A.V. Glasco

PRELEȚII DE ANALIZA MATEMATICĂ

"FUNCTII SI LIMITE ELEMENTARE"

Moscova, MSTU im. N.E. Bauman

§unu. simbolism logic.

Când scriem expresii matematice, vom folosi următoarele simboluri logice:

	Sens		Sens
			Pentru oricine, pentru toată lumea, pentru toată lumea (de la
			Există, există, există (există)
			implică, urmează (prin urmare)
			În mod echivalent, dacă și numai dacă,
			necesar si suficient
Deci, dacă A și B sunt propoziții, atunci

			Sens
			A sau B (sau A sau B, sau ambele A și B)
			Pentru orice x avem A
			Există x pentru care A este valabil
			Din A urmează B (dacă A este adevărat, atunci B este adevărat)
(implicare)
			A este echivalent cu B, A apare dacă și numai dacă B apare,
			A este necesar și suficient pentru B
	Cometariu. „A B” înseamnă că A este suficient pentru B și B este necesar pentru A.

Exemplu. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Uneori vom folosi un alt caracter special: A =df B.

Înseamnă că A = B prin definiție.

§2. seturi. Elemente și părți ale unui set.

Conceptul de mulțime este un concept primar, nedefinit în termeni de concepte mai simple. Cuvintele: set, familie, set sunt sinonimele sale.

Exemple de seturi: mulți elevi la clasă, mulți profesori la catedră, multe mașini în parcare etc.

Conceptele primare sunt și conceptele element stabilitși relații

între elementele ansamblului.

Exemplu. N este mulțimea numerelor naturale, elementele sale sunt numerele 1,2,3, ... Dacă x și y sunt elemente ale lui N, atunci ele sunt în una din următoarele relații: x = y, x y.

Suntem de acord să notăm mulțimile cu majuscule: A, B, C, X, Y, …, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c, x, y, …

Relațiile dintre elemente sau mulțimi sunt indicate prin simboluri introduse între litere. De exemplu. Fie A oarecare set. Atunci relația a A înseamnă că a este un element al mulțimii A. Notația a A înseamnă că a nu este un element al lui A.

Setul poate fi definit în diferite moduri. 1. Enumerarea elementelor sale.

De exemplu, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Precizarea proprietăților elementelor. Fie A mulțimea elementelor a cu proprietatea p. Acesta poate fi scris ca: A=( a:p ) sau A=( ap ).

De exemplu, notația A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) înseamnă că A este mulțimea numerelor reale care satisfac inegalitatea x2 -1>0.

Să introducem câteva definiții importante.

Def. O mulțime se numește finită dacă este formată dintr-un anumit număr finit de elemente. Altfel, se numește infinit.

De exemplu, mulțimea elevilor din clasă este finită, dar mulțimea numerelor naturale sau mulțimea punctelor din interiorul segmentului este infinită.

Def. O mulțime care nu conține niciun element se numește goală și se notează.

Def. Se spune că două mulțimi sunt egale dacă sunt compuse din același

Acestea. conceptul de mulţime nu implică o anumită ordine a elementelor. Def. O mulțime X se numește submulțime a unei mulțimi Y dacă orice element al mulțimii X este un element al mulțimii Y (în acest caz, în general, nu orice

un element al mulţimii Y este un element al mulţimii X). În acest caz, se utilizează denumirea: X Y.

De exemplu, mulțimea portocalelor O este o submulțime a mulțimii de fructe F : O F , iar mulțimea numerelor naturale N este o submulțime a mulțimii numerelor reale R : N R .

Caracterele „ ” și „ ” se numesc caractere de includere. Fiecare set este considerat a fi un subset al lui însuși. Setul gol este un subset al oricărui set.

Def. Orice submulțime B nevide a unei mulțimi A care nu este egală cu A este numită

propriul subset.

§ 3. Diagramele Euler-Venn. Operații elementare pe platouri.

Este convenabil să reprezentați grafic mulțimi, ca regiuni pe un plan. Aceasta implică faptul că punctele regiunii corespund elementelor mulțimii. Astfel de reprezentări grafice ale mulțimilor se numesc diagrame Euler-Venn.

Exemplu. A este setul de studenți MSTU, B este setul de studenți din audiență. Orez. 1 demonstrează clar că A B .

Diagramele Euler-Venn sunt convenabile de utilizat pentru o reprezentare vizuală a elementului operatii pe platouri. Operațiunile principale includ următoarele.

Orez. 1. Un exemplu de diagramă Euler-Venn.

1. Intersecția A B a mulțimilor A și B este mulțimea C, care este formată din toate elementele aparținând simultan ambelor mulțimi A și B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(în Fig. 2, mulțimea C este reprezentată de zona umbrită).

Orez. 2. Intersecția mulțimilor.

2. Unirea A B a multimilor A si B este multimea C, formata din toate elementele apartinand cel putin uneia dintre multimile A sau B.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(în Fig. 3, mulțimea C este reprezentată de zona umbrită).

Orez. 3. Unirea seturilor.

Orez. 4. Diferența de seturi.

3. Diferența A \ B a mulțimilor A și B este mulțimea C, formată din toate elementele aparținând mulțimii A, dar care nu aparțin mulțimii B:

A \ B =( z: (z A) (z B) )

(în Fig. 4, mulțimea C este reprezentată de zona umbrită în galben).

§ 4. Mulţimea numerelor reale.

Să construim o mulțime de numere reale (reale) R. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare, în primul rând, set de numere naturale, pe care o definim astfel. Să luăm numărul n=1 ca prim element. Fiecare element ulterior va fi obținut din cel anterior prin adăugarea unuia:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = ( 1, 2, 3, …, n, … ).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).

Mulțimea numerelor întregi Z definiți ca unirea a trei mulțimi: N, -N și o mulțime formată dintr-un singur element - zero:

Mulțimea numerelor raționale este definită ca mulțimea tuturor rapoartelor posibile ale numerelor întregi:

Q = (xx = m/n; m, nZ, n0).

Evident, N Z Q.

Se știe că fiecare număr rațional poate fi scris ca o fracție finită reală sau infinită periodică. Sunt numerele raționale suficiente pentru a măsura toate cantitățile pe care le putem întâlni în studiul lumii din jurul nostru? Deja în Grecia Antică s-a arătat că nu este: dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic isoscel cu catete de lungime unu, lungimea ipotenuzei nu poate fi reprezentată ca număr rațional. Astfel, nu ne putem restrânge la mulțimea numerelor raționale. Este necesar să se extindă conceptul de număr. Această extindere se realizează prin introducere mulţimi de numere iraţionale J, care este cel mai ușor de gândit ca o mulțime de zecimale infinite neperiodice.

Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale se numește

multime de numere reale (reale) R: R =Q Y.

Uneori ei consideră un set extins de numere reale R, înțelegând

Numerele reale sunt reprezentate convenabil ca puncte pe linia numerică.

Def. Axa numerică se numește linie dreaptă, care indică originea, scara și direcția de referință.

Se stabilește o corespondență unu-la-unu între numerele reale și punctele axei numerice: orice număr real corespunde unui singur punct al axei numerice și invers.

Axioma completității (continuității) a mulțimii numerelor reale. Oricare ar fi mulțimile nevide А= ( a ) R și B= (b) R sunt astfel încât pentru orice a și b inegalitatea a ≤ b este adevărată, există un număr cR astfel încât a ≤ c ≤ b (Fig. 5).

Fig.5. Ilustrarea axiomei completitudinii mulțimii numerelor reale.

§5. Seturi numerice. Cartier.

Def. Set numeric se numește orice submulțime a mulțimii R. Cele mai importante mulțimi numerice: N, Z, Q, J și, de asemenea

segment: (x R | a x b ),

interval: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

semiintervale: ( x R| a x b),

(x R | x b).

Cel mai important rol în analiza matematică îl joacă conceptul de vecinătate a unui punct pe axa numerică.

Def. -vecinatatea punctului x 0 este un interval de lungime 2 centrat in punctul x 0 (Fig. 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Orez. 6. Vecinătatea unui punct.

Def. Vecinătatea perforată a unui punct este vecinătatea acestui punct,

din care punctul x 0 însuși este exclus (Fig. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Orez. 7. Vecinătatea perforată a unui punct.

Def. Vecinătatea din dreapta a punctului x0 numit semi-interval

u (x 0 ) , interval: E= [-π/2,π/2 ].

Orez. 11. Graficul funcției y arcsin x.

Să introducem acum conceptul de funcție complexă ( compoziții afișate). Să fie date trei mulțimi D, E, M și să fie f: D→E, g: E→M. În mod evident, este posibil să se construiască o nouă mapare h: D→M, numită o compoziție de mapări f și g sau o funcție complexă (Fig. 12).

O funcție complexă se notează astfel: z =h(x)=g(f(x)) sau h = f o g.

Orez. 12. Ilustrație pentru conceptul de funcție complexă.

Se numește funcția f (x). funcție internă, iar funcția g ( y ) - functie externa.

1. Funcția internă f (x) = x², extern g (y) sin y. Funcția complexă z= g(f(x))=sin(x²)

2. Acum invers. Funcția interioară f (x)= sinx, exterioară g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Lasă variabila X n ia o succesiune infinită de valori

X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)

iar legea schimbării variabilei este cunoscută X n, adică pentru fiecare număr natural n puteți specifica valoarea corespunzătoare X n. Astfel se presupune că variabila X n este o functie a n:

X n = f(n)

Să definim unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice - limita unei secvențe sau, ceea ce este același, limita unei variabile X n secvență de rulare X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .

Definiție. număr constant A numit limită de secvență X 1 , X 2 , ..., X n , ... . sau limita unei variabile X n, dacă pentru un număr pozitiv arbitrar mic e există un astfel de număr natural N(adică numărul N) că toate valorile variabilei X n, incepand cu X N, diferă de A mai puțin în valoare absolută decât e. Această definiție este scrisă pe scurt după cum urmează:

| X n - A |< (2)

pentru toți n  N, sau, care este același,

Definiția limitei Cauchy. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu excepția, poate, a punctului a însuși, și pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru toate x satisface condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definiția limitei Heine. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu excepția, probabil, a punctului a însuși și pentru orice succesiune astfel încât convergând către numărul a, succesiunea corespunzătoare de valori a funcției converge către numărul A.

Dacă funcția f(x) are o limită în punctul a, atunci această limită este unică.

Numărul A 1 se numește limita stângă a funcției f (x) în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ >

Numărul A 2 se numește limita dreaptă a funcției f (x) în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât inegalitatea

Limita din stânga este desemnată ca limită din dreapta - Aceste limite caracterizează comportamentul funcției la stânga și la dreapta punctului a. Ele sunt adesea denumite limite unidirecționale. În notarea limitelor unilaterale ca x → 0, primul zero este de obicei omis: și . Deci, pentru funcție

Dacă pentru fiecare ε > 0 există o δ-vecinătate a unui punct a astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, atunci spunem că funcția f (x) are o limită infinită în punctul a:

Astfel, funcția are o limită infinită în punctul x = 0. Se disting adesea limite egale cu +∞ și –∞. Asa de,

Dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru orice x > δ inegalitatea |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema existenței pentru cea mai mică limită superioară

Definiție: AR mR, m - fața superioară (inferioară) a lui A, dacă аА аm (аm).

Definiție: Mulțimea A este mărginită de sus (de jos), dacă există m astfel încât аА, atunci аm (аm) este satisfăcută.

Definiție: SupA=m, dacă 1) m - limita superioară a lui A

2) m’: m’ m' nu este o față superioară a lui A

InfA = n dacă 1) n este infimul lui A

2) n’: n’>n => n’ nu este un infim al lui A

Definiție: SupA=m este un număr astfel încât: 1)  aA am

2) >0 a  A, astfel încât a  a-

InfA = n se numește un număr astfel încât:

2) >0 a  A, astfel încât a E a+

Teorema: Orice mulțime nevidă АR mărginită de sus are cea mai bună limită superioară și una unică.

Dovada:

Construim un număr m pe dreapta reală și demonstrăm că aceasta este cea mai mică limită superioară a lui A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - fața superioară a lui A

Segmentul [[m],[m]+1] - împărțit în 10 părți

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m la =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - fața superioară A

Să demonstrăm că m=[m],m 1 ...m K este cea mai mică limită superioară și că este unică:

la: )