Această lecție va acoperi informațiile de bază despre expresiile raționale și transformările lor, precum și exemple de transformare a expresiilor raționale. Acest subiect rezumă subiectele pe care le-am studiat până acum. Transformările expresiilor raționale implică adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la puterea fracțiilor algebrice, reducerea, factorizarea etc. În cadrul lecției, vom analiza ce este o expresie rațională și, de asemenea, vom analiza exemple pentru transformarea lor. .

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor

Definiție

expresie rațională este o expresie formată din numere, variabile, operații aritmetice și exponențiere.

Luați în considerare un exemplu de expresie rațională:

Cazuri speciale de expresii raționale:

gradul I: ;

2. monom: ;

3. fracție: .

Transformarea expresiei raționale este o simplificare a unei expresii raționale. Ordinea operațiilor la conversia expresiilor raționale: mai întâi sunt acțiunile între paranteze, apoi operațiile de înmulțire (împărțire) și apoi operații de adunare (scădere).

Să luăm în considerare câteva exemple de transformare a expresiilor raționale.

Exemplul 1

Decizie:

Să rezolvăm acest exemplu pas cu pas. Acțiunea din paranteze este executată mai întâi.

Răspuns:

Exemplul 2

Decizie:

Răspuns:

Exemplul 3

Decizie:

Răspuns: .

Notă: poate, la vederea acestui exemplu, ți-a venit o idee: reduceți fracția înainte de a reduce la un numitor comun. Într-adevăr, este absolut corect: în primul rând, este de dorit să simplificăm expresia cât mai mult posibil și apoi să o transformăm. Să încercăm să rezolvăm același exemplu în al doilea mod.

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi absolut similar, dar soluția s-a dovedit a fi ceva mai simplă.

În această lecție, ne-am uitat la expresii raţionale şi transformările lor, precum și câteva exemple specifice ale acestor transformări.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

Lecție și prezentare pe tema: „Transformarea expresiilor raționale. Exemple de rezolvare a problemelor”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VIII-a
Manual pentru manualul Muravina G.K. Manual pentru manualul Makarychev Yu.N.

Conceptul de exprimare rațională

Conceptul de „expresie rațională” este similar cu conceptul de „fracție rațională”. Expresia este reprezentată și ca o fracție. Numai în numărătorii noștri nu sunt numere, ci diferite tipuri de expresii. Cel mai adesea acesta este un polinom. O fracție algebrică este o expresie fracțională formată din numere și variabile.

La rezolvarea multor probleme din clasele elementare, după efectuarea operațiilor aritmetice, am primit valori numerice specifice, cel mai adesea fracții. Acum, după efectuarea operațiilor, vom primi fracții algebrice. Băieți, amintiți-vă: pentru a obține răspunsul corect, trebuie să simplificați cât mai mult expresia cu care lucrați. Trebuie să obțineți cel mai mic grad posibil; expresiile identice în numărători și numitori ar trebui reduse; cu expresii care pot fi prăbușite, trebuie să faci asta. Adică, după efectuarea unei serii de acțiuni, ar trebui să obținem cea mai simplă fracție algebrică posibilă.

Ordinea operațiilor cu expresii raționale

Procedura de efectuare a operațiilor cu expresii raționale este aceeași ca și pentru operațiile aritmetice. Mai întâi se efectuează operații între paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea, exponențiarea și, în final, adunarea și scăderea.

A demonstra o identitate înseamnă a arăta că pentru toate valorile variabilelor, părțile din dreapta și din stânga sunt egale. Există o mulțime de exemple cu dovada identităților.

Principalele metode de rezolvare a identităților sunt:

• Transformați partea stângă la egalitate cu dreapta.
• Transformă partea dreaptă în egalitate cu stânga.
• Transformați părțile stânga și dreapta separat până când se obține aceeași expresie.
• Partea dreaptă este scăzută din partea stângă, iar rezultatul ar trebui să fie zero.

Transformarea expresiilor raționale. Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1
Dovediți identitatea:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Decizie.
Evident, trebuie să transformăm partea stângă.
Să facem mai întâi parantezele:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5a-1))$

.

Este necesar să încercați să scoateți la maximum multiplicatorii comuni.
2) Să transformăm expresia cu care împărțim:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Efectuați operația de împărțire:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Efectuați operația de adăugare:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Părțile din dreapta și din stânga se potriveau. Deci identitatea este dovedită.
Băieți, când am rezolvat acest exemplu, aveam nevoie de cunoștințe despre multe formule și operații. Vedem că după transformare, expresia mare s-a transformat într-una complet mică. Când se rezolvă aproape toate problemele, transformările duc de obicei la expresii simple.

Exemplul 2
Simplificați expresia:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Decizie.
Să începem cu primele paranteze.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Să transformăm a doua paranteză.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Să facem împărțirea.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Răspuns: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Exemplul 3
Urmați acești pași:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Decizie.
Ca întotdeauna, începeți cu paranteze.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Acum să facem împărțirea.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Să folosim proprietatea: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Să efectuăm operația de scădere.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

După cum am spus mai devreme, este necesar să simplificăm cât mai mult posibil fracția.
Răspuns: $\frac(k)(k-4)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Demonstrați identitatea:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Simplificați expresia:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Urmați pașii:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Această lecție va acoperi informațiile de bază despre expresiile raționale și transformările lor, precum și exemple de transformare a expresiilor raționale. Acest subiect rezumă subiectele pe care le-am studiat până acum. Transformările expresiilor raționale implică adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la puterea fracțiilor algebrice, reducerea, factorizarea etc. În cadrul lecției, vom analiza ce este o expresie rațională și, de asemenea, vom analiza exemple pentru transformarea lor. .

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor

Definiție

expresie rațională este o expresie formată din numere, variabile, operații aritmetice și exponențiere.

Luați în considerare un exemplu de expresie rațională:

Cazuri speciale de expresii raționale:

gradul I: ;

2. monom: ;

3. fracție: .

Transformarea expresiei raționale este o simplificare a unei expresii raționale. Ordinea operațiilor la conversia expresiilor raționale: mai întâi sunt acțiunile între paranteze, apoi operațiile de înmulțire (împărțire) și apoi operații de adunare (scădere).

Să luăm în considerare câteva exemple de transformare a expresiilor raționale.

Exemplul 1

Decizie:

Să rezolvăm acest exemplu pas cu pas. Acțiunea din paranteze este executată mai întâi.

Răspuns:

Exemplul 2

Decizie:

Răspuns:

Exemplul 3

Decizie:

Răspuns: .

Notă: poate, la vederea acestui exemplu, ți-a venit o idee: reduceți fracția înainte de a reduce la un numitor comun. Într-adevăr, este absolut corect: în primul rând, este de dorit să simplificăm expresia cât mai mult posibil și apoi să o transformăm. Să încercăm să rezolvăm același exemplu în al doilea mod.

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi absolut similar, dar soluția s-a dovedit a fi ceva mai simplă.

În această lecție, ne-am uitat la expresii raţionale şi transformările lor, precum și câteva exemple specifice ale acestor transformări.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

Expresiile și fracțiile raționale sunt piatra de temelie a întregului curs al algebrei. Cei care învață să lucreze cu astfel de expresii, le simplifică și le factorizează, de fapt, vor fi capabili să rezolve orice problemă, deoarece transformarea expresiilor este parte integrantă a oricărei ecuații serioase, inegalități și chiar a unei probleme de cuvinte.

În acest tutorial video, vom vedea cum să aplicăm corect formulele de înmulțire abreviate pentru a simplifica expresiile și fracțiile raționale. Să învățăm să vedem aceste formule în care, la prima vedere, nu există nimic. În același timp, repetăm ​​un truc atât de simplu precum factorizarea unui trinom pătrat în factori prin discriminant.

După cum probabil ați ghicit deja din formulele din spatele meu, astăzi vom studia formulele de înmulțire prescurtată, sau mai bine zis, nu formulele în sine, ci aplicarea lor pentru a simplifica și reduce expresiile raționale complexe. Dar, înainte de a trece la rezolvarea exemplelor, să aruncăm o privire mai atentă la aceste formule sau să le amintim:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ este diferența de pătrate;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ este pătratul sumei;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ este diferența la pătrat;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

De asemenea, aș dori să remarc că sistemul nostru de învățământ școlar este conceput în așa fel încât să fie cu studiul acestei teme, adică. expresii raționale, precum și rădăcini, module, toți elevii au aceeași problemă, pe care o voi explica acum.

Cert este că chiar la începutul studierii formulelor de înmulțire prescurtată și, în consecință, a acțiunilor de reducere a fracțiilor (este vorba despre clasa a 8-a), profesorii spun așa ceva: „Dacă ceva nu îți este clar, atunci nu-ți face griji. , vom reveni asupra acestui subiect de mai multe ori, în liceu cu siguranță. O să ne dăm seama mai târziu.” Ei bine, atunci, la trecerea claselor 9-10, aceiași profesori le explică acelorași elevi care încă nu știu să rezolve fracții raționale, ceva de genul: „Unde ați fost în ultimii doi ani? La fel s-a studiat la algebră în clasa a VIII-a! Ce poate fi de neînțeles aici? Este atât de evident!”

Totuși, pentru elevii obișnuiți, astfel de explicații nu sunt deloc mai ușoare: aveau încă o mizerie în cap, așa că acum vom analiza două exemple simple, pe baza cărora vom vedea cum să evidențiem aceste expresii în probleme reale, ceea ce ne va conduce la scurte formule de înmulțire și la modul de aplicare ulterior pentru a transforma expresii raționale complexe.

Reducerea fracțiilor raționale simple

Sarcina 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Primul lucru pe care trebuie să-l învățăm este să distingem pătratele exacte și puterile mai mari în expresiile originale, pe baza cărora apoi putem aplica formulele. Să aruncăm o privire:

Să ne rescriem expresia ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Răspuns: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Sarcina #2

Să trecem la a doua sarcină:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nu este nimic de simplificat aici, pentru că numărătorul este o constantă, dar am propus această problemă tocmai pentru a învăța cum să factorizezi polinoame care conțin două variabile. Dacă în locul lui ar fi scris un polinom mai jos, cum l-am descompune?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Să rezolvăm ecuația și să găsim $x$ pe care îl putem pune în locul punctelor:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Putem rescrie trinomul după cum urmează:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Am învățat cum să lucrăm cu un trinom pătrat - pentru aceasta a trebuit să înregistrăm această lecție video. Dar dacă, pe lângă $x$ și constantă, există și $y$? Să le privim ca pe un alt element al coeficienților, adică. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Scriem descompunerea construcției noastre pătrate:

\[\stanga(x-y\dreapta)\stanga(x+6y\dreapta)\]

În total, dacă revenim la expresia originală și o rescriem ținând cont de modificări, obținem următoarele:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Ce ne oferă un astfel de record? Nimic, pentru că nu se poate reduce, nu se înmulțește sau se împarte cu nimic. Cu toate acestea, de îndată ce această fracție se dovedește a fi parte integrantă a unei expresii mai complexe, o astfel de extindere va fi utilă. Prin urmare, de îndată ce vedeți un trinom pătrat (indiferent dacă este împovărat cu parametri suplimentari sau nu), încercați întotdeauna să îl factorizați.

Nuanțe ale soluției

Amintiți-vă regulile de bază pentru transformarea expresiilor raționale:

• Toți numitorii și numărătorii trebuie factorizați fie prin formule de înmulțire abreviate, fie prin discriminant.
• Trebuie să lucrăm după acest algoritm: atunci când ne uităm și încercăm să evidențiem formula de înmulțire prescurtată, atunci, în primul rând, încercăm să traducem totul la gradul maxim posibil. După aceea, scoatem gradul general din paranteze.
• Foarte des vor exista expresii cu un parametru: alte variabile vor apărea ca coeficienți. Le găsim folosind formula de expansiune pătratică.

Astfel, de îndată ce vedeți fracții raționale, primul lucru de făcut este să factorizați atât numărătorul, cât și numitorul în factori (în expresii liniare), în timp ce folosim formulele de înmulțire redusă sau discriminantul.

Să ne uităm la câteva astfel de expresii raționale și să încercăm să le descompunem.

Rezolvarea de exemple mai complexe

Sarcina 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Rescriem și încercăm să extindem fiecare termen:

Să rescriem întreaga noastră expresie rațională ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\stanga(3a\dreapta))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Răspuns: $-1$.

Sarcina #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Să ne uităm la toate fracțiile.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\stanga(x-2 \dreapta))^(2))\]

Să rescriem întreaga structură ținând cont de modificări:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

Deci, ce tocmai am învățat:

• Nu orice trinom pătrat este factorizat, în special, acest lucru se aplică pătratului incomplet al sumei sau diferenței, care se găsesc foarte des ca părți ale cuburilor sumei sau diferențelor.
• Constante, adică numerele obișnuite care nu au variabile cu ele pot acționa și ca elemente active în procesul de descompunere. În primul rând, ele pot fi scoase dintre paranteze, iar în al doilea rând, constantele în sine pot fi reprezentate ca puteri.
• Foarte des, după descompunerea tuturor elementelor în factori, apar construcții opuse. Trebuie să reduceți aceste fracții cu mare atenție, deoarece atunci când le tăiați fie de sus, fie de jos, apare un factor suplimentar $-1$ - aceasta este tocmai consecința faptului că sunt opuse.

Rezolvarea problemelor complexe

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să luăm în considerare fiecare termen separat.

Prima fracție:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\stanga(b-2 \dreapta)\stanga(b+2 \dreapta)\]

Putem rescrie întregul numărător al celei de-a doua fracții după cum urmează:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Acum să ne uităm la numitor:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Să rescriem întreaga expresie rațională ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

După cum am văzut încă o dată, pătratele incomplete ale sumei sau pătratele incomplete ale diferenței, care se găsesc adesea în expresii raționale reale, totuși, nu vă temeți de ele, deoarece după transformarea fiecărui element aproape întotdeauna se anulează. În plus, în niciun caz nu trebuie să vă fie frică de construcții mari în răspunsul final - este foarte posibil ca aceasta să nu fie greșeala dvs. (mai ales dacă totul este luat în considerare), dar autorul a conceput un astfel de răspuns.

În concluzie, aș vrea să analizez un exemplu mai complex, care nu mai are legătură directă cu fracțiile raționale, ci conține tot ce vă așteaptă la teste și examene reale și anume: factorizarea, reducerea la numitor comun, reducerea termenilor similari. . Exact asta vom face acum.

Rezolvarea unei probleme complexe de simplificare și transformare a expresiilor raționale

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Mai întâi, luați în considerare și extindeți prima paranteză: în ea vedem trei fracții separate cu numitori diferiți, deci primul lucru pe care trebuie să-l facem este să aducem toate cele trei fracții la un numitor comun și, pentru aceasta, fiecare dintre ele ar trebui să fie factorizată:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \dreapta)\]

Să rescriem întreaga noastră structură după cum urmează:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ stânga(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acesta este rezultatul calculelor din prima paranteză.

Tratând cu a doua paranteză:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ dreapta)\]

Să rescriem a doua paranteză, ținând cont de modificări:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\stanga(x-2\dreapta)\stanga(x+2\dreapta))\]

Acum să scriem întreaga construcție originală:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: $\frac(1)(x+2)$.

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi destul de sănătos. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți: de foarte multe ori cu astfel de calcule la scară mare, când singura variabilă este doar la numitor, elevii uită că acesta este numitorul și ar trebui să fie în partea de jos a fracției și scrie această expresie la numărător - aceasta este o greșeală gravă.

În plus, aș dori să vă atrag atenția în mod deosebit asupra modului în care sunt formalizate astfel de sarcini. În orice calcule complexe, toți pașii sunt executați pas cu pas: mai întâi, numărăm primul parantez separat, apoi al doilea paranteză separat și abia la sfârșit combinăm toate părțile și calculăm rezultatul. Astfel, ne asigurăm de greșelile stupide, notăm cu atenție toate calculele și, în același timp, nu pierdem timp în plus, așa cum ar părea la prima vedere.