Pentru a rezolva eficient diverse probleme de prelucrare a AND, este necesară formularea lor matematică, care include în primul rând o descriere matematică, adică un model de AND ca obiect de studiu. Până în prezent, au fost dezvoltate o serie de astfel de modele, dintre care unele sunt discutate în acest capitol.

1.1. Câmpuri aleatorii

Cele mai comune în prezent sunt complexele informaționale, care includ sisteme de senzori spațiali și calculatoare digitale. Prin urmare, vom lua în considerare în principal MI cu variabile spațiale și temporale discrete. Fără a pierde generalitatea, vom presupune că MP sunt date pe grile dreptunghiulare multidimensionale cu un pas unitar. Pe fig. 1.1a și 1.1b prezintă grile bidimensionale și tridimensionale. În cazul general, AND este dat la nodurile unei grile n-dimensionale.

În funcție de natura fizică, valorile AND pot fi scalare (de exemplu, luminozitatea unei imagini monocromatice), vectoriale (câmp de viteză, imagini color, câmp de deplasare) și cu valori mai complexe (de exemplu, matrice). Dacă este notat cu valoarea ȘI în nod (pixel), atunci ȘI este totalitatea acestor valori de pe grilă: .

Dacă datele sunt o secvență de timp de AND, atunci este uneori convenabil să se considere această secvență ca un AND, mărind dimensiunea grilei cu unul. De exemplu, o secvență de AND-uri plate (Fig. 1.1, a) poate fi considerată ca un AND tridimensional (Fig. 2.1, b).

Dacă doriți să evidențiați în mod specific o variabilă temporară, atunci o vom scrie de mai sus: . Acest AND este dat pe produsul direct al grilelor și I, unde I este setul de valori ale indicelui de timp. secțiune transversală , adică se apelează un set de citiri ȘI pentru o valoare fixă ​​a indicelui de timp i i-a cadru ŞI. Fiecare cadru este stabilit pe o grilă. De exemplu, în fig. 1.1b prezintă trei cadre bidimensionale.

Astfel, MI poate fi considerată ca o funcție definită pe o grilă multidimensională. Valoarea elementelor ȘI nu poate fi prezisă cu acuratețe în prealabil (altfel nu ar fi nevoie de sistemul de observare), prin urmare este firesc să considerăm aceste valori ca variabile aleatoare (CV), folosind aparatul de teorie a probabilității și statistică matematică. Așadar, ajungem la modelul principal al MI - sistemul de SV date pe o grilă multidimensională. Astfel de sisteme sunt numite câmpuri aleatoare discrete (RS) sau funcții aleatoare ale mai multor variabile.

Pentru a descrie SP, ca orice alt sistem VS, puteți seta funcția de distribuție a probabilității comune (DF) a elementelor sale sau densitatea distribuției probabilității comune (PDD) . Cu toate acestea, I consta de obicei dintr-un număr foarte mare de elemente (mii și milioane), astfel încât DF (sau PDF) cu un astfel de număr de variabile devine nelimitat și sunt necesare alte metode mai puțin greoaie de descriere a SP.

INTRODUCERE

Obiectele lumii materiale sunt complexe și diverse. Reflectarea tuturor proprietăților lor în imaginile create, studiate și utilizate este foarte dificilă și nu este necesară. Este important ca imaginea obiectului să conțină caracteristicile care sunt cele mai importante pentru utilizarea lui.Metoda de modelare este înlocuirea obiectului original cu un obiect de substituție care are o anumită asemănare cu originalul pentru a obține informații noi despre original. Un model este un obiect înlocuitor al obiectului original, conceput pentru a obține informații despre original.

Modelele matematice se referă la modele simbolice și reprezintă o descriere a obiectelor sub formă de simboluri, formule, expresii matematice. Dacă este disponibil un model matematic suficient de precis, este posibil, prin intermediul calculelor matematice, să se prezică rezultatele funcționării unui obiect în diferite condiții, să se aleagă dintr-o varietate de opțiuni posibile pe cea care dă cele mai bune rezultate.

Această lucrare prezintă tipurile de clasificare a metodelor de modelare matematică și descrie câteva metode:

Programarea liniară sunt metode de modelare matematică care servesc la găsirea celei mai bune opțiuni pentru alocarea resurselor limitate între locurile de muncă concurente.

Modelare prin simulare. Scopul modelării prin simulare este de a reproduce comportamentul sistemului studiat pe baza rezultatelor analizei celor mai semnificative relații dintre elementele sale, sau cu alte cuvinte, de a dezvolta un simulator al domeniului studiat pentru realizarea diferitelor experimente.

Clasificarea metodelor de modelare matematică

Datorită varietatii modelelor matematice aplicate, clasificarea lor generală este dificilă. În literatură, de obicei sunt date clasificări care se bazează pe diverse abordări și principii.

Prin apartenenţa la un nivel ierarhic modelele matematice sunt împărțite în modele la nivel micro, la nivel macro, modele la nivel meta. Modelele matematice la nivel micro al procesului reflectă procesele fizice care au loc, de exemplu, la tăierea metalelor. Ele descriu procese la nivel de tranziție (de trecere).

Modelele matematice la nivel macro al procesului descriu procesele tehnologice.

Modelele matematice la nivelul meta al procesului descriu sisteme tehnologice (secțiuni, ateliere, întreprinderea în ansamblu).

După natura proprietăților obiectului afișat modelele pot fi clasificate în structurale și funcționale

Modelul este structural, dacă poate fi reprezentat printr-o structură de date sau structuri de date și relații între acestea.La rândul său, un model structural poate fi ierarhic sau de rețea.

Modelul este ierarhic (tree-like), - dacă este reprezentat de vreo structură ierarhică (arborele); de exemplu, pentru a rezolva problema găsirii unei rute într-un arbore de căutare, puteți construi un model de arbore prezentat în Figura 1.

Figura 1 - Modelul structurii ierarhice.

Modelul este de rețea, dacă poate fi reprezentat printr-o structură de rețea. De exemplu, construcția unei noi case implică diverse operațiuni care pot fi reprezentate în modelul de rețea prezentat în Figura 2.

Figura 2 - Modelul structurii rețelei.

Modelul este funcțional, dacă poate fi reprezentat ca un sistem de relații funcționale. De exemplu, legea lui Newton și modelul pentru producția de bunuri sunt funcționale.

După modul în care sunt reprezentate proprietățile obiectului modelele sunt împărțite în analitice, numerice, algoritmice și de simulare.

Modelele matematice analitice sunt expresii matematice explicite ale parametrilor de ieșire ca funcții ale parametrilor de intrare și interni și au soluții unice pentru orice condiții inițiale. De exemplu, procesul de tăiere (întoarcere) în termeni de forțe care acționează este un model analitic. De asemenea, o ecuație pătratică care are una sau mai multe soluții va fi un model analitic. Modelul va fi numeric dacă are soluții în condiții inițiale specifice (ecuații diferențiale, integrale).

Modelul este algoritmic dacă este descris de un algoritm sau un set de algoritmi care îi determină funcționarea și dezvoltarea. Introducerea acestui tip de model (într-adevăr, se pare că orice model poate fi reprezentat printr-un algoritm pentru studiul lui) este destul de justificată, întrucât nu toate modelele pot fi studiate sau implementate algoritmic. De exemplu, un model pentru calcularea sumei unei serii infinite descrescătoare de numere poate fi un algoritm pentru calcularea sumei finite a unei serii până la un anumit grad de precizie specificat. Un algoritm pentru calcularea valorii sale aproximative, arbitrar precise, folosind o formulă recurentă bine-cunoscută, poate servi ca model algoritmic pentru rădăcina pătrată a unui număr X.

Un model de simulare, dacă este destinat să testeze sau să studieze posibile moduri de dezvoltare și comportament ale unui obiect prin variarea unora sau a tuturor parametrilor modelului, de exemplu, un model al unui sistem economic pentru producerea a două tipuri de bunuri . Un astfel de model poate fi folosit ca simulare pentru a determina și varia costul total în funcție de anumite valori ale volumului de mărfuri produse.

Pe cale de a obține modelele se împart în teoretice şi empirice.Modelele matematice teoretice sunt create în urma studiului obiectelor (proceselor) la nivel teoretic. De exemplu, există expresii pentru forțele de tăiere obținute pe baza unei generalizări a legilor fizice. Dar ele sunt inacceptabile pentru utilizare practică, deoarece sunt foarte greoaie și nu sunt tocmai adaptate proceselor reale. Modelele matematice empirice sunt create în urma experimentelor (studiul manifestărilor externe ale proprietăților unui obiect prin măsurarea parametrilor acestuia la intrare și la ieșire) și procesarea rezultatelor acestora folosind metode de statistică matematică.

După forma reprezentării proprietăţilor obiectului modelele sunt împărțite în logice, teoretice și grafice. Modelul este logic, dacă poate fi reprezentat prin predicate, funcții logice, de exemplu, un set de două funcții logice poate servi ca model matematic al unui sumator cu o singură cifră. Un model este teoretic multimi daca poate fi reprezentat cu ajutorul anumitor multimi si relatii de apartenenta lor si intre ele. Un model de grafic este dacă poate fi reprezentat printr-un grafic sau grafice și relațiile dintre acestea.

După gradul de stabilitate. modelele pot fi împărțite în stabile și instabile. Un sistem stabil este acela care, fiind scos din starea inițială, tinde spre el. Poate oscila ceva timp în jurul punctului de plecare, ca un pendul obișnuit pus în mișcare, dar perturbațiile din el se estompează și dispar cu timpul.

În raport cu factorii externi modelele pot fi împărțite în deschise și închise. Un model închis este un model care funcționează independent de variabilele externe (exogene). Într-un model închis, modificările în timp ale valorilor variabilelor sunt determinate de interacțiunea internă a variabilelor în sine. Un model închis poate dezvălui comportamentul unui sistem fără a introduce o variabilă externă. Exemplu: sistemele informatice cu feedback sunt sisteme închise. Sunt sisteme care se adaptează automat, iar caracteristicile lor derivă din structura internă și interacțiunile care reflectă inputul din informații externe. Un model asociat cu variabile externe (exogene) se numește deschis.

În raport cu factorul timp modelele sunt împărțite în dinamice și statice Un model se numește static dacă nu există niciun parametru de timp printre parametrii implicați în descrierea lui. Un model se numește model dinamic dacă printre parametrii săi există un parametru de timp, adică afișează sistemul (procesele din sistem) în timp. simultan.

Programare liniară

Dintre problemele de programare matematică, cele mai simple (și cel mai bine studiate) sunt așa-numitele probleme de programare liniară. Caracteristic pentru ei este că:

a) indicatorul de performanță (funcția obiectivă) W depinde liniar de elementele soluției x 1, x 2, ....., x p și

b) restrictiile impuse elementelor solutiei au forma de egalitati liniare sau inegalitati fata de x 1, x 2, ..., x p

Astfel de sarcini sunt destul de comune în practică, de exemplu, atunci când se rezolvă probleme legate de alocarea resurselor, planificarea producției, organizarea transportului etc. Acest lucru este firesc, deoarece în multe probleme de practică „costurile” și „veniturile” depind liniar de suma fondurilor achiziționate sau eliminate (de exemplu, costul total al unui transport de mărfuri depinde liniar de numărul de unități achiziționate; plata transportului se face proporțional cu greutatea mărfurilor transportate etc.).

Orice problemă de programare liniară poate fi redusă la o formă standard, așa-numita „problema de programare liniară de bază” (BLI), care este formulată astfel: găsiți valori nenegative ale variabilelor x 1 , x 2 , .. ., x n care ar satisface condițiile de egalitate ( unu).

Cazul în care f trebuie îndreptat nu la maxim, ci la. minimul poate fi redus cu ușurință la precedentul dacă pur și simplu inversați semnul lui f (maximizați nu f, ci f" = - f). În plus, puteți trece de la orice condiții de inegalitate la condiții de egalitate cu prețul introducerii de noi variabile suplimentare.

În funcție de tipul funcției obiective și de constrângeri, se pot distinge mai multe tipuri de probleme de programare liniară sau modele liniare: problemă liniară generală, problemă de transport, problemă de atribuire.

Problema transportului (problema Monge-Kantorovich) este o problemă matematică de programare liniară de tip special despre găsirea distribuției optime a obiectelor omogene de la acumulator la receptori cu minimizarea costurilor de călătorie. Pentru ușurință de înțelegere, este considerată ca o problemă a planului optim de transport al mărfurilor de la punctele de plecare la punctele de consum, cu costuri minime de transport.

Problema de atribuire este formulată după cum urmează:

Există un anumit număr de lucrări și un anumit număr de interpreți. Orice antreprenor poate fi desemnat să execute orice lucrare (dar doar una), dar la costuri diferite. Este necesar să se distribuie munca astfel încât să se termine lucrul cu costuri minime. Dacă numărul de locuri de muncă și de executanți este același, atunci problema se numește problemă de atribuire liniară.

Există mai multe moduri de a rezolva o problemă de programare liniară, în special metoda grafică și metoda simplex. Metoda grafică se bazează pe interpretarea geometrică a unei probleme de programare liniară și este utilizată pentru rezolvarea problemelor în spațiul bidimensional. Problemele spațiului tridimensional sunt rezolvate foarte rar, deoarece. construcția soluției lor este incomodă și lipsită de vizualizare. Luați în considerare metoda pe exemplul unei probleme bidimensionale.

Găsiți o soluție X \u003d (x 1, x 2), care să satisfacă sistemul de inegalități (3)

(3)

6x1 +7x2 ≤42

la care valoarea funcţiei obiectiv F = 2x 1 x 2 atinge maximul.

Să construim pe planul sistemului de coordonate dreptunghiular cartezian x 1 Ox 2 aria soluțiilor fezabile ale problemei.

Fiecare dintre liniile construite împarte planul în două semiplane. Coordonatele punctelor unui semiplan satisfac inegalitatea inițială, în timp ce celălalt nu. Pentru a determina semiplanul dorit, trebuie să luați un punct care aparține unuia dintre semiplanuri și să verificați dacă coordonatele sale satisfac această inegalitate. Dacă coordonatele unui punct dat satisfac această inegalitate, atunci semiplanul dorit este cel căruia îi aparține acest punct. Altfel, un alt semiplan.

Să găsim semiplanul definit de inegalitatea x 1 -x 2 ≥-3. Pentru a face acest lucru, după ce am construit o linie dreaptă (I) x 1 -x 2 \u003d-3, luăm un punct care aparține unuia dintre cele două semiplane obținute, de exemplu, punctul O (0,0). Coordonatele acestui punct satisfac inegalitatea x 1 -x 2 ≥-3. Aceasta înseamnă că semiplanul căruia îi aparține punctul O(0,0) este determinat de inegalitatea x 1 -x 2 ≥-3.

Acum să găsim semiplanul definit de inegalitatea 6x1+7x 2 ≤42.

Construim o linie II 6x 1 +7x 2 =42. Coordonatele punctului O(0,0) satisfac inegalitatea 6x 1 +7x 2 ≤42, ceea ce înseamnă că al doilea semiplan va fi cel dorit.

Acum căutăm un semiplan pentru inegalitatea 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Coordonatele punctului O(0,0) satisfac inegalitățile 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Prin urmare, semiplanul căruia îi aparține punctul O(0,0) este determinat de inegalitatea 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (linia III).

Și un semiplan pentru inegalitatea x 1 + x 2 ≥4. Coordonatele punctului O(0,0) satisfac inegalitatea x 1 + x 2 ≥4 (linia IV). Prin urmare, dreapta x 1 + x 2 =4 este determinată de primul semiplan.

Inegalitățile x 1 ≥0 și x 2 ≥0 înseamnă că aria soluției va fi situată în dreapta ordonatei și deasupra abscisei. Astfel, aria ABCD, umbrită în Figura 3, va fi aria soluțiilor fezabile, definită de constrângerile problemei. Funcția obiectiv își ia valoarea maximă la unul dintre vârfurile figurii ABCD. Pentru a determina acest vârf, construim un vector C (2; -1) și o linie 2x 1 -x 2 =p, unde p este o constantă astfel încât linia 2x 1 -x 2 =p are puncte comune cu poligonul soluției. . Să punem, de exemplu, p=1/2 și să construim o dreaptă 2 x 1 -x 2 =1/2. Mai departe, vom muta linia dreaptă construită în direcția vectorului până când trece prin ultimul său punct comun cu poligonul soluție. Coordonatele punctului specificat determină planul optim pentru această sarcină.

Figura 3 arată că ultimul punct comun al liniei 2x 1 -x 2 \u003d p cu poligonul soluțiilor este punctul A. Acest punct este intersecția dreptelor II și III, prin urmare coordonatele sale se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații care definesc aceste linii:

(4)

6x1 +7x2 =42

În acest caz, valoarea funcției obiectiv F \u003d 2 x 1 -x 2 \u003d 2 * 5,25 - 1 * 1,5 \u003d 9.

Punctul B va fi soluția optimă a problemei X opt = (x 1 opt, x 2 opt) iar coordonatele sale vor fi x 1 opt = 5,25, x 2 opt = 1,5.

Figura 3 - Zona de soluții admisibile la problemă

Simplex - metoda

Această metodă este o metodă de enumerare intenționată a soluțiilor de referință ale unei probleme de programare liniară. Permite un număr finit de pași fie pentru a găsi soluția optimă, fie pentru a stabili că nu există o soluție optimă.

1) Precizați metoda de găsire a soluției de referință optime.

2) Precizați metoda de trecere de la o soluție de referință la alta, pe care valoarea funcției obiectiv va fi mai apropiată de cea optimă, i.e. indica o modalitate de a îmbunătăți soluția de referință.

3) Stabiliți criterii care vă permit să opriți în timp util enumerarea soluțiilor de referință asupra soluției optime sau să faceți o concluzie despre absența unei soluții optime.

Pentru a rezolva problema prin metoda simplex, trebuie să faceți următoarele:

1) Aduceți problema la forma canonică.

2) Găsiți o soluție de referință inițială cu o „bază unitară” (dacă nu există o soluție de referință, atunci problema nu are soluție din cauza incompatibilității sistemului de constrângeri).

3) Calculați estimări ale expansiunilor vectoriale în funcție de baza soluției de referință și completați tabelul metodei simplex.

4) Dacă criteriul de unicitate al soluției optime este satisfăcut, atunci soluția problemei se termină. Dacă este îndeplinită condiția existenței unui set de soluții optime, atunci prin enumerare simplă se găsesc toate soluțiile optime.

Eficiența de calcul a metodelor matematice este de obicei estimată folosind doi parametri:

1) Numărul de iterații necesare pentru a obține o soluție;

2) Costul timpului mașinii.

Ca rezultat al experimentelor numerice, s-au obținut următoarele rezultate pentru metoda simplex:

1) Numărul de iterații în rezolvarea problemelor de programare liniară în forma standard cu constrângeri și variabile este între și . Numărul mediu de iterații. Limita superioară a numărului de iterații este .

2) Timpul necesar al mașinii este proporțional cu .

Numărul de restricții afectează eficiența de calcul mai mult decât numărul de variabile, prin urmare, atunci când se formulează probleme de programare liniară, ar trebui să ne străduim să reducem numărul de restricții, chiar dacă prin creșterea numărului de variabile.

Concepte de bază ale metodei de simulare.

Termenul „modelare de simulare” („model de simulare”) înseamnă de obicei calculul valorilor unor caracteristici ale unui proces care se dezvoltă în timp prin reproducerea cursului acestui proces pe un computer folosind modelul său matematic și este fie imposibil sau extrem de dificil de a obţine rezultatele cerute în alte moduri. Reproducerea fluxului de proces pe un computer folosind un model matematic este denumită în mod obișnuit experiment de simulare.

Modelele de simulare aparțin clasei de modele care sunt un sistem de relații între caracteristicile procesului descris. Aceste caracteristici sunt împărțite în interne („endogene”, „variabile de fază”) și externe („exogene”, „parametri”). Caracteristicile aproximativ interne sunt acelea ale căror valori se dorește a fi cunoscute folosind instrumente de modelare matematică; externe - cele de care depind semnificativ caracteristicile interne, dar relația inversă (cu o precizie practic acceptabilă) nu are loc.

Un model capabil să prezică valorile caracteristicilor interne trebuie să fie închis („model închis”), în sensul că relațiile sale permit calcularea caracteristicilor interne cu cele externe cunoscute. Procedura de determinare a caracteristicilor externe ale modelului se numește identificare sau calibrare. Modelele matematice ale clasei descrise (include modele de simulare) definesc o mapare care face posibilă obținerea valorilor celor interne din valorile cunoscute ale caracteristicilor externe. În continuare, această mapare va fi numită maparea asociată cu modelul.

Modelele clasei luate în considerare se bazează pe postulatul independenței caracteristicilor externe față de cele interne, iar relațiile modelului sunt o formă de înregistrare a cartografierii asociate acestuia. După cum se arată în Figura 4, cercetătorul se ocupă de patru elemente principale în procesul de simulare:

sistem real;

Modelul logico-matematic al obiectului care se modelează;

Model de simulare (mașină);

Calculatorul pe care se realizează simularea este un experiment de calcul direcționat.

Cercetătorul studiază sistemul real, dezvoltă un model logic și matematic al sistemului real. Natura de simulare a studiului presupune prezența unor modele logice sau logico-matematice care descriu procesul studiat. Mai sus, un sistem real a fost definit ca un set de elemente care interacționează funcționând în timp. Natura compusă a unui sistem complex descrie reprezentarea modelului său sub forma a trei mulțimi: A, S, T, unde
A este un set de elemente (inclusiv mediul extern);
S este ansamblul legăturilor admisibile între elemente (structura modelului);
T este ansamblul momentelor considerate de timp.

Figura 4 Procesul de simulare

O caracteristică a modelării simulării este că modelul de simulare vă permite să reproduceți obiectele simulate:

Cu păstrarea structurii lor logice;

Odată cu păstrarea proprietăților comportamentale (secvența alternanței în timp a evenimentelor care au loc în sistem), i.e. dinamica interacțiunii.

În modelarea prin simulare, structura sistemului simulat este afișată în mod adecvat în model, iar procesele de funcționare a acestuia sunt redate (simulate) pe modelul construit. Prin urmare, construcția unui model de simulare constă în descrierea structurii și funcționării obiectului sau sistemului simulat.

Există modele de simulare:

Continuu;

discret;

Continuu-discret.

În modelele de simulare continuă, variabilele se modifică continuu, starea sistemului simulat se schimbă ca o funcție continuă a timpului și, de regulă, această schimbare este descrisă de sisteme de ecuații diferențiale. În consecință, avansarea timpului modelului depinde de metodele numerice de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. În modelele de simulare discretă, variabilele se modifică discret în anumite momente ale timpului de simulare (apariția evenimentelor).

Dinamica modelelor discrete este un proces de tranziție de la momentul următorului eveniment la momentul următorului eveniment. Deoarece procesele continue și discrete nu pot fi adesea separate în sisteme reale, au fost dezvoltate modele continuu-discrete care combină mecanismele de avansare în timp caracteristice acestor două procese.

Metoda modelării prin simulare permite rezolvarea problemelor de mare complexitate, asigură imitarea unor procese complexe și diverse, cu un număr mare de elemente. Dependențe funcționale separate în astfel de modele pot fi descrise prin relații matematice greoaie. Prin urmare, modelarea prin simulare este utilizată eficient în problemele studierii sistemelor cu o structură complexă pentru a rezolva probleme specifice. Modelul de simulare conține elemente de acțiune continuă și discretă, prin urmare, este utilizat pentru studiul sistemelor dinamice, atunci când este necesară analiza blocajelor, studiul dinamicii funcționării, când este de dorit să se observe cursul procesului pe simulare. model pentru un anumit timp.

Modelarea prin simulare este un instrument eficient pentru studierea sistemelor stocastice, atunci când sistemul studiat poate fi influențat de numeroși factori aleatori de natură complexă. Este posibil să se efectueze cercetări în condiții de incertitudine, cu date incomplete și inexacte. Modelarea prin simulare este un factor important în sistemele de sprijinire a deciziilor, deoarece vă permite să explorați un număr mare de alternative (soluții), să jucați diferite scenarii pentru orice intrare.

Principalul avantaj al modelării prin simulare este că cercetătorul, pentru a testa noi strategii și a lua decizii, în timp ce studiază situații posibile, poate obține întotdeauna un răspuns la întrebarea „Ce se va întâmpla dacă?”. Modelul de simulare face posibilă prevederea când este vorba despre proiectarea unui sistem sau studierea proceselor de dezvoltare (adică, în cazurile în care un sistem real nu există încă). În modelul de simulare, pot fi furnizate diverse, inclusiv un nivel ridicat de detaliu al proceselor simulate. În acest caz, modelul este creat în etape, evolutiv.

BIBLIOGRAFIE

1. Blinov, Yu.F. Metode de modelare matematică [Text]: Manual electronic / Yu.F. Blinov, V.V. Ivantsov, P.V. Sârb. -Taganrog: TTI SFU, 2012. -42 p.

2. Wentzel, E.S. Cercetare operațională. Sarcini, principii, metodologie. [Text]: Ghid de studiu / E.S. Wentzel - M. : KNORUS, 2010. - 192 p.

3. Getmanchuk, A. V. Metode și modele economice și matematice [Text]: Manual pentru licență. / A.V. Getmanchuk - M.: Publishing and Trade Corporation „Dashkov and Co”, 2013. -188 p.

4. Zamyatina O.M. Modelarea sistemelor. [Text]: Ghid de studiu. / O.M. Zamyatina - Tomsk: Editura TPU, 2009. - 204 p.

5. Pavlovsky, Yu.N. Modelare prin simulare. [Text]: manual pentru studenți / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I.

Determinați trăsăturile dominante ale clasificării obiectului de localizare și dezvoltați un model matematic pentru analiza imaginilor cu expresia facială.

Sarcini

Căutarea și analiza metodelor de localizare a feței, determinarea trăsăturilor dominante ale clasificării, dezvoltarea unui model matematic optim pentru sarcina de recunoaștere a mișcării expresiilor faciale.

Subiect

Pe lângă determinarea spațiului de culoare optim pentru construirea de obiecte proeminente pe o anumită clasă de imagini, care a fost efectuată în etapa anterioară a studiului, determinarea caracteristicilor dominante ale clasificării și dezvoltarea unui model matematic de imagini cu expresia facială. joacă, de asemenea, un rol important.

Pentru a rezolva această problemă, este necesar, în primul rând, să setați caracteristicile de modificare a sarcinii de detectare a feței de către o cameră video la sistem și apoi să efectuați localizarea mișcării buzelor.

În ceea ce privește prima sarcină, ar trebui să se distingă două tipuri de ele:
Localizarea feței;
Urmărirea feței.
Deoarece ne confruntăm cu sarcina de a dezvolta un algoritm pentru recunoașterea expresiilor faciale, este logic să presupunem că acest sistem va fi folosit de un utilizator care nu își va mișca capul prea activ. Prin urmare, pentru a implementa tehnologia de recunoaștere a mișcării buzelor, este necesar să luăm ca bază o versiune simplificată a problemei de detectare, în care în imagine există o singură față.

Și asta înseamnă că căutarea feței poate fi efectuată relativ rar (aproximativ 10 cadre/sec. sau chiar mai puțin). În același timp, mișcările buzelor vorbitorului în timpul unei conversații sunt destul de active și, prin urmare, conturul acestora trebuie evaluat cu o intensitate mai mare.

Sarcina de a găsi o față într-o imagine poate fi rezolvată prin mijloacele existente. Astăzi, există mai multe metode pentru detectarea și localizarea unei fețe într-o imagine, care pot fi împărțite în 2 categorii:
1. Recunoașterea empirică;
2. Modelarea imaginii feței. .

Prima categorie include metode de recunoaștere de sus în jos bazate pe caracteristicile invariante ale imaginilor feței, bazate pe presupunerea că există unele semne ale prezenței fețelor în imagine care sunt invariante în raport cu condițiile de fotografiere. Aceste metode pot fi împărțite în 2 subcategorii:
1.1. Detectarea elementelor și trăsăturilor (trăsăturilor) care sunt caracteristice imaginii feței (margini, luminozitate, culoare, forma caracteristică a trăsăturilor faciale etc.), .;
1.2. Analiza trăsăturilor detectate, luarea unei decizii cu privire la numărul și locația fețelor (un algoritm empiric, statistici privind poziția relativă a trăsăturilor, modelarea proceselor de imagine vizuală, utilizarea șabloanelor rigide și deformabile etc.), .

Pentru funcționarea corectă a algoritmului, este necesar să se creeze o bază de date de trăsături faciale cu testarea ulterioară. Pentru o implementare mai precisă a metodelor empirice se pot folosi modele care permit luarea în considerare a posibilităților de transformare a feței și, prin urmare, dispun fie de un set extins de date de bază pentru recunoaștere, fie de un mecanism care permite modelarea transformării pe elemente de bază. . Dificultățile în construirea unei baze de date clasificatoare concentrate pe o gamă largă de utilizatori cu caracteristici individuale, trăsături faciale și așa mai departe, contribuie la scăderea acurateței recunoașterii acestei metode.

A doua categorie include metode de statistică matematică și învățare automată. Metodele din această categorie se bazează pe instrumente de recunoaștere a imaginii, considerând problema detectării feței ca un caz special al problemei de recunoaștere. Imaginii i se atribuie un anumit vector caracteristic, care este folosit pentru a clasifica imaginile în două clase: față/non-față. Cea mai obișnuită modalitate de a obține un vector caracteristic este să utilizați imaginea în sine: fiecare pixel devine o componentă a vectorului, transformând imaginea n×m într-un vector spațial R^(n×m), unde n și m sunt numere întregi pozitive. . . Dezavantajul acestei reprezentări este dimensiunea extrem de mare a spațiului caracteristic. Avantajul acestei metode este excluderea din întreaga procedură de construire a unui clasificator al participării umane, precum și posibilitatea antrenării sistemului în sine pentru un anumit utilizator. Prin urmare, utilizarea metodelor de modelare a imaginilor pentru a construi un model matematic de localizare a feței este optimă pentru rezolvarea problemei noastre.

În ceea ce privește segmentarea profilului feței și urmărirea poziției punctelor buzelor într-o succesiune de cadre, metodele de modelare matematică ar trebui, de asemenea, utilizate pentru a rezolva această problemă. Există mai multe moduri de a determina mișcarea expresiilor faciale, cele mai faimoase dintre ele sunt utilizarea unui model matematic bazat pe modele de contur active:

Localizarea zonei de expresii faciale pe baza modelului matematic al modelelor de contur active

Un contur activ (șarpe) este un model deformabil al cărui șablon este dat sub forma unei curbe parametrice, inițializată manual de un set de puncte de control situate pe o curbă deschisă sau închisă în imaginea de intrare.

Pentru a adapta conturul activ la imaginea expresiilor faciale, este necesar să se efectueze o binarizare adecvată a obiectului studiat, adică transformarea acestuia într-un fel de imagini raster digitale și apoi o evaluare adecvată a parametrilor trebuie efectuate conturul activ și calculul vectorului caracteristic.

Modelul de contur activ este definit ca:
Mulțimea punctelor N;
Zone interne de energie de interes (termen de energie elastică internă);
Regiunile externe de energie de interes (termen de energie bazat pe marginea externă).

Pentru a îmbunătăți calitatea recunoașterii, se disting două clase de culoare - piele și buze. Funcția de apartenență la clasa de culoare are o valoare în intervalul de la 0 la 1.

Ecuația modelului de contur activ (șarpe) este reprezentată prin formula exprimată v(s) ca:

Unde E este energia șarpelui (model de contur activ). Primii doi termeni descriu energia de regularitate a modelului de contur activ (șarpe). În sistemul nostru de coordonate polare, v(s) = , s este de la 0 la 1. Al treilea termen este energia legată de forța externă obținută din imagine, al patrulea este forța de presiune.

Forța externă este determinată pe baza caracteristicilor descrise mai sus. Este capabil să schimbe punctele de control la o anumită valoare a intensității. Se calculeaza ca:

Multiplicatorul de gradient (derivat) este calculat la punctele serpentine de-a lungul liniei radiale corespunzătoare. Forța crește dacă gradientul este negativ și scade în caz contrar. Coeficientul înainte de gradient este un factor de ponderare care depinde de topologia imaginii. Forța de compresiune este doar o constantă, se utilizează jumătate din factorul de ponderare minim. Cea mai bună formă de șarpe se obține prin minimizarea energiei funcționale după un anumit număr de iterații.

Să luăm în considerare mai detaliat operațiunile de bază de procesare a imaginii. Pentru simplitate, să presupunem că am selectat deja zona gurii vorbitorului într-un fel. În acest caz, principalele operațiuni de procesare a imaginii rezultate, pe care trebuie să le realizăm, sunt prezentate în Fig. 3.

Concluzie

Pentru a determina caracteristicile dominante ale clasificării imaginilor în cursul cercetării, au fost identificate caracteristicile de modificare a sarcinii de detectare a feței de către o cameră video. Dintre toate metodele de localizare a feței și de detectare a zonei studiate a expresiilor faciale, cele mai potrivite pentru sarcinile de creare a unui sistem universal de recunoaștere pentru dispozitivele mobile sunt metodele de modelare a imaginii feței.
Dezvoltarea unui model matematic de imagini ale mișcării expresiilor faciale se bazează pe un sistem de modele de contur active ale binarizării obiectului studiat. Deoarece acest model matematic permite, după schimbarea spațiului de culoare de la RGB la modelul de culoare YCbCr, să se transforme efectiv obiectul de interes, pentru analiza ulterioară a acestuia pe baza modelelor de contur active și identificarea limitelor clare ale expresiilor faciale după iterațiile corespunzătoare ale imaginii.

Lista surselor utilizate

1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. Detectarea și localizarea feței în imagine. Jurnalul CGM, 2003
2. Ibid.
3. E. Hjelmas și B.K. Low, Face detection: A survey, Journal of Computer vision and image understanding, vol.83, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang și T.S. Huang, Detectarea feței umane în fundal complex, Pattern recognition, vol.27, nr.1, pp.53-63, 1994
5. K. Sobottka și I. Pitas, O metodă nouă pentru segmentarea automată a feței, extracția și urmărirea trăsăturilor faciale, Procesarea semnalului: comunicarea imaginii, voi. 12, nr.3, pp. 263-281, iunie 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona și J. Big.un., Căutare Saccadic cu caracteristici Gabor aplicate la detectarea ochilor și urmărirea capului în timp real, Image Vision Comput. 18, pp. 323-329, 200
7. Gomozov A.A., Kryukov A.F. Analiza algoritmilor empiric și matematici pentru recunoașterea feței umane. jurnal-rețea. Institutul de Inginerie Energetică din Moscova (Universitatea Tehnică). Nr. 1 (18), 2011

Va urma

Matematicmodelare- procesul de stabilire a conformităţii cu realul sistemul S mat al modelului M și studiul acestui model, care permite obținerea caracteristicilor unui sistem real. Aplicație modelare mat vă permite să studiați obiecte, experimente reale asupra cărora sunt dificile sau imposibile.

Modelare analitică- procesele funcţiei elementelor se scriu sub formă de relaţii matematice (algebre, integrale, diferă, logice etc.). Mat. este posibil ca modelul să nu conțină în mod explicit cantitățile necesare. Acesta trebuie convertit într-un sistem de rapoarte raportate la cantitățile dorite, permițând obținerea rezultatului dorit prin metode pur analitice. Prin aceasta înțelegem obținerea de formule explicite ale formei

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, sau obținerea de ecuații de formă cunoscută, a căror soluție este și ea cunoscută. În unele cazuri este posibil calitate studiul unui model în care doar unele proprietăți ale soluției pot fi găsite în mod explicit.

Mod-e numeric folosește metodele de calcul ale matematicii și vă permite să obțineți doar soluții aproximative. Soluția problemei este mai puțin completă decât în ​​modul anal-m. Dezavantajul fundamental al mod-I zakl-Xia numeric în implementarea automată a metodei numerice selectate. Algoritmul de modelare reflectă metoda numerică într-o măsură mai mare decât caracteristicile modelului. Prin urmare, la schimbarea metodei numerice, este necesară relucrarea algoritmului de simulare.

Simulare mod- reproducerea pe calculator (imitare) a procesului de funcționare a sistemului studiat cu respectarea succesiunii logice și temporale a evenimentelor reale. Pentru imit-mod-i în mod caracteristic redarea evenimentului care apar în sistem (descris de model) cu lor structura logicași succesiune temporală. Vă permite să aflați date despre starea sistemului sau a elementelor sale individuale în anumite momente în timp. Modelarea prin simulare este similară cu studiul experimental al proceselor pe un obiect real, i.e. pe locație.

12. Obținerea numerelor aleatoare cu o lege de distribuție arbitrară prin metoda funcțiilor inverse. Md arr f-th este cea mai generală și universală modalitate de a obține numere care respectă o anumită lege. Metoda standard de modelare se bazează pe faptul că funcția de distribuție cumulativă
a oricărei variabile aleatoare continue este distribuită uniform în intervalul (0;1), adică. pentru orice variabilă aleatoare X cu densitate de distribuţie f(X) variabila aleatoare este distribuită uniform pe intervalul (0;1).

Apoi o variabilă aleatoare X cu o densitate de distribuție arbitrară f(X) poate fi calculată după următorul algoritm: 1. Este necesar să se genereze o variabilă aleatoare r (valoarea variabilei aleatoare R) distribuită uniform în intervalul (0;1). 2. Echivalează numărul aleator generat cu funcția de distribuție cunoscută F( X ) și obțineți ecuația
. 3. Rezolvând ecuația X=F -1 (r), găsim valoarea dorită X

Soluție grafică

.

Pe lângă întrebarea 11.

Să luăm în considerare un exemplu care caracterizează diferența dintre tipurile de modelare considerate.

Există un sistem format din trei blocuri.

Sistemul funcționează normal dacă cel puțin unul dintre blocurile 1 și 2 este în stare bună, precum și blocul 3 este în stare bună. Funcțiile de distribuție a timpului de funcționare a blocurilor f1(t), f2(t), f3(t) sunt cunoscute. Este necesar să se găsească probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului la momentul t.

Circuit logic echivalent

înseamnă că defecțiunea sistemului are loc atunci când circuitul este întrerupt. Aceasta are loc în următoarele cazuri:

blocurile 1 și 2 au eșuat, blocul 3 este deservit;

blocul 3 a eșuat, cel puțin unul dintre blocurile 1 și 2 este operațional.

Probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Această formulă stă la baza modelului matematic al sistemului.

Modelare analitică. Este posibil doar cu condiția ca toate integralele să fie exprimate în termeni de funcții elementare. Să presupunem că

Apoi
=
=
.

Având în vedere acest lucru, modelul (1) ia forma

Aceasta este expresia analitică explicită pentru probabilitatea dorită; este valabil numai sub ipotezele făcute.

Simulare numerica. Necesitatea acesteia poate apărea, de exemplu, atunci când se stabilește că integralele nu sunt definite (adică nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare). Necesitatea acesteia poate apărea, de exemplu, atunci când se stabilește că distribuțiile f1(t), f2(t), f3(t) respectă legea Gauss (normală):
.Pentru calcule conform formulei P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = pentru fiecare valoare de t ele trebuie determinate numeric, de exemplu, prin metoda trapezelor, Simpson, Gauss sau alte metode. Pentru fiecare valoare a lui t, calculele sunt efectuate din nou.

metoda dreptunghiului, metoda trapezului, metoda parabolelor. Cu metoda dreptunghiului, apare o eroare - inexactitatea calculelor. Dar poate fi împărțit în 2 sau mai multe intervale. Apar o mulțime de integrale, dar aici apare deja o eroare de rotunjire.

metoda Gauss

Metoda Monte Carlo

Modelare prin simulare. Imitația este o reproducere a evenimentelor care au loc în sistem, de exemplu. funcționarea corectă sau defecțiunea fiecărui element. Dacă timpul de funcționare a sistemului este t, iar ti este timpul de funcționare fără defecțiuni a elementului cu numărul i, atunci: evenimentul ti>t înseamnă funcționarea corectă a elementului în timpul (0; t];

evenimentul ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Rețineți că ti este o variabilă aleatoare distribuită conform legii fi(t), care este cunoscută prin condiție.

Simularea unui eveniment aleatoriu „funcționarea corectă a elementului k-lea în timpul (0; t]” este:

1) în obţinerea unui număr aleator ti distribuit conform legii fi(t);

2) în verificarea adevărului expresiei logice ti>t. Dacă este adevărat, atunci elementul i-lea funcționează, dacă este fals, a eșuat.

Algoritmul de simulare este următorul:

1. Se pune n=0, k=0. Aici n este contorul numărului de realizări (repetări) procesului aleator; k este contorul numărului de „reușite”.

2. Obțineți trei numere aleatoare t1,t2,t3, distribuite corespunzător conform legilor f1(t),f2(t),f3(t).

3. Verificați adevărul expresiei logice L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Dacă L=adevărat, atunci puneți k=k+1 și treceți la pasul 4, altfel treceți la pasul 4.

4. Pune n=n+1.

5.Dacă n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Subliniem încă o dată: Valoarea lui N este stabilită în avans din motive de asigurare a preciziei date cu privire la fiabilitatea estimării statistice a valorii dorite P(t).

Complexul Educațional Yalta „Școala-Liceul nr. 9”

Director adjunct pentru managementul resurselor de apăRomanova A.N.

„Modeling în lecțiile de matematică din școala elementară”

Atelier

Matematica ar trebui predată la școală

Stați, de asemenea, ca un scop, astfel încât cunoașterea,

cine ajunge aici ar fi

suficient pentru normal

nevoi în viață.

M. Lobaciovski

Planul de raportare

Noi linii directoare în educația matematică.

Bazele metodice ale modelării. Model matematic.

Utilizarea metodei modelării în lecțiile de matematică din școala elementară.

Familiarizarea elevilor cu tehnicile de modelare matematică.

Aplicarea modelării în rezolvarea ecuațiilor.

Modelarea în timpul rezolvării problemelor de text.

Utilizarea modelării în studiul numerotării, metodelor de adunare și scădere a numerelor, precum și în lucrul unităților de lungime.

Noi linii directoare în educația matematică. (5 minute)

Este bine cunoscut faptul că modelele sunt limbajul matematicii, iar modelarea este discursul lor. Succesul stăpânirii matematicii este determinat, în primul rând, de cât de bine a învățat copilul să-și „vorbească” limba. Acest lucru este determinat nu numai de succesul academic al studentului în rezolvarea sarcinilor științifice și cognitive, ci într-o măsură mai mare de succesul în viață al individului - datorităcapacitatea de a aplica metode matematice pentru rezolvarea sarcinilor practice, din viața reală, care necesită acest lucru. De acord, acesta este și un rezultat bun al predării matematicii la școală.

Îi învățăm elevilor noștri vorbire matematică? Sau poate considerăm aceasta o sarcină dificilă pentru o școală elementară? Sau doar sperăm că, în cursul rezolvării zilnice a exemplelor și problemelor, copiii înșiși vor învăța treptat să-l folosească?

Potrivit datelor de monitorizare din școlile din Kiev, precum și a datelor din monitorizarea întregii ucraineni, majoritatea elevilor (60% și, respectiv, 53%) nu știu să lucreze cu modele grafice gata făcute, să îndeplinească sarcini creative și să-și aplice cunoștințele în situații noi pentru a rezolva probleme.

Această stare a educației matematice a condus la necesitatea unei revizuiri semnificative a cerințelor statului pentru predarea matematicii către școlari. Noua ediție a „Standardului de stat...”, care a intrat în vigoare anul acesta. Din punctul de vedere al unei abordări orientate spre personalitate și pe competențe, reorientează de fapt activitatea profesorului.Competență - disponibilitatea cunoștințelor și experienței necesare pentru o activitate eficientă într-un domeniu dat . Să comparăm . În încăactual Standardul de stat precizează: „Studiul matematicii în școala elementară oferă elevilor cunoștințele, abilitățile și abilitățile necesare studierii ulterioare a matematicii și a altor discipline... Studiul matematicii contribuie la dezvoltarea abilităților cognitive ale elevilor mai tineri - memoria , gândire logică și creativă, imaginație, vorbire matematică.”În noua ediție a standardului de stat scopul în domeniul educațional „Matematica” a fost deja definit ca „formarea disciplinelor matematice și a competențelor cheie necesare autorealizării elevilor într-o lume în schimbare rapidă”. Competența matematică a subiectului este considerată „o educație personală care caracterizează capacitatea unui elev (elev) de a crea modele matematice ale proceselor lumii înconjurătoare, de a aplica experiența activității matematice în timp ce rezolvă probleme educaționale, cognitive și orientate practic”.

Prin urmare, stăpânirea vorbirii matematice - capacitatea de a construi modele matematice - devine scopul principal al predării matematicii, care se realizează prin formarea elevilor „capacității de a folosi terminologia matematică, semnele și informațiile grafice”.

Experiența pozitivă a predării elevilor modeling (și nu numai la lecțiile de matematică) acumulată de sistemul de educație pentru dezvoltare de către D.B. Elkonin - V.V. Davydov, a urmărit dezvoltarea unei activități de învățare cu drepturi depline pentru studenți, dintre care una este modelarea.

Formarea capacității de modelare a elevilor este unul dintre scopurile educației pentru dezvoltare, iar modelele pe care copiii le creează și le folosesc sunt, în primul rând, una dintre modalitățile de formare a abilităților de învățare (și nu doar o modalitate de vizualizare).

Sarcina seminarului nostru de astăzi este de a înțelege problemele modelării, de a arăta cum modelele pot fi folosite pentru a-i învăța pe elevii mai tineri să rezolve ecuații și probleme, proprietăți matematice, metode de adunare și scădere a numerelor.

2. Bazele metodice ale modelării. (8 min)

Modelarea este unul dintre mijloacele de cunoaștere a realității. Modelul este folosit pentru a studia orice obiecte (fenomene, procese), pentru a rezolva diverse probleme și pentru a obține informații noi. Prin urmare, un model este un anumit obiect (sistem), a cărui utilizare servește la obținerea cunoștințelor despre un alt obiect (original).

Utilizarea simulării este luată în considerare în două aspecte:

în primul rând, modelarea servește drept conținut care ar trebui învățat de către copii ca urmare a procesului pedagogic;

în al doilea rând, modelarea este acțiunea și mijloacele educaționale fără de care învățarea cu drepturi depline este imposibilă.

Vizibilitatea modelelor se bazează pe următoarea regularitate importantă: crearea unui model se bazează pe crearea preliminară a unui model mental - imagini vizuale ale obiectelor care sunt modelate, adică subiectul creează o imagine mentală a acestui obiect și apoi (împreună cu copiii) construiește un model material sau figurativ (vizual). Modelele mentale sunt create de adulți și pot fi transformate în modele vizuale cu ajutorul anumitor acțiuni practice (la care pot participa și copiii), copiii pot lucra și cu modele vizuale deja create.

În lucrul cu copiii, puteți utiliza înlocuirea obiectelor: simboluri și semne, modele plane (planuri, hărți, desene, diagrame, grafice), modele tridimensionale, machete.

Utilizarea metodei de modelare ajută la rezolvarea unui set de sarcini foarte importante:

dezvoltarea creativității productive a copiilor;

dezvoltarea unor forme superioare de gândire figurativă;

aplicarea cunoștințelor dobândite anterior în rezolvarea problemelor practice;

consolidarea cunoștințelor matematice dobândite de copii mai devreme;

crearea condițiilor pentru cooperarea în afaceri;

activarea vocabularului matematic al copiilor;

dezvoltarea abilităților motorii fine ale mâinii;

obținerea de noi idei și abilități în procesul de muncă;

cea mai profundă înțelegere de către copii a principiilor muncii și a structurii originalelor cu ajutorul modelelor.

Modelul ne oferă nu doar posibilitatea de a crea o imagine vizuală a obiectului modelat, ci ne permite să creăm o imagine a celor mai semnificative proprietăți ale acestuia reflectate în model. Toate celelalte proprietăți neesențiale sunt eliminate la dezvoltarea modelului. Astfel, creăm o imagine vizuală generalizată a obiectului modelat.

Baza științifică a modelării este teoria analogiei, în care conceptul principal este - conceptul de analogie - asemănarea obiectelor în ceea ce privește caracteristicile lor calitative și cantitative. Toate aceste tipuri sunt unite prin conceptul de analogie generalizată - abstractizare. Analogia exprimă un tip aparte de corespondență între obiectele comparate, între model și original.

Modelarea este multifuncțională, adică este utilizată într-o varietate de moduri în scopuri diferite, la diferite niveluri (etape) de cercetare sau transformare. În acest sens, practica veche de secole de utilizare a modelelor a dat naștere unei abundențe de forme și tipuri de modele.

Luați în considerare clasificarea propusă de L. M. Fridman. Din punctul de vedere al gradului de claritate, el împarte toate modelele în două clase:

pasul 1. 1-2

· material (real, real);

· ideal.

La material modelele includ cele care sunt construite din orice obiecte materiale.

Pasul 2

Modelele de materiale, la rândul lor, pot fi împărțite înstatic (fix) șidinamic (de operare).

Pasul 3

Următorul tip de modele dinamice suntanalog și simulator , care reproduc cutare sau cutare fenomen cu ajutorul altuia, într-un fel mai convenabil. De exemplu, un astfel de model - un rinichi artificial - funcționează la fel ca un rinichi natural (viu), eliminând toxinele și alte produse metabolice din organism, dar, desigur, este aranjat complet diferit decât un rinichi viu.

Ideal modelele sunt de obicei împărțite în trei tipuri:

Pasul 4

· figurativ (simbolic);

· simbolic (semn-simbolic);

· mental (mental).

Clasificarea modelelor poate fi efectuată în funcție de diferite criterii:

1) prin natura modelelor (adică prin instrumente de modelare);

2) prin natura obiectelor simulate;

3) pe domenii de aplicare a modelării (modelare în inginerie, în științe fizice, în chimie, modelarea proceselor vii, modelarea psihicului etc.)

4) după niveluri („adâncime”) de modelare.

Cel mai faimos esteclasificarea după natura modelelor .

Pasul 5

Potrivit acesteia, următoareletipuri de modelare :

Pasul 6

1. Modelarea obiectelor , în care modelul reproduce caracteristicile geometrice, fizice, dinamice sau funcționale ale obiectului. De exemplu, un model de pod, un baraj, un model de aripă de avion etc.

Pasul 7

2. Simulare analogică , în care modelul și originalul sunt descrise printr-o singură relație matematică. Un exemplu sunt modelele electrice utilizate pentru studiul fenomenelor mecanice, hidrodinamice și acustice.

Pasul 8

3. Modelare iconică , în care modelele sunt formațiuni de semne de orice fel: diagrame, grafice, desene, formule, grafice, cuvinte și propoziții.

Pasul 9

4. Strâns legat de iconicmodelare mentală , în care modelele capătă un caracter vizual mental.

Pasul 10

5. Experiment simulat - un tip special de modelare în care nu se folosește obiectul în sine, ci modelul acestuia.

Scopul principal al modelării este de a identifica și fixa cele mai comune relații în subiectul pentru studiul său.

Metoda de modelare este o formațiune complexă, integratoare. Conform clasificării metodelor didactice de către N.G. Kazansky și T.S. Nazarova, metoda de modelare are o structură cu trei componente

Pasul 11(vezi diagrama). Astfel, în structura metodei de modelarePartea exterioară Este o formă concretă de interacțiune între profesor și elevi.Partea interioară - acesta este un ansamblu de tehnici educaționale generale (analiza, sinteză, generalizare etc.) și metode de lucru educațional.Latura tehnologica - acesta este un set de tehnici specifice acestei metode (analiza preliminară, construirea unui model, lucrul cu acesta, transferul de informații de la model la obiectul dorit - originalul).

Metoda de modelare

Partea exterioară

Partea interioară

Latura tehnologica

Forme:

expunere

conversaţie

muncă independentă

Esența psihologică:

mod dogmatic de muncă educațională;

metoda euristică a muncii educaţionale

metoda de cercetare a muncii educative

Entitate logica:

analitic;

sintetic;

inductiv;

deductiv;

analitic-sintetic

Tehnici de construire a unui model;

tehnici de transformare a modelului;

tehnici de specificare a modelului

Model matematic. Modelare matematică.

Un model matematic este o descriere aproximativă a unei clase de fenomene din lumea exterioară folosind simboluri matematice. De exemplu, relația dintre elementele A, B, C, este exprimată prin formula A + B = C - un model matematic.

Procesul de modelare matematică, i.e. studierea fenomenelor folosind modele matematice poate fi împărțită în patru etape.

Pasul 12

Primul stagiu - izolarea trăsăturilor esenţiale ale obiectului.

13.

Faza a doua - construirea modelului.

14 .

A treia etapă – cercetare model.

15 .

Etapa a patra -transferarea informatiilor obtinute asupra modelelor catre obiectul studiat.

Particularitatea modelării este că vizibilitatea nu este o simplă demonstrație a obiectelor naturale, ci stimulează activitatea practică independentă a copiilor.. Capacitatea studenților de a lucra cu modelul, transformarea acestuia pentru a studia proprietățile generale ale conceptelor studiate este una dintre sarcinile principale ale predării în toate disciplinele.

Pentru modelare sunt folosite diverse modele.obiecte matematice: formule numerice, tabele numerice, formule literale, funcții, ecuații algebrice, serii, figuri geometrice, diagrame diverse, diagrame Euler-Venn, grafice.

3. Utilizarea metodei modelării în lecțiile de matematică din școala elementară. (1,5 min)

Necesitatea studenților mai tineri de a stăpâni metoda modelării ca metodă de cunoaștere în procesul de învățare poate fi justificată din diferite poziții.

Pasul 16

În primul rând , aceasta contribuie la formarea unei viziuni dialectico-materialiste asupra lumii.

17.

În al doilea rând După cum arată experimentele, introducerea conceptelor de modelare și modelare în conținutul educației schimbă semnificativ atitudinea elevilor față de subiect, face activitățile lor de învățare mai semnificative și mai productive.

18.

În al treilea rând , pregătirea intenționată și sistematică în metoda modelării apropie studenții mai tineri de metodele cunoașterii științifice, asigură dezvoltarea lor intelectuală. Pentru a „înarma” elevii cu modelarea ca modalitate de cunoaștere, nu este suficient ca un profesor să le arate diferite modele științifice și să arate procesul de modelare a fenomenelor individuale. Este necesar ca școlarii înșiși să construiască modele, să studieze ei înșiși orice obiecte, fenomene cu ajutorul modelării. Atunci când elevii, rezolvând o problemă practică de matematică (parcelă), înțeleg că este un model simbolic al unei situații reale, alcătuiesc o succesiune a diferitelor sale modele, apoi studiază (rezolvă) aceste modele și, în final, traduc soluția rezultată în limbajul problemei inițiale, atunci cei mai mulți școlari stăpânesc metoda de modelare.

Familiarizarea elevilor cu tehnicile de modelare matematică. (10 minute)

Cunoscutul psiholog P. Galperin și colegii săi au elaborat o teorie a formării treptate a acțiunilor mentale. Potrivit acestei teorii, procesul de învățare este privit ca stăpânirea de către copil a unui sistem de acțiuni mentale, care are loc în procesul de interiorizare (tranziție în interior) și corespunde activității practice exterioare.

Copilul realizează acțiuni practice cu obiecte (întâi cu cele reale, apoi cu cele imaginare) - acțiuni obiective. De la ei, bazându-se mai întâi pe un desen de copiere, iar apoi pe modele de obiecte, trece la modele grafice. După introducerea semnelor matematice, literelor pentru a desemna cantități, elevul folosește formule pentru a descrie acțiuni, i.e. modele simbolic-litere, iar apoi modele verbale (definiții, reguli).

De exemplu, copiilor li se dă o sarcină practică specifică, care le cere să găsească două vase de același volum (diferite ca formă).Fotografie pasul 19

După aceea, copiii (și nu profesorul) efectuează acțiuni practice: turnați apă într-un borcan, turnați-o în altul. Dacă toată apa din primul a intrat în celălalt borcan, atunci volumele acestor borcane sunt egale. Este indicat să le oferi copiilor să ridice astfel de două benzi, cu ajutorul cărora poți spune despre relația dintre volume, forme - sunt la fel sau diferite. Dacă volumele borcanelor sunt aceleași, copiii trebuie să ridice două fâșii de aceeași lungime, iar dacă sunt diferite, atunci sunt diferite ca lungime.O fotografie

pasul 20

Pentru a aduce copiii la utilizarea unui model grafic, este din nou necesar să stabiliți o sarcină practică specifică: cu ajutorul unui desen, arătați că volumul unui borcan este mai mare decât celălalt. Experiența arată că copiii încep să deseneze forma conservelor, adică. faceți o copie a desenului, sau desenați dungi, cu care au arătat raportul dintre volumele de conserve.

După ce am discutat despre desene, concluzionăm: desenarea conservelor este o modalitate nereușită (desenele inexacte, raportul dintre volumele de conserve nu este afișat, lucrul durează mult timp). Dar dungile la copii sunt, de asemenea, diferite ca lățime și lungime, acest lucru necesită și mult timp.

Drept urmare, ajungem la concluzia că este mai convenabil să nu desenați deloc lățimea benzii, ci să desenați doar lungimea benzii (adică, segmente). Dacă mărimile (lungime, suprafață, masă, volum etc.) sunt aceleași, atunci au segmente de aceeași lungime, iar dacă nu sunt aceleași, atunci lungimea lor ar trebui să fie diferită.Fotografie într-un caiet. pasul 21.

Astfel, reprezentarea cantităților este introdusă folosind segmente. Copiii învață să desemneze schematic cantitățile și apoi construiesc modele grafice (liniare).

De asemenea, este oportună introducerea în clasa I a conceptelor de „întreg” și „parte” și dezvoltarea abilităților elevilor de a stabili relații între aceste concepte. Cum să scrieți în limbajul matematicii că, de exemplu, un măr este format din părți separate? Dacă mărul este întreg, îl vom nota cu un cerc și vom nota grămezile de măr cu triunghiuri și vom obține un astfel de model grafic.

Pasul 22Slide 7

+ + + =

Simplificați și aveți un model de bază:

pasul 23. + =

Întregul și părțile sunt termeni relativi. Principalele proprietăți ale acestei relații (pe mulțimea numerelor naturale): întregul nu poate fi mai mic decât partea, iar partea nu poate fi mai mare decât întregul; întregul este egal cu suma părților, iar partea este egală cu diferența dintre întreg și cealaltă parte

Pasul 24 = -

Toată lumea este conștientă de razele care sunt folosite în mod tradițional pentru a reprezenta compoziția unui număr.Pasul 25Slide 8

Deci, relația dintre părți și întreg poate fi afișată folosind notația grafică a semnelor:

Cupasul 26

A |____________|_____________|

B A B

Diagrama care descrie acțiunea de adunare, descrie în același timp și acțiunea inversă - scădere:

Pasul 27slide 9

Conceptul de parte și întreg face posibilă introducerea proprietăților comutative și asociative ale adunării cantităților.Slide 10, 11 (2 pași), 12

Pasul 28, 29, 30

Ca și în cazul adunării și scăderii, puteți folosi și simularea pentru a învăța înmulțirea și împărțirea.

În mod tradițional, înmulțirea este considerată ca adunare de termeni identici. Fie adăugată valoarea lui A de B ori:diapozitivul 13.

pasul 31.A+A+A+A+A = AxB

Formula A x B se citește astfel: „luați A pentru timp B” sau „A timp pentru A”,

Pasul 32unde A este partea (măsurarea), care ma a fost notat cu un triunghi.

B - numărul de părți egale (numărul de măsurători), îl putem nota cu un pătrat.

Pentru a desemna întregul, folosim aceeași pictogramă - un cerc.

Întregul este caracterizat ca rezultat al operației aritmetice de înmulțire a numerelor A și B.

X \u003d A x B \u003d C Schemă care descrie această acțiune:

|____|_А___|_____________|

Este clar că atunci când considerăm împărțirea ca o acțiune obiectivă care vizează împărțirea după conținut sau în părți egale, se va putea stabili o legătură între înmulțire și împărțire. Acum, pe lângă formula de înmulțirePasul 33Ah B \u003d C, obținem două diviziuni inversepasul 34.C: A = B șipasul 35. C: B \u003d A (cu forme geometrice). Aceasta înseamnă că un circuit de multiplicare este un circuit de divizare.

Aplicarea modelării în rezolvarea ecuațiilor. (10 minute)

Pentru alegerea corecta a unei metode de rezolvare a ecuatiilor este necesar sa se poata gasi relatia intregului si a partii.Cand se formeaza acest concept, copiii dobandesc capacitatea de a exprima intregul prin parti si parti prin tot. Stabilirea legăturilor între adunarea și scăderea cantităților pe baza conceptului de parte și întreg face posibilă compararea întregului cu suma și reducerea, părțile cu termenii sau scăderea și diferența și să vedem că diferite acțiuni: A + B \u003d C, C-A \u003d B sau C-B=A - caracterizează aceeași relație între cantități.

Găsirea necunoscutului la rezolvarea ecuațiilor ajută nu numai regulile, ci și relația dintre părți și întreg, prezentată sub forma unui model grafic.Slide 14 pasul 36.

Algoritmul de lucru pentru învățarea rezolvării ecuațiilor este următorul:

Desenăm schema ecuației. X +5 = 12pasul 37.

Găsim întregul și părțile mai întâi în diagramă, apoi în ecuație (subliniat)

Numim componenta necunoscută. Aflăm ce este: un întreg sau o parte.

Analizăm cum vom găsi valoarea necunoscută.

GăsimX. pasul 38, 39

Schema construită poate fi utilizată la rezolvarea ecuației de scădere. 12 - x \u003d 5, deoarece circuitul care descrie acțiunea de adunare este în același timp un circuit pentru scădere. Exemple de fotografii dintr-un caiet

Slide-urile 15,16 (+1 pas ), 17, 18.

Etapa, 40, 41, 41-a, 42,43

Sarcina este să răspândești aceste ecuații în diagrame și să faci o expresie

diapozitivul 19 pasul 44, 45. 44-a, 45-b

Simularea este utilizată în mod similar atunci când se rezolvă ecuații pentru găsirea unui factor necunoscut, divizor și dividend.

Slide 20( 8 pași ) pasul 46.

Este recomandabil, la stabilirea conexiunii dintre înmulțire și împărțire, să introduceți conceptul de zonă, formula pentru găsirea ariei dreptunghiului și găsirea laturii necunoscute.Slide 21 (1 pas)

Exemplu de ecuație. Slide 22 ( 4 pași)

Agoritmul pentru rezolvarea ecuațieislide 23 .

Deoarece circuitul de multiplicare este un circuit de divizare, dintr-o ecuație se pot face două ecuații de divizare. Zona este întregul, iar lungimea și lățimea laturilor sunt părțile.

În plus, modelarea oferă o oportunitate de a diversifica munca creativă asupra ecuațiilor. Deci, profesorul poate oferi următoarele tipuri de sarcini:

slide 24

Scrieți și rezolvați o ecuație folosind diagrama.Pasul 48

Slide 25 ( decide cu invitatii )

(sunt date mai multe ecuații și o diagramă) În care ecuație se potrivește această diagramă? Găsiți și decideți.Pasul 49

Slide 26, 27. 28, 29.

Rezolvați ecuații în timp ce numărați. Pasul 50, 51, 52,53

Slide 30 (10 pași), 31

Întocmirea condiţiilor problemei după schema ecuaţiei.

Noua prezentare. (Atelierul 2)

Modelarea în timpul rezolvării problemelor de text (18 min)

slide 1

Nu se poate decât să fie de acord cu opinia că educația modernă este capacitatea unui student de a privi o situație reală, de viață din postura de fizician, chimist, istoric, geograf, deloc pentru a deveni cercetător în acest domeniu, dar pentru a găsi ulterior o soluţie în situaţii specifice de viaţă.

Un student junior poate deveni un adevărat cercetător rezolvând probleme de cuvinte atunci când predă matematică elevilor mai tineri.

unu una dintre aceste abordări este formarea la elevi a capacității de a rezolva probleme de un anumit tip (de exemplu, rezolvarea de probleme pentru comparație diferențială etc., atunci când se elaborează un anumit tip de problemă).O alta se bazează pe utilizarea analizei semantice și matematice a problemelor de text, atunci când problema este analizată de la date la scop (metoda sintetică) și de la scop la date (analitică).A treia abordare pe baza metodei de rezolvare a problemelor educaţionale. Formarea acţiunii de modelare presupune o formare diferită calitativ a capacităţii de rezolvare a problemelor de text.

Problemele aritmetice și algebrice din literatură se mai numesc și probleme de plot, deoarece. au întotdeauna o descriere verbală a unui eveniment, fenomen, acțiune, proces. Textul oricărei sarcini de plot poate fi recreat într-un mod diferit (obiectiv, grafic, folosind tabele, formule etc.), iar aceasta este trecerea de la modelarea verbală la alte forme de modelare. Prin urmare, în lucrul la probleme, acordăm o mare atenție construcției de modele schematice și simbolice, precum și capacității de a lucra cu segmente, de a modela grafic o problemă de text cu ajutorul lor, de a ridica o întrebare, de a determina algoritmul de soluție și de a căuta un raspuns. Studentul mai tânăr, după cum știți, nu are un nivel suficient de gândire abstractă. Iar sarcina noastră este tocmai să-l învățăm progresiv să reprezinte obiecte specifice sub forma unui model simbolic, să-l ajutăm să învețe cum să traducă o problemă de text în limbaj matematic. Credem că este modelarea grafică a unei probleme de text și, cel mai important, cea care oferă o oportunitate reală de a vedea vizual și de a determina algoritmul pentru rezolvarea acesteia, pentru a realiza o reflectare independentă a sarcinii finalizate.

Dar nu fiecare intrare va fi un model de sarcină. Pentru a construi un model, pentru transformarea lui ulterioară, este necesar să se selecteze în sarcinățintă, valori date, toate rapoartele, astfel încât, pe baza acestui model, puteți continua analiza, permițându-vă să avansați în soluție și să căutați soluții optime. Rezolvarea oricărei probleme într-un mod aritmetic este asociată cu alegerea unei operații aritmetice, în urma căreia este posibil să se dea un răspuns la întrebarea pusă. Pentru a facilita căutarea unui model matematic, este necesară utilizarea unui model auxiliar.slide 2 (cunoașterea componentelor din clasa 1).

Pentru a recrea situația în starea problemei, puteți folosi un desen schematic care ar asigura o trecere de la textul problemei la corelarea unei anumite operații aritmetice asupra numerelor, care contribuie la formarea unei asimilari conștiente și puternice. a metodei generale de lucru asupra problemei. Acest model permite elevului să-și formeze capacitatea de a explica cum a obținut răspunsul la întrebarea problemei. Dar un model schematic este eficient doar dacă este înțeles de fiecare elev și s-au dezvoltat abilitățile de a traduce modelul verbal în limbajul diagramei. Când se învață să rezolve probleme simple de adunare și scădere, se introduc conceptele: întreg, parte și raportul lor.Slide 3. (2 pași)

Pentru a găsi o parte, trebuie să scădeți o altă parte din întreg.

Pentru a găsi întregul, trebuie să adăugați părțile.

Când învățați să rezolvați probleme simple de înmulțire și împărțire, sunt oferite o schemă și reguli corespunzătoare:

Pentru a găsi întregul, trebuie să înmulțiți măsura cu numărul de măsuri.

Pentru a găsi o măsurătoare, trebuie să împărțiți numărul întreg la numărul de măsurători.

Pentru a afla numărul de măsuri, trebuie să împărțiți numărul întreg la măsură.

slide 4. (3 pași)

Această abordare a învățării vă permite să vă îndepărtați de vechea clasificare a sarcinilor simple. Este important să descrieți datele și ceea ce se caută în așa fel încât dependențele dintre cantități să fie suficient de clare. Luat în considerare în problemă și relațiile lor.

Ca exemplu, voi da mai multe probleme de text și soluțiile acestora folosind modele grafice.

Sarcina 1Slide 5. (5 pași)

În acvariu sunt 4 pești mari și 5 mici. Câți pești sunt în acvariu?

Exerciții de compilare a problemelor și a expresiilor din imagini (probleme inverse)slide 6. ( 8 pași)Slide 7.

Sarcina 2Slide 8

Lena are 5 pere. Și Misha are 4 mai multe decât Lena. Câte pere are Misha?

Un exemplu de sarcină pentru compilarea sarcinilor dintr-o imagine și înregistrarea unei soluții.slide 9.

Sarcina 3slide 10. (5 pași)

Lena are 10 pere. Asta înseamnă cu 3 mai mult decât piersici. Câte piersici are Lena?

Sarcina 4.diapozitivul 11 (4 pași).

Sasha a cumpărat 5 caiete pentru 8 grivne și un album pentru desen pentru 33 grivne. Câți bani a plătit Sasha pentru achiziție?

Prețul unui notebook este de 8 UAH - acesta este un singur segment (măsurare). Numărul de segmente individuale (5) indică numărul de caiete. A doua parte a segmentului reflectă prețul (UAH 33) și numărul (1) de albume.

Sarcina 5.slide 12 (7 pași).Două moduri de a complot. Două soluții

Uzina are nevoie de 90 de muncitori: 50 de strungari, 10 lăcătuși, restul sunt încărcătoare. Cati mutatori sunt necesare?

diapozitivul 13 (3 pași)alcătuirea unei probleme inverse. STOP

Modalități de a lucra la sarcini.

În etapa de familiarizare folosesc următoarele metode:

Explicația fiecărei părți componente a modelului.

Instrucțiuni pentru construirea unui model.

Modelarea pe întrebări principale și implementarea etapizată a schemei.

În etapa de înțelegere a unui desen schematic, folosesc următoarele tehnici:

Formularea textului sarcinii conform plotului și schemei segmentare propuse.

Corelarea schemei și expresiei numerice.

Completarea schemei - spații libere cu date de sarcină.

Găsirea greșelilor la completarea diagramei.

Selectarea unei scheme pentru sarcină.

Selectarea unei sarcini pentru schemă.

Adăugarea condițiilor problemei.

Schimbarea schemei.

Modificarea condițiilor sarcinii.

Modificarea textului sarcinii.

Rezultatul învățării de a construi și înțelege un desen schematic este modelarea independentă a sarcinilor de către elevi.

Când rezolvăm probleme de text, lucrăm la formarea acțiunii de modelare și invers, cu cât copilul stăpânește mai bine acțiunea de modelare, cu atât îi este mai ușor să rezolve problemele.

Elevii ar trebui să fie introduși în diverse metode de rezolvare a problemelor text: aritmetică, algebrică, geometrică, logică și practică; cu diferite tipuri de modele matematice care stau la baza fiecărei metode; precum şi cu diverse soluţii în cadrul metodei alese. Rezolvarea problemelor de text oferă un material bogat pentru dezvoltarea și educarea elevilor. Notele scurte ale condițiilor problemelor de text sunt exemple de modele utilizate în cursul inițial de matematică. Metoda de modelare matematică vă permite să învățați școlari:

a) analiză (în stadiul de percepere a problemei și de alegere a modului de implementare a soluției);

b) stabilirea de relaţii între obiectele problemei, construirea celei mai adecvate scheme de soluţionare;

c) interpretarea soluţiei obţinute pentru problema iniţială;

d) întocmirea sarcinilor după modele gata făcute etc.

Lucrări de prezentare a sarcinilorDiapozitive15-22 .

Combinatorică pe modele din clasa 1

Clasa 2

Aranjați numerele 4, 6, 8 în moduri diferite:

În clasele 3-4

Copac (36 de cine)

Fotografie din caiet

Folosirea simulării pentru a învăța numerotarea, a adăuga și a scădea numere și a lucra la unitățile de lungime (5 min)

Capacitatea de a converti numerele în unități de cont și unități de măsură provoacă cel mai adesea unele dificultăți. Și aici este recomandabil să folosiți metoda de modelare pentru a ajuta. Studiind concentricul „Zece”, copiii învață să descrie schematic unități folosind puncte.slide 25. Învață să adunăm și să scazi pe modele.slide 26. (7 pași)slide 27.

Studiind „Suta” copiii reprezintă zeci cu ajutorul unor triunghiuri mici. Ei învață să convertească numerele în unități de numărare (zecimale și unități) și în paralel cu aceasta, copiii se familiarizează cu centimetrul și decimetrul. Acest lucru vă permite să faceți o analogie în conversia unităților de lungime. Ei învață, de asemenea, cum să adauge numere din două cifre pe diagramele numerice.Slide 28

Studiind „Mia” copiii vor învăța că în mod convențional vom descrie 10 triunghiuri (zeci) ca un triunghi mare (o sută). În paralel, copiii învață o nouă unitate de lungime - metrul. Prin conversia numerelor în unități de numărare, facem o treabă similară cu unitățile de lungime.slide 29, exemplu pentru numărul 342slide 30 (5 pași)

Exemplu pentru numărul 320Slide 31 (6 pași)

Exemplu pentru numărul 302slide 32 (8 pași)

Algoritmi.Slide-urile 33 și 34(7 pași)

Recomandări pentru utilizarea metodei modelării în lecțiile de matematică (3 min)

Trebuie înțeles că modelarea în predare nu este de dorit, ci necesară, deoarece creează condiții pentru stăpânirea deplină și puternică a metodelor de cunoaștere și a metodelor de activitate de învățare de către elevi.

Principalele obiective ale modelării în lecție sunt:

construirea unui model ca modalitate de a construi un nou mod de a face lucrurile.

invatarea construirii unui model bazat pe analiza principiilor, metodelor de construire a acestuia.

Amintiți-vă că primele lecții legate de modelare, de fapt, sunt lecțiile de stabilire a unei sarcini de pregătire și practică. Problema care se pune la copii constă în faptul că aceștia nu au suficiente modalități de a manifesta o atitudine generală. De fiecare dată când apare o nouă situație practică, copiii definesc noi relații - și din nou se pune întrebarea cum să o transmită grafic.

Astfel de „sarcini abstracte” precum desenarea unei diagrame conform unei formule, stabilirea unei relații între cantitățile care fac parte din mai multe formule etc. oferă atunci când relația este investigată, conștientă și afișată în semne, diagrame în mod repetat. În spatele modelului, fiecare copil ar trebui să aibă acțiuni cu obiecte reale pe care acum este capabil să le realizeze în imaginația sa (acțiuni mentale).

Locul modelului pentru copil este determinat în funcție de sarcină

O acțiune poate fi însoțită de un model. De exemplu, dacă construcția metodei este mai ușor de realizat pe model, ca etapă de lucru asupra unei sarcini de text (relațiile dintre cantități sunt afișate schematic în timpul citirii).

Modelul este construit după finalizarea acțiunilor. Pentru a realiza acțiunea efectuată este necesară construirea unei diagrame a unei relații separate. Construcția schemei este motivată de întrebări precum: „Cum ai făcut-o?”, „Cum i-ai învăța pe alții să îndeplinească astfel de sarcini?

Și încă câteva sfaturi.

Trebuie să începeți cu studiul literaturii speciale. De exemplu, aceasta este o metodologie de predare a matematicii în clasele primare și manuale de E. Alexandrova, L. Peterson.

La întâlnirile părinți-profesori, asigurați-vă că îi familiarizați pe părinți cu metoda de predare a copiilor lor. Sfaturile și instrucțiunile dvs. pot fi utile.

Folosiți orice ocazie pentru a deveni participant la cursuri de master în modelare matematică.

Unde te invit?