Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare și transcendentale.

Sisteme de ecuații neliniare și transcendentale. Rezolvarea ecuațiilor în formă numerică.

Metode numerice de rezolvare a problemelor

Radio fizică și electronică

(Tutorial)

Voronej 2009

Manualul a fost pregătit la Departamentul de Electronică a Fizicii

Facultatea de la Universitatea de Stat Voronezh.

Se au în vedere metode de rezolvare a problemelor legate de analiza automată a circuitelor electronice. Sunt prezentate conceptele de bază ale teoriei grafurilor. Este dată o formulare matrice-topologică a legilor lui Kirchhoff. Sunt descrise cele mai cunoscute metode matrice-topologice: metoda potențialului nodal, metoda curentului de buclă, metoda modelului discret, metoda hibridă, metoda variabilei de stare.

1. Aproximarea caracteristicilor neliniare. Interpolare. 6

1.1. Polinoamele Newton și Lagrange 6

1.2. Interpolare spline 8

1.3. Cele mai mici pătrate 9

2. Sisteme de ecuații algebrice 28

2.1. Sisteme de ecuații liniare. metoda Gauss. 28

2.2. Sisteme rare de ecuații. factorizarea LU. 36

2.3. Rezolvarea ecuațiilor neliniare 37

2.4. Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare 40

2.5. Ecuatii diferentiale. 44

2. Metode de căutare a unui extremum. Optimizare. 28

2.1. Metode de căutare extreme. 36

2.2. Căutare pasivă 28

2.3. Căutare secvenţială 36

2.4. Optimizare multidimensională 37

Referințe 47

Aproximarea caracteristicilor neliniare. Interpolare.

1.1. Polinoamele lui Newton și Lagrange.

La rezolvarea multor probleme, devine necesară înlocuirea funcției f, despre care există informații incomplete sau a cărei formă este prea complexă, cu o funcție F mai simplă și mai convenabilă, apropiată într-un sens sau altul de f, dând aproximativ ei. reprezentare. Pentru aproximare (aproximare) se folosesc funcțiile F aparținând unei anumite clase, de exemplu, polinoame algebrice de un grad dat. Există multe variante diferite ale problemei de aproximare a funcției, în funcție de ce funcții f sunt aproximate, ce funcții F sunt utilizate pentru aproximare, cum este înțeleasă apropierea dintre f și F și așa mai departe.

Una dintre metodele de construire a funcțiilor aproximative este interpolarea, când se cere ca în anumite puncte (noduri de interpolare) valorile funcției inițiale f și ale funcției de aproximare F să coincidă. Într-un caz mai general, valorile lui derivatele în anumite puncte ar trebui să coincidă.

Interpolarea funcției este folosită pentru a înlocui o funcție greu de calculat cu una mai ușor de calculat; pentru recuperarea aproximativă a unei funcții din valorile sale în puncte individuale; pentru diferențierea numerică și integrarea funcțiilor; pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor neliniare și diferențiale etc.

Cea mai simplă problemă de interpolare este următoarea. Pentru o anumită funcție de pe un segment, n + 1 valori sunt date în puncte, care sunt numite noduri de interpolare. în care . Este necesar să se construiască o funcție de interpolare F(x) care ia aceleași valori la nodurile de interpolare ca f(x):

F(x 0) \u003d f (x 0), F (x 1) \u003d f (x 1), ..., F (x n) \u003d f (x n)

Geometric, aceasta înseamnă găsirea unei curbe de un anumit tip care trece printr-un sistem dat de puncte (x i , y i), i = 0,1,…,n.

Dacă valorile argumentului depășesc regiunea, atunci vorbesc despre extrapolare - continuarea funcției dincolo de regiunea definiției sale.

Cel mai adesea, funcția F(x) este construită ca un polinom algebric. Există mai multe reprezentări ale polinoamelor de interpolare algebrică.

Una dintre metodele de interpolare a funcțiilor care iau valori în puncte este construcția unui polinom Lagrange, care are următoarea formă:

Gradul polinomului de interpolare care trece prin n+1 noduri de interpolare este n.

Din forma polinomului Lagrange rezultă că adăugarea unui nou punct nodal duce la o modificare a tuturor membrilor polinomului. Acesta este inconvenientul formulei lui Lagrange. Dar metoda Lagrange conține numărul minim de operații aritmetice.

Pentru a construi polinoame Lagrange de grade crescătoare, se poate aplica următoarea schemă iterativă (schema lui Aitken).

Polinoamele care trec prin două puncte (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) pot fi reprezentate astfel:

Polinoame care trec prin trei puncte (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n) poate fi exprimat în termeni de polinoame L ij și L jk:

Polinoamele pentru patru puncte (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k) , (x l , y l) sunt construite din polinoamele L ijk și L jkl:

Procesul continuă până când se obține un polinom care trece prin n puncte date.

Algoritmul pentru calcularea valorii polinomului Lagrange la punctul XX, care implementează schema Aitken, poate fi scris folosind operatorul:

pentru (int i=0;i

pentru (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

o va percepe ca o eroare - re-declararea unei variabile,

variabila i a fost deja declarată

pentru (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

unde tabloul F este valorile intermediare ale polinomului Lagrange. Inițial, F[I] ar trebui setat egal cu y i . După executarea buclelor, F[N] este valoarea polinomului Lagrange de gradul N în punctul XX.

O altă formă de reprezentare a polinomului de interpolare sunt formulele lui Newton. Fie noduri de interpolare echidistante; i=0,1,…,n ; - pas de interpolare.

Prima formulă de interpolare a lui Newton, care este utilizată pentru interpolarea directă, este:

Se numește diferențe (finite) de ordinul I. Ele sunt definite astfel:

Argument normalizat.

La , formula de interpolare a lui Newton se transformă într-o serie Taylor.

Formula a doua de interpolare a lui Newton este folosită pentru a interpola „înapoi”:

În ultima intrare, în loc de diferențe (numite diferențe „înainte”) sunt folosite diferențele „înapoi”:

În cazul nodurilor distanțate inegal, așa-numitele. diferențe împărțite

În acest caz, polinomul de interpolare în forma Newton are forma

Spre deosebire de formula Lagrange, adăugarea unei noi perechi de valori. (x n +1 , y n +1) se reduce aici la adăugarea unui nou termen. Prin urmare, numărul de noduri de interpolare poate fi crescut cu ușurință fără a repeta întregul calcul. Acest lucru vă permite să evaluați acuratețea interpolării. Cu toate acestea, formulele lui Newton necesită mai multă aritmetică decât formulele lui Lagrange.

Pentru n=1, obținem formula de interpolare liniară:

Pentru n=2 vom avea formula de interpolare parabolica:

La interpolarea funcțiilor, polinoamele algebrice de grad înalt sunt rareori utilizate din cauza costurilor de calcul semnificative și a erorilor mari în calcularea valorilor.

În practică, interpolarea liniară pe bucăți sau parabolică pe bucăți este cel mai des utilizată.

Cu interpolarea liniară pe bucăți, funcția f(x) pe intervalul (i=0,1,…,n-1) este aproximată printr-un segment de linie dreaptă

Algoritmul de calcul care implementează interpolarea liniară pe bucăți poate fi scris folosind operatorul:

pentru (int i=0;i

dacă ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Folosind prima buclă, căutăm unde se află punctul dorit.

În interpolarea parabolică pe bucăți, polinomul este construit folosind cele 3 puncte nodale cele mai apropiate de valoarea argumentului dată.

Algoritmul de calcul care implementează interpolarea parabolică pe bucăți poate fi scris folosind operatorul:

pentru (int i=0;i

y0=Fy; Pentru i=0, elementul nu există!

x0=Fx; Aceeași

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Utilizarea interpolării nu este întotdeauna recomandabilă. La procesarea datelor experimentale, este de dorit să neteziți funcția. Aproximarea dependențelor experimentale prin metoda celor mai mici pătrate pornește de la cerința minimizării erorii pătratice medii

Coeficienții polinomului de aproximare se găsesc din soluția unui sistem de m + 1 ecuații liniare, așa-numitele. ecuații „normale”, k=0,1,…,m

Pe lângă polinoamele algebrice, polinoamele trigonometrice sunt utilizate pe scară largă pentru aproximarea funcțiilor.

(vezi „analiza armonică numerică”).

Splinele sunt un aparat eficient pentru aproximarea unei funcții. Spline necesită coincidența valorilor și derivatelor sale la punctele nodale cu funcția interpolată f(x) și derivatele sale până la o anumită ordine. Cu toate acestea, construcția de spline în unele cazuri necesită costuri de calcul semnificative.

1 | | | | | | | | | | | |

Este adesea necesar să existe expresii analitice pentru caracteristicile curent-tensiune ale elementelor neliniare. Aceste expresii pot reprezenta doar aproximativ CVC, deoarece legile fizice care guvernează relația dintre tensiuni și curenți în dispozitivele neliniare nu sunt exprimate analitic.

Sarcina unei reprezentări analitice aproximative a unei funcții dată grafic sau printr-un tabel de valori, în limitele date de modificare a argumentului acesteia (variabilă independentă) se numește aproximare. În acest caz, în primul rând, se alege funcția de aproximare, adică funcția cu care este reprezentată aproximativ dependența dată și, în al doilea rând, alegerea criteriului de apreciere a „proximității” acestei dependențe și a funcției de aproximare. aceasta.

Ca funcții de aproximare, se folosesc cel mai des polinoamele algebrice, unele funcții fracționale raționale, exponențiale și transcendentale sau un set de funcții liniare (segmente drepte).

Presupunem că CVC-ul unui element neliniar i= distracție (tu) dat grafic, adică definit în fiecare punct al intervalului Umin≤și≤U max,și este o funcție continuă cu o singură valoare a variabilei și. Atunci problema reprezentării analitice a caracteristicii curent-tensiune poate fi considerată ca problema aproximării funcției date ξ(х) de către funcția de aproximare aleasă. f(X).

Pe proximitatea aproximării f(X) și aproximativ ξ( X) sau, cu alte cuvinte, eroarea de aproximare, este de obicei judecată după cea mai mare valoare absolută a diferenței dintre aceste funcții în intervalul de aproximare A≤ X≤ b, adică în mărime

∆=max‌‌│ f(X)- ξ( X)│

Adesea, criteriul de proximitate este ales ca valoare pătrată medie a diferenței dintre funcțiile specificate în intervalul de aproximare.

Uneori, în apropierea a două funcții f( X) și ξ( X) înțelegeți coincidența la un punct dat

x= Ho funcţiile în sine şi P+ 1 dintre derivatele lor.

Cea mai comună modalitate de a aproxima o funcție analitică la una dată este interpolare(metoda punctelor alese) când funcțiile f( X) și ξ( X) în punctele selectate (la relele interpolării) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

Eroarea de aproximare poate fi realizată cu cât este mai mică, cu atât este mai mare numărul de parametri variabili incluși în funcția de aproximare, adică, de exemplu, cu atât este mai mare gradul polinomului de aproximare sau cu atât este mai mare numărul de segmente de linie care conține funcția de aproximare liniar întreruptă. . În același timp, firesc, volumul calculelor crește, atât în ​​rezolvarea problemei de aproximare, cât și în analiza ulterioară a circuitului neliniar. Simplitatea acestei analize, împreună cu caracteristicile funcției aproximate în intervalul de aproximare, este unul dintre cele mai importante criterii în alegerea tipului funcției de aproximare.

În problemele de aproximare a caracteristicilor curent-tensiune ale dispozitivelor electronice și semiconductoare, de obicei nu este necesar să se depună eforturi pentru o acuratețe ridicată a reproducerii lor din cauza unei răspândiri semnificative a caracteristicilor dispozitivului de la probă la probă și a influenței semnificative a factorilor destabilizatori asupra acestora. , de exemplu, temperatura în dispozitivele semiconductoare. În cele mai multe cazuri, este suficient să reproduci „corect” caracterul mediu general al dependenței i= f(u) în intervalul său de lucru. Pentru a putea calcula analitic circuite cu elemente neliniare este necesar să existe expresii matematice pentru caracteristicile elementelor. Aceste caracteristici în sine sunt de obicei experimentale, de exemplu. obţinute ca urmare a măsurătorilor elementelor corespunzătoare, iar apoi datele de referinţă (tipice) sunt formate pe această bază. Procedura pentru descrierea matematică a unei anumite funcții în matematică se numește o aproximare a acestei funcții. Există o serie de tipuri de aproximări: prin puncte selectate, de Taylor, de Cebyshev etc. În cele din urmă, este necesar să se obțină o expresie matematică care, cu anumite cerințe date, să satisfacă funcția de aproximare inițială.

Luați în considerare cea mai simplă metodă: metoda punctelor sau nodurilor selectate de interpolare printr-un polinom de putere.

Este necesar să se determine coeficienții polinomului. Pentru aceasta, selectați (n+1) puncte pe o funcție dată și un sistem de ecuații este compilat:

Din acest sistem se găsesc coeficienții a 0 , a 1 , a 2 , …, a n.

La punctele selectate, funcția de aproximare va coincide cu cea originală, în alte puncte va diferi (puternic sau nu - depinde de polinomul de putere).

Puteți folosi un polinom exponențial:

A doua metoda: Metoda de aproximare Taylor . În acest caz, este selectat un punct în care funcția inițială va coincide cu cea de aproximare, dar este stabilită o condiție suplimentară, astfel încât și derivatele să coincidă în acest punct.

Aproximația Butterworth: se alege cel mai simplu polinom:

În acest caz, puteți determina abaterea maximă ε la capetele intervalului.

Aproximare după Cebyshev: este o lege de putere, stabilește o potrivire în mai multe puncte și minimizează abaterea maximă a funcției de aproximare față de cea inițială. În teoria aproximării funcțiilor, se demonstrează că cea mai mare abatere absolută a polinomului f(X) grad P dintr-o funcție continuă ξ( X) va fi minim posibil dacă în intervalul de aproximare A≤ X≤ b diferență

f( X) - ξ( X) nu mai puțin decât n + 2 ori își ia maximul limită alternantă succesiv f(X) - ξ( X) = L > 0 și cel mai mic f(X) - ξ( X) = -L valori (criteriul lui Cebyshev).

În multe probleme aplicate, se utilizează aproximarea polinomială prin criteriul de proximitate rădăcină-medie pătrată, când parametrii funcției de aproximare f(X) se aleg din condiţia minimizării în intervalul de aproximare A≤ X≤ b abaterea funcției la pătrat f(X) unei funcții continue date ξ( X), adică din condiția:

Λ= 1/b-a∫ a [ f(X)- ξ( X)] 2 dx= min. (7)

În conformitate cu regulile de găsire a extremelor, soluția problemei se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, care se formează ca urmare a echivalării la zero a primelor derivate parțiale ale funcției. Λ pentru fiecare dintre coeficienții solicitați un k polinom de aproximare f(X), adică ecuații

dΛ ∕da 0=0; dΛ ∕da 1=0; dΛ ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Se dovedește că acest sistem de ecuații are și o soluție unică. În cele mai simple cazuri, se găsește analitic, iar în cazul general, numeric.

Cebyshev a stabilit că următoarea egalitate ar trebui să fie valabilă pentru abaterile maxime:

În practica inginerească, așa-numitul aproximare liniară pe bucăți este o descriere a unei curbe date prin segmente de linii drepte.

În fiecare dintre secțiunile liniarizate ale caracteristicii curent-tensiune sunt aplicabile toate metodele de analiză a oscilațiilor în circuitele electrice liniare. Este clar că, cu cât numărul de secțiuni liniarizate este împărțit într-o anumită caracteristică curent-tensiune, cu atât poate fi aproximată mai precis și cu atât este mai mare cantitatea de calcule în analiza oscilațiilor din circuit.

În multe probleme aplicate de analiză a oscilațiilor în circuite rezistive neliniare, caracteristica aproximativă curent-tensiune în intervalul de aproximare este reprezentată cu suficientă precizie prin două sau trei segmente de linie dreaptă.

O astfel de aproximare a caracteristicilor curent-tensiune oferă în majoritatea cazurilor rezultate destul de satisfăcătoare ale analizei oscilațiilor într-un circuit rezistiv neliniar cu efecte de magnitudine „mică” asupra elementului neliniar, adică atunci când valorile instantanee ale curenţii din elementul neliniar se modifică în limitele maxime admisibile de la eu= 0 la eu = eu max

Aproximarea funcției neliniare

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Deoarece intervalul de împărțire a funcției este egal, calculăm următorii coeficienți de pantă ai secțiunilor corespunzătoare ale funcției care se aproximează:

1. Blocuri de construcție pentru formarea segmentelor funcției de aproximare

Formarea funcției timp

Interval de schimbare:

Timp de repornire ciclic: T = 1s

Acum să modelăm funcția:

Apropiere

Figura 3.1 - Schema de rezolvare a ecuației

Figura 3.2 - Diagrama bloc a formării unei funcții neliniare

Astfel, partea stângă a ecuației se formează automat. În acest caz, se consideră convențional că cea mai mare derivată x// este cunoscută, deoarece membrii părții drepte a ecuației sunt cunoscuți și pot fi conectați la intrările Y1 (Figura 3.1). Amplificatorul operațional U3 acționează ca un invertor de semnal +x. Pentru a simula x//, este necesar să se introducă în circuit încă un amplificator subsumator, ale cărui intrări este necesar să se aplice semnale care simulează partea dreaptă a ecuației (3.2).

Scalele tuturor variabilelor sunt calculate, ținând cont de faptul că valoarea maximă a variabilei mașinii din spatele valorii absolute este de 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/max; Mx// = 10 / x //max;

My = 10 / ymax. (3,3)

Scala de timp este Mt = T / tmax = 1, deoarece simularea problemei se realizează în timp real.

Coeficienții de transmisie sunt calculați pentru fiecare intrare a amplificatoarelor integratoare.

Pentru amplificatorul U1, coeficienții de transfer sunt în spatele formulelor:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3,4)

Pentru amplificatorul U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

și pentru amplificatorul U3:

K31 = 1. (3,6)

Tensiunile condițiilor inițiale se calculează folosind formulele:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3,7)

Partea dreaptă a ecuației (3.2) este reprezentată de o funcție neliniară, care este dată prin aproximare liniară. În acest caz, este necesar să se verifice dacă eroarea de aproximare nu depășește valoarea specificată. Schema bloc a formării unei funcții neliniare este prezentată în Figura 3.2.

Descriere schema circuitului

Unitatea de generare a funcției de timp (F) este realizată sub forma unuia (pentru a forma t) sau a două amplificatoare integratoare conectate în serie (pentru a forma t2) cu condiții inițiale zero.

În acest caz, când semnalul U este aplicat la intrarea primului integrator, la ieșirea acestuia obținem:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3,8)

Fixând K11E=1, avem u1(t)= t.

La ieșirea celui de-al doilea integrator obținem:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

Setând K11K21E/2 = 1, avem u2(t)= t2.

Blocurile pentru formarea segmentelor funcției de aproximare sunt implementate sub formă de blocuri de diode de funcții neliniare (DBNF), a căror valoare de intrare este o funcție a timpului t sau t2. Procedura de calcul și construcție a DBNF este dată în.

Sumatorul (SAD) de segmente ale funcției de aproximare este implementat ca un amplificator final diferenţial.

Condițiile inițiale pentru integratorii circuitului de modelare sunt introduse folosind un nod cu structură variabilă (Figura 3.3). Această schemă poate funcționa în două moduri:

a) integrare - cu poziţia cheii K în poziţia 1. În acest caz, semnalul iniţial al circuitului este descris cu suficientă precizie prin ecuaţia unui integrator ideal:

u1(t)= - (1 / RC) . (3,10)

Acest mod este utilizat la modelarea unei sarcini. Pentru a verifica corectitudinea alegerii parametrilor R și C ai integratorului, se verifică valoarea tensiunii inițiale a integratorului în funcție de timp și timpul de integrare util în cadrul erorii admisibile?

Valoarea tensiunii inițiale a integratorului

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

în timpul de simulare T la integrarea semnalului de intrare E folosind un amplificator operațional cu un câștig Ky fără buclă de feedback, nu trebuie să depășească valoarea variabilei mașinii (10 V).

Timp de integrare

Esti \u003d 2RC (Ku + 1)? Uadd (3.12)

pentru parametrii circuitului selectat nu trebuie să fie mai mici decât timpul de simulare T.

b) setarea condiţiilor iniţiale este implementată când cheia K este pusă în poziţia 2. Acest mod este utilizat la pregătirea circuitului de modelare pentru procesul de soluţionare. În acest caz, semnalul inițial al circuitului este descris de ecuația:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

unde u0(t) este valoarea condițiilor inițiale.

Pentru a reduce timpul de formare a condițiilor inițiale și pentru a asigura funcționarea fiabilă, parametrii circuitului trebuie să satisfacă condiția: R1C1 = R2C.

Construiți o schemă completă de calcul. În acest caz, trebuie utilizate convențiile menționate în subsecțiunea 3.1.

Folosind capacitatea datelor de intrare și sursă, construiți diagramele schematice ale blocurilor B1 și B2 și conectați-le la blocul PC.

(Atenție la secțiunea suplimentară din 06/04/2017 de la sfârșitul articolului.)

Contabilitate si control! Cei peste 40 de ani ar trebui să-și amintească bine acest slogan din epoca construirii socialismului și comunismului în țara noastră.

Dar fără o contabilitate bine stabilită, este imposibil ca țara, regiunea, întreprinderea sau gospodăria să funcționeze eficient în orice formare socio-economică a societății! Pentru intocmirea prognozelor si planurilor de activitate si dezvoltare sunt necesare date initiale. Unde sa le duci? Unul singur de încredere sursa este ta datele contabile statistice ale perioadelor anterioare.

Pentru a ține cont de rezultatele activităților lor, de a colecta și de a înregistra informații, de a procesa și de a analiza date, de a aplica rezultatele analizei pentru a lua deciziile corecte în viitor, după înțelesul meu, fiecare persoană sănătoasă ar trebui. Aceasta nu este altceva decât acumularea și utilizarea rațională a experienței de viață. Dacă nu țineți o evidență a datelor importante, atunci după o anumită perioadă de timp le veți uita și, începând din nou să vă ocupați de aceste probleme, veți face din nou aceleași greșeli pe care le-ați făcut când ați făcut-o prima dată.

„Îmi amintesc că acum 5 ani făceam până la 1000 de bucăți din astfel de produse pe lună, iar acum abia putem colecta chiar și 700!” Deschidem statisticile și vedem că acum 5 ani, nici 500 de piese nu s-au făcut...

„Cât costă un kilometru din mașina ta, ținând cont toate cheltuieli?" Deschidem statistici - 6 ruble / km. O călătorie la serviciu - 107 ruble. Mai ieftin decât un taxi (180 de ruble) de mai mult de o dată și jumătate. Și au fost momente când un taxi era mai ieftin...

„Cât timp durează fabricarea structurilor metalice pentru un turn de comunicații de colț înalt de 50 m?” Deschidem statisticile - și în 5 minute răspunsul este gata...

„Cât va costa renovarea unei camere într-un apartament?” Credem vechi recorduri, facem o ajustare pentru inflație din ultimii ani, luăm în considerare că ultima dată am cumpărat materiale cu 10% mai ieftin decât prețul pieței și - știm deja costul estimat...

Păstrând evidența activităților tale profesionale, vei fi mereu gata să răspunzi la întrebarea șefului: „Când!!!???”. Păstrarea evidențelor casnice facilitează planificarea pentru achiziții majore, vacanțe și alte cheltuieli în viitor, luând măsurile adecvate pentru a câștiga bani suplimentari sau pentru a reduce cheltuielile neesențiale astăzi.

În acest articol, voi folosi un exemplu simplu pentru a arăta cum datele statistice colectate pot fi procesate în Excel pentru a fi utilizate în continuare în prognoza perioadelor viitoare.

Aproximarea în Excel a datelor statistice printr-o funcție analitică.

Locul de producție produce structuri metalice de construcție din tablă și produse metalice profilate. Site-ul funcționează stabil, comenzile sunt de același tip, numărul de muncitori fluctuează ușor. Există date despre producția de produse din ultimele 12 luni și despre cantitatea de metal laminat prelucrat în aceste perioade de timp pe grupe: table, grinzi în I, canale, colțuri, țevi rotunde, secțiuni dreptunghiulare, produse laminate rotunde. După o analiză preliminară a datelor inițiale, s-a presupus că producția totală lunară a structurilor metalice depinde în mod semnificativ de numărul de unghiuri din comenzi. Să verificăm această presupunere.

În primul rând, câteva cuvinte despre aproximare. Vom căuta o lege - o funcție analitică, adică o funcție dată de o ecuație care descrie mai bine decât altele dependența producției totale a structurilor metalice de numărul de bare unghiulare în ordine completate. Aceasta este aproximarea, iar ecuația găsită se numește funcție de aproximare pentru funcția originală, dată sub forma unui tabel.

1. Pornim Excel și plasăm pe foaie un tabel cu date statistice.

2. Apoi, construim și formatăm o diagramă de dispersie, în care setăm valorile argumentului de-a lungul axei X - numărul de colțuri procesate în tone. Pe axa Y, trasăm valorile funcției originale - producția totală de structuri metalice pe lună, dată de tabel.

3. „Plasați cursorul” peste oricare dintre punctele de pe diagramă și faceți clic dreapta pentru a apela meniul contextual (cum spune unul dintre bunii mei prieteni, când lucrați într-un program necunoscut, când nu știți ce să faceți, corect -click mai des...). În meniul drop-down, selectați „Adăugați o linie de tendință...”.

4. În fereastra „Trend line” care apare, în fila „Type”, selectați „Liniar”.

6. Pe grafic a apărut o linie dreaptă, aproximând dependența noastră tabelară.

Pe lângă linia în sine, vedem ecuația acestei linii și, cel mai important, vedem valoarea parametrului R 2 - mărimea fiabilității aproximării! Cu cât valoarea sa este mai aproape de 1, cu atât funcția selectată aproximează mai precis datele tabelare!

7. Construim linii de tendință folosind aproximări de putere, logaritmice, exponențiale și polinomiale în același mod în care am construit o linie de tendință liniară.

Polinomul de gradul doi, cel mai bun dintre toate funcțiile selectate, aproximează datele noastre, are coeficientul maxim de fiabilitate R 2 .

Cu toate acestea, vreau să vă avertizez! Dacă luați polinoame de grade mai mari, probabil veți obține rezultate și mai bune, dar curbele vor părea complicate... Este important să înțelegem aici că căutăm o funcție care are o semnificație fizică. Ce inseamna asta? Aceasta înseamnă că avem nevoie de o funcție de aproximare care să dea rezultate adecvate nu numai în intervalul considerat al valorilor X, ci și dincolo de acesta, adică va răspunde la întrebarea: „Care va fi rezultatul structurilor metalice dacă numărul de colțuri procesate pe lună este mai puțin de 45 și mai mult de 168 de tone! Prin urmare, nu vă recomand să vă lăsați dus de polinoame de grad înalt și să alegeți cu grijă o parabolă (polinom de gradul doi)!

Așadar, trebuie să alegem o funcție care nu numai că interpolează datele tabulare bine în intervalul de valori X=45...168, ci și permite extrapolarea adecvată în afara acestui interval. Eu aleg în acest caz o funcție logaritmică, deși puteți alege una liniară, ca fiind cea mai simplă. În exemplul luat în considerare, atunci când alegeți o aproximare liniară în excel, erorile vor fi mai mari decât atunci când alegeți una logaritmică, dar nu cu mult.

8. Eliminam toate liniile de tendință din câmpul grafic, cu excepția funcției logaritmice. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe liniile inutile și selectați „Ștergeți” în meniul contextual derulant.

9. În cele din urmă, adăugăm bare de eroare la punctele de date tabelare. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe oricare dintre punctele din diagramă și selectați „Format serie de date...” în meniul contextual și configurați datele din fila „Y-erori” așa cum se arată în figura de mai jos.

10. Apoi facem clic dreapta pe oricare dintre liniile de intervale de eroare, selectăm „Format de bare de eroare...” în meniul contextual și în fereastra „Format de bare de eroare” din fila „Vizualizare”, ajustați culoarea și grosimea a liniilor.

Orice alte obiecte diagramă sunt formatate în același mod.excela!

Rezultatul final al diagramei este prezentat în următoarea captură de ecran.

Rezultate.

Rezultatul tuturor acțiunilor anterioare a fost formula rezultată pentru funcția de aproximare y=-172,01*ln (x)+1188,2. Cunoscând acest lucru și numărul de colțuri din setul lunar de lucrări, este posibil cu un grad ridicat de probabilitate (± 4% - vezi barele de eroare) să preziceți producția totală de structuri metalice pentru luna! De exemplu, dacă există 140 de tone de unghiuri în planul lunar, atunci producția totală, toate celelalte lucruri fiind egale, va fi cel mai probabil 338 ± 14 tone.

Pentru a crește fiabilitatea aproximării, ar trebui să existe o mulțime de date statistice. Douăsprezece perechi de valori nu sunt suficiente.

Din practică voi spune că găsirea unei funcții de aproximare cu un coeficient de fiabilitate R 2 >0,87 ar trebui considerată un rezultat bun. Rezultat excelent - la R2 >0,94.

În practică, poate fi dificil să evidențiem un factor determinant cel mai important (în exemplul nostru, masa de colțuri reciclate într-o lună), dar dacă încerci, îl poți găsi întotdeauna în fiecare sarcină specifică! Desigur, producția totală pe lună depinde într-adevăr de sute de factori, care necesită aporturi semnificative de forță de muncă din partea stabilitorilor de tarife și a altor specialiști de luat în considerare. Doar rezultatul va fi în continuare aproximativ! Deci merită să suportăm costul atunci când există modelare matematică mult mai ieftină!

În acest articol, am atins doar vârful aisbergului numit colectarea, prelucrarea și utilizarea în practică a datelor statistice. Fie ca am reusit sau nu, iti trezesc interesul pentru acest subiect, sper sa invat din comentariile si ratingul articolului din motoarele de cautare.

Problema atinsă a aproximării funcției unei variabile are o largă aplicație practică în diferite sfere ale vieții. Dar rezolvarea problemei de aproximare a funcției are o aplicație mult mai mare mai multe independente variabile…. Citiți despre asta și multe altele în următoarele articole de blog.

Abonati-va la anunţuri de articole în fereastra situată la sfârşitul fiecărui articol sau în fereastra din partea de sus a paginii.

Nu uita a confirma abonament făcând clic pe link într-o scrisoare care vă va veni la e-mailul specificat (poate veni într-un folder « Spam » )!!!

Voi citi cu interes comentariile voastre, dragi cititori! Scrie!

P.S. (06.04.2017)

Înlocuire frumoasă foarte precisă a datelor tabelare cu o ecuație simplă.

Nu sunteți mulțumit de precizia de aproximare obținută (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Dimensiunile expresiei și forma liniei polinomului de grad înalt aproximativ nu sunt plăcute ochiului?

Consultați pagina " " pentru un rezultat mai precis și mai compact al potrivirii datelor dvs. tabelare și pentru a învăța o tehnică simplă de rezolvare a problemelor de aproximare de înaltă precizie printr-o funcție a unei variabile.

La utilizarea algoritmului de acțiuni propus, s-a găsit o funcție foarte compactă care oferă cea mai mare precizie de aproximare: R 2 =0,9963!!!

Caracteristicile elementelor reale neliniare, care sunt de obicei determinate cu ajutorul unor studii experimentale, au o formă complexă și sunt prezentate sub formă de tabele sau grafice. Totodata, pentru analiza si calculul circuitelor este necesara o reprezentare analitica a caracteristicilor, i.e. reprezentare sub forma unor funcţii destul de simple. Procesul de compilare a unei expresii analitice pentru caracteristicile prezentate grafic sau tabelar este numit apropiere.

Aproximarea rezolvă următoarele probleme:

1. Determinarea zonei de aproximare, care depinde de gama de semnale de intrare.

2. Determinarea preciziei de aproximare. Este clar că aproximarea oferă o reprezentare aproximativă a caracteristicii sub forma unei expresii analitice. Prin urmare, este necesar să se cuantifice gradul de aproximare a funcției de aproximare la caracteristica determinată experimental. Cel mai frecvent utilizat:

indicator de aproximare uniformă - funcția de aproximare nu trebuie să difere de funcția dată cu mai mult de un anumit număr, adică

;

indicator de aproximare a pătratului mediu - funcția de aproximare nu ar trebui să difere de funcția dată în aproximarea pătratului mediu cu mai mult de un anumit număr, i.e.

;

aproximare nodală (interpolare) - funcția de aproximare trebuie să coincidă cu funcția dată în unele puncte selectate.

Există diferite metode de aproximare. Cel mai adesea, pentru aproximarea caracteristicilor I–V, se utilizează aproximarea printr-un polinom de putere și aproximarea liniară pe bucăți, mai rar - aproximarea folosind funcții exponențiale, trigonometrice sau speciale (Bessel, Hermite etc.).

7.2.1. Aproximare printr-un polinom de putere

Caracteristica curent-tensiune neliniară în vecinătatea punctului de operare este reprezentată de un număr finit de termeni din seria Taylor:

Numărul de termeni din serie este determinat de precizia de aproximare necesară. Cu cât sunt mai mulți termeni în serie, cu atât aproximarea este mai precisă. În practică, precizia necesară este obținută folosind aproximarea prin polinoame de gradul doi și trei. Cote - acestea sunt numere care sunt destul de simplu determinate din graficul VAC, care este ilustrat printr-un exemplu.

Exemplu.

Pentru a o aproxima pe cea prezentată în fig. 7.1,un CVC în vecinătatea punctului de operare printr-un polinom de putere de gradul doi, i.e. polinom al formei

Să alegem aria de aproximare de la 0,2 V la 0,6 V. Pentru a rezolva problema, este necesar să se determine trei coeficienți. Prin urmare, ne restrângem la trei puncte nodale (în mijlocul și la limitele intervalului selectat), pentru care compunem un sistem de trei ecuații:

Orez. 7.1. Aproximarea caracteristicilor IV ale unui tranzistor

Rezolvând sistemul de ecuații, determinăm , , . Prin urmare, expresia analitică care descrie curba I–V are forma

Rețineți că aproximarea printr-un polinom de putere este folosită în principal pentru a descrie fragmente individuale de caracteristici. Cu abateri semnificative ale semnalului de intrare de la punctul de operare, precizia aproximării se poate deteriora semnificativ.

Dacă CVC nu este specificat grafic, ci de o funcție analitică și devine necesar să-l reprezinte ca polinom de putere, atunci coeficienții se calculează folosind formula binecunoscută

.

Este ușor să vezi asta este panta I–V la punctul de operare. Valoarea abruptului depinde esential de pozitia punctului de operare.

În unele cazuri, este mai convenabil să reprezinte caracteristica prin seria Maclaurin

7.2.2. Aproximație liniară pe bucăți

Dacă semnalul de intrare variază în mărime într-un interval mare, atunci caracteristica I–V poate fi aproximată printr-o linie întreruptă constând din mai multe segmente de linie dreaptă. Pe fig. 7.1b prezintă caracteristica curent-tensiune a tranzistorului, aproximată prin trei segmente de linie.

Formula matematică a CVC aproximativă

Acest tip de aproximare este asociat cu doi parametri importanți ai unui element neliniar: tensiunea de la începutul caracteristicii și abruptul acesteia. Pentru a crește acuratețea aproximării, creșteți numărul de segmente de linie. Cu toate acestea, acest lucru complică formula matematică CVC.