Definiție.

Acesta este un hexagon, ale cărui baze sunt două pătrate egale, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

Coastă laterală este partea comună a două fețe laterale adiacente

Înălțimea prismei este un segment de dreaptă perpendicular pe bazele prismei

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal- un plan care trece prin diagonala prismei și marginile sale laterale

Secțiune diagonală- limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea diagonală a unei prisme patruunghiulare obișnuite este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt marcate cu literele corespunzătoare:

• Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
• Fețele laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare dintre acestea fiind dreptunghi
• Suprafața laterală - suma suprafețelor tuturor fețelor laterale ale prismei
• Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
• Nervurile laterale AA 1 , BB 1 , CC 1 și DD 1 .
• Diagonala B 1 D
• Diagonala bazei BD
• Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
• Secţiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2 .

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

• Bazele sunt două pătrate egale
• Bazele sunt paralele între ele
• Laturile sunt dreptunghiuri.
• Fețele laterale sunt egale între ele
• Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
• Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
• Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
• Unghiuri de secțiune perpendiculară - Dreapta
• Secțiunea diagonală a unei prisme patruunghiulare obișnuite este un dreptunghi
• Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

La rezolvarea problemelor pe tema " prisma patruunghiulara regulata" implică faptul că:

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află un poligon regulat, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Adică o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patruunghiulare obișnuite) Notă. Aceasta face parte din lecția cu sarcini de geometrie (secțiunea geometrie solidă - prismă). Iată sarcinile care provoacă dificultăți în rezolvare. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. Pentru a desemna acțiunea de extragere a rădăcinii pătrate în rezolvarea problemelor, se folosește simbolul√ .

Sarcină.

Într-o prismă patruunghiulară obișnuită, aria bazei este de 144 cm 2 și înălțimea este de 14 cm. Aflați diagonala prismei și aria totală a suprafeței.

Decizie.
Un patrulater regulat este un pătrat.
În consecință, latura bazei va fi egală cu

√144 = 12 cm.
De unde diagonala bazei unei prisme dreptunghiulare regulate va fi egală cu
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonala unei prisme regulate formează un triunghi dreptunghic cu diagonala bazei și înălțimea prismei. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătraunghiulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

Sarcină

Aflați aria suprafeței totale a unei prisme patrulatere obișnuite dacă diagonala acesteia este de 5 cm și diagonala feței laterale este de 4 cm.

Decizie.
Deoarece baza unei prisme patruunghiulare obișnuite este un pătrat, atunci latura bazei (notată cu a) este găsită de teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA_1B_1C_1, laturile bazei sunt 4 , iar marginile laterale sunt 10 . Găsiți aria secțiunii prismei după planul care trece prin punctele medii ale muchiilor AB, AC, A_1B_1 și A_1C_1.

Afișează soluția

Decizie

Luați în considerare următoarea figură.

Segmentul MN este linia mediană a triunghiului A_1B_1C_1, deci MN = \frac12 B_1C_1=2. De asemenea, KL=\frac12BC=2.În plus, MK = NL = 10. Aceasta implică faptul că patrulaterul MNLK este un paralelogram. Din moment ce MK\parallel AA_1, apoi MK\perp ABC și MK\perp KL. Prin urmare, patrulaterul MNLK este un dreptunghi. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Volumul unei prisme patrulatere regulate ABCDA_1B_1C_1D_1 este 24 . Punctul K este mijlocul muchiei CC_1 . Aflați volumul piramidei KBCD.

Afișează soluția

Decizie

Conform condiției, KC este înălțimea piramidei KBCD . CC_1 este înălțimea prismei ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Deoarece K este punctul de mijloc al lui CC_1 , atunci KC=\frac12CC_1. Fie CC_1=H , atunci KC=\frac12H. De asemenea, rețineți că S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Apoi, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Prin urmare, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Aflați aria suprafeței laterale a unei prisme hexagonale regulate a cărei latură de bază este 6 și înălțimea ei este 8.

Afișează soluția

Decizie

Aria suprafeței laterale a prismei se găsește prin formula S. = P principal. · h = 6a\cdot h, unde P principal. și h sunt, respectiv, perimetrul bazei și înălțimea prismei, egale cu 8 , iar a este latura unui hexagon regulat, egală cu 6 . Prin urmare, partea S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Apa este turnată într-un vas în formă de prismă triunghiulară obișnuită. Nivelul apei ajunge la 40 cm.La ce înălțime va fi nivelul apei dacă se toarnă într-un alt vas de aceeași formă, a cărui latură de bază este de două ori mai mare decât a primului? Exprimați răspunsul în centimetri.

Afișează soluția

Decizie

Fie a latura bazei primului vas, apoi 2 a este partea bazei celui de-al doilea vas. După condiție, volumul lichidului V din primul și al doilea vas este același. Se notează cu H nivelul la care lichidul a urcat în al doilea vas. Apoi V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,și, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. De aici \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 toate muchiile sunt 2 . Aflați distanța dintre punctele A și E_1 .

Afișează soluția

Decizie

Triunghiul AEE_1 este dreptunghic, deoarece muchia EE_1 este perpendiculară pe planul bazei prismei, unghiul AEE_1 va fi un unghi drept.

Apoi prin teorema lui Pitagora AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Găsiți AE din triunghiul AFE folosind teorema cosinusului. Fiecare unghi interior al unui hexagon regulat este 120^(\circ). Apoi AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Prin urmare, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Aflați aria suprafeței laterale a unei prisme drepte a cărei bază este un romb cu diagonale egale cu 4\sqrt5și 8 și o margine laterală egală cu 5 .

Afișează soluția

Decizie

Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este găsită prin formula S. = P principal. · h = 4a\cdot h, unde P principal. şi h, respectiv, perimetrul bazei şi înălţimea prismei, egale cu 5, iar a este latura rombului. Să găsim latura rombului, folosind faptul că diagonalele rombului ABCD sunt reciproc perpendiculare și punctul de intersecție este împărțit la jumătate.

Să fie necesar să se găsească volumul unei prisme triunghiulare drepte, a cărei aria bazei este egală cu S și înălțimea este egală cu h= AA' = BB' = CC' (Fig. 306).

Desenăm separat baza prismei, adică triunghiul ABC (Fig. 307, a), și o completăm până la un dreptunghi, pentru care trasăm o dreaptă KM prin vârful B || AC și din punctele A și C coborâm perpendicularele AF și CE pe această dreaptă. Obținem dreptunghiul ACEF. După ce a tras înălțimea BD a triunghiului ABC, vom vedea că dreptunghiul ACEF este împărțit în 4 triunghiuri dreptunghiulare. Mai mult, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD și \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Aceasta înseamnă că aria dreptunghiului ACEF este de două ori mai mare decât aria triunghiului ABC, adică este egală cu 2S.

La aceasta prisma cu baza ABC adaugam prisme cu baze ALL si BAF si inaltime h(Fig. 307, b). Obținem un paralelipiped dreptunghiular cu bază ACEF.

Dacă tăiem acest paralelipiped printr-un plan care trece prin liniile BD și BB', vom vedea că paralelipipedul dreptunghiular este format din 4 prisme cu bazele BCD, ALL, BAD și BAF.

Prismele cu bazele BCD și ALL pot fi combinate, deoarece bazele lor sunt egale (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BSE) și marginile lor laterale, care sunt perpendiculare pe un plan, sunt de asemenea egale. Prin urmare, volumele acestor prisme sunt egale. De asemenea, volumele prismelor cu bazele BAD și BAF sunt egale.

Astfel, rezultă că volumul unei prisme triunghiulare date cu baza ABC este jumătate din volumul unui paralelipiped dreptunghic cu baza ACEF.

Știm că volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea, adică, în acest caz, este egal cu 2S h. Prin urmare, volumul acestei prisme triunghiulare drepte este egal cu S h.

Volumul unei prisme triunghiulare drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea.

2. Volumul unei prisme poligonale drepte.

Pentru a găsi volumul unei prisme poligonale drepte, cum ar fi una pentagonală, cu aria bazei S și înălțimea h, să-l spargem în prisme triunghiulare (Fig. 308).

Notând ariile de bază ale prismelor triunghiulare prin S 1, S 2 și S 3 și volumul acestei prisme poligonale prin V, obținem:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, sau

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Și în sfârșit: V = S h.

În același mod, se derivă formula pentru volumul unei prisme drepte cu orice poligon la bază.

Mijloace, Volumul oricărei prisme drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea.

Volumul prismei

Teorema. Volumul unei prisme este egal cu aria bazei înmulțit cu înălțimea.

Mai întâi demonstrăm această teoremă pentru o prismă triunghiulară și apoi pentru una poligonală.

1) Desenați (Fig. 95) prin muchia AA 1 a prismei triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1 un plan paralel cu fața BB 1 C 1 C, iar prin muchia CC 1 - un plan paralel cu fața AA 1 B 1 B; apoi continuăm planurile ambelor baze ale prismei până se intersectează cu planurile desenate.

Apoi obținem un paralelipiped BD 1, care este împărțit de planul diagonal AA 1 C 1 C în două prisme triunghiulare (una dintre ele este dată). Să demonstrăm că aceste prisme sunt egale. Pentru a face acest lucru, desenăm o secțiune perpendiculară abcd. În secțiune, obțineți un paralelogram, care este o diagonală as este împărțit în două triunghiuri egale. Această prismă este egală cu o astfel de prismă dreaptă, a cărei bază este \(\Delta\) abc, iar înălțimea este muchia AA 1 . O altă prismă triunghiulară are o zonă egală cu o linie a cărei bază este \(\Delta\) adc, iar înălțimea este muchia AA 1 . Dar două prisme drepte cu baze egale și înălțimi egale sunt egale (pentru că sunt combinate atunci când sunt imbricate), ceea ce înseamnă că prismele ABCA 1 B 1 C 1 și ADCA 1 D 1 C 1 sunt egale. De aici rezultă că volumul acestei prisme este jumătate din volumul paralelipipedului BD 1 ; prin urmare, notând înălțimea prismei prin H, obținem:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Desenați prin muchia AA 1 a prismei poligonale (Fig. 96) planele diagonale AA 1 C 1 C și AA 1 D 1 D.

Apoi această prismă va fi tăiată în mai multe prisme triunghiulare. Suma volumelor acestor prisme este volumul dorit. Dacă notăm zonele bazelor lor prin b 1 , b 2 , b 3 și înălțimea totală prin H, obținem:

volumul unei prisme poligonale = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (zona ABCDE) H.

Consecinţă. Dacă V, B și H sunt numere care exprimă în unitățile corespunzătoare volumul, aria bazei și înălțimea prismei, atunci, conform doveditului, putem scrie:

Alte materiale

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.