Definiție 1. număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care este divizibil numai cu el însuși și 1.

Cu alte cuvinte, un număr este prim dacă are doar doi divizori naturali diferiți.

Definiție 2. Orice număr natural care are alți divizori în afară de el și unul se numește numar compus.

Cu alte cuvinte, numerele naturale care nu sunt prime se numesc numere compuse. Definiția 1 implică faptul că un număr compus are mai mult de doi divizori naturali. Numărul 1 nu este nici prim, nici compus. are un singur divizor 1 și, pe lângă acesta, multe teoreme despre numere prime nu sunt valabile pentru unitate.

Din definițiile 1 și 2 rezultă că fiecare număr întreg pozitiv mai mare decât 1 este fie un număr prim, fie un număr compus.

Mai jos este un program pentru afișarea numerelor prime până la 5000. Completați celulele, faceți clic pe butonul „Creați” și așteptați câteva secunde.

Tabelul numerelor prime

Afirmație 1. În cazul în care un p este un număr prim și A orice număr întreg, apoi fie A impartit de p, sau pși A numere relativ prime.

Într-adevăr. În cazul în care un p număr prim, atunci este divizibil numai cu el însuși și 1 dacă A nedivizibil cu p, apoi cel mai mare divizor comun Ași p este egal cu 1. Atunci pși A numere relativ prime.

Afirmație 2. Dacă produsul mai multor numere de numere A 1 , A 2 , A 3 , ... este divizibil cu un număr prim p, apoi cel puțin unul dintre numere A 1 , A 2 , A 3 , ... este divizibil cu p.

Într-adevăr. Dacă niciunul dintre numere nu este divizibil cu p, apoi numerele A 1 , A 2 , A 3 , ... ar fi numere relativ prime în raport cu p. Dar din Corolarul 3 () rezultă că produsul lor A 1 , A 2 , A 3 , ... este, de asemenea, coprim în raport cu p, ceea ce contrazice condiția afirmației. Prin urmare, cel puțin unul dintre numere este divizibil cu p.

Teorema 1. Orice număr compus poate fi întotdeauna reprezentat și, mai mult, într-un mod unic, ca produs al unui număr finit de numere prime.

Dovada. Lasa k număr compus, și fie A 1 este unul dintre divizorii săi diferit de 1 și de el însuși. În cazul în care un A 1 este compus, apoi are în plus față de 1 și A 1 și un alt separator A 2. În cazul în care un A 2 este un număr compus, apoi are, pe lângă 1 și A 2 și un alt separator A 3 . Argumentand astfel si tinand cont ca numerele A 1 , A 2 , A 3 , ... scade și această serie conține un număr finit de termeni, vom ajunge la un număr prim p unu . Apoi k poate fi reprezentat ca

Să presupunem că există două expansiuni ale unui număr k:

La fel de k=p 1 p 2 p 3 ... este divizibil cu un număr prim q 1, apoi cel puțin unul dintre factori, de exemplu p 1 este divizibil cu q unu . Dar p 1 este prim și este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Prin urmare p 1 =q 1 (pentru că q 1 ≠1)

Apoi din (2) putem exclude p 1 și q 1:

Astfel, ne asigurăm că orice număr prim care intră în prima expansiune ca factor o dată sau de mai multe ori intră în a doua expansiune de cel puțin același număr de ori și invers, orice număr prim care intră în a doua expansiune ca factor unul sau mai multe ori intră și în prima expansiune de cel puțin tot atâtea ori. Prin urmare, orice număr prim intră ca factor în ambele expansiuni de același număr de ori și, astfel, aceste două expansiuni sunt aceleași.■

Descompunerea unui număr compus k poate fi scrisă în următoarea formă

(3)

Unde p 1 , p 2 , ... numere prime distincte, α, β, γ ... numere întregi pozitive.

Descompunerea (3) se numește descompunere canonică numerele.

Numerele prime din seria numerelor naturale apar inegal. În unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puțin. Cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Întrebarea este, există un număr prim cel mai mare? Matematicianul grec antic Euclid a demonstrat că există infinit de numere prime. Prezentăm mai jos această dovadă.

Teorema 2. Numărul numerelor prime este infinit.

Dovada. Să presupunem că există un număr finit de numere prime și să fie cel mai mare prim p. Să luăm în considerare toate numerele p. Prin ipoteza enunțului, aceste numere trebuie să fie compuse și trebuie să fie divizibile cu cel puțin unul dintre numerele prime. Să alegem un număr care este produsul tuturor acestor numere prime plus 1:

Număr z Mai mult p la fel de 2p deja mai multe p. p nu este divizibil cu niciunul dintre aceste numere prime, deoarece când este împărțit la fiecare dintre ele, dă un rest de 1. Astfel ajungem la o contradicție. Prin urmare, există un număr infinit de numere prime.

Această teoremă este un caz special al unei teoreme mai generale:

Teorema 3. Să fie dată o progresie aritmetică

Apoi orice număr prim din n, ar trebui să fie și ele incluse în m, deci in n nu poate include alți factori primi care nu sunt incluși în mși, în plus, acești factori primi în n nu apar de mai multe ori decât în m.

Este adevărat și invers. Dacă fiecare factor prim al unui număr n apare de cel puțin același număr de ori m, apoi m impartit de n.

Afirmație 3. Lasa A 1 ,A 2 ,A 3 ,... diverse numere prime care apar în m asa de

Unde i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . observa asta un i acceptă α +1 valori, β j acceptă β +1 valori, γ k ia γ +1 valori, ... .

Împărțirea numerelor naturale în prime și compuse este atribuită matematicianului grec antic Pitagora. Și dacă îl urmărești pe Pitagora, atunci mulțimea numerelor naturale poate fi împărțită în trei clase: (1) - o mulțime formată dintr-un număr - unu; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) este mulțimea numerelor prime; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) este mulțimea numerelor compuse.

Multe mistere diferite ascund al doilea set. Dar mai întâi, să ne dăm seama ce este un număr prim. Deschidem „Dicționarul enciclopedic matematic” (Yu. V. Prokhorov, editura „Enciclopedia sovietică”, 1988) și citim:

„Un număr prim este un număr întreg pozitiv mai mare decât unul care nu are alți divizori decât el însuși și unul: 2,3,5,7,11,13,

Conceptul de număr prim este fundamental în studiul divizibilității numerelor naturale; și anume, teorema fundamentală a aritmeticii afirmă că fiecare număr întreg pozitiv, cu excepția lui 1, poate fi descompus în mod unic într-un produs de numere prime (nu se ia în considerare ordinea factorilor). Există infinit de numere prime (această propoziție, numită teorema lui Euclid, era deja cunoscută de matematicienii greci antici, demonstrația ei poate fi găsită în cartea 9 din Elementele lui Euclid). P. Dirichlet (1837) a stabilit că într-o progresie aritmetică a+bx la x=1. ,2,с cu numere întregi coprime a și b conține, de asemenea, infinit de numere prime.

Pentru a găsi numere prime de la 1 la x se folosește binecunoscutul din secolul al III-lea. î.Hr e. sita lui Eratosthenes. Luând în considerare șirul (*) de numere prime de la 1 la x arată că pe măsură ce x crește, acesta devine mai rar în medie. Există segmente arbitrar lungi ale unei serii de numere naturale, printre care nu există un singur număr prim (Teorema 4). În același timp, există astfel de numere prime, diferența dintre care este egală cu 2 (așa-numiții gemeni). Până acum (1987) nu se știe dacă mulțimea unor astfel de gemeni este finită sau infinită. Tabelele cu numere prime din primele 11 milioane de numere naturale arată gemeni foarte mari (de exemplu, 10.006.427 și 10.006.429).

Elucidarea distribuției numerelor prime în seria naturală a numerelor este o problemă foarte dificilă în teoria numerelor. Se prezintă ca studiul comportamentului asimptotic al unei funcții care denotă numărul de numere prime care nu depășește un număr pozitiv x. Din teorema lui Euclid reiese clar că la. L. Euler a introdus funcția zeta în 1737.

El a dovedit și asta

În cazul în care însumarea este efectuată peste toate numerele naturale, iar produsul este preluat peste toate numerele prime. Această identitate și generalizările ei joacă un rol fundamental în teoria distribuției primelor. Pornind de aici, L. Euler a demonstrat că seria și produsul în prim p diverg. Mai mult, L. Euler a stabilit că există „multe” numere prime, deoarece

Și, în același timp, aproape toate numerele naturale sunt compuse, deoarece la.

și, pentru orice (adică, ceea ce crește ca funcție). Cronologic, următorul rezultat semnificativ care rafinează teorema lui Cebyshev este așa-numitul. legea asimptotică de distribuție a numerelor prime (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), care a constat în faptul că limita raportului la este egală cu 1. Ulterior, eforturi semnificative ale matematicienilor au fost îndreptate către clarificarea legii asimptotice de distribuţie a numerelor prime. Problemele de distribuție a numerelor prime sunt studiate atât prin metode elementare, cât și prin metode de analiză matematică.

Aici are sens să demonstrăm unele dintre teoremele prezentate în articol.

Lema 1. Dacă mcd(a, b)=1, atunci există numere întregi x, y astfel încât.

Dovada. Fie a și b numere prime relativ. Luați în considerare mulțimea J a tuturor numerelor naturale z, reprezentabile sub formă și alegeți cel mai mic număr d din ea.

Să demonstrăm că a este divizibil cu d. Împărțiți a cu d cu rest: și lăsați. Deoarece are forma, prin urmare,

Vedem asta.

Deoarece am presupus că d este cel mai mic număr din J, avem o contradicție. Deci a este divizibil cu d.

În același mod, demonstrăm că b este divizibil cu d. Deci d=1. Lema este dovedită.

Teorema 1. Dacă numerele a și b sunt între prime și produsul bx este divizibil cu a, atunci x este divizibil cu a.

Dovada 1. Trebuie să demonstrăm că ax este divizibil cu b și mcd(a,b)=1, atunci x este divizibil cu b.

După lema 1, există x, y astfel încât. Atunci, evident, este divizibil cu b.

Demonstrația 2. Se consideră mulțimea J a tuturor numerelor naturale z astfel încât zc este divizibil cu b. Fie d cel mai mic număr din J. Este ușor de observat că. În mod similar cu demonstrația Lemei 1, demonstrăm că a este divizibil cu d și b este divizibil cu d

Lema 2. Dacă numerele q,p1,p2,pn sunt prime și produsul este divizibil cu q, atunci unul dintre numerele pi este egal cu q.

Dovada. În primul rând, rețineți că dacă un număr prim p este divizibil cu q, atunci p=q. Aceasta implică imediat afirmarea lemei pentru n=1. Pentru n=2 rezultă direct din teorema 1: dacă p1p2 este divizibil cu un număr prim q u, atunci p2 este divizibil cu q (ie).

Demonstrăm lema pentru n=3 după cum urmează. Fie p1 p2 p3 divizibil cu q. Dacă p3 = q, atunci totul este demonstrat. Dacă, conform teoremei 1, p1 p2 este divizibil cu q. Astfel, am redus cazul n=3 la cazul deja considerat n=2.

În mod similar, de la n=3 putem merge la n=4, apoi la n=5, iar în general, presupunând că n=k se dovedește aserția lemei, o putem demonstra cu ușurință pentru n=k+1. Acest lucru ne convinge că lema este adevărată pentru toate n.

Teorema fundamentală a aritmeticii. Fiecare număr natural poate fi descompus în factori primi într-un mod unic.

Dovada. Să presupunem că există două factorizări ale numărului a în factori primi:

Deoarece partea dreaptă este divizibilă cu q1, partea stângă a egalității trebuie să fie și ea divizibilă cu q1. Conform Lemei 2, unul dintre numere este egal cu q1. Să anulăm ambele părți ale egalității cu q1.

Să efectuăm același raționament pentru q2, apoi pentru q3, pentru qi. În cele din urmă, toți factorii din dreapta se vor reduce și va rămâne 1. Desigur, nimic nu va rămâne în stânga decât unul. De aici concluzionăm că cele două expansiuni și pot diferi doar în ordinea factorilor. Teorema a fost demonstrată.

teorema lui Euclid. Numărul numerelor prime este infinit.

Dovada. Să presupunem că seria numerelor prime este finită și notăm ultimul număr prim cu litera N. Compuneți produsul

Să adăugăm 1. Obținem:

Acest număr, fiind un număr întreg, trebuie să conțină cel puțin un factor prim, adică trebuie să fie divizibil cu cel puțin un număr prim. Dar toate numerele prime, prin presupunere, nu depășesc N, în timp ce numărul M + 1 nu este divizibil fără rest cu oricare dintre numerele prime mai mici sau egale cu N - de fiecare dată când restul este 1. Teorema se demonstrează.

Teorema 4. Secțiunile de numere compuse între numere prime pot fi de orice lungime. Vom demonstra acum că seria este formată din n numere compuse consecutive.

Aceste numere merg direct unul după altul în seria naturală, deoarece fiecare următor este cu 1 mai mult decât precedentul. Rămâne de demonstrat că toate sunt compuse.

Primul număr

Chiar, deoarece ambii termeni conțin un factor de 2. Și orice număr par mai mare decât 2 este compus.

Al doilea număr este format din doi termeni, fiecare dintre care este multiplu de 3. Prin urmare, acest număr este compus.

În mod similar, stabilim că următorul număr este un multiplu de 4 și așa mai departe. Cu alte cuvinte, fiecare număr din seria noastră conține un factor care este diferit de unul și de el însuși; este deci compozit. Teorema a fost demonstrată.

După ce am studiat dovezile teoremelor, continuăm analiza articolului. În textul ei, sita lui Eratosthenes a fost menționată ca o modalitate de a găsi numere prime. Să citim despre această metodă din același dicționar:

„Sita lui Eratosthenes este o metodă dezvoltată de Eratosthenes care vă permite să separați numerele compuse din seria naturală. Esența sitei lui Eratosthenes este următoarea. Unitatea este tăiată. Numărul doi este simplu. Sunt tăiate toate numerele naturale divizibile cu 2. Numărul 3 - primul număr neîncrucișat va fi prim. În plus, sunt tăiate toate numerele naturale care sunt divizibile cu 3. Numărul 5 - următorul număr neîncrucișat - va fi simplu. Continuând calcule similare, se poate găsi un segment arbitrar de lung dintr-o succesiune de numere prime. Sita lui Eratosthenes ca metodă teoretică de studiu a teoriei numerelor a fost dezvoltată de W. Brun (1919).

Iată cel mai mare număr cunoscut în prezent a fi prim:

Acest număr are aproximativ șapte sute de zecimale. Calculele prin care s-a constatat că acest număr este prim au fost efectuate pe calculatoare moderne.

„Funcția zeta Riemann, funcția -, este o funcție analitică a unei variabile complexe, pentru σ>1, determinată de o serie Dirichlet convergentă absolut și uniform:

Pentru σ>1, este valabilă reprezentarea sub forma produsului Euler:

(2) unde p trece prin toate numerele prime.

Identitatea seriei (1) și a produsului (2) este una dintre principalele proprietăți ale funcției zeta. Permite obținerea de diverse relații care conectează funcția zeta cu cele mai importante funcții teoretice ale numerelor. Prin urmare, funcția zeta joacă un rol important în teoria numerelor.

Funcția zeta a fost introdusă în funcție de o variabilă reală de L. Euler (1737, publ. 1744), care a indicat localizarea acesteia în produs (2). Apoi funcția zeta a fost considerată de P. Dirichlet și mai ales cu succes de P. L. Cebyshev în legătură cu studiul legii de distribuție a numerelor prime. Cu toate acestea, cele mai profunde proprietăți ale funcției zeta au fost descoperite după lucrările lui B. Riemann, care pentru prima dată în 1859 a considerat funcția zeta ca o funcție a unei variabile complexe, el a introdus și numele de „funcție zeta” și denumirea """.

Dar se pune întrebarea: ce aplicație practică există pentru toată această muncă asupra numerelor prime? Într-adevăr, nu este aproape deloc folositor pentru ele, dar există o zonă în care numerele prime și proprietățile lor sunt aplicate până astăzi. Aceasta este criptografie. Aici, numerele prime sunt folosite în sistemele de criptare fără transferul de chei.

Din păcate, asta este tot ce se știe despre numerele prime. Au mai rămas multe mistere. De exemplu, nu se știe dacă mulțimea numerelor prime reprezentabile ca două pătrate este infinită.

„NUMERE PRIME NON-SIMPLE”.

Am decis să fac o mică cercetare pentru a găsi răspunsuri la câteva întrebări despre numerele prime. În primul rând, am compilat un program care tipărește toate numerele prime consecutive mai mici de 1.000.000.000. În plus, am compilat un program care determină dacă numărul introdus este prim. Pentru a studia problemele numerelor prime, am construit un grafic care marchează dependența valorii unui număr prim de numărul ordinal.Ca un plan de cercetare ulterioară, am decis să folosesc articolul lui I. S. Zeltser și B. A. Kordemsky „Amusing flocks of numere prime." Autorii au identificat următoarele căi de cercetare:

1. 168 de locuri ale primei mii de numere naturale sunt ocupate de numere prime. Dintre acestea, 16 numere sunt palindromice - fiecare este egal cu inversul: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 797, 919.

Există doar 1061 numere prime de patru cifre și niciunul dintre ele nu este palindromic.

Există multe numere palindromice simple din cinci cifre. Acestea includ astfel de frumuseți: 13331, 15551, 16661, 19991. Fără îndoială, există turme de acest tip: ,. Dar câte exemplare sunt în fiecare astfel de turmă?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Se poate observa că suma cifrelor numerelor și este divizibilă cu 3, prin urmare aceste numere în sine sunt, de asemenea, divizibile cu 3.

În ceea ce privește numerele formei, printre ele sunt prime numerele 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. În prima mie de numere există cinci „cvartete” formate din numere prime consecutive, ale căror ultime cifre formează șirul 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Câte astfel de cvartete există printre numerele prime cu n cifre pentru n>3?

Folosind programul pe care l-am scris, am găsit cvartetul ratat de către autori: (479, 467, 463, 461) și cvartete pentru n = 4, 5, 6. Pentru n = 4 sunt 11 cvartete.

3. Un stol de nouă numere prime: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - este atractiv nu numai pentru că este o progresie aritmetică cu o diferență de 210, ci și pentru că se poate încadra în nouă celule astfel încât să se formeze un pătrat magic cu o constantă egală cu diferența a două numere prime: 3119 - 2:

Următorul, al zecelea membru al progresiei luate în considerare, 2089, este, de asemenea, un număr prim. Dacă eliminați numărul 199 din turmă, dar includeți 2089, atunci în această compoziție turma poate forma un pătrat magic - un subiect de căutare.

Trebuie remarcat faptul că există și alte pătrate magice formate din numere prime:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Pătratul propus este curios pentru că

1. Este un pătrat magic de 7x7;

2. Contine un patrat magic de 5x5;

3. Un pătrat magic de 5x5 conține un pătrat magic de 3x3;

4. Toate aceste pătrate au un număr central comun - 3407;

5. Toate cele 49 de numere incluse în pătratul 7x7 se termină în numărul 7;

6. Toate cele 49 de numere incluse în pătratul 7x7 sunt numere prime;

7. Fiecare dintre cele 49 de numere incluse într-un pătrat de 7x7 poate fi reprezentat ca 30n + 17.

Programele folosite au fost scrise de mine în limbajul de programare Dev-C++ și le ofer textele în anexă (vezi fișierele cu extensia .cpp). Pe lângă toate cele de mai sus, am scris un program care descompune numerele naturale consecutive în factori primi (vezi Divizori 1. cpp) și un program care descompune doar numărul introdus în factori primi (vezi Divizori 2. cpp). Deoarece aceste programe în formă compilată ocupă prea mult spațiu, sunt date doar textele lor. Cu toate acestea, oricine le poate compila dacă are programul potrivit.

BIOGRAFII ALE OAMENI DE ȘTIINȚĂ IMPLICAȚI ÎN PROBLEMA NUMERELOR PRIME

EUCLIDE

(aproximativ 330 î.Hr. - aproximativ 272 î.Hr.)

S-au păstrat foarte puține informații de încredere despre viața celui mai faimos matematician al Antichității. Se crede că a studiat la Atena, ceea ce explică stăpânirea sa strălucitoare a geometriei dezvoltate de școala lui Platon. Cu toate acestea, aparent, el nu era familiarizat cu scrierile lui Aristotel. A predat în Alexandria, unde a câștigat mari laude pentru activitățile sale de predare în timpul domniei lui Ptolemeu I Soter. Există o legendă conform căreia acest rege a cerut să-i dezvăluie o modalitate de a obține un succes rapid în matematică, la care Euclid a răspuns că nu există căi regale în geometrie (o poveste similară este însă spusă și despre Menchem, care ar fi fost întrebat cam la fel de Alexandru cel Mare). Tradiția a păstrat memoria lui Euclid ca persoană binevoitoare și modestă. Euclid este autorul unor tratate pe diverse teme, dar numele său este asociat în principal cu unul dintre tratatele numite „Începuturi”. Este vorba despre o colecție de lucrări ale matematicienilor care au lucrat înaintea lui (cel mai faimos dintre ele a fost Hipocrate din Kos), ale căror rezultate le-a adus la perfecțiune grație capacității sale de generalizare și diligență.

EULER (EULER) LEONARD

(Basel, Elveția 1707 - Sankt Petersburg, 1783)

Matematician, mecanic și fizician. Născut în familia unui pastor sărac Paul Euler. Și-a primit educația mai întâi de la tatăl său, iar în 1720–24 la Universitatea din Basel, unde a urmat prelegeri despre matematică de I. Bernoulli.

La sfârșitul anului 1726, Euler a fost invitat la Academia de Științe din Sankt Petersburg și în mai 1727 a ajuns la Sankt Petersburg. În noua academie organizată, Euler a găsit condiții favorabile pentru activitatea științifică, care i-au permis să înceapă imediat studiul matematicii și mecanicii. În cei 14 ani ai primei perioade Petersburg din viața sa, Euler a pregătit aproximativ 80 de lucrări pentru publicare și a publicat peste 50. La Sankt Petersburg, a studiat limba rusă.

Euler a participat la multe activități ale Academiei de Științe din Sankt Petersburg. A ținut prelegeri studenților universității academice, a participat la diferite examene tehnice, a lucrat la compilarea hărților Rusiei și a scris „Ghidul de aritmetică” disponibil publicului (1738–40). La instrucțiuni speciale ale Academiei, Euler a pregătit pentru publicare Naval Science (1749), o lucrare fundamentală despre teoria construcțiilor navale și a navigației.

În 1741, Euler a acceptat oferta regelui prusac Frederic al II-lea de a se muta la Berlin, unde urma să aibă loc reorganizarea Academiei de Științe. La Academia de Științe din Berlin, Euler a preluat postul de director al clasei de matematică și membru al consiliului de administrație, iar după moartea primului său președinte, P. Maupertuis, timp de câțiva ani (din 1759) a condus efectiv academia. Timp de 25 de ani din viața sa la Berlin, a pregătit aproximativ 300 de lucrări, printre care o serie de monografii mari.

În timp ce locuia la Berlin, Euler nu a încetat să lucreze intens pentru Academia de Științe din Sankt Petersburg, păstrând titlul de membru de onoare al acesteia. A condus o amplă corespondență științifică și științifico-organizațională, în special, a corespondat cu M. Lomonosov, pe care l-a apreciat foarte mult. Euler a editat departamentul de matematică al organismului științific academic rus, unde în acest timp a publicat aproape la fel de multe articole ca în „Memoriile” Academiei de Științe din Berlin. A participat activ la formarea matematicienilor ruși; viitorii academicieni S. Kotelnikov, S. Rumovsky și M. Sofronov au fost trimiși la Berlin pentru a studia sub conducerea sa. Euler a oferit o mare asistență Academiei de Științe din Sankt Petersburg, dobândind literatură științifică și echipamente pentru aceasta, negociind cu candidații pentru posturi la academie etc.

La 17 (28) iulie 1766, Euler și familia sa s-au întors la Sankt Petersburg. În ciuda vârstei sale înaintate și a orbirii aproape complete care l-a atins, a lucrat productiv până la sfârșitul vieții. În cei 17 ani ai celei de-a doua șederi la Sankt Petersburg, a pregătit aproximativ 400 de lucrări, printre care și câteva cărți mari. Euler a continuat să participe la activitatea organizatorică a academiei. În 1776, a fost unul dintre experții în proiectul unui pod cu o singură arc peste Neva, propus de I. Kulibin, iar din întreaga comisie, singurul a acordat un sprijin larg proiectului.

Meritele lui Euler ca om de știință proeminent și organizator al cercetării științifice au fost foarte apreciate în timpul vieții sale. Pe lângă academiile din Sankt Petersburg și Berlin, a fost membru al celor mai mari instituții științifice: Academia de Științe din Paris, Societatea Regală din Londra și altele.

Unul dintre semnele distinctive ale muncii lui Euler este productivitatea lui excepțională. Numai în timpul vieții sale au fost publicate aproximativ 550 de cărți și articole ale sale (lista lucrărilor lui Euler conține aproximativ 850 de titluri). În 1909, Societatea Elvețiană de Științe Naturale a început să publice lucrările complete ale lui Euler, care au fost finalizate în 1975; este format din 72 de volume. De mare interes este corespondența științifică colosală a lui Euler (aproximativ 3.000 de scrisori), care până acum a fost publicată doar parțial.

Cercul de studii al lui Euler era neobișnuit de larg, acoperind toate departamentele de matematică și mecanică contemporană, teoria elasticității, fizica matematică, optică, teoria muzicii, teoria mașinilor, balistică, științe marine, afaceri de asigurări etc. Aproximativ 3/5 din lucrările lui Euler aparțin matematicii, restul de 2/5 în principal aplicațiilor acesteia. Omul de știință și-a sistematizat rezultatele și rezultatele obținute de alții într-o serie de monografii clasice, scrise cu o claritate uimitoare și furnizate cu exemple valoroase. Acestea sunt, de exemplu, „Mecanica sau știința mișcării, stabilită analitic” (1736), „Introducere în analiză” (1748), „Calcul diferențial” (1755), „Teoria mișcării unui corp rigid” ( 1765), „Aritmetica universală” (1768-69), care a trecut prin aproximativ 30 de ediții în 6 limbi, „Calcul integral” (1768-94), etc. În secolul XVIII. și parțial în secolul al XIX-lea. Scrisorile disponibile public despre diverse chestiuni fizice și filozofice, scrise unei anumite prințese germane, au câștigat o popularitate imensă. (1768–74), care a trecut prin peste 40 de ediții în 10 limbi. Majoritatea conținutului monografiilor lui Euler a fost apoi inclus în manualele pentru școlile superioare și parțial gimnaziale. Este imposibil de enumerat toate teoremele, metodele și formulele lui Euler folosite până acum, dintre care doar câteva apar în literatură sub numele lui [de exemplu, metoda lui Euler cu linii întrerupte, substituțiile lui Euler, constanta lui Euler, ecuațiile lui Euler, formulele lui Euler, Funcția lui Euler, numerele lui Euler, formula lui Euler - Maclaurin, formulele Euler-Fourier, caracteristica lui Euler, integralele lui Euler, unghiurile lui Euler].

În „Mecanica” Euler a expus mai întâi dinamica unui punct cu ajutorul analizei matematice: mișcarea liberă a unui punct sub acțiunea diferitelor forțe atât în ​​vid, cât și într-un mediu cu rezistență; mișcarea unui punct de-a lungul unei linii date sau de-a lungul unei suprafețe date; mişcarea sub influenţa forţelor centrale. În 1744 a formulat pentru prima dată corect principiul mecanic al celei mai mici acțiuni și și-a arătat primele aplicații. În Teoria mișcării unui corp rigid, Euler a dezvoltat cinematica și dinamica unui corp rigid și a dat ecuații pentru rotația acestuia în jurul unui punct fix, punând bazele teoriei giroscoapelor. În teoria sa despre navă, Euler a adus o contribuție valoroasă la teoria stabilității. Semnificative sunt descoperirile lui Euler în mecanica cerească (de exemplu, în teoria mișcării Lunii) și în mecanica continuumului (ecuațiile de bază ale mișcării unui fluid ideal sub forma lui Euler și în așa-numitele variabile Lagrange, gaze). oscilații în conducte etc.). În optică, Euler (1747) a dat formula pentru o lentilă biconvexă și a propus o metodă de calcul al indicelui de refracție al unui mediu. Euler a aderat la teoria ondulatorie a luminii. El credea că diferitele culori corespund diferitelor lungimi de undă ale luminii. Euler a propus modalități de eliminare a aberațiilor cromatice ale lentilelor și a oferit metode pentru calcularea componentelor optice ale unui microscop. Euler a dedicat o serie extinsă de lucrări, începute în 1748, fizicii matematice: probleme ale vibrației unei corzi, plăci, membrane etc. Toate aceste studii au stimulat dezvoltarea teoriei ecuațiilor diferențiale, a metodelor aproximative de analiză și a unor metode speciale de analiză. . funcții, geometrie diferențială etc. Multe dintre descoperirile matematice ale lui Euler sunt cuprinse tocmai în aceste lucrări.

Principala activitate a lui Euler ca matematician a fost dezvoltarea analizei matematice. El a pus bazele mai multor discipline matematice care erau abia la început sau lipseau complet în calculul infinitezimal al lui I. Newton, G. Leibniz și fraților Bernoulli. Astfel, Euler a fost primul care a introdus funcții ale unui argument complex și a studiat proprietățile funcțiilor elementare de bază ale unei variabile complexe (funcții exponențiale, logaritmice și trigonometrice); în special, el a derivat formule care relaționează funcțiile trigonometrice cu cele exponențiale. Lucrarea lui Euler în această direcție a marcat începutul teoriei funcțiilor unei variabile complexe.

Euler a fost creatorul calculului variațiilor, descris în lucrarea „Metoda de găsire a liniilor curbe cu proprietăți maxime sau minime. » (1744). Metoda prin care Euler în 1744 a derivat condiția necesară pentru extremul unei funcționale, ecuația Euler, a fost un prototip al metodelor directe ale calculului variațiilor din secolul XX. Euler a creat teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite ca disciplină independentă și a pus bazele teoriei ecuațiilor diferențiale parțiale. Aici deține un număr imens de descoperiri: metoda clasică de rezolvare a ecuațiilor liniare cu coeficienți constanți, metoda variației constantelor arbitrare, elucidarea proprietăților de bază ale ecuației Riccati, integrarea ecuațiilor liniare cu coeficienți variabili folosind serii infinite, criterii pentru soluții speciale, doctrina factorului integrator, diverse metode aproximative și o serie de tehnici de rezolvare a ecuațiilor cu diferențe parțiale. Euler a compilat o parte semnificativă a acestor rezultate în „Calculul integral”.

Euler a îmbogățit și calculul diferențial și integral în sensul restrâns al cuvântului (de exemplu, teoria schimbării variabilelor, teorema funcțiilor omogene, conceptul de integrală dublă și calculul multor integrale speciale). În „Calculul diferențial”, Euler și-a exprimat și susținut cu exemple convingerea cu privire la oportunitatea utilizării seriilor divergente și a propus metode de însumare generalizată a seriilor, anticipând ideile teoriei riguroase moderne a seriilor divergente, creată la rândul său. secolele al XIX-lea și al XX-lea. În plus, Euler a obținut multe rezultate concrete în teoria seriilor. A deschis așa-zisul. formula de însumare Euler-Maclaurin, a propus transformarea seriilor care îi poartă numele, a determinat sumele unui număr imens de serii și a introdus noi tipuri importante de serii în matematică (de exemplu, seria trigonometrică). Studiile lui Euler despre teoria fracțiilor continue și a altor procese infinite se alătură aici.

Euler este fondatorul teoriei funcțiilor speciale. Mai întâi a început să considere sinusul și cosinusul ca funcții, și nu ca segmente dintr-un cerc. El a obținut aproape toate expansiunile clasice ale funcțiilor elementare în serii și produse infinite. În lucrările sale, a fost creată teoria funcției γ. El a investigat proprietățile integralelor eliptice, funcțiile hiperbolice și cilindrice, funcția ζ, unele funcții θ, logaritmul integral și clasele importante de polinoame speciale.

Potrivit lui P. Cebyshev, Euler a pus bazele tuturor cercetărilor care constituie partea generală a teoriei numerelor. Astfel, Euler a dovedit o serie de afirmații făcute de P. Fermat (de exemplu, mica teoremă a lui Fermat), a dezvoltat bazele teoriei reziduurilor de putere și a teoriei formelor pătratice, a descoperit (dar nu a demonstrat) legea reciprocității pătratice, și a studiat o serie de probleme în analiza diofantină. În lucrările despre împărțirea numerelor în termeni și despre teoria numerelor prime, Euler a fost primul care a folosit metode de analiză, fiind astfel creatorul teoriei analitice a numerelor. În special, el a introdus funcția ζ și a demonstrat așa-numita. Identitatea lui Euler care leagă numerele prime cu toate numerele naturale.

Meritele lui Euler sunt mari și în alte domenii ale matematicii. În algebră, el deține lucrări privind soluția ecuațiilor de grade superioare în radicali și a ecuațiilor în două necunoscute, precum și așa-numitele. Identitatea în patru pătrate a lui Euler. Euler a făcut progrese semnificative în geometria analitică, în special în teoria suprafețelor de ordinul doi. În geometria diferențială, a studiat în detaliu proprietățile liniilor geodezice, a aplicat pentru prima dată ecuațiile naturale ale curbelor și, cel mai important, a pus bazele teoriei suprafețelor. El a introdus conceptul de direcții principale într-un punct de pe o suprafață, a dovedit ortogonalitatea lor, a derivat o formulă pentru curbura oricărei secțiuni normale, a început să studieze suprafețele dezvoltabile etc.; într-o lucrare publicată postum (1862), el a anticipat parțial cercetările lui K. Gauss asupra geometriei intrinseci a suprafețelor. Euler s-a ocupat și de întrebări individuale de topologie și a demonstrat, de exemplu, o teoremă importantă asupra poliedrelor convexe. Euler matematicianul este adesea descris ca un „calculator” genial. Într-adevăr, el a fost un maestru de neegalat al calculelor formale și al transformărilor; în lucrările sale, multe formule și simboluri matematice au primit un aspect modern (de exemplu, el deține denumirile pentru e și π). Cu toate acestea, Euler a introdus și o serie de idei profunde în știință, care sunt acum strict fundamentate și servesc drept model pentru adâncimea pătrunderii în subiectul cercetării.

Potrivit lui P. Laplace, Euler a fost profesor de matematicieni în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, acum Germania, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

A studiat la Paris, a întreținut relații de prietenie cu matematicieni remarcabili, în special cu Fourier. La obținerea diplomei, a fost profesor la universitățile din Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) și Göttingen, unde a devenit șef al departamentului de matematică după moartea savantului Carl Friedrich Gauss. Contribuția sa cea mai remarcabilă la știință se referă la teoria numerelor, în primul rând studiul seriilor. Acest lucru i-a permis să dezvolte teoria seriilor propusă de Fourier. A creat propria sa versiune a demonstrației teoremei lui Fermat, a folosit funcții analitice pentru a rezolva probleme aritmetice și a introdus criterii de convergență pentru serii. În domeniul analizei matematice a îmbunătățit definiția și conceptul unei funcții, în domeniul mecanicii teoretice s-a concentrat pe studiul stabilității sistemelor și pe conceptul newtonian de potențial.

CHEBYSHEV PAFNUTIY LVOVICH

Matematician rus, fondator al școlii științifice din Sankt Petersburg, academician al Academiei de Științe din Sankt Petersburg (1856). Lucrările lui Cebyshev au pus bazele dezvoltării multor noi ramuri ale matematicii.

Cele mai numeroase lucrări ale lui Cebyshev sunt în domeniul analizei matematice. El a fost, în special, subiectul unei disertații pentru dreptul la prelegere, în care Cebyshev a investigat integrabilitatea anumitor expresii iraționale în funcții algebrice și logaritmi. Cebyshev a dedicat, de asemenea, o serie de alte lucrări integrării funcțiilor algebrice. Într-una dintre ele (1853), a fost obținută o binecunoscută teoremă privind condițiile de integrabilitate în funcțiile elementare ale unui binom diferențial. Un domeniu important de cercetare în analiza matematică este lucrarea sa privind construirea unei teorii generale a polinoamelor ortogonale. Motivul creării sale a fost interpolarea parabolică prin metoda celor mai mici pătrate. Investigațiile lui Cebyshev asupra problemei momentelor și asupra formulelor de cuadratura se alătură aceluiași cerc de idei. Având în vedere reducerea calculelor, Cebyshev a propus (1873) să ia în considerare formule de cuadratura cu coeficienți egali (integrare aproximativă). Cercetările privind formulele de cuadratura și teoria interpolării au fost strâns legate de sarcinile care i-au fost stabilite Cebyshev în departamentul de artilerie al comitetului științific militar.

În teoria probabilității, Cebyshev este creditat cu introducerea sistematică în luarea în considerare a variabilelor aleatoare și crearea unei noi tehnici de demonstrare a teoremelor limită ale teoriei probabilităților - așa-numita. metoda momentelor (1845, 1846, 1867, 1887). El a demonstrat legea numerelor mari într-o formă foarte generală; În același timp, dovada lui este izbitoare prin simplitate și elementaritate. Cebyshev nu a finalizat studiul condițiilor de convergență a funcțiilor de distribuție a sumelor de variabile aleatoare independente la legea normală. Cu toate acestea, A. A. Markov a reușit să facă acest lucru cu unele adăugări ale metodelor lui Cebyshev. Fără derivări riguroase, Cebyshev a subliniat și posibilitatea perfecționării acestei teoreme limite sub formă de expansiuni asimptotice ale funcției de distribuție a sumei termenilor independenți în puterile lui n21/2, unde n este numărul de termeni. Lucrarea lui Cebyshev asupra teoriei probabilităților constituie o etapă importantă în dezvoltarea acesteia; în plus, au fost baza pe care a crescut școala rusă de teorie a probabilității, care a constat la început din studenți direcți ai lui Cebyshev.

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Saxonia Inferioară, 1826 - Selaska, lângă Intra, Italia 66)

matematician german. În 1846 a intrat la Universitatea din Göttingen: a ascultat prelegerile lui K. Gauss, multe dintre ale căror idei au fost dezvoltate de el mai târziu. În 1847–49 a urmat cursuri la Universitatea din Berlin; în 1849 s-a întors la Göttingen, unde s-a împrietenit apropiat cu colaboratorul lui Gauss, fizicianul W. Weber, care a trezit în el un interes profund pentru problemele matematice ale științelor naturale.

În 1851 și-a susținut teza de doctorat „Fundamentele teoriei generale a funcțiilor unei variabile complexe”. Din 1854 Privatdozent, din 1857 profesor la Universitatea din Göttingen.

Lucrările lui Riemann au avut o mare influență asupra dezvoltării matematicii în a doua jumătate a secolului al XIX-lea. iar în secolul al XX-lea. În teza sa de doctorat, Riemann a pus bazele direcției geometrice a teoriei funcțiilor analitice; a introdus așa-numitele suprafețe Riemann, care sunt importante în studiul funcțiilor multivalorice, a dezvoltat teoria mapărilor conformale și, în legătură cu aceasta, a dat ideile de bază ale topologiei, a studiat condițiile de existență a funcțiilor analitice în interiorul regiunilor. de diferite tipuri (așa-numitul principiu Dirichlet), etc. Metodele dezvoltate de Riemann au fost utilizate pe scară largă în lucrările sale ulterioare despre teoria funcțiilor algebrice și integralelor, despre teoria analitică a ecuațiilor diferențiale (în special, ecuațiile care definesc funcțiile hipergeometrice) , pe teoria numerelor analitice (de exemplu, Riemann a indicat legătura dintre distribuția numerelor prime și proprietățile funcției ζ, în special cu distribuția zerourilor sale în domeniul complex - așa-numita ipoteză Riemann, a căror valabilitate nu a fost încă dovedită), etc.

Într-o serie de lucrări, Riemann a investigat extinderea funcțiilor în serii trigonometrice și, în legătură cu aceasta, a determinat condițiile necesare și suficiente pentru integrabilitate în sensul lui Riemann, ceea ce era important pentru teoria mulțimilor și funcțiilor unei variabile reale. . Riemann a propus și metode de integrare a ecuațiilor cu diferențe parțiale (de exemplu, folosind așa-numitele invarianți Riemann și funcția Riemann).

În celebra sa prelegere din 1854 „Despre ipotezele care stau la baza geometriei” (1867), Riemann a dat ideea generală a unui spațiu matematic (în cuvintele sale, „variete”), inclusiv spații funcționale și topologice. Aici el a considerat geometria într-un sens larg ca doctrina unor varietăți continue n-dimensionale, adică colecții ale oricăror obiecte omogene și, generalizând rezultatele lui Gauss asupra geometriei intrinseci a unei suprafețe, a dat conceptul general de element liniar. (diferența distanței dintre punctele unei varietăți), definind astfel ceea ce se numesc spații Finsler. Mai detaliat, Riemann a considerat așa-numitele spații riemanniene, generalizând spațiile geometriilor lui Euclid, Lobachevsky și geometria eliptică a lui Riemann, caracterizate printr-un tip special de element liniar, și a dezvoltat teoria curburii lor. Discutând despre aplicarea ideilor sale în spațiul fizic, Riemann a pus problema „cauzelor proprietăților metrice” ale acestuia, ca și cum ar anticipa ceea ce s-a făcut în teoria relativității generale.

Ideile și metodele propuse de Riemann au deschis noi căi în dezvoltarea matematicii și și-au găsit aplicații în mecanică și teoria generală a relativității. Omul de știință a murit în 1866 de tuberculoză.

Numerele sunt diferite: naturale, naturale, raționale, întregi și fracționale, pozitive și negative, complexe și prime, impare și par, reale etc. Din acest articol puteți afla ce sunt numerele prime.

Ce numere se numesc cuvântul englez „simple”?

De foarte multe ori, școlarii nu știu să răspundă la una dintre cele mai aparent simple întrebări din matematică, despre ce este un număr prim. Ele confundă adesea numerele prime cu numerele naturale (adică numerele pe care oamenii le folosesc atunci când numără obiectele, în timp ce în unele surse pornesc de la zero, iar în altele - de la unu). Dar acestea sunt două concepte complet diferite. Numerele prime sunt numere naturale, adică numere întregi și pozitive care sunt mai mari decât unu și care au doar 2 divizori naturali. În acest caz, unul dintre acești divizori este un număr dat, iar al doilea este o unitate. De exemplu, trei este un număr prim, deoarece nu este divizibil egal cu niciun număr, altul decât el însuși și unul.

Numerele compuse

Opusul numerelor prime sunt numerele compuse. Sunt și naturali, de asemenea mai mari decât unu, dar au nu doi, ci mai mulți divizori. Deci, de exemplu, numerele 4, 6, 8, 9 etc. sunt naturale, compuse, dar nu numere prime. După cum puteți vedea, acestea sunt în mare parte numere pare, dar nu toate. Dar „doi” este un număr par și „primul număr” dintr-o serie de numere prime.

Urmare

Pentru a construi o serie de numere prime, este necesar să faceți o selecție din toate numerele naturale, ținând cont de definiția lor, adică trebuie să acționați prin contradicție. Este necesar să se ia în considerare fiecare dintre numerele naturale pozitive cu privire la faptul dacă are mai mult de doi divizori. Să încercăm să construim o serie (secvență) care constă din numere prime. Lista începe cu doi, apoi urmează trei, deoarece este divizibil doar cu ea însăși și unul. Luați în considerare numărul patru. Are alți divizori decât patru și unu? Da, acel număr este 2. Deci patru nu este un număr prim. Cinci este și prim (în afară de 1 și 5, nu este divizibil cu niciun alt număr), dar șase este divizibil. Și, în general, dacă urmați toate numerele pare, veți observa că în afară de „doi”, niciunul dintre ele nu este prim. De aici concluzionăm că numerele pare, cu excepția a doi, nu sunt prime. O altă descoperire: toate numerele care sunt divizibile cu trei, cu excepția triplei în sine, fie par sau impar, nu sunt nici prime (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 etc.). Același lucru este valabil și pentru numerele care sunt divizibile cu cinci și șapte. Tot setul lor nu este, de asemenea, simplu. Să rezumam. Deci, toate numerele impare, cu excepția unu și nouă, aparțin numerelor simple cu o singură cifră și doar „două” din cele pare. Zecile în sine (10, 20,... 40 etc.) nu sunt prime. Numerele prime de două cifre, trei cifre etc. pot fi definite pe baza principiilor de mai sus: dacă nu au alți divizori decât ele însele și unul.

Teorii despre proprietățile numerelor prime

Există o știință care studiază proprietățile numerelor întregi, inclusiv a celor prime. Aceasta este o ramură a matematicii, care se numește superioară. Pe lângă proprietățile numerelor întregi, ea se ocupă și de numere algebrice, transcendentale, precum și de funcții de diverse origini legate de aritmetica acestor numere. În aceste studii, pe lângă metodele elementare și algebrice, sunt folosite și cele analitice și geometrice. Mai exact, studiul numerelor prime se ocupă de „Teoria numerelor”.

Numerele prime sunt „componentele de bază” ale numerelor naturale

În aritmetică există o teoremă numită teorema principală. Potrivit acestuia, orice număr natural, cu excepția unității, poate fi reprezentat ca un produs, ai cărui factori sunt numere prime, iar ordinea factorilor este unică, ceea ce înseamnă că metoda de reprezentare este unică. Se numește descompunerea unui număr natural în factori primi. Există un alt nume pentru acest proces - factorizarea numerelor. Pornind de la aceasta, numerele prime pot fi numite „material de construcție”, „blocuri” pentru construirea numerelor naturale.

Căutați numere prime. Teste de simplitate

Mulți oameni de știință din timpuri diferite au încercat să găsească niște principii (sisteme) pentru găsirea unei liste de numere prime. Știința cunoaște sisteme numite sita lui Atkin, sita lui Sundartam, sita lui Eratosthenes. Cu toate acestea, nu dau rezultate semnificative și un simplu test este folosit pentru a găsi numere prime. Algoritmii au fost creați și de matematicieni. Se numesc teste de primalitate. De exemplu, există un test dezvoltat de Rabin și Miller. Este folosit de criptografi. Există și un test Kayala-Agrawala-Saskena. Cu toate acestea, în ciuda preciziei sale suficiente, este foarte dificil de calculat, ceea ce îi diminuează valoarea practică.

Mulțimea primelor are o limită?

Faptul că mulțimea numerelor prime este infinit a fost scris în cartea „Începuturi” a savantului grec antic Euclid. El a spus asta: „Să ne imaginăm pentru o clipă că numerele prime au o limită. Apoi să le înmulțim între ele și să adăugăm unul la produs. Numărul obținut în urma acestor operații simple nu poate fi divizibil cu niciuna din seriile de numere prime, deoarece restul va fi întotdeauna unul. Și asta înseamnă că există un alt număr care nu este încă inclus în lista numerelor prime. Prin urmare, presupunerea noastră nu este adevărată, iar acest set nu poate avea o limită. Pe lângă demonstrația lui Euclid, există o formulă mai modernă dată de matematicianul elvețian din secolul al XVIII-lea Leonhard Euler. Potrivit lui, suma, reciproca sumei primelor n numere, crește la nesfârșit odată cu creșterea numărului n. Și iată formula teoremei privind distribuția numerelor prime: (n) crește ca n / ln (n).

Care este cel mai mare număr prim?

Cu toate acestea, Leonard Euler a fost capabil să găsească cel mai mare număr prim pentru vremea lui. Acesta este 2 31 - 1 = 2147483647. Cu toate acestea, până în 2013, a fost calculat un alt cel mai mare cel mai precis din lista numerelor prime - 2 57885161 - 1. Se numește numărul Mersenne. Conține aproximativ 17 milioane de cifre zecimale. După cum puteți vedea, numărul găsit de un om de știință din secolul al XVIII-lea este de câteva ori mai mic decât acesta. Ar fi trebuit să fie așa, pentru că Euler a făcut acest calcul manual, în timp ce contemporanul nostru a fost probabil ajutat de un computer. Mai mult, acest număr a fost obținut la Departamentul de Matematică dintr-unul din departamentele americane. Numerele numite după acest om de știință trec prin testul de primalitate Luc-Lehmer. Cu toate acestea, știința nu vrea să se oprească aici. Fundația Electronic Frontier, care a fost fondată în 1990 în Statele Unite ale Americii (EFF), a oferit o recompensă bănească pentru găsirea numerelor prime mari. Și dacă până în 2013 premiul a fost acordat acelor oameni de știință care le vor găsi dintre 1 și 10 milioane de numere zecimale, astăzi această cifră a ajuns de la 100 de milioane la 1 miliard. Premiile variază de la 150 la 250 de mii de dolari SUA.

Numele numerelor prime speciale

Acele numere care au fost găsite datorită algoritmilor creați de anumiți oameni de știință și au trecut testul de simplitate sunt numite speciale. Aici sunt câțiva dintre ei:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Simplitatea acestor numere, numite după oamenii de știință de mai sus, este stabilită folosind următoarele teste:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge și alții.

Știința modernă nu se oprește aici și probabil că în viitorul apropiat lumea va ști numele celor care au reușit să câștige un premiu de 250.000 de dolari prin găsirea celui mai mare număr prim.

Lista divizorilor. Prin definiție, numărul n este prim numai dacă nu este divizibil egal cu 2 și alte numere întregi, cu excepția lui 1 și a lui însuși. Formula de mai sus elimină pașii inutile și economisește timp: de exemplu, după ce ați verificat dacă un număr este divizibil cu 3, nu este nevoie să verificați dacă este divizibil cu 9.

• Funcția floor(x) rotunjește x la cel mai apropiat număr întreg mai mic sau egal cu x.

Aflați despre aritmetica modulară. Operația „x mod y” (mod este o abreviere a cuvântului latin „modulo”, adică „modul”) înseamnă „împărțiți x la y și găsiți restul”. Cu alte cuvinte, în aritmetica modulară, la atingerea unei anumite valori, care se numește modul, numerele „se întorc” înapoi la zero. De exemplu, un ceas măsoară timpul cu un modul de 12: arată ora 10, 11 și 12, apoi revine la 1.

• Multe calculatoare au o cheie mod. Sfârșitul acestei secțiuni arată cum se calculează manual această funcție pentru numere mari.

Aflați despre capcanele Micii Teoreme a lui Fermat. Toate numerele pentru care nu sunt îndeplinite condițiile de testare sunt compuse, dar numerele rămase sunt doar probabil sunt considerate simple. Dacă doriți să evitați rezultatele incorecte, căutați nîn lista „numerelor Carmichael” (numerele compuse care îndeplinesc acest test) și „numerelor Fermat pseudo-prime” (aceste numere îndeplinesc condițiile testului doar pentru unele valori A).

Dacă este convenabil, utilizați testul Miller-Rabin. Deși această metodă este destul de greoaie pentru calculele manuale, este adesea folosită în programele de calculator. Oferă viteză acceptabilă și dă mai puține erori decât metoda Fermat. Un număr compus nu va fi luat ca număr prim dacă se fac calcule pentru mai mult de ¼ de valori A. Dacă selectați aleatoriu valori diferite A iar pentru toate testul va da un rezultat pozitiv, putem presupune cu un grad destul de ridicat de încredere că n este un număr prim.

Pentru numere mari, utilizați aritmetica modulară. Dacă nu aveți un calculator de mod la îndemână sau dacă calculatorul nu este conceput pentru a gestiona numere atât de mari, utilizați proprietățile puterii și aritmetica modulară pentru a face calculele mai ușoare. Mai jos este un exemplu pentru 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

• Rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: mod 50. Când se calculează manual, pot fi necesare simplificări suplimentare.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Aici am luat în considerare proprietatea înmulțirii modulare.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

Un număr prim este un număr natural care este divizibil doar cu el însuși și unul.

Restul numerelor se numesc compuse.

Numere naturale simple

Dar nu toate numerele naturale sunt prime.

Numerele naturale simple sunt doar acelea care sunt divizibile numai prin ele însele și cu unul.

Exemple de numere prime:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

numere întregi simple

Rezultă că numai numerele naturale sunt numere prime.

Aceasta înseamnă că numerele prime sunt în mod necesar naturale.

Dar toate numerele naturale sunt și numere întregi.

Astfel, toate numerele prime sunt numere întregi.

Exemple de numere prime:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Chiar și numere prime

Există un singur număr prim par și acesta este doi.

Toate celelalte numere prime sunt impare.

De ce un număr par mai mare de doi nu poate fi număr prim?

Dar pentru că orice număr par mai mare de doi va fi divizibil prin el însuși, nu cu unu, ci cu doi, adică un astfel de număr va avea întotdeauna trei divizori și, eventual, mai mulți.