Cursul 3 FNP, derivate parțiale, diferențiale

Care este principalul lucru pe care l-am învățat în ultima prelegere

Am învățat ce este o funcție a mai multor variabile cu un argument din spațiul euclidian. Am studiat care este limita și continuitatea pentru o astfel de funcție

Ce vom învăța în această prelegere?

Continuând studiul FNP, vom studia derivatele și diferențialele parțiale pentru aceste funcții. Aflați cum să scrieți ecuația planului tangent și normala la suprafață.

Derivată parțială, diferențială completă FNP. Relația dintre diferențiabilitatea unei funcții și existența derivatelor parțiale

Pentru o funcție a unei variabile reale, în urma studierii temelor „Limite” și „Continuitate” (Introducere în analiza matematică), s-au studiat derivatele și diferențialele funcției. Să ne întoarcem la considerarea întrebărilor similare pentru o funcție a mai multor variabile. Rețineți că dacă toate argumentele, cu excepția unuia, sunt fixate în FRR, atunci FRR generează o funcție a unui argument, pentru care se poate lua în considerare o creștere, o diferențială și o derivată. Le vom numi increment parțial, diferențială parțială și, respectiv, derivată parțială. Să trecem la definiții precise.

Definiția 10. Fie dată o funcție de variabile unde - un element al spațiului euclidian și incrementele corespunzătoare ale argumentelor , ,…, . Când valorile, se numesc incremente parțiale ale funcției. Incrementul total al unei funcții este valoarea lui .

De exemplu, pentru o funcție a două variabile , unde este un punct pe plan și , incrementele corespunzătoare ale argumentelor, incrementele , vor fi private. În acest caz, valoarea este incrementele complete ale unei funcții a două variabile.

Definiția 11. Derivată parțială a unei funcții de variabile by variabilă este limita raportului dintre incrementul parțial al unei funcții cu această variabilă și incrementul argumentului corespunzător atunci când acesta tinde spre 0.

Scriem Definiția 11 ca formulă sau extins. (2) Pentru o funcție a două variabile, Definiția 11 poate fi scrisă sub formă de formule , . Din punct de vedere practic, această definiție înseamnă că atunci când se calculează derivata parțială față de o variabilă, toate celelalte variabile sunt fixe și considerăm această funcție ca o funcție a unei variabile alese. În ceea ce privește această variabilă, se ia derivata obișnuită.

Exemplul 4. Pentru o funcție , găsiți derivatele parțiale și punctul în care ambele derivate parțiale sunt 0.

Decizie . Calculăm derivatele parțiale, și scrieți sistemul sub forma Rezolvarea acestui sistem este două puncte și .

Să luăm acum în considerare modul în care conceptul de diferenţial poate fi generalizat la FNP. Reamintim că o funcție a unei variabile se numește diferențiabilă dacă incrementul ei este reprezentat ca , în timp ce valoarea este partea principală a incrementului funcției și se numește diferența sa. Valoarea este o funcție a lui , are proprietatea că , adică este o funcție care este infinitezimală în comparație cu . O funcție a unei variabile este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă are o derivată în acel punct. Mai mult, constanta și este egală cu această derivată, adică formula este valabilă pentru diferenţial .

Dacă luăm în considerare o creștere parțială a FNP, atunci doar unul dintre argumente se schimbă, iar această creștere parțială poate fi considerată ca o creștere a unei funcții a unei variabile, adică aceeași teorie funcționează. Prin urmare, condiția de diferențiere este valabilă dacă și numai dacă există o derivată parțială, caz în care diferența parțială este dată de .

Care este diferența totală a unei funcții de mai multe variabile?

Definiția 12. Funcția variabilelor se numeste diferentiabil intr-un punct , dacă incrementul său este reprezentat ca . În acest caz, partea principală a incrementului se numește diferenţial FNP.

Deci, diferența FNP este valoarea . Să clarificăm ce înțelegem prin valoare , pe care îl vom numi infinitezimal în comparație cu incrementele argumentelor . Aceasta este o funcție care are proprietatea că, dacă toate incrementele cu excepția unuia sunt 0, atunci egalitatea . În esență, asta înseamnă că = = + +…+ .

Și cum sunt legate condițiile de diferențiere a FNP și condițiile de existență a derivatelor parțiale ale acestei funcții?

Teorema 1. Dacă o funcție de variabile este diferențiabilă într-un punct , atunci are derivate parțiale în raport cu toate variabilele în acest moment și în același timp.

Dovada. Scriem egalitatea pentru și în formă și împărțiți ambele părți ale egalității rezultate la . În egalitatea rezultată, trecem la limita la . Ca rezultat, obținem egalitatea necesară. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Diferenţialul unei funcţii de variabile se calculează prin formula . (3)

În exemplul 4, diferența funcției a fost egală cu . Rețineți că aceeași diferență într-un punct este egală cu . Dar dacă îl calculăm într-un punct cu incremente , , atunci diferența va fi egală cu . Rețineți că , valoarea exactă a funcției date în punctul este egală cu , dar aceeași valoare, calculată aproximativ folosind prima diferență, este egală cu . Vedem că prin înlocuirea incrementului unei funcții cu diferența sa, putem aproxima valorile funcției.

Dar o funcție a mai multor variabile va fi diferențiabilă într-un punct dacă are derivate parțiale în acel punct. Spre deosebire de o funcție a unei variabile, răspunsul la această întrebare este nu. Formularea exactă a relației este dată de următoarea teoremă.

Teorema 2. Dacă funcţia variabilelor la punct există derivate parțiale continue cu privire la toate variabilele, atunci funcția este diferențiabilă în acest punct.

la fel de . Doar o variabilă se modifică în fiecare paranteză, așa că putem aplica aici și acolo formula de increment finit a lui Lagrange. Esența acestei formule este că, pentru o funcție diferențiabilă continuu a unei variabile, diferența dintre valorile funcției în două puncte este egală cu valoarea derivatei într-un punct intermediar, înmulțită cu distanța dintre puncte. Aplicând această formulă la fiecare dintre paranteze, obținem . Datorită continuității derivatelor parțiale, derivata la punct și derivata la punct diferă de derivate și la punct prin valorile și tendința spre 0 ca tinde spre 0. Dar apoi și, evident, . Teorema a fost demonstrată. , și coordonatele Verificați dacă acest punct aparține suprafeței. Scrieți ecuația pentru planul tangent și ecuația pentru normala la suprafață în punctul specificat.

Decizie. Într-adevăr, . Am calculat deja în ultima prelegere diferența acestei funcții într-un punct arbitrar, la un punct dat este egală cu . Prin urmare, ecuația planului tangent se va scrie sub forma sau , iar ecuația normalei - sub forma .

Fiecare derivată parțială (peste Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, în timp ce se consideră cealaltă variabilă ca o constantă (constant).

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, dar aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci treceți la calculator online cu derivate parțiale .

Dacă este greu să vă concentrați pe urmărirea locului în care se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr din schița de soluție a exemplului în loc de o variabilă cu o valoare fixă ​​- atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca fiind obișnuită. derivata unei functii a unei variabile. Este necesar doar să nu uitați să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).

Lasă funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă ​​a celuilalt argument y, atunci funcția va fi incrementată

numită increment parțial al funcției f(X, y) pe X.

Având în vedere schimbarea funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem de fapt la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:

și derivată parțială f(X, y) pe y:

(6)

Exemplul 1

Decizie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) cu variabila prin care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila în raport cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul unei derivate obișnuite, dispare.

Exemplul 2 Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin x) și (prin y) și calculați-le valorile la punctul DAR (1; 2).

Decizie. La un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției de putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

.

La un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a constantei:

Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul DAR (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Exemplul 3 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

Decizie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un factor la y).

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, apoi u se numeste functie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, definite și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

.

Decizie. yși z fix:

Xși z fix:

Xși y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții

Exemplul 5

Exemplul 6 Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sens mecanic ca derivată a unei funcții a unei variabile, este rata cu care funcția se modifică în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8 cantitatea de curgere P călătorii feroviari pot fi exprimați ca funcție

Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R- distanta intre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare pentru același număr de locuitori din puncte.

Derivată parțială P pe N egal cu

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai așezărilor cu aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Diferenţial complet

Produsul derivatei parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale asupra tuturor variabilelor independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9 Găsiți diferența completă a unei funcții

Decizie. Rezultatul utilizării formulei (7):

O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui domeniu se numește diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi vedeți soluția

La fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate arăta că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este principala parte liniară a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale pentru și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Lasă funcția să fie definită într-un domeniu (deschis). D puncte
spațiu dimensional și
este un punct în acest domeniu, adică
D.

Creșterea parțială a unei funcții multe variabile pentru orice variabilă se numește increment pe care îl va primi funcția dacă dăm un increment acestei variabile, presupunând că toate celelalte variabile au valori constante.

De exemplu, creșterea parțială a unei funcții peste o variabilă voi

Derivată parțială față de variabila independentă la punct
din funcție se numește limita (dacă există) a relației de increment parțial
funcții pentru a crește
variabil în timp ce se străduieşte
la zero:

Derivata parțială se notează cu unul dintre simbolurile:

;
.

Cometariu. Index mai jos, în această notație, indică numai din care variabile este luată derivata și nu este legată în ce moment
se calculează această derivată.

Calculul derivatelor parțiale nu este nimic nou în comparație cu calculul derivatei obișnuite, este necesar doar să ne amintim că atunci când diferențiem o funcție față de orice variabilă, toate celelalte variabile sunt luate ca constante. Să arătăm asta cu exemple.

Exemplul 1Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
.

Decizie. La calcularea derivatei parțiale a unei funcții
prin argumentare luați în considerare funcția în funcţie de o singură variabilă , adică crede asta are o valoare fixă. La un fix funcţie
este funcția de putere a argumentului . Conform formulei de diferențiere a unei funcții de putere, obținem:

În mod similar, la calcularea derivatei parțiale presupunem că valoarea este fixă , și luați în considerare funcția
ca funcţie exponenţială a argumentului . Ca rezultat, obținem:

Exemplul 2. Hgăsiți derivate parțiale și funcții
.

Decizie. La calcularea derivatei parțiale în raport cu funcţie dată vom considera ca functie a unei variabile , și expresii care conțin , vor fi factori constanți, adică
actioneaza ca un factor constant cu o funcție de putere (
). Diferenţierea acestei expresii în raport cu , primim:

.

Acum, dimpotrivă, funcția considerată în funcție de o variabilă , în timp ce expresiile care conțin , acționează ca un coeficient
(
).Diferentiere conform regulilor de diferențiere a funcțiilor trigonometrice, obținem:

Exemplul 3 Calculați derivatele parțiale ale unei funcții
la punct
.

Decizie. Mai întâi găsim derivatele parțiale ale acestei funcții într-un punct arbitrar
domeniul său de definire. La calcularea derivatei parțiale în raport cu crede asta
sunt permanente.

la diferenţierea prin va fi permanent
:

iar la calcularea derivatelor parţiale cu privire la și prin , în mod similar, va fi constantă, respectiv,
și
, adică:

Acum calculăm valorile acestor derivate la punctul
, substituind valori specifice ale variabilelor în expresiile acestora. Ca rezultat, obținem:

11. Diferențiale parțiale și totale ale unei funcții

Dacă acum la o creștere privată
se aplică teorema lui Lagrange pe incremente finite în raport cu o variabilă , apoi, numărând continuu se obtin urmatoarele relatii:

Unde
,
este o mărime infinitezimală.

Diferențial parțial al unei funcții după variabilă se numește partea liniară principală a incrementului parțial
, egal cu produsul derivatei parțiale față de această variabilă și incrementul acestei variabile și se notează

Evident, diferența parțială diferă de incrementul parțial printr-un ordin superior infinitezimal.

Creștere completă a funcției multe variabile se numește incrementul său, pe care îl va primi atunci când dăm un increment tuturor variabilelor independente, adică.

unde este toata lumea
, depind și împreună cu ei tind la zero.

Sub diferențiale ale variabilelor independente a fost de acord să însemne arbitrar incremente
și etichetați-le
. Astfel, expresia diferenţialului parţial va lua forma:

De exemplu, o diferență parțială pe este definit astfel:

.

diferenţial complet
funcțiile multor variabile se numește partea liniară principală a incrementului total
egal cu, i.e. suma tuturor diferenţialelor sale parţiale:

Dacă funcţia
are derivate parțiale continue

la punct
, atunci ea diferentiabila la un punct dat.

Pentru suficient de mic pentru o funcție diferențiabilă
există egalităţi aproximative

,

care poate fi folosit pentru calcule aproximative.

Exemplul 4Găsiți diferența completă a unei funcții
trei variabile
.

Decizie.În primul rând, găsim derivatele parțiale:

Menționând că acestea sunt continue pentru toate valorile
, găsim:

Pentru diferențiale de funcții ale mai multor variabile sunt adevărate toate teoremele privind proprietățile diferențialelor, care au fost dovedite pentru cazul funcțiilor unei variabile, de exemplu: dacă și sunt funcții continue ale variabilelor
, care au derivate parțiale continue în raport cu toate variabilele și și sunt constante arbitrare, atunci:

(6)

derivat privat funcțiile z = f(x, y prin variabila x derivata acestei funcții se numește la o valoare constantă a variabilei y, se notează sau z "x.

derivat privat funcții z = f(x, y) prin variabila y numită derivată față de y la o valoare constantă a variabilei y; se notează sau z „y.

Derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile față de o variabilă este definită ca derivată a acestei funcții față de variabila corespunzătoare, cu condiția ca celelalte variabile să fie considerate constante.

diferenţial complet funcția z = f(x, y) la un moment dat M(X, y) se numește expresie

,

Unde și sunt calculate în punctul M(x, y) și dx = , dy = y.

Exemplul 1

Calculați diferența totală a funcției.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 în punctul M (1; 2)

Decizie:

1) Găsiți derivate parțiale:

2) Calculați valoarea derivatelor parțiale în punctul M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Întrebări pentru autocontrol:

1. Ce se numește antiderivat? Enumerați proprietățile unui antiderivat.

2. Ce se numește integrală nedefinită?

3. Enumerați proprietățile integralei nedefinite.

4. Enumerați formulele de integrare de bază.

5. Ce metode de integrare cunoașteți?

6. Care este esența formulei Newton-Leibniz?

7. Dați o definiție a unei integrale definite.

8. Care este esența calculării unei integrale definite prin metoda substituției?

9. Care este esența metodei de calcul a unei integrale determinate pe părți?

10. Ce funcție se numește funcție a două variabile? Cum este desemnat?

11. Ce funcție se numește funcție a trei variabile?

12. Ce mulţime se numeşte domeniul unei funcţii?

13. Cu ajutorul ce inegalități se poate defini o regiune închisă D pe un plan?

14. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila x? Cum este desemnat?

15. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila y? Cum este desemnat?

16. Ce expresie se numește diferența totală a unei funcții

Tema 1.2 Ecuații diferențiale obișnuite.

Probleme care duc la ecuații diferențiale. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Soluții generale și private. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi. Ecuații liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Lecția practică nr. 7 „Găsirea de soluții generale și particulare ale ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile” *

Lecția practică nr. 8 „Ecuații diferențiale liniare și omogene”

Lecția practică nr. 9 „Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul 2 cu coeficienți constanți” *

L4, capitolul 15, p. 243 - 256

Instrucțiuni