Dacă accelerația unui punct material este în orice moment zero, atunci viteza mișcării acestuia este constantă ca mărime și direcție. Traiectoria în acest caz este o linie dreaptă. Mișcarea unui punct material în condițiile formulate se numește rectilinie uniformă. Cu mișcarea rectilinie, componenta centripetă a accelerației este absentă și, deoarece mișcarea este uniformă, componenta tangențială a accelerației este zero.

Dacă accelerația rămâne constantă în timp (), atunci mișcarea se numește la fel de variabilă sau neuniformă. Mișcarea la fel de variabilă poate fi uniform accelerată dacă a > 0 și la fel de lentă dacă a< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

unde v o - viteza inițială la t=0, v - viteza la momentul t.

Conform formulei (1.4) ds = vdt. Apoi

Deoarece pentru mișcarea uniformă a=const, atunci

(1.8)

Formulele (1.7) și (1.8) sunt valabile nu numai pentru mișcarea rectilinie uniform variabilă (neuniformă), ci și pentru căderea liberă a unui corp și pentru mișcarea unui corp aruncat în sus. În ultimele două cazuri, a \u003d g \u003d 9,81 m / s 2.

Pentru mișcarea rectilinie uniformă v = v o = const, a = 0, iar formula (1.8) ia forma s = vt.

Mișcarea circulară este cel mai simplu caz de mișcare curbilinie. Viteza v de mișcare a unui punct material de-a lungul unui cerc se numește liniară. Cu o viteză liniară modulo constantă, mișcarea într-un cerc este uniformă. Nu există o accelerație tangențială a unui punct material în timpul mișcării uniforme de-a lungul unui cerc și t \u003d 0. Aceasta înseamnă că nu există nicio modificare a vitezei modulo. Modificarea vectorului viteză liniară în direcție este caracterizată de accelerație normală și n ¹ 0. În fiecare punct al traiectoriei circulare, vectorul a n este direcționat de-a lungul razei către centrul cercului.

și n \u003d v 2 / R, m / s 2. (1,9)

Accelerația rezultată este într-adevăr centripetă (normală), deoarece la Dt->0 Dj tinde și spre zero (Dj->0) iar vectorii și vor fi direcționați de-a lungul razei cercului către centrul său.

Împreună cu viteza liniară v, mișcarea uniformă a unui punct material de-a lungul unui cerc este caracterizată de o viteză unghiulară. Viteza unghiulară este raportul dintre unghiul de rotație Dj al vectorului rază și intervalul de timp în care a avut loc această rotație,

Rad/s (1,10)

Pentru mișcarea neuniformă, se folosește conceptul de viteză unghiulară instantanee

.

Intervalul de timp t, în care punctul material face o rotație completă în jurul circumferinței, se numește perioadă de rotație, iar inversul perioadei este frecvența de rotație: n \u003d 1 / T, s -1.

Pentru o perioadă, unghiul de rotație al vectorului rază al unui punct material este 2π rad, prin urmare, Dt \u003d T, de unde perioada de rotație, iar viteza unghiulară este o funcție a perioadei sau frecvenței de rotație

Se știe că la mișcarea uniformă a unui punct material de-a lungul unui cerc, traseul parcurs de acesta depinde de timpul de mișcare și de viteza liniară: s = vt, m. Calea pe care o parcurge un punct material de-a lungul unui cerc cu raza R. , pentru o perioadă, este egal cu 2πR. Timpul necesar pentru aceasta este egal cu perioada de rotație, adică t \u003d T. Și, prin urmare,

2πR = vT, m (1,11)

și v = 2nR/T = 2πnR, m/s. Deoarece unghiul de rotație al vectorului rază al unui punct material în perioada de rotație T este egal cu 2π, atunci, pe baza (1.10), cu Dt = T, . Înlocuind în (1.11), obținem și de aici găsim relația dintre viteza liniară și cea unghiulară

Viteza unghiulară este o mărime vectorială. Vectorul viteză unghiulară este direcționat din centrul cercului de-a lungul căruia punctul material se mișcă cu viteza liniară v, perpendicular pe planul cercului după regula șurubului drept.

Cu mișcarea neuniformă a unui punct material de-a lungul unui cerc, vitezele liniare și unghiulare se modifică. Prin analogie cu accelerația liniară, în acest caz, se introduce conceptul de accelerație unghiulară medie și instantanee: . Relația dintre accelerațiile tangențiale și unghiulare are forma .

Acțiunea unei forțe asupra unui corp în unele cazuri poate duce la o modificare numai a modulului vectorului viteză al acestui corp, iar în altele - la o schimbare a direcției vitezei. Să arătăm asta cu exemple.

Figura 34, a prezintă o minge întinsă pe masă în punctul A. Bila este legată de unul dintre capetele cordonului de cauciuc. Al doilea capăt al șnurului este atașat de masă în punctul O. Dacă mingea este mutată în punctul B, șnurul se va întinde. În acest caz, în el va apărea o forță elastică F, care acționează asupra mingii și tinde să o readucă în poziția inițială.

Dacă acum eliberăm mingea, atunci sub acțiunea forței F aceasta va accelera spre punctul A. În acest caz, viteza mingii în orice punct al traiectoriei (de exemplu, în punctul C) este co-direcționată cu forţa elastică şi acceleraţia rezultată din acţiunea acestei forţe. În acest caz, se modifică doar modulul vectorului viteză al mingii, în timp ce direcția vectorului viteză rămâne neschimbată, iar mingea se mișcă în linie dreaptă.

Orez. 34. Dacă viteza corpului și forța care acționează asupra acestuia sunt direcționate de-a lungul unei linii drepte, atunci corpul se mișcă rectiliniu, iar dacă sunt direcționate de-a lungul unor linii care se intersectează, corpul se mișcă curbiliniu

Acum luați în considerare un exemplu în care, sub acțiunea unei forțe elastice, mingea se mișcă curbiliniu (adică, traiectoria mișcării sale este o linie curbă). Figura 34, b prezintă aceeași minge pe un cordon de cauciuc, situat în punctul A. Să împingem mingea în punctul B, adică să-i dăm o viteză inițială direcționată perpendicular pe segmentul O A. Dacă asupra mingii nu a acționat nicio forță, atunci ar reține mărimea și direcția vitezei rezultate (amintiți-vă de fenomenul de inerție). Dar, deplasându-se în punctul B, mingea se îndepărtează de punctul O și întinde ușor cordonul. Prin urmare, în cordon ia naștere o forță elastică F, căutând să o scurteze la lungimea inițială și, în același timp, să apropie mingea de punctul O. Ca urmare a acestei forțe, direcția vitezei mingii în fiecare moment al acesteia. mișcarea se modifică ușor, deci se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbilinii AC. În orice punct al traiectoriei (de exemplu, în punctul C), viteza bilei v și forța F sunt direcționate de-a lungul unor linii care se intersectează: viteza este tangențială la traiectorie, iar forța este îndreptată către punctul O.

Exemplele luate în considerare arată că acțiunea unei forțe asupra unui corp poate duce la rezultate diferite în funcție de direcția vectorilor viteză și forță.

Dacă viteza corpului și forța care acționează asupra acestuia sunt direcționate de-a lungul unei linii drepte, atunci corpul se mișcă rectiliniu, iar dacă sunt direcționate de-a lungul unor linii care se intersectează, atunci corpul se mișcă curbiliniu.

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă corpul se mișcă curbiliniu, atunci aceasta înseamnă că un fel de forță acționează asupra lui, schimbând direcția vitezei, iar în fiecare punct forța și viteza sunt direcționate de-a lungul liniilor drepte care se intersectează.

Există nenumărate traiectorii curbilinii diferite. Dar adesea linii curbe, cum ar fi linia ABCDEF (Fig. 35), pot fi reprezentate ca un set de arce de cercuri cu raze diferite.

Orez. 35. Traiectoria ABCDEF poate fi reprezentată ca un set de arce de cerc de diferite raze

Prin urmare, în multe cazuri, studiul mișcării curbilinii a unui corp se reduce la studiul mișcării sale într-un cerc.

Întrebări

1. Luați în considerare Figura 34 și răspundeți la întrebările: sub influența cărei forțe dobândește mingea viteza și se deplasează din punctul B în punctul A? Ce a cauzat această putere? Care este direcția accelerației, viteza mingii și forța care acționează asupra acesteia? Care este traiectoria mingii?
2. Luați în considerare Figura 34, C răspundeți la întrebările: de ce a apărut forța elastică în cordon și cum este direcționată în raport cu cordonul în sine? Ce se poate spune despre direcția vitezei mingii și forța elastică a cordonului care acționează asupra acesteia? Cum se mișcă mingea - dreaptă sau curbă?
3. În ce condiții se mișcă un corp rectiliniu sub acțiunea unei forțe și în ce condiții se mișcă curbiliniu?

Exercițiul 17

Cu ajutorul acestei lecții, veți putea studia în mod independent subiectul „Mișcare rectilinie și curbilinie. Mișcarea unui corp într-un cerc cu o viteză modulo constantă. În primul rând, caracterizăm mișcarea rectilinie și curbilinie luând în considerare modul în care, în aceste tipuri de mișcare, vectorul viteză și forța aplicată corpului sunt legate. În continuare, luăm în considerare un caz special când corpul se mișcă de-a lungul unui cerc cu o viteză modulo constantă.

În lecția anterioară, am luat în considerare aspecte legate de legea gravitației universale. Tema lecției de astăzi este strâns legată de această lege, ne vom referi la mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc.

Mai devreme am spus asta mișcare - aceasta este o schimbare în timp a poziției unui corp în spațiu față de alte corpuri. Mișcarea și direcția mișcării sunt caracterizate, printre altele, de viteză. Modificarea vitezei și tipul de mișcare în sine sunt asociate cu acțiunea unei forțe. Dacă o forță acționează asupra unui corp, atunci corpul își schimbă viteza.

Dacă forța este îndreptată paralel cu mișcarea corpului, atunci o astfel de mișcare va fi direct(Fig. 1).

Orez. 1. Mișcare rectilinie

curbilinii va exista o astfel de mișcare atunci când viteza corpului și forța aplicată acestui corp sunt direcționate una față de cealaltă la un anumit unghi (fig. 2). În acest caz, viteza își va schimba direcția.

Orez. 2. Mișcare curbilinie

Deci, la mișcare rectilinie vectorul viteză este direcționat în aceeași direcție cu forța aplicată corpului. DAR mișcare curbilinie este o astfel de mișcare atunci când vectorul viteză și forța aplicată corpului sunt situate la un anumit unghi unul față de celălalt.

Luați în considerare un caz special de mișcare curbilinie, când corpul se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă în valoare absolută. Când un corp se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă, se schimbă doar direcția vitezei. Modulo rămâne constant, dar direcția vitezei se schimbă. O astfel de schimbare a vitezei duce la prezența unei accelerații în corp, care se numește centripetă.

Orez. 6. Mișcarea de-a lungul unui traseu curbat

Dacă traiectoria mișcării corpului este o curbă, atunci aceasta poate fi reprezentată ca un set de mișcări de-a lungul arcurilor de cerc, așa cum se arată în Fig. 6.

Pe fig. 7 arată cum se modifică direcția vectorului viteză. Viteza în timpul unei astfel de mișcări este direcționată tangențial la cercul de-a lungul arcului căruia se mișcă corpul. Astfel, direcția sa este în continuă schimbare. Chiar dacă viteza modulo rămâne constantă, o modificare a vitezei duce la o accelerație:

În acest caz accelerare va fi îndreptată spre centrul cercului. De aceea se numește centripet.

De ce accelerația centripetă este îndreptată spre centru?

Amintiți-vă că, dacă un corp se mișcă pe o cale curbă, atunci viteza lui este tangențială. Viteza este o mărime vectorială. Un vector are o valoare numerică și o direcție. Viteza în care corpul se mișcă își schimbă continuu direcția. Adică, diferența de viteze în diferite momente de timp nu va fi egală cu zero (), spre deosebire de o mișcare uniformă rectilinie.

Deci, avem o schimbare de viteză într-o anumită perioadă de timp. Relația cu este accelerația. Ajungem la concluzia că, chiar dacă viteza nu se modifică în valoare absolută, un corp care realizează mișcare uniformă într-un cerc are o accelerație.

Unde este îndreptată această accelerație? Luați în considerare fig. 3. Un corp se mișcă curbiliniu (în arc). Viteza corpului în punctele 1 și 2 este tangențială. Corpul se mișcă uniform, adică modulele vitezelor sunt egale: , dar direcțiile vitezelor nu coincid.

Orez. 3. Mișcarea corpului în cerc

Scădeți viteza din și obțineți vectorul. Pentru a face acest lucru, trebuie să conectați începuturile ambilor vectori. În paralel, mutăm vectorul la începutul vectorului. Construim până la un triunghi. A treia latură a triunghiului va fi vectorul diferenței de viteză (Fig. 4).

Orez. 4. Vector diferență de viteză

Vectorul este îndreptat spre cerc.

Se consideră un triunghi format din vectorii viteză și vectorul diferențelor (Fig. 5).

Orez. 5. Triunghi format din vectori viteză

Acest triunghi este isoscel (modulele de viteză sunt egale). Deci unghiurile de la bază sunt egale. Să scriem ecuația pentru suma unghiurilor unui triunghi:

Aflați unde este direcționată accelerația într-un punct dat al traiectoriei. Pentru a face acest lucru, începem să aducem punctul 2 mai aproape de punctul 1. Cu o astfel de diligență nelimitată, unghiul va tinde spre 0, iar unghiul - spre. Unghiul dintre vectorul de schimbare a vitezei și vectorul viteză în sine este . Viteza este direcționată tangențial, iar vectorul de schimbare a vitezei este îndreptat spre centrul cercului. Aceasta înseamnă că accelerația este îndreptată și spre centrul cercului. De aceea se numește această accelerație centripetă.

Cum să găsești accelerația centripetă?

Luați în considerare traiectoria pe care se mișcă corpul. În acest caz, acesta este un arc de cerc (Fig. 8).

Orez. 8. Mișcarea corpului în cerc

Figura prezintă două triunghiuri: un triunghi format din viteze și un triunghi format din raze și vectorul deplasare. Dacă punctele 1 și 2 sunt foarte apropiate, atunci vectorul deplasare va fi același cu vectorul cale. Ambele triunghiuri sunt isoscele cu aceleași unghiuri de vârf. Deci triunghiurile sunt asemănătoare. Aceasta înseamnă că laturile corespunzătoare ale triunghiurilor sunt în același raport:

Deplasarea este egală cu produsul dintre viteză și timp: . Înlocuind această formulă, puteți obține următoarea expresie pentru accelerația centripetă:

Viteză unghiulară notat cu litera greacă omega (ω), indică în ce unghi se rotește corpul pe unitatea de timp (Fig. 9). Aceasta este mărimea arcului, în grade, străbătută de corp într-un anumit timp.

Orez. 9. Viteza unghiulară

Rețineți că dacă un corp rigid se rotește, atunci viteza unghiulară pentru orice puncte de pe acest corp va fi o valoare constantă. Punctul este mai aproape de centrul de rotație sau mai departe - nu contează, adică nu depinde de rază.

Unitatea de măsură în acest caz va fi fie grade pe secundă (), fie radiani pe secundă (). Adesea, cuvântul „radian” nu este scris, ci simplu scris. De exemplu, să aflăm care este viteza unghiulară a Pământului. Pământul face o rotație completă într-o oră, iar în acest caz putem spune că viteza unghiulară este egală cu:

De asemenea, acordați atenție relației dintre vitezele unghiulare și cele liniare:

Viteza liniară este direct proporțională cu raza. Cu cât raza este mai mare, cu atât viteza liniară este mai mare. Astfel, îndepărtându-ne de centrul de rotație, ne creștem viteza liniară.

Trebuie remarcat faptul că mișcarea într-un cerc cu o viteză constantă este un caz special de mișcare. Cu toate acestea, mișcarea circulară poate fi, de asemenea, neuniformă. Viteza se poate schimba nu numai în direcție și rămâne aceeași în valoare absolută, ci și în valoarea sa, adică, pe lângă schimbarea direcției, există și o schimbare a modulului de viteză. În acest caz, vorbim despre așa-numita mișcare circulară accelerată.

Ce este un radian?

Există două unități de măsură pentru unghiuri: grade și radiani. În fizică, de regulă, măsura radianilor unui unghi este cea principală.

Să construim un unghi central, care se bazează pe un arc de lungime.

mișcare mecanică. Relativitatea mișcării mecanice. Sistem de referință

Mișcarea mecanică este înțeleasă ca o schimbare în timp a poziției relative a corpurilor sau a părților lor în spațiu: de exemplu, mișcarea corpurilor cerești, fluctuațiile scoarței terestre, curenții de aer și marini, mișcarea aeronavelor și vehiculelor, mașinilor și mecanisme, deformarea elementelor și structurilor structurale, lichide și gaze de mișcare etc.

Relativitatea mișcării mecanice

Suntem familiarizați cu relativitatea mișcării mecanice încă din copilărie. Așadar, stând într-un tren și urmărind un tren care se îndepărtează, care stătea anterior pe o cale paralelă, adesea nu putem determina care dintre trenuri a început de fapt să se miște. Și aici ar trebui clarificat imediat: să se mute în raport cu ce? Referitor la Pământ, desigur. Pentru că am început să ne mișcăm față de trenul vecin, indiferent care dintre trenuri și-a început mișcarea față de Pământ.

Relativitatea mișcării mecanice constă în relativitatea vitezei de mișcare a corpurilor: vitezele corpurilor în raport cu diferite sisteme de referință vor fi diferite (viteza unei persoane care se deplasează într-un tren, vapor, avion va diferi atât ca mărime, cât și ca direcție, în funcție de sistemul de referință sunt determinate aceste viteze: în cadrul de referință asociat unui vehicul în mișcare, sau cu un Pământ staționar).

De asemenea, traiectoriile mișcării corpului în diferite cadre de referință vor fi diferite. Deci, de exemplu, picăturile de ploaie care cad vertical pe pământ vor lăsa o urmă sub formă de jeturi oblice pe geamul unui tren care se grăbește. În același mod, orice punct de pe elicea rotativă a unei aeronave zburătoare sau a unui elicopter care coboară la sol descrie un cerc în raport cu avionul și o curbă mult mai complexă - o spirală în raport cu Pământul. Astfel, în mișcarea mecanică, traiectoria mișcării este și ea relativă.

Calea parcursă de corp depinde și de cadrul de referință. Revenind la același pasager așezat în tren, înțelegem că distanța parcursă de acesta față de tren în timpul călătoriei este egală cu zero (dacă nu s-a deplasat în jurul vagonului) sau, în orice caz, mult mai mică decât distanța. pe care l-a acoperit împreună cu trenul în raport cu Pământul. Astfel, în mișcarea mecanică, drumul este și el relativ.

Conștientizarea relativității mișcării mecanice (adică faptul că mișcarea unui corp poate fi considerată în diferite cadre de referință) a condus la trecerea de la sistemul geocentric al lumii lui Ptolemeu la sistemul heliocentric al lui Copernic. Ptolemeu, urmărind mișcarea Soarelui și a stelelor de pe cer observată din cele mai vechi timpuri, a plasat Pământul nemișcat în centrul Universului cu restul corpurilor cerești rotindu-se în jurul lui. De asemenea, Copernic credea că Pământul și alte planete se învârt în jurul Soarelui și simultan în jurul axelor lor.

Astfel, schimbarea sistemului de referință (Pământul - în sistemul geocentric al lumii și Soarele - în cel heliocentric) a condus la un sistem heliocentric mult mai progresiv, care face posibilă rezolvarea multor probleme științifice și aplicative ale astronomiei. și să schimbe părerile omenirii asupra Universului.

Sistemul de coordonate $X, Y, Z$, corpul de referință cu care este conectat și dispozitivul de măsurare a timpului (ceasul) formează un cadru de referință, în raport cu care se ia în considerare mișcarea corpului.

organism de referință se numește un corp, față de care se consideră o schimbare a poziției altor corpuri în spațiu.

Sistemul de referință poate fi ales în mod arbitrar. În studiile cinematice, toate cadrele de referință sunt egale. În problemele de dinamică, pot fi utilizate și orice cadre de referință care se mișcă arbitrar, dar cadrele de referință inerțiale sunt cele mai convenabile, deoarece caracteristicile de mișcare din ele au o formă mai simplă.

Punct material

Un punct material este un obiect de dimensiuni neglijabile, având o masă.

Conceptul de „punct material” este introdus pentru a descrie (cu ajutorul formulelor matematice) mișcarea mecanică a corpurilor. Acest lucru se face deoarece este mai ușor de descris mișcarea unui punct decât a unui corp real, ale cărui particule, în plus, se pot deplasa cu viteze diferite (de exemplu, în timpul rotației corpului sau deformărilor).

Dacă un corp real este înlocuit cu un punct material, atunci masa acestui corp este atribuită acestui punct, dar dimensiunile sale sunt neglijate și, în același timp, diferența dintre caracteristicile mișcării punctelor sale (viteze, accelerații). , etc.), dacă există, este neglijat. În ce cazuri se poate face acest lucru?

Aproape orice corp poate fi considerat punct material dacă distanțele parcurse de punctele corpului sunt foarte mari în comparație cu dimensiunile acestuia.

De exemplu, Pământul și alte planete sunt considerate puncte materiale atunci când se studiază mișcarea lor în jurul Soarelui. În acest caz, diferențele de mișcare a diferitelor puncte ale oricărei planete, cauzate de rotația sa zilnică, nu afectează cantitățile care descriu mișcarea anuală.

Prin urmare, dacă în mișcarea studiată a unui corp rotația acestuia în jurul unei axe poate fi neglijată, un astfel de corp poate fi reprezentat ca punct material.

Cu toate acestea, atunci când rezolvăm probleme legate de rotația zilnică a planetelor (de exemplu, când se determină răsăritul în diferite locuri de pe suprafața globului), nu are sens să se considere o planetă ca punct material, deoarece rezultatul problema depinde de dimensiunea acestei planete și de viteza de mișcare a punctelor de pe suprafața ei.

Este legitim să se considere o aeronavă ca punct material dacă, de exemplu, este necesar să se determine viteza medie a mișcării sale pe drumul de la Moscova la Novosibirsk. Dar atunci când se calculează forța de rezistență a aerului care acționează asupra unei aeronave care zboară, aceasta nu poate fi considerată un punct material, deoarece forța de rezistență depinde de dimensiunea și forma aeronavei.

Dacă un corp se deplasează înainte, chiar dacă dimensiunile lui sunt comparabile cu distanțele pe care le parcurge, acest corp poate fi considerat ca un punct de masă (întrucât toate punctele corpului se mișcă în același mod).

În concluzie, putem spune: un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în condițiile problemei luate în considerare poate fi considerat un punct material.

Traiectorie

O traiectorie este o linie (sau, după cum se spune, o curbă) pe care un corp o descrie atunci când se deplasează în raport cu un corp de referință selectat.

Are sens să vorbim despre o traiectorie doar atunci când corpul poate fi reprezentat ca punct material.

Traiectorii pot avea forme diferite. Uneori este posibil să se judece forma traiectoriei după urma aparentă lăsată de un corp în mișcare, de exemplu, un avion zburător sau un meteor care se repezi prin cerul nopții.

Forma traiectoriei depinde de alegerea corpului de referință. De exemplu, în raport cu Pământul, traiectoria Lunii este un cerc, în raport cu Soarele - o linie de formă mai complexă.

Când studiem mișcarea mecanică, de regulă, Pământul este considerat un corp de referință.

Metode de precizare a poziției unui punct și de descriere a mișcării acestuia

Poziția unui punct în spațiu este specificată în două moduri: 1) folosind coordonate; 2) folosind vectorul rază.

Poziția unui punct cu ajutorul coordonatelor este dată de trei proiecții ale punctului $x, y, z$ pe axele sistemului de coordonate carteziene $ОХ, ОУ, OZ$, conectate cu corpul de referință. Pentru a face acest lucru, din punctul A este necesară coborârea perpendicularelor pe plan $YZ$ (coordonată $x$), $XZ$ (coordonată $y$), respectiv $XY$ (coordonată $z$). Se scrie astfel: $A(x, y, z)$. Pentru cazul specific, $(x=6, y=10,2, z= 4,5$), punctul $A$ este notat cu $A(6; 10; 4,5)$.

Dimpotrivă, dacă sunt date valori specifice ale coordonatelor unui punct dintr-un sistem de coordonate dat, atunci pentru a imagina punctul în sine, este necesar să se traseze valorile coordonatelor pe axele corespunzătoare ($x$ pe $OX$ axa etc.) și construiți un paralelipiped pe aceste trei segmente reciproc perpendiculare. Vârful acestuia, opus originii $O$ și situat pe diagonala paralelipipedului, va fi punctul dorit $A$.

Dacă un punct se mișcă într-un anumit plan, atunci este suficient să desenați două axe de coordonate prin punctele alese pe corpul de referință: $ОХ$ și $ОУ$. Atunci poziția punctului pe plan este determinată de două coordonate $x$ și $y$.

Dacă punctul se mișcă de-a lungul unei linii drepte, este suficient să setați o axă de coordonate OX și să o direcționați de-a lungul liniei de mișcare.

Setarea poziției punctului $A$ folosind vectorul rază se realizează prin conectarea punctului $A$ cu originea $O$. Segmentul direcționat $OA = r↖(→)$ se numește vector rază.

Vector rază este un vector care leagă originea de poziția unui punct într-un moment arbitrar în timp.

Un punct este dat de un vector cu rază dacă se cunosc lungimea (modulul) și direcția lui în spațiu, adică valorile proiecțiilor sale $r_x, r_y, r_z$ pe axele de coordonate $OX, OY, OZ$ sau unghiurile dintre vectorul rază și axele de coordonate. Pentru cazul mișcării pe un plan, avem:

Aici $r=|r↖(→)|$ este modulul vectorului rază $r↖(→), r_x$ și $r_y$ sunt proiecțiile acestuia pe axele de coordonate, toate cele trei mărimi sunt scalare; xxy - coordonatele punctului A.

Ultimele ecuații demonstrează legătura dintre metodele coordonate și vectoriale de specificare a poziției unui punct.

Vectorul $r↖(→)$ poate fi de asemenea descompus în componente de-a lungul axelor $X$ și $Y$, adică reprezentat ca suma a doi vectori:

$r↖(→)=r↖(→)_x+r↖(→)_y$

Astfel, poziția unui punct în spațiu este dată fie de coordonatele sale, fie de vectorul rază.

Metode de descriere a mișcării unui punct

În conformitate cu metodele de precizare a coordonatelor, mișcarea unui punct poate fi descrisă: 1) în mod coordonat; 2) în mod vectorial.

Cu metoda coordonatelor de a descrie (sau de a seta) mișcarea, modificarea coordonatelor unui punct în timp este scrisă ca funcții ale tuturor celor trei coordonate ale acestuia din timp:

Ecuațiile se numesc ecuații cinematice ale mișcării unui punct, scrise sub formă de coordonate. Cunoscând ecuațiile cinematice ale mișcării și condițiile inițiale (adică poziția punctului în momentul inițial de timp), este posibil să se determine poziția punctului în orice moment de timp.

Cu metoda vectorială de descriere a mișcării unui punct, modificarea poziției acestuia în timp este dată de dependența vectorului rază de timp:

$r↖(→)=r↖(→)(t)$

Ecuația este o ecuație a mișcării punctului scrisă sub formă vectorială. Dacă este cunoscut, atunci pentru orice moment de timp este posibil să se calculeze vectorul razei unui punct, adică să se determine poziția acestuia (ca în cazul metodei coordonatelor). Astfel, stabilirea a trei ecuații scalare este echivalentă cu setarea unei ecuații vectoriale.

Pentru fiecare caz de mișcare, forma ecuațiilor va fi destul de definită. Dacă traiectoria punctului este o linie dreaptă, mișcarea se numește rectilinie, iar dacă curba este curbilinie.

Mișcare și cale

Mișcarea în mecanică este un vector care leagă pozițiile unui punct în mișcare la începutul și la sfârșitul unei anumite perioade de timp.

Conceptul de vector deplasare este introdus pentru a rezolva problema de cinematică - pentru a determina poziția unui corp (punct) în spațiu la un moment dat, dacă poziția inițială este cunoscută.

Pe fig. vectorul $(M_1M_2)↖(-)$ conectează două poziții ale punctului în mișcare - $M_1$ și $M_2$ la ori $t_1$ și respectiv $t_2$ și, conform definiției, este un vector de deplasare. Dacă punctul $M_1$ este dat de vectorul rază $r↖(→)_1$, iar punctul $M_2$ este dat de vectorul rază $r↖(→)_2$, atunci, după cum se vede din În figura, vectorul deplasare este egal cu diferența acestor doi vectori, adică modificarea vectorului rază în timpul $∆t=t_2-t_1$:

$∆r↖(→)=r↖(→)_2-r↖(→)_1$.

Adunarea deplasărilor (de exemplu, pe două secțiuni învecinate ale traiectoriei) $∆r↖(→)_1$ și $∆r↖(→)_2$ se realizează conform regulii de adunare vectorială:

$∆r=∆r↖(→)_2+∆r↖(→)_1$

Calea este lungimea secțiunii de traiectorie parcursă de un punct material într-o anumită perioadă de timp. Modulul vectorului deplasare nu este, în general, egal cu lungimea traseului parcurs de punctul în timpul $∆t$ (traiectoria poate fi curbilinie și, în plus, punctul poate schimba direcția de mișcare).

Modulul vectorului deplasare este egal cu calea numai pentru mișcarea rectilinie într-o direcție. Dacă direcția mișcării rectilinie se schimbă, mărimea vectorului deplasare este mai mică decât calea.

Cu mișcarea curbilinie, modulul vectorului deplasare este, de asemenea, mai mic decât traseul, deoarece coarda este întotdeauna mai mică decât lungimea arcului pe care o subtinde.

Viteza punctului material

Viteza caracterizează viteza cu care au loc orice schimbări în lumea din jurul nostru (mișcarea materiei în spațiu și timp). Mișcarea unui pieton pe trotuar, zborul unei păsări, propagarea sunetului, undelor radio sau luminii în aer, curgerea apei dintr-o conductă, mișcarea norilor, evaporarea apei, încălzirea unui fier - toate aceste fenomene se caracterizează printr-o anumită viteză.

În mișcarea mecanică a corpurilor, viteza caracterizează nu numai viteza, ci și direcția mișcării, adică este cantitatea vectorială.

Viteza $υ↖(→)$ a unui punct este limita raportului dintre deplasarea $∆r↖(→)$ și intervalul de timp $∆t$ în care s-a produs această deplasare, deoarece $∆t$ tinde să zero (adică derivata $∆r↖(→)$ în $t$):

$υ↖(→)=(lim)↙(∆t→0)(∆r↖(→))/(∆t)=r↖(→)_1"$

Componentele vectorului viteză de-a lungul axelor $X, Y, Z$ sunt definite în mod similar:

$υ↖(→)_x=(lim)↙(∆t→0)(∆x)/(∆t)=x"; υ_y=y"; υ_z=z"$

Se mai numește și conceptul de viteză definit în acest fel viteza instantanee. Această definiție a vitezei este valabilă pentru orice fel de mișcare - de la curbiliniu neuniform până la uniform rectilinie. Când vorbim despre viteză în timpul mișcării inegale, este înțeleasă ca viteză instantanee. Această definiție implică în mod direct natura vectorială a vitezei, deoarece in miscare- cantitatea vectorială. Vectorul viteză instantanee $υ↖(→)$ este întotdeauna direcționat tangențial la traiectoria mișcării. Indică direcția în care s-ar mișca corpul dacă, din momentul $t$, acțiunea oricăror altor corpuri asupra lui ar înceta.

viteza medie

Viteza medie a unui punct este introdusă pentru a caracteriza mișcarea neuniformă (adică mișcarea cu viteză variabilă) și este definită în două moduri.

1. Viteza medie a punctului $υ_(av)$ este egală cu raportul dintre întregul drum $∆s$ parcurs de corp și întreg timpul de mișcare $∆t$:

$υ↖(→)_(av)=(∆s)/(∆t)$

Cu această definiție, viteza medie este scalară, deoarece distanța parcursă (distanța) și timpul sunt mărimi scalare.

Această definiție oferă o idee despre viteza medie pe tronsonul de traiectorie (viteza medie la sol).

2. Viteza medie a unui punct este egală cu raportul dintre mișcarea punctului și intervalul de timp în care a avut loc această mișcare:

$υ↖(→)_(av)=(∆r↖(→))/(∆t)$

Viteza medie de mișcare este o mărime vectorială.

Pentru mișcarea curbilinie neuniformă, o astfel de definiție a vitezei medii nu permite întotdeauna să se determine, chiar și aproximativ, vitezele reale de-a lungul traseului punctului. De exemplu, dacă un punct sa deplasat de-a lungul unei căi închise de ceva timp, atunci deplasarea lui este zero (dar viteza este clar diferită de zero). În acest caz, este mai bine să folosiți prima definiție a vitezei medii.

În orice caz, ar trebui să distingem între aceste două definiții ale vitezei medii și să știm care dintre ele este discutată.

Legea adunării vitezei

Legea adunării vitezelor stabilește o legătură între valorile vitezei unui punct material în raport cu diferite sisteme de referință care se deplasează unul față de celălalt. În fizica non-relativistă (clasică), atunci când vitezele luate în considerare sunt mici în comparație cu viteza luminii, legea adunării vitezei a lui Galileo este valabilă, care este exprimată prin formula:

$υ↖(→)_2=υ↖(→)_1+υ↖(→)$

unde $υ↖(→)_2$ și $υ↖(→)_1$ sunt vitezele unui corp (punct) în raport cu două cadre de referință inerțiale - un cadru de referință fix $K_2$ și un cadru de referință $K_1$ în mișcare cu o viteză $υ↖(→ )$ în raport cu $K_2$.

Formula poate fi obținută prin adăugarea vectorilor de deplasare.

Pentru claritate, luați în considerare mișcarea unei bărci cu viteza $υ↖(→)_1$ în raport cu un râu (sistem de referință $K_1$), ale cărei ape se mișcă cu o viteză $υ↖(→)$ în raport cu țărm ( sistem de referință $K_2$).

Vectorii de deplasare ai bărcii în raport cu apa $∆r↖(→)_1$, râul în raport cu coasta $∆r↖(→)$ și vectorul deplasării totale a bărcii față de coastă $∆r↖ (→)_2$ sunt prezentate în Fig..

Matematic:

$∆r↖(→)_2=∆r↖(→)_1+∆r↖(→)$

Împărțind ambele părți ale ecuației la intervalul de timp $∆t$, obținem:

$(∆r↖(→)_2)/(∆t)=(∆r↖(→)_1)/(∆t)+(∆r↖(→))/(∆t)$

În proiecțiile vectorului viteză pe axele de coordonate, ecuația are forma:

$υ_(2x)=υ_(1x)+υ_x,$

$υ_(2y)=υ_(1y)+υ_y.$

Proiecțiile vitezei sunt adăugate algebric.

Viteza relativă

Din legea adunării vitezelor rezultă că, dacă două corpuri se mișcă în același cadru de referință cu viteze $υ↖(→)_1$ și $υ↖(→)_2$, atunci viteza primului corp relativă la secunda $υ↖(→) _(12)$ este egală cu diferența dintre vitezele acestor corpuri:

$υ↖(→)_(12)=υ↖(→)_1-υ↖(→)_2$

Deci, atunci când corpurile se deplasează într-o direcție (depășire), modulul vitezei relative este egal cu diferența de viteze, iar când se deplasează în sens opus, este suma vitezelor.

Accelerația punctului material

Accelerația este o valoare care caracterizează rata de schimbare a vitezei. De regulă, mișcarea este neuniformă, adică are loc la o viteză variabilă. În unele părți ale traiectoriei, corpul poate avea o viteză mai mare, în altele - mai puțin. De exemplu, un tren care părăsește o gară se mișcă din ce în ce mai rapid în timp. Apropiindu-se de gară, el, dimpotrivă, încetinește mișcarea.

Accelerația (sau accelerația instantanee) este o mărime fizică vectorială egală cu limita raportului dintre modificarea vitezei și intervalul de timp în care a avut loc această modificare, când $∆t$ tinde spre zero, (adică derivata lui $υ ↖(→)$ în raport cu $ t$):

$a↖(→)=lim↙(∆t→0)(∆υ↖(→))/(∆t)=υ↖(→)_t"$

Componentele lui $a↖(→) (a_x, a_y, a_z)$ ​​sunt, respectiv:

$a_x=υ_x";a_y=υ_y";a_z=υ_z"$

Accelerația, ca și schimbarea vitezei, este îndreptată spre concavitatea traiectoriei și poate fi descompusă în două componente - tangenţial- tangențială la traiectoria mișcării - și normal- perpendicular pe traseu.

În conformitate cu aceasta, proiecția accelerației $а_х$ pe tangenta la traiectorie se numește tangentă, sau tangenţial accelerație, proiecția lui $a_n$ pe normal - normal, sau accelerație centripetă.

Accelerația tangențială determină cantitatea de modificare a valorii numerice a vitezei:

$a_t=lim↙(∆t→0)(∆υ)/(∆t)$

Accelerația normală sau centripetă caracterizează schimbarea direcției vitezei și este determinată de formula:

unde R este raza de curbură a traiectoriei în punctul său corespunzător.

Modulul de accelerație este determinat de formula:

$a=√(a_t^2+a_n^2)$

În mișcare rectilinie, accelerația totală $a$ este egală cu cea tangențială $a=a_t$, întrucât centripeta $a_n=0$.

Unitatea SI a accelerației este accelerația cu care viteza unui corp se modifică cu 1 m/s în fiecare secundă. Această unitate este desemnată 1 m/s 2 și se numește „metru pe secundă pătrat”.

Mișcare rectilinie uniformă

Mișcarea unui punct se numește uniformă dacă parcurge drumuri egale în orice intervale de timp egale.

De exemplu, dacă o mașină parcurge 20 km pentru fiecare sfert de oră (15 minute), 40 km pentru fiecare jumătate de oră (30 de minute), 80 km pentru fiecare oră (60 de minute), etc., atunci o astfel de mișcare este considerată uniformă. Cu mișcare uniformă, valoarea numerică (modulul) vitezei punctului $υ$ este o valoare constantă:

$υ=|υ↖(→)|=const$

Mișcarea uniformă poate avea loc atât de-a lungul unei traiectorii curbilinii, cât și de-a lungul unei traiectorii rectilinie.

Legea mișcării uniforme a unui punct este descrisă de ecuația:

unde $s$ este distanța măsurată de-a lungul arcului traiectoriei de la un punct de pe traiectorie luată ca origine; $t$ - timpul unui punct într-un fel; $s_0$ - valoarea lui $s$ la momentul inițial $t=0$.

Calea parcursă de un punct în timp $t$ este determinată de suma $υt$.

Mișcare rectilinie uniformă- aceasta este o mișcare în care corpul se mișcă cu o viteză constantă în modul și direcție:

$υ↖(→)=const$

Viteza mișcării rectilinie uniforme este o valoare constantă și poate fi definită ca raportul dintre mișcarea unui punct și perioada de timp în care a avut loc această mișcare:

$υ↖(→)=(∆r↖(→))/(∆t)$

Modulul acestei viteze

$υ=(|∆r↖(→)|)/(∆t)$

sensul este distanța $s=|∆r↖(→)|$ parcursă de punctul din timpul $∆t$.

Viteza unui corp în mișcare rectilinie uniformă este o valoare egală cu raportul dintre traseul $s$ și timpul pentru care a fost parcurs această cale:

Deplasarea în timpul mișcării uniforme rectilinie (de-a lungul axei X) poate fi calculată prin formula:

unde $υ_x$ este proiecția vitezei pe axa X. Prin urmare, legea mișcării rectilinie uniforme are forma:

Dacă la momentul inițial $x_0=0$, atunci

Graficul vitezei în funcție de timp este o linie dreaptă paralelă cu axa x, iar distanța parcursă este aria de sub această linie dreaptă.

Graficul drumului în funcție de timp este o linie dreaptă, al cărei unghi de înclinare față de axa timpului $Ot$ este cu atât mai mare, cu atât viteza mișcării uniforme este mai mare. Tangenta acestui unghi este egală cu viteza.