unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub colţîntre două plane ne referim la unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Evident, unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . Asa de . pentru că și , apoi

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiție de paralelism a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Prin urmare, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumător vectorul acestei linii.

Deci, lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t coordonatele se schimbă X, yși zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lasa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele Bouși Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul încrucișat al vectorilor normali:

.

Exemplu. Dați ecuațiile generale ale dreptei la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepturi

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

În mod evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

În acest articol, vom lua în considerare ecuația parametrică a unei linii drepte într-un plan. Să dăm exemple de construcție a unei ecuații parametrice a unei drepte dacă sunt cunoscute două puncte ale acestei drepte sau dacă se cunosc un punct și vectorul de direcție al acestei drepte. Să prezentăm metode de transformare a unei ecuații în formă parametrică în forme canonice și generale.

Ecuația parametrică a unei drepte L pe plan este reprezentată de următoarea formulă:

(1)

Unde X 1 , y 1 coordonatele unui punct M 1 pe linie dreaptă L. Vector q={m, p) este vectorul de direcție al dreptei L, t este un parametru.

Rețineți că atunci când scrieți ecuația unei linii drepte într-o formă parametrică, vectorul de direcție al dreptei nu ar trebui să fie un vector zero, adică cel puțin o coordonată a vectorului de direcție. q trebuie să fie diferit de zero.

Pentru a construi o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular dat de ecuația parametrică (1), este suficient să setați parametrul t două valori diferite, calculați Xși yși trageți o linie dreaptă prin aceste puncte. La t=0 avem un punct M 1 (X 1 , y 1) la t=1, obținem un punct M 2 (X 1 +m, y 1 +p).

A compune o ecuație parametrică a unei drepte pe un plan L este suficient să ai un punct pe linie Lși vectorul direcție al dreptei, sau două puncte aparținând dreptei L. În primul caz, pentru a construi o ecuație parametrică a unei linii drepte, trebuie să inserați coordonatele punctului și ale vectorului de direcție în ecuația (1). În al doilea caz, mai întâi trebuie să găsiți vectorul de direcție al liniei q={m, p), calculând diferențele coordonatelor corespunzătoare ale punctelor M 1 și M 2: m=X 2 −X 1 , p=y 2 −y 1 (Fig.1). În plus, similar cu primul caz, înlocuiți coordonatele unuia dintre puncte (nu contează care) și vectorul de direcție q linie dreaptă în (1).

Exemplul 1. O dreaptă trece printr-un punct M=(3,−1) și are un vector de direcție q=(−3, 5). Construiți o ecuație parametrică a unei linii drepte.

Decizie. Pentru a construi o ecuație parametrică a unei linii drepte, înlocuim coordonatele punctului și ale vectorului direcție în ecuația (1):

Să simplificăm ecuația rezultată:

Din expresiile (3), putem scrie ecuația canonică a unei drepte pe un plan:

Aduceți această ecuație a unei linii drepte la forma canonică.

Soluție: Exprimați parametrul t prin variabile Xși y:

(5)

Din expresiile (5), putem scrie.

Echivalarea în ecuațiile canonice ale dreptei fiecare dintre fracții la un parametru t:

Obținem ecuații care exprimă coordonatele curente ale fiecărui punct al dreptei prin parametru t.

astfel, ecuațiile parametrice ale dreptei au forma:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie două puncte M 1 (x1,y1,z1)și M2 (x2,y2,z2). Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date se obțin în același mod ca o ecuație similară pe un plan. Prin urmare, dăm imediat forma acestei ecuații.

O linie dreaptă la intersecția a două plane. Ecuația generală a unei drepte în spațiu.

Dacă luăm în considerare două plane neparalele, atunci intersecția lor va fi o dreaptă.

Dacă vectori normali și necoliniare.

Mai jos, când luăm în considerare exemple, vom arăta o modalitate de a transforma astfel de ecuații drepte în ecuații canonice.

5.4 Unghiul dintre două linii drepte. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

Un unghi între două linii drepte în spațiu este oricare dintre unghiurile formate din două linii drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Fie două drepte date de ecuațiile lor canonice.

Pentru unghiul dintre două drepte vom lua unghiul dintre vectorii de direcție.

Și

Condiția de perpendicularitate a două drepte se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor lor de direcție și , adică la egalitatea la zero a produsului scalar: sau sub formă de coordonate: .

Condiția de paralelism a două drepte se reduce la condiția de paralelism a vectorilor lor de direcție și

5.5 Dispunerea reciprocă a unei drepte și a unui plan.

Să fie date ecuațiile dreptei:

si avioane. Unghiul dintre linie și plan va fi oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate de linie și proiecția acesteia pe plan (Figura 5.5).

Figura 5.5

Dacă linia este perpendiculară pe plan, vectorul de direcție al dreptei și vectorul normal pe plan sunt coliniare. Astfel, condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția vectorilor coliniari

În cazul paralelismului unei drepte și a unui plan, vectorii lor indicați mai sus sunt reciproc perpendiculari. Prin urmare, condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor; acestea. produsul lor punctual este zero sau sub formă de coordonate: .

Mai jos sunt exemple de rezolvare a problemelor legate de subiectul capitolului 5.

Exemplul 1:

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctul A (1,2,4) perpendicular pe dreapta dată de ecuația:

Decizie:

Folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, luăm punctul A (1,2,4), prin care planul trece prin condiția.

Cunoscând ecuațiile canonice ale dreptei, cunoaștem vectorul paralel cu dreapta.

Datorită faptului că, prin condiție, linia este perpendiculară pe planul dorit, vectorul direcție poate fi luat ca vector normal al planului.

Astfel, obținem ecuația planului sub forma:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Exemplul 2:

Găsiți în avion 4x-7y+5z-20=0 un punct P pentru care OP face unghiuri egale cu axele de coordonate.

Decizie:

Să facem un desen schematic. (Figura 5.6)

la

Figura 5.6

Punctul gol Р are coordonate. Deoarece vectorul formează aceleași unghiuri cu axele de coordonate, cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt egale între ele

Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt ușor de găsit.

Din egalitatea cosinusurilor direcției rezultă egalitatea:

x p \u003d y p \u003d z p

întrucât punctul P se află pe plan, înlocuirea coordonatelor acestui punct în ecuația planului îl transformă într-o identitate.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Respectiv: y r=10; z p=10.

Astfel, punctul dorit P are coordonatele P (10; 10; 10)

Exemplul 3:

Avand doua puncte A (2, -1, -2) si B (8, -7,5). Aflați ecuația planului care trece prin punctul B, perpendicular pe segmentul AB.

Decizie:

Pentru a rezolva problema, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, folosim punctul B (8, -7.5), iar ca vector perpendicular pe plan, vector. Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci obținem ecuația planului sub forma:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Exemplul 4:

Aflați ecuația unui plan paralel cu axa OY și care trece prin punctele K(1,-5,1) și M(3,2,-2).

Decizie:

Deoarece planul este paralel cu axa OY, vom folosi ecuația incompletă a planului.

Ax+Cz+D=0

Datorită faptului că punctele K și M se află pe plan, obținem două condiții.

Să exprimăm din aceste condiții coeficienții A și C în termenii lui D.

Înlocuim coeficienții găsiți în ecuația incompletă a planului:

deoarece , atunci reducem D:

Exemplul 5:

Aflați ecuația unui plan care trece prin trei puncte M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Decizie:

Să folosim ecuația unui plan care trece prin 3 puncte date.

înlocuind coordonatele punctelor M, K, R ca primul, al doilea și al treilea, obținem:

extinde determinantul de-a lungul primei linii.

Exemplul 6:

Aflați ecuația planului care trece prin punctele M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) și perpendicular pe plan 3x+5y-7z-21=0

Decizie:

Să facem un desen schematic (Figura 5.7)

Figura 5.7

Notăm planul dat P 2 și planul dorit P 2. . Din ecuația unui plan dat Р 1 determinăm proiecțiile vectorului perpendicular pe planul Р 1.

Vectorul poate fi mutat în planul P 2 prin translație paralelă, deoarece, conform condiției problemei, planul P 2 este perpendicular pe planul P 1, ceea ce înseamnă că vectorul este paralel cu planul P 2 .

Să găsim proiecțiile vectorului situat în planul Р 2:

acum avem doi vectori si situati in planul R 2 . evident vector , egal cu produsul vectorial al vectorilor și va fi perpendicular pe planul R2, deoarece este perpendicular și, prin urmare, vectorul său normal pe planul R2.

Vectorii și sunt dați de proiecțiile lor, prin urmare:

În continuare, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe vector. Ca punct, puteți lua oricare dintre punctele M 1 sau M 2, de exemplu M 1 (8, -3,1); Ca vector normal al planului Р 2 luăm .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Exemplul 7:

O linie dreaptă este definită de intersecția a două plane. Găsiți ecuațiile canonice ale dreptei.

Decizie:

Avem o ecuație sub forma:

Trebuie să găsesc un punct x 0, y 0, z 0) prin care trece linia dreaptă și vectorul direcție.

Alegem una dintre coordonate în mod arbitrar. De exemplu, z=1, atunci obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

Astfel, am găsit un punct situat pe dreapta dorită (2,0,1).

Ca vector de direcție al dreptei dorite, luăm produsul încrucișat al vectorilor și , care sunt vectori normali deoarece , ceea ce înseamnă paralel cu linia dorită.

Astfel, vectorul direcție al dreptei are proiecții . Folosind ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu un vector dat:

Deci ecuația canonică dorită are forma:

Exemplul 8:

Aflați coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan 2x+3y+3z-8=0

Decizie:

Să scriem ecuația dată a unei linii drepte într-o formă parametrică.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

fiecărui punct al dreptei îi corespunde o singură valoare a parametrului t. Pentru a găsi parametrul t corespunzând punctului de intersecție al dreptei și al planului, înlocuim expresia în ecuația planului x, y, z prin intermediul parametrului t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

apoi coordonatele punctului dorit

punctul de intersecție dorit are coordonatele (1;1;1).

Exemplul 9:

Aflați ecuația unui plan care trece prin drepte paralele.

Să facem un desen schematic (Figura 5.9)

Figura 5.9

Din ecuațiile date de drepte și determinăm proiecțiile vectorilor direcționari ai acestor drepte. Găsim proiecțiile vectorului situat în planul P și luăm punctele și din ecuațiile canonice ale dreptelor M 1 (1, -1,2) și M 2 (0,1, -2).

Prelegerea nr. 7

Plan și linie în spațiu

prof. Dymkov M.P.

1. Ecuația parametrică a unei drepte

Fie dat un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) pe o dreaptă și un vector s = (l ,m ,n ) situat pe

această linie (sau paralelă cu ea). Se mai numește vectorul s vector de ghidare drept.

Aceste condiții definesc în mod unic o linie dreaptă în spațiu. Să o găsim

ecuația. Luați un punct arbitrar M (x, y, z) pe linie. Este clar că vectorii

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) și s sunt coliniare.

Prin urmare, M 0 M = t s − este o ecuație vectorială a unei linii drepte.

În notația de coordonate, ultima ecuație are următoarea reprezentare parametrică

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

unde t - „trece prin”

interval (−∞ ,∞ ) ,

(deoarece punctul M (x, y, z) trebuie

"alerga prin"

întreaga linie).

2. Ecuația canonică a unei linii drepte

Eliminând parametrul t din ecuațiile anterioare, avem

x − x

y − y

z - z

T-

ecuația canonică a unei linii drepte.

3. Unghiul dintre linii. Condițiile „ ” și „ ” a două linii

Să fie date două linii

x − xi

y − yi

z−zi

i = 1,2.

Definiție.

Unghiul dintre liniile drepte L 1 și L 2

să numim orice unghi din

două unghiuri formate din două drepte, respectiv, paralele cu cea dată și care trec printr-un punct (ceea ce poate necesita translația paralelă a uneia dintre drepte).

Din definiție rezultă că unul dintre unghiuri este egal cu unghiul ϕ dintre

vectori de direcție ai liniilor

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [și al doilea unghi

atunci va fi egal cu (π − φ ) ]. Apoi unghiul este determinat din relație

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Liniile drepte sunt paralele dacă s și s

coliniare

Dreptele sunt perpendiculare pe s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Unghiul dintre o linie și un plan. Condițiile « » și « » direct și

avion

Fie ca dreapta L să fie dată de ecuația sa canonică x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

iar planul P prin ecuație

Ax + By + Cz + D = 0.

Definiție. Unghiul dintre linia L

iar planul p este unghiul ascuțit dintre dreapta L și proiecția acesteia pe plan.

Din definiție (și figură) rezultă că unghiul dorit ϕ este complementar (până la un unghi drept) cu unghiul dintre vectorul normal n (A , B ,C ) și

vector de direcție s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. se ia pentru a obține un unghi ascuțit).

Dacă L Р, atunci s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −					condiție " ".
Dacă L P , atunci s este coliniar cu n
				C-	condiție " ".
5. Puncte de intersecție a unei drepte și a unui plan
L : x = x0 + l , t ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Înlocuind expresiile pentru x, y, z în ecuația planului și transformând,
		t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Acum, dacă înlocuim „t” găsit în ecuațiile parametrice ale dreptei, atunci vom găsi punctul de intersecție dorit

Curs nr. 8-9

Bazele analizei matematice

prof. Dymkov M.P.

Una dintre principalele operații ale analizei matematice este operația de trecere la limită, care are loc în curs sub diferite forme. Începem cu cea mai simplă formă a operației de trecere la limită, bazată pe conceptul de limită a așa-numitei șiruri numerice. Aceasta va facilita introducerea unei alte forme foarte importante de trecere la operația limită, limita unei funcții. In cele ce urmeaza, in constructia calculului diferential si integral se vor folosi constructiile de treceri la limita.



 Secvențe infinitezimale și infinit de mari

 Relația dintre secvențe infinit de mari și infinit de mici.

 Cele mai simple proprietăți ale secvențelor infinitezimale

 Limită de secvență.

 Proprietăţi ale secvenţelor convergente

 Operații aritmetice pe secvențe convergente

 Secvențe monotone

 Criteriul de convergență Cauchy

 Numărul e și ilustrația sa economică.

 Aplicarea limitelor în calculele economice

§ 1. Secvențe numerice și proprietăți simple

1. Conceptul de succesiune numerică. Operații aritmetice pe secvențe

Secvențele de numere sunt seturi infinite de numere. Exemple de secvențe sunt cunoscute de la școală:

1) succesiunea tuturor membrilor unei progresii aritmetice și geometrice infinite;

2) succesiune de perimetre regulate n-gonuri înscrise într-un cerc dat;

	3) succesiunea de numere							aproximând numărul

va fi numită secvența de numere (sau doar o secvență).

Numerele separate x 3 , x 5 , x n vor fi numite elemente sau membri ai succesiunii (1). Simbolul x n este numit membru comun sau al n-lea al acestei secvențe. Dând valoarea n = 1, 2, … în termenul comun x n obținem, respectiv, primul x 1 , al doilea x 2 și așa mai departe. membrii.

O secvență este considerată dată (vezi Def.) dacă este specificată o metodă pentru obținerea oricăruia dintre elementele sale. Adesea, o secvență este dată de o formulă pentru termenul comun al șirului.

Pentru a scurta notația, șirul (1) se scrie uneori ca

( x n ) . De exemplu,			înseamnă secvența 1,
( 1+ (− 1)n ) avem			0, 2, 0, 2, … .

Structura termenului comun (formula sa) poate fi complexă. De exemplu,

							n N.
x n =					n-ciudat

Uneori succesiunea este dată de așa-numitul formule recurente, adică formule care vă permit să găsiți membrii ulterioare ai secvenței din cei anterioare cunoscuți.

Exemplu (numerele Fibonacci). Fie x 1 = x 2 = 1 și formula recurentă x n = x n − 1 + x n − 2 pentru n = 3, 4, … este dată. Atunci avem șirul 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (numerele lui Leonardo din Pisa, supranumit Fibonacci). Geometric, o secvență numerică poate fi reprezentată pe un număr

axă sub forma unei succesiuni de puncte ale căror coordonate sunt egale cu cele corespunzătoare

membrii corespunzători ai secvenței. De exemplu, ( x n ) = 1 n .

Curs № 8-9 Fundamentele analizei matematice prof. Dymkov M.P. 66

Considerăm împreună cu șirul ( x n ) o altă secvență ( y n ): y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definiție. Suma (diferența, produsul, coeficientul) secvenței

valorile ( xn ) și ( yn ) se numește o secvență ( zn ) ai cărei membri sunt

format conform

z n = x n + y n

X y

≠ 0

Produsul unei secvențe ( xn ) și un număr c R este o secvență ( c xn ) .

Definiție. Secvența ( xn ) se numește mărginită

de sus (de jos), dacă există un număr real M (m) astfel încât fiecare element al acestei secvențe xn satisface inegalul

xn ≤ M (xn ≥ m) . O secvență se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și sub m ≤ xn ≤ M . Se numește șirul xn

este nemărginit dacă pentru un număr pozitiv A (arbitrar de mare) exista cel putin un element al succesiunii xn , satisface

care dă inegalitatea xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − este mărginită de jos de 1, dar este nemărginită.

( x n ) = ( − n ) − mărginit de sus (–1), dar și nemărginit.

Definiție. Se numește șirul ( x n ). infinitezimal,

dacă pentru orice număr real pozitiv ε (oricât de mic este luat) există un număr N care depinde, în general, de ε , (N = N (ε )) astfel încât pentru tot n ≥ N inegalitatea x n< ε .

Exemplu. ( x n ) = 1 n .

Definiție. Se numește șirul ( xn ). durere nesfârșită-

nu dacă pentru un număr real pozitiv A (indiferent cât de mare este acesta) există un număr N (N = N(A)) astfel încât pentru toți n ≥ N

se obţine inegalitatea xn > A.

Să treacă dreapta prin punctul M1 (x1, y1, z1) și să fie paralelă cu vectorul (m ,n, l). Să scriem o ecuație pentru această dreaptă.

Să luăm un punct arbitrar M (x, y, z) pe această dreaptă și să găsim relația dintre x, y, z. Să construim un vector

Vectorii sunt coliniari.

- ecuația canonică a unei drepte în spațiu.

44 Ecuații parametrice ale unei drepte

pentru că această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie, atunci ecuația rezultată este o ecuație parametrică a dreptei.

Această ecuație vectorială poate fi reprezentată sub formă de coordonate:

Transformând acest sistem și echivalând valorile parametrului t, obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

Definiție. Cosinusurile de direcție ale dreptei sunt cosinusurile de direcție ale vectorului, care pot fi calculate prin formulele:

De aici obținem: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Numerele m, n, p se numesc panta dreptei. Deoarece este un vector diferit de zero, atunci m, n și p nu pot fi egali cu zero în același timp, dar unul sau două dintre aceste numere pot fi egale cu zero. În acest caz, în ecuația unei linii drepte, numărătorii corespunzători ar trebui să fie egalați cu zero.

45 Ecuația unei drepte în spațiu care trece prin două puncte diferite date.

Geometrie analitică

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie M1(x1y1) și M2(x2y2) date în plan. Să compunem ecuația canonică a dreptei care trece prin aceste două puncte, ca vector de direcție S luăm M1M2

troica.

Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte date (x1 y1) și (x2, y2)

Să ne întoarcem acum la ecuațiile dreptei și ale planului în spațiu.

Geometrie analitică în spațiul tridimensional

Similar cu cazul bidimensional, orice ecuație de gradul I în raport cu trei variabile x, y, z este o ecuație a unui plan în planurile spațiului Оxyz. Ecuația canonică a planului care trece prin punctul M(x0,y0,z0) și având normala N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – care este această ecuație?

Valorile x-x0, y-y0 și z-z0 sunt diferențele dintre coordonatele punctului curent și ale punctului fix. Prin urmare, vectorul a (x-x 0, y-y0, z-z0) este un vector situat în planul descris, iar vectorul N este un vector perpendicular pe plan, ceea ce înseamnă că sunt perpendiculari unul pe celălalt.

Atunci produsul lor scalar trebuie să fie egal cu zero.

În forma de coordonate (N,a)=0 arată astfel:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

În spațiu, se disting triplele de vectori dreapta și stânga. Un triplu de vectori necoplanari a, b, c se numește drept dacă, din originea lor comună, parcurgerea capetelor vectorilor a, b, c în ordinea specificată pare să meargă în sensul acelor de ceasornic. În caz contrar, rămân a,b,c.

46 Unghiul dintre liniile din spațiu

Un unghi între linii drepte în spațiu este oricare dintre unghiurile adiacente formate din două linii drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

În mod evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și. Deoarece, conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, i.e. l1 este paralel cu l2 dacă și numai dacă este paralel .

Două drepte sunt perpendiculare dacă și numai dacă suma produselor coeficienților corespunzători este egală cu zero: .

Aflați ecuațiile dreptei care trece prin punctul М1(1;2;3) paralel cu dreapta l1:

Deoarece linia dorită l este paralelă cu l1, atunci ca vector de direcție al dreptei dorite l, putem lua vectorul de direcție al dreptei l1.