaintea parantezelor, atunci acest minus este omis împreună cu parantezele, dar termenii care erau în paranteze își schimbă semnul în sens opus.

De exemplu, să extindem parantezele din următoarea expresie

Vedem că există un minus înaintea parantezelor. Deci, trebuie să aplicați a doua regulă de extindere, și anume, omiteți parantezele împreună cu minusul din fața acestor paranteze. În acest caz, termenii care erau între paranteze își vor schimba semnul în sens invers:

Avem o expresie fără paranteze 5+2+3 . Această expresie este egală cu 10, la fel cum expresia anterioară cu paranteze a fost egală cu 10.

Astfel, între expresii 5−(−2−3) și 5+2+3 puteți pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Exemplul 2 Extinde paranteze într-o expresie 6 − (−2 − 5)

Există un minus înainte de paranteze, așa că aplicăm a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, și anume, omitem parantezele împreună cu minusul care vine înaintea acestor paranteze. În acest caz, termenii care erau între paranteze sunt scriși cu semne opuse:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Exemplul 3 Extinde paranteze într-o expresie 2 − (7 + 3)

Există un minus înainte de paranteze, așa că aplicăm a doua regulă pentru deschiderea parantezelor:

Exemplul 4 Extinde paranteze într-o expresie −(−3 + 4)

Exemplul 5 Extinde paranteze într-o expresie −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Există două locuri în care trebuie să extindeți parantezele. În primul caz, trebuie să aplicați a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, iar când vine rândul expresiei +(−9−2) trebuie să aplicați prima regulă:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Exemplul 6 Extinde paranteze într-o expresie −(−a−1)

Exemplul 7 Extinde paranteze într-o expresie −(4a + 3)

Exemplul 8 Extinde paranteze într-o expresie A −(4b + 3) + 15

Exemplul 9 Extinde paranteze într-o expresie 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Există două locuri în care trebuie să extindeți parantezele. În primul caz, trebuie să aplicați prima regulă pentru extinderea parantezelor, iar când vine rândul expresiei −(3c+5) trebuie să aplicați a doua regulă:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Exemplul 10 Extinde paranteze într-o expresie -A − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Există trei locuri în care trebuie să extindeți parantezele. Mai întâi trebuie să aplicați a doua regulă pentru extinderea parantezelor, apoi prima și apoi din nou a doua:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mecanismul de extindere a parantezelor

Regulile pentru deschiderea parantezelor, pe care le-am luat în considerare acum, se bazează pe legea distributivă a înmulțirii:

De fapt paranteze de deschidere numiți procedura când factorul comun este înmulțit cu fiecare termen din paranteze. Ca urmare a unei astfel de înmulțiri, parantezele dispar. De exemplu, să extindem parantezele din expresie 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Prin urmare, dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o expresie între paranteze (sau să înmulțiți o expresie între paranteze cu un număr), trebuie să spuneți deschide parantezele.

Dar cum este legea distributivă a înmulțirii legată de regulile de deschidere a parantezelor pe care le-am considerat mai devreme?

Faptul este că înaintea oricăror paranteze există un factor comun. În exemplu 3×(4+5) factorul comun este 3 . Și în exemplu a(b+c) factorul comun este o variabilă A.

Dacă nu există numere sau variabile înainte de paranteze, atunci factorul comun este 1 sau −1 , în funcție de caracterul care apare înaintea parantezelor. Dacă există un plus în fața parantezelor, atunci factorul comun este 1 . Dacă există un minus înaintea parantezelor, atunci factorul comun este −1 .

De exemplu, să extindem parantezele din expresie −(3b−1). Există un minus înaintea parantezelor, așa că trebuie să utilizați a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, adică omiteți parantezele împreună cu minusul dinaintea parantezelor. Și expresia care era între paranteze, scrieți cu semne opuse:

Am extins parantezele folosind regula de extindere a parantezei. Dar aceleași paranteze pot fi deschise folosind legea distributivă a înmulțirii. Pentru a face acest lucru, scriem mai întâi factorul comun 1 în fața parantezelor, care nu a fost notat:

Minusul care obișnuia să stea în fața parantezelor se referea la această unitate. Acum puteți deschide parantezele aplicând legea distributivă a înmulțirii. Pentru aceasta, factorul comun −1 trebuie să înmulțiți cu fiecare termen din paranteze și să adăugați rezultatele.

Pentru comoditate, înlocuim diferența dintre paranteze cu suma:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Ca și data trecută, am primit expresia −3b+1. Toată lumea va fi de acord că de data aceasta s-a petrecut mai mult timp pentru a rezolva un exemplu atât de simplu. Prin urmare, este mai rezonabil să folosim regulile gata făcute pentru deschiderea parantezelor, pe care le-am luat în considerare în această lecție:

Dar nu strică să știi cum funcționează aceste reguli.

În această lecție, am învățat o altă transformare identică. Împreună cu deschiderea parantezelor, scoaterea generalului din paranteze și aducerea unor termeni similari, este posibil să se extindă ușor gama de sarcini de rezolvat. De exemplu:

Aici trebuie să efectuați două acțiuni - mai întâi deschideți parantezele, apoi aduceți termeni similari. Deci, in ordine:

1) Extindeți parantezele:

2) Oferim termeni similari:

În expresia rezultată −10b+(−1) poti deschide parantezele:

Exemplul 2 Deschideți parantezele și adăugați termeni similari în următoarea expresie:

1) Extindeți parantezele:

2) Prezentăm termeni similari. De data aceasta, pentru a economisi timp și spațiu, nu vom nota modul în care coeficienții sunt înmulțiți cu partea comună a literei

Exemplul 3 Simplificați expresia 8m+3mși găsiți-i valoarea la m=−4

1) Să simplificăm mai întâi expresia. Pentru a simplifica expresia 8m+3m, puteți elimina factorul comun din el m pentru paranteze:

2) Aflați valoarea expresiei m(8+3) la m=−4. Pentru aceasta, în expresia m(8+3)în loc de o variabilă mînlocuiți numărul −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Pretutindeni. Peste tot și peste tot, oriunde te uiți, există astfel de construcții:

Aceste „construcții” la oamenii alfabetizați provoacă o reacție ambiguă. Cel puțin de genul „este chiar așa – nu?”.
În general, personal, nu pot înțelege de unde a venit „moda” de a nu închide ghilimele externe. Prima și singura analogie care apare în acest sens este analogia cu paranteze. Nimeni nu se îndoiește că două paranteze la rând sunt normale. De exemplu: „Plătiți toată tirajul (200 bucăți (din care 100 defecte))”. Dar în normalitatea punerii a două citate la rând, cineva s-a îndoit (mă întreb cine a fost primul?) ... Și acum toată lumea, fără excepție, a început să producă construcții precum SRL Firm Pupkov and Co. cu conștiința curată.
Dar chiar dacă nu ați văzut regula în viața voastră, care va fi discutată mai jos, atunci singura opțiune justificată logic (folosind paranteze ca exemplu) ar fi următoarea: Firma Pupkov and Co LLC.
Deci, regula în sine:
Dacă la începutul sau la sfârșitul unui citat (același lucru este valabil și pentru vorbirea directă) există ghilimele interne și externe, atunci acestea trebuie să difere între ele într-un model (așa-numitele „herringbones” și „drăguț”) , iar ghilimelele externe nu trebuie omise, de exemplu: C Laturile navei au fost transmise prin radio: „Leningradul a intrat în tropice și își continuă cursul”. Despre Jukovski, Belinsky scrie: „Contemporanii tinereții lui Jukovski îl priveau în principal ca pe un autor de balade, iar într-unul dintre mesajele sale Batyushkov l-a numit „jucător de baladă”.
© Reguli de ortografie și punctuație rusă. - Tula: Autograf, 1995. - 192 p.
În consecință... dacă nu aveți ocazia să introduceți ghilimele, „pomi de Crăciun”, atunci ce puteți face, va trebui să utilizați astfel de pictograme „”. Cu toate acestea, imposibilitatea (sau nedorința) de a folosi ghilimele rusești nu este în niciun caz motivul pentru care nu puteți închide ghilimele exterioare.

Astfel, infidelitatea designului Firm Pupkov and Co LLC pare să fi fost rezolvată.Există și modele de tip LLC Firm Pupkov and Co.
Din regulă, este destul de clar că astfel de construcții sunt analfabete ... (Corect: SRL Firma Pupkov și Co.

In orice caz!
Milchin's Publisher's and Author's Handbook (ediția 2004) afirmă că două opțiuni de design pot fi utilizate în astfel de cazuri. Folosirea „herringbones” și „labe” și (în lipsa mijloacelor tehnice) folosirea numai „herringbones”: două de deschidere și una de închidere.
Directorul este „proaspăt” și personal am imediat 2 întrebări aici. În primul rând, cu ce bucurie poți folosi în continuare un ghilibat de închidere-herringbone (ei bine, acest lucru este ilogic, vezi mai sus), iar în al doilea rând, expresia „în absența mijloacelor tehnice” atrage în special atenția. Cum e, scuze? Aici, deschide Notepad și tastați „doar brazi de Crăciun: doi de deschidere și unul de închidere” acolo. Nu există astfel de caractere pe tastatură. Imprimarea unui brad de Crăciun nu funcționează... Combinația Shift + 2 produce semnul " (care, după cum știți, nici măcar nu este ghilimele). Acum deschideți Microsoft Word și apăsați din nou Shift + 2. Programul va corecta „la” (sau „ ). Ei bine, se dovedește că regula care a existat de mai bine de o duzină de ani a fost luată și rescrisă sub Microsoft Word? Ca, din moment ce Cuvântul de la „Firm” Pupkov and Co „face” Firm „Pupkov and Co”, atunci acum să fie acceptabil și corect ???
Asa pare. Și dacă da, atunci există toate motivele să ne îndoim de corectitudinea unei astfel de inovații.

Da, și încă o precizare... despre însăși „lipsa mijloacelor tehnice”. Cert este că pe orice computer Windows există întotdeauna „mijloace tehnice” pentru a introduce atât „pomii de Crăciun”, cât și „labe”, așa că această nouă „regulă” (pentru mine este între ghilimele) este greșită de la bun început!

Toate caracterele speciale dintr-un font pot fi tastate cu ușurință cunoscând numărul corespunzător al caracterului respectiv. Este suficient să țineți apăsat Alt și să tastați pe tastatura NumLock (NumLock este apăsat, indicatorul luminos este aprins) numărul simbolului corespunzător:

„ Alt + 0132 (picior stâng)
„ Alt + 0147 (piciorul drept)
« Alt + 0171 (os de hering stânga)
» Alt + 0187 (os de pește drept)

În acest articol, vom lua în considerare în detaliu regulile de bază pentru un subiect atât de important într-un curs de matematică precum parantezele de deschidere. Trebuie să cunoașteți regulile de deschidere a parantezelor pentru a rezolva corect ecuațiile în care sunt utilizate.

Cum să deschideți corect parantezele atunci când adăugați

Extindeți parantezele precedate de semnul „+”.

Acesta este cel mai simplu caz, deoarece dacă în fața parantezelor există un semn de adunare, atunci când parantezele sunt deschise, semnele din interiorul lor nu se schimbă. Exemplu:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „-”.

În acest caz, trebuie să rescrieți toți termenii fără paranteze, dar în același timp să schimbați toate semnele din interiorul lor cu cele opuse. Semnele se schimbă numai pentru termenii din acele paranteze care au fost precedate de semnul „-”. Exemplu:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Cum să deschideți parantezele la înmulțire

Parantezele sunt precedate de un multiplicator

În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen cu un factor și să deschideți parantezele fără a schimba semnele. Dacă multiplicatorul are semnul „-”, atunci la înmulțire, semnele termenilor sunt inversate. Exemplu:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Cum să deschideți două paranteze cu un semn de înmulțire între ele

În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. Exemplu:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Cum să deschideți paranteze într-un pătrat

Dacă suma sau diferența dintre doi termeni este pătrată, parantezele trebuie extinse conform următoarei formule:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

În cazul unui minus între paranteze, formula nu se modifică. Exemplu:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Cum să deschideți parantezele într-un grad diferit

Dacă suma sau diferența termenilor este ridicată, de exemplu, la a 3-a sau a 4-a putere, atunci trebuie doar să spargeți gradul parantezei în „pătrate”. Se adună puterile acelorași factori, iar la împărțire se scade gradul divizorului din gradul dividendului. Exemplu:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Cum se deschide 3 paranteze

Există ecuații în care 3 paranteze sunt înmulțite deodată. În acest caz, trebuie mai întâi să înmulțiți termenii primelor două paranteze între ei, apoi să înmulțiți suma acestei înmulțiri cu termenii celui de-al treilea paranteză. Exemplu:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Aceste reguli de deschidere a parantezei se aplică în mod egal atât ecuațiilor liniare, cât și trigonometrice.

Dacă doriți să includeți informații legate de textul corpului, dar acele informații nu se potrivesc în corpul unei propoziții sau al unui paragraf, trebuie să puneți acele informații între paranteze. Punerea lui între paranteze îi reduce importanța, astfel încât să nu scadă de la punctul principal al textului.

• Exemplu: J. R. R. Tolkien (autorul cărții Stăpânul inelelor) și C. S. Lewis (autorul lui Cronicile din Narnia) au fost membri obișnuiți ai grupului de discuții literare cunoscut sub numele de Inklings.

Notele între paranteze. Adesea, atunci când scrieți o valoare numerică în cuvinte, este util să scrieți și acea valoare în numere. Puteți specifica o formă numerică punând-o între paranteze.

• Exemplu: ea trebuie să plătească șapte sute de dolari (700 USD) în chirie până la sfârșitul acestei săptămâni.

Utilizarea numerelor sau a literelor la listare. Când trebuie să enumerați o serie de informații într-un paragraf sau o propoziție, numerotarea fiecărui paragraf poate face lista mai puțin confuză. Trebuie să puneți numerele sau literele folosite pentru fiecare articol între paranteze.

• Exemplu: o companie caută un candidat pentru un loc de muncă care (1) este disciplinat, (2) știe tot ce este de știut despre cele mai recente tendințe în editarea foto și îmbunătățirile software și (3) are cel puțin cinci ani de experiență profesională în campul.
• Exemplu: O companie caută un candidat pentru un loc de muncă care (A) este disciplinat, (B) știe tot ce este de știut despre cele mai recente tendințe în editarea foto și îmbunătățirile software și (C) are cel puțin cinci ani de experiență profesională în campul.

Desemnare la plural.În text, vă puteți referi la ceva la singular, în timp ce vă referiți și la plural. Dacă se știe că cititorul va beneficia de faptul că știi că te referi atât la plural, cât și la singular, poți indica intenția ta punând între paranteze imediat după substantiv terminația de plural corespunzătoare pentru acel substantiv, dacă substantivul are o astfel de formă.

• Exemplu: Organizatorii festivalului din acest an speră la un număr mare de spectatori, așa că asigurați-vă că cumpărați bilet(e) suplimentar(e).

Notarea abrevierilor. Când scrieți numele unei organizații, unui produs sau al unei alte entități care are de obicei o abreviere binecunoscută, trebuie să introduceți numele complet al entității prima dată când îl menționați în text. Dacă urmează să faceți referire la un obiect mai târziu folosind o abreviere binecunoscută, trebuie să specificați acea abreviere între paranteze, astfel încât cititorii să știe ce să caute mai târziu.

• Exemplu: Personalul și voluntarii Ligii pentru Protecția Animalelor (PLL) speră să reducă și, în cele din urmă, să elimine cruzimea și maltratarea față de animale în cadrul comunității.

Menționarea unor date semnificative. Deși nu este întotdeauna necesar, în anumite contexte vi se poate cere să furnizați data nașterii și/sau data decesului persoanei specifice la care vă referiți în text. Astfel de date trebuie incluse între paranteze.

• Exemplu: Jane Austen (1775-1817) este cunoscută pentru lucrările ei literare Mândrie și prejudecată și Simț și sensibilitate.
• George Martin (n. 1948) este omul din spatele serialului de succes Game of Thrones.

Utilizarea citatelor introductive.În non-ficțiune, citările introductive ar trebui incluse atunci când citați direct sau indirect o altă lucrare. Aceste citate conțin informații bibliografice și trebuie incluse între paranteze imediat după informațiile împrumutate.

• Exemplu: Cercetările arată că există o legătură între migrenă și depresia clinică (Smith, 2012).
• Exemplu: Cercetările arată că există o legătură între migrenă și depresia clinică (Smith 32).
• Pentru mai multe informații despre utilizarea corectă a citatelor introductive în text, consultați Cum să utilizați corect citatele în text.