Astăzi, una dintre cele mai importante abilități pentru orice specialist este capacitatea de a rezolva ecuații diferențiale. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale - nici o singură sarcină aplicată nu poate face fără aceasta, fie că este vorba de calculul oricărui parametru fizic sau de modelarea modificărilor ca urmare a politicii macroeconomice adoptate. Aceste ecuații sunt, de asemenea, importante pentru o serie de alte științe, cum ar fi chimia, biologia, medicina etc. Mai jos vom da un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în economie, dar înainte de asta vom vorbi pe scurt despre principalele tipuri de ecuații.

Ecuații diferențiale - cele mai simple tipuri

Înțelepții spuneau că legile universului nostru sunt scrise în limbaj matematic. Desigur, există multe exemple de diverse ecuații în algebră, dar acestea sunt în mare parte exemple educaționale care nu sunt aplicabile în practică. Matematica cu adevărat interesantă începe atunci când vrem să descriem procesele care au loc în viața reală. Dar cum să reflectăm factorul timp, care este supus unor procese reale - inflație, producție sau indicatori demografici?

Amintiți-vă o definiție importantă dintr-un curs de matematică referitoare la derivata unei funcții. Derivata este rata de schimbare a funcției, deci ne poate ajuta să reflectăm factorul timp în ecuație.

Adică compunem o ecuație cu o funcție care descrie indicatorul care ne interesează și adăugăm la ecuație derivata acestei funcții. Aceasta este ecuația diferențială. Acum să trecem la cel mai simplu tipuri de ecuații diferențiale pentru manechine.

Cea mai simplă ecuație diferențială are forma $y'(x)=f(x)$, unde $f(x)$ este o funcție și $y'(x)$ este derivata sau rata de schimbare a funcției dorite . Se rezolvă prin integrare obișnuită: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Al doilea cel mai simplu tip se numește ecuație diferențială separabilă. O astfel de ecuație arată astfel $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Se poate observa că variabila dependentă $y$ este, de asemenea, parte a funcției construite. Ecuația se rezolvă foarte simplu - trebuie să „separați variabilele”, adică să o aduceți la forma $y'(x)/g(y)=f(x)$ sau $dy/g(y)= f(x)dx$. Rămâne să integrăm ambele părți $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - aceasta este soluția unei ecuații diferențiale de tip separabil.

Ultimul tip simplu este ecuația diferențială liniară de ordinul întâi. Are forma $y'+p(x)y=q(x)$. Aici $p(x)$ și $q(x)$ sunt câteva funcții, iar $y=y(x)$ este funcția dorită. Pentru rezolvarea unei astfel de ecuații sunt deja utilizate metode speciale (metoda Lagrange de variație a unei constante arbitrare, metoda substituției Bernoulli).

Există tipuri mai complexe de ecuații - ecuații de ordin al doilea, al treilea și în general arbitrar, ecuații omogene și neomogene, precum și sisteme de ecuații diferențiale. Pentru a le rezolva, aveți nevoie de pregătire preliminară și experiență în rezolvarea unor probleme mai simple.

De mare importanță pentru fizică și, în mod surprinzător, finanțe sunt așa-numitele ecuații cu diferențe parțiale. Aceasta înseamnă că funcția dorită depinde de mai multe variabile în același timp. De exemplu, ecuația Black-Scholes din domeniul ingineriei financiare descrie valoarea unei opțiuni (tip de titlu) în funcție de randamentul acesteia, de valoarea plăților, precum și de momentul începerii și sfârșitului plăților. Rezolvarea unei ecuații diferențiale parțiale este destul de complicată, de obicei trebuie să utilizați programe speciale precum Matlab sau Maple.

Un exemplu de aplicare a unei ecuații diferențiale în economie

Dăm, așa cum am promis, un exemplu simplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale. Să stabilim mai întâi sarcina.

Pentru o firmă, funcția venitului marginal din vânzarea produselor sale are forma $MR=10-0,2q$. Aici $MR$ este venitul marginal al firmei și $q$ este producția. Trebuie să aflăm venitul total.

După cum se poate vedea din problemă, acesta este un exemplu aplicat din microeconomie. Multe firme și întreprinderi se confruntă în mod constant cu astfel de calcule în cursul activităților lor.

Să ajungem la soluție. După cum se știe din microeconomie, venitul marginal este un derivat al venitului total, iar venitul este zero la vânzări zero.

Din punct de vedere matematic, problema s-a redus la rezolvarea ecuației diferențiale $R’=10-0,2q$ în condiția $R(0)=0$.

Integram ecuatia, luand functia antiderivata a ambelor parti, obtinem solutia generala: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Pentru a găsi constanta $C$, amintiți-vă condiția $R(0)=0$. Înlocuiește: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Deci C=0 și funcția noastră de venit total devine $R(q)=10q-0,1q^2$. Problema rezolvata.

Alte exemple pentru diferite tipuri de telecomandă sunt colectate pe pagină:

Apendice

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale online pe site pentru ca elevii să consolideze materialul pe care l-au studiat. Și exersează-ți abilitățile practice. Ecuații diferențiale online. Difuras online, soluție de matematică online. Rezolvarea pas cu pas a problemelor matematice online. Ordinea sau gradul unei ecuații diferențiale este ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ea. Ecuații diferențiale online. Procesul de rezolvare a unei ecuații diferențiale se numește integrare. Problema integrării unei ecuații diferențiale se consideră rezolvată dacă aflarea funcției necunoscute poate fi adusă în cuadratură, indiferent dacă integrala rezultată este exprimată în forma finală în termeni de funcții cunoscute sau nu. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. Toate ecuațiile diferențiale pot fi împărțite în ecuații diferențiale obișnuite (ODE), care includ numai funcții (și derivatele lor) ale unui singur argument și ecuații diferențiale parțiale (PDE), în care funcțiile de intrare depind de multe variabile. Ecuații diferențiale online. Există, de asemenea, ecuații diferențiale stocastice (SDE) care implică procese aleatorii. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. În funcție de combinațiile de derivate, funcții, variabile independente, ecuațiile diferențiale se împart în liniare și neliniare, cu coeficienți constanți sau variabili, omogene sau neomogeni. Datorită importanței aplicațiilor, ecuațiile cu diferențe parțiale cvasiliniare (liniare în raport cu derivatele superioare) sunt evidențiate într-o clasă separată. Soluțiile ecuațiilor diferențiale sunt împărțite în soluții generale și soluții particulare. Ecuații diferențiale online. Soluțiile generale includ constante nedefinite, iar pentru ecuațiile diferențiale parțiale, funcții arbitrare ale variabilelor independente care pot fi rafinate din condiții suplimentare de integrare (condiții inițiale pentru ecuațiile diferențiale obișnuite, condiții inițiale și la limită pentru ecuațiile diferențiale parțiale). Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. După determinarea formei acestor funcții constante și nedefinite, soluțiile devin particulare. Căutarea de soluții la ecuații diferențiale obișnuite a condus la stabilirea unei clase de funcții speciale - funcții des întâlnite în aplicații care nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare cunoscute. Ecuații diferențiale online. Proprietățile lor au fost studiate în detaliu, au fost întocmite tabele de valori, au fost determinate interconexiuni etc. . Setul de numere enumerate poate fi explorat. Cel mai bun răspuns la problema dată. Cum să găsiți în prima aproximare vectorul de ieșire către regiunea de convergență despre ecuații diferențiale fără a clarifica limita superioară găsită. Alegerea este evidentă pentru creșterea funcțiilor matematice. Există o metodă progresivă peste nivelul cercetării. Pentru a se alinia cu condiția inițială a problemei, soluția diferenţialului va ajuta la găsirea unei valori alese cu o singură valoare. Se poate ca el să poată determina imediat necunoscutul. Ca și în exemplul anterior de indicare a unei soluții la o problemă matematică, ecuațiile diferențiale liniare sunt răspunsul la o problemă specifică într-un interval de timp specificat. Menținerea procedurii de studiu nu este definită la nivel local. Se va face astfel incat sa existe un exemplu pentru fiecare elev si rezolvarea ecuatiilor diferentiale va fi determinata de persoana desemnata executorului responsabil din cel putin doua valori. Luați o funcție de valoare generală pe un anumit segment și avertizați de-a lungul cărei axe va exista un decalaj. După ce am studiat ecuațiile diferențiale online, este posibil să arătăm fără ambiguitate cât de important este rezultatul, dacă se oferă unul din condițiile inițiale. Decuparea unei regiuni dintr-o definiție de funcție este imposibilă, deoarece nu există o definiție de sarcină la nivel local. Fiind găsit dintr-un sistem de ecuații, răspunsul conține o variabilă care poate fi calculată în sens general, dar în mod natural va fi posibil să se rezolve online o ecuație diferențială fără această acțiune pentru a determina condiția menționată. Aproape de intervalul segmentului, se poate observa cum soluția ecuațiilor diferențiale online este capabilă să avanseze rezultatul cercetării într-o direcție pozitivă la momentul limitării cunoștințelor studenților. Cel mai bun nu se obține întotdeauna prin abordarea general acceptată a afacerilor. La nivelul 2x, se pot vizualiza în mod util toate ecuațiile diferențiale liniare naturale necesare, dar capacitatea de a calcula o valoare numerică va duce la o creștere a cunoștințelor. Conform oricărei tehnici din matematică, există ecuații diferențiale care sunt prezentate în expresii esențial diferite, precum omogene sau complexe. După ce am efectuat o analiză generală a studiului funcției, va deveni clar că soluția diferențială ca set de posibilități reprezintă o eroare clară a valorilor. Adevărul în ea constă în spațiul de deasupra liniilor de abscisă. Undeva în domeniul unei funcții complexe, la un moment dat în definiția acesteia, ecuațiile diferențiale liniare vor putea reprezenta răspunsul într-o formă analitică. adică, în termeni generali, ca esenţă. Nu se va schimba nimic la schimbarea variabilei. Cu toate acestea, este necesar să privim răspunsul cu un interes deosebit. De fapt, calculatorul modifică raportul în final, adică modul în care soluția ecuațiilor diferențiale este proporțională cu valoarea globală este indicat în soluția dorită. În unele cazuri, un avertisment de eroare în masă este inevitabil. Ecuațiile diferențiale online implementează o idee generală a problemei, dar în cele din urmă, trebuie să asigurați aspectele pozitive ale produsului încrucișat cât mai curând posibil. În matematică, cazurile de eroare în teoria numerelor nu sunt neobișnuite. Neapărat trebuie verificat. Desigur, este mai bine să acordați acest drept profesioniștilor din domeniul lor și ei sunt cei care vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online, deoarece experiența lor este colosală și pozitivă. Diferența pe suprafețele figurilor și a zonei este de așa natură încât nu soluția ecuațiilor diferențiale online vă va permite să vedeți, ci mulțimea de obiecte neintersectate este astfel încât linia să fie paralelă cu axa. Drept urmare, puteți obține valori de două ori mai multe. Fiind implicită, ideea noastră de corectitudine a notației formale prevede ecuații diferențiale liniare atât în ​​zona de vizualizare, cât și în raport cu supraestimarea deliberată a calității rezultatului. O discuție pe un subiect care este interesant pentru toți studenții este publicată de mai multe ori în recenzie. Pe parcursul studiului întregului curs de prelegeri, ne vom concentra atenția asupra ecuațiilor diferențiale și a domeniilor conexe de studiu ale științei, dacă acest lucru nu contrazice adevărul. Multe etape pot fi evitate la începutul călătoriei. Dacă soluția diferențialelor este încă fundamental ceva nou pentru studenți, atunci vechiul nu este deloc uitat, ci progresează în viitor cu un ritm ridicat de dezvoltare. Inițial, condițiile pentru o problemă de matematică diferă, dar acest lucru este indicat în paragraful din dreapta. După expirarea timpului specificat prin definiție, nu este exclusă posibilitatea unui rezultat dependent proporțional pe diferite planuri de mișcare ale vectorului. Un astfel de caz simplu este corectat în același mod în care ecuațiile diferențiale liniare sunt descrise pe un calculator într-o formă generală, astfel încât va fi mai rapid și compensarea calculelor nu va duce la o opinie eronată. Doar cinci cazuri numite conform teoriei pot depăși granițele a ceea ce se întâmplă. Soluția noastră de ecuații diferențiale va ajuta la calcularea manuală a valorii în numere deja la primele etape de descompunere a spațiului funcțional. În locurile potrivite, este necesar să se prezinte punctul de contact al celor patru linii în sens general. Dar dacă trebuie să forțați sarcina, atunci va fi ușor să echivalați complexitatea. Datele inițiale sunt suficiente pentru a proiecta piciorul adiacent, iar ecuațiile diferențiale online arată aliniate la stânga, iar suprafața unilaterală este îndreptată către rotorul vectorial. Peste limita superioară, sunt posibile valori numerice care depășesc condiția indicată. Este posibil să se țină cont de formula matematică și să se rezolve online ecuația diferențială din cauza a trei necunoscute în valoarea generală a proporției. Metoda locală de calcul este recunoscută ca fiind valabilă. Sistemul de coordonate este dreptunghiular în mișcare relativă a planului. Soluția generală online a ecuațiilor diferențiale face posibilă tragerea fără ambiguitate a unei concluzii în favoarea unei analize computaționale prin definițiile matricei pe întreaga linie dreaptă situată deasupra graficului unei funcții specificate în mod explicit. Soluția este văzută dacă aplicați vectorul de mișcare la punctul de contact al celor trei emisfere. Cilindrul se obține prin rotirea dreptunghiului în jurul laturii și ecuațiile diferențiale liniare pot arăta direcția de mișcare a punctului conform expresiilor date ale legii sale de mișcare. Datele inițiale sunt corecte și problema de matematică este interschimbabilă într-o singură condiție. Cu toate acestea, din cauza circumstanțelor, având în vedere complexitatea subproblemei de setare, ecuațiile diferențiale simplifică procesul de spații numerice calculate la nivelul spațiului tridimensional. Este ușor să demonstrezi contrariul, dar se poate evita, ca în exemplul de mai sus. La matematica superioară sunt prevăzute următoarele puncte: atunci când o problemă este redusă la o formă simplificată, ar trebui extins asupra acesteia cel mai mare efort posibil din partea elevilor. Liniile suprapuse una peste alta cad în offset. Soluția diferențială Pro reia avantajul metodei menționate pe o linie curbă. Dacă nu recunoașteți la început ceea ce aveți nevoie, atunci formula matematică va face o nouă valoare a expresiei. Scopul este abordarea optimă a rezolvării sarcinilor stabilite de profesor. Nu trebuie să presupuneți că ecuațiile diferențiale liniare într-o formă simplificată vor depăși rezultatul așteptat. Amplasăm trei vectori pe o suprafață compusă finit. ortogonale între ele. Să calculăm produsul. Să efectuăm adăugarea unui număr mai mare de simboluri și să scriem toate variabilele funcției din expresia rezultată. Există o proporție. Câteva acțiuni care preced sfârșitul calculului nu vor da un răspuns fără ambiguitate la soluția ecuațiilor diferențiale imediat, ci numai după ce timpul alocat a trecut de-a lungul axei ordonatelor. În stânga punctului de discontinuitate, dat implicit din funcție, trasăm o axă ortogonală cu cel mai bun vector crescător și plasăm ecuațiile diferențiale online de-a lungul celei mai mici valori la limită a limitei inferioare a obiectului matematic. Să adăugăm un argument suplimentar în zona de pauză a funcției. În dreapta punctelor dreptei curbe, formulele scrise de noi pentru reducerea la un numitor comun vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online. Singura abordare corectă este cea care va face lumină asupra problemelor nerezolvate de la teorie la practică, în cazul general fără ambiguitate. Liniile în direcția coordonatelor punctelor date nu au închis niciodată poziția extremă a pătratului, totuși, rezolvarea ecuațiilor diferențiale online ne va ajuta atât studenții, cât și pe noi, și doar începătorii în acest domeniu, să studiem matematica. Vorbim despre posibilitatea substituirii argumentului valorii în toate subliniile semnificative ale unui câmp. În principiu, așa cum ar fi de așteptat, ecuațiile noastre diferențiale liniare sunt ceva izolat într-un singur concept al sensului redus. Pentru a ajuta studenții, unul dintre cele mai bune servicii similare este un calculator. Parcurgeți toate cursurile și alegeți-l pe cel mai potrivit pentru dvs.

=

Adesea doar o mențiune ecuatii diferentiale ii face pe elevi incomozi. De ce se întâmplă asta? Cel mai adesea, pentru că atunci când se studiază elementele de bază ale materialului, apare o lacună în cunoștințe, din cauza căreia studiul suplimentar al difursului devine pur și simplu tortură. Nimic nu este clar ce să faci, cum să decizi de unde să începi?

Cu toate acestea, vom încerca să vă arătăm că difurs nu este atât de dificil pe cât pare.

Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale

De la școală, știm cele mai simple ecuații în care trebuie să găsim necunoscutul x. De fapt ecuatii diferentiale doar puțin diferit de ele - în loc de o variabilă X trebuie să găsească o funcție y(x) , care va transforma ecuația într-o identitate.

D ecuatii diferentiale sunt de mare importanţă practică. Aceasta nu este o matematică abstractă care nu are nimic de-a face cu lumea din jurul nostru. Cu ajutorul ecuațiilor diferențiale sunt descrise multe procese naturale reale. De exemplu, vibrațiile corzilor, mișcarea unui oscilator armonic, prin intermediul ecuațiilor diferențiale în problemele de mecanică, găsesc viteza și accelerația unui corp. De asemenea DU sunt utilizate pe scară largă în biologie, chimie, economie și multe alte științe.

Ecuație diferențială (DU) este o ecuație care conține derivatele funcției y(x), funcția în sine, variabile independente și alți parametri în diverse combinații.

Există multe tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale obișnuite, liniare și neliniare, omogene și neomogene, ecuații diferențiale de ordinul întâi și superior, ecuații diferențiale parțiale și așa mai departe.

Soluția unei ecuații diferențiale este o funcție care o transformă într-o identitate. Există soluții generale și speciale de control de la distanță.

Soluția generală a ecuației diferențiale este setul general de soluții care transformă ecuația într-o identitate. O soluție particulară a unei ecuații diferențiale este o soluție care satisface condiții suplimentare specificate inițial.

Ordinea unei ecuații diferențiale este determinată de ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ea.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații diferențiale obișnuite sunt ecuații care conțin o variabilă independentă.

Luați în considerare cea mai simplă ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi. Arată ca:

Această ecuație poate fi rezolvată prin simpla integrare a părții sale drepte.

Exemple de astfel de ecuații:

Ecuații de variabile separabile

În general, acest tip de ecuație arată astfel:

Iată un exemplu:

Rezolvând o astfel de ecuație, trebuie să separați variabilele, aducând-o la forma:

După aceea, rămâne să integrăm ambele părți și să obținem o soluție.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Astfel de ecuații iau forma:

Aici p(x) și q(x) sunt câteva funcții ale variabilei independente, iar y=y(x) este funcția dorită. Iată un exemplu de astfel de ecuație:

Rezolvând o astfel de ecuație, de cele mai multe ori se utilizează metoda de variație a unei constante arbitrare sau reprezintă funcția dorită ca produs al altor două funcții y(x)=u(x)v(x).

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesară o anumită pregătire și va fi destul de dificil să le luați „la capriciu”.

Un exemplu de rezolvare a unui DE cu variabile separabile

Așa că am luat în considerare cele mai simple tipuri de telecomandă. Acum să aruncăm o privire la unul dintre ele. Fie o ecuație cu variabile separabile.

Mai întâi, rescriem derivata într-o formă mai familiară:

Apoi vom separa variabilele, adică într-o parte a ecuației vom colecta toate „jocurile”, iar în cealaltă - „xurile”:

Acum rămâne să integrăm ambele părți:

Integram si obtinem solutia generala a acestei ecuatii:

Desigur, rezolvarea ecuațiilor diferențiale este un fel de artă. Trebuie să fii capabil să înțelegi din ce tip aparține o ecuație și, de asemenea, să înveți să vezi ce transformări trebuie să faci cu ea pentru a o aduce într-o formă sau alta, ca să nu mai vorbim doar de capacitatea de diferențiere și integrare. Și este nevoie de practică (ca orice lucru) pentru a reuși să rezolvi DE. Și dacă în acest moment nu aveți timp să vă dați seama cum se rezolvă ecuațiile diferențiale sau problema Cauchy s-a ridicat ca un os în gât sau nu știți, contactați autorii noștri. În scurt timp, vă vom oferi o soluție gata făcută și detaliată, ale cărei detalii le puteți înțelege în orice moment convenabil pentru dvs. Între timp, vă sugerăm să vizionați un videoclip cu tema „Cum se rezolvă ecuații diferențiale”:

Acest articol este un punct de plecare în studiul teoriei ecuațiilor diferențiale. Aici sunt adunate principalele definiții și concepte care vor apărea constant în text. Pentru o mai bună asimilare și înțelegere, definițiile sunt furnizate cu exemple.

Ecuație diferențială (DE)- aceasta este o ecuație care include o funcție necunoscută sub semnul derivatei sau diferențialei.

Dacă funcția necunoscută este o funcție a unei variabile, atunci se numește ecuația diferențială comun(ODE prescurtat - ecuație diferențială ordinară). Dacă funcția necunoscută este o funcție a mai multor variabile, atunci se numește ecuația diferențială ecuație cu diferență parțială.

Se numește ordinea maximă a derivatei unei funcții necunoscute incluse într-o ecuație diferențială ordinea ecuației diferențiale.

Iată exemple de ODE ale primului, al doilea și, respectiv, al cincilea ordin

Ca exemple de ecuații cu diferențe parțiale de ordinul doi, prezentăm

În plus, vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite de ordinul al n-lea al formei sau , unde Ф(x, y) = 0 este o funcție necunoscută definită implicit (când este posibil, o vom scrie în reprezentare explicită y = f(x) ).

Procesul de găsire a soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește integrarea ecuației diferențiale.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale este o funcție dată implicit Ф(x, y) = 0 (în unele cazuri, funcția y poate fi exprimată explicit în termenii argumentului x), ceea ce transformă ecuația diferențială într-o identitate.

NOTĂ.

Soluția unei ecuații diferențiale este întotdeauna căutată pe un interval predeterminat X .

De ce vorbim despre asta separat? Da, pentru că în condițiile multor probleme nu este menționat intervalul X. Adică, starea problemelor este de obicei formulată astfel: „găsiți o soluție la ecuația diferențială obișnuită ". În acest caz, se înțelege că soluția ar trebui căutată pentru tot x pentru care atât funcția dorită y, cât și ecuația inițială au sens.

Soluția unei ecuații diferențiale este adesea denumită integrală a ecuației diferențiale.

Funcționează sau poate fi numită o soluție a unei ecuații diferențiale.

Una dintre soluțiile ecuației diferențiale este funcția . Într-adevăr, înlocuind această funcție în ecuația originală, obținem identitatea . Este ușor de observat că o altă soluție la această ODE este, de exemplu, . Astfel, ecuațiile diferențiale pot avea multe soluții.

Soluție generală a ecuației diferențiale este mulțimea de soluții care conține toate soluțiile acestei ecuații diferențiale fără excepție.

Soluția generală a unei ecuații diferențiale se mai numește integrala generala a ecuatiei diferentiale.

Să revenim la exemplu. Soluția generală a ecuației diferențiale are forma sau , unde C este o constantă arbitrară. Mai sus, am indicat două soluții la această EDO, care se obțin din integrala generală a ecuației diferențiale prin substituirea C = 0 și, respectiv, C = 1.

Dacă soluția unei ecuații diferențiale satisface condițiile suplimentare date inițial, atunci se numește o soluție particulară a ecuației diferențiale.

O soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția y(1)=1 este . Într-adevăr, și .

Principalele probleme ale teoriei ecuațiilor diferențiale sunt problemele Cauchy, problemele cu valori la limită și problemele de găsire a unei soluții generale a unei ecuații diferențiale pe orice interval dat X .

Problema Cauchy este problema găsirii unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale care satisface data condiții inițiale, unde sunt numerele.

Problema limitei este problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială de ordinul doi care satisface condiții suplimentare la punctele limită x 0 și x 1:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, unde f 0 și f 1 sunt date numere.

Problema valorii la limită este adesea numită problema valorii la limită.

Se numește o ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea liniar, dacă are forma , iar coeficienții sunt funcții continue ale argumentului x pe intervalul de integrare.

Fie deja rezolvate în raport cu derivata, fie pot fi rezolvate în raport cu derivata .

Rezolvarea generală a ecuațiilor diferențiale de tip pe interval X, care este dat, poate fi găsit luând integrala ambelor părți ale acestei egalități.

obține .

Dacă ne uităm la proprietățile integralei nedefinite, găsim soluția generală dorită:

y = F(x) + C,

Unde F(x)- unul dintre antiderivatele funcţiei f(x) intre X, A Cu este o constantă arbitrară.

Vă rugăm să rețineți că în majoritatea sarcinilor intervalul X nu indica. Aceasta înseamnă că trebuie găsită o soluție pentru toată lumea. X, pentru care și funcția dorită y, iar ecuația originală are sens.

Dacă trebuie să calculați o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condiția inițială y(x0) = y0, apoi după calculul integralei generale y = F(x) + C, este încă necesar să se determine valoarea constantei C=C0 folosind condiția inițială. Adică o constantă C=C0 determinată din ecuație F(x 0) + C = y 0, iar soluția particulară dorită a ecuației diferențiale va lua forma:

y = F(x) + C0.

Luați în considerare un exemplu:

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale, verificați corectitudinea rezultatului. Să găsim o soluție particulară a acestei ecuații care să satisfacă condiția inițială .

Decizie:

După ce am integrat ecuația diferențială dată, obținem:

.

Luăm această integrală prin metoda integrării pe părți:

Acea., este o soluție generală a ecuației diferențiale.

Să verificăm pentru a ne asigura că rezultatul este corect. Pentru a face acest lucru, înlocuim soluția pe care am găsit-o în ecuația dată:

.

Adică la ecuația originală se transformă într-o identitate:

prin urmare, soluția generală a ecuației diferențiale a fost determinată corect.

Soluția pe care am găsit-o este soluția generală a ecuației diferențiale pentru fiecare valoare reală a argumentului X.

Rămâne de calculat o anumită soluție a EDO care ar satisface condiția inițială. Cu alte cuvinte, este necesar să se calculeze valoarea constantei Cu, la care egalitatea va fi adevărată:

.

.

Apoi, înlocuind C = 2în soluția generală a EDO, obținem o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială:

.

Ecuație diferențială obișnuită se poate rezolva în raport cu derivata împărțind cele 2 părți ale ecuației la f(x). Această transformare va fi echivalentă dacă f(x) nu merge la zero pentru niciunul X din intervalul de integrare a ecuaţiei diferenţiale X.

Sunt probabile situații când, pentru unele valori ale argumentului X ∈ X funcții f(x)și g(x) se întoarce la zero în același timp. Pentru valori similare X soluția generală a ecuației diferențiale este orice funcție y, care este definit în ele, deoarece .

Dacă pentru unele valori ale argumentului X ∈ X condiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că în acest caz ODE nu are soluții.

Pentru toate celelalte X din interval X soluția generală a ecuației diferențiale se determină din ecuația transformată.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1

Să găsim soluția generală a EDO: .

Decizie.

Din proprietățile funcțiilor elementare de bază, este clar că funcția de logaritm natural este definită pentru valorile nenegative ale argumentului, prin urmare, domeniul expresiei log(x+3) exista un interval X > -3 . Prin urmare, ecuația diferențială dată are sens pentru X > -3 . Cu aceste valori ale argumentului, expresiei x + 3 nu dispare, astfel încât se poate rezolva EDO în raport cu derivata împărțind cele 2 părți la x + 3.

Primim .

În continuare, integrăm ecuația diferențială rezultată, rezolvată în raport cu derivata: . Pentru a lua această integrală, folosim metoda subsumării sub semnul diferenţialului.