La școală, mulți nu reușesc să rezolve integralele sau au dificultăți cu ele. Acest articol vă va ajuta să vă dați seama, deoarece veți găsi totul în el. tabele de integrale.

Integral este unul dintre calculele și conceptul major în calcul. Apariția lui a avut loc în două scopuri:
Prima țintă- restabiliți funcția folosind derivata ei.
Al doilea gol- calculul ariei situate la distanta de la grafic la functia f (x) pe o dreapta unde a este mai mare sau egal cu x este mai mare sau egal cu b iar axa absciselor.

Aceste obiective ne conduc la integrale definite și nedefinite. Legătura dintre aceste integrale constă în căutarea proprietăților și calcul. Dar totul curge și totul se schimbă cu timpul, s-au găsit soluții noi, s-au scos la iveală completări, aducând astfel integrale definite și nedefinite altor forme de integrare.

Ce integrală nedefinită tu intrebi. Aceasta este funcția antiderivată F(x) a unei variabile x în intervalul a mai mare decât x mai mare decât b. se numește orice funcție F(x), în intervalul dat pentru orice notație x, derivata este egală cu F(x). Este clar că F(x) este o antiderivată pentru f(x) în intervalul a mai mare decât x mai mare decât b. Prin urmare, F1(x) = F(x) + C. C - este orice constantă și antiderivată pentru f(x) în intervalul dat. Această afirmație este reversibilă, pentru funcția f(x) - 2 antiderivatele diferă doar într-o constantă. Pe baza teoremei calculului integral, rezultă că fiecare continuă în intervalul a

Integrala definita este înțeles ca o limită în sume integrale, sau într-o situație a unei funcții date f(x) definită pe o dreaptă (a, b) având asupra sa antiderivată F, ceea ce înseamnă diferența expresiilor sale la capetele acestei linii. F(b) - F(a).

Pentru claritate, studiul acestui subiect, vă sugerez să vizionați videoclipul. Acesta explică în detaliu și arată cum să găsiți integralele.

Fiecare tabel de integrale este foarte util în sine, deoarece ajută la rezolvarea unui anumit tip de integrală.

Toate tipurile posibile de papetărie și multe altele. Puteți achiziționa prin intermediul magazinului online v-kant.ru. Sau doar urmați linkul Papetarie Samara (http://v-kant.ru) calitatea și prețurile vă vor surprinde plăcut.

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este opusul diferențierii și anume refacerea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția restabilită în acest fel F(X) se numește primitiv pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea F "(X)=f(X), adică această funcție f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este antiderivată pentru funcție f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este colecția tuturor antiderivatelor sale. Aceasta folosește notația

∫

f(X)dx

,

unde este semnul ∫ se numește semn integral, funcție f(X) este un integrand și f(X)dx este integrantul.

Astfel, dacă F(X) este un antiderivat pentru f(X) , apoi

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o ușă (o ușă tradițională de lemn). Funcția sa este „a fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Dintr-un copac. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate desemna, pt. de exemplu, o specie de copac. Așa cum o ușă este făcută din lemn cu unele unelte, derivatul unei funcții este „facut” din funcția antiderivată cu formula pe care am învățat-o studiind derivata .

Apoi tabelul de funcții ale obiectelor comune și primitivele lor corespunzătoare ("a fi o ușă" - "a fi un copac", "a fi o lingură" - "a fi un metal", etc.) este similar cu tabelul de integrale nedefinite de bază, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. Ca parte a sarcinilor de găsire a integralei nedefinite, sunt date astfel de integranți care pot fi integrați direct fără eforturi deosebite, adică conform tabelului de integrale nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi să fie transformat astfel încât să poată fi utilizate integralele tabelare.

Faptul 2. Restabilind o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diferite constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și la diferențierea 4 sau 3 sau orice altă constantă dispare.

Punem problema de integrare: pentru o functie data f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat este egal cu f(X).

Exemplul 1 Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Decizie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X) dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferența F(X) este egal cu f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este antiderivată pentru funcția . Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Sunt și funcții

Unde Cu este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un set infinit de antiderivate care diferă printr-un sumand constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2).În cazul în care un F(X) este antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat ca F(X) + C, Unde Cu este o constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem deja la tabelul de integrale, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a ne familiariza cu întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime la integrare.

Exemplul 2 Găsiți seturi de antiderivate:

Decizie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată, acceptați doar că există astfel de formule și vom studia tabelul integralelor nedefinite în întregime puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) la n= -1/4 găsi

Sub semnul integral, ei nu scriu funcția în sine f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica ce variabilă este căutată antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile luate în considerare se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a unei variabile X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să fie necesar să se găsească o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta pantei tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangentei pantei tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci, trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este derivat din f(x). Condiția problemei este satisfăcută nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe și orice altă curbă pot fi obținute din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. În cazul în care un F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) este o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la origine este determinată de o constantă (constant) arbitrară de integrare C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

Enumerăm integralele funcțiilor elementare, care sunt uneori numite tabulare:

Oricare dintre formulele de mai sus poate fi demonstrată luând derivata laturii drepte (ca urmare, se va obține integrandul).

Metode de integrare

Să luăm în considerare câteva metode de bază de integrare. Acestea includ:

1. Metoda de descompunere(integrare directă).

Această metodă se bazează pe aplicarea directă a integralelor tabelare, precum și pe aplicarea proprietăților 4 și 5 ale integralei nedefinite (adică, scoaterea factorului constant din paranteză și/sau reprezentarea integrandul ca sumă de funcții - extinderea integrandului în termeni).

Exemplul 1 De exemplu, pentru a găsi (dx/x 4) puteți utiliza direct integrala tabelului pentru x n dx. Într-adevăr, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2 Pentru a găsi, folosim aceeași integrală:

Exemplul 3 Pentru a găsi trebuie să luați

Exemplul 4 Pentru a găsi, reprezentăm integrandul sub formă și folosiți integrala tabelului pentru funcția exponențială:

Luați în considerare utilizarea parantezei factorului constant.

Exemplul 5Să găsim, de exemplu . Având în vedere asta, obținem

Exemplul 6 Sa gasim. În măsura în care , folosim integrala tabelului obține

De asemenea, puteți utiliza paranteze și integrale de tabel în următoarele două exemple:

Exemplul 7

(folosim și );

Exemplul 8

(folosim și ).

Să ne uităm la exemple mai complexe care folosesc integrala sumă.

Exemplul 9 De exemplu, să găsim
. Pentru a aplica metoda expansiunii în numărător, folosim formula cubului sumei , apoi împărțim termenul polinom rezultat cu termen la numitor.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

De remarcat că la sfârșitul soluției se scrie o constantă comună C (și nu unele separate la integrarea fiecărui termen). În viitor, se mai propune omiterea constantelor din integrarea termenilor individuali în procesul de rezolvare atâta timp cât expresia conține cel puțin o integrală nedefinită (vom scrie o constantă la sfârșitul soluției).

Exemplul 10 Sa gasim . Pentru a rezolva această problemă, factorizăm numărătorul (după aceea, putem reduce numitorul).

Exemplul 11. Sa gasim. Identitățile trigonometrice pot fi folosite aici.

Uneori, pentru a descompune o expresie în termeni, trebuie să folosiți tehnici mai complexe.

Exemplul 12. Sa gasim . În integrand, selectăm partea întreagă a fracției . Apoi

Exemplul 13 Sa gasim

2. Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)

Metoda se bazează pe următoarea formulă: f(x)dx=f((t))`(t)dt, unde x =(t) este o funcţie derivabilă pe intervalul considerat.

Dovada. Să găsim derivatele în raport cu variabila t din părțile din stânga și din dreapta formulei.

Rețineți că în partea stângă există o funcție complexă al cărei argument intermediar este x = (t). Prin urmare, pentru a o diferenția față de t, mai întâi diferențiem integrala față de x și apoi luăm derivata argumentului intermediar față de t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivată din partea dreaptă:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Deoarece aceste derivate sunt egale, printr-un corolar al teoremei lui Lagrange, părțile din stânga și din dreapta ale formulei care sunt dovedite diferă printr-o constantă. Deoarece integralele nedefinite în sine sunt definite până la un termen constant nedefinit, această constantă poate fi omisă în notația finală. Dovedit.

O schimbare cu succes a variabilei ne permite să simplificăm integrala originală și, în cele mai simple cazuri, să o reducem la una tabelară. În aplicarea acestei metode se disting metodele de substituție liniară și neliniară.

a) Metoda substituției liniare să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1
. Lett= 1 – 2x, atunci

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Trebuie remarcat faptul că noua variabilă nu trebuie să fie scrisă în mod explicit. În astfel de cazuri se vorbeşte de transformarea unei funcţii sub semnul diferenţialului, sau de introducerea de constante şi variabile sub semnul diferenţialului, i.e. despre substituirea implicită a variabilelor.

Exemplul 2 De exemplu, să găsim cos(3x + 2)dx. După proprietățile diferențialei dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), atuncicos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

În ambele exemple luate în considerare, substituția liniară t=kx+b(k0) a fost utilizată pentru a găsi integralele.

În cazul general, următoarea teoremă este valabilă.

Teorema substituției liniare. Fie F(x) o antiderivată pentru funcția f(x). Atuncif(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, unde k și b sunt niște constante,k0.

Dovada.

Prin definiția integralei f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Scoatem factorul constant k pentru semnul integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Acum putem împărți părțile din stânga și dreapta ale egalității cu k și să obținem aserția care trebuie dovedită până la notarea unui termen constant.

Această teoremă afirmă că dacă expresia (kx+b) este înlocuită în definiția integralei f(x)dx= F(x) + C, atunci aceasta va duce la apariția unui factor suplimentar 1/k în față. a antiderivatului.

Folosind teorema demonstrată, rezolvăm următoarele exemple.

Exemplul 3

Sa gasim . Aici kx+b= 3 –x, adică k= -1,b= 3. Atunci

Exemplul 4

Sa gasim. Aici kx+b= 4x+ 3, adică k= 4,b= 3. Atunci

Exemplul 5

Sa gasim . Aici kx+b= -2x+ 7, adică k= -2,b= 7. Atunci

.

Exemplul 6 Sa gasim
. Aici kx+b= 2x+ 0, adică k= 2,b= 0.

.

Să comparăm rezultatul obținut cu exemplul 8, care a fost rezolvat prin metoda de descompunere. Rezolvând aceeași problemă printr-o altă metodă, am primit răspunsul
. Să comparăm rezultatele: Astfel, aceste expresii diferă unele de altele printr-un termen constant , adică răspunsurile primite nu se contrazic.

Exemplul 7 Sa gasim
. Selectăm un pătrat complet la numitor.

În unele cazuri, schimbarea variabilei nu reduce integrala direct la una tabelară, dar poate simplifica soluția făcând posibilă aplicarea metodei de descompunere la pasul următor.

Exemplul 8 De exemplu, să găsim . Înlocuiți t=x+ 2, apoi dt=d(x+ 2) =dx. Apoi

,

unde C \u003d C 1 - 6 (când înlocuim în loc de t expresia (x + 2), în loc de primii doi termeni, obținem ½x 2 -2x - 6).

Exemplul 9 Sa gasim
. Fie t= 2x+ 1, apoi dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Înlocuim expresia (2x + 1) în loc de t, deschidem parantezele și dăm altele similare.

Rețineți că în procesul transformărilor am trecut la un alt termen constant, deoarece grupul termenilor constanți în procesul transformărilor ar putea fi omis.

b) Metoda substituţiei neliniare să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1
. Fie t= -x 2 . Mai mult, se poate exprima x în termeni de t, apoi se găsește o expresie pentru dx și se implementează o modificare a variabilei în integrala dorită. Dar în acest caz este mai ușor să faci altfel. Găsiți dt=d(-x 2) = -2xdx. Rețineți că expresia xdx este un factor al integrandului integralei dorite. O exprimăm din egalitatea rezultată xdx= - ½dt. Apoi

Cele patru metode principale de integrare sunt enumerate mai jos.

1) Regula de integrare a sumei sau diferențelor.
.
Aici și mai jos, u, v, w sunt funcții ale variabilei de integrare x .

2) Scoaterea constantei din semnul integral.
Fie c o constantă independentă de x. Apoi poate fi scos din semnul integral.

3) Metoda de înlocuire variabilă.
Luați în considerare integrala nedefinită.
Dacă este posibil să alegeți o astfel de funcție φ (X) de la x, deci
,
atunci, după modificarea variabilei t = φ(x) , avem
.

4) Formula de integrare pe părți.
,
unde u și v sunt funcții ale variabilei de integrare.

Scopul final al calculării integralelor nedefinite este, prin transformări, de a aduce integrala dată la cele mai simple integrale, care sunt numite integrale tabulare. Integralele de tabel sunt exprimate în termeni de funcții elementare folosind formule binecunoscute.
Vezi Tabelul integralelor >>>

Exemplu

Calculați integrală nedefinită

Decizie

Rețineți că integrandul este suma și diferența a trei termeni:
, și .
Aplicam metoda 1 .

Mai mult, observăm că integralele noilor integrale sunt înmulțite cu constantele 5, 4, și 2 , respectiv. Aplicam metoda 2 .

În tabelul de integrale găsim formula
.
Setarea n = 2 , găsim prima integrală.

Să rescriem integrala a doua în formă
.
Observăm că. Apoi

Să folosim a treia metodă. Facem schimbarea variabilei t = φ (x) = log x.
.
În tabelul de integrale găsim formula

Întrucât variabila de integrare poate fi notată cu orice literă, atunci

Să rescriem integrala a treia în formă
.
Aplicam formula de integrare pe parti.
Lăsa .
Apoi
;
;

;
;
.

În sfârșit avem
.
Adunați termeni cu x 3 .
.

Răspuns

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.

Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundațiilor. Aceste formule, desigur, trebuie amintite. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspuns atunci când integrați!

Integrala unei constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrarea funcției de putere

De fapt, ne-am putea limita la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup sunt atât de comune încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale ale funcției exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă de reținut) poate fi considerată un caz special al formulei (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim doar aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea: confundă semnele în formulele (12) și (13). Reținând că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive mulți oameni cred că integrala funcției sinx este egală cu cosx. Nu este adevarat! Integrala sinusului este „minus cosinus”, dar integrala cosx este „doar sinusul”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale reducând la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arc tangentă, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale mai complexe

Aceste formule sunt, de asemenea, de dorit de reținut. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Constanta poate fi scoasă din semnul integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integrală a unei funcții complexe dacă funcția interioară este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aici F(x) este antiderivată pentru funcția f(x). Rețineți că această formulă funcționează numai atunci când funcția interioară este Ax + B.

Important: nu există o formulă universală pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (treizeci)

Aceasta nu înseamnă, desigur, că o fracțiune sau un produs nu poate fi integrat. Doar că de fiecare dată când vezi o integrală ca (30), trebuie să inventezi o modalitate de a „lupta” cu ea. În unele cazuri, integrarea pe părți vă va ajuta, undeva va trebui să faceți o schimbare de variabilă, iar uneori chiar și formulele „școlare” de algebră sau trigonometrie vă pot ajuta.

Un exemplu simplu pentru calcularea integralei nedefinite

Exemplul 1. Aflați integrala: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Folosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Reamintim că constanta poate fi scoasă din semnul integral (formula (27)). Expresia este convertită în formă

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să integrăm funcția de putere, sinus, exponent și constantă 1. Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la sfârșit:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

După transformări elementare, obținem răspunsul final:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testați-vă cu diferențierea: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.

Tabel rezumativ al integralelor

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link

Dacă studiezi la o universitate, dacă ai dificultăți cu matematica superioară (analiza matematică, algebră liniară, teoria probabilităților, statistică), dacă ai nevoie de serviciile unui profesor calificat, mergi pe pagina unui tutore la matematică superioară. Să vă rezolvăm problemele împreună!

S-ar putea să te intereseze și tu