Să revenim acum la sarcina noastră - să găsim accelerația cu care corpul se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă în valoare absolută.

Accelerația, așa cum se știe, este determinată de formulă

unde este viteza corpului într-un moment inițial de timp și este viteza acestuia după o perioadă de timp. În cazul nostru, modulele de viteză și sunt egale între ele.

Să presupunem că corpul se mișcă de-a lungul unui cerc cu o rază și că la un moment dat în timp se află în punctul A (Fig. 67).

Care este accelerația în acest moment? Viteza în acest punct este direcționată tangențial la cercul din punctul A. După o secundă, corpul se află în punctul B, iar viteza sa este acum

direcționat tangențial la cercul din punctul B. Modulo viteza și 10 sunt egale (lungimile săgeților și sunt aceleași).

Vrem să aflăm accelerația în punctul A al cercului (accelerație instantanee). Prin urmare, trebuie să luăm punctele A și B aproape unul de celălalt, atât de aproape încât arcul, așa cum ar fi, să se contracte într-un punct.

Să aflăm mai întâi cum este direcționată această accelerație.

Să desenăm raze de la centrul O al cercului până la punctele A și B. Raza cercului este perpendiculară pe tangenta în punctul de contact, prin urmare, razele și sunt perpendiculare pe vectorii și Pentru a afla direcția vector de accelerație, trebuie să găsiți un vector egal cu diferența dintre vectori și direcția acestuia este direcția accelerației vectoriale. Știm deja cum să scădem vectorii (vezi § 6). Pentru a găsi diferența, aranjam vectorii astfel încât să emane dintr-un punct (Fig. 68) și legăm capetele prin direcționarea săgeții de la scădere la redus (de la capătul vectorului până la sfârșitul vectorului. Vectorul este diferența dintre vectori.De aceea, accelerația este direcționată de-a lungul vectorului.Ce se poate spune despre această direcție?

Triunghiul (vezi Fig. 68) este isoscel. Unghiul la vârful A este egal cu unghiul dintre razele și (Fig. 67), deoarece acestea sunt formate din laturi reciproc perpendiculare. Punctele A și B sunt aproape unul de celălalt, deci unghiul este foarte mic (aproape de zero). Fiecare dintre unghiurile de la baza triunghiului este aproape de un unghi drept, deoarece suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte. Aceasta înseamnă că vectorul

perpendicular pe vectorul viteză. Prin urmare, accelerația este perpendiculară pe viteza. Dar viteza este tangentă la cercul în punctul A, iar tangenta este perpendiculară pe rază. Aceasta înseamnă că accelerația este direcționată de-a lungul razei către centrul cercului. De aceea se numește accelerație centripetă.

Când un corp se mișcă uniform de-a lungul unui cerc, accelerația în orice punct este perpendiculară pe viteza de mișcare și este îndreptată spre centrul cercului.

Această caracteristică interesantă a accelerației atunci când se deplasează de-a lungul unui cerc cu o viteză modulo constantă este prezentată în Figura 69.

Să găsim acum modulul de accelerație centripetă. Pentru a face acest lucru, trebuie să aflați care este valoarea absolută a mărimii. Din figura 68, se poate observa că modulul diferenței vectorilor este egal cu lungimea segmentului. Deoarece unghiul este foarte mic, segmentul diferă puțin de arcul unui cerc (indicat printr-o linie punctată) centrat în punctul A. Raza acestui cerc este numeric egală cu Dar, după cum știm (vezi § 24), lungimea unui astfel de arc este Prin urmare, valoarea absolută a acceleraţiei este . Dar viteza unghiulară Asa de

Accelerația unui corp care se mișcă de-a lungul unui cerc este produsul dintre viteza sa liniară și viteza unghiulară a virii razei trase către corp.

Este mai convenabil să se reprezinte formula pentru accelerația centripetă într-o astfel de formă încât să includă valoarea razei cercului de-a lungul căruia corpul se mișcă. Deoarece vitezele unghiulare și liniare sunt legate prin relația (- raza cercului), atunci, înlocuind această expresie în formulă, obținem:

Dar, prin urmare, formula pentru accelerația centripetă poate fi scrisă și după cum urmează:

În mișcare circulară uniformă, un corp se mișcă cu

accelerația, care este îndreptată de-a lungul razei către centrul cercului și al cărei modul este determinat de expresia

Prin urmare, este și opusul adevărat: dacă se știe că viteza corpului este egală și accelerația corpului în toate punctele este perpendiculară pe vectorul vitezei sale și este egală în valoare absolută, atunci se poate argumenta că un astfel de corp se mișcă într-un cerc, a cărui rază este determinată de formula

Aceasta înseamnă că, dacă cunoaștem viteza inițială a corpului și valoarea absolută a accelerației sale centripete, putem desena un cerc de-a lungul căruia corpul se va mișca și își va găsi oricând poziția (poziția inițială a corpului trebuie, desigur, , fi cunoscut). Astfel, principala problemă a mecanicii va fi rezolvată.

Amintiți-vă că ne interesează accelerația în timpul mișcării uniforme de-a lungul unui cerc, deoarece orice mișcare de-a lungul unei traiectorii curbilinii este mișcare de-a lungul arcurilor de cerc cu raze diferite.

Acum putem spune că, cu mișcare uniformă în orice punct al unei traiectorii curbilinii, corpul se mișcă cu accelerație îndreptată spre centrul cercului din care traiectoria dată este o parte în apropierea acestui punct. Valoarea numerică a accelerației depinde de viteza corpului în acest punct și de raza cercului corespunzător. Figura 70 prezintă o traiectorie complexă și indică vectorii de accelerație centripetă în diferite puncte ale traiectoriei.

Sarcină. Aeronava, părăsind vârful, se deplasează de-a lungul unui arc, care în partea sa inferioară este un arc de cerc cu o rază de 500 m (Fig. 71). Calculați accelerația aeronavei la nadir dacă viteza sa este de 800 km/h și comparați această valoare cu accelerația datorată gravitației.

4. O roată de șlefuit cu o rază de 10 cm face 1 rotație în 0,2 secunde în timpul rotației. Aflați viteza punctelor cele mai îndepărtate de axa de rotație.

5. Un autoturism se deplasează de-a lungul unei rotunjiri a drumului cu o rază de 100 m cu o viteză de 54 km/h. Care este accelerația centripetă a mașinii?

6. Perioada de revoluție a primei nave-satelit „Vostok” în jurul Pământului a fost de 90 de minute. Înălțimea medie a navei spațiale deasupra Pământului poate fi considerată egală cu 320 km. Raza Pământului este de 6.400 km. Calculați viteza navei.

7. Care este viteza mașinii dacă roțile sale cu raza de 30 cm fac 10 rotații într-o secundă?

8. Două scripete ale căror raze sunt legate printr-o curea fără sfârșit. Perioada de rotație a unui scripete cu raza mai mică este de 0,5 sec. Care este viteza cu care se deplasează punctele centurii? Care este perioada de rotație a celui de-al doilea scripete?

9. Luna se mișcă în jurul Pământului la o distanță de 385.000 km de acesta, făcând o revoluție în 27,3 zile. Calculați accelerația centripetă a Lunii.

În studiul mișcării în fizică, conceptul de traiectorie joacă un rol important. Ea este cea care determină în mare măsură tipul de mișcare a obiectelor și, ca urmare, tipul de formule care descriu această mișcare. Una dintre traiectorii comune de mișcare este un cerc. În acest articol, vom lua în considerare ce este accelerația centripetă atunci când ne mișcăm într-un cerc.

Conceptul de accelerație totală

Înainte de a caracteriza accelerația centripetă la deplasarea de-a lungul unui cerc, să luăm în considerare conceptul de accelerație totală. Sub ea, se presupune o mărime fizică, care descrie simultan modificarea valorii vectorului absolut și viteză. În formă matematică, această definiție arată astfel:

Accelerația este derivata totală a vitezei în raport cu timpul.

După cum se știe, viteza v¯ a corpului în fiecare punct al traiectoriei este tangențială. Acest fapt ne permite să-l reprezentăm ca produs al modulului v și al vectorului tangent unitar u¯, adică:

Apoi accelerația totală poate fi calculată după cum urmează:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Valoarea a¯ este suma vectorială a doi termeni. Primul termen este direcționat tangențial (ca viteza corpului) și se numește accelerație tangențială. Determină viteza de modificare a modulului de viteză. Al doilea termen este accelerația normală. O vom analiza mai detaliat mai târziu în articol.

Expresia de mai sus pentru componenta normală de accelerație an¯ poate fi scrisă explicit:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Aici dl este calea parcursă de corp de-a lungul traiectoriei în timp dt, re¯ este vectorul unitar îndreptat către centrul de curbură al traiectoriei, r este raza acestei curburi. Formula rezultată conduce la câteva caracteristici importante ale componentei an¯ a accelerației totale:

• Valoarea lui an¯ crește odată cu pătratul vitezei și scade invers cu raza, ceea ce o deosebește de componenta tangențială. Acesta din urmă nu este egal cu zero doar în cazul unei modificări a modulului de viteză.
• Accelerația normală este întotdeauna îndreptată spre centrul de curbură, motiv pentru care se numește centripetă.

Astfel, principala condiție pentru existența unei mărimi nenule an¯ este curbura traiectoriei. Dacă nu există o astfel de curbură (deplasare rectilinie), atunci an¯ = 0, deoarece r->∞.

Accelerația centripetă în mișcare circulară

Un cerc este o linie geometrică, toate punctele care se află la aceeași distanță de un punct. Acesta din urmă se numește centrul cercului, iar distanța menționată este raza acestuia. Dacă viteza corpului în timpul rotației nu se modifică în valoare absolută, atunci se vorbește despre mișcare uniform variabilă într-un cerc. În acest caz, accelerația centripetă este ușor de calculat folosind una dintre cele două formule de mai jos:

Unde ω este viteza unghiulară, măsurată în radiani pe secundă (rad/s). A doua egalitate se obține datorită formulei pentru relația dintre vitezele unghiulare și liniare:

Forțe centripete și centrifuge

Cu o mișcare uniformă a unui corp de-a lungul unui cerc, accelerația centripetă are loc datorită acțiunii forței centripete corespunzătoare. Vectorul său este întotdeauna îndreptat spre centrul cercului.

Natura acestei forțe poate fi foarte diversă. De exemplu, atunci când o persoană învârte o piatră legată de o frânghie, atunci pe traiectoria ei este ținută de forța de întindere a frânghiei. Un alt exemplu de acțiune a forței centripete este interacțiunea gravitațională dintre Soare și planete. Acesta este cel care face ca toate planetele și asteroizii să se miște pe orbite circulare. Forța centripetă nu este capabilă să modifice energia cinetică a corpului, deoarece este direcționată perpendicular pe viteza sa.

Fiecare persoană ar putea acorda atenție faptului că în timp ce întoarce mașina, de exemplu, spre stânga, pasagerii sunt apăsați spre marginea dreaptă a interiorului vehiculului. Acest proces este rezultatul acțiunii forței centrifuge a mișcării de rotație. De fapt, această forță nu este reală, deoarece se datorează proprietăților inerțiale ale corpului și dorinței sale de a se mișca pe o cale dreaptă.

Forțele centrifuge și centripete sunt egale ca mărime și opuse ca direcție. Dacă nu ar fi așa, atunci traiectoria circulară a corpului ar fi încălcată. Dacă luăm în considerare a doua lege a lui Newton, atunci se poate argumenta că în timpul mișcării de rotație, accelerația centrifugă este egală cu cea centripetă.

Aslamazov L.G. Mișcare circulară // Kvant. - 1972. - Nr 9. - S. 51-57.

Prin acord special cu redacția și editorii revistei „Kvant”

Pentru a descrie mișcarea într-un cerc, împreună cu viteza liniară, este introdus conceptul de viteză unghiulară. Dacă un punct se mișcă de-a lungul unui cerc în timp Δ t descrie un arc, a cărui măsură unghiulară este Δφ, apoi viteza unghiulară.

Viteza unghiulară ω este legată de viteza liniară υ prin relația υ = ω r, Unde r- raza cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul (fig. 1). Conceptul de viteză unghiulară este deosebit de convenabil pentru a descrie rotația unui corp rigid în jurul unei axe. Deși vitezele liniare ale punctelor situate la distanțe diferite față de axă nu vor fi aceleași, vitezele unghiulare ale acestora vor fi egale și putem vorbi despre viteza unghiulară de rotație a corpului în ansamblu.

Sarcina 1. Raza discului r se rostogolește fără alunecare pe un plan orizontal. Viteza centrului discului este constantă și egală cu υ p. Cu ce ​​viteză unghiulară se rotește discul în acest caz?

Fiecare punct al discului participă la două mișcări - în mișcare de translație cu o viteză υ n împreună cu centrul discului și în mișcare de rotație în jurul centrului cu o anumită viteză unghiulară ω.

Pentru a găsi ω, folosim absența alunecării, adică faptul că în fiecare moment de timp viteza unui punct de disc în contact cu planul este zero. Aceasta înseamnă că pentru subiect DAR(Fig. 2) viteza mișcării de translație υ p este egală ca mărime și opusă ca direcție cu viteza liniară a mișcării de rotație υ vr = ω· r. De aici ajungem imediat.

Sarcina 2. Găsiți puncte de viteză LA, Cuși D același disc (Fig. 3).

Luați în considerare mai întâi punctul LA. Viteza liniară a mișcării sale de rotație este îndreptată vertical în sus și este egală cu , adică egală ca mărime cu viteza mișcării de translație, care, totuși, este îndreptată orizontal. Adăugând aceste două viteze vectorial, aflăm că viteza rezultată υ B este egală ca mărime și formează un unghi de 45º cu orizontul. La punctul Cu vitezele de rotație și de translație sunt direcționate în același sens. Viteza rezultată υ C egal cu 2υ n şi îndreptat orizontal. În mod similar, se găsește viteza unui punct D(Vezi fig. 3).

Chiar și în cazul în care viteza unui punct care se mișcă de-a lungul unui cerc nu se schimbă în mărime, punctul are o anumită accelerație, deoarece direcția vectorului viteză se schimbă. Această accelerație se numește centripetă. Este îndreptată spre centrul cercului și este egală cu ( R este raza cercului, ω și υ sunt vitezele unghiulare și liniare ale punctului).

Dacă viteza unui punct care se mișcă de-a lungul unui cerc se schimbă nu numai în direcție, ci și în mărime, atunci, împreună cu accelerația centripetă, există și așa-numita tangenţial accelerare. Este îndreptată tangențial la cerc și este egală cu raportul (Δυ este modificarea vitezei în timp Δ t).

Sarcina 3. Găsiți accelerații de puncte DAR, LA, Cuși D raza discului r rostogolire fără alunecare pe un plan orizontal. Viteza centrului discului este constantă și egală cu υ p (Fig. 3).

În sistemul de coordonate asociat cu centrul discului, discul se rotește cu o viteză unghiulară ω, iar planul se deplasează înainte cu o viteză υ p. Nu există nicio alunecare între disc și plan, prin urmare, . Viteza mișcării de translație υ p nu se modifică, prin urmare viteza unghiulară de rotație a discului este constantă și punctele discului au doar accelerație centripetă îndreptată spre centrul discului. Deoarece sistemul de coordonate se mișcă fără accelerație (cu o viteză constantă υ n), atunci într-un sistem de coordonate fix, accelerațiile punctelor discului vor fi aceleași.

Să ne întoarcem acum la problemele privind dinamica mișcării de rotație. Să luăm mai întâi în considerare cel mai simplu caz, când mișcarea de-a lungul unui cerc are loc cu o viteză constantă. Deoarece accelerația corpului este îndreptată spre centru, atunci suma vectorială a tuturor forțelor aplicate corpului trebuie să fie și ea îndreptată către centru și conform celei de-a doua legi a lui Newton.

Trebuie amintit că partea dreaptă a acestei ecuații include doar forțe reale care acționează asupra unui corp dat din alte corpuri. Nu forta centripeta nu apare la deplasarea într-un cerc. Acest termen este folosit pur și simplu pentru a desemna rezultanta forțelor aplicate unui corp care se mișcă într-un cerc. Cu privire la forța centrifugă, atunci apare numai atunci când descrieți mișcarea de-a lungul unui cerc într-un sistem de coordonate neinerțial (în rotație). Nu vom folosi aici deloc conceptul de forță centripetă și centrifugă.

Sarcina 4. Determinați cea mai mică rază de curbură a drumului pe care o poate trece mașina cu o viteză de υ = 70 km/h și coeficientul de frecare a anvelopei pe șosea k =0,3.

R = m g, forța de reacție a drumului Nși forța de frecare F tr intre cauciucurile masinii si drum. Forțe Rși N direcționat vertical și egal ca mărime: P = N. Forța de frecare care împiedică alunecarea mașinii („deraparea”) este îndreptată spre centrul virajului și conferă accelerație centripetă: . Valoarea maximă a forței de frecare F tr max = k· N = k· m g, prin urmare, valoarea minimă a razei cercului, de-a lungul căreia încă se poate deplasa cu o viteză υ, se determină din ecuația . De aici (m).

Forța de reacție a drumului N când mașina se mișcă în cerc, nu trece prin centrul de greutate al mașinii. Acest lucru se datorează faptului că momentul său relativ la centrul de greutate trebuie să compenseze momentul de frecare care tinde să răstoarne mașina. Mărimea forței de frecare este mai mare, cu atât viteza mașinii este mai mare. La o anumită viteză, momentul forței de frecare va depăși momentul forței de reacție și mașina se va răsturna.

Sarcina 5. Cu ce ​​viteză se mișcă o mașină de-a lungul unui arc de cerc de rază R= 130 m, se poate răsturna? Centrul de greutate al vehiculului este la o înălțime h= 1 m deasupra drumului, lățimea ecartamentului vehiculului l= 1,5 m (Fig. 4).

În momentul răsturnării mașinii, ca forță de reacție a drumului N, și forța de frecare F mp sunt atașate la roata „exterioară”. Când o mașină se deplasează într-un cerc cu viteza υ, asupra ei acționează o forță de frecare. Această forță creează un moment în jurul centrului de greutate al vehiculului. Momentul maxim al forței de reacție a drumului N = m g relativ la centrul de greutate este (în momentul răsturnării, forța de reacție trece prin roata exterioară). Echivalând aceste momente, găsim ecuația pentru viteza maximă la care mașina nu se va răsturna încă:

De unde ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Pentru ca o mașină să se deplaseze cu o astfel de viteză este nevoie de un coeficient de frecare (vezi problema anterioară).

O situație similară apare atunci când întoarceți o motocicletă sau o bicicletă. Forța de frecare care creează accelerația centripetă are un moment în jurul centrului de greutate care tinde să răstoarne motocicleta. Prin urmare, pentru a compensa acest moment prin momentul forței de reacție a drumului, motociclistul se înclină spre viraj (Fig. 5).

Sarcina 6. Un motociclist circulă pe un drum orizontal cu o viteză de υ = 70 km/h, făcând un viraj cu o rază R\u003d 100 m. În ce unghi α față de orizont ar trebui să se încline pentru a nu cădea?

Forța de frecare dintre motocicletă și drum, deoarece imprimă accelerație centripetă motociclistului. Forța de reacție a drumului N = m g. Condiția de egalitate a momentelor forței de frecare și a forței de reacție față de centrul de greutate dă ecuația: F tp l sinα = N· l cos α, unde l- distanta OA de la centrul de greutate până la traseul motocicletei (vezi fig. 5).

Înlocuind aici valorile F tp si N, găsește ceva sau . Rețineți că rezultanta forțelor Nși F tp la acest unghi de înclinare al motocicletei trece prin centrul de greutate, ceea ce asigură că momentul total al forțelor este egal cu zero Nși F tp .

Pentru a mari viteza de deplasare de-a lungul rotunjirii drumului, sectiunea de drum la viraj se face inclinata. În același timp, pe lângă forța de frecare, forța de reacție a drumului participă și la crearea accelerației centripete.

Sarcina 7. Cu ce ​​viteză maximă υ se poate deplasa o mașină de-a lungul unei căi înclinate cu un unghi de înclinare α cu o rază de curbură Rși coeficientul de frecare a anvelopelor pe șosea k?

Forța gravitației acționează asupra mașinii m g, forță de reacție N, direcționat perpendicular pe planul căii și forța de frecare F tp îndreptat de-a lungul căii (Fig. 6).

Deoarece nu ne interesează acest caz, momentele forțelor care acționează asupra mașinii, am trasat toate forțele aplicate centrului de greutate al mașinii. Suma vectorială a tuturor forțelor trebuie să fie îndreptată către centrul cercului de-a lungul căruia se mișcă mașina și să îi imprime accelerație centripetă. Prin urmare, suma proiecțiilor forțelor pe direcția spre centru (direcția orizontală) este , adică

Suma proiecțiilor tuturor forțelor pe direcția verticală este zero:

N cos α - m g – F t p sinα = 0.

Substituind în aceste ecuații valoarea maximă posibilă a forței de frecare F tp = k Nși excluzând forța N, găsiți viteza maximă , cu care se mai poate deplasa pe o astfel de cale. Această expresie este întotdeauna mai mare decât valoarea corespunzătoare unui drum orizontal.

După ce ne-am ocupat de dinamica rotației, să trecem la problemele pentru mișcarea de rotație în plan vertical.

Sarcina 8. mașină de masă m= 1,5 t se deplasează cu o viteză de υ = 70 km/h de-a lungul drumului prezentat în Figura 7. Secțiuni de drum ABși Soare pot fi considerate arce de cerc de rază R= 200 m atingându-se într-un punct LA. Determinați forța de presiune a mașinii pe drum în puncte DARși Cu. Cum se schimbă forța de presiune atunci când o mașină trece de un punct LA?

La punctul DAR gravitația acționează asupra mașinii R = m gși forța de reacție a drumului N / A. Suma vectorială a acestor forțe trebuie să fie îndreptată spre centrul cercului, adică vertical în jos, și să creeze o accelerație centripetă: , de unde (H). Forța de presiune a mașinii pe drum este egală ca mărime și opusă ca direcție forței de reacție. La punctul Cu suma vectorială a forţelor este îndreptată vertical în sus: şi (H). Astfel, la punct DAR forța de presiune este mai mică decât forța gravitațională și într-un punct Cu- Mai mult.

La punctul LA mașina se deplasează dintr-o secțiune convexă a drumului într-una concavă (sau invers). Când conduceți pe o secțiune convexă, proiecția gravitației în direcția spre centru trebuie să depășească forța de reacție a drumului NB 1, și . La conducerea pe o porțiune concavă a drumului, dimpotrivă, forța de reacție a drumului N B 2 depășește proiecția gravitației: .

Din aceste ecuații obținem că la trecerea prin punct LA forța de presiune a mașinii pe șosea se modifică brusc cu o valoare de ≈ 6·10 3 N. Desigur, astfel de sarcini de șoc acționează distructiv atât asupra mașinii, cât și pe șosea. Prin urmare, drumurile și podurile încearcă întotdeauna să își schimbe curbura fără probleme.

Când o mașină se deplasează de-a lungul unui cerc cu o viteză constantă, suma proiecțiilor tuturor forțelor pe direcția tangentă la cerc trebuie să fie egală cu zero. În cazul nostru, componenta tangențială a gravitației este echilibrată de forța de frecare dintre roțile mașinii și drum.

Mărimea forței de frecare este controlată de cuplul aplicat roților de către motor. Acest moment tinde să provoace alunecarea roților față de drum. Prin urmare, apare o forță de frecare care previne alunecarea și este proporțională cu momentul aplicat. Valoarea maximă a forței de frecare este k N, Unde k este coeficientul de frecare dintre anvelopele mașinii și drum, N- forta de presiune asupra drumului. Când mașina se mișcă în jos, forța de frecare joacă rolul unei forțe de frânare, iar la deplasarea în sus, dimpotrivă, rolul forței de tracțiune.

Sarcina 9. Masa vehiculului m= 0,5 t, deplasându-se cu o viteză de υ = 200 km/h, face o „buclă moartă” de rază R= 100 m (Fig. 8). Determinați forța de presiune a mașinii pe drum în partea de sus a buclei DAR; la punct LA, al cărui vector rază formează un unghi α = 30º cu verticala; la punct Cu unde viteza mașinii este direcționată vertical. Este posibil ca o mașină să se deplaseze de-a lungul unei bucle la o viteză atât de constantă cu un coeficient de frecare a anvelopei pe drum k = 0,5?

În partea de sus a buclei, forța gravitației și forța de reacție a drumului N / Aîndreptată vertical în jos. Suma acestor forțe creează o accelerație centripetă: . Asa de N.

Forța de presiune a mașinii pe drum este egală ca mărime și opusă ca direcție forței N / A.

La punctul LA accelerația centripetă este creată de suma forței de reacție și proiecția gravitației pe direcția spre centru: . De aici N.

Este ușor să vezi asta NB > N / A; pe măsură ce unghiul α crește, forța de reacție a drumului crește.

La punctul Cu forță de reacție H; accelerația centripetă în acest punct este creată numai de forța de reacție, iar gravitația este direcționată tangențial. Când se deplasează de-a lungul părții inferioare a buclei, forța de reacție va depăși și valoarea maximă Forța de reacție H are în punct D. Sens , astfel, este valoarea minimă a forței de reacție.

Viteza mașinii va fi constantă dacă componenta tangențială a gravitației nu depășește forța maximă de frecare k Nîn toate punctele buclei. Această condiție este cu siguranță îndeplinită dacă valoarea minimă depăşeşte valoarea maximă a componentei tangenţiale a forţei de greutate. În cazul nostru, această valoare maximă este egală cu m g(se ajunge la punctul Cu), iar condiția este îndeplinită pentru k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100 m.

Astfel, în cazul nostru, este posibilă mișcarea mașinii de-a lungul „buclei moarte” la o viteză constantă.

Luați în considerare acum mișcarea mașinii de-a lungul „buclei moarte” cu motorul oprit. După cum sa menționat deja, de obicei momentul forței de frecare se opune momentului aplicat roților de către motor. Când mașina se mișcă cu motorul oprit, acest moment este absent, iar forța de frecare dintre roțile mașinii și drum poate fi neglijată.

Viteza mașinii nu va mai fi constantă - componenta tangențială a gravitației încetinește sau accelerează mișcarea mașinii de-a lungul „buclei moarte”. Se va modifica și accelerația centripetă. Este creat, ca de obicei, de forța de reacție rezultată a drumului și de proiecția gravitației pe direcția spre centrul buclei.

Sarcina 10. Care este viteza minimă pe care ar trebui să o aibă mașina în partea de jos a buclei D(vezi Fig. 8) pentru a o face cu motorul oprit? Care va fi forța de presiune a mașinii pe drum în punctul respectiv LA? Raza buclei R= 100 m, greutatea vehiculului m= 0,5 t.

Să vedem care este viteza minimă pe care o poate avea mașina în partea de sus a buclei DAR să continui să te miști în jurul cercului?

Accelerația centripetă în acel punct al drumului este creată de suma forței gravitaționale și a forței de reacție a drumului . Cu cât viteza mașinii este mai mică, cu atât forța de reacție este mai mică. N / A. Cu o valoare, această forță dispare. La o viteză mai mică, gravitația va depăși valoarea necesară pentru a crea accelerația centripetă, iar mașina se va ridica de pe șosea. În viteză, forța de reacție a drumului dispare doar în partea de sus a buclei. Într-adevăr, viteza mașinii în alte secțiuni ale buclei va fi mai mare și, așa cum este ușor de observat din soluția problemei anterioare, forța de reacție a drumului va fi, de asemenea, mai mare decât la punctul DAR. Prin urmare, dacă mașina din partea de sus a buclei are viteză, atunci nu va părăsi bucla nicăieri.

Acum determinăm ce viteză ar trebui să aibă mașina în partea de jos a buclei D până în vârful buclei DAR viteza lui. Pentru a găsi viteza υ D poți folosi legea conservării energiei, ca și cum mașina s-ar fi deplasat doar sub influența gravitației. Faptul este că forța de reacție a drumului în fiecare moment este direcționată perpendicular pe mișcarea mașinii și, prin urmare, munca sa este nulă (amintim că munca Δ A = F·Δ s cos α, unde α este unghiul dintre forță Fși direcția de mișcare Δ s). Forța de frecare dintre roțile mașinii și drum la conducerea cu motorul oprit poate fi neglijată. Prin urmare, suma energiei potențiale și cinetice a mașinii atunci când conduceți cu motorul oprit nu se modifică.

Să echivalăm valorile energiei mașinii în puncte DARși D. În acest caz, vom număra înălțimea de la nivelul punctului D, adică energia potențială a mașinii în acest punct va fi considerată egală cu zero. Apoi primim

Înlocuind aici valoarea pentru viteza dorită υ D, aflăm: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Dacă mașina intră în buclă cu această viteză, o va putea finaliza cu motorul oprit.

Să stabilim acum cu ce forță va apăsa mașina pe drum în punctul respectiv LA. Viteza vehiculului la punct LA din nou este ușor de găsit din legea conservării energiei:

Înlocuind aici valoarea, aflăm că viteza .

Folosind soluția problemei precedente, pentru o viteză dată, găsim forța de presiune în punct B:

În mod similar, puteți găsi forța de presiune în orice alt punct al „buclei moarte”.

Exerciții

1. Găsiți viteza unghiulară a unui satelit artificial Pământului care se rotește pe o orbită circulară cu o perioadă de revoluție T= 88 min. Aflați viteza liniară a acestui satelit, dacă se știe că orbita lui este situată la distanță R= 200 km de suprafața Pământului.

2. Raza discului R plasat între două bare paralele. Șinele se deplasează la viteze υ 1 și υ 2. Determinați viteza unghiulară a discului și viteza centrului acestuia. Nu există alunecare.

3. Discul se rostogolește pe o suprafață orizontală fără să alunece. Arătați că capetele vectorilor viteză ai punctelor cu diametrul vertical sunt pe aceeași linie dreaptă.

4. Avionul se deplasează într-un cerc cu o viteză orizontală constantă υ = 700 km/h. Definiți raza R acest cerc dacă corpul aeronavei este înclinat la un unghi α = 5°.

5. Sarcina de masă m\u003d 100 g, suspendat pe un fir de lungime l= 1 m, se rotește uniform într-un cerc în plan orizontal. Aflați perioada de rotație a sarcinii dacă, în timpul rotației acesteia, firul este deviat vertical cu un unghi α = 30°. De asemenea, determinați tensiunea firului.

6. Mașina se deplasează cu o viteză υ = 80 km/h de-a lungul suprafeței interioare a unui cilindru vertical de rază R= 10 m într-un cerc orizontal. La ce coeficient minim de frecare între anvelopele mașinii și suprafața cilindrului este posibil acest lucru?

7. Sarcina de masă m suspendat de un fir inextensibil, a cărui tensiune maximă posibilă este de 1,5 m g. La ce unghi maxim α poate fi deviat firul față de verticală, astfel încât firul să nu se rupă în timpul mișcării ulterioare a sarcinii? Care va fi tensiunea firului în momentul în care firul formează un unghi α/2 cu verticala?

Răspunsuri

I. Viteza unghiulară a unui satelit artificial Pământului ≈ 0,071 rad/s. Viteza liniară a satelitului υ = ω· R. Unde R este raza orbitei. Înlocuind aici R = R 3 + h, Unde R 3 ≈ 6400 km, găsim υ ≈ 467 km/s.

2. Două cazuri sunt posibile aici (Fig. 1). Dacă viteza unghiulară a discului este ω, iar viteza centrului său este υ, atunci vitezele punctelor în contact cu șinele vor fi, respectiv, egale cu

în cazul a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ - ω R;

în cazul b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Am presupus pentru certitudine că υ 1 > υ 2). Rezolvând aceste sisteme, găsim:

A)

b)

3. Viteza oricărui punct M culcat pe segment OV(vezi Fig. 2) se găsește prin formula υ M = υ + ω· rM, Unde rM- distanta fata de punct M spre centrul discului O. Pentru orice punct N aparţinând segmentului OA, avem: υ N = υ – ω· rN, Unde rN- distanta fata de punct N spre centru. Notați cu ρ distanța de la orice punct al diametrului VA până la punctul DAR contactul discului cu avionul. Atunci este evident că rM = ρ – Rși rN = R – ρ = –(ρ – R). Unde R este raza discului. Prin urmare, viteza oricărui punct de pe diametru VA se găsește prin formula: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Deoarece discul se rostogolește fără alunecare, atunci pentru viteza υ ρ obținem υ ρ = ω · ρ. De aici rezultă că capetele vectorilor viteză sunt pe linia dreaptă care emană din punct DARși înclinat la diametru VA la un unghi proporțional cu viteza unghiulară de rotație a discului ω.

Afirmația dovedită ne permite să concluzionăm că mișcarea complexă a punctelor situate pe diametru VA, poate fi considerată în orice moment dat ca o simplă rotație în jurul unui punct fix DAR cu o viteză unghiulară ω egală cu viteza unghiulară de rotație în jurul centrului discului. Într-adevăr, în fiecare moment vitezele acestor puncte sunt direcționate perpendicular pe diametru VA, și sunt egale ca mărime cu produsul lui ω și distanța până la punct DAR.

Se pare că această afirmație este adevărată pentru orice punct de pe disc. În plus, este o regulă generală. Cu orice mișcare a unui corp rigid, în fiecare moment există o axă în jurul căreia corpul se rotește pur și simplu - axa instantanee de rotație.

4. Planul este afectat (vezi Fig. 3) de gravitație R = m gși forța de ridicare N, îndreptată perpendicular pe planul aripilor (deoarece aeronava se mișcă cu o viteză constantă, forța de tracțiune și forța de tracțiune a aerului se echilibrează reciproc). Forță rezultantă R

6. Mașina este afectată (Fig. 5) de gravitație R = m g, forța de reacție din partea laterală a cilindrului Nși forța de frecare F tp . Deoarece mașina se mișcă într-un cerc orizontal, forțele Rși F tp echilibrează reciproc, iar forța N creează accelerație centripetă. Valoarea maximă a forței de frecare este legată de forța de reacție N raport: F tp = k N. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații: , din care se află valoarea minimă a coeficientului de frecare

7. Sarcina se va deplasa într-un cerc de rază l(Fig. 6). Accelerația centripetă a sarcinii (υ - viteza sarcinii) este creată de diferența dintre valorile forței de tensiune a firului Tși proiecții gravitaționale m g direcția firului: . Asa de , unde β este unghiul format de fir cu verticala. Pe măsură ce sarcina coboară, viteza acesteia va crește și unghiul β va scădea. Tensiunea firului va deveni maximă la unghiul β = 0 (în momentul în care firul este vertical): . Viteza maximă a sarcinii υ 0 se află din unghiul α, cu care firul este deviat, din legea conservării energiei:

Folosind acest raport, pentru valoarea maximă a tensiunii firului, obținem formula: T max = m g(3 – 2 cos α). Conform sarcinii T m ax = 2m g. Echivalând aceste expresii, găsim cos α = 0,5 și, prin urmare, α = 60°.

Să determinăm acum tensiunea firului la . Viteza sarcinii în acest moment se găsește și din legea conservării energiei:

Înlocuind valoarea lui υ 1 în formula forței de întindere, găsim: