EXPLICAȚIA TEXTULUI A LECȚIEI:

Continuăm să studiem secțiunea de geometrie solidă „Corpul de revoluție”.

Corpurile revoluției includ: cilindri, conuri, bile.

Să ne amintim definițiile.

Înălțimea este distanța de la vârful unei figuri sau al unui corp până la baza figurii (corpului). În caz contrar, un segment care leagă partea de sus și de jos a figurii și perpendicular pe aceasta.

Amintiți-vă, pentru a găsi aria unui cerc, înmulțiți pi cu pătratul razei.

Aria cercului este egală.

Vă amintiți cum să găsiți aria unui cerc, știind diametrul? La fel de

hai sa o punem in formula:

Un con este, de asemenea, un corp de revoluție.

Un con (mai precis, un con circular) este un corp care constă dintr-un cerc - baza conului, un punct care nu se află în planul acestui cerc - partea superioară a conului și toate segmentele care leagă vârful conul cu punctele bazei.

Să ne familiarizăm cu formula pentru găsirea volumului unui con.

Teorema. Volumul unui con este egal cu o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea.

Să demonstrăm această teoremă.

Dat: un con, S este aria bazei sale,

h este înălțimea conului

Demonstrați: V=

Dovada: Considerăm un con cu volumul V, raza bazei R, înălțimea h și vârful în punctul O.

Să introducem axa Ox prin OM, axa conului. O secțiune arbitrară a unui con de un plan perpendicular pe axa x este un cerc centrat în punctul

M1 - punctul de intersecție al acestui plan cu axa Ox. Să notăm raza acestui cerc ca R1, iar aria secțiunii transversale ca S(x), unde x este abscisa punctului M1.

Din asemănarea triunghiurilor dreptunghiulare OM1A1 și OMA (ے OM1A1 = ے OMA - drepte, ےMOA-comun, ceea ce înseamnă că triunghiurile sunt similare în două unghiuri) rezultă că

Figura arată că OM1=x, OM=h

sau de unde prin proprietatea proporţiei găsim R1 = .

Deoarece secțiunea este un cerc, atunci S (x) \u003d πR12, înlocuiți expresia anterioară pentru R1, aria secțiunii este egală cu raportul dintre produsul pătratului pierului cu pătratul x și pătratul înălțimii:

Să aplicăm formula de bază

calculând volumele corpurilor, cu a=0, b=h, obținem expresia (1)

Deoarece baza conului este un cerc, atunci aria S a bazei conului va fi egală cu pătratul pierului

în formula de calcul al volumului unui corp, înlocuim valoarea pătratului pierului cu aria bazei și obținem că volumul conului este egal cu o treime din produsul ariei. a bazei și a înălțimii

Teorema a fost demonstrată.

Corolarul teoremei (formula pentru volumul unui trunchi de con)

Volumul V al unui trunchi de con, a cărui înălțime este h, și ariile bazelor S și S1, se calculează prin formula

Ve este egal cu o treime din cenușă înmulțită cu suma ariilor bazelor și rădăcina pătrată a produsului dintre ariile bazei.

Rezolvarea problemelor

Un triunghi dreptunghic cu catetele de 3 cm și 4 cm se rotește în jurul ipotenuzei. Determinați volumul corpului rezultat.

Când triunghiul se rotește în jurul ipotenuzei, obținem un con. Când rezolvați această problemă, este important să înțelegeți că două cazuri sunt posibile. În fiecare dintre ele, aplicăm formula pentru găsirea volumului unui con: volumul unui con este egal cu o treime din produsul bazei și înălțimea

În primul caz, desenul va arăta astfel: este dat un con. Fie raza r = 4, înălțimea h = 3

Aria bazei este egală cu produsul lui π ori pătratul razei

Atunci volumul conului este egal cu o treime din produsul lui π ori pătratul razei cu înălțimea.

Înlocuiți valoarea din formulă, rezultă că volumul conului este 16π.

În al doilea caz, așa: dat un con. Fie raza r = 3, înălțimea h = 4

Volumul unui con este egal cu o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea:

Aria bazei este egală cu produsul lui π ori pătratul razei:

Atunci volumul conului este egal cu o treime din produsul lui π ori pătratul razei cu înălțimea:

Înlocuiți valoarea din formulă, rezultă că volumul conului este 12π.

Răspuns: Volumul conului V este 16 π sau 12 π

Problema 2. Având în vedere un con circular drept cu raza de 6 cm, unghiul BCO = 45 .

Aflați volumul conului.

Soluție: este dat un desen gata făcut pentru această sarcină.

Să scriem formula pentru găsirea volumului unui con:

O exprimăm în termeni de rază a bazei R:

Găsim h \u003d BO prin construcție, - dreptunghiulară, deoarece unghiul BOC=90 (suma unghiurilor unui triunghi), unghiurile de la baza sunt egale, deci triunghiul ΔBOC este isoscel si BO=OC=6 cm.

Cilindru V \u003d S principal. h

Exemplul 2 Dat un con circular drept ABC echilateral, BO = 10. Aflați volumul conului.

Decizie

Aflați raza bazei conului. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Fie OS = A, atunci BC = 2 A. Conform teoremei lui Pitagora:

Răspuns: .

Exemplul 3. Calculați volumele figurilor formate prin rotația ariilor delimitate de liniile specificate.

y2=4x; y=0; x=4.

Limitele de integrare a = 0, b = 4.

V= | =32π

Sarcini

Opțiunea 1

1. Secțiunea axială a cilindrului este un pătrat, a cărui diagonală este de 4 dm. Aflați volumul cilindrului.

2. Diametrul exterior al sferei goale este de 18 cm, grosimea peretelui este de 3 cm. Aflați volumul pereților sferei.

X figură mărginită de drepte y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Opțiunea 2

1. Razele a trei bile sunt egale cu 6 cm, 8 cm, 10 cm.Determină raza bilei, al cărei volum este egal cu suma volumelor acestor bile.

2. Aria bazei conului este de 9 cm 2, suprafața sa totală este de 24 cm 2. Aflați volumul conului.

3. Calculați volumul corpului format prin rotație în jurul axei O X figură mărginită de drepte y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Întrebări de test:

1. Scrieți proprietățile volumelor corpurilor.

2. Scrieți o formulă pentru calcularea volumului unui corp de revoluție în jurul axei Oy.

Lucrarea de diagnosticare constă din două părți, inclusiv 19 sarcini. Partea 1 conține 8 sarcini de un nivel de complexitate de bază cu un răspuns scurt. Partea 2 conține 4 sarcini de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns scurt și 7 sarcini de un nivel crescut și ridicat de complexitate cu un răspuns detaliat.
3 ore și 55 de minute (235 de minute) sunt alocate pentru efectuarea lucrărilor de diagnosticare la matematică.
Răspunsurile la sarcinile 1-12 sunt scrise ca un număr întreg sau o fracție zecimală finală. Scrieți numerele în câmpurile de răspuns în textul lucrării, apoi transferați-le în foaia de răspuns nr. 1. Când finalizați sarcinile 13-19, trebuie să notați soluția completă și răspunsul la foaia de răspuns nr. 2.
Toate formularele sunt completate cu cerneală neagră strălucitoare. Este permisă utilizarea stilourilor cu gel, capilare sau stilografice.
Când finalizați sarcinile, puteți utiliza o schiță. Proiectele de înscrieri nu sunt luate în considerare pentru evaluarea lucrării.
Punctele pe care le obțineți pentru sarcinile finalizate sunt însumate.
Vă dorim succes!

Condiții de sarcină

1. Găsiți dacă
2. Pentru a obține o imagine mărită a unui bec pe ecran în laborator, se folosește o lentilă convergentă cu distanța focală principală = 30 cm Distanța de la lentilă la bec poate varia de la 40 la 65 cm, iar distanța de la obiectiv la ecran - în intervalul de la 75 la 100 cm.Imaginea de pe ecran va fi clară dacă raportul este îndeplinit. Specificați cea mai mare distanță de la lentilă la care poate fi amplasat becul, astfel încât imaginea acestuia de pe ecran să fie clară. Exprimați răspunsul în centimetri.
3. Nava trece de-a lungul râului până la destinație timp de 300 km și după parcare se întoarce la punctul de plecare. Găsiți viteza curentului, dacă viteza navei în apă nemișcată este de 15 km/h, parcarea durează 5 ore, iar nava se întoarce la punctul de plecare la 50 de ore după părăsirea acesteia. Dati raspunsul in km/h.
4. Găsiți cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment
5. a) Rezolvați ecuația b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului
6. Dat un con circular drept cu un vârf M. Secțiunea axială a conului - un triunghi cu un unghi de 120 ° la vârf M. Generatorul de con este . Prin punct M o secțiune a conului este trasată perpendicular pe unul dintre generatoare.
   a) Demonstrați că triunghiul rezultat este un triunghi obtuz.
   b) Aflați distanța de la centru O baza conului la planul secțiunii.
7. Rezolvați ecuația
8. Cerc cu centru O atinge partea laterală AB triunghi isoscel abc, extensii laterale AC si continuarea fundatiei soare la punct N. Punct M- mijlocul bazei Soare.
   a) Demonstrați că MN=AC.
   b) Găsiți OS, dacă laturile triunghiului ABC sunt 5, 5 și 8.
9. Proiectul de afaceri „A” presupune o creștere a sumelor investite în acesta cu 34,56% anual în primii doi ani și cu 44% anual în următorii doi ani. Proiectul B presupune o creștere cu un număr întreg constant n procente anual. Găsiți cea mai mică valoare n, conform căruia în primii patru ani proiectul „B” va fi mai profitabil decât proiectul „A”.
10. Găsiți toate valorile parametrului , , pentru fiecare dintre care sistemul de ecuații are singura solutie
11. Anya joacă un joc: pe tablă sunt scrise două numere naturale diferite și , ambele sunt mai mici de 1000. Dacă ambele sunt numere naturale, atunci Anya face o mișcare - le înlocuiește pe cele anterioare cu aceste două numere. Dacă cel puțin unul dintre aceste numere nu este un număr natural, atunci jocul se termină.
    a) Jocul poate continua pentru exact trei mutări?
    b) Există două numere inițiale astfel încât jocul să dureze cel puțin 9 mutări?
    c) Anya a făcut prima mutare în joc. Găsiți cel mai mare raport posibil dintre produsul celor două numere obținute și produsul

Introducere

Relevanța temei de cercetare. Secțiunile conice erau deja cunoscute matematicienilor din Grecia Antică (de exemplu, Menechmus, secolul al IV-lea î.Hr.); cu ajutorul acestor curbe au fost rezolvate unele probleme de construcție (dublarea cubului etc.), care s-au dovedit a fi inaccesibile atunci când se foloseau cele mai simple instrumente de desen - o busolă și o riglă. În primele studii care au ajuns până la noi, geometrii greci au obținut secțiuni conice desenând un plan de tăiere perpendicular pe unul dintre generatoare, în timp ce, în funcție de unghiul de deschidere din vârful conului (adică, cel mai mare unghi dintre generatoare). a unei cavități), linia de intersecție s-a dovedit a fi o elipsă, dacă acest unghi este ascuțit, este o parabolă, dacă este un unghi drept, și o hiperbolă, dacă este obtuz. Cea mai completă lucrare dedicată acestor curbe a fost „Secțiunile conice” ale lui Apollonius din Perga (aproximativ 200 î.Hr.). Alte progrese în teoria secțiunilor conice sunt asociate cu creația în secolul al XVII-lea. noi metode geometrice: proiective (matematicienii francezi J. Desargues, B. Pascal) și mai ales coordonate (matematicienii francezi R. Descartes, P. Fermat).

Interesul pentru secțiunile conice a fost susținut întotdeauna de faptul că aceste curbe se găsesc adesea în diferite fenomene naturale și în activitatea umană. În știință, secțiunile conice au căpătat o semnificație deosebită după ce astronomul german I. Kepler a descoperit din observații, iar omul de știință englez I. Newton a fundamentat teoretic legile mișcării planetare, dintre care una afirmă că planetele și cometele sistemului solar se mișcă de-a lungul conicelor. secțiuni, într-una din focarele cărora este Soarele. Următoarele exemple se referă la anumite tipuri de secțiuni conice: un proiectil sau o piatră aruncată oblic la orizont descrie o parabolă (forma corectă a curbei este oarecum distorsionată de rezistența aerului); în unele mecanisme se folosesc roți dințate eliptice („eliptical angrenaj”); hiperbola servește ca un grafic al proporționalității inverse, adesea observat în natură (de exemplu, legea Boyle-Mariotte).

Obiectiv:

Studiul teoriei secțiunilor conice.

Subiect de cercetare:

Secțiuni conice.

Scopul studiului:

Studiați teoretic caracteristicile secțiunilor conice.

Obiectul de studiu:

Secțiuni conice.

Subiect de studiu:

Dezvoltarea istorică a secțiunilor conice.

1. Formarea secțiunilor conice și tipurile acestora

Secțiunile conice sunt linii care se formează în secțiunea unui con circular drept cu planuri diferite.

Rețineți că o suprafață conică este o suprafață formată prin mișcarea unei linii drepte care trece tot timpul printr-un punct fix (partea de sus a conului) și intersectează tot timpul o curbă fixă ​​- un ghid (în cazul nostru, un cerc). ).

Clasificând aceste drepte în funcție de natura locației planurilor secante în raport cu generatoarele conului, se obțin trei tipuri de curbe:

I. Curbe formate dintr-o secțiune a unui con de planuri care nu sunt paralele cu niciunul dintre generatoare. Astfel de curbe vor fi diferite cercuri și elipse. Aceste curbe se numesc curbe eliptice.

II. Curbe formate dintr-o secțiune a unui con pe plane, fiecare dintre ele paralelă cu una dintre generatricele conului (Fig. 1b). Doar parabolele vor fi astfel de curbe.

III. Curbe formate dintr-o secțiune a unui con de planuri, fiecare dintre ele paralele cu vreo doi generatori (Fig. 1 c). astfel de curbe vor fi hiperbole.

Nu mai pot exista curbe de tip IV, deoarece nu poate exista un plan paralel cu trei generatori ai unui con deodată, deoarece nu există trei generatori ai unui con însuși în același plan.

Rețineți că conul poate fi intersectat de plane și astfel încât să se obțină două drepte în secțiune. Pentru a face acest lucru, planurile secante trebuie trase prin partea superioară a conului.

2. Elipsa

Două teoreme sunt importante pentru studiul proprietăților secțiunilor conice:

Teorema 1. Să fie dat un con circular drept, care este disecat de plane b 1, b 2, b 3, perpendiculare pe axa lui. Atunci toate segmentele generatoarelor de conuri dintre orice pereche de cercuri (obținute în secțiune cu planurile date) sunt egale între ele, adică. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d etc. și B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d etc. Teorema 2. Dacă este dată o suprafață sferică și un punct S este în afara ei, atunci segmentele de tangente trase din punctul S la suprafața sferică vor fi egale între ele, adică. SA 1 =SA 2 =SA 3 etc.

2.1 Proprietatea de bază a unei elipse

Tăiem un con circular drept cu un plan care intersectează toți generatorii săi.În secțiune, obținem o elipsă. Să desenăm un plan perpendicular pe planul prin axa conului.

Să înscriem două bile în con, astfel încât, fiind situate pe laturile opuse ale planului și atingând suprafața conică, fiecare dintre ele să atingă planul la un moment dat.

Lasă o minge să atingă planul în punctul F 1 și să atingă conul de-a lungul cercului C 1, iar cealaltă în punctul F 2 și să atingă conul de-a lungul cercului C 2 .

Luați un punct arbitrar P pe elipsă.

Aceasta înseamnă că toate concluziile făcute despre aceasta vor fi valabile pentru orice punct al elipsei. Să desenăm generatoarea OR a conului și să marchem punctele R 1 și R 2 la care atinge bilele construite.

Conectați punctul P cu punctele F 1 și F 2 . Atunci PF 1 = PR 1 și PF 2 = PR 2, deoarece PF 1, PR 1 sunt tangente trase din punctul P la o bilă, iar PF 2, PR 2 sunt tangente trase din punctul P la o altă bilă (teorema 2 ) . Adăugând ambele egalități termen cu termen, găsim

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Această relație arată că suma distanțelor (РF 1 și РF 2) ale unui punct arbitrar P al elipsei la două puncte F 1 și F 2 este o valoare constantă pentru această elipsă (adică nu depinde de poziția lui). punctul P de pe elipsă).

Punctele F 1 și F 2 sunt numite focare ale elipsei. Punctele în care dreapta F 1 F 2 intersectează elipsa se numesc vârfuri ale elipsei. Segmentul dintre vârfuri se numește axa majoră a elipsei.

Segmentul generatricei R 1 R 2 este egal ca lungime cu axa majoră a elipsei. Atunci proprietatea principală a elipsei se formulează după cum urmează: suma distanțelor unui punct arbitrar P al elipsei la focarele sale F 1 și F 2 este o valoare constantă pentru această elipsă, egală cu lungimea axei sale majore.

Rețineți că dacă focarele elipsei coincid, atunci elipsa este un cerc, adică. un cerc este un caz special al unei elipse.

2.2 Ecuația elipsei

Pentru a formula ecuația unei elipse, trebuie să considerăm elipsa drept locul punctelor care au o proprietate care caracterizează acest loc. Să luăm drept definiție proprietatea principală a elipsei: Elipsa este locul punctelor dintr-un plan pentru care suma distanțelor la două puncte fixe F 1 și F 2 ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă egală cu lungimea axei sale majore.

Fie lungimea segmentului F 1 F 2 \u003d 2c, iar lungimea axei majore este 2a. Pentru a deriva ecuația canonică a elipsei, alegem originea O a sistemului de coordonate carteziene în mijlocul segmentului F 1 F 2 și direcționăm axele Ox și Oy așa cum se arată în Figura 5. (Dacă focarele coincid, atunci O coincide cu F 1 și F 2, iar dincolo de axa Ox poate fi luată ca orice axă care trece prin O). Apoi în sistemul de coordonate ales punctele F 1 (c, 0) și F 2 (-c, 0). Evident, 2a > 2c, i.e. a>c. Fie M(x, y) un punct al planului aparținând elipsei. Fie МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Conform definiției unei elipse, egalitatea

r 1 +r 2 =2a (2) este o condiție necesară și suficientă pentru localizarea punctului M (x, y) pe o elipsă dată. Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem

r 1 =, r 2 =. Să revenim la egalitate (2):

Să mutăm o rădăcină în partea dreaptă a egalității și să o pătram:

Reducand, obtinem:

Dăm altele asemănătoare, reducem cu 4 și izolăm radicalul:

Ne îndreptăm

Deschideți parantezele și scurtați la:

de unde obținem:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Rețineți că a 2 -c 2 >0. Într-adevăr, r 1 +r 2 este suma a două laturi ale triunghiului F 1 MF 2 , iar F 1 F 2 este a treia latură a acestuia. Prin urmare, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , sau 2а>2с, i.e. a>c. Notați a 2 -c 2 \u003d b 2. Ecuația (3) va arăta astfel: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Să efectuăm o transformare care aduce ecuația elipsei la forma canonică (literal: luată ca probă), și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la a 2 b 2:

(4) - ecuația canonică a unei elipse.

Deoarece ecuația (4) este o consecință algebrică a ecuației (2*), atunci coordonatele x și y ale oricărui punct M al elipsei vor satisface și ecuația (4). Deoarece „rădăcini suplimentare” ar putea apărea în timpul transformărilor algebrice asociate cu eliminarea radicalilor, este necesar să ne asigurăm că orice punct M, ale cărui coordonate satisfac ecuația (4), este situat pe această elipsă. Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm că mărimile r 1 și r 2 pentru fiecare punct satisfac relația (2). Deci, fie coordonatele x și y ale punctului M să satisfacă ecuația (4). Înlocuind valoarea lui y 2 din (4) în expresia r 1 , după transformări simple constatăm că r 1 =. Deoarece, atunci r 1 =. În mod similar, găsim că r 2 =. Astfel, pentru punctul considerat M r 1 =, r 2 =, i.e. r 1 + r 2 \u003d 2a, prin urmare punctul M este situat pe o elipsă. Mărimile a și b sunt numite semiaxele majore și, respectiv, minore ale elipsei.

2.3 Studiul formei unei elipse conform ecuației sale

Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică.

1. Ecuația (4) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă punctul (x, y) aparține elipsei, atunci punctele (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Rezultă că elipsa este simetrică față de axele Ox și Oy și, de asemenea, față de punctul O (0,0), care se numește centrul elipsei.

2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând y \u003d 0, găsim două puncte A 1 (a, 0) și A 2 (-a, 0), în care axa Ox intersectează elipsa. Punând x=0 în ecuația (4), găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa Oy: B 1 (0, b) și. B 2 (0, - b) Punctele A 1 , A 2 , B 1 , B 2 se numesc vârfuri de elipsă.

3. Din ecuația (4) rezultă că fiecare termen din partea stângă nu depășește unitatea, adică. există inegalităţi şi sau şi. Prin urmare, toate punctele elipsei se află în interiorul dreptunghiului format din liniile drepte, .

4. În ecuația (4), suma termenilor nenegativi și este egală cu unu. Prin urmare, pe măsură ce un termen crește, celălalt va scădea, adică. Dacă x crește, atunci y scade și invers.

Din cele spuse, rezultă că elipsa are forma prezentată în Fig. 6 (curbă ovală închisă).

Rețineți că dacă a = b, atunci ecuația (4) va lua forma x 2 + y 2 = a 2 . Aceasta este ecuația cercului. O elipsă poate fi obținută dintr-un cerc cu raza a, dacă este comprimată o dată de-a lungul axei Oy. Cu o astfel de contracție, punctul (x; y) va merge la punctul (x; y 1), unde. Înlocuind cercul în ecuație, obținem ecuația elipsei: .

Să introducem încă o cantitate care caracterizează forma elipsei.

Excentricitatea unei elipse este raportul dintre distanța focală 2c și lungimea 2a a axei sale principale.

Excentricitatea este de obicei notată cu e: e = Deoarece c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Din ultima egalitate este ușor de obținut o interpretare geometrică a excentricității elipsei. Pentru numere foarte mici, a și b sunt aproape egale, adică elipsa este aproape de cerc. Dacă este aproape de unitate, atunci numărul b este foarte mic în comparație cu numărul a, iar elipsa este puternic alungită de-a lungul axei majore. Astfel, excentricitatea elipsei caracterizează măsura alungirii elipsei.

3. Hiperbola

3.1 Proprietatea principală a hiperbolei

Explorând hiperbola cu ajutorul construcțiilor similare construcțiilor efectuate pentru studiul elipsei, constatăm că hiperbola are proprietăți asemănătoare cu cele ale elipsei.

Să tăiem un con circular drept de un plan b care intersectează ambele plane ale sale, adică. paralel cu două dintre generatoarele sale. Secțiunea transversală este o hiperbolă. Să desenăm prin axa ST a conului planul ASB, perpendicular pe planul b.

Înscriem două bile în con - una într-una din cavitatea acestuia, cealaltă în alta, astfel încât fiecare dintre ele să atingă suprafața conică și planul de tăiere. Lasă prima bilă să atingă planul b în punctul F 1 și să atingă suprafața conică de-a lungul cercului UґVґ. Lăsați a doua bilă să atingă planul b în punctul F 2 și să atingă suprafața conică de-a lungul cercului UV.

Pe hiperbolă alegem un punct arbitrar M. Să desenăm generatoarea conului MS prin el și să marchem punctele d și D la care atinge prima și a doua bilă. Legăm punctul M cu punctele F 1 , F 2 , pe care le vom numi focarele hiperbolei. Atunci MF 1 =Md, întrucât ambele segmente sunt tangente la prima bilă, trasă din punctul M. În mod similar, MF 2 =MD. Scăzând termen cu termen din prima egalitate a doua, găsim

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

unde dD este o valoare constantă (ca generatoare a unui con cu baze UґVґ şi UV), independent de alegerea punctului M de pe hiperbolă. Notați cu P și Q punctele în care dreapta F 1 F 2 intersectează hiperbola. Aceste puncte P și Q sunt numite vârfuri ale hiperbolei. Segmentul PQ se numește axa reală a hiperbolei. În cursul geometriei elementare se demonstrează că dD=PQ. Prin urmare, MF1-MF2=PQ.

Dacă punctul M va fi pe acea ramură a hiperbolei, în apropierea căreia se află focarul F 1, atunci MF 2 -MF 1 =PQ. Apoi, în final obținem МF 1 -MF 2 =PQ.

Modulul diferenței dintre distanțele unui punct arbitrar M al unei hiperbole față de focarele sale F 1 și F 2 este o valoare constantă egală cu lungimea axei reale a hiperbolei.

3.2 Ecuația unei hiperbole

Să luăm proprietatea principală a unei hiperbole drept definiție: o hiperbolă este un loc de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe la două puncte fixe F 1 și F 2 ale acestui plan, numite focare, este o constantă. valoare egală cu lungimea axei sale reale.

Fie lungimea segmentului F 1 F 2 \u003d 2c, iar lungimea axei reale este 2a. Pentru a deriva ecuația canonică a hiperbolei, alegem originea O a sistemului de coordonate carteziene din mijlocul segmentului F 1 F 2 și direcționăm axele Ox și Oy așa cum se arată în Figura 5. Apoi, în sistemul de coordonate ales, punctele F 1 (c, 0) și F 2 ( -s, 0). Evident 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) este o condiție necesară și suficientă pentru localizarea punctului M (x, y) pe această hiperbolă. Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem

r 1 =, r 2 =. Să revenim la egalitate (5):

Să punem la pătrat ambele părți ale ecuației

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Reducand, obtinem:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Rețineți că c 2 -a 2 >0. Notăm c 2 -a 2 =b 2 . Ecuația (6) va arăta astfel: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Efectuăm o transformare care aduce ecuația hiperbolei la forma canonică, și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la a 2 b 2: (7) - ecuația canonică a hiperbolei, mărimile a și b sunt, respectiv, semiaxele reale și imaginare ale hiperbolei.

Trebuie să ne asigurăm că ecuația (7), obținută prin transformări algebrice ale ecuației (5*), nu a dobândit rădăcini noi. Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm că pentru fiecare punct M, ale cărui coordonate x și y satisfac ecuația (7), valorile r 1 și r 2 satisfac relația (5). Educând argumente similare cu cele care au fost făcute la derivarea formulei elipsei, găsim următoarele expresii pentru r 1 și r 2:

Astfel, pentru punctul M considerat avem r 1 -r 2 =2a, deci este situat pe hiperbolă.

3.3 Studiul ecuației hiperbolei

Acum să încercăm, pe baza ecuației (7), să ne facem o idee despre locația hiperbolei.
1. În primul rând, ecuația (7) arată că hiperbola este simetrică față de ambele axe. Acest lucru se explică prin faptul că în ecuația curbei sunt incluse doar grade egale de coordonate. 2. Marcam acum regiunea planului unde se va afla curba. Ecuația unei hiperbole, rezolvată în raport cu y, are forma:

Arată că y există întotdeauna când x 2? a 2 . Aceasta înseamnă că pentru x? a și pentru x? - iar ordonata y va fi reală, iar pentru - a

În plus, odată cu creșterea x (și mai mare a a), și ordonata y va crește tot timpul (în special, se poate observa din aceasta că curba nu poate fi ondulată, adică astfel încât, odată cu creșterea abscisei lui x, ordonata y fie crește, fie scade) .

3. Centrul unei hiperbole este un punct față de care fiecare punct al hiperbolei are pe el un punct simetric față de el însuși. Punctul O(0,0), originea, ca și elipsa, este centrul hiperbolei dat de ecuația canonică. Aceasta înseamnă că fiecare punct al hiperbolei are un punct simetric pe hiperbolă față de punctul O. Aceasta rezultă din simetria hiperbolei față de axele Ox și Oy. Orice coardă a unei hiperbole care trece prin centrul ei se numește diametrul hiperbolei.

4. Punctele de intersecție ale hiperbolei cu dreapta pe care se află focarele sale se numesc vârfuri ale hiperbolei, iar segmentul dintre ele se numește axa reală a hiperbolei. În acest caz, axa reală este axa x. Rețineți că axa reală a hiperbolei este adesea numită atât segmentul 2a, cât și linia dreaptă în sine (axa Ox) pe care se află.

Găsiți punctele de intersecție ale hiperbolei cu axa Oy. Ecuația axei y este x=0. Înlocuind x = 0 în ecuația (7), obținem că hiperbola nu are puncte de intersecție cu axa Oy. Acest lucru este de înțeles, deoarece nu există puncte de hiperbolă într-o bandă de lățime 2a, care acoperă axa Oy.

Linia perpendiculară pe axa reală a hiperbolei și care trece prin centrul acesteia se numește axa imaginară a hiperbolei. În acest caz, coincide cu axa y. Deci, în numitorii termenilor cu x 2 și y 2 din ecuația hiperbolă (7) se află pătratele semiaxelor reale și imaginare ale hiperbolei.

5. Hiperbola intersectează dreapta y = kx pentru k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Dovada

Pentru a determina coordonatele punctelor de intersecție ale hiperbolei și a dreptei y = kx, este necesar să se rezolve sistemul de ecuații

Eliminând y, obținem

sau Pentru b 2 -k 2 a 2 0, adică pentru k, ecuația rezultată, și deci sistemul de soluții, nu are.

Dreaptele cu ecuațiile y= și y= - se numesc asimptote ale hiperbolei.

Pentru b 2 -k 2 a 2 >0, adică pentru k< система имеет два решения:

Prin urmare, fiecare dreaptă care trece prin origine, cu panta k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Proprietatea optică a hiperbolei: razele optice care emană dintr-un focar al hiperbolei, reflectate din acesta, par să emane din al doilea focar.

Excentricitatea hiperbolei este raportul dintre distanța focală 2c și lungimea 2a a axei sale reale?
acestea. din partea concavității sale.

3.4 Hiperbola conjugată

Alături de hiperbola (7), este considerată așa-numita hiperbola conjugată în raport cu aceasta. Hiperbola conjugată este definită de ecuația canonică.

Pe fig. 10 prezintă hiperbola (7) și hiperbola ei conjugată. Hiperbola conjugată are aceleași asimptote ca și cea dată, dar F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Proprietatea de bază a unei parabole

Să stabilim proprietățile de bază ale unei parabole. Să tăiem un con circular drept cu vârful S printr-un plan paralel cu unul dintre generatorii săi. În secțiune obținem o parabolă. Să desenăm prin axa ST a conului planul ASB, perpendicular pe plan (Fig. 11). Generatorul SA aflat în el va fi paralel cu planul. Să înscriem în con o suprafață sferică tangentă la con de-a lungul cercului UV și tangentă la plan în punctul F. Trasați o linie prin punctul F paralelă cu generatorul SA. Să notăm punctul său de intersecție cu generatoarea SB prin P. Punctul F se numește focarul parabolei, punctul P este vârful său și dreapta PF care trece prin vârf și focar (și paralel cu generatricea). SA) se numește axa parabolei. Parabola nu va avea un al doilea vârf - punctul de intersecție al axei PF cu generatoarea SA: acest punct „se duce la infinit”. Să numim directrice (în traducere înseamnă „ghid”) linia q 1 q 2 a intersecției planului cu planul în care se află cercul UV. Luați un punct arbitrar M de pe parabolă și conectați-l la vârful conului S. Linia MS atinge mingea în punctul D situat pe cercul UV. Conectăm punctul M cu focarul F și aruncăm perpendiculara MK de la punctul M la directrice. Apoi, se dovedește că distanțele unui punct arbitrar M al parabolei la focar (MF) și la directrice (MK) sunt egale între ele (proprietatea principală a parabolei), adică. MF=MK.

Dovada: МF=MD (ca tangente la o minge dintr-un punct). Să notăm unghiul dintre oricare dintre generatoarele conului și axa ST ca q. Să proiectăm segmentele MD și MK pe axa ST. Segmentul MD formează o proiecție pe axa ST, egală cu MDcosc, deoarece MD se află pe generatoarea conului; segmentul MK formează o proiecție pe axa ST, egală cu MKsoc, deoarece segmentul MK este paralel cu generatoarea SA. (Într-adevăr, directricea q 1 q 1 este perpendiculară pe planul ASB. Prin urmare, dreapta PF intersectează directricea în punctul L în unghi drept. Dar dreptele MK și PF se află în același plan, iar MK este, de asemenea, perpendiculară. la directrice). Proiecțiile ambelor segmente MK și MD pe axa ST sunt egale între ele, deoarece unul dintre capete - punctul M - este comun, iar celelalte două D și K se află într-un plan perpendicular pe axa ST (Fig. ). Apoi МDcosц= MKsоsц sau МD= MK. Prin urmare, MF=MK.

Proprietatea 1.(Proprietatea focală a unei parabole).

Distanța de la orice punct al parabolei până la mijlocul coardei principale este egală cu distanța sa până la directrice.

Dovada.

Punctul F - punctul de intersecție al dreptei QR și a coardei principale. Acest punct se află pe axa de simetrie Oy. Într-adevăr, triunghiurile RNQ și ROF sunt congruente, la fel ca triunghiurile dreptunghiulare

triunghiuri cu catete timpurii (NQ=OF, OR=RN). Prin urmare, indiferent de punctul N luăm, linia QR construită de-a lungul ei va intersecta coarda principală în mijlocul său F. Acum este clar că triunghiul FMQ este isoscel. Într-adevăr, segmentul MR este atât mediana, cât și înălțimea acestui triunghi. Aceasta implică faptul că MF=MQ.

Proprietatea 2.(Proprietatea optică a unei parabole).

Orice tangentă la parabolă formează unghiuri egale cu raza focală trasă la punctul tangent și raza care vine din punctul tangent și co-direcționată cu axa (sau, razele care ies dintr-un singur focar, reflectate de parabolă, vor merge paralel cu axa).

Dovada. Pentru un punct N situat pe parabolă în sine, egalitatea |FN|=|NH| este adevărată, iar pentru un punct N" situat în regiunea interioară a parabolei, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, adică punctul M" se află în regiunea exterioară a parabolei. Deci, întreaga linie l, cu excepția punctului M, se află în regiunea exterioară, adică regiunea interioară a parabolei se află pe o parte a lui l, ceea ce înseamnă că l este tangentă la parabolă. Aceasta dă dovada proprietății optice a parabolei: unghiul 1 este egal cu unghiul 2, deoarece l este bisectoarea unghiului FMK.

4.2 Ecuația unei parabole

Pe baza proprietății principale a unei parabole, formulăm definiția acesteia: o parabolă este o mulțime de toate punctele dintr-un plan, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct dat, numit focar, și o linie dreaptă dată, numită directrice. . Distanța de la focarul F la directrice se numește parametrul parabolei și se notează cu p (p > 0).

Pentru a deriva ecuația parabolei, alegem sistemul de coordonate Oxy astfel încât axa Oxy să treacă prin focarul F perpendicular pe directrice în direcția de la directrice la F, iar originea O să fie situată la mijloc între focar și directrice (Fig. 12). În sistemul selectat, focalizarea este F(, 0), iar ecuația directrice are forma x=-, sau x+=0. Fie m (x, y) un punct arbitrar al parabolei. Conectați punctul M cu F. Desenați segmentul MH perpendicular pe directrice. Conform definiției unei parabole, MF = MH. Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, găsim:

Prin urmare, punând la pătrat ambele părți ale ecuației, obținem

acestea. (8) Ecuația (8) se numește ecuația canonică a unei parabole.

4.3 Studiul formelor unei parabole după ecuația acesteia

1. În ecuația (8), variabila y este inclusă într-un grad par, ceea ce înseamnă că parabola este simetrică față de axa Ox; axa x este axa de simetrie a parabolei.

2. Deoarece c > 0, din (8) rezultă că x>0. Prin urmare, parabola este situată în dreapta axei y.

3. Fie x \u003d 0, apoi y \u003d 0. Prin urmare, parabola trece prin origine.

4. Cu o creștere nelimitată a x, și modulul y crește la nesfârșit. Parabola y 2 \u003d 2 px are forma (forma) prezentată în Figura 13. Punctul O (0; 0) se numește vârful parabolei, segmentul FM \u003d r se numește raza focală a punctului M . Ecuațiile y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) definesc, de asemenea, parabolele.

1.5. Proprietatea directorului secțiunilor conice .

Aici demonstrăm că fiecare secțiune conică necirculară (nedegenerată) poate fi definită ca o mulțime de puncte M, raportul dintre distanța MF dintre un punct fix F și distanța MP de la o linie fixă ​​d care nu trece prin punctul F este egal cu o valoare constantă e: unde F - focarul secțiunii conice, linia dreaptă d este directrice, iar raportul e este excentricitatea. (Dacă punctul F aparține dreptei d, atunci condiția determină mulțimea de puncte, care este o pereche de drepte, adică o secțiune conică degenerată; pentru e = 1, această pereche de drepte se contopește într-o singură dreaptă. Pentru a demonstra aceasta, consideram conul format prin rotirea dreptei l in jurul lui care o intersecteaza in punctul O al dreptei p, constituind cu l unghiul b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Să înscriem o minge K în con atingând planul p în punctul F și atingând conul de-a lungul cercului S. Notăm cu d linia de intersecție a planului p cu planul y al cercului S.

Să conectăm acum un punct arbitrar M, situat pe dreapta A a intersecției planului p și conului, cu vârful O al conului și cu punctul F, și să aruncăm perpendiculara MP de la M la dreapta d; notăm de asemenea cu E punctul de intersecție al generatorului MO al conului cu cercul S.

Mai mult, MF = ME, ca segmente a două tangente ale bilei K, trase dintr-un punct M.

Mai mult, segmentul ME formează cu axa p a conului un unghi constant (adică, independent de alegerea punctului M) 6, iar segmentul MP ​​formează un unghi constant β; prin urmare, proiecțiile acestor două segmente pe axa p sunt, respectiv, egale cu ME cos b și MP cos c.

Dar aceste proiecții coincid, deoarece segmentele ME și MP au o origine comună M, iar capetele lor se află în planul y perpendicular pe axa p.

Prin urmare, ME cos b = MP cos c, sau, întrucât ME = MF, MF cos b = MP cos c, de unde rezultă că

De asemenea, este ușor să arătăm că dacă punctul M al planului p nu aparține conului, atunci. Astfel, fiecare secțiune a unui con circular drept poate fi descrisă ca un set de puncte în plan, pentru care. Pe de altă parte, prin modificarea valorilor unghiurilor b și c, putem da excentricității orice valoare e > 0; În plus, din considerente de similitudine, nu este greu de înțeles că distanța FQ de la focar la directrice este direct proporțională cu raza r a bilei K (sau distanța d a planului p de la vârful O al conul). Se poate arăta că, astfel, alegând în mod corespunzător distanța d, putem da distanței FQ orice valoare. Prin urmare, fiecare set de puncte M, pentru care raportul distanțelor de la M la un punct fix F și la o dreaptă fixă ​​d are o valoare constantă, poate fi descrisă ca o curbă obținută în secțiunea unui con circular drept de o avion. Aceasta dovedește că secțiunile conice (nedegenerate) pot fi definite și prin proprietatea discutată în această subsecțiune.

Această proprietate a secțiunilor conice se numește ele proprietatea directorului. Este clar că dacă c > b, atunci e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Pe de altă parte, este ușor de observat că dacă s > 6, atunci planul p intersectează conul de-a lungul unei linii închise mărginite; dacă c = b, atunci planul p intersectează conul de-a lungul unei drepte nemărginite; dacă în< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Secțiunea conică pentru care e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 se numește hiperbolă. Elipsele includ, de asemenea, un cerc, care nu poate fi specificat de o proprietate de director; deoarece pentru un cerc raportul se transformă în 0 (pentru că în acest caz β \u003d 90º), se consideră condiționat că cercul este o secțiune conică cu o excentricitate de 0.

6. Elipsa, hiperbola și parabola ca secțiuni conice

hiperbolă elipsă de secțiune conică

Vechiul matematician grec Menechmus, care a descoperit elipsa, hiperbola și parabola, le-a definit ca secțiuni ale unui con circular pe un plan perpendicular pe unul dintre generatori. El a numit curbele rezultate secțiuni de conuri cu unghi ascuțit, dreptunghiular și obtuz, în funcție de unghiul axial al conului. Prima, după cum vom vedea mai jos, este o elipsă, a doua este o parabolă, a treia este o ramură a unei hiperbole. Denumirile „elipsă”, „hiperbolă” și „parabolă” au fost introduse de Apollonius. Aproape complet (7 din 8 cărți) lucrarea lui Apollonius „Despre secțiunile conice” a ajuns până la noi. În această lucrare, Apollonius ia în considerare ambele etaje ale conului și intersectează conul cu planuri care nu sunt neapărat perpendiculare pe unul dintre generatori.

Teorema. Secțiunea oricărui con circular drept printr-un plan (care nu trece prin vârful său) definește o curbă, care poate fi doar o hiperbolă (Fig. 4), o parabolă (Fig. 5) sau o elipsă (Fig. 6). Mai mult, dacă planul intersectează doar un plan al conului și de-a lungul unei curbe închise, atunci această curbă este o elipsă; dacă un plan intersectează doar un plan de-a lungul unei curbe deschise, atunci această curbă este o parabolă; dacă planul de tăiere intersectează ambele planuri ale conului, atunci în secțiune se formează o hiperbolă.

O demonstrație elegantă a acestei teoreme a fost propusă în 1822 de Dandelin folosind sfere, care sunt acum numite sfere Dandelin. Să ne uităm la această dovadă.

Să înscriem într-un con două sfere care ating planul secțiunii П din laturi diferite. Notați cu F1 și F2 punctele de contact dintre acest plan și sfere. Să luăm un punct arbitrar M pe linia de secțiune a conului după planul P. Pe generatoarea conului care trece prin M, marchem punctele P1 și P2 situate pe cercul k1 și k2, de-a lungul căruia sferele ating con.

Este clar că MF1=MP1 ca segmentele a două tangente la prima sferă care ies din M; în mod similar, MF2=MP2. Prin urmare, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Lungimea segmentului P1P2 este aceeași pentru toate punctele M ale secțiunii noastre: este generatria unui trunchi de con mărginit de plane paralele 1 și 11, în care se află cercurile k1 și k2. Prin urmare, linia de secțiune a conului după planul P este o elipsă cu focarele F1 și F2. Valabilitatea acestei teoreme poate fi stabilită și pe baza poziției generale că intersecția unei suprafețe de ordinul doi cu un plan este o dreaptă de ordinul doi.

Literatură

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometrie. În 2 ore.Partea 1. Manual pentru studenții de fizică și matematică. ped. în-tovarăş-M.: Iluminismul, 1986.

2. Bazylev V.T. etc Geometrie. Proc. indemnizație pentru studenții anului I la fizică. - mat. fapte ped. în. - tovarăș-M .: Educație, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometrie. Proc. pentru 7-11 celule. medie şcoală - Ed. a IV-a-M.: Iluminismul, 1993.

4. Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea. Iuşkevici A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Proprietățile optice ale elipsei, hiperbolei și parabolei. // Quantum. - 1975. - Nr. 12. - cu. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Un scurt curs de geometrie analitică. - M: Nauka, ediția a VI-a, 1967. - 267 p.

Documente similare

Conceptul de secțiuni conice. Secțiuni conice - intersecții de planuri și conuri. Tipuri de secțiuni conice. Construcția secțiunilor conice. Secțiunea conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi.

rezumat, adăugat 05.10.2008


„Secțiuni conice” ale lui Apollonius. Derivarea ecuației curbei pentru o secțiune a unui con de revoluție dreptunghiular. Derivarea ecuației pentru o parabolă, o elipsă și o hiperbolă. Invarianța secțiunilor conice. Dezvoltarea ulterioară a teoriei secțiunilor conice în lucrările lui Apollonius.

rezumat, adăugat 02.04.2010


Conceptul și informațiile istorice despre con, caracteristicile elementelor sale. Caracteristicile formării unui con și tipuri de secțiuni conice. Construcția sferei Dandelin și parametrii acesteia. Aplicarea proprietăților secțiunilor conice. Calcule ale ariilor suprafetelor conului.

prezentare, adaugat 04.08.2012


Conceptul matematic al unei curbe. Ecuația generală a curbei de ordinul doi. Ecuații de cerc, elipsă, hiperbolă și parabolă. Axele de simetrie ale unei hiperbole. Studiul formei unei parabole. Curbe de ordinul trei și al patrulea. Anjesi buclă, foaie carteziană.

teză, adăugată 14.10.2011


Revizuirea și caracterizarea diferitelor metode de construire a secțiunilor de poliedre, determinarea punctelor forte și a punctelor slabe ale acestora. Metoda secțiunilor auxiliare ca metodă universală de construire a secțiunilor de poliedre. Exemple de rezolvare a problemelor pe tema de cercetare.

prezentare, adaugat 19.01.2014


Ecuația generală a curbei de ordinul doi. Întocmirea ecuațiilor unei elipse, unui cerc, unei hiperbole și a unei parabole. Excentricitatea unei hiperbole. Focalizarea și directricea unei parabole. Transformarea ecuației generale în forma canonică. Dependența tipului de curbă de invarianți.

prezentare, adaugat 11.10.2014


Elemente de geometrie triunghiulară: conjugare izogonală și izotomică, puncte și drepte remarcabile. Conici asociate unui triunghi: proprietăți ale secțiunilor conice; conici circumscrise unui triunghi și înscrise în el; aplicare la rezolvarea problemelor.

lucrare de termen, adăugată 17.06.2012


Elipsa, hiperbola, parabola ca curbe de ordinul doi utilizate în matematica superioară. Conceptul de curbă de ordinul doi este o linie pe un plan, care într-un sistem de coordonate carteziene este determinată de o ecuație. teorema lui Pascaml și teorema lui Brianchon.

rezumat, adăugat 26.01.2011


Despre originea problemei dublării cubului (una dintre cele cinci probleme celebre ale antichității). Prima încercare cunoscută de a rezolva problema, soluția lui Archit din Tarentum. Rezolvarea problemelor în Grecia antică după Archytas. Soluții folosind secțiunile conice ale lui Menechmus și Eratosthenes.

rezumat, adăugat 13.04.2014


Principalele tipuri de secțiune a conului. Secțiune formată dintr-un plan care trece prin axa conului (axial) și prin vârful acestuia (triunghi). Formarea unei secțiuni printr-un plan paralel (parabolă), perpendicular (cerc) și nu perpendicular (elipsă) pe axă.

Să fie dat un cilindru circular drept, planul orizontal al proiecțiilor este paralel cu baza sa. Când un cilindru este intersectat de un plan în poziție generală (presupunem că planul nu intersectează bazele cilindrului), linia de intersecție este o elipsă, secțiunea în sine are forma unei elipse, proiecția sa orizontală coincide cu proiectia bazei cilindrului, iar fata are si forma unei elipse. Dar dacă planul de tăiere face un unghi egal cu 45 ° cu axa cilindrului, atunci secțiunea, care are forma unei elipse, este proiectată printr-un cerc pe acel plan de proiecție față de care secțiunea este înclinată la același unghi.

Dacă planul de tăiere intersectează suprafața laterală a cilindrului și una dintre bazele acestuia (Fig. 8.6), atunci linia de intersecție are forma unei elipse incomplete (parte a unei elipse). Proiecția orizontală a secțiunii în acest caz face parte din cerc (proiecția bazei), iar frontala este parte a elipsei. Planul poate fi situat perpendicular pe orice plan de proiecție, apoi secțiunea va fi proiectată pe acest plan de proiecție printr-o linie dreaptă (parte a urmei planului secant).

Dacă cilindrul este intersectat de un plan paralel cu generatricea, atunci liniile de intersecție cu suprafața laterală sunt drepte, iar secțiunea în sine are forma unui dreptunghi dacă cilindrul este drept sau un paralelogram dacă cilindrul este înclinat.

După cum știți, atât cilindrul, cât și conul sunt formate din suprafețe riglate.

Linia de intersecție (linia de tăiere) a suprafeței rigle și a planului în cazul general este o anumită curbă, care se construiește din punctele de intersecție ale generatoarelor cu planul secant.

Să fie dat con circular drept. La traversarea acestuia cu un plan, linia de intersecție poate lua forma: un triunghi, o elipsă, un cerc, o parabolă, o hiperbolă (fig. 8.7), în funcție de locația planului.

Un triunghi se obține atunci când planul de tăiere, care traversează conul, trece prin vârful său. În acest caz, liniile de intersecție cu suprafața laterală sunt linii drepte care se intersectează în vârful conului, care împreună cu linia de intersecție a bazei formează un triunghi proiectat pe planurile de proiecție cu distorsiune. Dacă planul intersectează axa conului, atunci în secțiune se obține un triunghi, în care unghiul cu vârful care coincide cu vârful conului va fi maxim pentru secțiunile triunghiulare ale conului dat. În acest caz, secțiunea este proiectată pe planul de proiecție orizontal (este paralelă cu baza sa) printr-un segment de linie dreaptă.

Linia de intersecție a unui plan și a unui con va fi o elipsă dacă planul nu este paralel cu niciunul dintre generatorii conului. Acest lucru este echivalent cu faptul că planul intersectează toate generatoarele (întreaga suprafață laterală a conului). Dacă planul de tăiere este paralel cu baza conului, atunci linia de intersecție este un cerc, secțiunea însăși este proiectată pe planul de proiecție orizontal fără distorsiuni și pe planul frontal - ca un segment de linie dreaptă.

Linia de intersecție va fi o parabolă atunci când planul secant este paralel cu o singură generatrică a conului. Dacă planul de tăiere este paralel cu două generatoare în același timp, atunci linia de intersecție este o hiperbolă.

Un trunchi de con se obține dacă un con circular drept este intersectat de un plan paralel cu baza și perpendicular pe axa conului, iar partea superioară este aruncată. În cazul în care planul de proiecție orizontal este paralel cu bazele trunchiului de con, aceste baze sunt proiectate pe planul de proiecție orizontal fără distorsiuni prin cercuri concentrice, iar proiecția frontală este un trapez. Când un trunchi de con este intersectat de un plan, în funcție de locația sa, linia tăiată poate lua forma unui trapez, elipsă, cerc, parabolă, hiperbolă sau o parte a uneia dintre aceste curbe, ale căror capete sunt conectate printr-un linie dreapta.