\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Conţinut

Elemente de conținut

Derivată, tangentă, antiderivată, grafice de funcții și derivate.

Derivat Fie definită funcția \(f(x)\) într-o vecinătate a punctului \(x_0\).

Derivata funcției \(f\) în punctul \(x_0\) numită limită

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

dacă această limită există.

Derivata unei functii intr-un punct caracterizeaza rata de schimbare a acestei functii intr-un punct dat.

Tabel de derivate

Funcţie	Derivat
\(const\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Reguli de diferențiere\(f\) și \(g\) sunt funcții în funcție de variabila \(x\); \(c\) este un număr.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivată a funcției complexe

Sensul geometric al derivatului Ecuația unei linii drepte- axa neparalelă \(Oy\) poate fi scrisă ca \(y=kx+b\). Coeficientul \(k\) din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egal cu tangenta unghi de înclinare această linie dreaptă.

Unghi drept- unghiul dintre direcția pozitivă a axei \(Ox\) și dreapta dată, numărat în direcția unghiurilor pozitive (adică în direcția de rotație minimă de la axa \(Ox\) la \(Oy\) \) axa).

Derivata funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\) este egală cu panta tangentei la graficul funcției în punctul dat: \(f"(x_0)=\tg \alfa.\)

Dacă \(f"(x_0)=0\), atunci tangenta la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Ecuația tangentei

Ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonitatea funcției Dacă derivata unei funcții este pozitivă în toate punctele unui interval, atunci funcția crește pe acel interval.

Dacă derivata unei funcții este negativă în toate punctele dintr-un interval, atunci funcția este descrescătoare pe acel interval.

Puncte minime, maxime și de inflexiune pozitiv pe negativîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul maxim al funcției \(f\).

Dacă funcția \(f\) este continuă în punctul \(x_0\), iar valoarea derivatei acestei funcții \(f"\) se modifică din negativ pe pozitivîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul minim al funcției \(f\).

Sunt numite punctele în care derivata \(f"\) este egală cu zero sau nu există puncte critice funcțiile \(f\).

Punctele interne ale zonei de definire a funcției \(f(x)\), unde \(f"(x)=0\) pot fi puncte minime, maxime sau de inflexiune.

Sensul fizic al derivatului Dacă un punct material se mișcă în linie dreaptă și coordonatele sale se modifică în funcție de timp conform legii \(x=x(t)\), atunci viteza acestui punct este egală cu derivata în timp a coordonatei:

Accelerația unui punct material este egală cu derivata vitezei acestui punct în raport cu timpul:

\(a(t)=v"(t).\)

Linia y=3x+2 este tangentă la graficul funcției y=-12x^2+bx-10. Găsiți b , având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero.

Afișează soluția

Decizie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=-12x^2+bx-10 prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=-24x_0+b=3. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției, cât și tangentă, adică -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. După starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mici decât zero, deci x_0=-1, apoi b=3+24x_0=-21.

Răspuns

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente de linie dreaptă). Folosind figura, calculați F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele lui f(x).

Afișează soluția

Decizie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu mărginit prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=9 și x=5. Conform graficului, determinăm că trapezul curbiliniu specificat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și o înălțime de 3.

Suprafața sa este egală cu \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al lui y \u003d f "(x) - derivata funcției f (x), definită pe intervalul (-4; 10). Găsiți intervalele funcției descrescătoare f (x). În răspunsul dvs. , indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Afișează soluția

Decizie

După cum știți, funcția f (x) scade pe acele intervale, în fiecare punct al căruia derivata f „(x) este mai mică decât zero. Având în vedere că este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre ele, trei astfel de intervale. se disting în mod natural de figură: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Lungimea celui mai mare dintre ele - (5; 9) este egală cu 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al lui y \u003d f "(x) - derivata funcției f (x), definită pe intervalul (-8; 7). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f (x) aparținând la intervalul [-6; -2].

Afișează soluția

Decizie

Graficul arată că derivata f „(x) a funcției f (x) își schimbă semnul din plus în minus (va fi maxim în astfel de puncte) la exact un punct (între -5 și -4) din intervalul [ -6; -2 Prin urmare, există exact un punct maxim pe intervalul [-6;-2].

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte în care derivata funcției f(x) este egală cu 0 .

Afișează soluția

Decizie

Dacă derivata într-un punct este egală cu zero, atunci tangenta la graficul funcției desenate în acest punct este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim astfel de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe această diagramă, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 5 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Linia y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Decizie

Panta dreptei către graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este y"(x_0). Dar y"=-2x+5, deci y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Angular coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiție este -3.Drecțiile paralele au aceleași pante.De aceea, găsim o astfel de valoare x_0 care =-2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și punctele marcate -6, -1, 1, 4 pe axa x. În care dintre aceste puncte este valoarea derivatei cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Astăzi vom vorbi despre studiul funcțiilor. Este important de reținut că matematica este aranjată în același mod ca o casă obișnuită: mai întâi se pune fundația, iar apoi cărămizile sunt așezate strat cu strat. Rolul fundamentului în matematică este jucat de o funcție (corespondență între două mulțimi). După ce au introdus conceptul de funcție, ei încep să o studieze ca obiect în același mod în care s-a făcut cu numerele.

De fapt, în viață folosim adesea nu numai obiecte, ci și corespondențe dintre ele, relații dintre obiecte. Un exemplu sunt cărțile despre dragoste (dragostea este o relație între oameni).

După studiul funcțiilor în matematică, se începe să studieze seturi de funcții, apoi spații de funcții și așa mai departe. Dar astăzi vom vorbi despre analiza primară a funcției.

Ce este o funcție? O funcție este o corespondență între mulțimi. În această lecție, vom vorbi despre funcții numerice, adică despre corespondențe între mulțimi numerice. Vom vorbi, de asemenea, despre proprietatea locală a funcției (comportamentul funcției în acest punct particular) și despre proprietatea globală (proprietatea asociată întregului domeniu al funcției). Derivata este o descriere a proprietăților locale ale funcțiilor, iar integrala este o descriere a celor globale.

De exemplu, există două funcții diferite, dar la un moment dat graficele lor coincid (vezi Fig. 1). Dar care este diferența dintre comportamentul funcțiilor în vecinătatea acestui punct? Acest lucru va fi discutat.

Orez. 1. Intersecția graficelor a două funcții diferite

Din graficul unei funcții, puteți determina cu ușurință proprietățile acesteia: monotonitate (funcție în creștere sau scădere), paritate (impar) și periodicitate (vezi Fig. 2).

Orez. 2. Specificații caracteristici

Toate aceste caracteristici sunt matematice. Dar derivatul este adesea folosit în viață. Cel mai adesea, atunci când descriem un proces folosind un grafic, ne interesează dinamica acestui proces, adică nu valoarea funcției într-un anumit punct, ci modul în care funcția se va comporta în viitor (va crește sau scădea?). De exemplu, atunci când dorim să analizăm creșterea prețurilor sau să comparăm prețurile pe diferite perioade de timp (valorile absolute s-ar putea schimba, dar dinamica a rămas aceeași) (vezi Fig. 3).

Orez. 3. Dinamica prețurilor aurului

Derivata ajută la a afla cum se va comporta funcția în vecinătatea unui punct dat.

Merită să lămurim că în școală, cel mai adesea, derivata unei funcții este căutată pe întregul domeniu al definiției. Acest lucru se datorează faptului că caracteristicile investigate sunt „bune”, adică comportamentul lor este previzibil pe întreaga axă. Dar, în general, derivata este o caracteristică locală a unei funcții.

De exemplu, atunci când vizualizați fotografii cu viteze diferite de expunere, pot exista mai multe opțiuni:

1. mașinile stau în picioare și oamenii sunt fiecare la locul lor (vezi Fig. 4);
2. o imagine neclară, puteți vedea cine merge unde (vezi Fig. 5).

Orez. 4. Fotografie cu expunere la

Orez. 5. Fotografie cu expunere la

A doua opțiune este o ilustrare vizuală a derivatului (încețoșarea imaginii).

În acel moment, funcția capătă o anumită valoare și este practic imposibil să tragem concluzii despre comportamentul ei din ea. Și dacă luăm în considerare vecinătatea acestui punct, atunci putem deja să spunem care latură este mai mică (care este mai mare) și să concluzionam dacă crește sau scade. Adică, când viteza obturatorului este scurtă, vedem valoarea funcției într-un punct, iar când luăm în considerare întârzierea cadrului, putem deja analiza comportamentul funcției (vezi Fig. 6).

Orez. 6. Analogie între derivată și fotografie

În viața de zi cu zi, analizăm adesea situațiile într-un mod similar cu analiza funcțiilor din matematică. De exemplu, când spunem că afară se încălzește (mai răcoritor), nu indicăm temperatura specifică momentan, ci ne referim la faptul că temperatura va crește (scădea) în curând. Acest lucru este similar cu calcularea derivatei (vezi Fig. 7).

Orez. 7. Analiza schimbării temperaturii

Să introducem o definiție precisă a derivatei.

Funcția derivatăla punct limita se numește raportul dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argumentului (cu condiția ca această limită să existe):

Deoarece dorim să introducem un astfel de concept ca rata de schimbare a unei funcții (cuvântul principal este viteză), atunci putem face o paralelă cu fizica. Viteza instantanee este o mărime fizică vectorială egală cu raportul dintre deplasare și intervalul de timp în care a avut loc această deplasare, dacă intervalul de timp tinde spre zero:

Viteza instantanee, m/s; - deplasarea corpului, m (at ); - tinde spre intervalul de timp zero, s.

Dar este important să clarificăm că atunci când am vorbit despre temperatură, am indicat doar caracteristicile calitative ale procesului, dar nu am vorbit despre viteza de schimbare a temperaturii. Derivata ia in considerare rata de schimbare a functiei. Caracteristicile pot crește în moduri diferite. De exemplu, parabola () crește mai repede decât logaritmul () (vezi Fig. 8).

Orez. 8. Rata de creştere a graficelor funcţiilor şi

Pentru a compara rata de creștere (scădere) a funcției, introducem o caracteristică specifică a funcției - derivata. Făcând o analogie între derivata și viteza de mișcare a unui obiect (viteza este raportul dintre distanța parcursă în timp, sau modificarea coordonatelor pe unitatea de timp), putem spune că în limită, derivata este raportul dintre modificarea funcției (adică a traseului pe care punctul a parcurs, dacă s-a deplasat de-a lungul graficului funcției) la incrementul argumentului (timpul în care a fost efectuată mișcarea) (vezi Fig. 9). Acesta este sensul mecanic (fizic) al derivatului.

Orez. 9. Analogie între viteză și derivată

Derivata este o proprietate locala a unei functii. Este important să se facă distincția între calculul derivatei pe întregul domeniu de definiție și într-o anumită zonă, deoarece funcția pe un interval poate fi pătratică, pe celălalt - liniară și așa mai departe. Dar aceasta este o singură funcție și, în puncte diferite, o astfel de funcție va avea valori diferite ale derivatei.

Pentru majoritatea funcțiilor date analitic (prin o formulă specifică), avem un tabel de derivate (vezi Fig. 10). Acesta este un analog al tabelului înmulțirii, adică există funcții de bază pentru care derivatele au fost deja calculate (se poate dovedi că au exact această formă), iar apoi există câteva reguli (vezi Fig. 11) ( analogi ai înmulțirii sau împărțirii într-o coloană), cu ajutorul cărora se pot calcula derivate ale funcțiilor complexe, produse derivate și așa mai departe. Astfel, pentru aproape toate funcțiile exprimate în termeni de funcții cunoscute de noi, putem descrie comportamentul funcției pe întregul domeniu de definiție.

Orez. 10. Tabelul derivatelor

Orez. 11. Reguli de diferențiere

Dar totuși, definiția derivatei, pe care am dat-o mai devreme, este punctuală. Pentru a generaliza derivata într-un punct la întregul domeniu al funcției, este necesar să se demonstreze că în fiecare punct valoarea derivatei va coincide cu valorile aceleiași funcție.

Dacă ne imaginăm o funcție care nu este scrisă analitic, atunci în vecinătatea fiecărui punct o putem reprezenta ca o funcție liniară. Derivata unei funcții liniare într-o vecinătate a unui punct este ușor de calculat. Dacă reprezentăm o funcție liniar, atunci aceasta coincide cu tangenta ei (vezi Fig. 12).

Orez. 12. Reprezentarea funcției în fiecare punct ca funcție liniară

Dintr-un triunghi dreptunghic, știm că tangenta este egală cu raportul catetului opus față de cel alăturat. Prin urmare, semnificația geometrică a derivatei este că derivata este tangenta pantei tangentei în acest punct (vezi Fig. 13).

Orez. 13. Sensul geometric al derivatului

Vorbind despre derivată ca despre viteză, putem spune că dacă funcția este descrescătoare, atunci derivata ei este negativă, și invers, dacă funcția este crescătoare, atunci derivata ei este pozitivă. Pe de altă parte, am definit derivata ca tangente a pantei tangentei. Acest lucru este, de asemenea, ușor de explicat. Dacă funcția este în creștere, atunci tangenta formează un unghi ascuțit, iar tangenta unghiului ascuțit este pozitivă. Prin urmare, derivata este pozitivă. După cum puteți vedea, semnificația fizică și geometrică a derivatului au coincis.

Accelerația este rata de schimbare a vitezei (adică derivata vitezei). Pe de altă parte, viteza este derivata deplasării. Rezultă că accelerația este derivata a doua (derivată a derivatei) a deplasării (vezi Fig. 14).

Orez. 14. Aplicarea derivatei în fizică

O derivată este un mijloc de a studia proprietățile unei funcții.

Derivata este folosită pentru a rezolva probleme de optimizare. Există o explicație pentru asta. Deoarece derivata arată creșterea funcției, poate fi folosită pentru a găsi maximele și minimele locale ale funcției. Știind că funcția a crescut într-o secțiune și apoi a început să scadă, presupunem că există un maxim local la un moment dat. În mod similar, dacă funcția era în scădere și apoi începea să crească, există un minim local la un moment dat (vezi Fig. 15).

Orez. 15. Minimele și maximele locale ale unei funcții

În practică, aceasta poate fi folosită pentru a găsi, de exemplu, profitul maxim în condiții date. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct în care va exista un maxim local. Dacă trebuie să determinăm costurile minime, atunci, în consecință, trebuie să determinăm punctul în care se află minimul local (vezi Fig. 16).

Orez. 16. Găsirea profitului maxim și a costului minim

Școala rezolvă multe probleme de optimizare. Să luăm în considerare una dintre ele.

Care ar trebui să fie un gard dreptunghiular de lungime fixă, astfel încât să înglobeze suprafața maximă (vezi Fig. 17)?

Orez. 17. Problema de optimizare

Se pare că gardul ar trebui să fie pătrat.

Există o mulțime de astfel de sarcini, când un parametru este fixat, iar al doilea trebuie optimizat. Parametrul care este fix sunt datele noastre de activitate (de exemplu, materialul pentru gard). Și există un parametru pe care vrem să obținem minimum sau maxim (de exemplu, suprafața maximă, dimensiunea minimă). Adică se formează o pereche de „resurse – efect”. Există o resursă care este setată inițial și un efect pe care vrem să-l obținem.

Acum să trecem la proprietățile globale ale funcției. Luați în considerare cel mai simplu caz al unei integrale. Să luăm o serie de numere: . O serie este și o funcție (a unui argument natural), fiecare număr are propriul său număr de serie și valoare. .

Să scriem formula pentru găsirea sumei acestei serii:

Suma până la o anumită valoare va fi valoarea integralei.

De exemplu, pentru:

Adică, integrala este de fapt suma (în acest caz, suma valorilor funcției).

Majoritatea elevilor asociază integrala cu zona. Să încercăm să conectăm exemplul cu suma seriei și a ariei. Să rescriem această serie ca o funcție liniară: .

Apoi, suma acestei serii va fi suma ariilor părților de sub grafic (în acest caz, trapeze) (vezi Fig. 18).

Orez. 18. Aria de sub graficul unei funcții

Suma ariilor este egală cu aria sumei (dacă părțile în care este împărțită figura nu se intersectează). Deci integrala este aria de sub graficul funcției. Astfel, după ce am găsit integrala, putem găsi aria unei părți a planului. De exemplu, puteți găsi zona de sub grafic.

Dacă dorim să introducem cu strictețe definiția integralei în ceea ce privește aria figurii sub funcție, atunci trebuie să spargem figura însăși în bucăți foarte mici. Nu este întotdeauna la fel de convenabil să calculați aria ca în cazul unei funcții liniare. Să luăm de exemplu o funcție. Dacă aproximăm liniar funcția (cum ne-am propus să facem în cazul derivatei), atunci, la fel ca în exemplul anterior, vom obține o împărțire a întregii zone în suma ariilor trapezelor (vezi Fig. 19).

Apoi, în limită, aceasta este integrala, adică aria de sub graficul funcției.

Orez. 19. Aria de sub graficul unei funcții

Dar cum se calculează această zonă (integrală)? Pentru funcțiile cunoscute, există un tabel de integrale (similar cu un tabel de derivate). Dar în cazul general, aproximăm funcția pe segmente și calculăm suma ariilor trapezelor de sub aceste segmente. Reducand segmentele, in limita obtinem valoarea integralei.

Spre deosebire de derivată, atunci când o derivată „bună” este întotdeauna obținută pentru o funcție „bună”, acest lucru nu este cazul în cazul unei integrale. De exemplu, pentru o funcție atât de simplă, nu putem calcula integrala și o prezentam sub formă de funcții analitice (vezi Fig. 20).

Calcularea integralei nu este o sarcină ușoară și, prin urmare, existența unei formule Newton-Leibniz atât de simple (vezi Fig. 20), care ne permite să calculăm rapid valoarea integralei, dacă îi cunoaștem forma, facilitează foarte mult calculele. . În caz contrar, ar fi dificil să calculezi de fiecare dată aria limită.

Orez. 20. Formula Newton-Leibniz pentru calcularea integralelor

Prin urmare, principalele metode de calcul sunt:

1. tabel de integrale pentru acele funcții pe care le putem calcula (vezi Fig. 21);
2. proprietăți integrale care vă permit să calculați diferite combinații de funcții de tabel (vezi Fig. 22);
3. Formula Newton-Leibniz (dacă calculăm valoarea în punctul de extremă dreaptă și scădem valoarea din punctul extrem de stânga, obținem aria) (vezi Fig. 20).

Orez. 21. Tabelul integralelor

Orez. 22. Proprietăţile unei integrale definite

La școală, formula Newton-Leibniz nu este derivată, deși acest lucru nu este dificil de realizat dacă definiți integrala ca aria de sub grafic.

Mai multe despre derivarea formulei Newton-Leibniz:

Pentru a înțelege mai bine diferența dintre proprietățile locale și globale ale unei funcții, luați în considerare exemplul de fotografiere la țintă. Dacă faceți mai multe fotografii în jur (niciuna nu a lovit centrul) și calculați media, obțineți practic (vezi Fig. 23). Deși, de fapt, trăgătorul ar putea lovi tot timpul deasupra sau sub țintă, media s-ar dovedi totuși aproape de .

Orez. 23. Tragere la țintă

Putem da un exemplu din fizică - centrul de greutate. Aceeași masă cu același centru de greutate poate fi distribuită în moduri complet diferite (vezi Fig. 24).

Orez. 24. Variante de distribuție a maselor cu același centru de greutate

Un alt exemplu este temperatura medie dintr-un spital. Dacă cineva are o temperatură și cineva o are, atunci în medie se dovedește și se pare că pacienții nu sunt atât de bolnavi.

Dacă vorbim despre legătura dintre derivată (caracteristica locală) și integrală (caracteristica globală), atunci este intuitiv clar că acestea sunt concepte reciproc inverse. De fapt, este. Dacă luăm derivata integralei sau integrala derivatei, obținem funcția inițială. Pentru a explica acest lucru, luați în considerare mișcarea unui corp. Știm deja că viteza este derivata deplasării. Să încercăm să efectuăm operația inversă. Pentru a face acest lucru, exprimăm mișcarea în termeni de viteză și timp:

Și dacă ne uităm la grafic (viteza se schimbă liniar), vom vedea că calea este produsul dintre viteză și timp. Pe de altă parte, este zona de sub grafic (vezi Fig. 25).

Orez. 25. Relația dintre derivată și integrală

Dacă calculați integrala vitezei, obțineți valoarea traseului. Și viteza este derivata distanței.

Prin urmare, derivata și integrala sunt funcții reciproc inverse. Există dovezi puternice pentru acest lucru.

Orez. 26. Relația dintre derivată și integrală

Dar pentru a analiza, a înțelege ce este în joc și a lucra cu operațiile de diferențiere (calcularea derivatei) și integrarea (calcularea integralei), vor fi suficiente ceea ce s-a spus în această lecție și materialele din lecțiile principale.

Când trebuie să găsim o casă la st. Neva, și am ieșit în fața casei, apoi mergem în stânga sau în dreapta acestei case pentru a înțelege cum decurge numerotarea.

Dosar pentru lecția 29.

Derivat. Aplicație derivată. Primitiv.

Panta tangentei la graficul funcției în punctul cu abscisa x 0 egală cu derivata funcției în punctul x 0. .

Acestea. derivata functiei in punctul x 0 este egala cu tangenta pantei tangentei trasata la graficul functiei in punctul (x 0; f (x 0)).

Exercițiu 1. Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x) și o tangentă la acest grafic, desenată într-un punct cu o abscisă X X 0 .

Răspuns: 0,25

Exercițiu 2. Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x) și o tangentă la acest grafic, desenată într-un punct cu o abscisă X 0 . Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul X 0 . Răspuns: 0,6

Exercițiu 3. Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x) și o tangentă la acest grafic, desenată într-un punct cu o abscisă X 0 . Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul X 0 . Răspuns: -0,25

Exercițiu 4. Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x) și o tangentă la acest grafic, desenată într-un punct cu o abscisă X 0 . Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul X 0 . Răspuns: -0,2.

simțul mecanic derivat.

v ( t 0 ) = x' ( t 0 )

viteza este derivata coordonatei pe timp. De asemenea, accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul :

A = v' ( t ).

Exercițiu 5 . Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=12 t 2 +4 t+27, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde măsurat din momentul începerii mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=2 s. Raspuns: 52

Sarcina 6. Punctul material se deplasează în linie dreaptă conform legiix (t) \u003d 16   t 3 + t 2 - 8   t + 180, Unde X- distanța de la punctul de referință în metri,t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 42 m/s? Raspunsul 1

Semn suficient al funcției crescătoare (descrescătoare).

1. Dacă f `(x ) în fiecare punct al intervalului (, atunci funcția crește cu (.

2. Dacă f `(x ) în fiecare punct al intervalului (, atunci funcția scade cu (.

Condiție necesară pentru un extremum

Dacă punctul x 0 este punctul extremum al funcției și în acest punct există o derivată, atunci f `( X 0 )=0

Condiție extremum suficientă

În cazul în care un f `( X 0 X 0 valoarea derivatei își schimbă semnul din „+” în „-”, apoi X 0 este punctul maxim al funcției.

În cazul în care un f `( X 0 ) = 0 iar la trecerea prin punct X 0 valoarea derivatei își schimbă semnul din „-” în „+”, apoi X 0 este punctul minim al funcției.

Sarcina 7. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definit pe intervalul (−7; 10). Aflați numărul de puncte minime ale unei funcții f(x) pe segmentul [−3; opt].

Soluţie. Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la minus la plus. Pe intervalul [−3; 8] funcția are un punct minim X= 4. Prin urmare, un astfel de punct este 1. Răspuns: 1.

Sarcina 8. Figura prezintă un grafic al unei funcții diferențiabile y=f(x) și marcate șapte puncte pe axa x: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x 7. În câte dintre aceste puncte derivata funcției f(x) este negativă? Raspuns: 3

Sarcina 9. Figura prezintă un grafic al unei funcții diferențiabile y=f(x) definită pe intervalul (− 11 ; − 1). Găsiți un punct din segmentul [− 7 ; − 2], în care derivata funcției f(x) este egală cu 0. Răspuns: -4

Sarcina 10. Figura prezintă un grafic al funcției y=f′(x) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (2 ; 13). Aflați punctul maxim al funcției f(x). Raspuns: 9

Sarcina 11. Figura prezintă graficul y=f′(x) al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (− 3; 8). În ce punct al segmentului [− 2; 3] funcția f(x) ia cea mai mică valoare? Raspuns: -2

Sarcina 12. Figura prezintă un grafic al lui y=f "(x) - derivata funcției f(x) definită pe intervalul (− 2 ; 11). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu ea Răspuns: 3

Sarcina 13. Figura prezintă un grafic al lui y=f "(x) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (− 4 ; 6). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcția y=f(x) este paralelă cu dreapta y=3x sau se potrivește cu aceasta.Răspuns: 5

Sarcina 14. Figura prezintă un grafic al lui y=f "(x) - derivata funcției f(x) definită pe intervalul (− 4 ; 13). Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției y= f(x) este paralelă cu dreapta y=− 2x−10 sau egală cu aceasta Răspuns: 5

Sarcina 15. Linia y =5x -8 este tangentă la graficul funcției 4x 2 -15x +c . Găsi c. Răspuns: 17.

antiderivat

funcția antiderivată F(x) pentru functie f(x) se numeste functie derivat care este egală cu funcția inițială. F " ( X )= f ( X ).

Sarcina 16. Figura prezintă un grafic y=F (X) unul dintre antiderivatele unei funcţii f(X) definit pe intervalul (1;13). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f (X)=0 pe segmentul . Raspuns: 4

Sarcina 17. Figura prezintă un grafic y=F(x) al uneia dintre antiderivatele unei funcții f(x) definite pe intervalul (− 7; 8). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)=0 pe intervalul . Raspunsul 1

Sarcina 18. Figura prezintă un grafic y=F(x) al uneia dintre antiderivatele unei funcții f(x) și opt puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. În câte dintre aceste puncte este funcția f(x) negativă? Raspuns: 3

Sarcina 19. Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcția F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 este una dintre antiderivatele funcției f(x). Găsiți aria figurii umbrite. Răspuns: 592

Algoritm pentru găsirea punctelor extreme

Găsiți domeniul de aplicare al funcției.

Aflați derivata unei funcții f "( X)

Găsiți punctele în care f "( X) = 0.

Marcați pe linia numerică domeniul funcției și toate zerourile derivatei.

Definiți semnul derivatpentru fiecare interval. (În acest loc înlocuim valoarea „convenabilă”. X din acest interval la f "( X)).

Determinați după semnele derivatei zonele de creștere și scădere ale funcției și trageți concluzii despre prezența sau absența unui extremum și natura acestuia ( max saumin ) în fiecare dintre aceste puncte.

Sarcina 20. Aflați punctul maxim al funcției y=(2x−1)cosx−2sinx+5, care aparține intervalului (0 ; π/2). Răspuns: 0,5

Sarcina 21.Găsiți punctul maxim al funcțieiy=. Raspuns: 6

Algoritm de găsire cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe interval

Sarcina 22. Aflați cea mai mică valoare a funcției y =x −6x +1 pe segmentul . Răspuns: -31

Sarcina 23. Aflați cea mai mică valoare a funcției y=8cosx+30x/π+19 pe intervalul [− 2π/3; 0]. Răspuns: -5

În plus. unu. Aflați punctul maxim al funcției y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 .

2. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 5 -5x 3 -20x pe segmentul [− 9 ; unu]. Raspuns: 48

Graficul unei funcții exponențiale este o linie curbă netedă, fără îndoituri, la care se poate trasa o tangentă în fiecare punct prin care trece. Este logic să presupunem că, dacă este posibil să se deseneze o tangentă, atunci funcția va fi diferențiabilă în fiecare punct al domeniului său de definiție.

Să afișăm în aceleași axe de coordonate mai multe grafice ale funcției y \u003d x a, Pentru a \u003d 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

În punctul cu coordonatele (0;1). Unghiurile de pantă ale acestor tangente vor fi de aproximativ 35, 40, 48 și, respectiv, 51 de grade. Este logic să presupunem că în intervalul de la 2 la 3 există un număr la care unghiul de înclinare al tangentei va fi de 45 de grade.

Să dăm formularea exactă a acestei afirmații: există un astfel de număr mai mare decât 2 și mai mic decât 3, notat cu litera e, încât funcția exponențială y = e x în punctul 0 are o derivată egală cu 1. Adică: (e ∆x -1) / ∆x tinde spre 1 pe măsură ce ∆x tinde spre zero.

Număr dat e este irațional și se scrie ca o fracție zecimală neperiodică infinită:

e = 2,7182818284...

Deoarece numărul e este pozitiv și diferit de zero, există un logaritm la baza e. Acest logaritm se numește logaritmul natural. Notat ln(x) = log e (x).

Derivată a funcției exponențiale

Teorema: Funcția e x este diferențiabilă în fiecare punct al domeniului său și (e x)’ = e x .

Funcția exponențială a x este diferențiabilă în fiecare punct al domeniului său de definiție și, în plus, (a x)’ = (a x)*ln(a).
O consecință a acestei teoreme este faptul că funcția exponențială este continuă în orice punct din domeniul său de definiție.

Exemplu: găsiți derivata funcției y = 2 x .

Conform formulei pentru derivata funcției exponențiale, obținem:

(2x)' = (2x)*ln(2).

Răspuns: (2x)*ln(2).

Antiderivată a funcției exponențiale

Pentru o funcție exponențială a x dată pe mulțimea numerelor reale, antiderivată va fi funcția (a x)/(ln(a)).
ln(a) este o constantă, atunci (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x pentru orice x. Am demonstrat această teoremă.

Luați în considerare un exemplu de găsire a unei funcții exponențiale antiderivate.

Exemplu: găsiți antiderivată la funcția f(x) = 5 x . Să folosim formula de mai sus și regulile pentru găsirea antiderivatelor. Se obține: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.