IV Yakovlev | Materiale de matematică | MathUs.ru
Progresie aritmetică
O progresie aritmetică este un tip special de secvență. Prin urmare, înainte de a defini o progresie aritmetică (și apoi geometrică), trebuie să discutăm pe scurt conceptul important al unei secvențe de numere.
Urmare
Imaginează-ți un dispozitiv pe ecranul căruia sunt afișate unele numere unul după altul. Să spunem 2; 7; treisprezece; unu; 6; 0; 3; : : : Un astfel de set de numere este doar un exemplu de succesiune.
Definiție. O secvență numerică este un set de numere în care fiecărui număr i se poate atribui un număr unic (adică pus în corespondență cu un singur număr natural)1. Numărul cu numărul n se numește al n-lea membru al șirului.
Deci, în exemplul de mai sus, primul număr are numărul 2, care este primul membru al secvenței, care poate fi notat cu a1; numărul cinci are numărul 6 care este al cincilea membru al secvenței, care poate fi notat a5 . În general, al n-lea membru al unei secvențe este notat cu un (sau bn , cn , etc.).
O situație foarte convenabilă este atunci când al n-lea membru al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula an = 2n 3 specifică succesiunea: 1; unu; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definește șirul: 1; unu; unu; unu; : : :
Nu orice set de numere este o secvență. Deci, un segment nu este o secvență; conține ¾prea multe¿ numere pentru a fi renumerotate. Mulțimea R a tuturor numerelor reale nu este, de asemenea, o secvență. Aceste fapte sunt dovedite în cursul analizei matematice.
Progresia aritmetică: definiții de bază
Acum suntem gata să definim o progresie aritmetică.
Definiție. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen (începând cu al doilea) este egal cu suma termenului anterior și a unui număr fix (numit diferența progresiei aritmetice).
De exemplu, secvența 2; 5; opt; unsprezece; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 2 și diferența 3. Secvența 7; 2; 3; opt; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 7 și diferența 5. Secvența 3; 3; 3; : : : este o progresie aritmetică cu diferență zero.
Definiție echivalentă: O secvență an se numește progresie aritmetică dacă diferența an+1 an este o constantă (nu depinde de n).
Se spune că o progresie aritmetică crește dacă diferența este pozitivă și descrește dacă diferența este negativă.
1 Și iată o definiție mai concisă: o succesiune este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale. De exemplu, șirul numerelor reale este funcția f: N! R.
În mod implicit, secvențele sunt considerate infinite, adică care conțin un număr infinit de numere. Dar nimeni nu se deranjează să ia în considerare și secvențele finite; de fapt, orice set finit de numere poate fi numită o secvență finită. De exemplu, secvența finală 1; 2; 3; 4; 5 este format din cinci numere.
Formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice
Este ușor de înțeles că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen și diferența. Prin urmare, se pune întrebarea: cum, cunoscând primul termen și diferența, găsim un termen arbitrar al unei progresii aritmetice?
Nu este greu de obținut formula dorită pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Lasă an
progresie aritmetică cu diferență d. Noi avem: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
În special, scriem: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
și acum devine clar că formula pentru an este: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Sarcina 1. În progresia aritmetică 2; 5; opt; unsprezece; : : : găsiți formula celui de-al n-lea termen și calculați al sutelea termen.
Decizie. Conform formulei (1) avem:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Proprietatea și semnul progresiei aritmetice
proprietatea unei progresii aritmetice. În progresie aritmetică an pentru orice
Cu alte cuvinte, fiecare membru al progresiei aritmetice (începând cu al doilea) este media aritmetică a membrilor vecini.
Dovada. Noi avem: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
care este ceea ce s-a cerut.
Mai general, progresia aritmetică an satisface egalitatea
a n = a n k+ a n+k
pentru orice n > 2 și orice k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Se pare că formula (2) nu este doar o condiție necesară, ci și suficientă pentru ca o secvență să fie o progresie aritmetică.
Semnul unei progresii aritmetice. Dacă egalitatea (2) este valabilă pentru toate n > 2, atunci șirul an este o progresie aritmetică.
Dovada. Să rescriem formula (2) după cum urmează:
a na n 1= a n+1a n:
Aceasta arată că diferența an+1 an nu depinde de n și asta înseamnă doar că șirul an este o progresie aritmetică.
Proprietatea și semnul unei progresii aritmetice pot fi formulate ca o singură afirmație; pentru comoditate, vom face acest lucru pentru trei numere (aceasta este situația care apare adesea în probleme).
Caracterizarea unei progresii aritmetice. Trei numere a, b, c formează o progresie aritmetică dacă și numai dacă 2b = a + c.
Problema 2. (Universitatea de Stat din Moscova, Facultatea de Economie, 2007) Trei numere 8x, 3 x2 și 4 în ordinea specificată formează o progresie aritmetică descrescătoare. Găsiți x și scrieți diferența acestei progresii.
Decizie. Prin proprietatea unei progresii aritmetice, avem:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Dacă x = 1, atunci se obține o progresie descrescătoare de 8, 2, 4 cu o diferență de 6. Dacă x = 5, atunci se obține o progresie crescătoare de 40, 22, 4; acest caz nu merge.
Răspuns: x = 1, diferența este 6.
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice
Legenda spune că odată profesorul le-a spus copiilor să găsească suma numerelor de la 1 la 100 și s-a așezat să citească în liniște ziarul. Cu toate acestea, în câteva minute, un băiat a spus că a rezolvat problema. Era Carl Friedrich Gauss, în vârstă de 9 ani, mai târziu unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie.
Ideea micuțului Gauss a fost aceasta. Lasa
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Să scriem această sumă în ordine inversă:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
și adăugați aceste două formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Fiecare termen dintre paranteze este egal cu 101 și există 100 de astfel de termeni în total.
2S = 101 100 = 10100;
Folosim această idee pentru a deriva formula sumei
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
O modificare utilă a formulei (3) se obține prin înlocuirea formulei pentru al n-lea termen an = a1 + (n 1)d în ea:
2a1 + (n 1)d | |||||
Sarcina 3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din trei cifre divizibile cu 13.
Decizie. Numerele din trei cifre care sunt multipli ai lui 13 formează o progresie aritmetică cu primul termen 104 și diferența 13; Al n-lea termen al acestei progresii este:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Să aflăm câți membri conține progresul nostru. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea:
un 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Deci sunt 69 de membri în evoluția noastră. Conform formulei (4) găsim suma necesară:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(opt\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):
În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.
Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. de exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(zece\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.
Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii sunt numite in scadere.
Notarea progresiei aritmetice
Progresia este indicată de o literă latină mică.
Numerele care formează o progresie se numesc aceasta membrii(sau elemente).
Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.
De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) este formată din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.
Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Rezolvarea problemelor pe o progresie aritmetică
În principiu, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă pe o progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetica este data de conditiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Decizie:
Răspuns: \(b_5=23\)
Exemplu (OGE).
Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Decizie:
|
Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică fiecare element diferă de cel vecin prin același număr. Aflați care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Acum ne putem restabili progresul la elementul dorit (primul negativ). |
|
|
Gata. Puteți scrie un răspuns. |
Răspuns: \(-3\)
Exemplu (OGE).
Sunt date mai multe elemente succesive ale unei progresii aritmetice: \(...5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului notat cu litera \(x\).
Decizie:
|
|
Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Și acum găsim fără probleme ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Gata. Puteți scrie un răspuns. |
Răspuns: \(7,5\).
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetica este data de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Decizie:
|
Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile, ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile pe rând, folosind cele care ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
S-a găsit suma solicitată. |
Răspuns: \(S_6=9\).
Exemplu (OGE).
În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Decizie:
Răspuns: \(d=7\).
Formule importante de progresie aritmetică
După cum puteți vedea, multe probleme de progresie aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element următor din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent (diferența a progresiei).
Cu toate acestea, uneori există situații când este foarte incomod să rezolvi „pe frunte”. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu, trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ce este, \ (385 \) ori să adunăm patru? Sau imaginați-vă că, în penultimul exemplu, trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Numărarea este confuză...
Prin urmare, în astfel de cazuri, ei nu rezolvă „pe frunte”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) a primilor termeni.
Formula pentru \(n\)-lea membru: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul membru al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).
Această formulă ne permite să găsim rapid cel puțin elementul trei sute, chiar milionul, cunoscând doar primul și diferența de progresie.
Exemplu.
Progresia aritmetica este data de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Decizie:
Răspuns: \(b_(246)=1850\).
Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde
\(a_n\) este ultimul termen însumat;
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetică este dată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Decizie:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Pentru a calcula suma primelor douăzeci și cinci de elemente, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Ei bine, acum calculăm suma necesară fără probleme. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Răspunsul este gata. |
Răspuns: \(S_(25)=1090\).
Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula pentru aceasta \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:
Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde
\(S_n\) – suma necesară \(n\) a primelor elemente;
\(a_1\) este primul termen care trebuie însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) - numărul de elemente din sumă.
Exemplu.
Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(paisprezece\)…
Decizie:
Răspuns: \(S_(33)=-231\).
Probleme de progresie aritmetică mai complexe
Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare problemele în care trebuie nu numai să aplici formule, ci și să te gândești puțin (la matematică, acest lucru poate fi util ☺)
Exemplu (OGE).
Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-nouăsprezece\); \(-18,7\)…
Decizie:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm la fel: mai întâi găsim \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Acum am înlocui \(d\) în formula pentru suma ... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom înceta să mai adăugăm elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Avem nevoie ca \(a_n\) să fie mai mare decât zero. Să aflăm pentru ce \(n\) se va întâmpla asta. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Tehnica de calcul... |
|
|
\(n>65.333…\) |
…și se dovedește că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Astfel, trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Răspunsul este gata. |
Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetica este data de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea la \(42\) element inclusiv.
Decizie:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
În această problemă, trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Nu avem o formulă pentru asta. Cum să decizi? |
|
|
Pentru progresia noastră \(a_1=-33\) și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm patru la elementul anterior pentru a-l găsi pe următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-uh. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Acum suma primelor \(25\)-celele elemente. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Și, în sfârșit, calculăm răspunsul. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Răspuns: \(S=1683\).
Pentru o progresie aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilităţii lor practice reduse. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.
Suma unei progresii aritmetice.
Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la elementar la destul de solid.
În primul rând, să ne ocupăm de sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca și joasă. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți membrii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adăugarea este enervantă.) În acest caz, formula salvează.
Formula sumei este simplă:
Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru se va clarifica foarte mult.
S n este suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toate membri, cu primul pe ultimul. Este important. Adunați exact toate membri la rând, fără goluri și sărituri. Și, exact, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulea sau a sumei termenilor cinci până la al douăzecilea, aplicarea directă a formulei va fi dezamăgitoare.)
a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.
un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al rândului. Nu este un nume foarte familiar, dar, atunci când este aplicat la sumă, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.
n este numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numărul de termeni adăugați.
Să definim conceptul ultimul membru un n. Întrebare de completare: ce fel de membru va ultimul, dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetica?
Pentru un răspuns sigur, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și... citiți cu atenție tema!)
În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finită, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează ce fel de progresie este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: printr-o serie de numere sau prin formula celui de-al n-lea membru.
Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu numărul n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primi membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. În sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da ... Dar nimic, în exemplele de mai jos vom dezvălui aceste secrete.)
Exemple de sarcini pentru suma unei progresii aritmetice.
In primul rand informatii utile:
Principala dificultate în sarcinile pentru suma unei progresii aritmetice este determinarea corectă a elementelor formulei.
Autorii sarcinilor criptează aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu-ți fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient doar să le descifrem. Să aruncăm o privire la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.
1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor 10 termeni.
Loc de muncă bun. Ușor.) Pentru a determina cantitatea conform formulei, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numarul ultimului termen n.
De unde să obțineți ultimul număr de membru n? Da, in acelasi loc, in stare! Spune găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, ce număr va fi ultimul, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n vom înlocui în formulă un 10, dar în schimb n- zece. Din nou, numărul ultimului membru este același cu numărul de membri.
Rămâne de stabilit a 1și un 10. Acest lucru este ușor de calculat prin formula celui de-al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să o faci? Vizitați lecția anterioară, fără aceasta - nimic.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Rămâne să le înlocuim și să numărăm:
Cam despre asta e. Raspuns: 75.
O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:
2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 \u003d 2.3. Aflați suma primilor 15 termeni.
Scriem imediat formula sumei:
Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui membru după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Rămâne să înlocuiți toate elementele din formulă pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:
Răspuns: 423.
Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n doar înlocuiți formula celui de-al n-lea termen, obținem:
Dăm altele similare, obținem o nouă formulă pentru suma membrilor unei progresii aritmetice:
 |
După cum puteți vedea, al n-lea termen nu este necesar aici. un n. În unele sarcini, această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Și îl puteți retrage pur și simplu la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen trebuie amintite în orice fel.)
Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):
3. Găsiți suma tuturor numerelor pozitive din două cifre care sunt multipli de trei.
Cum! Nici primul membru, nici ultimul, nicio progresie... Cum să trăiești!?
Va trebui să gândești cu capul și să scoți din condiție toate elementele sumei unei progresii aritmetice. Ce sunt numerele din două cifre - știm. Ele constau din două numere.) Ce număr de două cifre va primul? 10, probabil.) ultimul lucru număr de două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...
Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile egal cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți deja să scrieți o serie în funcție de starea problemei:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Va fi această serie o progresie aritmetică? Cu siguranță! Fiecare termen diferă de cel precedent strict cu trei. Dacă la termen se adaugă 2 sau 4, să zicem rezultatul, adică. un număr nou nu va mai fi împărțit la 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice către grămada: d = 3. Util!)
Deci, putem nota în siguranță câțiva parametri de progresie:
Care va fi numărul n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele - merg mereu la rând, iar membrii noștri sar peste primii trei. Nu se potrivesc.
Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți picta progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de termeni cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă formula este aplicată problemei noastre, obținem că 99 este al treizecilea membru al progresiei. Acestea. n = 30.
Ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:
Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos tot ce era necesar pentru calcularea sumei din starea problemei:
a 1= 12.
un 30= 99.
S n = S 30.
Ceea ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuiește numerele din formulă și calculează:
Răspuns: 1665
Un alt tip de puzzle-uri populare:
4. Se dă o progresie aritmetică:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Găsiți suma termenilor de la al douăzecilea la al treizeci și patrulea.
Ne uităm la formula sumei și... suntem supărați.) Formula, permiteți-mi să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.
Puteți, desigur, să pictați întreaga progresie la rând și să puneți membrii de la 20 la 34. Dar ... cumva se dovedește prostesc și pentru mult timp, nu?)
Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va de la primul termen până la al nouăsprezecelea. A doua parte - douăzeci până la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adăugăm la suma membrilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Aceasta arată că pentru a găsi suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Începem?
Extragem parametrii de progresie din condiția sarcinii:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le numărăm după formula celui de-al n-lea termen, ca în problema 2:
un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nu a mai ramas nimic. Scădeți suma a 19 termeni din suma a 34 de termeni:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Răspuns: 262,5
O notă importantă! Există o caracteristică foarte utilă în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceea ce, s-ar părea, nu este necesar - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, eliminând ceea ce nu este necesar din rezultatul complet. O astfel de „făcătură cu urechile” salvează adesea în puzzle-uri malefice.)
În această lecție, am examinat probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)
Sfaturi practice:
Când rezolvați orice problemă pentru suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.
Formula celui de-al n-lea termen:
Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați, în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.
Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.
5. Aflați suma tuturor numerelor din două cifre care nu sunt divizibile cu trei.
Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.
6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.
Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora linkul, astfel de puzzle-uri se găsesc adesea în GIA.
7. Vasya a făcut economii pentru Sărbători. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer celei mai iubite persoane (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi și cheltuiește cu 50 de ruble mai mult în fiecare zi următoare decât în ziua anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?
Este dificil?) O formulă suplimentară din sarcina 2 va ajuta.
Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel precedent cu aceeași cantitate.
Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indici de litere, al n-lea membru al progresiei, diferența progresiei - toate acestea sunt oarecum confuze, da ... Să ne dăm seama care este semnificația progresiei aritmetice și totul se va rezolva imediat.)
Conceptul de progresie aritmetică.
Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vezi singur.
Voi scrie o serie neterminată de numere:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Poți extinde această linie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.
Să complicăm sarcina. Dau o serie neterminată de numere:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Puteți să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?
Dacă v-ați dat seama că acest număr este 20 - vă felicit! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale unei progresii aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu înțelegi, citește mai departe.
Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)
Primul punct cheie.
Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să construim grafice și toate astea... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei...
E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)
Al doilea punct cheie.
Într-o progresie aritmetică, orice număr diferă de cel precedent cu aceeași sumă.
În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este de trei ori mai mare decât cel precedent. De fapt, acest moment este cel care ne oferă posibilitatea de a surprinde tiparul și de a calcula numerele ulterioare.
Al treilea punct cheie.
Acest moment nu este izbitor, da... Dar foarte, foarte important. Iată-l: fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cincilea și așa mai departe. Dacă le încurci la întâmplare, modelul va dispărea. Va dispărea și progresia aritmetică. Este doar o serie de numere.
Asta e toată ideea.
Desigur, în noul subiect apar termeni și notații noi. Ei trebuie să știe. Altfel, nu vei înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:
Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n) dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Inspiră?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, de altfel, nu ar putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a notației. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.
Termeni și denumiri.
Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.
Această valoare este numită . Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.
Diferența de progresie aritmetică.
Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult cel precedent.
Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr de progresie adăugând diferența unei progresii aritmetice față de numărul anterior.
Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele rândului, este necesar să primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga la Al patrulea bine, etc.
Diferența de progresie aritmetică poate pozitiv atunci fiecare număr al seriei se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aici este fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 față de cel precedent.
Diferența poate fi negativ atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.
De exemplu:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.
Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să-ți găsești orientarea în decizie, să-ți detectezi greșelile și să le corectezi înainte de a fi prea târziu.
Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.
Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr al seriei anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)
Să definim, de exemplu, d pentru o progresie aritmetică crescătoare:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Luăm orice număr din rând pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. opt:
Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.
Poți doar să iei orice număr de progresii, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nici anterior.)
Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.
Să definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegem orice număr de progresie, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice.
Alți termeni și denumiri.
Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.
Fiecare membru al progresiei are numărul lui. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul membru, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotare- strict în ordine!
Cum se scrie o progresie în formă generală? Nici o problema! Fiecare număr din serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, de regulă, se folosește litera A. Numărul membrului este indicat de indexul din dreapta jos. Membrii se scriu separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 este primul număr a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie această serie pe scurt astfel: (un n).
Sunt progresii finit și infinit.
final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.
Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)
Puteți scrie o progresie finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Sau așa, dacă sunt mulți membri:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Într-o scurtă intrare, va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:
(a n), n = 20
O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.
Acum puteți rezolva deja sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea sensului progresiei aritmetice.
Exemple de sarcini pentru progresia aritmetică.
Să aruncăm o privire mai atentă la sarcina de mai sus:
1. Notează primii șase membri ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Având în vedere o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.
Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de starea problemei. Primii șase membri, unde al doilea membru este de cinci:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Inlocuim in expresie a 2 = 5și d=-2,5. Nu uita de minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Al treilea termen este mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, astfel încât numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = a 4 + d
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = un 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Deci, termenii de la al treilea la al șaselea au fost calculati. Aceasta a rezultat într-o serie:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Rămâne de găsit primul termen a 1 după binecunoscuta secundă. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
În treacăt, observ că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă, doar, căutarea unui membru al progresiei după numărul anterior (adiacent). Alte modalități de a lucra cu progresia vor fi discutate mai târziu.
Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.
Tine minte:
Dacă cunoaștem cel puțin un membru și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.
Tine minte? Această concluzie simplă ne permite să rezolvăm majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al unei progresii. Tot.
Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei- totul se învârte în jurul a trei parametri.
De exemplu, luați în considerare câteva sarcini populare pe acest subiect.
2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n=5, d=0,4 și a 1=3,6.
Totul este simplu aici. Totul este deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt calculați, numărați și scrieți membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu săriți peste cuvintele din condiția sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Rămâne de scris răspunsul:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
O altă sarcină:
3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n) dacă a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Cine știe? Cum să definești ceva?
Cum-cum... Da, notează progresia sub formă de serie și vezi dacă va fi un șapte sau nu! Noi credem:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresiei date.
Raspuns: nu.
Și iată o sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:
4. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; cincisprezece; X; nouă; 6; ...
Iată o serie fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să vedem și să vedem ce putem descoperi din linia asta? Care sunt parametrii celor trei principali?
Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.
Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența unei progresii aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:
Au rămas spații goale. Ce număr va fi cel anterior pentru x? Cincisprezece. Deci x poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. La 15 adăugați diferența unei progresii aritmetice:
Asta e tot. Răspuns: x=12
Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste puzzle-uri nu sunt pentru formule. Doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de cifre-litere, privim și gândim.
5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.
6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.
7. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Găsiți un 3.
8. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.
9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescându-și treptat viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/h.
10. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.
Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; nouă; 0,3; 4.
S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți învăța progresia aritmetică la un nivel superior în următoarele lecții.
Nu a mers totul? Nici o problema. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt împărțite în bucăți.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat rezolvarea unor astfel de sarcini clar, clar, ca în palma mâinii!
Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul - pur prin progresie, iar al doilea - comun tuturor sarcinilor din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Acesta arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.
În această lecție, am examinat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va decide.
Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte din serie, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava.)
Și există și sarcini simple în esență, dar absolut absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:
Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Și ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Este posibil să te sinucizi!?
Poți.) Dacă nu cunoști o formulă simplă prin care poți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acea problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Instruire
O progresie aritmetică este o succesiune de forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Pasul numărul d progresii.Evident, totalul unui n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresii are forma: An = A1+(n-1)d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresii, membru progresii si pas progresii, poate fi , adică numărul termenului de progresie. Evident, acesta va fi determinat prin formula n = (An-A1+d)/d.
Să fie cunoscut al-lea termen acum progresiiși un alt membru progresii- n-a, dar n , ca în cazul precedent, dar se știe că n și m nu se potrivesc.Pas progresii poate fi calculată prin formula: d = (An-Am)/(n-m). Atunci n = (An-Am+md)/d.
Dacă suma mai multor elemente ale unei aritmetici progresii, precum și primul și ultimul său , atunci se poate determina și numărul acestor elemente.Suma aritmeticii progresii va fi egal cu: S = ((A1+An)/2)n. Atunci n = 2S/(A1+An) sunt chdenov progresii. Folosind faptul că An = A1+(n-1)d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Din aceasta se poate exprima n prin rezolvarea unei ecuații pătratice.
O secvență aritmetică este un astfel de set ordonat de numere, fiecare membru al căruia, cu excepția primului, diferă de cel precedent cu aceeași cantitate. Această constantă se numește diferența progresiei sau pasul acesteia și poate fi calculată din membrii cunoscuți ai progresiei aritmetice.
Instruire
Dacă din condițiile problemei sunt cunoscute valorile primului și celui de-al doilea sau a oricărei alte perechi de termeni învecinați, pentru a calcula diferența (d), pur și simplu scădeți termenul anterior din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie pozitivă, fie negativă - depinde dacă progresia este în creștere. În formă generală, scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de membri vecini ai progresiei, după cum urmează: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Pentru o pereche de membri ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este oricare altul ales arbitrar, se poate face și o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, numărul de serie (i) al unui membru arbitrar ales al secvenței trebuie să fie cunoscut. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul la numărul ordinal al unui termen arbitrar redus cu unu. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Dacă, pe lângă un membru arbitrar al progresiei aritmetice cu numărul ordinal i, se cunoaște un alt membru cu numărul ordinal u, modificați în mod corespunzător formula din pasul anterior. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțită la diferența numerelor lor ordinale: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Formula de calcul a diferenței (d) devine ceva mai complicată dacă valoarea primului său membru (a₁) și suma (Sᵢ) unui număr dat (i) al primilor membri ai șirului aritmetic sunt date în condițiile de problema. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de termeni care o compun, scădeți valoarea primului număr din succesiune și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de termeni care au alcătuit suma redusă cu unu. În general, notați formula de calcul a discriminantului după cum urmează: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
