Înainte să începem să decidem probleme de progresie aritmetică, luați în considerare ce este o secvență de numere, deoarece o progresie aritmetică este un caz special al unei secvențe de numere.
O secvență numerică este o mulțime numerică, fiecare element având propriul său număr de serie. Elementele acestei mulțimi sunt numite membri ai secvenței. Numărul ordinal al unui element de secvență este indicat printr-un index:
Primul element al secvenței;
Al cincilea element al secvenței;
- „al-lea” element al secvenței, i.e. elementul „stă în coadă” la numărul n.
Există o dependență între valoarea unui element de secvență și numărul său ordinal. Prin urmare, putem considera o secvență ca o funcție al cărei argument este numărul ordinal al unui element al șirului. Cu alte cuvinte, se poate spune asta secvența este o funcție a argumentului natural:
Secvența poate fi specificată în trei moduri:
1 . Secvența poate fi specificată folosind un tabel.În acest caz, pur și simplu setăm valoarea fiecărui membru al secvenței.
De exemplu, Cineva a decis să facă un management personal al timpului și, pentru început, să calculeze cât timp petrece pe VKontakte în timpul săptămânii. Scriind timpul într-un tabel, el va obține o secvență formată din șapte elemente:
Prima linie a tabelului conține numărul zilei săptămânii, a doua - timpul în minute. Vedem că, adică luni, Cineva a petrecut 125 de minute pe VKontakte, adică joi - 248 de minute și, adică, vineri, doar 15.
2 . Secvența poate fi specificată folosind formula membru al n-a.
În acest caz, dependența valorii unui element de secvență de numărul său este exprimată direct sub formă de formulă.
De exemplu, dacă , atunci
Pentru a găsi valoarea unui element de secvență cu un număr dat, înlocuim numărul elementului în formula pentru al n-lea membru.
Facem același lucru dacă trebuie să găsim valoarea unei funcții dacă valoarea argumentului este cunoscută. Inlocuim in schimb valoarea argumentului in ecuatia functiei:
Dacă, de exemplu, 
, apoi
Încă o dată, observ că într-o secvență, spre deosebire de o funcție numerică arbitrară, doar un număr natural poate fi un argument.
3 . Secvența poate fi specificată folosind o formulă care exprimă dependența valorii membrului șirului cu număr n de valoarea membrilor anteriori. În acest caz, nu este suficient să cunoaștem doar numărul unui membru al secvenței pentru a-i găsi valoarea. Trebuie să specificăm primul membru sau primii câțiva membri ai secvenței.
De exemplu, luați în considerare succesiunea 
, 
Putem găsi valorile membrilor unei secvențe in secvență, începând cu a treia:
Adică, de fiecare dată pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea membru al secvenței, revenim la cele două anterioare. Acest mod de secvențiere se numește recurent, din cuvântul latin recurro- întoarce-te.
Acum putem defini o progresie aritmetică. O progresie aritmetică este un caz special simplu al unei secvențe numerice.
Progresie aritmetică se numește șir numeric, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, adăugat cu același număr.
Numărul este sunat diferența unei progresii aritmetice. Diferența unei progresii aritmetice poate fi pozitivă, negativă sau zero.
Dacă title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescând.
De exemplu, 2; 5; opt; unsprezece;...
Dacă , atunci fiecare termen al progresiei aritmetice este mai mic decât cel precedent, iar progresia este în scădere.
De exemplu, 2; -unu; -4; -7;...
Dacă , atunci toți membrii progresiei sunt egali cu același număr, iar progresia este staționar.
De exemplu, 2;2;2;2;...
Principala proprietate a unei progresii aritmetice:
Să ne uităm la poză.
Vedem asta
, și în același timp
Adăugând aceste două egalități, obținem:
.
Împărțiți ambele părți ale ecuației la 2:
Deci, fiecare membru al progresiei aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a doi învecinați:
Mai mult, din moment ce
, și în același timp
, apoi
, și, prin urmare
Fiecare membru al progresiei aritmetice începând cu title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
formula de membru.
Vedem că pentru membrii progresiei aritmetice sunt valabile următoarele relații:
și, în sfârșit
Avem formula celui de-al n-lea termen.
IMPORTANT! Orice membru al unei progresii aritmetice poate fi exprimat în termeni de și . Cunoscând primul termen și diferența unei progresii aritmetice, puteți găsi oricare dintre membrii acestuia.
Suma a n membri ai unei progresii aritmetice.
Într-o progresie aritmetică arbitrară, sumele termenilor distanțați egal de cei extremi sunt egale între ele:
Luați în considerare o progresie aritmetică cu n membri. Fie suma celor n membri ai acestei progresii să fie egală cu .
Aranjați termenii progresiei mai întâi în ordine crescătoare a numerelor, apoi în ordine descrescătoare:
Să-l împerechem:
Suma din fiecare paranteză este , numărul de perechi este n.
Primim:
Asa de, suma celor n membri ai unei progresii aritmetice poate fi găsită folosind formulele:
Considera rezolvarea problemelor de progresie aritmetică.
1 . Secvența este dată de formula celui de-al n-lea termen: . Demonstrați că această secvență este o progresie aritmetică.
Să demonstrăm că diferența dintre doi membri adiacenți ai șirului este egală cu același număr.
Am obținut că diferența dintre doi membri adiacenți ai șirului nu depinde de numărul lor și este o constantă. Prin urmare, prin definiție, această secvență este o progresie aritmetică.
2 . Având în vedere o progresie aritmetică -31; -27;...
a) Aflați cei 31 de termeni ai progresiei.
b) Stabiliți dacă numărul 41 este inclus în această progresie.
A) Vedem asta ;
Să scriem formula pentru al n-lea termen pentru progresia noastră.
În general 
În cazul nostru 
, De aceea 
Dacă fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că dat succesiune de numere :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n , . . . .
Deci, o secvență numerică este o funcție a unui argument natural.
Număr A 1 numit primul membru al secvenței , număr A 2 — al doilea membru al secvenței , număr A 3 — al treilea etc. Număr un n numit al n-lea membru al secvenței , și numărul natural n — numărul lui .
De la doi membri vecini un n și un n +1 secvențe de membri un n +1 numit ulterior (către un n ), A un n — anterior (către un n +1 ).
Pentru a specifica o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.
Adesea secvența este dată cu formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al secvenței după numărul său.
De exemplu,
succesiunea numerelor impare pozitive poate fi dată prin formula
un n= 2n- 1,
iar succesiunea alternării 1 și -1 - formulă
b n = (-1)n +1 . ◄
Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).
De exemplu,
dacă A 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
În cazul în care un a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte membri ai secvenței numerice sunt setate după cum urmează:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Secvențele pot fi final și fără sfârşit .
Secvența este numită final dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit dacă are infinit de membri.
De exemplu,
succesiune de numere naturale din două cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Succesiunea numerelor prime:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
fără sfârşit. ◄
Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.
Secvența este numită în scădere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.
De exemplu,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . este o secvență ascendentă;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . este o secvență descendentă. ◄
Se numește o succesiune ale cărei elemente nu descresc odată cu creșterea numărului sau, dimpotrivă, nu cresc succesiune monotonă .
Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.
Progresie aritmetică
Progresie aritmetică se numește o secvență, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n, . . .
este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n condiția este îndeplinită:
un n +1 = un n + d,
Unde d - un număr.
Astfel, diferența dintre membrii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:
a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = un n +1 - un n = d.
Număr d numit diferența unei progresii aritmetice.
Pentru a seta o progresie aritmetică, este suficient să specificați primul său termen și diferența.
De exemplu,
dacă A 1 = 3, d = 4 , atunci primii cinci termeni ai secvenței se găsesc după cum urmează:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Pentru o progresie aritmetică cu primul termen A 1 si diferenta d a ei n
un n = a 1 + (n- 1)d.
De exemplu,
găsiți al treizecilea termen al unei progresii aritmetice
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
un 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = a 1 + (n- 2)d,
un n= a 1 + (n- 1)d,
un n +1 = A 1 + nd,
atunci evident
| un n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
fiecare membru al progresiei aritmetice, incepand de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor anteriori si urmatori.
numerele a, b și c sunt membri consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ele este egal cu media aritmetică a celorlalte două.
De exemplu,
un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.
Să folosim afirmația de mai sus. Noi avem:
un n = 2n- 7,
un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Prin urmare,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = un n,
|
| 2
| 2
|
◄
Rețineți că n -al-lea membru al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară un k
un n = un k + (n- k)d.
De exemplu,
pentru A 5 poate fi scris
un 5 = a 1 + 4d,
un 5 = a 2 + 3d,
un 5 = a 3 + 2d,
un 5 = a 4 + d. ◄
un n = un n-k + kd,
un n = un n+k - kd,
atunci evident
| un n=
| A n-k
+a n+k
|
| 2
|
orice membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor acestei progresii aritmetice distanțate egal de acesta.
În plus, pentru orice progresie aritmetică, egalitatea este adevărată:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
De exemplu,
în progresie aritmetică
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, la fel de
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,
primul n membrii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi cu numărul de termeni:
Din aceasta, în special, rezultă că dacă este necesar să se însumeze termenii
un k, un k +1 , . . . , un n,
atunci formula anterioară își păstrează structura:
De exemplu,
în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile A 1 , un n, d, nșiS n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. în care:
- dacă d > 0 , atunci este în creștere;
- dacă d < 0 , atunci este în scădere;
- dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.
Progresie geometrică
progresie geometrică se numește o secvență, fiecare termen al cărui termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n condiția este îndeplinită:
b n +1 = b n · q,
Unde q ≠ 0 - un număr.
Astfel, raportul dintre următorul termen al acestei progresii geometrice și cel precedent este un număr constant:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Număr q numit numitorul unei progresii geometrice.
Pentru a seta o progresie geometrică, este suficient să specificați primul său termen și numitorul.
De exemplu,
dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci primii cinci termeni ai secvenței se găsesc după cum urmează:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 și numitorul q a ei n -al-lea termen poate fi găsit prin formula:
b n = b 1 · q n -1 .
De exemplu,
găsiți al șaptelea termen al unei progresii geometrice 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
atunci evident
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrilor anteriori si urmatori.
Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:
numerele a, b și c sunt membri consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.
De exemplu,
să demonstrăm că şirul dat de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Noi avem:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Prin urmare,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
care dovedeşte afirmaţia cerută. ◄
Rețineți că n al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice mandat anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula
b n = b k · q n - k.
De exemplu,
pentru b 5 poate fi scris
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
atunci evident
b n 2 = b n - k· b n + k
pătratul oricărui membru al unei progresii geometrice, începând de la al doilea, este egal cu produsul membrilor acestei progresii echidistante de acesta.
În plus, pentru orice progresie geometrică, egalitatea este adevărată:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
De exemplu,
exponenţial
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , la fel de
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:
Și atunci când q = 1 - conform formulei
S n= n.b. 1
Rețineți că dacă trebuie să însumăm termenii
b k, b k +1 , . . . , b n,
atunci se folosește formula:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
exponenţial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nși S n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietăți de monotonitate :
- progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 și q> 1;
b 1 < 0 și 0 < q< 1;
- O progresie este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 și 0 < q< 1;
b 1 < 0 și q> 1.
În cazul în care un q< 0 , atunci progresia geometrică este alternantă de semne: termenii săi impari au același semn ca primul său termen, iar termenii pari au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.
Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculați prin formula:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
De exemplu,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progresie geometrică în scădere infinită
Progresie geometrică în scădere infinită se numește progresie geometrică infinită al cărei modul numitorului este mai mic decât 1 , adică
|q| < 1 .
Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Acest lucru se potrivește cazului
1 < q< 0 .
Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternantă de semne. De exemplu,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul la care suma primului n termenii progresiei cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice
Progresiile aritmetice și geometrice sunt strâns legate. Să luăm în considerare doar două exemple.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , apoi
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
De exemplu,
1, 3, 5, . . . — progresie aritmetică cu diferență 2 și
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . este o progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . este o progresie geometrică cu numitor q , apoi
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — progresie aritmetică cu diferență log aq .
De exemplu,
2, 12, 72, . . . este o progresie geometrică cu numitor 6 și
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progresie aritmetică cu diferență lg 6 . ◄
Care este esența formulei?
Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI" n" .
Desigur, trebuie să știi primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri, nu puteți nota o anumită progresie.
Nu este suficient să memorezi (sau să înșeli) această formulă. Este necesar să-i asimilezi esența și să aplici formula în diverse probleme. Da, și nu uita la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Si aici cum să-ți amintești Dacă este nevoie, vă dau un indiciu. Pentru cei care stăpânesc lecția până la sfârșit.)
Deci, să ne ocupăm de formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.
Ce este o formulă în general - ne imaginăm.) Ce este o progresie aritmetică, un număr de membru, o diferență de progresie - este precizat clar în lecția anterioară. Aruncă o privire dacă nu l-ai citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce al-lea membru.
Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - din un 120.
Cum se definește în general orice membru al unei progresii aritmetice, s orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:
un n
Asta e al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Sub litera n toate numerele de membri sunt ascunse simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...
Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresii aritmetice. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și o grămadă de sarcini de rezolvat în progresie. Vei vedea mai departe.
În formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- primul membru al progresiei aritmetice;
n- numarul membrului.
Formula leagă parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dși n. În jurul acestor parametri, toate puzzle-urile se învârt în progresie.
Formula a n-a termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, în problemă se poate spune că progresia este dată de condiția:
a n = 5 + (n-1) 2.
O astfel de problemă poate chiar să încurce... Nu există serie, nicio diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor să ne dăm seama că în această progresie a 1 \u003d 5 și d \u003d 2.
Și poate fi și mai supărat!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, da, deschide parantezele si da altele asemanatoare? Obținem o nouă formulă:
an = 3 + 2n.
Aceasta este Numai că nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se află capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul membru este un cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.
În sarcinile pentru progresie, există o altă notație - un n+1. Acesta este, ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei, al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm pentru un n al cincilea termen, atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.
Cel mai adesea desemnarea un n+1 apare în formule recursive. Nu vă fie frică de acest cuvânt groaznic!) Acesta este doar un mod de a exprima un termen al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind formula recurentă:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Și cum să numărăm imediat, să spunem al douăzecilea termen, un 20? Dar în niciun caz!) În timp ce al 19-lea termen nu este cunoscut, al 20-lea nu poate fi numărat. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recursivă și formula celui de-al n-lea termen. Recursivul funcționează numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen - prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Nu numărând întreaga serie de numere în ordine.
Într-o progresie aritmetică, o formulă recursivă poate fi ușor transformată într-una obișnuită. Numără o pereche de termeni consecutivi, calculează diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma obișnuită și lucrați cu ea. În GIA, astfel de sarcini sunt adesea găsite.
Aplicarea formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.
Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:
Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației progresiei aritmetice. Adăugați, da adăugați... O oră sau două.)
Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. O poți cronometra.) Noi decidem.
Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Rămâne de văzut ce n. Nici o problema! Trebuie să găsim un 121. Aici scriem:
Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuiți toate numerele din formulă și calculați:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Cam despre asta e. La fel de repede s-ar putea găsi al cinci sute al zecelea membru și al miei și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze și luăm în considerare.
Permiteți-mi să vă reamintesc esența: această formulă vă permite să găsiți orice termenul unei progresii aritmetice CU NUMĂRUL LUI" n" .
Să rezolvăm problema mai inteligent. Să presupunem că avem următoarea problemă:
Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n) dacă a 17 =-2; d=-0,5.
Dacă aveți dificultăți, vă propun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți de mână, chiar în caiet:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Și acum, uitându-ne la literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Totul? Dacă crezi că asta e tot, atunci nu poți rezolva problema, da...
Avem și un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doua variante. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea membru (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „lucru” alunecă adesea pe lângă cap, iar fără el, (fără „lucru”, nu cap!) Problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)
Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să-l punem în:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Asta, în esență, este tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să calculați. Primești răspunsul: a 1 = 6.
O astfel de tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - ajută foarte mult în sarcinile simple. Ei bine, trebuie, desigur, să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...
O altă problemă populară:
Aflați diferența progresiei aritmetice (a n) dacă a 1 =2; a 15 =12.
Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Luați în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (evidențiere specială!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți în formula:
12=2 + (15-1)d
Să facem aritmetica.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Acesta este răspunsul corect.
Deci, sarcini a n, a 1și d hotărât. Rămâne să înveți cum să găsești numărul:
Numărul 99 este membru al unei progresii aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.
Înlocuim cantitățile cunoscute în formula celui de-al n-lea termen:
a n = 12 + (n-1) 3
La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n este un membru al progresiei cu numărul n... Și acest membru al progresiei îl cunoaștem! Este 99. Nu-i știm numărul. n, deci trebuie găsit și acest număr. Înlocuiți termenul de progresie 99 în formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.
Și acum o problemă pe aceeași temă, dar mai creativă):
Determinați dacă numărul 117 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Să scriem din nou formula. Ce, nu există parametri? Hm... De ce avem nevoie de ochi?) Vedem primul membru al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 \u003d -3,6. Diferență d se poate determina din serie? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Da, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne de a face cu un număr necunoscut nşi un număr de neînţeles 117. În problema anterioară, cel puţin se ştia că era dat termenul de progresie. Dar aici nici nu știm că... Cum să fim!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Pornește-ți abilitățile creative!)
Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da-da!)) și înlocuim numerele noastre:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:
Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie tragem? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între al 101-lea și al 102-lea membru. Dacă numărul s-a dovedit a fi natural, de ex. întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.
Sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:
Progresia aritmetică este dată de condiția:
a n \u003d -4 + 6,8n
Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.
Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.
Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru, se înșeală fatal!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al unei progresii aritmetice în el ascuns. Nimic, îl vom găsi acum.)
La fel ca în sarcinile anterioare, înlocuim n=1în această formulă:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!
În mod similar, căutăm al zecelea termen:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Cam despre asta e.
Și acum, pentru cei care au citit până la aceste rânduri, bonusul promis.)
Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a GIA sau a examenului de stat unificat, ați uitat formula utilă a celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Ceva îmi vine în minte, dar cumva nesigur... Fie n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?
Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar cu siguranță suficient pentru încredere și decizia corectă!) Pentru concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a progresiei aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.
Desenăm o axă numerică și o marchem pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notează diferența dîntre membri. Ca aceasta:
Ne uităm la imagine și ne gândim: cu ce este egal al doilea termen? Al doilea unu d:
A 2 =a 1 + 1 d
Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.
A 3 =a 1 + 2 d
Ai inteles? Nu pun câteva cuvinte cu caractere aldine degeaba. Bine, încă un pas.)
Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.
A 4 =a 1 + 3 d
Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică până la număr n, numărul de goluri voi n-1. Deci, formula va fi (fără opțiuni!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci ... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți pune o imagine într-o ecuație...
Sarcini pentru decizie independentă.
Pentru încălzire:
1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Găsiți un 3.
Sugestie: conform imaginii, problema se rezolvă în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată atât prin imagine, cât și prin formulă. Simte diferenta!)
Și aceasta nu mai este o încălzire.)
2. În progresia aritmetică (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .
Ce, reticența de a face o imagine?) Totuși! E mai bine in formula, da...
3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.
În această sarcină, progresia este dată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de mandat... Nu oricine poate face o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!
4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.
5. Conform condiției sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici membri pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.
6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este zero. Găsiți un 14.
Nu este cea mai ușoară sarcină, da ...) Aici metoda „pe degete” nu va funcționa. Trebuie să scrieți formule și să rezolvați ecuații.
Răspunsuri (în dezordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
S-a întâmplat? E dragut!)
Nu merge totul? S-a întâmplat. Apropo, în ultima sarcină există un punct subtil. Va fi necesară atenție la citirea problemei. Și logica.
Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în Secțiunea 555. Și elementul fantezie pentru al patrulea și momentul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme pentru formula celui de-al n-lea termen - totul este pictat. Recomanda.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Progresii aritmetice și geometrice
Informații teoretice
Informații teoretice
Progresie aritmetică |
Progresie geometrică |
|
Definiție |
Progresie aritmetică un n se numește o secvență, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior, adăugat cu același număr. d (d- diferenta de progresie) |
progresie geometrică b n se numește o succesiune de numere diferite de zero, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr. q (q- numitorul progresiei) |
Formula recurentă |
Pentru orice natural n |
Pentru orice natural n |
al n-lea termen formulă |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| proprietate caracteristică |  |
|
| Suma primilor n termeni |  |
 |
Exemple de sarcini cu comentarii
Exercitiul 1
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d
După condiție:
a 1= -6, deci un 22= -6 + 21d.
Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 2
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....
Prima cale (folosind formula n termeni)
Conform formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
La fel de b 1 = -3,
A doua cale (folosind formula recursiva)
Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : b 5 = -48.
Sarcina 3
În progresie aritmetică ( a n) a 74 = 34; un 76= 156. Găsiți al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.
Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma 
.
Prin urmare:
.
Înlocuiți datele din formula:
Raspuns: 95.
Sarcina 4
În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.
Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:
.
Care dintre ele este mai convenabil de aplicat în acest caz?
Prin condiție, formula celui de-al n-lea membru al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Poate fi găsit imediat și a 1, și un 16 fără a găsi d . Prin urmare, folosim prima formulă.
Raspuns: 368.
Sarcina 5
În progresie aritmetică un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d. Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 6
Se înregistrează mai mulți termeni consecutivi ai unei progresii geometrice:
Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x .
Când rezolvăm, folosim formula pentru al n-lea termen b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 pentru progresii geometrice. Primul membru al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre acești termeni ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, puteți lua și împărți prin. Obținem că q \u003d 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.
Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:
.
Răspuns : .
Sarcina 7
Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, alegeți-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:
Deoarece condiția specificată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:
.
Raspuns: 4.
Sarcina 8
În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specificați cea mai mare valoare a lui n pentru care este valabilă inegalitatea un n > -6.
Calculator online.
Soluție de progresie aritmetică.
Dați: a n , d, n
Găsiți: a 1
Acest program de matematică găsește \(a_1\) a unei progresii aritmetice din numerele specificate de utilizator \(a_n, d \) și \(n \).
Numerele \(a_n\) și \(d \) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții. Mai mult, un număr fracționar poate fi introdus ca fracție zecimală (\(2,5 \)) și ca fracție obișnuită (\(-5\frac(2)(7) \)).
Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de găsire a unei soluții.
Acest calculator online poate fi util elevilor de liceu în pregătirea pentru teste și examene, atunci când testează cunoștințele înainte de Examenul Unificat de Stat și pentru părinți pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.
Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a numerelor, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.
Reguli pentru introducerea numerelor
Numerele \(a_n\) și \(d \) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții.
Numărul \(n\) poate fi doar un întreg pozitiv.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
Părțile întregi și fracționale din fracții zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți introduce zecimale ca 2,5 sau ca 2,5
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Intrare:
Rezultat: \(-\frac(2)(3) \)
Partea întreagă este separată de fracție printr-un ampersand: &
Intrare:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3) \)
S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.
pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...
daca tu am observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Un pic de teorie.
Secvență numerică
În practica de zi cu zi, numerotarea diferitelor obiecte este adesea folosită pentru a indica ordinea în care sunt amplasate. De exemplu, casele de pe fiecare stradă sunt numerotate. În bibliotecă, abonamentele cititorilor sunt numerotate și apoi aranjate în ordinea numerelor atribuite în dulapuri speciale.
Într-o bancă de economii, după numărul contului personal al deponentului, poți găsi cu ușurință acest cont și vezi ce fel de depozit are. Să existe un depozit de a1 ruble în contul nr. 1, un depozit de a2 ruble în contul nr. 2 etc. Se dovedește succesiune numerică
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
unde N este numărul tuturor conturilor. Aici, fiecărui număr natural n de la 1 la N i se atribuie un număr a n .
Studiază și matematica secvențe de numere infinite:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Se numește numărul a 1 primul membru al secvenței, numărul a 2 - al doilea membru al secvenței, numărul a 3 - al treilea membru al secvenței etc.
Se numește numărul a n al n-lea (n-lea) membru al secvenței, iar numărul natural n este al acestuia număr.
De exemplu, în succesiunea de pătrate de numere naturale 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... și 1 = 1 este primul membru al șirului; şi n = n 2 este al n-lea membru al secvenţei; a n+1 = (n + 1) 2 este (n + 1)-al-lea (en plus primul) membru al secvenței. Adesea, o secvență poate fi specificată prin formula celui de-al n-lea termen. De exemplu, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) dă secvența \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Progresie aritmetică
Durata unui an este de aproximativ 365 de zile. O valoare mai precisă este \(365\frac(1)(4) \) zile, astfel încât la fiecare patru ani se acumulează o eroare de o zi.
Pentru a ține seama de această eroare, la fiecare al patrulea an se adaugă o zi, iar anul alungit se numește an bisect.
De exemplu, în al treilea mileniu, anii bisecți sunt 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
În această secvență, fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, adăugat cu același număr 4. Astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice.
Definiție.
Secvența numerică a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... se numește progresie aritmetică, dacă pentru toate naturale n egalitatea
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
unde d este un număr.
Din această formulă rezultă că a n+1 - a n = d. Numărul d se numește diferență progresie aritmetică.
Prin definiția unei progresii aritmetice, avem:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Unde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), unde \(n>1 \)
Astfel, fiecare membru al progresiei aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor doi membri adiacente acestuia. Aceasta explică denumirea de progresie „aritmetică”.
Rețineți că, dacă sunt date a 1 și d, atunci termenii rămași ai progresiei aritmetice pot fi calculați folosind formula recursivă a n+1 = a n + d. În acest fel, nu este dificil să calculezi primii termeni ai progresiei, totuși, de exemplu, pentru un 100, vor fi deja necesare o mulțime de calcule. De obicei, formula a n-a termen este folosită pentru aceasta. Conform definiţiei unei progresii aritmetice
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etc.
În general,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
întrucât al n-lea membru al unei progresii aritmetice se obține de la primul membru adunând (n-1) ori numărul d.
Această formulă se numește formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice
Să aflăm suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 100.
Scriem această sumă în două moduri:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Adăugăm aceste egalități termen cu termen:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Există 100 de termeni în această sumă.
Prin urmare, 2S = 101 * 100, de unde S = 101 * 50 = 5050.
Luați în considerare acum o progresie aritmetică arbitrară
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Fie S n suma primilor n termeni ai acestei progresii:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Apoi suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Deoarece \(a_n=a_1+(n-1)d \), înlocuind apoi un n în această formulă, obținem o altă formulă pentru găsirea sumele primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
