Calculator de fracții conceput pentru calcularea rapidă a operațiilor cu fracții, vă va ajuta să adăugați, înmulțiți, împărțiți sau scădeți cu ușurință fracții.

Școlarii moderni încep să studieze fracțiile deja în clasa a V-a, iar în fiecare an exercițiile cu ele devin mai complicate. Termenii și cantitățile matematice pe care le învățăm la școală ne sunt rareori utile la vârsta adultă. Cu toate acestea, fracțiile, spre deosebire de logaritmi și grade, sunt destul de comune în viața de zi cu zi (măsurarea distanței, cântărirea mărfurilor etc.). Calculatorul nostru este conceput pentru operații rapide cu fracții.

Mai întâi, să definim ce sunt fracțiile și ce sunt acestea. Fracțiile sunt raportul dintre un număr și altul; acesta este un număr format dintr-un număr întreg de fracții ale unei unități.

Tipuri de fracții:

• Comun
• zecimale
• amestecat

Exemplu fracții ordinare:

Valoarea de sus este numărătorul, cea de jos este numitorul. Cratita ne arată că numărul de sus este divizibil cu numărul de jos. În loc de un format de scriere similar, când liniuța este orizontală, puteți scrie diferit. Puteți pune o linie înclinată, de exemplu:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

zecimale sunt cele mai populare tipuri de fracții. Ele constau dintr-o parte întreagă și o parte fracțională, separate prin virgulă.

Exemplu zecimal:

0,2 sau 6,71 sau 0,125

Este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Pentru a afla valoarea acestei fracții, trebuie să adăugați numărul întreg și fracția.

Exemplu de fracții mixte:

Calculatorul de fracții de pe site-ul nostru web poate efectua rapid orice operație matematică cu fracții online:

• Plus
• Scădere
• Multiplicare
• Divizia

Pentru a efectua calculul, trebuie să introduceți numerele în câmpuri și să selectați acțiunea. Pentru fracții, trebuie să completați numărătorul și numitorul, este posibil să nu fie scris un număr întreg (dacă fracția este obișnuită). Nu uitați să faceți clic pe butonul „egal”.

Este convenabil ca calculatorul să ofere imediat un proces pentru rezolvarea unui exemplu cu fracții, și nu doar un răspuns gata făcut. Datorită soluției detaliate, puteți utiliza acest material în rezolvarea problemelor școlare și pentru o mai bună însușire a materialului acoperit.

Trebuie să calculați exemplul:

După introducerea indicatorilor în câmpurile formularului, obținem:

Pentru a face un calcul independent, introduceți datele în formular.

Calculator de fracții

Introdu două fracții:

		+ - * :

secțiuni aferente.

Instruire

Reducere la un numitor comun.

Să fie date fracțiile a/b și c/d.

Numătorul și numitorul primei fracții se înmulțesc cu LCM / b

Numătorul și numitorul celei de-a doua fracții se înmulțesc cu LCM/d

Un exemplu este prezentat în figură.

Pentru a compara fracțiile, acestea trebuie să aibă un numitor comun, apoi să compare numărătorii. De exemplu, 3/4< 4/5, см. .

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Pentru a găsi suma a două fracții ordinare, acestea trebuie reduse la un numitor comun și apoi adăugați numărătorii, numitorul rămâne neschimbat. Un exemplu de adăugare a fracțiilor 1/2 și 1/3 este prezentat în figură.

Diferența fracțiilor se găsește într-un mod similar, după găsirea numitorului comun, se scad numărătorii fracțiilor, vezi figură.

La înmulțirea fracțiilor obișnuite, numărătorii și numitorii sunt înmulțiți împreună.

Pentru a împărți două fracții, aveți nevoie de o fracțiune din a doua fracție, adică. schimbați numărătorul și numitorul și apoi înmulțiți fracțiile rezultate.

Videoclipuri asemănătoare

Surse:

• fractii nota 5 prin exemplu
• Sarcini de bază pentru fracții

Modul reprezintă valoarea absolută a expresiei. Parantezele sunt folosite pentru a desemna un modul. Valorile conținute în ele sunt luate modulo. Soluția modulului este de a deschide paranteze după anumite reguli și de a găsi setul de valori ale expresiei. În cele mai multe cazuri, un modul este extins în așa fel încât expresia submodulului să ia o serie de valori pozitive și negative, inclusiv zero. Pe baza acestor proprietăți ale modulului, alte ecuații și inegalități ale expresiei originale sunt compilate și rezolvate.

Instruire

Notați ecuația inițială cu . Pentru aceasta, deschideți modulul. Luați în considerare fiecare expresie de submodul. Determinați la ce valoare a cantităților necunoscute incluse în acesta, expresia dintre paranteze modulare dispare.

Pentru a face acest lucru, egalați expresia submodulului cu zero și găsiți ecuația rezultată. Notează valorile găsite. În același mod, determinați valorile variabilei necunoscute pentru fiecare modul din ecuația dată.

Desenați o linie numerică și trasați pe ea valorile rezultate. Valorile variabilei din modulul zero vor servi drept constrângeri în rezolvarea ecuației modulare.

În ecuația originală, trebuie să le extindeți pe cele modulare, schimbând semnul astfel încât valorile variabilei să corespundă cu cele afișate pe linia numerică. Rezolvați ecuația rezultată. Verificați valoarea găsită a variabilei în raport cu restricția specificată de modul. Dacă soluția îndeplinește condiția, este adevărată. Rădăcinile care nu îndeplinesc restricțiile ar trebui aruncate.

În mod similar, extindeți modulele expresiei originale, ținând cont de semn și calculați rădăcinile ecuației rezultate. Notați toate rădăcinile obținute care satisfac inegalitățile de constrângere.

Numerele fracționale vă permit să exprimați valoarea exactă a unei cantități în moduri diferite. Cu fracțiile, puteți efectua aceleași operații matematice ca și cu numerele întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. Unele operații aritmetice după execuție necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.

Vei avea nevoie

• - calculator

Instruire

Privește cu atenție numerele. Dacă există fracții zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Această valoare va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din inițial incorectă fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracțiile cu o parte întreagă, este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Pentru valorile sub linie, găsiți numitorul comun. De exemplu, pentru 5/9 și 7/12, numitorul comun va fi 36. Pentru aceasta, numărătorul și numitorul primului fractii trebuie să înmulțiți cu 4 (se va dovedi 28/36), iar al doilea - cu 3 (se va dovedi 15/36). Acum puteți face calculele.

Dacă intenționați să calculați suma sau diferența de fracții, notați mai întâi numitorul comun găsit sub linie. Efectuați acțiunile necesare între numărători și scrieți rezultatul deasupra liniei noi fractii. Astfel, noul numărător va fi diferența sau suma numărătorilor fracțiilor originale.

Pentru a calcula produsul fracțiilor, înmulțiți numărătorii fracțiilor și scrieți rezultatul în locul numărătorului finalului fractii. Faceți același lucru pentru numitori. La împărțirea uneia fractii scrieți o fracție pe cealaltă și apoi înmulțiți-i numărătorul cu numitorul celei de-a doua. În același timp, numitorul primului fractiiînmulțit corespunzător cu numărătorul celui de-al doilea. În același timp, un fel de inversare a celui de-al doilea fractii(divizor). Fracția finală va fi din rezultatele înmulțirii numărătorilor și numitorilor ambelor fracții. Usor de invatat fractii, scris în condiția sub forma unui „cu patru etaje” fractii. Dacă separă doi fractii, rescrie-le cu un delimitator „:” și continuă cu împărțirea normală.

Pentru a obține rezultatul final, reduceți fracția rezultată împărțind numărătorul și numitorul la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.

Notă

Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțiți cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.

Sfaturi utile

Când scrieți numere fracționale, dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. În acest exemplu, este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul este 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.

Instruire

Faceți clic o dată pe elementul de meniu „Inserare”, apoi selectați elementul „Simbol”. Aceasta este una dintre cele mai ușoare modalități de a introduce fractii la text. Constă în următoarele. Setul de personaje gata are fractii. Numărul lor este de obicei mic, dar dacă trebuie să scrieți ½, nu 1/2 în text, atunci această opțiune va fi cea mai optimă pentru dvs. În plus, numărul de caractere fracțiuni poate depinde de font. De exemplu, pentru fontul Times New Roman, există puțin mai puține fracții decât pentru același Arial. Variați fonturile pentru a găsi cele mai bune cea mai buna varianta când vine vorba de expresii simple.

Faceți clic pe elementul de meniu „Inserare” și selectați subelementul „Obiect”. Veți vedea o fereastră cu o listă de obiecte posibile de inserat. Alegeți dintre ele Microsoft Equation 3.0. Această aplicație vă va ajuta să scrieți fractii. Și nu numai fractii, dar și expresii matematice complexe care conțin diverse funcții trigonometrice și alte elemente. Faceți dublu clic pe acest obiect cu butonul stâng al mouse-ului. Veți vedea o fereastră care conține multe simboluri.

Pentru a tipări o fracție, selectați simbolul care reprezintă o fracție cu numărător și numitor gol. Faceți clic pe el o dată cu butonul stâng al mouse-ului. Va apărea un meniu suplimentar, specificând schema fractii. Pot exista mai multe opțiuni. Alegeți cel mai potrivit pentru dvs. și faceți clic pe el o dată cu butonul stâng al mouse-ului.

Fracțiune- o formă de reprezentare a unui număr în matematică. Bara oblică indică operația de împărțire. numărător fracții se numește dividend și numitor- separator. De exemplu, într-o fracție, numărătorul este 5 și numitorul este 7.

corect O fracție se numește dacă modulul numărătorului este mai mare decât modulul numitorului. Dacă fracția este corectă, atunci modulul valorii sale este întotdeauna mai mic decât 1. Toate celelalte fracții sunt gresit.

Se numește fracțiune amestecat, dacă se scrie ca număr întreg și fracție. Aceasta este aceeași cu suma acestui număr și a unei fracții:

Proprietatea de bază a fracției

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se va schimba, adică, de exemplu,

Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Pentru a aduce două fracții la un numitor comun, aveți nevoie de:

1. Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua
2. Înmulțiți numărătorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei
3. Înlocuiți numitorii ambelor fracții cu produsul lor

Acțiuni cu fracții

Plus. Pentru a adăuga două fracții, aveți nevoie

1. Adăugați noi numărători ai ambelor fracții și lăsați numitorul neschimbat

Exemplu:

Scădere. Pentru a scădea o fracție din alta,

1. Aduceți fracțiile la un numitor comun
2. Scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat

Exemplu:

Multiplicare. Pentru a înmulți o fracție cu alta, înmulțiți-le numărătorii și numitorii:

Divizia. Pentru a împărți o fracție la alta, înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua:

Acest articol tratează operațiile pe fracții. Se vor forma și justifica reguli de adunare, scădere, înmulțire, împărțire sau exponențiere a fracțiilor de forma A B, unde A și B pot fi numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. În concluzie, vor fi luate în considerare exemple de soluții cu o descriere detaliată.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Reguli pentru efectuarea operațiilor cu fracții numerice de formă generală

Fracțiile numerice de formă generală au un numărător și un numitor, în care există numere naturale sau expresii numerice. Dacă luăm în considerare astfel de fracții ca 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , atunci este clar că numărătorul și numitorul pot avea nu numai numere, ci și expresii ale unui plan diferit.

Definiția 1

Există reguli prin care acțiunile sunt efectuate cu fracții obișnuite. Este potrivit și pentru fracții de formă generală:

• La scăderea fracțiilor cu aceiași numitori, se adaugă doar numărătorii, iar numitorul rămâne același, și anume: a d ± c d \u003d a ± c d, valorile a, c și d ≠ 0 sunt niște numere sau expresii numerice.
• Când se adună sau se scăde fracții cu numitori diferiți, este necesar să se reducă la una comună, iar apoi să se adună sau să scadă fracțiile rezultate cu aceiași indicatori. Literal, arată astfel a b ± c d = a p ± c r s , unde valorile a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 sunt numere reale și b p = d r = s. Când p = d și r = b, atunci a b ± c d = a d ± c d b d.
• La înmulțirea fracțiilor, se efectuează o acțiune cu numărători, după care cu numitori, obținem a b c d \u003d a c b d, unde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 acționează ca numere reale.
• Când împărțim o fracție la o fracție, o înmulțim pe prima cu a doua reciprocă, adică schimbăm numărătorul și numitorul: a b: c d \u003d a b d c.

Rațiunea regulilor

Definiția 2

Există următoarele puncte matematice pe care ar trebui să te bazezi când calculezi:

• o bară fracțională înseamnă un semn de divizare;
• împărțirea cu un număr este tratată ca o înmulțire cu reciproca sa;
• aplicarea proprietății acțiunilor cu numere reale;
• aplicarea proprietății de bază a unei fracții și a inegalităților numerice.

Cu ajutorul lor, puteți face transformări ale formei:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Exemple

În paragraful anterior s-a spus despre acțiunile cu fracții. După aceasta, fracția trebuie simplificată. Acest subiect a fost discutat în detaliu în secțiunea privind conversia fracțiilor.

Mai întâi, luați în considerare exemplul de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor.

Exemplul 1

Având în vedere fracțiile 8 2 , 7 și 1 2 , 7 , atunci conform regulii este necesar să se adună numărătorul și să rescrie numitorul.

Decizie

Apoi obținem o fracție de forma 8 + 1 2 , 7 . După efectuarea adunării, obținem o fracție de forma 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Deci 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Răspuns: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Există o altă modalitate de a rezolva. Pentru început, se face o tranziție la forma unei fracții obișnuite, după care efectuăm o simplificare. Arata cam asa:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplul 2

Să scădem din 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fracții de forma 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Deoarece sunt dați numitori egali, înseamnă că calculăm o fracție cu același numitor. Înțelegem asta

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Există exemple de calculare a fracțiilor cu numitori diferiți. Un punct important este reducerea la un numitor comun. Fără aceasta, nu vom putea efectua alte acțiuni cu fracții.

Procesul amintește de departe de reducerea la un numitor comun. Adică se face o căutare pentru cel mai mic divizor comun din numitor, după care factorii lipsă se adaugă la fracții.

Dacă fracțiile adăugate nu au factori comuni, atunci produsul lor poate deveni unul.

Exemplul 3

Luați în considerare exemplul de adunare a fracțiilor 2 3 5 + 1 și 1 2 .

Decizie

În acest caz, numitorul comun este produsul numitorilor. Atunci obținem că 2 · 3 5 + 1 . Apoi, atunci când stabilim factori suplimentari, avem că pentru prima fracție este egal cu 2, iar pentru a doua 3 5 + 1. După înmulțire, fracțiile sunt reduse la forma 4 2 3 5 + 1. Distribuția generală 1 2 va fi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Adăugăm expresiile fracționale rezultate și obținem asta

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Răspuns: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Când avem de-a face cu fracții de formă generală, atunci cel mai mic numitor comun nu este de obicei cazul. Este neprofitabil să luăm ca numitor produsul numărătorilor. Mai întâi trebuie să verificați dacă există un număr care are o valoare mai mică decât produsul lor.

Exemplul 4

Luați în considerare exemplul 1 6 2 1 5 și 1 4 2 3 5 când produsul lor este egal cu 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Apoi luăm 12 · 2 3 5 ca numitor comun.

Luați în considerare exemple de înmulțiri de fracții dintr-o formă generală.

Exemplul 5

Pentru a face acest lucru, este necesar să înmulțiți 2 + 1 6 și 2 · 5 3 · 2 + 1.

Decizie

Urmând regula, este necesar să rescrieți și să scrieți produsul numărătorilor ca numitor. Obținem că 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Când fracția este înmulțită, se pot face reduceri pentru a o simplifica. Atunci 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Folosind regula trecerii de la împărțire la înmulțire cu o reciprocă, obținem reciproca celei date. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul sunt inversate. Să ne uităm la un exemplu:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

După aceea, trebuie să efectueze înmulțirea și să simplifice fracția rezultată. Dacă este necesar, scăpați de iraționalitatea din numitor. Înțelegem asta

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Răspuns: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Acest paragraf este aplicabil atunci când un număr sau o expresie numerică poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor egal cu 1, atunci operația cu o astfel de fracție este considerată un paragraf separat. De exemplu, expresia 1 6 7 4 - 1 3 arată că rădăcina lui 3 poate fi înlocuită cu o altă expresie 3 1. Atunci această înregistrare va arăta ca o înmulțire a două fracții de forma 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Efectuarea unei acțiuni cu fracții care conțin variabile

Regulile discutate în primul articol sunt aplicabile operațiilor cu fracții care conțin variabile. Luați în considerare regula scăderii atunci când numitorii sunt aceiași.

Este necesar să se demonstreze că A , C și D (D nu este egal cu zero) pot fi orice expresii, iar egalitatea A D ± C D = A ± C D este echivalentă cu intervalul său de valori valide.

Este necesar să se ia un set de variabile ODZ. Atunci A, C, D trebuie să ia valorile corespunzătoare a 0 , c 0 și d0. O substituire a formei A D ± C D are ca rezultat o diferență de forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , unde, conform regulii de adunare, obținem o formulă de forma a 0 ± c 0 d 0 . Dacă înlocuim expresia A ± C D , atunci obținem aceeași fracție de forma a 0 ± c 0 d 0 . Din aceasta concluzionăm că valoarea aleasă care satisface ODZ, A ± C D și A D ± C D sunt considerate egale.

Pentru orice valoare a variabilelor, aceste expresii vor fi egale, adică se numesc identic egale. Aceasta înseamnă că această expresie este considerată a fi o egalitate demonstrabilă de forma A D ± C D = A ± C D .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când există aceiași numitori, este necesar doar să se adună sau să scadă numărătorii. Această fracție poate fi simplificată. Uneori trebuie să lucrați cu fracții care sunt identic egale, dar la prima vedere acest lucru nu se observă, deoarece trebuie efectuate unele transformări. De exemplu, x 2 3 x 1 3 + 1 și x 1 3 + 1 2 sau 1 2 sin 2 α și sin a cos a. Cel mai adesea, este necesară o simplificare a expresiei originale pentru a vedea aceiași numitori.

Exemplul 6

Calculați: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Decizie

1. Pentru a face un calcul, trebuie să scădeți fracțiile care au aceiași numitori. Atunci obținem că x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . După aceea, puteți deschide parantezele cu reducerea termenilor similari. Obținem că x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Deoarece numitorii sunt aceiași, rămâne doar adunarea numărătorilor, lăsând numitorul: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Adăugarea a fost finalizată. Se poate observa că fracția poate fi redusă. Numătorul său poate fi pliat folosind formula sumei pătrate, apoi obținem (l g x + 2) 2 din formulele de multiplicare prescurtate. Atunci obținem asta
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Date fracții de forma x - 1 x - 1 + x x + 1 cu diferiți numitori. După transformare, puteți trece la adăugare.

Să luăm în considerare o soluție în două sensuri.

Prima metodă este ca numitorul primei fracții să fie supus factorizării folosind pătrate și cu reducerea sa ulterioară. Obținem o fracțiune din formă

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Deci x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

În acest caz, este necesar să scăpăm de iraționalitatea în numitor.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A doua modalitate este de a înmulți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu x-1. Astfel, scăpăm de iraționalitate și trecem la adunarea unei fracții cu același numitor. Apoi

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Răspuns: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

În ultimul exemplu, am constatat că reducerea la un numitor comun este inevitabilă. Pentru a face acest lucru, trebuie să simplificați fracțiile. Pentru a adăuga sau scădea, trebuie să căutați întotdeauna un numitor comun, care arată ca produsul numitorilor cu adăugarea de factori suplimentari la numărători.

Exemplul 7

Calculați valorile fracțiilor: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Decizie

1. Numitorul nu necesită calcule complexe, așa că trebuie să alegeți produsul lor de forma 3 x 7 + 2 2, apoi la prima fracție x 7 + 2 2 este ales ca factor suplimentar și 3 la a doua. Când înmulțim, obținem o fracție de forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Se poate observa că numitorii sunt prezentați ca un produs, ceea ce înseamnă că transformările suplimentare sunt inutile. Numitorul comun va fi produsul formei x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . De aici x 4 este un factor suplimentar la prima fracție și ln (x + 1) la al doilea. Apoi scadem si obtinem:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Acest exemplu are sens atunci când lucrați cu numitori de fracții. Este necesar să se aplice formulele diferenței de pătrate și pătratului sumei, deoarece acestea vor face posibilă trecerea la o expresie de forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Se poate observa că fracțiile sunt reduse la un numitor comun. Obținem că cos x - x cos x + x 2 .

Atunci obținem asta

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Răspuns:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

La înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Apoi puteți aplica proprietatea de reducere.

Exemplul 8

Înmulțiți fracțiile x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Decizie

Trebuie să faci înmulțirea. Înțelegem asta

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Numărul 3 este transferat pe primul loc pentru confortul calculelor și puteți reduce fracția cu x 2, apoi obținem o expresie de forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Răspuns: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Divizia

Împărțirea fracțiilor este similară cu înmulțirea, deoarece prima fracție este înmulțită cu a doua reciprocă. Dacă luăm, de exemplu, fracția x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și împărțim la 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, atunci aceasta poate fi scrisă ca

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , apoi înlocuiți cu un produs de forma x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Exponentiatie

Să trecem la acțiunea cu fracții de formă generală cu exponențiere. Dacă există un grad cu exponent natural, atunci acțiunea este considerată ca o înmulțire a fracțiilor identice. Dar se recomandă utilizarea unei abordări generale bazate pe proprietățile puterilor. Orice expresii A și C, unde C nu este identic egal cu zero, și orice r real pe ODZ pentru o expresie de forma A C r, egalitatea A C r = A r C r este adevărată. Rezultatul este o fracție ridicată la o putere. De exemplu, luați în considerare:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Ordinea operațiilor cu fracții

Acțiunile asupra fracțiilor sunt efectuate după anumite reguli. În practică, observăm că o expresie poate conține mai multe fracții sau expresii fracționale. Apoi, este necesar să efectuați toate acțiunile într-o ordine strictă: ridicați la o putere, înmulțiți, împărțiți, apoi adăugați și scădeți. Dacă există paranteze, prima acțiune este efectuată în ele.

Exemplul 9

Calculați 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Decizie

Deoarece avem același numitor, atunci 1 - x cos x și 1 c o s x , dar este imposibil să scădem conform regulii, mai întâi se execută acțiunile dintre paranteze, după care înmulțirea, apoi adunarea. Apoi, când calculăm, obținem asta

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Când înlocuim expresia în cea originală, obținem că 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. La înmulțirea fracțiilor, avem: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . După ce au făcut toate înlocuirile, obținem 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Acum trebuie să lucrați cu fracții care au numitori diferiți. Primim:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Răspuns: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori

Adunarea fracțiilor este de două tipuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Să începem cu adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Adăugați fracții și .

Răspunsul este o fracție improprie. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, partea întreagă este alocată cu ușurință - doi împărțiți la doi este egal cu unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate deodată, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode constă în faptul că se caută primul (LCM) dintre numitorii ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - NOC este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.

Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Adăugați fracții și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se pare.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen arată o fracție (patru piese din șase), iar cea de-a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Rețineți că am pictat acest exemplu prea detaliat. În instituțiile de învățământ nu este obișnuit să scrieți într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și al factorilor suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și cealaltă față a monedei. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe linia următoare. Acest lucru este permis în matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el

Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:

Am un răspuns

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit la adunarea fracțiilor cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:

Acum suntem gata de scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Am un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):

Prima imagine arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracție (trei bucăți din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.

Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10

Am un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul același.

Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza

Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:

Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.

Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.

Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luarea unei pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:

O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim pizza cam de aceeași dimensiune. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:

Numerele inversate

Acum ne vom familiariza cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.

Să substituim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:

Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.

Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca oricărei alte fracții. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l răsturnați.

Împărțirea unei fracții cu un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?

Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Împărțirea fracțiilor se face folosind reciproce. Reciprocele vă permit să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea.

Pentru a împărți o fracție la un număr, trebuie să înmulțiți această fracție cu reciproca divizorului.

Folosind această regulă, vom nota împărțirea jumătății noastre de pizza în două părți.

Deci, trebuie să împărțiți fracția la numărul 2. Aici dividendul este o fracție, iar divizorul este 2.

Pentru a împărți o fracție la numărul 2, trebuie să înmulțiți această fracție cu inversul divizorului 2. Reciprocul divizorului 2 este o fracție. Deci trebuie să înmulțiți cu