Metoda intervalelor este considerată a fi o metodă universală de rezolvare a inegalităților. Acesta este cel mai simplu mod de a-l folosi pentru a rezolva inegalitățile pătratice cu o variabilă. În acest material, vom lua în considerare toate aspectele utilizării metodei intervalului pentru a rezolva inegalitățile pătratice. Pentru a facilita asimilarea materialului, vom lua în considerare un număr mare de exemple de diferite grade de complexitate.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritm pentru aplicarea metodei intervalului
Luați în considerare un algoritm pentru aplicarea metodei intervalului într-o versiune adaptată, care este potrivit pentru rezolvarea inegalităților pătratice. Cu această versiune a metodei intervalului, elevii sunt introduși în lecțiile de algebră. Să nu complicăm sarcina și noi.
Să trecem la algoritmul în sine.
Avem un trinom pătrat a x 2 + b x + c din partea stângă a inegalității pătratului. Găsim zerouri din acest trinom.
Desenați o linie de coordonate într-un sistem de coordonate. Marcam rădăcinile pe el. Pentru comoditate, putem introduce diferite moduri de desemnare a punctelor pentru inegalități stricte și nestrictive. Să fim de acord că vom marca coordonatele cu puncte „vide” atunci când rezolvăm o inegalitate strictă, iar cu puncte obișnuite - una nestrictă. Prin marcarea punctelor, obținem mai multe goluri pe axa de coordonate.
Dacă la primul pas am găsit zerouri, atunci determinăm semnele valorilor trinomului pentru fiecare dintre intervalele obținute. Dacă nu am primit zerouri, atunci efectuăm această acțiune pentru întreaga linie numerică. Marcam golurile cu semnele „+” sau „-”.
În plus, vom introduce umbrirea în acele cazuri când rezolvăm inegalități cu semne > sau ≥ și< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Prin marcarea semnelor valorilor trinomului și prin hașurare peste segmente, obținem o imagine geometrică a unei anumite mulțimi numerice, care este de fapt o soluție a inegalității. Trebuie doar să scriem răspunsul.
Să ne oprim mai în detaliu asupra celui de-al treilea pas al algoritmului, care implică determinarea semnului decalajului. Există mai multe moduri de a defini semnele. Să le considerăm în ordine, începând cu cele mai precise, deși nu cele mai rapide. Această metodă presupune calcularea valorilor trinomului în mai multe puncte ale intervalelor obținute.
Exemplul 1
De exemplu, luăm trinomul x 2 + 4 · x − 5 .
Rădăcinile acestui trinom 1 și - 5 împart axa de coordonate în trei intervale (− ∞ , − 5) , (− 5 , 1) și (1 , + ∞) .
Să începem cu intervalul (1 , + ∞) . Pentru a simplifica sarcina pentru noi înșine, să luăm x \u003d 2. Se obține 2 2 + 4 2 − 5 = 7 .
7 este un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că valorile acestui trinom pătrat pe intervalul (1 , + ∞) sunt pozitive și poate fi notat cu semnul „+”.
Pentru a determina semnul intervalului (− 5 , 1) luăm x = 0 . Avem 0 2 + 4 0 − 5 = − 5 . Punem un semn „-” deasupra intervalului.
Pentru intervalul (− ∞ , − 5) luăm x = − 6 , obținem (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 . Marcam acest interval cu semnul „+”.
Este mult mai rapid să determinați semnele, ținând cont de următoarele fapte.
Cu un discriminant pozitiv, un trinom pătrat cu două rădăcini oferă o alternanță de semne ale valorilor sale pe intervalele în care axa numerică este împărțită la rădăcinile acestui trinom. Aceasta înseamnă că nu trebuie să definim semne pentru fiecare dintre intervale. Este suficient să efectuați calcule pentru unul și să puneți semne pentru restul, ținând cont de principiul alternanței.
Dacă doriți, puteți face cu totul fără calcule, trăgând concluzii despre semne din valoarea coeficientului de conducere. Dacă a > 0 , atunci obținem o secvență de caractere + , − , + , iar dacă a< 0 – то − , + , − .
Pentru trinoamele pătrate cu o rădăcină, când discriminantul este zero, obținem două goluri pe axa de coordonate cu aceleași semne. Aceasta înseamnă că determinăm semnul pentru unul dintre intervale și setăm același lucru pentru al doilea.
Aici aplicăm și metoda de determinare a semnului pe baza valorii coeficientului a: dacă a > 0 , atunci va fi + , + , iar dacă a< 0 , то − , − .
Dacă trinomul pătrat nu are rădăcini, atunci semnele valorilor sale pentru întreaga linie de coordonate coincid atât cu semnul coeficientului principal a, cât și cu semnul termenului liber c.
De exemplu, dacă luăm un trinom pătrat - 4 x 2 - 7, acesta nu are rădăcini (discriminantul său este negativ). Coeficientul de la x 2 este un număr negativ - 4, iar termenul liber - 7 este, de asemenea, negativ. Aceasta înseamnă că pe intervalul (− ∞ , + ∞) valorile sale sunt negative.
Luați în considerare exemple de rezolvare a inegalităților pătratice folosind algoritmul discutat mai sus.
Exemplul 2
Rezolvați inegalitatea 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 .
Decizie
Folosim metoda intervalului pentru a rezolva inegalitatea. Pentru a face acest lucru, găsim rădăcinile trinomului pătrat 8 · x 2 − 4 · x − 1 . Datorită faptului că coeficientul de la x este par, ne va fi mai convenabil să calculăm nu discriminantul, ci a patra parte a discriminantului: D " = (− 2) 2 − 8 (− 1) = 12.
Discriminantul este mai mare decât zero. Acest lucru ne permite să găsim două rădăcini ale trinomului pătrat: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 și x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Notați aceste valori pe linia numerică. Deoarece ecuația nu este strictă, folosim puncte obișnuite pe grafic.
Acum, folosind metoda intervalului, determinăm semnele celor trei intervale obținute. Coeficientul la x 2 este egal cu 8, adică este pozitiv, prin urmare, succesiunea semnelor va fi + , − , + .
Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul ≥ , desenăm hașura peste goluri cu semne plus: 
Să notăm analitic setul numeric în funcție de imaginea grafică obținută. Putem face acest lucru în două moduri:
Răspuns:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) sau x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Exemplul 3
Rezolvați inegalitatea pătratică - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
Decizie
Mai întâi, să găsim rădăcinile trinomului pătrat din partea stângă a inegalității:
D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7
Aceasta este o inegalitate strictă, așa că folosim un punct „gol” pe grafic. Cu coordonata 7 .
Acum trebuie să determinăm semnele pe intervalele obținute (− ∞ , 7) și (7 , + ∞) . Deoarece discriminantul trinomului pătrat este egal cu zero, iar coeficientul principal este negativ, punem semnele − , − :
Întrucât rezolvăm o inegalitate semnată< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
În acest caz, soluțiile sunt ambele intervale (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
Răspuns:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) sau în altă notație x ≠ 7 .
Exemplul 4
Are inegalitatea pătratică x 2 + x + 7< 0 решения?
Decizie
Să găsim rădăcinile trinomului pătrat din partea stângă a inegalității. Pentru a face acest lucru, găsim discriminantul: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Discriminantul este mai mic decât zero, deci nu există rădăcini reale.
Imaginea grafică va arăta ca o linie numerică fără puncte marcate pe ea.
Să determinăm semnul valorilor trinomului pătrat. La D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
În acest caz, am putea aplica hașura peste goluri cu semnul „-”. Dar nu avem astfel de lacune. Deci desenul arată astfel:
Ca rezultat al calculelor, am obținut un set gol. Aceasta înseamnă că această inegalitate pătratică nu are soluții.
Răspuns: Nu.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
A fost necesară compararea valorilor și cantităților în rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai sus și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.
Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că latura mai mare a triunghiului se află opusă unghiului mai mare. Arhimede, în timp ce calcula circumferința unui cerc, a descoperit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci și unu din diametru.
Scrieți simbolic relațiile dintre numere și cantități folosind semnele > și b. Intrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Te-ai întâlnit și cu inegalități numerice în clasele elementare. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau nu. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) este o inegalitate numerică validă, 0,23 > 0,235 este o inegalitate numerică nevalidă.
Inegalitățile care includ necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți seta sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai puțin frecvent decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.
Unele inegalități servesc ca singurul mijloc auxiliar pentru a demonstra sau infirma existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.
Inegalități numerice
Puteți compara numere întregi și zecimale. Cunoașteți regulile de comparare a fracțiilor obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărătoare diferiți; cu aceiași numărători dar numitori diferiți. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.
Comparația numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.
Definiție. Numărul a este mai mare decât numărul b dacă diferența a-b este pozitivă. Numărul a este mai mic decât numărul b dacă diferența a-b este negativă.
Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b din următoarele trei relații a > b, a = b, a Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.
Teorema. Dacă același număr este adăugat la ambele părți ale inegalității, atunci semnul inegalității nu se schimbă.
Consecinţă. Orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.
Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Știți că egalitățile numerice pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și de a multiplica inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni vă ajută să rezolvați problemele de evaluare și comparare a valorilor expresiei.
Când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesar să se adauge sau să se înmulțească termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ale inegalităților. Se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua zi, atunci se poate argumenta că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci se poate argumenta că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.
Luând în considerare aceste exemple, următoarele teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:
Teorema. Când adunăm inegalități de același semn, obținem o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.
Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, pentru care părțile din stânga și din dreapta sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.
Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Împreună cu inegalitățile stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare decât sau egal cu b, adică nu mai mic de b.
Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.
Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că pentru a rezolva o serie de probleme aplicate trebuie să întocmești un model matematic sub forma unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. În plus, veți afla că modelele matematice pentru rezolvarea multor probleme sunt inegalități cu necunoscute. Vom introduce conceptul de rezolvare a unei inegalități și vom arăta cum să verificăm dacă un anumit număr este o soluție a unei anumite inegalități.
Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax unde a și b sunt date numere și x este necunoscut, este numit inegalități liniare cu o necunoscută.
Definiție. Soluția unei inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului pentru care această inegalitate se transformă într-o adevărată inegalitate numerică. A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate soluțiile ei sau a stabili că nu există.
Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se tinde să le reducă cu ajutorul proprietăților la forma celor mai simple inegalități.
Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă
Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere și \(a \neq 0 \) sunt numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.
Rezolvarea inegalității
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c \) pot fi considerate ca găsirea de goluri în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) este pozitivă sau valori negative Pentru a face acest lucru, este suficient să analizați modul în care graficul funcției \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos , dacă parabola intersectează axa x și dacă o face, atunci în ce puncte.
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axa x și desenați schematic o parabolă prin punctele marcate, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus la a > 0 sau în jos la a 0 sau în jos la a 3) găsiți goluri pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0 \)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitatea
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalelor
Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul funcției în intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5). ) \) și \( (5; +\infty)\)
Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.
Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele considerate este indicat în tabel:
În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerourile funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero, semnul acesteia se schimbă.
Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale
Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalelor.
Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului.
Rezolvați inegalitatea:
\(x(0,5-x)(x+4) Evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Reprezentăm zerourile funcției pe axa reală și calculăm semnul pe fiecare interval:
Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.
Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Lecție și prezentare pe tema: „Inegalități pătrate, exemple de soluții”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 9-a
Manual electronic „Geometrie înțeleasă” pentru clasele 7-9
Complex educațional 1C: „Geometrie, clasa a 9-a”
Băieți, știm deja cum să rezolvăm ecuații patratice. Acum să învățăm cum să rezolvăm inegalitățile pătratice.
Inegalitatea pătratului O astfel de inegalitate se numește:
$ax^2+bx+c>0$.
Semnul de inegalitate poate fi orice, coeficienții a, b, c sunt orice numere ($a≠0$).
Toate regulile pe care le-am definit pentru inegalitățile liniare funcționează și aici. Repetați singuri aceste reguli!
Să introducem o altă regulă importantă:
Dacă trinomul $ax^2+bx+c$ are un discriminant negativ, atunci dacă înlocuim orice valoare a lui x, semnul trinomului va fi același cu semnul lui y al coeficientului a.
Exemple de rezolvare a inegalității pătratice
poate fi rezolvată prin reprezentarea graficelor sau a intervalelor. Să vedem exemple de soluții la inegalități.Exemple.
1. Rezolvați inegalitatea: $x^2-2x-8
Decizie:
Aflați rădăcinile ecuației $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ și $x_2=-2$.
Să reprezentăm o ecuație pătratică. Axa absciselor se intersectează în punctele 4 și -2. 2. Rezolvați inegalitatea: $5x-6 Decizie: Să construim un grafic al unei ecuații pătratice, axa absciselor se intersectează în punctele 2 și 3. 3. Rezolvați inegalitatea: $2^2+2x+1≥0$. Decizie: 4. Rezolvați inegalitatea: $x^2+x-2 Acest articol conține materiale care acoperă subiectul „ soluția inegalităților pătrate". În primul rând, se arată ce sunt inegalitățile pătratice cu o variabilă, este dată forma lor generală. Și apoi se analizează în detaliu cum se rezolvă inegalitățile pătratice. Sunt prezentate principalele abordări ale soluției: o metodă grafică, o metodă a intervalelor și prin evidențierea pătratului binomului din partea stângă a inegalității. Sunt date soluții de exemple tipice. Navigare în pagină. Desigur, înainte de a vorbi despre rezolvarea inegalităților pătratice, trebuie să înțelegem clar ce este o inegalitate pătratică. Cu alte cuvinte, trebuie să fiți capabil să distingeți inegalitățile pătrate de inegalitățile de alte tipuri după tipul de înregistrare. Definiție.
Inegalitatea pătratului este o inegalitate de forma a x 2 +b x+c<0
(вместо знака >poate exista orice alt semn de inegalitate ≤, >, ≥), unde a, b și c sunt niște numere și a≠0 și x este o variabilă (variabila poate fi notă cu orice altă literă). Să dăm imediat un alt nume inegalităților pătratice - inegalitatea de gradul doi. Acest nume se explică prin faptul că în partea stângă a inegalităților a x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». De asemenea, puteți auzi uneori că inegalitățile pătratice sunt numite inegalități pătratice. Acest lucru nu este în întregime corect: definiția „quadratic” se referă la funcții date prin ecuații de forma y=a x 2 +b x+c . Deci există inegalități pătratice și funcții pătratice, dar nu inegalități pătratice. Să arătăm câteva exemple de inegalități pătrate: 5 x 2 −3 x+1>0 , aici a=5 , b=−3 și c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, coeficienții acestei inegalități pătratice sunt a=−2,2 , b=−0,5 și c=−11 ; , în acest caz Rețineți că în definiția inegalității pătratice, coeficientul a la x 2 este considerat diferit de zero. Acest lucru este de înțeles, egalitatea coeficientului a la zero va „elimina” de fapt pătratul și ne vom ocupa de o inegalitate liniară de forma b x + c>0 fără pătratul variabilei. Dar coeficienții b și c pot fi egali cu zero, atât separat, cât și simultan. Iată exemple de astfel de inegalități pătrate: x 2 −5≥0 , aici coeficientul b pentru variabila x este egal cu zero; −3 x 2 −0,6 x<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 și b și c sunt zero. Acum puteți fi nedumerit de întrebarea cum să rezolvați inegalitățile pătratice. Practic, sunt utilizate trei metode principale pentru a rezolva: Să facem imediat o rezervă că metoda de rezolvare a inegalităților pătratice, pe care începem să o luăm în considerare, nu se numește grafică în manualele școlare de algebră. Cu toate acestea, în esență, acesta este ceea ce este el. Mai mult, prima cunoștință cu mod grafic de rezolvare a inegalităților de obicei începe atunci când se pune întrebarea cum să rezolve inegalitățile pătratice. Mod grafic de rezolvare a inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) este să analizăm graficul funcției pătratice y=a x 2 +b x+c pentru a găsi intervalele în care funcția specificată ia valori negative, pozitive, nepozitive sau nenegative. Aceste intervale constituie soluțiile inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0
, a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 și respectiv a x 2 +b x+c≥0. Pentru a rezolva inegalitățile pătrate cu o variabilă, pe lângă metoda grafică, metoda intervalului este destul de convenabilă, care în sine este foarte versatilă și este potrivită pentru rezolvarea diferitelor inegalități, nu doar a celor pătrate. Latura sa teoretică se află în afara cursului de algebră din clasele a 8-a, a 9-a, când ei învață să rezolve inegalitățile pătratice. Prin urmare, aici nu vom intra în justificarea teoretică a metodei intervalului, ci ne vom concentra asupra modului în care inegalitățile pătratice sunt rezolvate cu ajutorul acesteia. Esența metodei intervalului, în raport cu soluția inegalităților pătrate a x 2 +b x + c<0
(≤, >, ≥), constă în determinarea semnelor care au valorile trinomului pătrat a x 2 + b x + c pe intervalele în care se împarte axa de coordonate la zerourile acestui trinom (dacă există). Lacunele cu semnele minus alcătuiesc soluțiile inegalității pătratice a x 2 +b x+c<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , iar la rezolvarea inegalităților nestricte, la intervalele indicate se adaugă puncte corespunzătoare zerourilor trinomului. Puteți face cunoștință cu toate detaliile acestei metode, algoritmul ei, regulile de plasare a semnelor pe intervale și puteți lua în considerare soluții gata făcute pentru exemple tipice cu ilustrațiile date făcând referire la materialul articolului de rezolvare a inegalităților pătratice prin metoda intervalului . Pe lângă metoda grafică și metoda intervalului, există și alte abordări care permit rezolvarea inegalităților pătratice. Și ajungem la una dintre ele, care se bazează pe la pătratul unui binomîn partea stângă a inegalității pătratice. Principiul acestei metode de rezolvare a inegalităților pătrate este de a efectua transformări echivalente ale inegalității , permițându-ne să treacă la soluția unei inegalități echivalente de forma (x−p) 2 Și cum este tranziția la inegalitatea (x−p) 2 În practică, de foarte multe ori trebuie să se ocupe de inegalități care pot fi reduse cu ajutorul transformărilor echivalente în inegalități pătratice de forma a x 2 +b x + c<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. Să începem cu exemple ale celor mai simple inegalități care pot fi reduse la pătrate. Uneori, pentru a trece la o inegalitate pătratică, este suficient să rearanjezi termenii din această inegalitate sau să-i transferi dintr-o parte în alta. De exemplu, dacă transferăm toți termenii din partea dreaptă a inegalității 5≤2 x−3 x 2 în partea stângă, atunci obținem o inegalitate pătratică în forma specificată mai sus 3 x 2 −2 x+5≤0 . Un alt exemplu: rearanjarea inegalității 5+0,6 x 2 −x în partea stângă<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. La școală, la lecțiile de algebră, când învață să rezolve inegalitățile pătratice, se ocupă simultan de rezolvarea inegalităților raționale, reducând la pătrat. Soluția lor presupune transferul tuturor termenilor în partea stângă cu transformarea ulterioară a expresiei formate acolo la forma a x 2 +b x + c prin executarea . Luați în considerare un exemplu. Exemplu. Găsiți un set de soluții la inegalitate 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.inegalitatea iraţională Bibliografie. Nivel mijlociu Pentru a ne da seama cum să rezolvăm ecuații pătratice, trebuie să ne dăm seama ce este o funcție pătratică și ce proprietăți are. Sigur te-ai întrebat de ce este nevoie de o funcție pătratică? Unde este aplicabil graficul său (parabola)? Da, trebuie doar să te uiți în jur și vei observa că în fiecare zi din viața de zi cu zi îl întâlnești. Ai observat cum zboară o minge aruncată în educația fizică? „Într-un arc”? Cel mai corect răspuns ar fi „în parabolă”! Și pe ce traiectorie se mișcă jetul în fântână? Da, tot în parabolă! Și cum zboară un glonț sau un proiectil? Așa e, tot în parabolă! Astfel, cunoscând proprietățile unei funcții pătratice, se vor putea rezolva multe probleme practice. De exemplu, în ce unghi trebuie aruncată mingea pentru a oferi cea mai mare rază? Sau unde ar ajunge proiectilul dacă ar fi tras la un anumit unghi? etc. Deci, hai să ne dăm seama. De exemplu, . Ce sunt egali aici și? Ei bine, desigur, și! Dacă, adică mai putin de zero? Ei bine, desigur, suntem „triști”, ceea ce înseamnă că ramurile vor fi îndreptate în jos! Să ne uităm la diagramă. Această figură prezintă un grafic al unei funcții. Din moment ce, i.e. mai puțin de zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. În plus, probabil ați observat deja că ramurile acestei parabole intersectează axa, ceea ce înseamnă că ecuația are 2 rădăcini, iar funcția ia atât valori pozitive, cât și negative! La început, când am dat definiția unei funcții pătratice, s-a spus că și sunt niște numere. Pot fi egale cu zero? Ei bine, bineînțeles că pot! Voi dezvălui chiar și un secret și mai mare (care nu este deloc un secret, dar merită menționat): nu sunt impuse restricții asupra acestor numere (și) deloc! Ei bine, să vedem ce se întâmplă cu graficele dacă și sunt egale cu zero. După cum puteți vedea, graficele funcțiilor considerate (u) s-au deplasat astfel încât vârfurile lor sunt acum în punctul cu coordonatele, adică la intersecția axelor și acest lucru nu a afectat direcția ramurilor. Astfel, putem concluziona că ei sunt responsabili pentru „mișcarea” graficului parabolei de-a lungul sistemului de coordonate. Graficul funcției atinge axa într-un punct. Deci ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mari sau egale cu zero. Urmăm aceeași logică cu graficul funcției. Atinge axa x într-un punct. Deci ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mici sau egale cu zero, adică. Astfel, pentru a determina semnul unei expresii, primul lucru de făcut este să găsiți rădăcinile ecuației. Acest lucru ne va fi foarte util. Când rezolvăm astfel de inegalități, vom avea nevoie de capacitatea de a determina unde funcția pătratică este mai mare, mai mică sau egală cu zero. adica: Dacă inegalitățile nu sunt stricte (u), atunci rădăcinile (coordonatele intersecțiilor parabolei cu axa) sunt incluse în intervalul numeric dorit, cu inegalități stricte sunt excluse. Toate acestea sunt destul de formalizate, dar nu disperați și vă fie teamă! Acum să ne uităm la exemple și totul va fi la locul lui. La rezolvarea inegalităților pătratice, vom adera la algoritmul de mai sus și vom reuși inevitabil! Am înţeles? Apoi fixați înainte! Exemplu: Ei bine, a funcționat? Dacă aveți dificultăți, atunci înțelegeți soluțiile. Decizie: Să scriem intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea nu este strictă, deci rădăcinile sunt incluse în intervalele: Scriem ecuația pătratică corespunzătoare: Găsiți rădăcinile acestei ecuații pătratice: Marcăm schematic rădăcinile obținute pe axă și aranjam semnele: Să scriem intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile nu sunt incluse în intervale: Scriem ecuația pătratică corespunzătoare: Găsiți rădăcinile acestei ecuații pătratice: această ecuație are o singură rădăcină Marcăm schematic rădăcinile obținute pe axă și aranjam semnele: Să scriem intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru orice funcție ia valori nenegative. Deoarece inegalitatea nu este strictă, răspunsul este Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare: Găsiți rădăcinile acestei ecuații pătratice: Desenați schematic un grafic al unei parabole și plasați semnele: Să scriem intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori pozitive, prin urmare, soluția inegalității va fi intervalul: Înainte de a vorbi despre subiectul „inegalităților pătrate”, să ne amintim ce este o funcție pătratică și care este graficul acesteia. Cu alte cuvinte, asta polinom de gradul doi. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă (vă amintiți ce este?). Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă „a) funcția ia numai valori pozitive pentru toate, iar în a doua () - numai negative: În cazul în care ecuația () are exact o rădăcină (de exemplu, dacă discriminantul este zero), aceasta înseamnă că graficul atinge axa: Apoi, similar cu cazul precedent, pentru „ . Deci, la urma urmei, am învățat recent să determinăm unde funcția pătratică este mai mare decât zero și unde este mai mică: Dacă inegalitatea pătratică nu este strictă, atunci rădăcinile sunt incluse în intervalul numeric, dacă sunt stricte, nu sunt. Dacă există o singură rădăcină, e în regulă, va fi același semn peste tot. Dacă nu există rădăcini, totul depinde doar de coeficient: dacă „25((x)^(2))-30x+9 Raspunsuri: 2) 25((x)^(2))-30x+9> Nu există rădăcini, așa că întreaga expresie din partea stângă ia semnul coeficientului înainte: funcţie pătratică este o functie de forma: Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă și în jos dacă: Tipuri de inegalități pătrate: Toate inegalitățile pătratice sunt reduse la următoarele patru tipuri: Algoritm de rezolvare:
Trinomul nostru pătrat ia valori mai mici decât zero unde graficul funcției este situat sub axa x.
Privind graficul funcției, obținem răspunsul: $x^2-2x-8 Răspuns: $-2
Să transformăm inegalitatea: $-x^2+5x-6 Împărțim inegalitatea la minus unu. Să nu uităm să schimbăm semnul: $x^2-5x+6>0$.
Să găsim rădăcinile trinomului: $x_1=2$ și $x_2=3$.
Trinomul nostru pătrat ia valori mai mari decât zero unde graficul funcției este situat deasupra axei x. Privind graficul funcției, obținem răspunsul: $5x-6
Să găsim rădăcinile trinomului nostru, pentru aceasta calculăm discriminantul: $D=2^2-4*2=-4 Discriminantul este mai mic decât zero. Să folosim regula pe care am introdus-o la început. Semnul inegalității va fi același cu semnul coeficientului pătrat. În cazul nostru, coeficientul este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația noastră va fi pozitivă pentru orice valoare a lui x.
Răspuns: Pentru tot x, inegalitatea este mai mare decât zero.
Decizie:
Să găsim rădăcinile trinomului și să le plasăm pe linia de coordonate: $x_1=-2$ și $x_2=1$. 
Dacă $x>1$ și $x Dacă $x>-2$ și $x Răspuns: $x>-2$ și $xProbleme de rezolvare a inegalităților pătratice
Rezolvarea inegalităților:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Ce este o inegalitate pătratică?
.Cum se rezolvă inegalitățile pătratice?
Grafic
metoda intervalului
Prin izolarea pătratului binomului
, ≥), unde p și q sunt niște numere.
, ≥) și cum se rezolvă, materialul articolului explică soluția inegalităților pătratice prin evidențierea pătratului binomului. Există, de asemenea, exemple de rezolvare a inegalităților pătratice în acest mod și sunt date ilustrațiile grafice necesare.
Inegalități cuadratice
este echivalentă cu inegalitatea pătratică x 2 −6 x−9<0
, а inegalitatea logaritmică 
– inegalitatea x 2 +x−2≥0 .Inegalități pătrate. Ghid cuprinzător (2019)
funcţie pătratică
Inegalitatea pătratului
Algoritm
Exemplu:
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „=").
2) Aflați rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și afișați schematic orientarea ramurilor parabolei ("sus" sau "jos")
4) Să plasăm pe axă semnele corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „”, iar unde este mai jos – „”.
5) Scriem intervalul (e) corespunzător „” sau „”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval; dacă este strictă, nu sunt incluse.
INEGALITATI DE PATRAT. NIVEL MIJLOCIU
Funcția pătratică.
O funcție pătratică este o funcție a formei
INEGALITATI DE PATRAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Algoritm
Exemplu:
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „”).
2) Aflați rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și afișați schematic orientarea ramurilor parabolei ("sus" sau "jos")
4) Să plasăm pe axă semnele corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „”, iar unde este mai jos – „”.
5) Scriem intervalul (s) corespunzător lui (s) „” sau „”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval; dacă inegalitatea este strictă, acestea nu sunt incluse.
