Cum se grafică funcția y=sin x? Mai întâi, să ne uităm la graficul sinus al intervalului.

Luăm un singur segment de 2 celule lungime în caiet. Pe axa Oy marcam unul.

Pentru comoditate, rotunjim numărul π/2 la 1,5 (și nu la 1,6, așa cum este cerut de regulile de rotunjire). În acest caz, un segment de lungime π/2 corespunde la 3 celule.

Pe axa Ox nu marchem segmente individuale, ci segmente de lungime π/2 (la fiecare 3 celule). În consecință, un segment de lungime π corespunde la 6 celule, iar un segment de lungime π/6 corespunde unei celule.

Cu această alegere a unui segment unitar, graficul reprezentat pe o foaie de caiet într-o cutie corespunde pe cât posibil graficului funcției y=sin x.

Să facem un tabel cu valorile sinusului pe interval:

Marcam punctele rezultate pe planul de coordonate:

Deoarece y=sin x este o funcție impară, graficul sinus este simetric față de origine - punctul O(0;0). Ținând cont de acest fapt, să continuăm trasarea graficului la stânga, apoi punctele -π:

Funcția y=sin x este periodică cu perioada T=2π. Prin urmare, graficul unei funcții luate pe intervalul [-π;π] se repetă de un număr infinit de ori la dreapta și la stânga.

Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y=sin(x). Definiții și proprietăți"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:

• Proprietățile funcției Y=sin(X).
• Graficul funcției.
• Cum se construiește un grafic și scara acestuia.
• Exemple.

Proprietățile sinusului. Y=sin(X)

Băieți, ne-am familiarizat deja cu funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Îți amintești de ei?

Să aruncăm o privire mai atentă la funcția Y=sin(X)

Să notăm câteva proprietăți ale acestei funcții:
1) Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale.
2) Funcția este impară. Să ne amintim definiția unei funcții impare. O funcție se numește impară dacă egalitatea este valabilă: y(-x)=-y(x). După cum ne amintim din formulele fantomă: sin(-x)=-sin(x). Definiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că Y=sin(X) este o funcție impară.
3) Funcția Y=sin(X) crește pe segment și scade pe segment [π/2; π]. Când ne deplasăm de-a lungul primului sfert (în sens invers acelor de ceasornic), ordonata crește, iar când ne deplasăm prin al doilea sfert scade.

4) Funcția Y=sin(X) este limitată de jos și de sus. Această proprietate rezultă din faptul că
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Cea mai mică valoare a funcției este -1 (la x = - π/2+ πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (la x = π/2+ πk).

Să folosim proprietățile 1-5 pentru a reprezenta grafic funcția Y=sin(X). Ne vom construi graficul secvenţial, aplicând proprietăţile noastre. Să începem să construim un grafic pe segment.

O atenție deosebită trebuie acordată scalei. Pe axa ordonatelor este mai convenabil să luați un segment unitar egal cu 2 celule, iar pe axa absciselor este mai convenabil să luați un segment unitar (două celule) egal cu π/3 (vezi figura).

Trasarea funcției sinus x, y=sin(x)

Să calculăm valorile funcției pe segmentul nostru:

Să construim un grafic folosind punctele noastre, ținând cont de a treia proprietate.

Tabel de conversie pentru formule fantomă

Să folosim a doua proprietate, care spune că funcția noastră este impară, ceea ce înseamnă că poate fi reflectată simetric față de origine:

Știm că sin(x+ 2π) = sin(x). Aceasta înseamnă că pe intervalul [- π; π] graficul arată la fel ca pe segmentul [π; 3π] sau sau [-3π; - π] și așa mai departe. Tot ce trebuie să facem este să redesenăm cu atenție graficul din figura anterioară de-a lungul întregii axe x.

Graficul funcției Y=sin(X) se numește sinusoid.

Să mai scriem câteva proprietăți conform graficului construit:
6) Funcția Y=sin(X) crește pe orice segment de forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k este un număr întreg și scade pe orice segment de forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – întreg.
7) Funcția Y=sin(X) este o funcție continuă. Să ne uităm la graficul funcției și să ne asigurăm că funcția noastră nu are pauze, asta înseamnă continuitate.
8) Interval de valori: segment [- 1; 1]. Acest lucru este, de asemenea, clar vizibil din graficul funcției.
9) Funcția Y=sin(X) - funcție periodică. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple de probleme cu sine

1. Rezolvați ecuația sin(x)= x-π

Rezolvare: Să construim 2 grafice ale funcției: y=sin(x) și y=x-π (vezi figura).
Graficele noastre se intersectează într-un punct A(π;0), acesta este răspunsul: x = π

2. Reprezentați grafic funcția y=sin(π/6+x)-1

Rezolvare: Graficul dorit se va obține prin mutarea graficului funcției y=sin(x) π/6 unități la stânga și 1 unitate în jos.

Rezolvare: Să reprezentăm grafic funcția și să considerăm segmentul nostru [π/2; 5π/4].
Graficul funcției arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt obținute la capetele segmentului, în punctele π/2 și, respectiv, 5π/4.
Răspuns: sin(π/2) = 1 – cea mai mare valoare, sin(5π/4) = cea mai mică valoare.

Probleme sinusoidale pentru rezolvare independentă

• Rezolvați ecuația: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Reprezentați grafic funcția y=sin(π/3+x)-2
• Reprezentați grafic funcția y=sin(-2π/3+x)+1
• Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe segment
• Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe intervalul [- π/3; 5π/6]

Acum ne vom uita la întrebarea cum să trasăm funcțiile trigonometrice ale unghiurilor multiple ωx, Unde ω - un număr pozitiv.

Pentru a reprezenta grafic o funcție y = sin ωx Să comparăm această funcție cu funcția pe care am studiat-o deja y = sin x. Să presupunem că atunci când x = x 0 funcţie y = sin x ia valoarea egală cu 0. Apoi

y 0 = sin X 0 .

Să transformăm această relație după cum urmează:

Prin urmare, funcția y = sin ωx la X = X 0 / ω ia aceeasi valoare la 0 , care este aceeași cu funcția y = sin x la x = X 0 . Aceasta înseamnă că funcția y = sin ωxîși repetă semnificațiile în ω ori mai des decât funcția y = sin x. Prin urmare, graficul funcției y = sin ωx obţinută prin „comprimarea” graficului funcţiei y = sin x V ω ori de-a lungul axei x.

De exemplu, graficul unei funcții y = sin 2x obţinută prin „comprimarea” unei sinusoide y = sin x de două ori de-a lungul axei x.

Graficul unei funcții y = sin x / 2 se obține prin „întinderea” de două ori a sinusoidului y = sin x (sau „comprimarea” acestuia prin 1 / 2 ori) de-a lungul axei x.

Din moment ce funcţia y = sin ωxîși repetă semnificațiile în ω ori mai des decât funcția
y = sin x, atunci perioada sa este ω ori mai mică decât perioada funcției y = sin x. De exemplu, perioada funcției y = sin 2x egală 2π/2 = π , și perioada funcției y = sin x / 2 egală π / X/ 2 = 4π .

Este interesant de studiat comportamentul funcției y = sin ax folosind exemplul de animație, care poate fi creat foarte ușor în program arțar:

Graficele altor funcții trigonometrice ale unghiurilor multiple sunt construite într-un mod similar. Figura prezintă graficul funcției y = cos 2x, care se obține prin „comprimarea” undei cosinus y = cos x de două ori de-a lungul axei x.

Graficul unei funcții y = cos x / 2 obţinută prin „întinderea” undei cosinus y = cos x dublat de-a lungul axei x.

În figură vedeți graficul funcției y = tan 2x, obținută prin „comprimarea” tangentelor y = tan x de două ori de-a lungul axei x.

Graficul unei funcții y = tg X/ 2 , obținut prin „întinderea” tangentelor y = tan x dublat de-a lungul axei x.

Și în final, animația realizată de program Arțar:

Exerciții

1. Construiți grafice ale acestor funcții și indicați coordonatele punctelor de intersecție ale acestor grafice cu axele de coordonate. Determinați perioadele acestor funcții.

A). y = sin 4x/ 3 G). y = tan 5x/ 6 și). y = cos 2x/ 3

b). y= cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg X/ 3

V). y = tan 4x/ 3 e). y = sin 2x/ 3

2. Determinați perioadele funcțiilor y = sin (πх)Și y = tg (πх/2).

3. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile de la -1 la +1 (inclusiv aceste două numere) și se schimbă periodic cu punctul 10.

4 *. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile de la 0 la 1 (inclusiv aceste două numere) și se schimbă periodic cu un punct π/2.

5. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile reale și variază periodic cu perioada 1.

6 *. Dați două exemple de funcții care acceptă toate valorile negative și zero, dar nu acceptă valori pozitive și se schimbă periodic cu o perioadă de 5.