Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y=cos(x). Definiția și graficul unei funcții"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 10-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Ce vom studia:
1. Definiție.
2. Graficul funcției.
3. Proprietăţile funcţiei Y=cos(X).
4. Exemple.

Definiția funcției cosinus y=cos(x)

Băieți, ne-am întâlnit deja cu funcția Y=sin(X).

Să ne amintim una dintre formulele fantomă: sin(X + π/2) = cos(X).

Datorită acestei formule, putem afirma că funcțiile sin(X + π/2) și cos(X) sunt identice, iar graficele funcțiilor lor sunt aceleași.

Graficul funcției sin(X + π/2) se obține din graficul funcției sin(X) prin deplasarea paralelă a π/2 unități la stânga. Acesta va fi graficul funcției Y=cos(X).

Graficul funcției Y=cos(X) se mai numește și sinusoid.

proprietățile funcției cos(x).

Să scriem proprietățile funcției noastre:
• Domeniul definiției este mulțimea numerelor reale.
• Funcția este egală. Să ne amintim definiția unei funcții pare. O funcție este numită chiar dacă egalitatea y(-x)=y(x) este valabilă. După cum ne amintim din formulele fantomă: cos(-x)=-cos(x), definiția este îndeplinită, atunci cosinusul este o funcție pară.
• Funcția Y=cos(X) scade pe interval și crește pe intervalul [π; 2π]. Putem verifica acest lucru pe graficul funcției noastre.
• Funcția Y=cos(X) este mărginită de jos și de sus. Această proprietate provine din faptul că
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Cea mai mică valoare a funcției este -1 (pentru x = π + 2πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (pentru x = 2πk).
• Funcția Y=cos(X) este o funcție continuă. Să ne uităm la grafic și să ne asigurăm că funcția noastră nu are goluri, ceea ce înseamnă continuitate.
• Intervalul de valori este segmentul [- 1; unu]. Acest lucru este, de asemenea, clar vizibil din grafic.
• Funcția Y=cos(X) este o funcție periodică. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple cu funcția cos(x).

1. Rezolvați ecuația cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Rezolvare: Să construim 2 grafice ale funcției: y=cos(x) și y=(x - 2π) 2 + 1 (vezi figura).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 este o parabolă deplasată la dreapta cu 2π și în sus cu 1. Graficele noastre se intersectează într-un punct A (2π; 1), acesta este răspunsul: x \u003d 2π.

2. Reprezentați grafic funcția Y=cos(X) pentru x ≤ 0 și Y=sin(X) pentru x ≥ 0

Soluție: Pentru a construi graficul necesar, să reprezentăm două grafice ale funcției bucată cu bucată. Prima felie: y=cos(x) pentru x ≤ 0. A doua felie: y=sin(x)
pentru x ≥ 0. Să reprezentăm ambele „piese” pe un singur grafic.

3. Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției Y=cos(X) pe segmentul [π; 7π/4]

Rezolvare: Să construim un grafic al funcției și să considerăm segmentul nostru [π; 7π/4]. Graficul arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt obținute la capetele segmentului: în punctele π și, respectiv, 7π/4.
Răspuns: cos(π) = -1 este cea mai mică valoare, cos(7π/4) = cea mai mare valoare.

4. Reprezentați grafic funcția y=cos(π/3 - x) + 1

Rezolvare: cos(-x)= cos(x), atunci graficul dorit se va obtine prin mutarea graficului functiei y=cos(x) π/3 unitati la dreapta si 1 unitate in sus.

Sarcini pentru soluție independentă

1) Rezolvați ecuația: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Rezolvați ecuația: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Reprezentați grafic funcția y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Trasează funcția y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=cos(x) pe segmentul .
6) Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=cos(x) pe intervalul [- π/6; 5π/4].

„Grafice ale funcțiilor și proprietățile lor” - y = ctg x. 4) Funcție limitată. 3) Funcția impară. (Graficul funcției este simetric față de origine). y = tgx. 7) Funcția este continuă pe orice interval de forma (?k; ? + ?k). Funcția y = tg x este continuă pe orice interval al formei. 4) Funcția scade pe orice interval de forma (?k; ? + ?k). Graficul funcției y \u003d tg x se numește tangentoid.

„Grafic al funcției Y X” - șablon parabolă y \u003d x2. Faceți clic pentru a vedea grafice. Exemplul 2. Să construim un grafic al funcției y = x2 + 1, pe baza graficului funcției y=x2 (clic de mouse). Exemplul 3. Să demonstrăm că graficul funcției y \u003d x2 + 6x + 8 este o parabolă și să construim un grafic. Graficul funcției y=(x - m)2 este o parabolă cu un vârf în punctul (m; 0).

„Matematica graficii” - Cum puteți construi grafice? Cele mai naturale dependențe funcționale sunt reflectate cu ajutorul graficelor. O aplicație interesantă: desene, ... De ce studiem graficele? Grafice ale funcțiilor elementare. Ce poți desena cu grafice? Luăm în considerare utilizarea graficelor în disciplinele academice: matematică, fizică,...

„Reprezentare grafică cu derivata” - Generalizare. Construiți o schiță a graficului funcției. Găsiți asimptotele graficului funcției. Graficul derivatei unei funcții. Sarcină suplimentară. Explorați funcția. Numiți intervalele funcției descrescătoare. Munca independentă a elevilor. Extindeți cunoștințele. Lecție de consolidare a materialului studiat. Evaluează-ți abilitățile. Puncte maxime ale funcției.

„Diagrame cu modulul” - Afișați partea „inferioară” în semiplanul superior. Modulul unui număr real. Proprietățile funcției y = |x|. |x|. Numerele. Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții. Algoritm de construcție. Funcția y=lхl. Proprietăți. Muncă independentă. Funcția nule. Un sfat grozav. Soluție de do-it-yourself.

"Ecuație tangențială" - Ecuație tangentă. Ecuație normală. Dacă, atunci curbele se intersectează în unghi drept. Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Unghiul dintre graficele funcțiilor. Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct. Fie funcția să fie diferențiabilă într-un punct. Fie dreptele date de ecuațiile și.

Există 25 de prezentări în total în subiect

Acum vom lua în considerare întrebarea cum să trasăm funcțiile trigonometrice ale unghiurilor multiple ωx, Unde ω este un număr pozitiv.

Pentru a reprezenta o funcție y = sin ωx Să comparăm această funcție cu funcția pe care am studiat-o deja y = sin x. Să presupunem că la x = x 0 funcţie y = sin x ia o valoare egală cu 0. Apoi

y 0 = sin X 0 .

Să transformăm acest raport după cum urmează:

Prin urmare, funcția y = sin ωx la X = X 0 / ω ia aceeasi valoare la 0 , care este funcția y = sin x la x = X 0 . Și asta înseamnă că funcția y = sin ωxîși repetă valorile în ω ori mai des decât funcția y = sin x. Deci graficul funcției y = sin ωx obţinută prin „comprimarea” graficului funcţiei y = sin xîn ω ori de-a lungul axei x.

De exemplu, graficul funcției y \u003d sin 2x obţinută prin „comprimarea” sinusoidului y = sin x de două ori de-a lungul abscisei.

Graficul funcției y \u003d sin x / 2 obţinut prin „întinderea” sinusoidul y \u003d sin x de două ori (sau „comprimarea” în 1 / 2 ori) de-a lungul axei x.

Din moment ce functia y = sin ωxîși repetă valorile în ω ori mai des decât funcția
y = sin x, apoi perioada sa în ω ori mai mică decât perioada funcției y = sin x. De exemplu, perioada funcției y \u003d sin 2x egală 2π / 2 = π , și perioada funcției y \u003d sin x / 2 egală π / X / 2 = 4π .

Este interesant de studiat comportamentul funcției y \u003d sin ax pe exemplul animației, care poate fi creată foarte ușor în program arțar:

În mod similar, graficele sunt construite pentru alte funcții trigonometrice ale unghiurilor multiple. Figura prezintă un grafic al funcției y = cos 2x, care se obține prin „comprimarea” cosinusului y = cos x de două ori de-a lungul axei x.

Graficul funcției y = cos x / 2 obţinută prin „întinderea” undei cosinus y = cos x de două ori de-a lungul axei x.

În figură vedeți un grafic al funcției y = tg 2x, obţinută prin „comprimarea” tangentoidului y = tg x de două ori de-a lungul abscisei.

Graficul funcției y = tg X / 2 , obţinută prin „întinderea” tangentoidului y = tg x de două ori de-a lungul axei x.

Și în sfârșit, animația realizată de program arțar:

Exerciții

1. Construiți grafice ale acestor funcții și indicați coordonatele punctelor de intersecție ale acestor grafice cu axele de coordonate. Determinați perioadele acestor funcții.

A). y=sin 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 g). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg X / 3

în). y=tg 4x / 3 e). y = sin 2x / 3

2. Definiți perioadele de funcție y \u003d sin (πx)și y = tg (πх / 2).

3. Dați două exemple de funcție care ia toate valorile de la -1 la +1 (inclusiv aceste două numere) și se modifică periodic cu o perioadă de 10.

4 *. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile de la 0 la 1 (inclusiv aceste două numere) și se schimbă periodic cu un punct π / 2.

5. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile reale și se modifică periodic cu perioada 1.

6 *. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile negative și zero, dar nu iau valori pozitive și se schimbă periodic cu o perioadă de 5.