teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia

între laturile unui triunghi dreptunghic.

Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care poartă numele.

Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,

construit pe catetere.

Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Adică indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c, iar lungimile picioarelor prin Ași b:

Ambele formulări teoremele lui pitagora sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu

necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și

măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Teorema inversă a lui Pitagora.

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci

triunghiul este dreptunghiular.

Sau, cu alte cuvinte:

Pentru orice triplu de numere pozitive A, bși c, astfel încât

există un triunghi dreptunghic cu catete Ași b si ipotenuza c.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema

Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate

poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, din punct de vedere conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:

dovada de metoda zonei, axiomaticși dovezi exotice(De exemplu,

prin intermediul ecuatii diferentiale).

1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora în termeni de triunghiuri similare.

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite

direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lasa ABC există un triunghi dreptunghic C. Să desenăm o înălțime de la C si denota

întemeierea ei prin H.

Triunghi ACH asemănător cu un triunghi AB C pe două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.

Prin introducerea notației:

primim:

,

care se potrivește -

Fiind pliat A 2 și b 2, obținem:

sau , ceea ce urma să fie dovedit.

2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda ariei.

Următoarele dovezi, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toti

folosiți proprietățile zonei, a cărei demonstrație este mai complicată decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

• Dovada prin echicomplementare.

Aranjați patru dreptunghiulare egale

triunghi așa cum se arată în imagine

pe dreapta.

Cadrilater cu laturi c- pătrat,

deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90° și

unghiul dezvoltat este de 180°.

Zona întregii figuri este, pe de o parte,

aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.

​

Având în vedere desenul prezentat în figură, și

privind schimbarea lateralăA, noi putem

scrie următoarea relație pentru infinit

mic incremente lateralecuși A(folosind asemănarea

triunghiuri):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim:

O expresie mai generală pentru schimbarea ipotenuzei în cazul creșterilor ambelor catete:

Integrând această ecuație și utilizând condițiile inițiale, obținem:

Astfel, ajungem la răspunsul dorit:

După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului

proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incrementele, în timp ce suma este raportată la independent

contribuții din creșterea diferitelor picioare.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere

(în acest caz, piciorul b). Atunci pentru constanta de integrare obținem:

Nu uita niciodată teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor sale. Cu alte cuvinte, într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele sale.

Indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c și lungimile catetelor prin a și b:

Ipotenuză este una dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Tot în acest triunghi sunt două picior.

În acest caz, ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Iar picioarele sunt laturile care formează un unghi dat.

Conform teoremei lui Pitagora, pătratul ipotenuzei va fi egal cu suma pătratelor catetelor.

Adică AB = AC + BC.

Este adevărat și invers - dacă această egalitate este adevărată într-un triunghi, atunci acest triunghi este dreptunghic.

Această proprietate ajută la rezolvarea multor probleme geometrice.

Există o formulare ușor diferită a acestei teoreme: aria pătratului, care este construită pe ipotenuză, este egală cu suma ariilor pătratelor, construite pe picioare.

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor ... de la școală pe de rost. Aceasta este una dintre acele reguli care vor fi amintite pentru totdeauna.)))

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor

Așa este, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Desigur, acest lucru ne-a fost învățat și că această teoremă a lui Pitagora nu lasă nicio îndoială, este atât de frumos să ne amintim ce a fost predat cu mult timp în urmă printre rutina obișnuită.

Depinde de lungimea acestei ipotenuze. Dacă este egal cu un metru, atunci un pătrat este un metru pătrat. Și dacă, de exemplu, este egal cu 39,37 inci, atunci un pătrat este egal cu 1550 inci pătrați, nu se poate face nimic.

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor - teorema lui Pitagora (apropo, cel mai simplu paragraf din manualul de geometrie)

Da, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Parcă am fost învățați la școală. Câți ani au trecut, și ne mai amintim de această teoremă, îndrăgită de noi. Probabil, încordați și dovedesc că pot, ca în programa școlară.

Au spus, de asemenea, un număr quot: pantaloni pitagoreici, egali în toate direcțiile;

Profesorul ne-a spus că dacă dormi și dintr-o dată este un incendiu - trebuie să cunoști teorema lui Pitagora))) Este egală cu suma pătratelor picioarelor

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale triunghiului (categoare).

Vă puteți aminti acest lucru sau puteți înțelege o dată pentru totdeauna de ce este așa.

pentru început, considerăm un triunghi dreptunghic cu catete identice și plasați-l în interiorul unui pătrat cu latura egală cu ipotenuza.

Aria pătratului mare va fi egală cu aria a patru triunghiuri identice din interiorul acestuia.

Calculăm rapid totul și obținem rezultatul de care avem nevoie.



În cazul în care picioarele nu sunt la fel, totul este, de asemenea, destul de simplu:

aria pătratului mare este egală cu suma ariilor a patru triunghiuri identice plus aria pătratului din mijloc.



Orice s-ar spune cineva, întotdeauna obținem egalitate

suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

Una dintre cele mai cunoscute în geometrie, teorema lui Pitagora afirmă:

Această teoremă se referă la un triunghi dreptunghic, adică unul al cărui unghi este de 90 de grade. Laturile unui unghi drept se numesc catete, iar laturile oblice se numesc ipotenuza. Deci, dacă desenați trei pătrate cu o bază de fiecare parte a triunghiului, atunci aria celor două pătrate din apropierea catetei este egală cu aria pătratului de lângă ipotenuză.

Potențialul de creativitate este de obicei atribuit științelor umaniste, lăsând analiza științifică naturală, abordarea practică și limbajul sec al formulelor și numerelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate în „regina tuturor științelor” nu vei ajunge departe - oamenii știu despre asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.

Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și, în același timp, încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare - doar în astfel de condiții se nasc toate marile descoperiri.

Astfel de descoperiri o includ pe cea pe care astăzi o cunoaștem ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie distractivă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilari cu pahare groase, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.

Din istoria problemei

Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu ține de paternitatea lui Pitagora.

Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Se știe doar că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.

De asemenea, se știe astăzi că probleme legate de un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhet I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian Sulva Sutra și în lucrarea antică chineză Zhou. -bi suan jin.

După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi servesc drept confirmare. Nicio altă teoremă nu poate concura cu ea în acest sens. Printre autori de dovezi se numără Leonardo da Vinci și al 20-lea președinte al Statelor Unite, James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau, într-un fel sau altul, sunt legate de ea.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora

Manualele școlare oferă în mare parte dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare în primul rând acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.

Dovada 1

Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să stabiliți condiții ideale: triunghiul să fie nu numai dreptunghic, ci și isoscel. Există motive să credem că a fost un astfel de triunghi care a fost considerat inițial de matematicienii antici.

Afirmație „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:

Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC original. Și pe picioarele AB și BC construite pe un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.

Apropo, acest desen a stat la baza a numeroase anecdote și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Poate cel mai faimos este „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:

Dovada 2

Această metodă combină algebra și geometria și poate fi văzută ca o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.

Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții, ca în figurile 2 și 3.

În primul pătrat, construiți patru din aceleași triunghiuri ca în figura 1. Ca rezultat, se obțin două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.

În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.

Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariilor pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghiulare egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).

Punând toate acestea jos, avem: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Extindeți parantezele, faceți toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 + b 2 = a 2 + b 2. În același timp, aria celor înscrise în Fig.3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c2. Acestea. a2+b2=c2 Ai demonstrat teorema lui Pitagora.

Dovada 3

Aceeași dovadă indiană antică este descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”), iar ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și puterilor de observație ale studenților și urmași: „Uite!”.

Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:

În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare așa cum este indicat în desen. Se notează latura pătratului mare, care este și ipotenuza cu. Să numim catetele triunghiului Ași b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).

Utilizați formula ariei pătrate S=c2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și aria a patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula aria unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți obține formula teoremei lui Pitagora c2=a2+b2. Teorema a fost demonstrată.

Dovada 4

Această curioasă dovadă chineză antică a fost numită „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:

Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Figura 3 în a doua demonstrație. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.

Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, transferați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „mireasa”. scaun” (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Vei vedea că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură A.

Aceste construcţii le-au permis matematicienilor chinezi antici şi nouă, care le urmăm, să ajungem la concluzia că c2=a2+b2.

Dovada 5

Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora bazată pe geometrie. Se numește Metoda Garfield.

Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care este egal cu piciorul AB. Perpendiculară inferioară ANUNȚ segment de linie ED. Segmente EDși AC sunt egale. uneste punctele Eși LA, precum și Eși Cuși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:

Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am testat-o ​​deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.

Găsiți aria unui poligon UN PAT se poate realiza prin adăugarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDși BC=CE- acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Asa de, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

În același timp, este evident că UN PAT este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul ANUNȚ ca suma segmentelor ACși CD.

Să scriem ambele moduri de a calcula aria unei figuri punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor deja cunoscută nouă și descrisă mai sus pentru a simplifica partea dreaptă a notației: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Și acum deschidem parantezele și transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am terminat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.

Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuații diferențiale, stereometrie etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Prin turnarea lichidului, este posibil să se demonstreze egalitatea ariilor și ca rezultat teorema în sine.

Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici

Această problemă este puțin sau nu studiată în programa școlară. Între timp, este foarte interesant și are o mare importanță în geometrie. Triplele pitagoreene sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Ideea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.

Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Așa-numitele numere naturale, adunate în trei, suma pătratelor a două dintre ele este egală cu al treilea număr la pătrat.

Triplele pitagorice pot fi:

• primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
• non-primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu care nu este primitiv).

Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele de tripleți pitagoreici: în sarcini considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.

Exemple de triple pitagorice: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.

Aplicarea practică a teoremei

Teorema lui Pitagora își găsește aplicație nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.

În primul rând, despre construcție: teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă în ea în probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la fereastra romanică:

Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului mare poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și în termeni de b: r=b/4. În această problemă, ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).

Teorema lui Pitagora este utilă de calculat R. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat de o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior este o rază b/4, o alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii în b, noi dam altele asemanatoare pentru a obtine 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.

Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pentru un acoperiș cu două versale. Determinați cât de înalt este necesar un turn mobil pentru ca semnalul să ajungă la o anumită așezare. Și chiar și instalați în mod constant un brad de Crăciun în piața orașului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă în viața reală.

În ceea ce privește literatura, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și astăzi. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat de ea să scrie un sonet:

Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli și dispute.

Cel mai înțelept când atinge ochiul
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, înjunghiați, mint -
Darul de întoarcere al norocosului Pitagora.

De atunci, taurii urlă disperați:
A trezit pentru totdeauna tribul taurului
eveniment menționat aici.

Ei cred că e timpul
Și din nou vor fi sacrificați
O teoremă grozavă.

(traducere de Viktor Toporov)

Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Yevgheni Veltistov în cartea sa „Aventurile electronice” a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și o jumătate de capitol din povestea despre lumea bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni legea fundamentală și chiar religia pentru o singură lume. Ar fi mult mai ușor să trăiești în ea, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.

Iar în cartea „Aventurile electronicii”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratara, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Acest zbor creativ al gândirii este cel care generează teorema lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi diverse. Ajută să depășești ceea ce este obișnuit și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.

Concluzie

Acest articol a fost creat astfel încât să puteți privi dincolo de programa școlară în matematică și să învățați nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7 -11”. ” (A.V. Pogorelov), dar și alte modalități curioase de a demonstra celebra teoremă. Și vezi, de asemenea, exemple despre cum teorema lui Pitagora poate fi aplicată în viața de zi cu zi.

În primul rând, aceste informații vă vor permite să obțineți scoruri mai mari la cursurile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.

În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să vă simțiți cât de interesantă este matematica. Să te convingi prin exemple concrete că există întotdeauna loc pentru creativitate în ea. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să faceți propriile cercetări și descoperiri interesante în matematică și alte științe.

Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Spune-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Geometria nu este o știință ușoară. Poate fi util atât pentru programa școlară, cât și în viața reală. Cunoașterea multor formule și teoreme va simplifica calculele geometrice. Una dintre cele mai simple forme din geometrie este triunghiul. Una dintre soiurile de triunghiuri, echilaterale, are propriile sale caracteristici.

Caracteristicile unui triunghi echilateral

Prin definiție, un triunghi este un poliedru care are trei unghiuri și trei laturi. Aceasta este o figură plată bidimensională, proprietățile sale sunt studiate în liceu. După tipul de unghi, se disting triunghiuri unghiulare ascuțite, unghiulare obtuz și dreptunghiulare. Un triunghi dreptunghic este o figură geometrică în care unul dintre unghiuri este de 90º. Un astfel de triunghi are două catete (creează un unghi drept) și o ipotenuză (este opus unghiului drept). În funcție de ce mărimi sunt cunoscute, există trei moduri simple de a calcula ipotenuza unui triunghi dreptunghic.

Prima modalitate este de a găsi ipotenuza unui triunghi dreptunghic. teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este cea mai veche modalitate de a calcula oricare dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Sună așa: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Astfel, pentru a calcula ipotenuza, trebuie să se obțină rădăcina pătrată a sumei celor două catete la pătrat. Pentru claritate, sunt date formule și o diagramă.

A doua cale. Calculul ipotenuzei folosind 2 valori cunoscute: catetul si unghiul adiacent

Una dintre proprietățile unui triunghi dreptunghic spune că raportul dintre lungimea catetei și lungimea ipotenuzei este echivalent cu cosinusul unghiului dintre acest catet și ipotenuză. Să numim unghiului cunoscut nouă α. Acum, datorită binecunoscutei definiții, putem formula cu ușurință o formulă pentru calcularea ipotenuzei: Hipotenuză = catet/cos(α)

A treia cale. Calcularea ipotenuzei folosind 2 valori cunoscute: catetul și unghiul opus

Dacă se cunoaște unghiul opus, este posibil să se utilizeze din nou proprietățile unui triunghi dreptunghic. Raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza este echivalent cu sinusul unghiului opus. Să numim din nou unghiul cunoscut α. Acum, pentru calcule, aplicăm o formulă ușor diferită:
Hipotenuză = catenă/sin (α)

Exemple pentru a vă ajuta să înțelegeți formulele

Pentru o înțelegere mai profundă a fiecăreia dintre formule, ar trebui să luați în considerare exemple ilustrative. Deci, să presupunem că este dat un triunghi dreptunghic, unde există astfel de date:

• Picior - 8 cm.
• Unghiul alăturat cosα1 este 0,8.
• Unghiul opus sinα2 este 0,8.

Conform teoremei lui Pitagora: ipotenuză \u003d rădăcină pătrată de (36 + 64) \u003d 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul inclus: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul opus: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

După ce ați înțeles formula, puteți calcula cu ușurință ipotenuza cu orice date.

Video: Teorema lui Pitagora

Asigurați-vă că triunghiul care vi se oferă este un triunghi dreptunghic, deoarece teorema lui Pitagora se aplică doar triunghiurilor dreptunghiulare. În triunghiuri dreptunghiulare, unul dintre cele trei unghiuri are întotdeauna 90 de grade.

• Un unghi drept într-un triunghi dreptunghic este indicat printr-un pătrat în loc de o curbă, care reprezintă unghiuri nedreapte.

Etichetați laturile triunghiului. Desemnați catetele ca „a” și „b” (catetele sunt laturi care se intersectează în unghi drept), iar ipotenuza ca „c” (ipotenuza este cea mai mare latură a unui triunghi dreptunghic care se află opus unghiului drept).

Stabiliți ce parte a triunghiului doriți să găsiți. Teorema lui Pitagora vă permite să găsiți orice latură a unui triunghi dreptunghic (dacă celelalte două laturi sunt cunoscute). Determinați care parte (a, b, c) trebuie găsită.

• De exemplu, având în vedere o ipotenuză egală cu 5 și având un catet egal cu 3. În acest caz, trebuie să găsiți al doilea catet. Vom reveni la acest exemplu mai târziu.
• Dacă celelalte două laturi sunt necunoscute, trebuie găsită lungimea uneia dintre laturile necunoscute pentru a putea aplica teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, utilizați funcțiile trigonometrice de bază (dacă vi se dă valoarea unuia dintre unghiurile nedrepte).

Înlocuiți în formula a 2 + b 2 \u003d c 2 valorile date dvs. (sau valorile găsite de dvs.). Amintiți-vă că a și b sunt catete, iar c este ipotenuza.

• În exemplul nostru, scrieți: 3² + b² = 5².

Patratează fiecare latură cunoscută. Sau lăsați grade - puteți pătra numerele mai târziu.

• În exemplul nostru, scrieți: 9 + b² = 25.

Izolați partea necunoscută pe o parte a ecuației. Pentru a face acest lucru, transferați valorile cunoscute pe cealaltă parte a ecuației. Dacă găsiți ipotenuza, atunci în teorema lui Pitagora este deja izolată pe o parte a ecuației (deci nu trebuie făcut nimic).

• În exemplul nostru, mutați 9 în partea dreaptă a ecuației pentru a izola b² necunoscut. Veți obține b² = 16.

Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației după ce există o necunoscută (pătrat) pe o parte a ecuației și o intersecție (număr) pe cealaltă parte.

• În exemplul nostru, b² = 16. Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației și obțineți b = 4. Deci, al doilea catet este 4.

Utilizați teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi, deoarece poate fi aplicată într-un număr mare de situații practice. Pentru a face acest lucru, învață să recunoști triunghiuri dreptunghiulare în viața de zi cu zi - în orice situație în care două obiecte (sau linii) se intersectează în unghi drept, iar un al treilea obiect (sau linie) conectează (în diagonală) vârfurile primelor două obiecte (sau linii), puteți folosi teorema lui Pitagora pentru a găsi latura necunoscută (dacă celelalte două laturi sunt cunoscute).

• Exemplu: Având o scară sprijinită de o clădire. Partea de jos a scărilor este la 5 metri de baza peretelui. Partea de sus a scărilor este la 20 de metri de sol (în sus pe perete). Care este lungimea scării?
  • „5 metri de la baza zidului” înseamnă că a = 5; „este la 20 de metri de sol” înseamnă că b = 20 (adică vi se dau două catete ale unui triunghi dreptunghic, deoarece peretele clădirii și suprafața Pământului se intersectează în unghi drept). Lungimea scării este lungimea ipotenuzei, care este necunoscută.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Astfel, lungimea aproximativă a scărilor este de 20,6 metri.