4. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi prin diagonala unui pătrat:

5. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin diametrul unui cerc (circumscris):

6. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

7. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi în termeni de cosinus al unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii la acest unghi:

8. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului:

Unghiul dintre o latură și o diagonală a unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin diagonală și latură:

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin unghiul dintre diagonale:

Unghiul dintre diagonalele dreptunghiului.

Formule pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin unghiul dintre latură și diagonală:

β = 2α

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin zonă și diagonală.

Pentru a găsi perimetrul și aria unui dreptunghi, aveți nevoie cunoașteți formulele și cel mai important – să le puteți aplica pentru a rezolva probleme – deoarece sunt de complexitate variabilă.

De foarte multe ori, atunci când rezolvi probleme de nivel ușor, este suficient să cunoști formulele de bază și să le rezolvi prin simpla înlocuire a valorilor necesare.

Dacă sarcinile sunt mai complicate și condițiile lor nu conțin datele necesare formulei, acestea trebuie găsite folosind alte operații algebrice.

În acest caz, puteți folosi următorul exemplu

trebuie să găsiți aria unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este de 120 cm, iar raportul laturilor este de 2 la 3

la început scrie o ecuație pentru a găsi laturile folosind formula perimetrului ( P=2(a+b):

2*(2x+3X)=120 rezolvăm, x=12 înseamnă că laturile au 24 cm și 36 cm și acum înlocuim valorile în formula ariei S=abși găsiți-l S=24*36=864 sq.cm.

Aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lungime și lățime și se calculează prin formula a * b, unde a și b sunt laturile dreptunghiului. Perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma tuturor laturilor sale și se calculează prin formula a+b+a+b.

Găsirea ariei unui dreptunghi - înmulțiți lungimea dreptunghiului cu lățimea acestuia.

Găsirea perimetrului unui dreptunghi (suma lungimilor tuturor laturilor) - prin simpla adăugare a lungimilor tuturor laturilor sau la lungimea laturii longitudinale a dreptunghiului, adăugați lungimea laturii transversale și înmulțiți suma rezultată cu doi.

Dacă vă imaginați că grădina dvs. este dreptunghiulară și trebuie să îngrădiți terenul, atunci probabil că veți avea o întrebare, cât de lung va fi gardul pentru a calcula corect consumul de materiale de construcție. Aduni lungimile laturilor gardului pentru a găsi PERIMETRU. Dacă vă întrebați cât teren trebuie să săpați în această zonă, va trebui să căutați AREA, iar pentru aceasta va trebui să înmulțiți lungimea cu lățimea zonei, deoarece, după cum știți, laturile opuse ale unui dreptunghi sunt egale în perechi. Nu uitați că un pătrat este și un dreptunghi, pentru a găsi perimetrul unui pătrat, trebuie să înmulțiți lungimea cu 4, iar aria - lungimea laturii, înmulțiți cu ea însăși.

Gândește-te la matematica de liceu. Deci, perimetrul unui dreptunghi se găsește prin formula sumei celor două laturi ale sale înmulțite cu 2. Adică P \u003d 2 * (a + b), unde a și b sunt laturile dreptunghiului. Aria, respectiv, se găsește folosind formula S=a*b, unde a și b sunt, de asemenea, laturile sale.

Dacă nu intri în detalii profunde, atunci găsirea zonei și a perimetrului unui dreptunghi este foarte simplă. Notăm laturile unui astfel de dreptunghi cu litere latine: a, b, c și d. Fie a = c lungimea dreptunghiului și b și d lățimea dreptunghiului.

Zona dreptunghiulară:

Perimetrul dreptunghiului:

S = a + b + c + d



Perimetrul unui dreptunghi este lungimea tuturor laturilor sale. Pe baza faptului că această cifră are patru laturi, sau două perechi, în timp ce laturile opuse sunt egale între ele, putem concluziona că este potrivit să adunăm valorile a două laturi de dimensiuni diferite și să înmulțim valoarea rezultată cu doi.

Zona este, de asemenea, simplă: pur și simplu înmulțim laturile de diferite dimensiuni.

Aria se calculează înmulțind latura lungă a dreptunghiului cu latura scurtă. Și perimetrul este (partea lungă + partea scurtă) * 2

Puteți merge prin cel mai simplu mod de a găsi aria unui dreptunghi. Și anume, înmulțiți lungimea dreptunghiului (de obicei a) cu lățimea dreptunghiului (de obicei B). Dar căutăm perimetrul adunând toate laturile sau, mai simplu: 2a + 2b

Dreptunghi este o figură geometrică, și anume un patrulater, în care toate unghiurile sunt drepte. Se pare că părțile opuse sunt egale între ele.



Perimetrul unui dreptunghi este suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului sau suma lungimii și lățimii înmulțită cu 2.

Perimetru este lungimea tuturor laturilor dreptunghiului, apoi se masoara in unitati de lungime: cm, mm, m, dm, km.

P=AB+CD+AD+BC sau P=2*(AB+AD).

Pătrat măsurată în unități pătrate de lungime: m2, cm2, dm2 și se notează cu litera latină S.

Pentru a găsi aria unui dreptunghi, înmulțiți lungimea dreptunghiului cu lățimea acestuia.

Aria unui dreptunghi se calculează înmulțind lungimea acestuia cu lățimea produsului rezultat și va fi aria.

Perimetrul dreptunghiului se află prin însumarea lungimii și lățimii, suma rezultată trebuie și înmulțită cu două, acesta va fi perimetrul dorit.

Dacă un dreptunghi are două laturi opuse, atunci pur și simplu le înmulțim și obținem aria, adunăm și dublem și obținem perimetrul. Cu toate acestea, mai des în manuale ei solicită cea mai mare inconsecvență - lateral și perimetru, lateral și zonă, lateral și diagonală. Cum se procedează în aceste cazuri.

Aceasta este sarcina ideală.

Latura și diagonala pot fi specificate. În acest caz, găsim a doua latură conform teoremei lui Pitagora - ca al doilea catet dintr-un triunghi unde ipotenuza este diagonala dreptunghiului.

Ca rezultat, avem următoarele formule pentru găsirea perimetrului unui dreptunghi:



Și dacă pur și simplu transformăm aceleași formule, atunci obținem formule pentru găsirea zonei în toate variantele de sarcini:

Este interesant că în urmă cu mulți ani o astfel de ramură a matematicii precum „geometria” a fost numită „topografe”. Și cum să găsiți perimetrul și zona este cunoscut de mult timp. De exemplu, ei spun că primii calculatoare ale acestor două cantități sunt locuitorii Egiptului. Datorită acestor cunoștințe, ei au putut să construiască structuri cunoscute astăzi.

Capacitatea de a găsi zona și perimetrul poate fi utilă în viața de zi cu zi. În viața de zi cu zi, aceste valori sunt folosite atunci când este necesar să pictați ceva, să plantați sau să cultivați o grădină, să lipiți tapet într-o cameră etc.

Perimetru

Cel mai adesea, trebuie să aflați perimetrul poligoanelor sau triunghiurilor. Pentru a determina această valoare, este suficient să cunoaștem lungimile tuturor laturilor, iar perimetrul este suma lor. Găsirea perimetrului dacă zona este cunoscută este de asemenea posibilă.

Triunghi

Dacă trebuie să cunoașteți perimetrul unui triunghi, pentru a-l calcula, ar trebui să aplicați următoarea formulă P \u003d a + b + c, unde a, b, c sunt laturile triunghiului. În acest caz, toate laturile unui triunghi obișnuit de pe plan sunt însumate.

Un cerc

Perimetrul unui cerc se numește de obicei circumferința unui cerc. Pentru a afla această valoare, trebuie să utilizați formula: L \u003d π * D \u003d 2 * π * r, unde L este circumferința, r este raza, D este diametrul și numărul π, după cum știți , este aproximativ egal cu 3,14.

pătrat, romb

Formulele pentru perimetrele unui pătrat și ale unui romb sunt aceleași, deoarece pentru o figură și pentru cealaltă, toate laturile sunt egale. Deoarece un pătrat și un romb au laturile egale, ele (laturile) pot fi notate cu o literă „a”. Rezultă că perimetrul unui pătrat și al unui romb este egal cu:

• P \u003d a + a + a + a sau P \u003d 4a

Dreptunghi, paralelogram

Un dreptunghi și un paralelogram au aceleași laturi opuse, deci pot fi notate cu două litere diferite „a” și „b”. Formula arată astfel:

• P \u003d a + b + a + b \u003d 2a + 2b. Deuce poate fi scos din paranteze și va rezulta următoarea formulă: P \u003d 2 (a + b)

Trapez

Un trapez are laturi diferite, deci sunt notate cu diferite litere ale alfabetului latin. În acest sens, formula pentru perimetrul unui trapez arată astfel:

• P = a + b + c + d Aici se adună toate laturile.

Pătrat

Zona - acea parte a figurii, care este închisă în conturul său.

Dreptunghi

Pentru a calcula aria unui dreptunghi, trebuie să înmulțiți valoarea unei laturi (lungime) cu valoarea celeilalte (lățime). Dacă valorile lungimii și lățimii sunt notate cu literele „a” și „b”, atunci aria este calculată prin formula:

• S = a*b

Pătrat

După cum știți deja, laturile unui pătrat sunt egale, așa că pentru a calcula aria, puteți pur și simplu să luați o latură într-un pătrat:

• S \u003d a * a \u003d a 2

Romb

Formula pentru găsirea ariei unui romb are o formă ușor diferită: S \u003d a * h a, unde h a este lungimea înălțimii rombului, care este trasă în lateral.

În plus, aria unui romb poate fi găsită prin formulele:

• S \u003d a 2 * sin α, în timp ce a este latura figurii, iar unghiul α este unghiul dintre laturi;
• S \u003d 4r 2 / sin α, unde r este raza cercului înscris în romb, iar unghiul α este unghiul dintre laturi.

Un cerc

Zona unui cerc este, de asemenea, ușor de recunoscut. Pentru a face acest lucru, puteți folosi formula:

• S \u003d πR 2, unde R este raza.

Trapez

Pentru a calcula aria unui trapez, puteți utiliza această formulă:

• S \u003d 1/2 * a * b * h, unde a, b sunt bazele trapezului, h este înălțimea.

Triunghi

Pentru a găsi aria unui triunghi, utilizați una dintre mai multe formule:

• S \u003d 1/2 * a * b sin α (unde a, b sunt laturile triunghiului și α este unghiul dintre ele);
• S \u003d 1/2 a * h (unde a este baza triunghiului, h este înălțimea coborâtă la acesta);
• S \u003d abc / 4R (unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar R este raza cercului circumscris);
• S \u003d p * r (unde p este semiperimetrul, r este raza cercului înscris);
• S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (unde p este semiperimetrul, a, b, c sunt laturile triunghiului).

Paralelogram

Pentru a calcula aria acestei figuri, trebuie să înlocuiți valorile într-una dintre formulele:

• S \u003d a * b * sin α (unde a, b sunt bazele paralelogramului, α este unghiul dintre laturi);
• S \u003d a * h a (unde a este latura paralelogramului, h a este înălțimea paralelogramului, care este coborât pe latura a);
• S = 1/2 *d*D* sin α (unde d și D sunt diagonalele paralelogramului, α este unghiul dintre ele).

Definiție.

Dreptunghi Este un patrulater cu două laturi opuse egale și toate cele patru unghiuri egale.

Dreptunghiurile diferă unul de celălalt doar în raportul dintre latura lungă și cea scurtă, dar toate cele patru colțuri sunt drepte, adică 90 de grade fiecare.

Latura lungă a unui dreptunghi se numește lungime dreptunghi, iar scurtul lățimea dreptunghiului.

Laturile unui dreptunghi sunt, de asemenea, înălțimile acestuia.

Proprietățile de bază ale unui dreptunghi

Un dreptunghi poate fi un paralelogram, un pătrat sau un romb.

1. Laturile opuse ale unui dreptunghi au aceeași lungime, adică sunt egale:

AB=CD, BC=AD

2. Laturile opuse ale dreptunghiului sunt paralele:

3. Laturile adiacente ale unui dreptunghi sunt întotdeauna perpendiculare:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Toate cele patru colțuri ale dreptunghiului sunt drepte:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Suma unghiurilor unui dreptunghi este de 360 ​​de grade:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalele unui dreptunghi au aceeași lungime:

7. Suma pătratelor diagonalei unui dreptunghi este egală cu suma pătratelor laturilor:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Fiecare diagonală a unui dreptunghi împarte dreptunghiul în două figuri identice și anume triunghiuri dreptunghiulare.

9. Diagonalele dreptunghiului se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Punctul de intersecție al diagonalelor se numește centrul dreptunghiului și este și centrul cercului circumscris

11. Diagonala unui dreptunghi este diametrul cercului circumscris

12. Un cerc poate fi descris întotdeauna în jurul unui dreptunghi, deoarece suma unghiurilor opuse este de 180 de grade:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cerc nu poate fi înscris într-un dreptunghi a cărui lungime nu este egală cu lățimea sa, deoarece sumele laturilor opuse nu sunt egale între ele (un cerc poate fi înscris doar într-un caz special de dreptunghi - un pătrat).

Laturile unui dreptunghi

Definiție.

Lungime dreptunghi numiți lungimea perechii mai lungi a laturilor sale. Lățimea dreptunghiului numiți lungimea perechii mai scurte de laturi ale acesteia.

Formule pentru determinarea lungimilor laturilor unui dreptunghi

1. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în termeni de diagonală și cealaltă latură:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în ceea ce privește suprafața și cealaltă parte:

b = dcos	β
	2

dreptunghi diagonală

Definiție.

Dreptunghi diagonal Se numește orice segment care leagă două vârfuri ale colțurilor opuse ale unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea lungimii diagonalei unui dreptunghi

1. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni a două laturi ale dreptunghiului (prin teorema lui Pitagora):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

4. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de raza cercului circumscris:

d=2R

5. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris:

d = D o

6. Formula diagonalei unui dreptunghi în termeni de sinus al unghiului adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

8. Formula diagonalei unui dreptunghi în funcție de sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului

d = √2S: sinβ

Perimetrul unui dreptunghi

Definiție.

Perimetrul unui dreptunghi este suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea lungimii perimetrului unui dreptunghi

1. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de două laturi ale dreptunghiului:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		b

3. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de diagonală și orice latură:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Zona dreptunghiulară

Definiție.

Zona dreptunghiulară numit spațiu delimitat de laturile dreptunghiului, adică în perimetrul dreptunghiului.

Formule pentru determinarea ariei unui dreptunghi

1. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de două laturi:

S = a b

2. Formula pentru aria unui dreptunghi prin perimetru și orice latură:

5. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula pentru aria unui dreptunghi în ceea ce privește diametrul cercului circumscris și orice latură:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Cerc circumscris în jurul unui dreptunghi

Definiție.

Un cerc circumscris unui dreptunghi Un cerc se numește cerc care trece prin patru vârfuri ale unui dreptunghi, al cărui centru se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea razei unui cerc circumscris unui dreptunghi

1. Formula pentru raza unui cerc circumscris în jurul unui dreptunghi prin două laturi:

Geometria cuprinde proprietățile și asocierile figurilor bidimensionale și spațiale. Valorile numerice care caracterizează astfel de structuri sunt pătratși perimetrul, al cărui calcul se efectuează după formule celebre sau exprimat unul prin altul.

Instruire

1. Dreptunghi. Sarcină: Calculați pătrat dreptunghi, dacă se știe că perimetrul său este de 40, iar lungimea b este de 1,5 ori mai mare decât lățimea a.

2. Soluție Utilizați celebra formulă de perimetru, este egală cu suma tuturor laturilor figurii. În acest caz, P = 2 a + 2 b. Din datele inițiale ale problemei, știți că b = 1,5 a, prin urmare, P = 2 a + 2 1,5 a = 5 a, din care a = 8. Aflați lungimea b = 1,5 8 = 12.

3. Scrieți formula pentru aria unui dreptunghi: S = a b, înlocuiți valorile cunoscute: S = 8 * 12 = 96.

4. Pătrat.Problemă: detectează pătrat pătrat dacă perimetrul este 36.

5. Rezolvare.Un pătrat este un caz special al unui dreptunghi în care toate laturile sunt egale, prin urmare, perimetrul său este 4 a, de unde a = 8. Determinați aria pătratului cu formula S = a? = 64.

6. Triunghi.Problema: sa se dea un triunghi arbitrar ABC, al carui perimetru este 29. Aflati valoarea ariei sale, daca se stie ca inaltimea BH, coborata pe latura AC, il imparte in segmente cu lungimi de 3 si 4 cm.

7. Soluție. În primul rând, amintiți-vă formula ariei pentru un triunghi: S \u003d 1/2 c h, unde c este baza și h este înălțimea figurii. În cazul nostru, baza va fi latura AC, care este cunoscută prin condiția problemei: AC = 3+4 = 7, rămâne de găsit înălțimea BH.

8. Înălțimea este o perpendiculară trasată pe latura de la vârful opus, prin urmare, împarte triunghiul ABC în două triunghiuri dreptunghiulare. Cunoscând această calitate, luăm în considerare triunghiul ABH. Amintiți-vă formula lui Pitagora, conform căreia: AB? = BH? +AH? = BH? + 9 ? AB \u003d? (h? + 9). În triunghiul BHC, conform aceleiași teze, notați: BC? = BH? +HC? = BH? + 16 ? BC = ?(h? + 16).

9. Aplicați formula perimetrului: P = AB + BC + AC

10. Rezolvați ecuația: ?(h? + 9) + ?(h? + 16) = 22? [înlocuire t? =h? + 9]:?(t? + 7) = 22 - t, pătratează ambele părți ale ecuației: t? + 7 \u003d 484 - 44 t + t? ? t?10.84h? + 9 = 117,5? h? 10.42

11. Descoperi pătrat triunghi ABC:S = 1/2 7 10,42 = 36,47.