Când rezolvă problema C2 folosind metoda coordonatelor, mulți elevi se confruntă cu aceeași problemă. Ei nu pot calcula coordonatele punctului incluse în formula produsului scalar. Cele mai mari dificultăți sunt piramide. Și dacă punctele de bază sunt considerate mai mult sau mai puțin normale, atunci vârfurile sunt un adevărat iad.

Astăzi ne vom ocupa de o piramidă patruunghiulară obișnuită. Există, de asemenea, o piramidă triunghiulară (alias - tetraedru). Acesta este un design mai complex, așa că îi va fi dedicată o lecție separată.

Să începem cu definiția:

O piramidă obișnuită este aceea în care:

1. Baza este un poligon regulat: triunghi, pătrat etc.;
2. Înălțimea trasă la bază trece prin centrul acesteia.

În special, baza unei piramide patruunghiulare este pătrat. La fel ca și Cheops, doar puțin mai mic.

Mai jos sunt calculele pentru o piramidă cu toate marginile egale cu 1. Dacă nu este cazul în problema dvs., calculele nu se schimbă - doar numerele vor fi diferite.

Vârfurile unei piramide patruunghiulare

Deci, să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, unde S este vârful, baza ABCD este un pătrat. Toate muchiile sunt egale cu 1. Este necesar să introduceți un sistem de coordonate și să găsiți coordonatele tuturor punctelor. Noi avem:

Introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A:

1. Axa OX este îndreptată paralel cu muchia AB ;
2. Axa OY - paralelă cu AD . Deoarece ABCD este un pătrat, AB ⊥ AD ;
3. În cele din urmă, axa OZ este îndreptată în sus, perpendicular pe planul ABCD.

Acum luăm în considerare coordonatele. Construcție suplimentară: SH - înălțimea trasă la bază. Pentru comoditate, vom scoate baza piramidei într-o figură separată. Deoarece punctele A , B , C și D se află în planul OXY, coordonatele lor este z = 0. Avem:

1. A = (0; 0; 0) - coincide cu originea;
2. B = (1; 0; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX de la origine;
3. C = (1; 1; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX și cu 1 de-a lungul axei OY;
4. D = (0; 1; 0) - pas numai de-a lungul axei OY.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - centrul pătratului, mijlocul segmentului AC.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Rețineți că coordonatele x și y ale punctelor S și H sunt aceleași deoarece se află pe o dreaptă paralelă cu axa OZ. Rămâne de găsit coordonata z pentru punctul S .

Luați în considerare triunghiurile ASH și ABH:

1. AS = AB = 1 prin condiție;
2. Unghiul AHS = AHB = 90° deoarece SH este înălțimea și AH ⊥ HB ca diagonalele unui pătrat;
3. Latura AH - comun.

Prin urmare triunghiuri dreptunghiulare ASH și ABH egal un picior și o ipotenuză. Deci SH = BH = 0,5 BD . Dar BD este diagonala unui pătrat cu latura 1. Prin urmare, avem:

Coordonatele totale ale punctului S:

În concluzie, notăm coordonatele tuturor vârfurilor unei piramide dreptunghiulare regulate:

Ce să faci când coastele sunt diferite

Dar ce se întâmplă dacă marginile laterale ale piramidei nu sunt egale cu marginile bazei? În acest caz, luați în considerare triunghiul AHS:

Triunghiul AHS- dreptunghiular, iar ipotenuza AS este de asemenea o margine laterală a piramidei originale SABCD . Piciorul AH este ușor de considerat: AH = 0,5 AC. Găsiți piciorul rămas SH conform teoremei lui Pitagora. Aceasta va fi coordonata z pentru punctul S.

Sarcină. Având în vedere o piramidă patruunghiulară regulată SABCD , la baza căreia se află un pătrat cu latura 1. Latura laterală BS = 3. Aflați coordonatele punctului S .

Cunoaștem deja coordonatele x și y ale acestui punct: x = y = 0,5. Aceasta rezultă din două fapte:

1. Proiecția punctului S pe planul OXY este punctul H;
2. În același timp, punctul H este centrul pătratului ABCD, ale cărui laturi sunt egale cu 1.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Luați în considerare triunghiul AHS. Este dreptunghiulară, cu ipotenuza AS = BS = 3, catetul AH este jumătate din diagonală. Pentru calcule suplimentare, avem nevoie de lungimea sa:

Teorema lui Pitagora pentru triunghiul AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Noi avem:

Deci, coordonatele punctului S:

Definiție. Fața laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar partea opusă a acestuia coincide cu latura bazei (poligon).

Definiție. Coaste laterale sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are atâtea muchii câte colțuri există într-un poligon.

Definiție. înălțimea piramidei este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.

Definiție. Apotema- aceasta este perpendiculara feței laterale a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.

Definiție. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a piramidei printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.

Definiție. Piramida corectă- Aceasta este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formulă. volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:

proprietățile piramidei

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, perpendiculara căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).

Dacă toate nervurile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul de bază la aceleași unghiuri.

Nervele laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la un unghi, atunci un cerc poate fi înscris la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile unei piramide obișnuite

1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.

2. Toate marginile laterale sunt egale.

3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la aceleași unghiuri față de bază.

4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.

6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).

7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei descrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.

8. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plate de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π / n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Legătura piramidei cu sfera

O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei când la baza piramidei se află un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele medii ale marginilor laterale ale piramidei.

O sferă poate fi întotdeauna descrisă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.

O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Legătura piramidei cu conul

Un con se numește înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale.

Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.

Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.

Legătura unei piramide cu un cilindru

Se spune că o piramidă este înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.

Un cilindru poate fi circumscris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei.

Definiție. Piramida trunchiată (prismă piramidală)- Acesta este un poliedru care este situat între baza piramidei și un plan de secțiune paralel cu baza. Astfel, piramida are o bază mare și o bază mai mică care este similară cu cea mai mare. Fețele laterale sunt trapeze.

Definiție. Piramida triunghiulara (tetraedru)- aceasta este o piramidă în care trei fețe și baza sunt triunghiuri arbitrare.

Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.

Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triedric.

Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).

Bimedian se numește un segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).

Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele într-un raport de 3: 1 începând de sus.

Definiție. piramidă înclinată este o piramidă în care una dintre margini formează un unghi obtuz (β) cu baza.

Definiție. Piramidă dreptunghiulară este o piramidă în care una dintre fețele laterale este perpendiculară pe bază.

Definiție. Piramidă unghiulară acută este o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. piramidă obtuză este o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. tetraedru regulat Un tetraedru ale cărui patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la un vârf) sunt egale.

Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește un tetraedru care are un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triedric dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.

Definiție. Tetraedru izoedric Se numește tetraedru în care fețele laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Fețele unui astfel de tetraedru sunt triunghiuri isoscele.

Definiție. tetraedru ortocentric se numește un tetraedru în care toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de la vârf la fața opusă se intersectează într-un punct.

Definiție. piramida stelare Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.

Definiție. Bipiramida- un poliedru format din două piramide diferite (piramidele pot fi și tăiate), având o bază comună, iar vârfurile se află pe laturile opuse ale planului bazei.

Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .

Coastă laterală piramida se numeste latura fetei laterale care nu apartine bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotemă . secțiune diagonală O secțiune a unei piramide se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafața laterală piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga este suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

2. Dacă în piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula este corectă:

Unde V- volum;

S principal- suprafata de baza;

H este înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt adevărate:

Unde p- perimetrul bazei;

h a- apotema;

H- inaltime;

S plin

partea S

S principal- suprafata de baza;

V este volumul unei piramide regulate.

trunchi de piramidă numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și planul de tăiere paralelă cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Fundamente trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale - trapez. Înălţime piramida trunchiată se numește distanța dintre bazele sale. Diagonală O piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. secțiune diagonală O secțiune a unei piramide trunchiate se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată, formulele sunt valabile:

(4)

Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin este suprafața totală;

partea S este aria suprafeței laterale;

H- inaltime;

V este volumul piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, următoarea formulă este adevărată:

Unde p 1 , p 2 - perimetre de bază;

h a- apotema unei piramide trunchiate regulate.

Exemplul 1Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedrul de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că baza este un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedrul de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar va fi unghiul Aîntre două perpendiculare: i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul de bază. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEși OB. Fie lungimea segmentului BD este 3 A. punct O segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2 Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm și înălțimea este de 4 cm.

Decizie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi zonele bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm, respectiv 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cmc.

Exemplul 3 Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți bazele și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. Găsește-l de unde DAR 1 E perpendicular de la un punct DAR 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la DAR 1 pe AC. DAR 1 E\u003d 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru găsire DE vom realiza un desen suplimentar, în care vom reprezenta o vedere de sus (Fig. 20). Punct O- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine este raza cercului înscris și OM este raza cercului înscris:

MK=DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4 La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze Ași b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD este egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct O- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul de bază. Conform teoremei privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plate, obținem:

În mod similar, înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Desenați un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct O este centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Prin teorema lui Pitagora avem

Definiție

Piramidă este un poliedru compus dintr-un poligon \(A_1A_2...A_n\) și \(n\) triunghiuri cu un vârf comun \(P\) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse care coincid cu laturile lui poligonul.
Denumire: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplu: piramidă pentagonală \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triunghiuri \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) etc. numit fetele laterale piramide, segmente \(PA_1, PA_2\), etc. - coaste laterale, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – bază, punctul \(P\) – vârf.

Înălţime Piramidele sunt o perpendiculară coborâtă din vârful piramidei până în planul bazei.

O piramidă cu un triunghi la bază se numește tetraedru.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\((a)\) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\((b)\) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului circumscris lângă bază;

\((c)\) nervurile laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

\((d)\) fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară, ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \((a), (b), (c), (d)\) sunt echivalente.

Dovada

Desenați înălțimea piramidei \(PH\) . Fie \(\alpha\) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că \((a)\) implică \((b)\) . Fie \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

pentru că \(PH\perp \alpha\), atunci \(PH\) este perpendicular pe orice dreptă situată în acest plan, deci triunghiurile sunt dreptunghiulare. Deci aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \(PH\) și ipotenuză \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Deci \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Aceasta înseamnă că punctele \(A_1, A_2, ..., A_n\) sunt la aceeași distanță de punctul \(H\) , prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \(A_1H\) . Acest cerc, prin definiție, este circumscris poligonului \(A_1A_2...A_n\) .

2) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și egală în două picioare. Prin urmare, unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Să demonstrăm că \((c)\) implică \((a)\) .

Similar cu primul punct, triunghiuri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiular și de-a lungul piciorului și unghi ascuțit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((d)\) .

pentru că într-un poligon regulat, centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid (în general, acest punct se numește centrul unui poligon regulat), atunci \(H\) este centrul cercului înscris. Să desenăm perpendiculare din punctul \(H\) spre laturile bazei: \(HK_1, HK_2\), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP, (\(PH\) este o perpendiculară pe plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sunt proiecții perpendiculare pe laturi) oblice \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular pe laturile \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectiv. Deci, prin definiție \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H\) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. pentru că triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghic pe două catete), apoi unghiurile \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H, ...\) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \((d)\) implică \((b)\) .

Similar cu al patrulea punct, triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare de-a lungul catetei și unghi ascuțit), ceea ce înseamnă că segmentele \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sunt egale. Prin urmare, prin definiție, \(H\) este centrul unui cerc înscris în bază. Dar de atunci pentru poligoane regulate, centrele cercului înscris și circumscris coincid, atunci \(H\) este centrul cercului circumscris. Chtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.

Definiție

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemă.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide regulate sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate scade până la punctul de intersecție al înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea unei piramide patruunghiulare regulate scade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea unei piramide hexagonale regulate scade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Pentru o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \(SR\) este înălțimea.

2. Pentru că \(SR\) perpendicular pe orice dreptă de la bază, atunci \(\triunghi SRM, \triunghi SRP\) sunt triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \(\triunghi SRN, \triunghi SRK\) sunt de asemenea dreptunghiulare.
Adică orice triunghi format din această muchie și diagonala care iese din vârful acestei muchii, care se află la bază, va fi dreptunghiular.

\[(\Large(\text(Volumul și suprafața piramidei)))\]

Teorema

Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \(a\) latura bazei, \(h\) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \(V_(\text(triunghi dreptunghic pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \(V_(\text(right tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

\[(\Large(\text(piramida trunchiată)))\]

Definiție

Considerăm o piramidă arbitrară \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un anumit punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest plan va împărți piramida în două poliedre, dintre care una este o piramidă (\(PB_1B_2...B_n\) ), iar cealaltă se numește trunchi de piramidă(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \(A_1A_2...A_n\) și \(B_1B_2...B_n\) , care sunt similare între ele.

Înălțimea unei piramide trunchiate este o perpendiculară trasată de la un punct al bazei superioare până la planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate obișnuite (adică o piramidă obținută printr-o secțiune a unei piramide regulate) este o înălțime.

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut această temă pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și din moment ce viitoarea noastră profesie de arhitect, inspirată de această figură, credem că ea va putea să ne împingă spre proiecte mărețe.

Forța structurilor arhitecturale, cea mai importantă calitate a acestora. Asociând rezistența, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre figura geometrică care poate fi considerată ca model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se pare că forma geometrică determină și rezistența structurii arhitecturale.

Piramidele egiptene au fost mult timp considerate cea mai durabilă structură arhitecturală. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

Aflați informații istorice despre piramidă

Considerați piramida ca o figură geometrică

Găsiți aplicații în viață și arhitectură

Găsiți asemănări și diferențe între piramidele situate în diferite părți ale lumii

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost stabilit în Egiptul antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit cu ce este egal volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Matematicianul grec antic Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Începuturilor” sale și, de asemenea, a scos la iveală prima definiție a piramidei: o figură corporală delimitată de planuri care converg dintr-un singur plan într-un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cea mai mare dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza în timpurile străvechi au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii. Ridicarea piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și cruzimii, care a condamnat întregul popor din Egipt la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. De asemenea, se știe despre onorurile speciale de cult care s-au dovedit a fi piramida însăși.

Noțiuni de bază

Piramidă Se numește un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun.

Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri convergente în vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

vârful piramidei- un punct care unește marginile laterale și nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment de perpendiculară trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varf si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Principalele proprietăți ale piramidei corecte

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice de la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile de bază.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și complete a piramidei.

Aria suprafeței laterale a piramidei (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul bazei;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă Scara de volum este folosită pentru piramide de orice fel.

H este înălțimea piramidei.

Unghiurile piramidei

Unghiurile care sunt formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile care sunt formate de o muchie laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două fețe laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul, care este format din două margini laterale ale unei fețe ale piramidei, se numește colțul din vârful piramidei.

Secțiuni ale piramidei

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, deci secțiunea piramidei dată de planul secant este o linie întreruptă constând din drepte separate.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă- o piramidă, a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

La piramida corectă:

1. coastele laterale sunt egale

2. fețele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale

Piramida trunchiată- partea de piramidă cuprinsă între baza acesteia și un plan de tăiere paralel cu bază.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea trunchiului piramidei.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară regulată, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm.Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Să luăm în considerare OSB: OSB-dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida în arhitectură

Piramidă - o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul funcțional, piramidele în antichitate erau un loc de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătrangulară sau poligonală cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Se cunosc un număr considerabil de piramide, construite de diferite culturi ale lumii antice, în principal ca temple sau monumente. Cele mai mari piramide sunt piramidele egiptene.

Pe tot Pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente de arhitectură ale Egiptului Antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este piramida lui Keops. De la picior până în vârf, ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea ei era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia .

Luvru, care „este la fel de tăcut și maiestuos ca o piramidă” a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care s-a transformat în scurt timp într-o reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.