1. Fereastra de lucru MathCAD

· Panou Matematică(Fig. 1.4).

Orez. 1.4. Panoul de matematică

Făcând clic pe butonul din bara de instrumente matematică, se deschide o bară de instrumente suplimentară:

2. Elemente de limbaj MathCAD

Elementele de bază ale expresiilor matematice MathCAD includ operatori, constante, variabile, matrice și funcții.

2.1 Operatori

Operatori -- elemente din MathCAD cu care puteți crea expresii matematice. Acestea, de exemplu, includ simboluri pentru operații aritmetice, semne pentru calcularea sumelor, produselor, derivatelor, integralelor etc.

Operatorul defineste:

a) acțiunea care trebuie efectuată în prezența anumitor valori ale operanzilor;

b) câți, unde și ce operanzi trebuie introduși în operator.

Operand -- numărul sau expresia asupra căreia acționează operatorul. De exemplu, în expresia 5!+3, numerele 5! iar 3 sunt operanzii operatorului „+” (plus), iar numărul 5 este operandul factorialului (!).

Orice operator în MathCAD poate fi introdus în două moduri:

prin apăsarea unei taste (combinație de taste) de pe tastatură;

folosind panoul de matematică.

Următoarele instrucțiuni sunt utilizate pentru a atribui sau afișa conținutul locației de memorie asociată cu o variabilă:

Semn de atribuire (introdus prin apăsarea tastei : pe tastatură (coloană în aspectul tastaturii engleze) sau prin apăsarea butonului corespunzător de pe panou Calculator );

Această misiune este numită local. Înainte de această atribuire, variabila nu este definită și nu poate fi utilizată.

Operator de atribuire globală. Această atribuire poate fi făcută oriunde în document. De exemplu, dacă unei variabile i se atribuie o valoare în acest mod chiar la sfârșitul documentului, atunci va avea aceeași valoare la începutul documentului.

Operator de egalitate aproximativă (x1). Folosit în rezolvarea sistemelor de ecuații. Se introduce prin apăsarea unei taste ; pe tastatură (punct și virgulă în aspectul tastaturii în limba engleză) sau prin apăsarea butonului corespunzător panou boolean.

Un operator (simplu egal) rezervat pentru ieșirea valorii unei constante sau variabile.

Cele mai simple calcule

Procesul de calcul se realizează folosind:

Panouri de calculatoare, panouri de calcul și panouri de estimare.

Atenţie. Dacă este necesară împărțirea întregii expresii în numărător, atunci trebuie mai întâi selectată apăsând bara de spațiu de pe tastatură sau plasând-o între paranteze.

2.2 Constante

constante -- obiecte denumite care dețin o valoare care nu poate fi modificată.

De exemplu, = 3,14.

Constante dimensionale sunt unități de măsură comune. De exemplu, metri, secunde etc.

Pentru a nota constanta dimensională, trebuie să introduceți semnul * (înmulțire) după număr, selectați elementul de meniu Introduce subparagraf Unitate. In masuratori categoriile cele mai cunoscute de tine: Lungime - lungime (m, km, cm); Masa -- greutate (g, kg, t); Timp -- timp (min, sec, oră).

2.3 Variabile

Variabile sunt obiecte numite care au o anumită valoare care se poate modifica pe măsură ce programul rulează. Variabilele pot fi numerice, șir, caractere etc. Variabilele li se atribuie valori folosind semnul de atribuire (:=).

Atenţie. MathCAD tratează literele mari și mici ca identificatori diferiți.

Variabile de sistem

LA MathCAD conține un grup mic de obiecte speciale care nu pot fi atribuite nici clasei constantelor, nici clasei variabilelor, ale căror valori sunt determinate imediat după pornirea programului. Este mai bine să le numărăm variabile de sistem. Aceasta, de exemplu, TOL - eroarea calculelor numerice, ORIGINEA - limita inferioară a valorii indicelui index al vectorilor, matricelor etc. Dacă este necesar, puteți seta alte valori pentru aceste variabile.

Variabile clasificate

Aceste variabile au o serie de valori fixe, fie intregi, fie variind intr-un anumit pas de la valoarea initiala la cea finala.

O expresie este folosită pentru a crea o variabilă cu intervale:

Nume=N ÎNCEPE ,(N ÎNCEPE +Pas).N Sfârşit ,

unde Nume este numele variabilei;

N începe -- valoarea inițială;

Pas -- pasul specificat pentru schimbarea variabilei;

N final -- valoare finală.

Variabilele clasificate sunt utilizate pe scară largă în grafic. De exemplu, pentru a reprezenta un grafic al unei funcții f(X) în primul rând, trebuie să creați o serie de valori variabile X-- trebuie să fie o variabilă variabilă pentru ca aceasta să funcționeze.

Atenţie. Dacă nu specificați un pas în intervalul variabil, programul îl va lua automat egal cu 1.

Exemplu . Variabil X variază în intervalul de la -16 la +16 în trepte de 0,1

Pentru a scrie o variabilă variabilă, ar trebui să tastați:

- numele variabilei ( X);

- semn de atribuire (:=)

- prima valoare a intervalului (-16);

- o virgulă;

- a doua valoare a intervalului, care este suma primei valori și a pasului (-16 + 0,1);

- puncte de suspensie ( . ) -- modificarea variabilei în limitele date (punctele de suspensie se introduc prin apăsarea punctului și virgulă în aspectul tastaturii engleze);

— ultima valoare a intervalului (16).

Ca rezultat, veți obține: X := -16,-16+0.1.16.

Tabelele de ieșire

Orice expresie cu variabile clasificate după semnul egal inițiază tabelul de ieșire.

Puteți introduce valori numerice în tabelele de ieșire și le puteți corecta.

Variabilă cu indice

Variabilă cu indice-- este o variabilă căreia i se atribuie un set de numere neînrudite, fiecare dintre ele având propriul său număr (index).

Indexul se introduce apăsând paranteza pătrată din stânga de pe tastatură sau folosind butonul X n pe panou Calculator.

Puteți utiliza fie o constantă, fie o expresie ca index. Pentru a inițializa o variabilă cu un index, trebuie să introduceți elementele matricei, separându-le prin virgule.

Exemplu. Introducerea variabilelor de index.

Valorile numerice sunt introduse în tabel separate prin virgule;

Ieșirea valorii primului element al vectorului S;

Se emite valoarea elementului zero al vectorului S.

2.4 Matrice

matrice -- o colecție cu nume unic dintr-un număr finit de elemente numerice sau de caractere, ordonate într-un fel și având adrese specifice.

In pachet MathCAD sunt utilizate matrice din cele mai comune două tipuri:

unidimensional (vectori);

bidimensionale (matrici).

Puteți scoate un șablon matrice sau vectorial într-unul dintre următoarele moduri:

selectați elementul de meniu Introduce - Matrice;

apăsați combinația de taste ctrl + M;

apăsați butonul pornit panou și vectori şi matrici.

Ca rezultat, va apărea o casetă de dialog în care este setat numărul necesar de rânduri și coloane:

Rânduri-- numărul de linii

coloane-- numărul de coloane Dacă unei matrice (vector) trebuie să i se dea un nume, atunci se introduce mai întâi numele matricei (vectorului), apoi operatorul de atribuire și apoi șablonul matricei.

de exemplu:

Matrice -- o matrice bidimensională numită M n , m , constând din n rânduri și m coloane.

Puteți efectua diverse operații matematice pe matrice.

2.5 Funcții

Funcţie -- o expresie conform căreia se efectuează unele calcule cu argumente și se determină valoarea sa numerică. Exemple de funcții: păcat(X), bronzat(X) si etc.

Funcțiile din pachetul MathCAD pot fi fie încorporate, fie definite de utilizator. Modalități de a insera o funcție inline:

Selectați elementul de meniu Introduce — Funcţie.

Apăsați combinația de taste ctrl + E.

Faceți clic pe butonul de pe bara de instrumente.

Introduceți numele funcției pe tastatură.

Funcțiile utilizator sunt de obicei utilizate atunci când aceeași expresie este evaluată de mai multe ori. Pentru a seta o funcție de utilizator:

Introduceți numele funcției cu indicarea obligatorie a argumentului între paranteze, de exemplu, f (x);

Introduceți operatorul de atribuire (:=);

Introduceți o expresie calculată.

Exemplu. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatarea numerelor

În MathCAD, puteți modifica formatul de ieșire al numerelor. De obicei, calculele se fac cu o precizie de 20 de cifre, dar nu sunt afișate toate cifrele semnificative. Pentru a schimba formatul numeric, faceți dublu clic pe rezultatul numeric dorit. Va apărea fereastra de formatare a numărului, deschisă în filă număr Format (Format Număr) cu următoarele formate:

o General (Principal) -- este implicit. Numerele sunt afișate în ordine (de exemplu, 1.2210 5). Numărul de semne ale mantisei este determinat pe teren Exponenţial Prag(Pragul de notație exponențială). Când pragul este depășit, numărul este afișat în ordine. Numărul de cifre după virgulă zecimală se modifică în câmp număr de zecimal locuri.

o Zecimal (Decimală) -- Reprezentarea zecimală a numerelor cu virgulă mobilă (de exemplu, 12,2316).

o Științific (Științific) -- Numerele sunt afișate numai în ordine.

o Inginerie (Inginerie) -- numerele sunt afișate numai în multipli de trei (de exemplu, 1,2210 6).

Atenţie. Dacă, după setarea formatului dorit în fereastra de formatare a numărului, selectați butonul Bine, formatul va fi setat numai pentru numărul selectat. Și dacă selectați butonul Setare ca implicit, formatul va fi aplicat tuturor numerelor din acest document.

Numerele sunt rotunjite automat la zero dacă sunt mai mici decât pragul setat. Pragul este setat pentru întregul document, nu pentru un anumit rezultat. Pentru a modifica pragul de rotunjire la zero, selectați elementul de meniu Formatare - Rezultat iar în tab toleranţă , în câmp Zero prag introduceți valoarea prag necesară.

4. Lucrul cu textul

Fragmentele de text sunt fragmente de text pe care utilizatorul ar dori să le vadă în documentul său. Acestea pot fi explicații, link-uri, comentarii etc. Sunt inserate folosind elementul de meniu Introduce — Regiunea textului.

Puteți formata textul: schimbați fontul, dimensiunea, stilul, alinierea, etc. Pentru a face acest lucru, trebuie să îl selectați și să selectați opțiunile corespunzătoare din panoul de fonturi sau din meniu. Formatare — Text.

5. Lucrul cu grafica

Când se rezolvă multe probleme în care o funcție este studiată, devine adesea necesar să se traseze graficul acesteia, care va reflecta în mod clar comportamentul funcției pe un anumit interval.

În sistemul MathCAD, este posibilă construirea diferitelor tipuri de grafice: în sisteme de coordonate carteziene și polare, grafice tridimensionale, suprafețe ale corpurilor de revoluție, poliedre, curbe spațiale, grafice de câmp vectorial. Vom vedea cum să construim unele dintre ele.

5.1 Trasarea graficelor 2D

Pentru a construi un grafic bidimensional al unei funcții, trebuie să:

setați o funcție

Plasați cursorul în locul unde trebuie construit graficul, pe panoul matematic selectați butonul Graph (grafic) iar în panoul care se deschide, butonul X-Y Plot (grafic bidimensional);

În șablonul apărut al unui grafic bidimensional, care este un dreptunghi gol cu ​​etichete de date, introduceți numele variabilei în eticheta centrală de date de-a lungul axei absciselor (axa X) și introduceți numele funcției în loc de eticheta centrală de date de-a lungul axei ordonatelor (axa Y) (Fig. 2.1);

Orez. 2.1. Șablon de diagramă 2D

faceți clic în afara șablonului de grafic -- graficul funcției va fi reprezentat.

Intervalul argumentelor este format din 3 valori: initiala, secunda si finala.

Să fie necesar să se traseze un grafic al funcției pe intervalul [-2,2] cu un pas de 0,2. Valori variabile t sunt specificate ca un interval după cum urmează:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

unde: -2 -- valoarea inițială a intervalului;

1,8 (-2 + 0,2) -- a doua valoare a intervalului (valoarea inițială plus pas);

2 este valoarea finală a intervalului.

Atenţie. Se introduce o elipsă prin apăsarea punctului și virgulă în aspectul tastaturii engleze.

Exemplu. Trasarea unei funcții y = X 2 pe intervalul [-5,5] cu un pas de 0,5 (Fig. 2.2).

Orez. 2.2. Trasarea unei funcții y = X 2

Când trasați grafice, luați în considerare următoarele:

° Dacă intervalul valorilor argumentului nu este specificat, atunci graficul este construit în mod implicit în intervalul [-10,10].

° Dacă este necesar să plasați mai multe grafice într-un șablon, atunci numele funcțiilor sunt indicate separate prin virgule.

° Dacă două funcții au argumente diferite, de exemplu f1(x) și f2(y), atunci numele funcțiilor sunt indicate pe axa ordonatelor (Y), separate prin virgule, iar pe axa absciselor (X), numele ambelor variabile sunt de asemenea separate prin virgule.

° Semnele de date extreme de pe șablonul de diagramă servesc pentru a indica valorile limită ale absciselor și ordonatelor, adică stabilesc scara diagramei. Dacă lăsați aceste etichete goale, scala va fi setată automat. Scara automată nu reflectă întotdeauna graficul în forma dorită, astfel încât valorile limită ale absciselor și ordonatelor trebuie editate prin schimbarea manuală a acestora.

Notă. Dacă după trasarea graficului nu ia forma dorită, puteți:

Reduceți pasul.

· modificați intervalul de reprezentare.

Reduceți valorile limită ale absciselor și ordonatelor pe diagramă.

Exemplu. Construcția unui cerc cu un centru într-un punct (2,3) și o rază R = 6.

Ecuația unui cerc centrat într-un punct cu coordonatele ( X 0 ,y 0) și raza R se scrie ca:

Exprimați din această ecuație y:

Astfel, pentru a construi un cerc, este necesar să setați două funcții: semicercurile superioare și inferioare. Intervalul argumentelor se calculează după cum urmează:

- valoarea initiala a intervalului = X 0 — R;

- valoarea finală a intervalului = X 0 + R;

- este mai bine să faceți pasul egal cu 0,1 (Fig. 2.3.).

Orez. 2.3. Construcția unui cerc

Graficul parametric al unei funcții

Uneori, este mai convenabil în locul unei ecuații de linie care relaționează coordonatele dreptunghiulare Xși y, luați în considerare așa-numitele ecuații ale liniilor parametrice, care dau expresii pentru coordonatele x și y curente ca funcții ale unei variabile t(parametru): X(t) și y(t). La construirea unui grafic parametric, numele funcțiilor unui argument sunt indicate pe axele ordonatelor și absciselor.

Exemplu. Construcția unui cerc centrat într-un punct cu coordonatele (2,3) și rază R= 6. Pentru construcție se folosește ecuația parametrică a cercului

X = X 0 + R cos( t) y = y 0 + R păcat( t) (Fig. 2.4.).

Orez. 2.4. Construcția unui cerc

Formatarea diagramei

Pentru a formata un grafic, faceți dublu clic pe zona graficului. Se va deschide caseta de dialog Formatare grafic. Filele din fereastra de formatare a diagramei sunt enumerate mai jos:

§ X- Y topoare-- formatarea axelor de coordonate. Bifând casetele corespunzătoare, puteți:

· Buturuga Scară-- reprezintă valori numerice pe axe într-o scară logaritmică (în mod implicit, valorile numerice sunt reprezentate pe o scară liniară)

· Grilă linii-- trageți o grilă de linii;

· numerotate-- Aranjați numerele de-a lungul axelor de coordonate;

· Auto Scară-- selectarea automată a valorilor numerice limită pe axe (dacă această casetă este nebifată, valorile maxime calculate vor fi limită);

· spectacol marker-- marcarea graficului sub formă de linii punctate orizontale sau verticale corespunzătoare valorii specificate pe axă, iar valorile însele sunt afișate la sfârșitul liniilor (pe fiecare axă apar 2 locuri de introducere, în care puteți introduceți valori numerice, nu introduceți nimic, introduceți un număr sau o literă desemnări ale constantelor);

· Auto Gscăpa-- selectarea automată a numărului de linii de grilă (dacă această casetă este debifată, trebuie să specificați numărul de linii în câmpul Număr de grile);

· traversat-- axa absciselor trece prin zero al ordonatei;

· În cutie-- axa x trece de-a lungul marginii inferioare a graficului.

§ Urmă-- formatarea liniilor grafice de funcții. Pentru fiecare grafic separat, puteți modifica:

simbol (Simbol) pe diagramă pentru punctele nodale (cerc, cruce, dreptunghi, romb);

tip de linie (Solid - solid, Dot - linie punctată, Dash - linii, Dadot - linie punctată);

culoarea liniei (Culoare);

Tipul (Ture) diagramei (Linii - linie, Puncte - puncte, Var sau Solidbar - bare, Pas - diagramă pas etc.);

grosimea liniei (Greutate).

§ Eticheta -- titlu în zona graficului. În câmp Titlu (Titlu) puteți scrie textul titlului, selectați poziția acestuia - în partea de sus sau de jos a graficului ( De mai sus -- sus, De mai jos -- jos). Puteți introduce, dacă este necesar, numele argumentului și funcției ( Etichete axelor ).

§ Implicite -- folosind această filă, puteți reveni la vizualizarea implicită a diagramei (Modificarea la implicit) sau puteți utiliza modificările pe care le-ați făcut pe diagramă în mod implicit pentru toate diagramele din acest document (Utilizare pentru setări implicite).

5.2 Construirea parcelelor polare

Pentru a construi un grafic polar al unei funcții, trebuie să:

· setați intervalul de valori ale argumentului;

setați o funcție

· plasați cursorul în locul unde trebuie construit graficul, pe panoul matematic selectați butonul Graph (grafic) iar în panoul care se deschide, butonul Polar Plot (grafic polar);

· În câmpurile de introducere ale șablonului care apare, trebuie să introduceți argumentul unghiular al funcției (mai jos) și numele funcției (stânga).

Exemplu. Construcția lemniscatei lui Bernoulli: (Fig. 2.6.)

Orez. 2.6. Un exemplu de construire a unui complot polar

5.3 Trasarea suprafețelor (diagrame 3D sau 3D)

La construirea graficelor tridimensionale se folosește panoul grafic(Graph) panou de matematică. Puteți construi un grafic tridimensional folosind vrăjitorul, apelat din meniul principal; puteți construi un grafic creând o matrice de valori a unei funcții a două variabile; puteți folosi metoda de construcție accelerată; puteți apela funcțiile speciale CreateMech și CreateSpase, concepute pentru a crea o serie de valori ale funcției și grafice. Vom lua în considerare o metodă accelerată pentru construirea unui grafic tridimensional.

Grafică rapidă

Pentru a construi rapid un grafic tridimensional al unei funcții, trebuie să:

setați o funcție

plasați cursorul în locul în care ar trebui să fie construit graficul, selectați butonul de pe panoul matematic grafic(Grafic) iar în panoul deschis butonul ( graficul suprafeței);

· în singurul loc al șablonului, introduceți numele funcției (fără a specifica variabile);

· faceți clic în afara șablonului de diagramă - va fi construit graficul funcției.

Exemplu. Trasarea unei funcții z(X,y) = X 2 + y 2 - 30 (Fig. 2.7).

Orez. 2.7. Un exemplu de diagramă de suprafață rapidă

Diagrama construită poate fi controlată:

° rotirea graficului se realizează după trecerea cursorului mouse-ului peste acesta cu butonul stâng al mouse-ului apăsat;

° scalarea diagramei se realizează după trecerea cursorului mouse-ului peste aceasta prin apăsarea simultană a butonului stâng al mouse-ului și a tastei Ctrl (dacă mișcați mouse-ul, diagrama se mări sau micșorează);

° animația diagramei este realizată în același mod, dar cu tasta Shift apăsată suplimentar. Este necesar doar să începeți rotirea graficului cu mouse-ul, apoi animația va fi realizată automat. Pentru a opri rotația, faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului în interiorul zonei graficului.

Este posibil să construiți mai multe suprafețe simultan într-un singur desen. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați ambele funcții și să specificați numele funcțiilor pe șablonul de diagramă, separate prin virgule.

Când trasați rapid, valorile implicite pentru ambele argumente sunt între -5 și +5, iar numărul de linii de contur este 20. Pentru a modifica aceste valori, trebuie:

· dublu clic pe diagramă;

· selectați fila Quick Plot Data în fereastra deschisă;

· introduceți noi valori în zona ferestrei Range1 -- pentru primul argument și Range2 -- pentru al doilea argument (start -- valoare inițială, final -- valoare finală);

· în câmpul # of Grids, modificați numărul de linii de grilă care acoperă suprafața;

· Faceți clic pe butonul OK.

Exemplu. Trasarea unei funcții z(X,y) = -sin ( X 2 + y 2) (Fig. 2.9).

Când construiți acest grafic, este mai bine să alegeți limitele de modificare a valorilor ambelor argumente de la -2 la +2.

Orez. 2.9. Un exemplu de reprezentare grafică a unei funcții z(X,y) = -sin ( X 2 + y 2)

înaintematting grafice 3D

Pentru a formata graficul, faceți dublu clic pe zona de grafică - va apărea o fereastră de formatare cu mai multe file: Aspect, General, topoare, iluminat, Titlu, Backplane, Special, Avansat, Rapid Complot Date.

Scopul filei Rapid Complot Date a fost discutat mai sus (23, „https://site”).

fila Aspect vă permite să schimbați aspectul graficului. Camp Completati Opțiuni vă permite să modificați parametrii de umplere, câmp linia Opțiune-- parametri de linie, punct Opțiuni-- parametri de punct.

În fila General ( general) în grup vedere puteți alege unghiurile de rotație ale suprafeței reprezentate în jurul tuturor celor trei axe; într-un grup afişa la fel de Puteți schimba tipul diagramei.

În fila iluminat(iluminare) puteți controla iluminarea bifând caseta permite iluminat(aprinde luminile) și comută Pe(aprinde). Una dintre cele 6 scheme de iluminare posibile este selectată din listă iluminat sistem(schema de iluminare).

6. Modalități de rezolvare a ecuațiilor în MathCAD

În această secțiune, vom afla cum cele mai simple ecuații de forma F ( X) = 0. A rezolva analitic o ecuație înseamnă a găsi toate rădăcinile ei, adică astfel de numere, când le înlocuim în ecuația originală, obținem egalitatea corectă. A rezolva grafic ecuația înseamnă a găsi punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa x.

6. 1 Rezolvarea ecuațiilor cu funcția rădăcină(f(x), x)

Pentru soluțiile unei ecuații cu o necunoscută de forma F ( X) = 0 există o funcție specială

rădăcină(f(X), X) ,

Unde f(X) este o expresie egală cu zero;

X-- argument.

Această funcție returnează, cu o precizie dată, valoarea unei variabile pentru care expresia f(X) este egal cu 0.

Atenţiee. Dacă partea dreaptă a ecuației este 0, atunci este necesar să o aduceți la forma normală (transferați totul în partea stângă).

Înainte de a utiliza funcția rădăcină trebuie dat argumentului X aproximare initiala. Dacă există mai multe rădăcini, atunci pentru a găsi fiecare rădăcină, trebuie să specificați aproximarea inițială.

Atenţie. Înainte de a rezolva, este de dorit să trasați un grafic al funcției pentru a verifica dacă există rădăcini (graficul intersectează axa Ox) și, dacă da, câte. Aproximația inițială poate fi aleasă în funcție de graficul mai aproape de punctul de intersecție.

Exemplu. Rezolvarea unei ecuații folosind o funcție rădăcină prezentat în Figura 3.1. Înainte de a trece la soluția în sistemul MathCAD, în ecuație vom transfera totul în partea stângă. Ecuația va lua forma: .

Orez. 3.1. Rezolvarea unei ecuații folosind funcția rădăcină

6. 2 Rezolvarea ecuațiilor cu funcția Polyroots (v).

Pentru a găsi simultan toate rădăcinile unui polinom, utilizați funcția polyroots(v), unde v este vectorul de coeficienți ai polinomului, pornind de la termenul liber . Coeficienții zero nu pot fi omisi. Spre deosebire de funcție rădăcină funcţie Polyroots nu necesită o aproximare inițială.

Exemplu. Rezolvarea unei ecuații folosind o funcție polyroots prezentat în figura 3.2.

Orez. 3.2. Rezolvarea unei ecuații utilizând funcția Polyroots

6.3 Rezolvarea ecuațiilor cu funcția Găsește (x).

Funcția Find funcționează împreună cu cuvântul cheie dat. Proiecta Dat — găsi

Dacă este dată ecuația f(X) = 0, atunci se poate rezolva după cum urmează folosind blocul Dat - găsi:

— setați aproximarea inițială

— introduceți un cuvânt de serviciu

- scrieți ecuația folosind semnul îndrăznețe egale

- scrieți o funcție de căutare cu o variabilă necunoscută ca parametru

Ca urmare, după semnul egal, va fi afișată rădăcina găsită.

Dacă există mai multe rădăcini, atunci acestea pot fi găsite prin schimbarea aproximării inițiale x0 la una apropiată de rădăcina dorită.

Exemplu. Rezolvarea ecuației folosind funcția găsi este prezentată în Figura 3.3.

Orez. 3.3. Rezolvarea unei ecuații cu funcția găsi

Uneori devine necesar să se marcheze unele puncte pe grafic (de exemplu, punctele de intersecție ale unei funcții cu axa Ox). Pentru asta ai nevoie de:

Specificați valoarea x a unui punct dat (de-a lungul axei Ox) și valoarea funcției în acest punct (de-a lungul axei Oy);

faceți dublu clic pe grafic și în fereastra de formatare din filă urme pentru linia corespunzătoare, selectați tipul graficului - puncte, grosimea liniei - 2 sau 3.

Exemplu. Graficul arată punctul de intersecție al funcției cu axa x. Coordona X acest punct a fost găsit în exemplul anterior: X= 2,742 (rădăcina ecuației ) (Fig. 3.4).

Orez. 3.4. Graficul unei funcții cu un punct de intersecție marcat În fereastra de formatare a graficului, în filă urme pentru urmă2 modificat: tip diagramă - puncte, grosimea liniei - 3, culoare - negru.

7. Rezolvarea sistemelor de ecuații

7.1 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Sistemul de ecuații liniare poate fi rezolvat m metoda matricei (fie prin matricea inversă, fie folosind funcția rezolv(A, B)) și folosind două funcții găsiși caracteristici Minerr.

Metoda matricei

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Rezolvarea acestui sistem de ecuații prin metoda matricei este prezentată în Figura 4.1.

Orez. 4.1. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare printr-o metodă matriceală

Utilizarea funcției rezolv(A, B)

Lrezolva(A, B) este o funcție încorporată care returnează un vector X pentru un sistem de ecuații liniare având în vedere o matrice de coeficienți, A și un vector de termeni liberi, B .

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Modul de rezolvare a acestui sistem folosind funcția lsolve (A, B) este prezentat în Figura 4.2.

Orez. 4.2. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind funcția lsolve

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin intermediul funcțiiși găsi

Cu această metodă, ecuațiile sunt introduse fără utilizarea matricelor, adică în „forma naturală”. În primul rând, este necesar să se indice aproximările inițiale ale variabilelor necunoscute. Poate fi orice număr din domeniul de aplicare al definiției. Adesea sunt confundați cu o coloană de membri liberi.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare folosind o unitate de calcul Dat - găsi, necesar:

2) introduceți un cuvânt de serviciu Dat;

îndrăznețe egale();

4) scrieți o funcție găsi,

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Rezolvarea acestui sistem folosind o unitate de calcul Dat - găsi prezentat în Figura 4.3.

Orez. 4.3. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind funcția Găsește

Aproximativ prezolvarea unui sistem de ecuații liniare

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o funcție Minerr similar cu soluția folosind funcția găsi(folosind același algoritm), numai funcție găsi dă soluția exactă și Minerr-- aproximativ. Dacă, ca rezultat al căutării, nu se poate obține o rafinare suplimentară a aproximării curente a soluției, Minerr returnează această aproximare. Funcţie găsiîn acest caz returnează un mesaj de eroare.

Puteți alege o altă aproximare inițială.

· Puteți crește sau micșora precizia calculului. Pentru a face acest lucru, selectați din meniu Matematică > Opțiuni(Matematică - Opțiuni), fila construit- În Variabile(Variabile încorporate). În fila care se deschide, trebuie să reduceți eroarea de calcul permisă (Toleranța de convergență (TOL)). TOL implicit = 0,001.

LAAtenţie. Cu metoda soluției matriceale este necesară rearanjarea coeficienților în funcție de creșterea necunoscutelor X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Sistemele de ecuații neliniare din MathCAD sunt rezolvate folosind o unitate de calcul Dat - găsi.

Proiecta Dat - găsi folosește o tehnică de calcul bazată pe găsirea unei rădăcini în apropierea unui punct de aproximare inițial specificat de utilizator.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații folosind blocul Dat - găsi necesar:

1) stabiliți aproximări inițiale pentru toate variabilele;

2) introduceți un cuvânt de serviciu Dat;

3) notează sistemul de ecuații folosind semnul îndrăznețe egale();

4) scrieți o funcție găsi, prin enumerarea variabilelor necunoscute ca parametri ai funcției.

Ca rezultat al calculelor, va fi afișat vectorul soluție al sistemului.

Dacă sistemul are mai multe soluții, algoritmul ar trebui repetat cu alte presupuneri inițiale.

Notă. Dacă se rezolvă un sistem de două ecuații cu două necunoscute, înainte de a-l rezolva, este de dorit să se traseze grafice de funcții pentru a verifica dacă sistemul are rădăcini (dacă graficele funcțiilor date se intersectează) și, dacă da, câte. Aproximația inițială poate fi aleasă în funcție de graficul mai aproape de punctul de intersecție.

Exemplu. Dat un sistem de ecuații

Înainte de a rezolva sistemul, construim grafice de funcții: parabole (prima ecuație) și o dreaptă (a doua ecuație). Construcția unui grafic al unei linii drepte și a unei parabole într-un sistem de coordonate este prezentată în Figura 4.5:

Orez. 4.5. Trasarea a două funcții în același sistem de coordonate O linie și o parabolă se intersectează în două puncte, ceea ce înseamnă că sistemul are două soluții. Conform graficului, alegem aproximațiile inițiale ale necunoscutelor Xși y pentru fiecare solutie. Găsirea rădăcinilor sistemului de ecuații este prezentată în Figura 4.6.

Orez. 4.6. Găsirea rădăcinilor unui sistem de ecuații neliniare X ) și de-a lungul axei Oy (valori la ) separate prin virgule. În fereastra de formatare a diagramei, în filă urme pentru urmă3 și urmă4 modificare: tip diagramă - puncte, grosimea liniei - 3, culoare - negru (Fig. 4.7).

Orez. 4.7. Grafice de funcții cu puncte de intersecție marcate

8 . Caracteristici cheie Exemple de utilizare MathCAD pentru a rezolva unele probleme matematice

Această secțiune oferă exemple de rezolvare a problemelor care necesită rezolvarea unei ecuații sau a unui sistem de ecuații.

8. 1 Găsirea extremelor locale ale funcțiilor

Condiția necesară pentru un extremum (maximum și/sau minim) al unei funcții continue este formulată astfel: extrema poate avea loc numai în acele puncte în care derivata fie este egală cu zero, fie nu există (în special, devine infinită) . Pentru a găsi extremele unei funcții continue, găsiți mai întâi punctele care îndeplinesc condiția necesară, adică găsiți toate rădăcinile reale ale ecuației.

Dacă este construit un grafic al funcției, atunci puteți vedea imediat - maximul sau minimul este atins într-un punct dat X. Dacă nu există un grafic, atunci fiecare dintre rădăcinile găsite este examinată într-unul dintre moduri.

1 cu indemnizatie . Cu egaliza e semnele derivatului . Semnul derivatei este determinat în vecinătatea punctului (în punctele care sunt separate de extremul funcției pe laturi diferite la distanțe mici). Dacă semnul derivatei se schimbă de la „+” la „-”, atunci în acest moment funcția are un maxim. Dacă semnul se schimbă de la „-” la „+”, atunci în acest moment funcția are un minim. Dacă semnul derivatului nu se schimbă, atunci nu există extreme.

al 2-lea s indemnizatie . LA calcule e al doilea derivat . În acest caz, derivata a doua este calculată la punctul extrem. Dacă este mai mică decât zero, atunci în acest moment funcția are un maxim, dacă este mai mare decât zero, atunci un minim.

Exemplu. Găsirea extremelor (minime/maxime) ale unei funcții.

Mai întâi, să construim un grafic al funcției (Fig. 6.1).

Orez. 6.1. Trasarea unei funcții

Să determinăm din grafic aproximările inițiale ale valorilor X corespunzătoare extremelor locale ale funcției f(X). Să găsim aceste extreme rezolvând ecuația. Pentru soluție, folosim blocul Given - Find (Fig. 6.2.).

Orez. 6.2. Găsirea extremelor locale

Să definim tipul de extreme pervcale, examinând modificarea semnului derivatei în vecinătatea valorilor găsite (Fig. 6.3).

Orez. 6.3. Determinarea tipului de extremum

Se poate observa din tabelul de valori ale derivatei și din grafic că semnul derivatei în vecinătatea punctului X 1 se schimbă de la plus la minus, astfel încât funcția atinge maximul în acest moment. Și în vecinătatea punctului X 2, semnul derivatei s-a schimbat de la minus la plus, deci în acest moment funcția atinge un minim.

Să definim tipul de extreme al doileacale, calculând semnul derivatei a doua (Fig. 6.4).

Orez. 6.4. Determinarea tipului de extremum folosind derivata a doua

Se vede că la punct X 1 derivata a doua este mai mică decât zero, deci punctul X 1 corespunde maximului funcției. Și la punctul X 2 derivata a doua este mai mare decât zero, deci punctul X 2 corespunde minimului funcției.

8.2 Determinarea ariilor figurilor delimitate prin linii continue

Aria unui trapez curbiliniu delimitată de graficul unei funcții f(X) , un segment pe axa Ox și două verticale X = Ași X = b, A < b, este determinată de formula: .

Exemplu. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii f(X) = 1 — X 2 și y = 0.

Orez. 6.5. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii f(X) = 1 — X 2 și y = 0

Aria figurii cuprinsă între graficele funcțiilor f1(X) și f2(X) si direct X = Ași X = b, se calculează prin formula:

Atenţie. Pentru a evita erorile la calcularea ariei, diferența de funcții trebuie luată modulo. Astfel, zona va fi întotdeauna pozitivă.

Exemplu. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii și. Soluția este prezentată în figura 6.6.

1. Construim un grafic de funcții.

2. Găsim punctele de intersecție ale funcțiilor folosind funcția rădăcină. Vom determina aproximațiile inițiale din grafic.

3. Valori găsite X sunt substituite în formula ca limite de integrare.

8. 3 Construirea curbelor după puncte date

Construirea unei drepte care trece prin două puncte date

Pentru a compune ecuația unei drepte care trece prin două puncte A ( X 0,y 0) și B ( X 1,y 1), se propune următorul algoritm:

Unde Ași b sunt coeficienții dreptei pe care trebuie să-i găsim.

2. Acest sistem este liniar. Are două variabile necunoscute: Ași b

Exemplu. Construcția unei drepte care trece prin punctele A (-2, -4) și B (5.7).

Inlocuim coordonatele directe ale acestor puncte in ecuatie si obtinem sistemul:

Soluția acestui sistem în MathCAD este prezentată în Figura 6.7.

Orez. 6.7 Soluție de sistem

Ca urmare a rezolvării sistemului, obținem: A = 1.57, b= -0,857. Deci ecuația unei linii drepte va arăta astfel: y = 1.57X- 0,857. Să construim această linie dreaptă (Fig. 6.8).

Orez. 6.8. Construirea unei linii drepte

Construcția unei parabole, trecând prin trei puncte date

Pentru a construi o parabolă care trece prin trei puncte A ( X 0,y 0), B ( X 1,y 1) și C ( X 2,y 2), algoritmul este următorul:

1. Parabola este dată de ecuație

y = topor 2 + bX + cu, Unde

A, bși cu sunt coeficienții parabolei pe care trebuie să-i găsim.

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in aceasta ecuatie si obtinem sistemul:

2. Acest sistem este liniar. Are trei variabile necunoscute: A, bși cu. Sistemul poate fi rezolvat într-un mod matricial.

3. Înlocuim coeficienții obținuți în ecuație și construim o parabolă.

Exemplu. Construcția unei parabole care trece prin punctele A (-1,-4), B (1,-2) și C (3,16).

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in ecuatia parabolei si obtinem sistemul:

Soluția acestui sistem de ecuații în MathCAD este prezentată în Figura 6.9.

Orez. 6.9. Rezolvarea unui sistem de ecuații

Ca urmare, se obțin coeficienții: A = 2, b = 1, c= -5. Obținem ecuația parabolei: 2 X 2 +X -5 = y. Să construim această parabolă (Fig. 6.10).

Orez. 6.10. Construcția unei parabole

Construcția unui cerc care trece prin trei puncte date

Pentru a construi un cerc care trece prin trei puncte A ( X 1,y 1), B ( X 2,y 2) și C ( X 3,y 3), puteți utiliza următorul algoritm:

1. Cercul este dat de ecuație

unde x0, y0 sunt coordonatele centrului cercului;

R este raza cercului.

2. Înlocuiți coordonatele date ale punctelor în ecuația cercului și obțineți sistemul:

Acest sistem este neliniar. Are trei variabile necunoscute: X 0, y 0 și R. Sistemul se rezolvă folosind unitatea de calcul Dat - găsi.

Exemplu. Construcția unui cerc care trece prin trei puncte A (-2,0), B (6,0) și C (2,4).

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in ecuatia cercului si obtinem sistemul:

Soluția sistemului din MathCAD este prezentată în Figura 6.11.

Orez. 6.11. Soluție de sistem

În urma rezolvării sistemului s-au obținut următoarele: X 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Înlocuiți coordonatele obținute ale centrului cercului și ale razei în ecuația cercului. Primim:. Express de aici y și construiți un cerc (Fig. 6.12).

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Foloseste formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

1. Fereastra de lucru MathCAD

· Panoul Matematică(Fig. 1.4).

Orez. 1.4. Panoul de matematică

Făcând clic pe butonul din bara de instrumente matematică, se deschide o bară de instrumente suplimentară:

2. Elemente de limbaj MathCAD

Elementele de bază ale expresiilor matematice MathCAD includ operatori, constante, variabile, matrice și funcții.

2.1 Operatori

Operatori -- elemente din MathCAD cu care puteți crea expresii matematice. Acestea, de exemplu, includ simboluri pentru operații aritmetice, semne pentru calcularea sumelor, produselor, derivatelor, integralelor etc.

Operatorul defineste:

a) acțiunea care trebuie efectuată în prezența anumitor valori ale operanzilor;

b) câți, unde și ce operanzi trebuie introduși în operator.

Operand -- numărul sau expresia asupra căreia acționează operatorul. De exemplu, în expresia 5!+3, numerele 5! iar 3 sunt operanzii operatorului „+” (plus), iar numărul 5 este operandul factorialului (!).

Orice operator în MathCAD poate fi introdus în două moduri:

prin apăsarea unei taste (combinație de taste) de pe tastatură;

folosind panoul de matematică.

Următoarele instrucțiuni sunt utilizate pentru a atribui sau afișa conținutul locației de memorie asociată cu o variabilă:

-- semn de atribuire (introdus prin apăsarea tastei : pe tastatură (coloană în aspectul tastaturii engleze) sau prin apăsarea butonului corespunzător de pe panou Calculator );

Această misiune este numită local. Înainte de această atribuire, variabila nu este definită și nu poate fi utilizată.

-- operator de atribuire globală. Această atribuire poate fi făcută oriunde în document. De exemplu, dacă unei variabile i se atribuie o valoare în acest mod chiar la sfârșitul documentului, atunci va avea aceeași valoare la începutul documentului.

-- operator de egalitate aproximativă (x1). Folosit în rezolvarea sistemelor de ecuații. Se introduce prin apăsarea unei taste ; pe tastatură (punct și virgulă în aspectul tastaturii în limba engleză) sau prin apăsarea butonului corespunzător panou boolean.

= -- operator (simplu egali) rezervat pentru ieșirea valorii unei constante sau variabile.

Cele mai simple calcule

Procesul de calcul se realizează folosind:

Panouri de calculatoare, panouri de calcul și panouri de estimare.

Atenţie. Dacă este necesară împărțirea întregii expresii în numărător, atunci trebuie mai întâi selectată apăsând bara de spațiu de pe tastatură sau plasând-o între paranteze.

2.2 Constante

constante -- obiecte numite care dețin o anumită valoare care nu poate fi modificată.

De exemplu, = 3,14.

Constante dimensionale sunt unități de măsură comune. De exemplu, metri, secunde etc.

Pentru a nota constanta dimensională, trebuie să introduceți semnul * (înmulțire) după număr, selectați elementul de meniu Introduce subparagraf Unitate. In masuratori categoriile cele mai cunoscute de tine: Lungime - lungime (m, km, cm); Masa -- greutate (g, kg, t); Timp -- timp (min, sec, oră).

2.3 Variabile

Variabile sunt obiecte numite care au o anumită valoare care se poate modifica pe măsură ce programul rulează. Variabilele pot fi numerice, șir, caractere etc. Variabilelor li se atribuie valori folosind semnul de atribuire (:=).

Atenţie. MathCAD tratează literele mari și mici ca identificatori diferiți.

Variabile de sistem

LA MathCAD conține un grup mic de obiecte speciale care nu pot fi atribuite nici clasei constantelor, nici clasei variabilelor, ale căror valori sunt determinate imediat după pornirea programului. Este mai bine să le numărăm variabile de sistem. Aceasta, de exemplu, TOL - eroarea calculelor numerice, ORIGINEA - limita inferioară a valorii indicelui index al vectorilor, matricelor etc. Dacă este necesar, puteți seta alte valori pentru aceste variabile.

Variabile clasificate

Aceste variabile au o serie de valori fixe, fie intregi, fie variind intr-un anumit pas de la valoarea initiala la cea finala.

O expresie este folosită pentru a crea o variabilă cu intervale:

Nume=N ÎNCEPE,(N ÎNCEPE+Pas)..N Sfârşit,

unde Nume este numele variabilei;

N începe -- valoarea inițială;

Pas -- pasul specificat pentru schimbarea variabilei;

N final -- valoare finală.

Variabilele clasificate sunt utilizate pe scară largă în grafic. De exemplu, pentru a reprezenta un grafic al unei funcții f(X) în primul rând, trebuie să creați o serie de valori variabile X-- trebuie să fie o variabilă variabilă pentru ca aceasta să funcționeze.

Atenţie. Dacă pasul nu este specificat în intervalul variabilei, atunci gram o va lua automat egal cu 1.

Exemplu . Variabil X variază în intervalul de la -16 la +16 în trepte de 0,1

Pentru a scrie o variabilă variabilă, ar trebui să tastați:

Numele variabilei ( X);

Semn de atribuire (:=)

Prima valoare a intervalului (-16);

virgulă;

A doua valoare a intervalului, care este suma primei valori și a pasului (-16+0,1);

puncte de suspensie ( .. ) -- modificarea variabilei în limitele date (punctele de suspensie se introduc prin apăsarea punctului și virgulă în aspectul tastaturii engleze);

Ultima valoare din interval (16).

Ca rezultat, veți obține: X := -16,-16+0.1..16.

Tabelele de ieșire

Orice expresie cu variabile clasificate după semnul egal inițiază tabelul de ieșire.

Puteți introduce valori numerice în tabelele de ieșire și le puteți corecta.

Variabilă cu indice

Variabilă cu indice-- este o variabilă căreia i se atribuie un set de numere neînrudite, fiecare dintre ele având propriul său număr (index).

Indexul se introduce apăsând paranteza pătrată din stânga de pe tastatură sau folosind butonul X n pe panou Calculator.

Puteți utiliza fie o constantă, fie o expresie ca index. Pentru a inițializa o variabilă cu un index, trebuie să introduceți elementele matricei, separându-le prin virgule.

Exemplu. Introducerea variabilelor de index.

Valorile numerice sunt introduse în tabel separate prin virgule;

Ieșirea valorii primului element al vectorului S;

Se emite valoarea elementului zero al vectorului S.

2.4 Matrice

matrice -- o colecție cu nume unic dintr-un număr finit de elemente numerice sau de caractere, ordonate într-un fel și având adrese specifice.

In pachet MathCAD sunt utilizate matrice din cele mai comune două tipuri:

unidimensional (vectori);

bidimensionale (matrici).

Puteți scoate un șablon matrice sau vectorial într-unul dintre următoarele moduri:

selectați elementul de meniu Introduce - Matrice;

apăsați combinația de taste ctrl+ M;

apăsați butonul pornit panou și vectori şi matrici.

Ca rezultat, va apărea o casetă de dialog în care este setat numărul necesar de rânduri și coloane:

Rânduri-- numărul de linii

coloane-- numar de coloane

Dacă unei matrice (vector) trebuie să i se dea un nume, atunci se introduce mai întâi numele matricei (vectorului), apoi operatorul de atribuire și apoi șablonul matricei.

de exemplu:

Matrice -- o matrice bidimensională numită M n , m , constând din n rânduri și m coloane.

Puteți efectua diverse operații matematice pe matrice.

2.5 Funcții

Funcţie -- o expresie conform căreia se efectuează unele calcule cu argumente și se determină valoarea sa numerică. Exemple de funcții: păcat(X), bronzat(X) si etc.

Funcțiile din pachetul MathCAD pot fi fie încorporate, fie definite de utilizator. Modalități de a insera o funcție inline:

Selectați elementul de meniu Introduce- Funcţie.

Apăsați combinația de taste ctrl+ E.

Faceți clic pe butonul de pe bara de instrumente.

Introduceți numele funcției pe tastatură.

Funcțiile utilizator sunt de obicei utilizate atunci când aceeași expresie este evaluată de mai multe ori. Pentru a seta o funcție de utilizator:

· introduceți numele funcției cu indicarea obligatorie a argumentului între paranteze, de exemplu, f(x);

Introduceți operatorul de atribuire (:=);

Introduceți o expresie calculată.

Exemplu. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatarea numerelor

În MathCAD, puteți modifica formatul de ieșire al numerelor. De obicei, calculele se fac cu o precizie de 20 de cifre, dar nu sunt afișate toate cifrele semnificative. Pentru a schimba formatul numeric, faceți dublu clic pe rezultatul numeric dorit. Va apărea fereastra de formatare a numărului, deschisă în filă număr Format (Format Număr) cu următoarele formate:

o General (Principal) -- este implicit. Numerele sunt afișate în ordine (de exemplu, 1.2210 5). Numărul de semne ale mantisei este determinat pe teren Exponenţial Prag(Pragul de notație exponențială). Când pragul este depășit, numărul este afișat în ordine. Numărul de cifre după virgulă zecimală se modifică în câmp număr de zecimal locuri.

o Zecimal (Decimală) -- Reprezentarea zecimală a numerelor cu virgulă mobilă (de exemplu, 12,2316).

o Științific (Științific) -- Numerele sunt afișate numai în ordine.

o Inginerie (Inginerie) -- numerele sunt afișate numai în multipli de trei (de exemplu, 1,2210 6).

Atenţie. Dacă, după setarea formatului dorit în fereastra de formatare a numărului, selectați butonul Bine, formatul va fi setat numai pentru numărul selectat. Și dacă selectați butonul Setare ca implicit, formatul va fi aplicat tuturor numerelor din acest document.

Numerele sunt rotunjite automat la zero dacă sunt mai mici decât pragul setat. Pragul este setat pentru întregul document, nu pentru un anumit rezultat. Pentru a modifica pragul de rotunjire la zero, selectați elementul de meniu Formatare - Rezultat iar în tab toleranţă , în câmp Zero prag introduceți valoarea prag necesară.

4 . Lucrați cu text

Fragmentele de text sunt fragmente de text pe care utilizatorul ar dori să le vadă în documentul său. Acestea pot fi explicații, link-uri, comentarii etc. Acestea sunt inserate folosind elementul de meniu Introduce - Regiunea textului.

Puteți formata textul: schimbați fontul, dimensiunea, stilul, alinierea, etc. Pentru a face acest lucru, selectați-l și selectați opțiunile corespunzătoare din panoul de fonturi sau din meniu Formatare - Text.

5. Lucrul cu grafica

Când se rezolvă multe probleme în care o funcție este studiată, devine adesea necesar să se traseze graficul acesteia, care va reflecta în mod clar comportamentul funcției pe un anumit interval.

În sistemul MathCAD, este posibilă construirea diferitelor tipuri de grafice: în sisteme de coordonate carteziene și polare, grafice tridimensionale, suprafețe ale corpurilor de revoluție, poliedre, curbe spațiale, grafice de câmp vectorial. Vom vedea cum să construim unele dintre ele.

5.1 Construirea graficelor bidimensionale

Pentru a construi un grafic bidimensional al unei funcții, trebuie să:

setați o funcție

Plasați cursorul în locul unde trebuie construit graficul, pe panoul matematic selectați butonul Graph (grafic) iar în panoul care se deschide, butonul X-Y Plot (grafic bidimensional);

În șablonul apărut al unui grafic bidimensional, care este un dreptunghi gol cu ​​etichete de date, introduceți numele variabilei în eticheta centrală de date de-a lungul axei absciselor (axa X) și introduceți numele funcției în loc de eticheta centrală de date de-a lungul axei ordonatelor (axa Y) (Fig. 2.1);\

Orez. 2.1. Șablon de diagramă 2D

faceți clic în afara șablonului de grafic -- graficul funcției va fi reprezentat.

Intervalul argumentelor este format din 3 valori: initiala, secunda si finala.

Să fie necesar să se traseze un grafic al funcției pe intervalul [-2,2] cu un pas de 0,2. Valori variabile t sunt specificate ca un interval după cum urmează:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

unde: -2 -- valoarea inițială a intervalului;

-1,8 (-2 + 0,2) -- a doua valoare a intervalului (valoarea inițială plus increment);

2 -- valoarea finală a intervalului.

Atenţie. Se introduce o elipsă prin apăsarea punctului și virgulă în aspectul tastaturii engleze.

Exemplu. Trasarea unei funcții y = X 2 pe intervalul [-5,5] cu un pas de 0,5 (Fig. 2.2).

Orez. 2.2. Trasarea unei funcții y = X 2

Când trasați grafice, luați în considerare următoarele:

° Dacă intervalul valorilor argumentului nu este specificat, atunci graficul este construit în mod implicit în intervalul [-10,10].

° Dacă este necesar să plasați mai multe grafice într-un șablon, atunci numele funcțiilor sunt indicate separate prin virgule.

° Dacă două funcții au argumente diferite, de exemplu f1(x) și f2(y), atunci numele funcțiilor sunt indicate pe axa ordonatelor (Y), separate prin virgule, iar pe axa absciselor (X), numele ambelor variabile sunt de asemenea separate prin virgule.

° Etichetele de capăt ale datelor de pe șablonul de diagramă sunt utilizate pentru a indica valorile limită ale abscisei și ordonatei, adică ele stabilesc scara graficului. Dacă lăsați aceste etichete goale, scala va fi setată automat. Scara automată nu reflectă întotdeauna graficul în forma dorită, astfel încât valorile limită ale absciselor și ordonatelor trebuie editate prin schimbarea manuală a acestora.

Notă. Dacă după trasarea graficului nu ia forma dorită, puteți:

Reduceți pasul.

· modificați intervalul de reprezentare.

Reduceți valorile limită ale absciselor și ordonatelor pe diagramă.

Exemplu. Construcția unui cerc cu un centru într-un punct (2,3) și o rază R = 6.

Ecuația unui cerc centrat într-un punct cu coordonatele ( X 0 ,y 0) și raza R se scrie ca:

Exprimați din această ecuație y:

Astfel, pentru a construi un cerc, este necesar să setați două funcții: semicercurile superioare și inferioare. Intervalul argumentelor se calculează după cum urmează:

Valoarea de pornire a intervalului = X 0 - R;

Valoarea finală a intervalului = X 0 + R;

Este mai bine să faceți pasul egal cu 0,1 (Fig. 2.3.).

Orez. 2.3. Construcția unui cerc

Graficul parametric al unei funcții

Uneori, este mai convenabil în locul unei ecuații de linie care relaționează coordonatele dreptunghiulare Xși y, luați în considerare așa-numitele ecuații ale liniilor parametrice, care dau expresii pentru coordonatele x și y curente ca funcții ale unei variabile t(parametru): X(t) și y(t). La construirea unui grafic parametric, numele funcțiilor unui argument sunt indicate pe axele ordonatelor și absciselor.

Exemplu. Construcția unui cerc centrat într-un punct cu coordonatele (2,3) și rază R= 6. Pentru construcție se folosește ecuația parametrică a cercului

X = X 0 + R cos( t) y = y 0 + R păcat( t) (Fig. 2.4.).

Fig.2.4. Construcția unui cerc

Formatarea diagramei

Pentru a formata un grafic, faceți dublu clic pe zona graficului. Se va deschide caseta de dialog Formatare grafic. Filele din fereastra de formatare a diagramei sunt enumerate mai jos:

§ X- Ytopoare--formatarea axelor de coordonate. Bifând casetele corespunzătoare, puteți:

· ButurugaScară--reprezintă valori numerice pe axe pe o scară logaritmică (în mod implicit, valorile numerice sunt reprezentate pe o scară liniară)

· Grilălinii--aplicați o grilă de linii;

· numerotate--aranjați numerele de-a lungul axelor de coordonate;

· AutoScară--selectarea automată a valorilor numerice limită pe axe (dacă această casetă este nebifată, valorile maxime calculate vor fi limită);

· spectacolmarker-- marcarea graficului sub formă de linii punctate orizontale sau verticale corespunzătoare valorii specificate pe axă, iar valorile însele sunt afișate la sfârșitul liniilor (pe fiecare axă apar 2 locuri de introducere, în care puteți introduceți valori numerice, nu introduceți nimic, introduceți un număr sau o literă desemnări ale constantelor);

· AutoGscăpa-- selectarea automată a numărului de linii de grilă (dacă această casetă este debifată, trebuie să specificați numărul de linii în câmpul Număr de grile);

· traversat- axa absciselor trece prin zero al ordonatei;

· În cutie-- axa x trece de-a lungul marginii inferioare a graficului.

§ Urmă-- formatarea liniilor grafice de funcții. Pentru fiecare grafic separat, puteți modifica:

simbol (Simbol) pe diagramă pentru punctele nodale (cerc, cruce, dreptunghi, romb);

tip de linie (Solid - solid, Dot - linie punctată, Dash - linii, Dadot - linie punctată);

culoarea liniei (Culoare);

Tipul (Ture) diagramei (Linii - linie, Puncte - puncte, Var sau Solidbar - bare, Pas - diagramă pas etc.);

grosimea liniei (Greutate).

§ Eticheta -- titlu în zona graficului. În câmp Titlu (Titlu) puteți scrie textul titlului, selectați poziția acestuia - în partea de sus sau de jos a graficului ( De mai sus -- sus, De mai jos -- jos). Puteți introduce, dacă este necesar, numele argumentului și funcției ( Etichete axelor ).

§ Implicite -- folosind această filă, puteți reveni la vizualizarea implicită a diagramei (Modificarea la implicit) sau puteți utiliza modificările pe care le-ați făcut pe diagramă în mod implicit pentru toate diagramele din acest document (Utilizare pentru setări implicite).

5. 2 Construire parcele polare

Pentru a construi un grafic polar al unei funcții, trebuie să:

· setați intervalul de valori ale argumentului;

setați o funcție

· plasați cursorul în locul unde trebuie construit graficul, pe panoul matematic selectați butonul Graph (grafic) iar în panoul care se deschide, butonul Polar Plot (grafic polar);

· În câmpurile de introducere ale șablonului care apare, trebuie să introduceți argumentul unghiular al funcției (mai jos) și numele funcției (stânga).

Exemplu. Construcția lemniscatei lui Bernoulli: (Fig. 2.6.)

Fig.2.6. Un exemplu de construire a unui complot polar

5. 3 Graficarea suprafeței (3D sau 3 D - grafice)

La construirea graficelor tridimensionale se folosește panoul grafic(Graph) panou de matematică. Puteți construi un grafic tridimensional folosind vrăjitorul, apelat din meniul principal; puteți construi un grafic creând o matrice de valori a unei funcții a două variabile; puteți folosi metoda de construcție accelerată; puteți apela funcțiile speciale CreateMech și CreateSpase, concepute pentru a crea o serie de valori ale funcției și grafice. Vom lua în considerare o metodă accelerată pentru construirea unui grafic tridimensional.

Grafică rapidă

Pentru a construi rapid un grafic tridimensional al unei funcții, trebuie să:

setați o funcție

plasați cursorul în locul în care ar trebui să fie construit graficul, selectați butonul de pe panoul matematic grafic(Grafic) iar în panoul deschis butonul ( graficul suprafeței);

· în singurul loc al șablonului, introduceți numele funcției (fără a specifica variabile);

· faceți clic în afara șablonului de diagramă - va fi construit graficul funcției.

Exemplu. Trasarea unei funcții z(X,y) = X 2 + y 2 - 30 (Fig. 2.7).

Orez. 2.7. Un exemplu de diagramă de suprafață rapidă

Diagrama construită poate fi controlată:

° rotirea graficului se realizează după trecerea cursorului mouse-ului peste acesta cu butonul stâng al mouse-ului apăsat;

° scalarea diagramei se realizează după trecerea cursorului mouse-ului peste aceasta prin apăsarea simultană a butonului stâng al mouse-ului și a tastei Ctrl (dacă mișcați mouse-ul, diagrama se mări sau micșorează);

° animația diagramei este realizată în același mod, dar cu tasta Shift apăsată suplimentar. Este necesar doar să începeți rotirea graficului cu mouse-ul, apoi animația va fi realizată automat. Pentru a opri rotația, faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului în interiorul zonei graficului.

Este posibil să construiți mai multe suprafețe simultan într-un singur desen. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați ambele funcții și să specificați numele funcțiilor pe șablonul de diagramă, separate prin virgule.

Când trasați rapid, valorile implicite pentru ambele argumente sunt între -5 și +5, iar numărul de linii de contur este 20. Pentru a modifica aceste valori, trebuie:

· dublu clic pe diagramă;

· selectați fila Quick Plot Data în fereastra deschisă;

· introduceți noi valori în zona ferestrei Range1 -- pentru primul argument și Range2 -- pentru al doilea argument (start -- valoare inițială, final -- valoare finală);

· în câmpul # of Grids, modificați numărul de linii de grilă care acoperă suprafața;

· Faceți clic pe butonul OK.

Exemplu. Trasarea unei funcții z(X,y) = -sin( X 2 + y 2) (Fig. 2.9).

Când construiți acest grafic, este mai bine să alegeți limitele de modificare a valorilor ambelor argumente de la -2 la +2.

Orez. 2.9. Un exemplu de reprezentare grafică a unei funcții z(X,y) = -sin( X 2 + y 2)

înaintematting grafice 3D

Pentru a formata graficul, faceți dublu clic pe zona de grafică - va apărea o fereastră de formatare cu mai multe file: Aspect,General,topoare,iluminat,Titlu,Backplane,Special, Avansat, RapidComplotDate.

Scopul filei RapidComplotDate a fost discutat mai sus.

fila Aspect vă permite să schimbați aspectul graficului. Camp Completati Opțiuni vă permite să modificați parametrii de umplere, câmp linia Opțiune-- parametri de linie, punct Opțiuni-- parametri de punct.

În fila General ( general) în grup vedere puteți alege unghiurile de rotație ale suprafeței reprezentate în jurul tuturor celor trei axe; într-un grup afişala fel de Puteți schimba tipul diagramei.

În fila iluminat(iluminare) puteți controla iluminarea bifând caseta permiteiluminat(aprinde luminile) și comută Pe(aprinde). Una dintre cele 6 scheme de iluminare posibile este selectată din listă iluminatsistem(schema de iluminare).

6. Modalități de rezolvare a ecuațiilor în MathCAD

În această secțiune, vom afla cum cele mai simple ecuații de forma F( X) = 0. A rezolva o ecuație în mod analitic înseamnă a găsi toate rădăcinile ei, adică. astfel de numere, când le înlocuim în ecuația originală, obținem egalitatea corectă. A rezolva grafic ecuația înseamnă a găsi punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa x.

6. 1 Rezolvarea ecuațiilor folosind f funcții și rădăcină ( f ( X ), X )

Pentru soluțiile unei ecuații cu o necunoscută de forma F( X) = 0 există o funcție specială

rădăcină(f(X), X) ,

Unde f(X) este o expresie egală cu zero;

X-- argument.

Această funcție returnează, cu o precizie dată, valoarea unei variabile pentru care expresia f(X) este egal cu 0.

Atenţiee. Dacă partea dreaptă a ecuației este 0, atunci este necesar să o aduceți la forma normală (transferați totul în partea stângă).

Înainte de a utiliza funcția rădăcină trebuie dat argumentului X aproximare initiala. Dacă există mai multe rădăcini, atunci pentru a găsi fiecare rădăcină, trebuie să specificați aproximarea inițială.

Atenţie. Înainte de a rezolva, este de dorit să trasați un grafic al funcției pentru a verifica dacă există rădăcini (graficul intersectează axa Ox) și, dacă da, câte. Aproximația inițială poate fi aleasă în funcție de graficul mai aproape de punctul de intersecție.

Exemplu. Rezolvarea unei ecuații folosind o funcție rădăcină prezentat în Figura 3.1. Înainte de a trece la soluția în sistemul MathCAD, în ecuație vom transfera totul în partea stângă. Ecuația va lua forma: .

Orez. 3.1. Rezolvarea unei ecuații folosind funcția rădăcină

6. 2 Rezolvarea ecuațiilor folosind f funcții și polyroots ( v )

Pentru a găsi simultan toate rădăcinile unui polinom, utilizați funcția polyroots(v), unde v este vectorul de coeficienți ai polinomului, pornind de la termenul liber . Coeficienții zero nu pot fi omisi, spre deosebire de funcție rădăcină funcţie Polyroots nu necesită o aproximare inițială.

Exemplu. Rezolvarea unei ecuații folosind o funcție polyroots prezentat în figura 3.2.

Orez. 3.2. Rezolvarea unei ecuații utilizând funcția Polyroots

6. 3 Rezolvarea ecuațiilor folosind ffuncțiișigăsi(X)

Funcția Find funcționează împreună cu cuvântul cheie dat. Proiecta Dat-găsi

Dacă este dată ecuația f(X) = 0, atunci se poate rezolva după cum urmează folosind blocul Dat - găsi:

Setați aproximarea inițială

Introduceți un cuvânt de serviciu

Scrieți ecuația folosind semnul îndrăznețe egale

Scrieți o funcție de căutare cu o variabilă necunoscută ca parametru

Ca urmare, după semnul egal, va fi afișată rădăcina găsită.

Dacă există mai multe rădăcini, atunci acestea pot fi găsite prin schimbarea aproximării inițiale x0 la una apropiată de rădăcina dorită.

Exemplu. Rezolvarea ecuației folosind funcția găsi este prezentată în Figura 3.3.

Orez. 3.3. Rezolvarea unei ecuații cu funcția găsi

Uneori devine necesar să se marcheze unele puncte pe grafic (de exemplu, punctele de intersecție ale unei funcții cu axa Ox). Pentru asta ai nevoie de:

Specificați valoarea x a unui punct dat (de-a lungul axei Ox) și valoarea funcției în acest punct (de-a lungul axei Oy);

faceți dublu clic pe grafic și în fereastra de formatare din filă urme pentru linia corespunzătoare, selectați tipul graficului - puncte, grosimea liniei - 2 sau 3.

Exemplu. Graficul arată punctul de intersecție al funcției cu axa x. Coordona X acest punct a fost găsit în exemplul anterior: X= 2,742 (rădăcina ecuației ) (Fig. 3.4).

Orez. 3.4. Graficul unei funcții cu un punct de intersecție marcat

În fereastra de formatare a diagramei, în filă urme pentru urmă2 modificat: tip diagramă - puncte, grosimea liniei - 3, culoare - negru.

7. Rezolvarea sistemelor de ecuații

7. 1 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Sistemul de ecuații liniare poate fi rezolvat m metoda matricei (fie prin matricea inversă, fie folosind funcția rezolv(A,B)) și folosind două funcții găsiși caracteristici Minerr.

Metoda matricei

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Rezolvarea acestui sistem de ecuații prin metoda matricei este prezentată în Figura 4.1.

Orez. 4.1. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare printr-o metodă matriceală

Utilizarea funcțieirezolv(A, B)

Lrezolva(A,B) este o funcție încorporată care returnează un vector X pentru un sistem de ecuații liniare având în vedere o matrice de coeficienți A și un vector de termeni liberi B .

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Modul de rezolvare a acestui sistem folosind funcția lsolve(A,B) este prezentat în Figura 4.2.

Orez. 4.2. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind funcția lsolve

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniareprin intermediulfuncțiișigăsi

Cu această metodă, ecuațiile sunt introduse fără utilizarea de matrici, adică. în „forma naturală”. În primul rând, este necesar să se indice aproximările inițiale ale variabilelor necunoscute. Poate fi orice număr din domeniul de aplicare al definiției. Adesea sunt confundați cu o coloană de membri liberi.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare folosind o unitate de calcul Dat - găsi, necesar:

2) introduceți un cuvânt de serviciu Dat;

îndrăznețe egale();

4) scrieți o funcție găsi,

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Rezolvarea acestui sistem folosind o unitate de calcul Dat - găsi prezentat în Figura 4.3.

Orez. 4.3. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind funcția Găsește

Aproximativ prezolvarea unui sistem de ecuații liniare

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o funcție Minerr similar cu soluția folosind funcția găsi(folosind același algoritm), numai funcție găsi dă soluția exactă și Minerr-- aproximativ. Dacă, ca rezultat al căutării, nu se poate obține o rafinare suplimentară a aproximării curente a soluției, Minerr returnează această aproximare. Funcţie găsiîn acest caz returnează un mesaj de eroare.

Puteți alege o altă aproximare inițială.

· Puteți crește sau micșora precizia calculului. Pentru a face acest lucru, selectați din meniu Matematică > Opțiuni(Matematică - Opțiuni), fila construit- ÎnVariabile(Variabile încorporate). În fila care se deschide, trebuie să reduceți eroarea de calcul permisă (Toleranța de convergență (TOL)). TOL implicit = 0,001.

LAAtenţie. Cu metoda soluției matriceale este necesară rearanjarea coeficienților în funcție de creșterea necunoscutelor X 1, X 2, X 3, X 4.

7. 2 Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Sistemele de ecuații neliniare din MathCAD sunt rezolvate folosind o unitate de calcul Dat - găsi.

Proiecta Dat - găsi folosește o tehnică de calcul bazată pe găsirea unei rădăcini în apropierea unui punct de aproximare inițial specificat de utilizator.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații folosind blocul Dat - găsi necesar:

1) stabiliți aproximări inițiale pentru toate variabilele;

2) introduceți un cuvânt de serviciu Dat;

3) notează sistemul de ecuații folosind semnul îndrăznețe egale();

4) scrieți o funcție găsi, prin enumerarea variabilelor necunoscute ca parametri ai funcției.

Ca rezultat al calculelor, va fi afișat vectorul soluție al sistemului.

Dacă sistemul are mai multe soluții, algoritmul ar trebui repetat cu alte presupuneri inițiale.

Notă. Dacă se rezolvă un sistem de două ecuații cu două necunoscute, înainte de a-l rezolva, este de dorit să se traseze grafice de funcții pentru a verifica dacă sistemul are rădăcini (dacă graficele funcțiilor date se intersectează) și, dacă da, câte. Aproximația inițială poate fi aleasă în funcție de graficul mai aproape de punctul de intersecție.

Exemplu. Dat un sistem de ecuații

Înainte de a rezolva sistemul, construim grafice de funcții: parabole (prima ecuație) și o dreaptă (a doua ecuație). Construcția unui grafic al unei linii drepte și a unei parabole într-un sistem de coordonate este prezentată în Figura 4.5:

Orez. 4.5. Trasarea a două funcții în același sistem de coordonate

Linia și parabola se intersectează în două puncte, ceea ce înseamnă că sistemul are două soluții. Conform graficului, alegem aproximațiile inițiale ale necunoscutelor Xși y pentru fiecare solutie. Găsirea rădăcinilor sistemului de ecuații este prezentată în Figura 4.6.

Orez. 4.6. Găsirea rădăcinilor unui sistem de ecuații neliniare

Pentru a marca pe grafic punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei, introducem coordonatele punctelor găsite la rezolvarea sistemului de-a lungul axei Ox (valori X ) și de-a lungul axei Oy (valori la ) separate prin virgule. În fereastra de formatare a diagramei, în filă urme pentru urmă3 și urmă4 modificare: tip diagramă - puncte, grosimea liniei - 3, culoare - negru (Fig. 4.7).

Orez. 4.7. Grafice de funcții cu puncte de intersecție marcate

8 . Caracteristici cheie Exemple de utilizare MathCAD pentru a rezolva unele probleme matematice

Această secțiune oferă exemple de rezolvare a problemelor care necesită rezolvarea unei ecuații sau a unui sistem de ecuații.

8. 1 Găsirea extremelor locale ale funcțiilor

Condiția necesară pentru un extremum (maximum și/sau minim) al unei funcții continue este formulată astfel: extrema poate avea loc numai în acele puncte în care derivata fie este egală cu zero, fie nu există (în special, devine infinită) . Pentru a găsi extremele unei funcții continue, găsiți mai întâi punctele care îndeplinesc condiția necesară, adică găsiți toate rădăcinile reale ale ecuației.

Dacă este construit un grafic al funcției, atunci puteți vedea imediat - maximul sau minimul este atins într-un punct dat X. Dacă nu există un grafic, atunci fiecare dintre rădăcinile găsite este examinată într-unul dintre moduri.

1 cu indemnizatie . Cu egaliza e semnele derivatului . Se determină semnul derivatei vecinătății punctului (în punctele care sunt separate de extremul funcției pe diferite laturi la distanțe mici). Dacă semnul derivatei se schimbă de la „+” la „-”, atunci în acest moment funcția are un maxim. Dacă semnul se schimbă de la „-” la „+”, atunci în acest moment funcția are un minim. Dacă semnul derivatului nu se schimbă, atunci nu există extreme.

al 2-lea s indemnizatie . LA calcule e al doilea derivat . În acest caz, derivata a doua este calculată la punctul extrem. Dacă este mai mică decât zero, atunci în acest moment funcția are un maxim, dacă este mai mare decât zero, atunci un minim.

Exemplu. Găsirea extremelor (minime/maxime) ale unei funcții.

Mai întâi, să construim un grafic al funcției (Fig. 6.1).

Orez. 6.1. Trasarea unei funcții

Să determinăm din grafic aproximările inițiale ale valorilor X corespunzătoare extremelor locale ale funcției f(X). Să găsim aceste extreme rezolvând ecuația. Pentru a rezolva, folosim blocul Given - Find (Fig. 6.2.).

Orez. 6.2. Găsirea extremelor locale

Să definim tipul de extreme pervcale, examinând modificarea semnului derivatei în vecinătatea valorilor găsite (Fig. 6.3).

Orez. 6.3. Determinarea tipului de extremum

Se poate observa din tabelul de valori ale derivatei și din grafic că semnul derivatei în vecinătatea punctului X 1 se schimbă de la plus la minus, astfel încât funcția atinge maximul în acest moment. Și în vecinătatea punctului X 2, semnul derivatei s-a schimbat de la minus la plus, deci în acest moment funcția atinge un minim.

Să definim tipul de extreme al doileacale, calculând semnul derivatei a doua (Fig. 6.4).

Orez. 6.4. Determinarea tipului de extremum folosind derivata a doua

Se vede că la punct X 1 derivata a doua este mai mică decât zero, deci punctul X 1 corespunde maximului funcției. Și la punctul X 2 derivata a doua este mai mare decât zero, deci punctul X 2 corespunde minimului funcției.

8.2 Determinarea ariilor figurilor delimitate prin linii continue

Aria unui trapez curbiliniu delimitată de graficul unei funcții f(X) , un segment pe axa Ox și două verticale X = Ași X = b, A < b, este determinată de formula: .

Exemplu. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii f(X) = 1 - X 2 și y = 0.

Orez. 6.5. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii f(X) = 1 - X 2 și y = 0

Aria figurii cuprinsă între graficele funcțiilor f1(X) și f2(X) si direct X = Ași X = b, se calculează prin formula:

Atenţie. Pentru a evita erorile la calcularea ariei, diferența de funcții trebuie luată modulo. Astfel, zona va fi întotdeauna pozitivă.

Exemplu. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii și. Soluția este prezentată în figura 6.6.

1. Construim un grafic de funcții.

2. Găsim punctele de intersecție ale funcțiilor folosind funcția rădăcină. Vom determina aproximațiile inițiale din grafic.

3. Valori găsite X sunt substituite în formula ca limite de integrare.

8. 3 Construirea curbelor după puncte date

Construirea unei drepte care trece prin două puncte date

Pentru a scrie ecuația unei drepte care trece prin două puncte A( X 0,y 0) și B( X 1,y 1), se propune următorul algoritm:

1. Linia dreaptă este dată de ecuație y = topor + b,

Unde Ași b sunt coeficienții dreptei pe care trebuie să-i găsim.

2. Acest sistem este liniar. Are două variabile necunoscute: Ași b

Exemplu. Construcția unei drepte care trece prin punctele A(-2,-4) și B(5,7).

Inlocuim coordonatele directe ale acestor puncte in ecuatie si obtinem sistemul:

Soluția acestui sistem în MathCAD este prezentată în Figura 6.7.

Orez. 6.7 Soluție de sistem

Ca urmare a rezolvării sistemului, obținem: A = 1.57, b= -0,857. Deci ecuația unei linii drepte va arăta astfel: y = 1.57X- 0,857. Să construim această linie dreaptă (Fig. 6.8).

Orez. 6.8. Construirea unei linii drepte

Construcția unei parabole, trecând prin trei puncte date

Pentru a construi o parabolă care trece prin trei puncte A( X 0,y 0), B( X 1,y 1) și C( X 2,y 2), algoritmul este următorul:

1. Parabola este dată de ecuație

y = topor 2 + bX + cu, Unde

A, bși cu sunt coeficienții parabolei pe care trebuie să-i găsim.

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in aceasta ecuatie si obtinem sistemul:

.

2. Acest sistem este liniar. Are trei variabile necunoscute: A, bși cu. Sistemul poate fi rezolvat într-un mod matricial.

3. Înlocuim coeficienții obținuți în ecuație și construim o parabolă.

Exemplu. Construcția unei parabole care trece prin punctele A(-1,-4), B(1,-2) și C(3,16).

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in ecuatia parabolei si obtinem sistemul:

Soluția acestui sistem de ecuații în MathCAD este prezentată în Figura 6.9.

Orez. 6.9. Rezolvarea unui sistem de ecuații

Ca urmare, se obțin coeficienții: A = 2, b = 1, c= -5. Obținem ecuația parabolei: 2 X 2 +X -5 = y. Să construim această parabolă (Fig. 6.10).

Orez. 6.10. Construcția unei parabole

Construcția unui cerc care trece prin trei puncte date

Pentru a construi un cerc care trece prin trei puncte A( X 1,y 1), B( X 2,y 2) și C( X 3,y 3), puteți utiliza următorul algoritm:

1. Cercul este dat de ecuație

,

unde x0,y0 sunt coordonatele centrului cercului;

R este raza cercului.

2. Înlocuiți coordonatele date ale punctelor în ecuația cercului și obțineți sistemul:

.

Acest sistem este neliniar. Are trei variabile necunoscute: X 0, y 0 și R. Sistemul se rezolvă folosind unitatea de calcul Dat - găsi.

Exemplu. Construcția unui cerc care trece prin trei puncte A(-2.0), B(6.0) și C(2.4).

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in ecuatia cercului si obtinem sistemul:

Soluția sistemului din MathCAD este prezentată în Figura 6.11.

Orez. 6.11. Soluție de sistem

În urma rezolvării sistemului s-au obținut următoarele: X 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Înlocuiți coordonatele obținute ale centrului cercului și ale razei în ecuația cercului. Primim: . Express de aici y și construiți un cerc (Fig. 6.12).

Orez. 6.12. Construcția unui cerc

Documente similare

Utilizarea variabilelor clasificate în pachetul software Mathcad. Crearea de matrice fără a folosi șabloane de matrice, descrierea operatorilor pentru lucrul cu vectori și matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și neliniare folosind funcții Mathcad.

lucrare de control, adaugat 03.06.2011


Vedere generală a ferestrei MathCad, meniul barei de instrumente a programului studiat. Documentul MathCad, caracteristicile sale generale și metodele de editare. Separarea zonelor și meniul contextual, expresii. Definirea argumentului discret, variabilelor și constantelor.

prezentare, adaugat 29.09.2013


Conceptul de model matematic și modelare. Informații generale despre sistemul MathCad. Analiza structurală a problemei în MathCAD. Mod de transformări simbolice continue. Optimizarea filelor numerice prin conversii simbolice. Calculul reacției suport.

lucrare de termen, adăugată 03.06.2014


Scopul și compoziția sistemului MathCAD. Obiectele principale ale limbajului de intrare și limbajul de implementare. Caracteristicile elementelor interfeței cu utilizatorul, stabilirea compoziției barelor de instrumente. Probleme de algebră liniară și rezolvarea ecuațiilor diferențiale în MathCAD.

curs de prelegeri, adăugat 13.11.2010


Informații generale despre sistemul Mathcad. Fereastra programului Mathcad și barele de instrumente. Calculul funcţiilor algebrice. Interpolarea funcțiilor prin spline cubice. Calculul rădăcinii pătrate. Analiza diferențierii și integrării numerice.

lucrare de termen, adăugată 25.12.2014


Studierea structurii documentului de lucru MathCad - un program conceput pentru automatizarea calculelor matematice. Lucrul cu variabile, funcții și matrice. Aplicarea MathCad pentru trasarea, rezolvarea ecuațiilor și calcule simbolice.

prezentare, adaugat 03.07.2013


Conceptul de model matematic, proprietăți și clasificare. Caracteristicile elementelor sistemului Mathcad. Analiza algoritmică a problemei: descrierea modelului matematic, schema grafică a algoritmului. Implementarea modelului de bază și descrierea studiilor MathCAD.

rezumat, adăugat 20.03.2014


Mathcad și conceptele sale de bază. Capabilitățile și funcțiile sistemului în calculul matriceal. Cele mai simple operații cu matrici. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. Vectori proprii. Descompunerea Cholesky. Teoria elementară a operatorilor liniari.

lucrare de termen, adăugată 25.11.2014


Elementele principale ale sistemului MathCAD, o privire de ansamblu asupra capabilităților acestuia. Interfață de sistem, concept de construcție a documentului. Tipuri de date, limba de introducere a sistemului. Clasificarea funcțiilor standard. Capacitățile grafice ale sistemului MathCAD. Rezolvarea ecuațiilor sistemului.

curs de prelegeri, adăugat 03.01.2015


Introducere în editorii de text Windows. Configurarea editorului Microsoft Word. Dezvoltarea documentului MS Excel. Crearea de pagini Web în mediul MS Word. Rame de constructii. Gestionarea opțiunilor de font. Trasarea în pachetul matematic MathCad.

Mathcad este un instrument software, un mediu de realizare a diferitelor calcule matematice și tehnice pe un computer, echipat cu o interfață grafică ușor de învățat și ușor de utilizat, care oferă utilizatorului instrumente pentru lucrul cu formule, numere, grafice și textele. Mai mult de o sută de operatori și funcții logice sunt disponibili în mediul Mathcad, concepute pentru rezolvarea numerică și simbolică a problemelor matematice de complexitate variabilă.

Pentru a automatiza calculele matematice, de inginerie și științifice, sunt utilizate o varietate de instrumente de calcul - de la microcalculatoare programabile la supercalculatoare. Și, cu toate acestea, astfel de calcule pentru mulți rămân o chestiune dificilă. Mai mult, utilizarea calculatoarelor pentru calcule a introdus noi dificultăți: înainte de a începe calculele, utilizatorul trebuie să stăpânească elementele de bază ale algoritmizării, să învețe unul sau mai multe limbaje de programare, precum și metode numerice de calcul. Situația s-a schimbat semnificativ după lansarea unor sisteme software specializate pentru automatizarea calculelor matematice și inginerești.

Astfel de complexe includ pachetele software Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive etc. Mathcad ocupă o poziție specială în această serie.

Mathcad este un sistem integrat pentru rezolvarea problemelor matematice, de inginerie și științifice. Conține un editor de text și formule, un calculator, instrumente științifice și de grafică de afaceri, precum și o bază de date uriașă de informații de referință, atât matematice, cât și inginerești, concepute ca o carte de referință încorporată în Mathcad, un set de cărți electronice și „hârtie” obișnuită. " cărți, inclusiv și în limba rusă

Editorul de text este folosit pentru a introduce și edita texte. Textele sunt comentarii, iar expresiile matematice incluse în ele nu sunt executate. Textul poate consta din cuvinte, simboluri matematice, expresii și formule.

Procesorul de formule oferă un set natural de formule „cu mai multe etaje” în notație matematică familiară (diviziune, înmulțire, rădăcină pătrată, integrală, sumă etc.). Cea mai recentă versiune de Mathcad acceptă pe deplin literele chirilice în comentarii, formule și grafice.

Calculatorul oferă calcule folosind formule matematice complexe, are un set mare de funcții matematice încorporate, vă permite să calculați serii, sume, produse, integrale, derivate, să lucrați cu numere complexe, să rezolvați ecuații liniare și neliniare, precum și ecuații diferențiale și sisteme, minimizează și maximizează funcții, efectuează operații vectoriale și matrice, analize statistice etc. Puteți modifica cu ușurință adâncimea de biți și baza numerelor (binare, octale, zecimale și hexazecimale), precum și eroarea metodelor iterative. Controlul automat al dimensiunilor și recalcularea în diferite sisteme de măsurare (SI, GHS, anglo-american, precum și personalizat).

Mathcad are încorporate instrumente de matematică simbolică care vă permit să rezolvați probleme prin transformări analitice computerizate.

GPU-ul este folosit pentru a crea grafice și diagrame. Combină ușurința comunicării cu utilizatorul cu puterea graficii de afaceri și științifice. Grafica se concentrează pe rezolvarea problemelor matematice tipice. Este posibil să schimbați rapid tipul și dimensiunea graficelor, să suprapuneți etichete de text pe ele și să le mutați în orice loc din document.

Mathcad este un sistem universal, adică poate fi folosit în orice domeniu al științei și tehnologiei – oriunde sunt aplicate metode matematice. Scrierea comenzilor în sistemul Mathcad într-un limbaj foarte apropiat de limbajul standard al calculelor matematice simplifică formularea și rezolvarea problemelor.

Mathcad este integrat cu toate celelalte sisteme de notare computerizate.

Mathcad facilitează rezolvarea unor probleme precum:

introducerea diferitelor expresii matematice pe calculator (pentru calcule ulterioare sau crearea de documente, prezentări, pagini Web sau cărți „de hârtie” electronice și obișnuite);

efectuarea de calcule matematice (atât metode analitice, cât și numerice);

pregătirea graficelor (atât bidimensionale, cât și tridimensionale) cu rezultatele calculelor;

introducerea datelor inițiale și ieșirea rezultatelor în fișiere text sau fișiere cu baze de date în alte formate;

întocmirea rapoartelor de lucru sub formă de documente tipărite;

Pregătire de pagini Web și publicarea rezultatelor pe Internet;

obţinerea diverselor informaţii de referinţă

și multe alte sarcini.

Din versiunea 14, Mathcad a fost integrat cu Pro/ENGINEER (precum și cu SolidWorks). Integrarea Mathcad și Pro/ENGINEER se bazează pe comunicarea bidirecțională între aceste aplicații. Utilizatorii lor pot lega cu ușurință orice fișier Mathcad la o piesă și un ansamblu Pro/ENGINEER utilizând caracteristica de analiză a caracteristicilor Pro/ENGINEER.

Mathcad creează un mediu de calcul convenabil pentru o mare varietate de calcule matematice și documentare a rezultatelor muncii în conformitate cu standardele aprobate. Mathcad vă permite să creați instrumente de calcul certificate corporative și industriale în diverse domenii ale științei și tehnologiei, oferind o singură metodologie pentru toate organizațiile care fac parte dintr-o corporație sau industrie.

Cea mai recentă versiune de Mathcad acceptă 9 limbi, permite calcule mai puternice și mai clare.

NEEDHAM (Massachusetts). Pe 12 februarie 2007, PTC (Nasdaq listat: PMTC), o companie de dezvoltare de sisteme CAD/CAM/CAE/PLM, a anunțat lansarea Mathcad 14.0, cea mai recentă versiune a popularului sistem de automatizare a calculelor inginerești. De la achiziționarea Mathsoft în aprilie 2006, PTC și-a concentrat eforturile pentru a extinde în continuare raza geografică a tehnologiei Mathcad și pentru a-și crește semnificativ baza de utilizatori. Mathcad 14.0 extinde semnificativ capacitățile utilizatorului în rezolvarea problemelor de calcul din ce în ce mai mari, îmbunătățește coerența documentelor de calcul pe parcursul întregului proces de dezvoltare a produsului.

În divizia globală de astăzi a procesului de dezvoltare a produsului, calculele științifice și tehnice devin extrem de importante. Odată cu lansarea Mathcad 14.0, PTC oferă suport complet Unicode și va oferi în curând produsul în nouă limbi. Noi printre ele vor fi limbi precum italiană, spaniolă, coreeană și ambele chineze - tradiționale și simplificate. Suportul lingvistic extins în Mathcad 14.0 va permite echipelor dispersate din punct de vedere geografic să efectueze și să documenteze calcule în limba lor locală și, ca urmare, să crească productivitatea prin creșterea vitezei și acurateței acesteia, precum și prin reducerea erorilor care apar la traducerea dintr-o limbă în alta.

Mathcad 14.0 vă permite, de asemenea, să efectuați calcule mai complexe, păstrându-le în același timp claritatea cu noile caracteristici ale WorkSheet (un document deschis în mediul Mathcad), instrumente suplimentare de evaluare numerică online și un set de caractere extins. Acest lucru va ajuta utilizatorii să obțină formule, să afișeze procesul de calcul și să documenteze calculele. În cele din urmă, suplimentele dedicate vor permite utilizatorilor să lucreze la o gamă mai largă de sarcini de inginerie.

Integrarea Mathcad și Pro/ENGINEER se bazează pe comunicarea bidirecțională între aceste aplicații. Utilizatorii lor pot lega cu ușurință orice fișier Mathcad la o piesă și un ansamblu Pro/ENGINEER utilizând caracteristica de analiză a caracteristicilor Pro/ENGINEER. Valorile de bază calculate în sistemul Mathcad pot fi traduse în parametri și dimensiuni ale unui model CAD pentru a controla un obiect geometric. Parametrii din modelul Pro/ENGINEER pot fi, de asemenea, introduși în Mathcad pentru calculele inginerești ulterioare. La modificarea parametrilor, integrarea reciprocă a celor două sisteme vă permite să actualizați dinamic calculele și desenul obiectului. Mai mult, modelele Pro/ENGINEER conduse de Mathcad pot fi acum validate folosind module de simulare Pro/ENGINEER, cum ar fi Pro/ENGINEER Mechanica®, Simulare structurală și termică, Opțiunea Fatique Advisor și Opțiunea pentru dinamica mecanismului.

Ce este nou în Mathcad 14.0?

Noul tandem de operatori de interfață („Doi într-unul”)

Formatul numerelor pe diagrame

Găsiți/Înlocuiți modificările comenzii

Comanda de comparare

Nou în rezolvarea ODE

Noi mijloace de matematică simbolică

Suport pentru tabelul de coduri Unicode

Interfața cu utilizatorul

Interfața cu utilizatorul înseamnă un set de instrumente shell grafice Math CAD care oferă un control ușor al sistemului, atât de la tastatură, cât și cu mouse-ul. Controlul este înțeles doar ca un set de simboluri necesare, formule, comentarii de text etc., precum și posibilitatea pregătirii complete a documentelor (Foaie de lucru) și cărților electronice în mediul MathCAD cu lansarea ulterioară a acestora în timp real. Interfața cu utilizatorul a sistemului este concepută astfel încât un utilizator cu abilități de bază în lucrul cu aplicațiile Windows să poată începe imediat să lucreze cu MathCAD.

Fereastra de editare.

Meniul principal al sistemului.

A doua linie a ferestrei de sistem este meniul principal. Scopul comenzilor sale este prezentat mai jos:

Fișier (Fișier) - lucrați cu fișiere, internet și e-mail;

PAGE_BREAK--

Meniul derulant conține comenzi care sunt standard pentru aplicațiile Windows.

Editare (Editing) - editarea documentelor;

Meniul derulant contine si comenzi standard pentru aplicatiile Windows Cele mai multe dintre ele sunt disponibile doar daca in document sunt selectate una sau mai multe zone (text, formula, grafic etc.).

View (Overview) - modificați mijloacele de revizuire;

Bare de instrumente (Panouri) - vă permite să afișați sau să ascundeți barele de instrumente Standard (Standard), Formatare (Formatare), Matematică (Matematică).

Bara de stare - Activați sau dezactivați afișarea barei de stare a sistemului.

Ruler(ruler) - activează/dezactivează rigla.

Regions (Borders) - Face vizibile marginile regiunilor (text, grafice, formule).

Mărire (mărire).

Actualizează - Actualizează conținutul ecranului.

Animați (animație) - Comanda vă permite să creați o animație.

Redare (Player) - Redați animația stocată într-un fișier cu extensia AVI.

Preferințe (Setări) - Una dintre filele ferestrei pop-up (General) vă permite să setați niște parametri ai programului care nu afectează calculele, cealaltă filă (Internet) este folosită pentru a introduce informații atunci când lucrați împreună cu MathCAD -documente prin internet.

Inserare (Inserare) - Comenzile din acest meniu vă permit să plasați grafice, funcții, hyperlinkuri, componente și să încorporați obiecte în documentul MathCAD.

Format - modificați formatul obiectelor

Ecuație - Formatarea formulelor și crearea propriilor stiluri pentru reprezentarea datelor

Rezultat (Rezultat) - Vă permite să setați formatul pentru prezentarea rezultatelor calculelor (vezi secțiunea 1.4 a acestei prelegeri)

Text(Text) - Formatarea fragmentului de text (font, dimensiune, stil)

Paragraf (Paragraf) - Schimbați formatul paragrafului curent (indentări, aliniere).

Tabs (Tabulation) - Setarea pozițiilor marcatorilor de tabulare.

Stil (Stil) - Formatarea paragrafelor de text.

Proprietăți (Proprietăți) - Afișare filă (Afișare) vă permite să setați culoarea de fundal pentru cele mai importante zone de text și grafice; poza introdusă în document (Insert -> Picture) vă permite să o închideți într-un cadru, să o readuceți la dimensiunea inițială. Vkvadka Calculation (Calcul) vă permite să activați și să dezactivați calculul pentru formula selectată; în acest din urmă caz, un mic dreptunghi negru apare în colțul din dreapta sus al zonei formulei și formula devine un comentariu.

Graf (Graph) - Vă permite să modificați parametrii pentru afișarea graficelor

Regiuni separate - Vă permite să extindeți regiunile care se suprapun.

Aliniere regiuni - Aliniază regiunile selectate orizontal sau vertical.

Headers/Footers (Heaters și subsoluri) - crearea și editarea antetelor și subsolurilor.

Repaganite Now (Renumerotarea paginilor) - Produce o defalcare a documentului curent în pagini.

Matematică (Matematică) - managementul procesului de calcul; Există două moduri de calcul în MathCAD: automat și manual. În modul automat, rezultatele calculelor sunt complet actualizate atunci când există vreo modificare a formulei.

Calcul automat - Vă permite să schimbați modurile de calcul.

Calculare - În modul de calcul manual, vă permite să recalculați partea vizibilă a ecranului.

Optimizare (Optimizare) - Folosind această comandă, puteți forța MathCAD să efectueze calcule simbolice înainte de evaluarea numerică a expresiei și, atunci când găsiți o formă mai compactă a expresiei, să o utilizați. Dacă expresia a fost optimizată, în dreapta acesteia apare un mic asterisc roșu. Făcând dublu clic pe el, se deschide o fereastră care conține rezultatul optimizat.

Opțiuni - vă permite să setați opțiuni de calcul

Symbolik (Simboluri) - selectarea operațiilor de procesor simbolic;

Pozițiile acestui meniu sunt discutate în detaliu în Lectura 6, dedicată calculelor simbolice în sistemul MathCAD.

Window (Window) - gestionarea ferestrelor sistemului;

Ajutor (?) – lucrul cu baza de date de referință despre sistem;

Mathcad Help (Ajutor pentru MathCAD) - conține trei file: Cuprins - Ajutorul este organizat pe subiecte; Index - index de subiect; Căutare - găsește conceptul dorit atunci când îl introduceți în formular.

Centru de resurse - Centru de informare care conține o prezentare generală a capabilităților de calcul MathCAD (Prezentare generală și Tutoriale), ajutor rapid sub formă de exemple din diverse domenii ale matematicii (Fișe rapide și tabele de referință).

Sfatul zilei - Ferestre pop-up cu sfaturi utile (apar la pornirea sistemului).

Open Book - vă permite să deschideți referința de sistem MathCAD.

Despre Mathcad (Despre programul Mathcad) - informații despre versiunea programului, drepturi de autor și utilizator.

Fiecare element din meniul principal poate fi activat. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să indicați cu cursorul - săgeata mouse-ului și să apăsați butonul din stânga. De asemenea, puteți apăsa tasta F10 și utilizați tastele de navigare dreapta și stânga. Selecția este apoi fixată prin apăsarea tastei Enter. Dacă orice poziție a meniului principal este activată, acesta afișează un submeniu derulant cu o listă de operațiuni disponibile și indisponibile (dar posibile în viitor). Deplasarea prin lista de submeniuri și selectarea operației dorite se face în același mod ca în meniul principal.

Bara de instrumente standard.

A treia linie a ferestrei de sistem este ocupată de Caseta de instrumente. Conține mai multe grupuri de butoane de control cu ​​pictograme, fiecare dintre ele duplică una dintre cele mai importante operațiuni din meniul principal. De îndată ce opriți cursorul mouse-ului pe oricare dintre aceste pictograme, în caseta galbenă va apărea un text care explică funcțiile pictogramelor. Luați în considerare acțiunea butoanelor pentru controlul rapid al sistemului.

Butoane de operare a fișierelor.

Documentele sistemului MathCAD sunt fișiere, adică unități de stocare numite pe discuri magnetice. Fișierele pot fi create, descărcate (deschise), înregistrate și tipărite pe o imprimantă. Operațiunile posibile cu fișiere sunt prezentate în bara de instrumente prin primul grup de trei butoane:

Foaie de lucru nouă (Creare) - crearea unui document nou cu ștergerea ferestrei de editare;

Open Worksheet (Open) - încărcarea unui document creat anterior dintr-o casetă de dialog;

Salvare foaie de lucru - înregistrați documentul curent cu numele său.

Tipărirea și controlul documentelor.

Print Worksheet (Print) - imprimare a documentului pe imprimantă;

Print Preview (View) - o previzualizare a documentului;

Verificați ortografia - verificați ortografia documentului.

Butoane pentru operațiuni de editare.

În timpul pregătirii documentelor, acestea trebuie editate, adică modifica si completa.

Continuare
--PAGE_BREAK--

Cut (Cut) - transferarea părții selectate a documentului în clipboard cu ștergerea acestei părți a documentului;

Copiere (Copiere) - copierea părții selectate a documentului în clipboard în timp ce se salvează partea selectată a documentului;

Paste (Insert) - transferarea conținutului clipboard-ului în fereastra de editare în locația indicată de cursorul mouse-ului;

Undo - anulează operația de editare anterioară;

Ultimele trei operațiuni sunt legate de utilizarea clipboard-ului. Este destinat stocării temporare a datelor și transferului acestora dintr-o parte a documentului în alta sau pentru organizarea schimbului de date între diferite aplicații.

Blocați butoanele de plasare.

Documentele constau din diverse blocuri: textuale, formale, grafice etc. Blocurile sunt vizualizate de sistem, interpretate și executate. Vizualizarea se face de la dreapta la stânga și de jos în sus.

/>- Align Across (Aliniere orizontală) - blocurile sunt aliniate orizontal.

/>- Align Down - blocurile sunt aliniate vertical, de sus în jos.

Pictogramele acestor butoane prezintă blocurile și opțiunile indicate pentru plasarea lor.

Butoane de operare expresie

Blocurile de formule sunt adesea expresii calculate sau expresii care fac parte din noile funcții definite de utilizator. Pictogramele sunt folosite pentru a lucra cu expresii.

Următoarele grupuri de butoane sunt specifice sistemului MathCAD.

/>Insert Function - inserați o funcție din lista care apare în caseta de dialog;

/>Insert Unit (Insert units) - introduceți unități de măsură;

Acces la noi funcții ale MathCAD.

Începând cu versiunea MathCAD 7.0, au apărut noi butoane care dau acces la noi caracteristici ale sistemului:

/>Component Wizard - deschide fereastra Wizard, oferind acces ușor la toate componentele sistemului;

/>Ran Math Connex (Runs the Math Connex system) - rulează sistemul pentru a stimula dispozitivele blocate.

Butoane de control al resurselor.

/>Centrul de resurse - oferă acces la centrul de resurse;

/>Help (Ajutor) - oferă acces la resursele bazei de date de ajutor a sistemului.

Panoul de formatare.

A patra linie din partea de sus a ecranului conține controale tipice pentru font:

Stil - comutator de selectare a stilului;

Font - Comutator pentru alegerea unui set de caractere;

Point Size - Comutator pentru selectarea dimensiunilor caracterelor;

Bold - Setați caractere aldine;

Italik - Setați caractere italice;

Subliniere - Setează caractere subliniate;

Left Align - Setarea alinierii la stânga;

Center Align - Setați alinierea la centru;

Right Align - Setarea alinierii corecte.

Până la pornirea setului de elemente de document, unele dintre butoanele descrise și alte obiecte ale interfeței utilizator sunt într-o stare pasivă. În special, nu există etichete în casetele de comutare din bara de format. Pictogramele și comutatoarele devin active de îndată ce este nevoie să le folosiți.

În partea de jos a ecranului, pe lângă bara de defilare orizontală, există o altă linie - bara de stare. Afișează informații despre service, scurte comentarii, numărul paginii etc. Aceste informații sunt utile pentru a evalua rapid starea sistemului în timpul lucrului cu acesta.

Compunerea barelor de instrumente matematice.

Pentru a introduce simboluri matematice în MathCAD, sunt utilizate panouri de compunere mobile convenabile cu semne. Acestea servesc la scoaterea de spații libere - șabloane de semne matematice (numere, semne ale operațiilor aritmetice, matrici, semne ale integralelor, derivate etc.). Pentru a afișa panoul Math, executați comanda View -> Toolbar -> Math. Panourile de tipărire apar în fereastra de editare a documentului când sunt activate pictogramele corespunzătoare - prima linie a pictogramelor de control al sistemului. Folosind un panou de compunere obișnuit, puteți afișa fie toate panourile simultan, fie numai cele necesare pentru lucru. Pentru a seta șablonul necesar cu ajutorul lor, este suficient să plasați cursorul în locația dorită a ferestrei de editare (crucea roșie pe afișajul color) și apoi să activați pictograma șablonului dorit plasând cursorul mouse-ului pe acesta și apăsând butonul său din stânga.

Multe dintre funcțiile și operațiunile care sunt inserate într-un document cu ajutorul tampoanelor matematice pot fi plasate într-un document folosind comenzile rapide de la tastatură. În același timp, munca în sistemul MathCAD devine mai productivă. Vă recomandăm să memorați comenzile rapide de la tastatură pentru cel puțin unele dintre comenzile cele mai frecvent utilizate.

Mai multe detalii despre lucrul cu panouri suplimentare activate de butoanele panoului Math vor fi descrise în secțiunile relevante.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERATIEI RUSE

Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior

„UNIVERSITATEA DE ENERGIE DE STAT KAZAN”

L.R. BELYAEVA, R.S. ZARIPOVA, R.A. ISHMURATOV

BAZELE DE LUCRU ÎN MATHCAD

Instrucțiuni metodice pentru exerciții practice

Kazan 2012

UDC 621,37 LBC 32.811,3

Recenzători:

Doctor în științe fizice și matematice, profesor la Universitatea de Stat de Inginerie Energetică din Kazan E.A. Popov;

Candidat la științe tehnice, profesor asociat la Universitatea Națională de Cercetare Tehnologică din Kazan M.Yu. Vasiliev

		Belyaeva L.R.
		Fundamentele de lucru în MathCAD. Instrucțiuni metodice pentru exerciții practice
		/ L.R. Belyaeva, R.S. Zaripova, R.A. Ișmuratov - Kazan: Kazan. stat energie un-t, 2012.
		Prima parte a manualului oferă informații de bază despre
		Mathcad 13 și cum să lucrezi cu textul, formula și grafica acestuia
		editori. Introducerea diferitelor tipuri de date, elementele de bază ale numerice și
		calcule simbolice, trasarea funcțiilor matematice, trucuri
		integrare și diferențiere folosind MathCAD.
		A doua parte oferă un exemplu de utilizare practică a software-ului
		Pachetul MathCAD la rezolvarea unei sarcini de proiectare la rata „Transformare
		semnale de măsurare”. Informațiile teoretice necesare pentru
		rezolvarea sarcinii de calcul, un exemplu de calcul și sarcini individuale pt
		elevi.
		Manualul metodologic conține și întrebări de control privind
		materiale studiate și sarcini independente pentru a consolida elementele de bază ale muncii în
		Atelierul este destinat studenților specialității „Informare și
		echipamente si tehnologii de masura" directia 200100 - Instrumentatie, si
		precum și studenții altor specialități și domenii ale KSUE, care studiază
		disciplinele „Informatică” și „Tehnologii informaționale”.

© Universitatea de Stat de Inginerie Energetică din Kazan, 2012

Introducere

MathCAD este un sistem de matematică computerizată care vă permite să efectuați o varietate de calcule științifice și de inginerie, de la aritmetică elementară până la implementări complexe ale metodelor numerice. Utilizatorii MathCAD sunt studenți, oameni de știință, ingineri, tehnicieni.

MathCAD, spre deosebire de majoritatea altor aplicații matematice moderne, este construit conform principiului

WYSIWYG („Ceea ce vezi este ceea ce primești”). Prin urmare, este foarte ușor de utilizat, în special, deoarece nu este nevoie să scrieți mai întâi un program care implementează anumite calcule matematice și apoi să îl rulați pentru execuție. În schimb, introduceți pur și simplu expresii matematice folosind editorul de formule încorporat și obțineți imediat rezultatul.

MathCAD 13 include mai multe componente integrate între ele, a căror combinație creează un mediu de calcul convenabil pentru o varietate de calcule matematice și, în același timp, documentează rezultatele muncii:

− editor de text puternic care vă permite să introduceți, să editați

și formatează atât textul, cât și expresiile matematice;

− un procesor de calcul capabil să efectueze calcule conform formulelor introduse folosind metode numerice încorporate;

− un procesor simbolic, care este un sistem de inteligență artificială;

− un depozit imens de informații de referință, atât matematice, cât și inginerie, concepute ca o bibliotecă de cărți electronice interactive.

Pentru a lucra eficient cu editorul MathCAD, este suficient să aveți abilități de bază de utilizator. Conform problemelor din viața reală, inginerii trebuie să rezolve una sau mai multe dintre următoarele sarcini:

− introducerea diferitelor expresii matematice pe computer (pentru calcule suplimentare sau crearea de documente, prezentări, Pagini web sau cărți electronice);

− efectuarea de calcule matematice;

− pregătirea graficelor cu rezultatele calculelor;

− introducerea datelor inițiale și ieșirea rezultatelor în fișiere text sau fișiere cu baze de date în alte formate;

− întocmirea rapoartelor de lucru sub formă de documente tipărite;

− pregătirea paginilor Web și publicarea rezultatelor pe Internet;

− obţinerea diverselor informaţii de referinţă din domeniul matematicii.

MathCAD 13 face față cu succes tuturor acestor sarcini:

− expresiile matematice și textul sunt introduse folosind editorul de formule MathCAD, care, în ceea ce privește capabilitățile și ușurința de utilizare, nu este inferior, de exemplu, editorului de formule integrat în

− calculele matematice se fac imediat, în conformitate cu formulele introduse;

− grafice de diferite tipuri la alegerea utilizatorului cu opțiuni bogate de formatare sunt inserate direct în documente;

− este posibil să introduceți și să ieșiți date în fișiere de diferite formate;

− documentele pot fi tipărite direct în MathCAD în forma pe care utilizatorul o vede pe ecranul computerului sau salvate

în Format RTF pentru editarea ulterioară în editorii de text;

− este posibil să salvați complet documentele MathCAD în format documente RTF, precum și pagini Web în formate HTML și XML;

− există o opțiune de a combina documentele dezvoltate de utilizator în cărți electronice;

− calculele simbolice vă permit să efectuați transformări analitice, precum și să obțineți instantaneu o varietate de informații matematice de referință.

Adevărata bijuterie a MathCAD, disponibilă deja în primele versiuni, a fost suportul pentru variabile discrete, care a permis calcularea simultană a funcțiilor pentru un număr de valori de argument, ceea ce a făcut posibilă construirea de tabele și grafice fără a utiliza operatori de programare. Instrumentele de plotare a suprafeței au fost aduse aproape la perfecțiune, permițându-vă să creați opere de artă din grafice. Calculele complexe de inginerie și tehnologia din mediul MathCAD sunt mult mai simple, mai clare și de câteva ori mai rapide decât în ​​alte programe.

Partea 1. INFORMAȚII TEORETICE

Capitolul 1. INTERFATA MATHCAD

Interfața MathCAD este similară cu cea a altor aplicații Windows. După lansare, pe ecran apare fereastra de lucru MathCAD cu meniul principal și trei bare de instrumente: Standard (Standard), Formatare (Formatare)și Matematică (matematică).

Bara de meniu este situată în partea de sus a ferestrei MathCAD. Conține nouă titluri, făcând clic pe fiecare dintre ele se afișează

la apariția meniului corespunzător cu o listă de comenzi:

- Fișier (Fișier) - comenzi legate de crearea, deschiderea, salvarea, trimiterea prin e-mail și tipărirea pe imprimantă a fișierelor cu documente;

− Editare (Editing) – comenzi legate de editarea textului (copiere, lipire, ștergere fragmente etc.);

- View (View) - comenzi care controlează aspectul documentului în fereastra editorului MathCAD, precum și comenzi care creează fișiere de animație;

− Insert (Insert) - comenzi pentru inserarea diverselor obiecte în documente;

− Format (Format) - comenzi pentru formatarea textului, formulelor, graficelor;

− Tools (Service) – comenzi pentru gestionarea procesului de calcul și caracteristici suplimentare;

− Symbolics (Symbols) – comenzi de calcule simbolice;

− Window (Window) – comenzi pentru gestionarea aranjamentului ferestrelor cu diverse documente pe ecran;

− Ajutor – comenzi pentru accesarea informațiilor de ajutor sensibile la context, informații despre versiunea programului și accesarea resurselor și cărților electronice.

Pentru a selecta o comandă, trebuie să faceți clic pe meniul care o conține și din nou pe elementul de meniu corespunzător. Unele comenzi nu sunt în meniuri în sine, ci în submeniuri, așa cum se arată în Fig. 1.1. Pentru a executa o astfel de comandă, de exemplu, comanda pentru a apela bara de instrumente Simbolică de pe ecran, trebuie să plasați cursorul mouse-ului peste elementul Bare de instrumente din meniul derulant Vizualizare și să selectați Simbolic din submeniul care apare.

Orez. 1.1. Operarea meniului

Pe lângă meniul de sus, meniurile pop-up îndeplinesc funcții similare (Fig. 1.2). Acestea apar când faceți clic dreapta undeva în document. În același timp, alcătuirea acestor meniuri depinde de locul apelului lor, de aceea sunt numite și meniuri contextuale. MathCAD însuși „ghicește”, în funcție de context, ce operațiuni pot fi necesare în momentul actual și plasează comenzile corespunzătoare în meniu. Prin urmare, utilizarea meniului contextual este mai ușoară decât cea de sus.

Orez. 1.2. Meniul contextual

1.2. Bare de instrumente

Barele de instrumente sunt folosite pentru executarea rapidă (cu un singur clic) a comenzilor cele mai frecvent utilizate. Toate acțiunile care pot fi efectuate folosind barele de instrumente sunt, de asemenea, disponibile prin

Meniul de sus. Pe fig. 1.3 arată fereastra MathCAD cu cinci bare de instrumente principale situate direct sub bara de meniu. Butoanele din panouri sunt grupate în funcție de acțiunea similară a comenzilor:

- Standard (Standard) - servește la efectuarea majorității operațiunilor, precum acțiuni cu fișiere, editare editorială, inserarea obiectelor, accesarea sistemelor de ajutor;

− Formatare (Formatting) - servește pentru formatarea (modificarea tipului și mărimii fontului, aliniament etc.) a textului și formulelor;

− Matematică (Matematică) - este folosită pentru a introduce simboluri matematice

și operatorii în documente;

- Resurse (Resurse) - servește la apelarea resurselor MathCAD;

− Controale (Controls) - servește la inserarea în documente a controalelor standard ale interfeței cu utilizatorul;

− Depanare - este folosit pentru a gestiona depanarea programelor MathCAD.

Orez. 1.3. Bare de instrumente de bază

Grupurile de butoane de pe barele de instrumente sunt delimitate ca sens prin linii verticale - separatoare. Când treceți cursorul mouse-ului peste oricare dintre butoane, în dreptul butonului apare un sfat cu instrumente (Fig. 1.4). Alături de un sfat explicativ, o explicație mai detaliată a operațiunii viitoare poate fi găsită în bara de stare.

Orez. 1.4. Utilizarea barelor de instrumente Math și Calculator

Panoul Matematică (Matematică) este destinat unui apel pe ecran a încă nouă panouri (fig. 1.5) prin intermediul căruia are loc o inserare a operațiilor matematice în documente. Pentru a afișa oricare dintre ele, trebuie să faceți clic pe butonul corespunzător din panoul Math (Fig. 1.4).

Orez. 1.5. Bare de instrumente matematice

Enumerăm scopul panourilor matematice:

- Calculator (Calculator) - folosit pentru a introduce operații matematice de bază, și-a primit numele datorită asemănării setului de butoane cu butoanele unui calculator tipic;

− Graph (Graph) - pentru inserarea graficelor;

− Matrix (Matrix) - pentru inserarea matricelor și a operatorilor matrici;

− Evaluare - pentru inserarea declaraţiilor de control de evaluare;

− Calcul (Analiză Matematică) – pentru inserarea operatorilor de integrare, diferențiere, însumare etc.;

− Boolean (operatori booleeni) - pentru a introduce operatori logici (booleeni);

− Programare (Programare) - pentru programare prin MathCAD;

− greacă (caractere grecești) - a introduce caractere grecești;

− Simbolic - pentru a insera operatori simbolici. Este important să rețineți că atunci când treceți cu mouse-ul peste multe dintre

butoane ale panourilor matematice, apare un tooltip, care conține și o combinație de „taste rapide”, apăsarea care va duce la o acțiune echivalentă.

1.3. Bara de stare

LA în partea de jos a ferestrei MathCAD, sub bara de defilare orizontală, se află bara de stare. Afișează informații de bază despre modul de editare (Fig. 1.6), delimitate de separatoare (de la stânga la dreapta):

− indiciu sensibil la context despre acțiunea viitoare;

− mod de calcul: automat (AUTO) sau setat manual (Calc F9);

− modul curent al layout-ului tastaturii CAP; − modul actual de dispunere a tastaturii NUM; − numărul paginii pe care se află cursorul.

Orez. 1.6. Bara de stare

Capitolul 2. BAZELE DE LUCRU ÎN MATHCAD

2.1. Navigarea documentelor

Este convenabil să vizualizați documentul în sus și dreapta-stânga folosind barele de defilare verticale și orizontale, mișcându-le glisoarele (în acest caz, se asigură o mișcare lină de-a lungul documentului) sau făcând clic pe una dintre cele două laturi ale glisorului (în acest caz, deplasarea prin document va fi sarcinoasă). De asemenea, puteți utiliza tastele de întoarcere a paginii pentru a muta cursorul în jurul documentului. Și În toate aceste cazuri, poziția cursorului nu se modifică, dar conținutul documentului este vizualizat. În plus, dacă documentul este mare, este convenabil să-i vizualizați conținutul folosind meniul

Editează | Accesați pagină (Editați | Mergeți la pagină). Când selectați acest articol, se va deschide un dialog care vă permite să mergeți la pagina cu numărul specificat.

Pentru a vă deplasa prin document în sus și în jos și la dreapta și la stânga, mișcând cursorul, ar trebui să apăsați tastele cursorului corespunzătoare. Intrând în zona regiunilor cu formule și text, cursorul se transformă în două linii de intrare - albastru vertical și orizontal. Pe măsură ce cursorul se deplasează mai departe în regiune, liniile de intrare se deplasează cu un caracter în direcția corespunzătoare. Când părăsiți regiunea, cursorul devine din nou cursorul de intrare sub forma unei cruci roșii. De asemenea, puteți muta cursorul făcând clic pe locația corespunzătoare. Dacă faceți clic pe un spațiu gol, atunci va apărea un cursor de introducere în el și, dacă este în regiune, atunci linii de introducere.

2.2. Introducerea și editarea formulelor

Editorul de formule MathCAD vă permite să introduceți și să modificați rapid și eficient expresii matematice.

Să enumerăm încă o dată elementele interfeței editorului MathCAD:

− mouse pointer - joacă rolul obișnuit pentru aplicațiile Windows, urmărind mișcările mouse-ului;

− cursorul trebuie să fie într-unul din trei tipuri:

– cursorul de introducere este o cruce roșie care marchează un loc gol în document în care puteți introduce text sau o formulă;

– linii de intrare - linii albastre orizontale și verticale care evidențiază o anumită parte din text sau formulă;

– linie de introducere a textului - o linie verticală, analogă liniilor de introducere pentru zonele de text;

− substituenți - apar în interiorul formulelor incomplete în locuri care ar trebui să fie completate cu un simbol sau operator:

− substituentul caracterului este un dreptunghi negru;

− substituentul operatorului este o casetă dreptunghiulară neagră. Puteți introduce o expresie matematică în orice spațiu gol

document MathCAD. Pentru a face acest lucru, trebuie să plasați cursorul de intrare în locul dorit din document făcând clic pe el cu mouse-ul și să introduceți formula apăsând tastele. Acest lucru creează o zonă matematică în document, care este concepută pentru a stoca formule interpretate de procesorul MathCAD. Să demonstrăm succesiunea acțiunilor folosind exemplul de introducere a expresiei x 5 + x (Fig. 2.1):

1. Faceți clic cu mouse-ul pentru a marca punctul de intrare.

1. Fereastra de lucru MathCAD

· Panou Matematică(Fig. 1.4).

Orez. 1.4. Panoul de matematică

Făcând clic pe butonul din bara de instrumente matematică, se deschide o bară de instrumente suplimentară:

2. Elemente de limbaj MathCAD

Elementele de bază ale expresiilor matematice MathCAD includ operatori, constante, variabile, matrice și funcții.

2.1 Operatori

Operatori -- elemente din MathCAD cu care puteți crea expresii matematice. Acestea, de exemplu, includ simboluri pentru operații aritmetice, semne pentru calcularea sumelor, produselor, derivatelor, integralelor etc.

Operatorul defineste:

a) acțiunea care trebuie efectuată în prezența anumitor valori ale operanzilor;

b) câți, unde și ce operanzi trebuie introduși în operator.

Operand -- numărul sau expresia asupra căreia acționează operatorul. De exemplu, în expresia 5!+3, numerele 5! iar 3 sunt operanzii operatorului „+” (plus), iar numărul 5 este operandul factorialului (!).

Orice operator în MathCAD poate fi introdus în două moduri:

prin apăsarea unei taste (combinație de taste) de pe tastatură;

folosind panoul de matematică.

Următoarele instrucțiuni sunt utilizate pentru a atribui sau afișa conținutul locației de memorie asociată cu o variabilă:

Semn de atribuire (introdus prin apăsarea tastei : pe tastatură (coloană în aspectul tastaturii engleze) sau prin apăsarea butonului corespunzător de pe panou Calculator );

Această misiune este numită local. Înainte de această atribuire, variabila nu este definită și nu poate fi utilizată.

Operator de atribuire globală. Această atribuire poate fi făcută oriunde în document. De exemplu, dacă unei variabile i se atribuie o valoare în acest mod chiar la sfârșitul documentului, atunci va avea aceeași valoare la începutul documentului.

Operator de egalitate aproximativă (x1). Folosit în rezolvarea sistemelor de ecuații. Se introduce prin apăsarea unei taste ; pe tastatură (punct și virgulă în aspectul tastaturii în limba engleză) sau prin apăsarea butonului corespunzător panou boolean.

Un operator (simplu egal) rezervat pentru ieșirea valorii unei constante sau variabile.

Cele mai simple calcule

Procesul de calcul se realizează folosind:

Panouri de calculatoare, panouri de calcul și panouri de estimare.

Atenţie. Dacă este necesară împărțirea întregii expresii în numărător, atunci trebuie mai întâi selectată apăsând bara de spațiu de pe tastatură sau plasând-o între paranteze.

2.2 Constante

constante -- obiecte denumite care dețin o valoare care nu poate fi modificată.

De exemplu, = 3,14.

Constante dimensionale sunt unități de măsură comune. De exemplu, metri, secunde etc.

Pentru a nota constanta dimensională, trebuie să introduceți semnul * (înmulțire) după număr, selectați elementul de meniu Introduce subparagraf Unitate. In masuratori categoriile cele mai cunoscute de tine: Lungime - lungime (m, km, cm); Masa -- greutate (g, kg, t); Timp -- timp (min, sec, oră).

2.3 Variabile

Variabile sunt obiecte numite care au o anumită valoare care se poate modifica pe măsură ce programul rulează. Variabilele pot fi numerice, șir, caractere etc. Variabilelor li se atribuie valori folosind semnul de atribuire (:=).

Atenţie. MathCAD tratează literele mari și mici ca identificatori diferiți.

Variabile de sistem

LA MathCAD conține un grup mic de obiecte speciale care nu pot fi atribuite nici clasei constantelor, nici clasei variabilelor, ale căror valori sunt determinate imediat după pornirea programului. Este mai bine să le numărăm variabile de sistem. Aceasta, de exemplu, TOL - eroarea calculelor numerice, ORIGINEA - limita inferioară a valorii indicelui index al vectorilor, matricelor etc. Dacă este necesar, puteți seta alte valori pentru aceste variabile.

Variabile clasificate

Aceste variabile au o serie de valori fixe, fie intregi, fie variind intr-un anumit pas de la valoarea initiala la cea finala.

O expresie este folosită pentru a crea o variabilă cu intervale:

Nume=N ÎNCEPE ,(N ÎNCEPE +Pas)..N Sfârşit ,

unde Nume este numele variabilei;

N începe -- valoarea inițială;

Pas -- pasul specificat pentru schimbarea variabilei;

N final -- valoare finală.

Variabilele clasificate sunt utilizate pe scară largă în grafic. De exemplu, pentru a reprezenta un grafic al unei funcții f(X) în primul rând, trebuie să creați o serie de valori variabile X-- trebuie să fie o variabilă variabilă pentru ca aceasta să funcționeze.

Atenţie. Dacă nu specificați un pas în intervalul variabil, programul îl va lua automat egal cu 1.

Exemplu . Variabil X variază în intervalul de la -16 la +16 în trepte de 0,1

Pentru a scrie o variabilă variabilă, ar trebui să tastați:

Numele variabilei ( X);

Semn de atribuire (:=)

Prima valoare a intervalului (-16);

virgulă;

A doua valoare a intervalului, care este suma primei valori și a pasului (-16+0,1);

puncte de suspensie ( .. ) -- modificarea variabilei în limitele date (punctele de suspensie se introduc prin apăsarea punctului și virgulă în aspectul tastaturii engleze);

Ultima valoare din interval (16).

Ca rezultat, veți obține: X := -16,-16+0.1..16.

Tabelele de ieșire

Orice expresie cu variabile clasificate după semnul egal inițiază tabelul de ieșire.

Puteți introduce valori numerice în tabelele de ieșire și le puteți corecta.

Variabilă cu indice

Variabilă cu indice-- este o variabilă căreia i se atribuie un set de numere neînrudite, fiecare dintre ele având propriul său număr (index).

Indexul se introduce apăsând paranteza pătrată din stânga de pe tastatură sau folosind butonul X n pe panou Calculator.

Puteți utiliza fie o constantă, fie o expresie ca index. Pentru a inițializa o variabilă cu un index, trebuie să introduceți elementele matricei, separându-le prin virgule.

Exemplu. Introducerea variabilelor de index.

Valorile numerice sunt introduse în tabel separate prin virgule;

Ieșirea valorii primului element al vectorului S;

Se emite valoarea elementului zero al vectorului S.

2.4 Matrice

matrice -- o colecție cu nume unic dintr-un număr finit de elemente numerice sau de caractere, ordonate într-un fel și având adrese specifice.

In pachet MathCAD sunt utilizate matrice din cele mai comune două tipuri:

unidimensional (vectori);

bidimensionale (matrici).

Puteți scoate un șablon matrice sau vectorial într-unul dintre următoarele moduri:

selectați elementul de meniu Introduce - Matrice;

apăsați combinația de taste ctrl + M;

apăsați butonul pornit panou și vectori şi matrici.

Ca rezultat, va apărea o casetă de dialog în care este setat numărul necesar de rânduri și coloane:

Rânduri-- numărul de linii

coloane-- numar de coloane

Dacă unei matrice (vector) trebuie să i se dea un nume, atunci se introduce mai întâi numele matricei (vectorului), apoi operatorul de atribuire și apoi șablonul matricei.

de exemplu:

Matrice -- o matrice bidimensională numită M n , m , constând din n rânduri și m coloane.

Puteți efectua diverse operații matematice pe matrice.

2.5 Funcții

Funcţie -- o expresie conform căreia se efectuează unele calcule cu argumente și se determină valoarea sa numerică. Exemple de funcții: păcat(X), bronzat(X) si etc.

Funcțiile din pachetul MathCAD pot fi fie încorporate, fie definite de utilizator. Modalități de a insera o funcție inline:

Selectați elementul de meniu Introduce - Funcţie.

Apăsați combinația de taste ctrl + E.

Faceți clic pe butonul de pe bara de instrumente.

Introduceți numele funcției pe tastatură.

Funcțiile utilizator sunt de obicei utilizate atunci când aceeași expresie este evaluată de mai multe ori. Pentru a seta o funcție de utilizator:

· introduceți numele funcției cu indicarea obligatorie a argumentului între paranteze, de exemplu, f(x);

Introduceți operatorul de atribuire (:=);

Introduceți o expresie calculată.

Exemplu. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatarea numerelor

În MathCAD, puteți modifica formatul de ieșire al numerelor. De obicei, calculele se fac cu o precizie de 20 de cifre, dar nu sunt afișate toate cifrele semnificative. Pentru a schimba formatul numeric, faceți dublu clic pe rezultatul numeric dorit. Va apărea fereastra de formatare a numărului, deschisă în filă număr Format (Format Număr) cu următoarele formate:

o General (Principal) -- este implicit. Numerele sunt afișate în ordine (de exemplu, 1.2210 5). Numărul de semne ale mantisei este determinat pe teren Exponenţial Prag(Pragul de notație exponențială). Când pragul este depășit, numărul este afișat în ordine. Numărul de cifre după virgulă zecimală se modifică în câmp număr de zecimal locuri.

o Zecimal (Decimală) -- Reprezentarea zecimală a numerelor cu virgulă mobilă (de exemplu, 12,2316).

o Științific (Științific) -- Numerele sunt afișate numai în ordine.

o Inginerie (Inginerie) -- numerele sunt afișate numai în multipli de trei (de exemplu, 1,2210 6).

Atenţie. Dacă, după setarea formatului dorit în fereastra de formatare a numărului, selectați butonul Bine, formatul va fi setat numai pentru numărul selectat. Și dacă selectați butonul Setare ca implicit, formatul va fi aplicat tuturor numerelor din acest document.

Numerele sunt rotunjite automat la zero dacă sunt mai mici decât pragul setat. Pragul este setat pentru întregul document, nu pentru un anumit rezultat. Pentru a modifica pragul de rotunjire la zero, selectați elementul de meniu Formatare - Rezultat iar în tab toleranţă , în câmp Zero prag introduceți valoarea prag necesară.

4. Lucrul cu textul

Fragmentele de text sunt fragmente de text pe care utilizatorul ar dori să le vadă în documentul său. Acestea pot fi explicații, link-uri, comentarii etc. Acestea sunt inserate folosind elementul de meniu Introduce - Regiunea textului.

Puteți formata textul: schimbați fontul, dimensiunea, stilul, alinierea, etc. Pentru a face acest lucru, selectați-l și selectați opțiunile corespunzătoare din panoul de fonturi sau din meniu Formatare - Text.

5. Lucrul cu grafica

Când se rezolvă multe probleme în care o funcție este studiată, devine adesea necesar să se traseze graficul acesteia, care va reflecta în mod clar comportamentul funcției pe un anumit interval.

În sistemul MathCAD, este posibilă construirea diferitelor tipuri de grafice: în sisteme de coordonate carteziene și polare, grafice tridimensionale, suprafețe ale corpurilor de revoluție, poliedre, curbe spațiale, grafice de câmp vectorial. Vom vedea cum să construim unele dintre ele.

5.1 Trasarea graficelor 2D

Pentru a construi un grafic bidimensional al unei funcții, trebuie să:

setați o funcție

Plasați cursorul în locul unde trebuie construit graficul, pe panoul matematic selectați butonul Graph (grafic) iar în panoul care se deschide, butonul X-Y Plot (grafic bidimensional);

În șablonul apărut al unui grafic bidimensional, care este un dreptunghi gol cu ​​etichete de date, introduceți numele variabilei în eticheta centrală de date de-a lungul axei absciselor (axa X) și introduceți numele funcției în loc de eticheta centrală de date de-a lungul axei ordonatelor (axa Y) (Fig. 2.1);

Orez. 2.1. Șablon de diagramă 2D

faceți clic în afara șablonului de grafic -- graficul funcției va fi reprezentat.

Intervalul argumentelor este format din 3 valori: initiala, secunda si finala.

Să fie necesar să se traseze un grafic al funcției pe intervalul [-2,2] cu un pas de 0,2. Valori variabile t sunt specificate ca un interval după cum urmează:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

unde: -2 -- valoarea inițială a intervalului;

1,8 (-2 + 0,2) -- a doua valoare a intervalului (valoarea inițială plus pas);

2 este valoarea finală a intervalului.

Atenţie. Se introduce o elipsă prin apăsarea punctului și virgulă în aspectul tastaturii engleze.

Exemplu. Trasarea unei funcții y = X 2 pe intervalul [-5,5] cu un pas de 0,5 (Fig. 2.2).

Orez. 2.2. Trasarea unei funcții y = X 2

Când trasați grafice, luați în considerare următoarele:

° Dacă intervalul valorilor argumentului nu este specificat, atunci graficul este construit în mod implicit în intervalul [-10,10].

° Dacă este necesar să plasați mai multe grafice într-un șablon, atunci numele funcțiilor sunt indicate separate prin virgule.

° Dacă două funcții au argumente diferite, de exemplu f1(x) și f2(y), atunci numele funcțiilor sunt indicate pe axa ordonatelor (Y), separate prin virgule, iar pe axa absciselor (X), numele ambelor variabile sunt de asemenea separate prin virgule.

° Etichetele de capăt ale datelor de pe șablonul de diagramă sunt utilizate pentru a indica valorile limită ale abscisei și ordonatei, adică ele stabilesc scara graficului. Dacă lăsați aceste etichete goale, scala va fi setată automat. Scara automată nu reflectă întotdeauna graficul în forma dorită, astfel încât valorile limită ale absciselor și ordonatelor trebuie editate prin schimbarea manuală a acestora.

Notă. Dacă după trasarea graficului nu ia forma dorită, puteți:

Reduceți pasul.

· modificați intervalul de reprezentare.

Reduceți valorile limită ale absciselor și ordonatelor pe diagramă.

Exemplu. Construcția unui cerc cu un centru într-un punct (2,3) și o rază R = 6.

Ecuația unui cerc centrat într-un punct cu coordonatele ( X 0 ,y 0) și raza R se scrie ca:

Exprimați din această ecuație y:

Astfel, pentru a construi un cerc, este necesar să setați două funcții: semicercurile superioare și inferioare. Intervalul argumentelor se calculează după cum urmează:

Valoarea de pornire a intervalului = X 0 - R;

Valoarea finală a intervalului = X 0 + R;

Este mai bine să faceți pasul egal cu 0,1 (Fig. 2.3.).

Orez. 2.3. Construcția unui cerc

Graficul parametric al unei funcții

Uneori, este mai convenabil în locul unei ecuații de linie care relaționează coordonatele dreptunghiulare Xși y, luați în considerare așa-numitele ecuații ale liniilor parametrice, care dau expresii pentru coordonatele x și y curente ca funcții ale unei variabile t(parametru): X(t) și y(t). La construirea unui grafic parametric, numele funcțiilor unui argument sunt indicate pe axele ordonatelor și absciselor.

Exemplu. Construcția unui cerc centrat într-un punct cu coordonatele (2,3) și rază R= 6. Pentru construcție se folosește ecuația parametrică a cercului

X = X 0 + R cos( t) y = y 0 + R păcat( t) (Fig. 2.4.).

Fig.2.4. Construcția unui cerc

Formatarea diagramei

Pentru a formata un grafic, faceți dublu clic pe zona graficului. Se va deschide caseta de dialog Formatare grafic. Filele din fereastra de formatare a diagramei sunt enumerate mai jos:

§ X- Y topoare-- formatarea axelor de coordonate. Bifând casetele corespunzătoare, puteți:

· Buturuga Scară-- reprezintă valori numerice pe axe într-o scară logaritmică (în mod implicit, valorile numerice sunt reprezentate pe o scară liniară)

· Grilă linii-- trageți o grilă de linii;

· numerotate-- Aranjați numerele de-a lungul axelor de coordonate;

· Auto Scară-- selectarea automată a valorilor numerice limită pe axe (dacă această casetă este nebifată, valorile maxime calculate vor fi limită);

· spectacol marker-- marcarea graficului sub formă de linii punctate orizontale sau verticale corespunzătoare valorii specificate pe axă, iar valorile însele sunt afișate la sfârșitul liniilor (pe fiecare axă apar 2 locuri de introducere, în care puteți introduceți valori numerice, nu introduceți nimic, introduceți un număr sau o literă desemnări ale constantelor);

· Auto Gscăpa-- selectarea automată a numărului de linii de grilă (dacă această casetă este debifată, trebuie să specificați numărul de linii în câmpul Număr de grile);

· traversat-- axa absciselor trece prin zero al ordonatei;

· În cutie-- axa x trece de-a lungul marginii inferioare a graficului.

§ Urmă-- formatarea liniilor grafice de funcții. Pentru fiecare grafic separat, puteți modifica:

simbol (Simbol) pe diagramă pentru punctele nodale (cerc, cruce, dreptunghi, romb);

tip de linie (Solid - solid, Dot - linie punctată, Dash - linii, Dadot - linie punctată);

culoarea liniei (Culoare);

Tipul (Ture) diagramei (Linii - linie, Puncte - puncte, Var sau Solidbar - bare, Pas - diagramă pas etc.);

grosimea liniei (Greutate).

§ Eticheta -- titlu în zona graficului. În câmp Titlu (Titlu) puteți scrie textul titlului, selectați poziția acestuia - în partea de sus sau de jos a graficului ( De mai sus -- sus, De mai jos -- jos). Puteți introduce, dacă este necesar, numele argumentului și funcției ( Etichete axelor ).

§ Implicite -- folosind această filă, puteți reveni la vizualizarea implicită a diagramei (Modificarea la implicit) sau puteți utiliza modificările pe care le-ați făcut pe diagramă în mod implicit pentru toate diagramele din acest document (Utilizare pentru setări implicite).

5.2 Construirea parcelelor polare

Pentru a construi un grafic polar al unei funcții, trebuie să:

· setați intervalul de valori ale argumentului;

setați o funcție

· plasați cursorul în locul unde trebuie construit graficul, pe panoul matematic selectați butonul Graph (grafic) iar în panoul care se deschide, butonul Polar Plot (grafic polar);

· În câmpurile de introducere ale șablonului care apare, trebuie să introduceți argumentul unghiular al funcției (mai jos) și numele funcției (stânga).

Exemplu. Construcția lemniscatei lui Bernoulli: (Fig. 2.6.)

Fig.2.6. Un exemplu de construire a unui complot polar

5.3 Trasarea suprafețelor (diagrame 3D sau 3D)

La construirea graficelor tridimensionale se folosește panoul grafic(Graph) panou de matematică. Puteți construi un grafic tridimensional folosind vrăjitorul, apelat din meniul principal; puteți construi un grafic creând o matrice de valori a unei funcții a două variabile; puteți folosi metoda de construcție accelerată; puteți apela funcțiile speciale CreateMech și CreateSpase, concepute pentru a crea o serie de valori ale funcției și grafice. Vom lua în considerare o metodă accelerată pentru construirea unui grafic tridimensional.

Grafică rapidă

Pentru a construi rapid un grafic tridimensional al unei funcții, trebuie să:

setați o funcție

plasați cursorul în locul în care ar trebui să fie construit graficul, selectați butonul de pe panoul matematic grafic(Grafic) iar în panoul deschis butonul ( graficul suprafeței);

· în singurul loc al șablonului, introduceți numele funcției (fără a specifica variabile);

· faceți clic în afara șablonului de diagramă - va fi construit graficul funcției.

Exemplu. Trasarea unei funcții z(X,y) = X 2 + y 2 - 30 (Fig. 2.7).

Orez. 2.7. Un exemplu de diagramă de suprafață rapidă

Diagrama construită poate fi controlată:

° rotirea graficului se realizează după trecerea cursorului mouse-ului peste acesta cu butonul stâng al mouse-ului apăsat;

° scalarea diagramei se realizează după trecerea cursorului mouse-ului peste aceasta prin apăsarea simultană a butonului stâng al mouse-ului și a tastei Ctrl (dacă mișcați mouse-ul, diagrama se mări sau micșorează);

° animația diagramei este realizată în același mod, dar cu tasta Shift apăsată suplimentar. Este necesar doar să începeți rotirea graficului cu mouse-ul, apoi animația va fi realizată automat. Pentru a opri rotația, faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului în interiorul zonei graficului.

Este posibil să construiți mai multe suprafețe simultan într-un singur desen. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați ambele funcții și să specificați numele funcțiilor pe șablonul de diagramă, separate prin virgule.

Când trasați rapid, valorile implicite pentru ambele argumente sunt între -5 și +5, iar numărul de linii de contur este 20. Pentru a modifica aceste valori, trebuie:

· dublu clic pe diagramă;

· selectați fila Quick Plot Data în fereastra deschisă;

· introduceți noi valori în zona ferestrei Range1 -- pentru primul argument și Range2 -- pentru al doilea argument (start -- valoare inițială, final -- valoare finală);

· în câmpul # of Grids, modificați numărul de linii de grilă care acoperă suprafața;

· Faceți clic pe butonul OK.

Exemplu. Trasarea unei funcții z(X,y) = -sin( X 2 + y 2) (Fig. 2.9).

Când construiți acest grafic, este mai bine să alegeți limitele de modificare a valorilor ambelor argumente de la -2 la +2.

Orez. 2.9. Un exemplu de reprezentare grafică a unei funcții z(X,y) = -sin( X 2 + y 2)

înaintematting grafice 3D

Pentru a formata graficul, faceți dublu clic pe zona de grafică - va apărea o fereastră de formatare cu mai multe file: Aspect, General, topoare, iluminat, Titlu, Backplane, Special, Avansat, Rapid Complot Date.

Scopul filei Rapid Complot Date a fost discutat mai sus.

fila Aspect vă permite să schimbați aspectul graficului. Camp Completati Opțiuni vă permite să modificați parametrii de umplere, câmp linia Opțiune-- parametri de linie, punct Opțiuni-- parametri de punct.

În fila General ( general) în grup vedere puteți alege unghiurile de rotație ale suprafeței reprezentate în jurul tuturor celor trei axe; într-un grup afişa la fel de Puteți schimba tipul diagramei.

În fila iluminat(iluminare) puteți controla iluminarea bifând caseta permite iluminat(aprinde luminile) și comută Pe(aprinde). Una dintre cele 6 scheme de iluminare posibile este selectată din listă iluminat sistem(schema de iluminare).

6. Modalități de rezolvare a ecuațiilor în MathCAD

În această secțiune, vom afla cum cele mai simple ecuații de forma F( X) = 0. A rezolva o ecuație în mod analitic înseamnă a găsi toate rădăcinile ei, adică. astfel de numere, când le înlocuim în ecuația originală, obținem egalitatea corectă. A rezolva grafic ecuația înseamnă a găsi punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa x.

6. 1 Rezolvarea ecuațiilor folosind funcția rădăcină(f(x),x)

Pentru soluțiile unei ecuații cu o necunoscută de forma F( X) = 0 există o funcție specială

rădăcină(f(X), X) ,

Unde f(X) este o expresie egală cu zero;

X-- argument.

Această funcție returnează, cu o precizie dată, valoarea unei variabile pentru care expresia f(X) este egal cu 0.

Atenţiee. Dacă partea dreaptă a ecuației este 0, atunci este necesar să o aduceți la forma normală (transferați totul în partea stângă).

Înainte de a utiliza funcția rădăcină trebuie dat argumentului X aproximare initiala. Dacă există mai multe rădăcini, atunci pentru a găsi fiecare rădăcină, trebuie să specificați aproximarea inițială.

Atenţie. Înainte de a rezolva, este de dorit să trasați un grafic al funcției pentru a verifica dacă există rădăcini (graficul intersectează axa Ox) și, dacă da, câte. Aproximația inițială poate fi aleasă în funcție de graficul mai aproape de punctul de intersecție.

Exemplu. Rezolvarea unei ecuații folosind o funcție rădăcină prezentat în Figura 3.1. Înainte de a trece la soluția în sistemul MathCAD, în ecuație vom transfera totul în partea stângă. Ecuația va lua forma: .

Orez. 3.1. Rezolvarea unei ecuații folosind funcția rădăcină

6. 2 Rezolvarea ecuațiilor cu funcția Polyroots(v).

Pentru a găsi simultan toate rădăcinile unui polinom, utilizați funcția polyroots(v), unde v este vectorul de coeficienți ai polinomului, pornind de la termenul liber . Coeficienții zero nu pot fi omisi. Spre deosebire de funcție rădăcină funcţie Polyroots nu necesită o aproximare inițială.

Exemplu. Rezolvarea unei ecuații folosind o funcție polyroots prezentat în figura 3.2.

Orez. 3.2. Rezolvarea unei ecuații utilizând funcția Polyroots

6.3 Rezolvarea ecuațiilor cu Find(x)

Funcția Find funcționează împreună cu cuvântul cheie dat. Proiecta Dat - găsi folosește o tehnică de calcul bazată pe găsirea unei rădăcini în apropierea unui punct de aproximare inițial specificat de utilizator.

Dacă este dată ecuația f(X) = 0, atunci se poate rezolva după cum urmează folosind blocul Dat - găsi:

Setați aproximarea inițială

Introduceți un cuvânt de serviciu

Scrieți ecuația folosind semnul îndrăznețe egale

Scrieți o funcție de căutare cu o variabilă necunoscută ca parametru

Ca urmare, după semnul egal, va fi afișată rădăcina găsită.

Dacă există mai multe rădăcini, atunci acestea pot fi găsite prin schimbarea aproximării inițiale x0 la una apropiată de rădăcina dorită.

Exemplu. Rezolvarea ecuației folosind funcția găsi este prezentată în Figura 3.3.

Orez. 3.3. Rezolvarea unei ecuații cu funcția găsi

Uneori devine necesar să se marcheze unele puncte pe grafic (de exemplu, punctele de intersecție ale unei funcții cu axa Ox). Pentru asta ai nevoie de:

Specificați valoarea x a unui punct dat (de-a lungul axei Ox) și valoarea funcției în acest punct (de-a lungul axei Oy);

faceți dublu clic pe grafic și în fereastra de formatare din filă urme pentru linia corespunzătoare, selectați tipul graficului - puncte, grosimea liniei - 2 sau 3.

Exemplu. Graficul arată punctul de intersecție al funcției cu axa x. Coordona X acest punct a fost găsit în exemplul anterior: X= 2,742 (rădăcina ecuației ) (Fig. 3.4).

Orez. 3.4. Graficul unei funcții cu un punct de intersecție marcat

În fereastra de formatare a diagramei, în filă urme pentru urmă2 modificat: tip diagramă - puncte, grosimea liniei - 3, culoare - negru.

7. Rezolvarea sistemelor de ecuații

7.1 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Sistemul de ecuații liniare poate fi rezolvat m metoda matricei (fie prin matricea inversă, fie folosind funcția rezolv(A,B)) și folosind două funcții găsiși caracteristici Minerr.

Metoda matricei

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Rezolvarea acestui sistem de ecuații prin metoda matricei este prezentată în Figura 4.1.

Orez. 4.1. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare printr-o metodă matriceală

Utilizarea funcției rezolv(A, B)

Lrezolva(A,B) este o funcție încorporată care returnează un vector X pentru un sistem de ecuații liniare având în vedere o matrice de coeficienți A și un vector de termeni liberi B .

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Modul de rezolvare a acestui sistem folosind funcția lsolve(A,B) este prezentat în Figura 4.2.

Orez. 4.2. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind funcția lsolve

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin intermediul funcțiiși găsi

Cu această metodă, ecuațiile sunt introduse fără utilizarea de matrici, adică. în „forma naturală”. În primul rând, este necesar să se indice aproximările inițiale ale variabilelor necunoscute. Poate fi orice număr din domeniul de aplicare al definiției. Adesea sunt confundați cu o coloană de membri liberi.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare folosind o unitate de calcul Dat - găsi, necesar:

2) introduceți un cuvânt de serviciu Dat;

îndrăznețe egale();

4) scrieți o funcție găsi,

Exemplu. Sistemul de ecuații este dat:

Rezolvarea acestui sistem folosind o unitate de calcul Dat - găsi prezentat în Figura 4.3.

Orez. 4.3. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind funcția Găsește

Aproximativ prezolvarea unui sistem de ecuații liniare

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o funcție Minerr similar cu soluția folosind funcția găsi(folosind același algoritm), numai funcție găsi dă soluția exactă și Minerr-- aproximativ. Dacă, ca rezultat al căutării, nu se poate obține o rafinare suplimentară a aproximării curente a soluției, Minerr returnează această aproximare. Funcţie găsiîn acest caz returnează un mesaj de eroare.

Puteți alege o altă aproximare inițială.

· Puteți crește sau micșora precizia calculului. Pentru a face acest lucru, selectați din meniu Matematică > Opțiuni(Matematică - Opțiuni), fila construit- În Variabile(Variabile încorporate). În fila care se deschide, trebuie să reduceți eroarea de calcul permisă (Toleranța de convergență (TOL)). TOL implicit = 0,001.

LAAtenţie. Cu metoda soluției matriceale este necesară rearanjarea coeficienților în funcție de creșterea necunoscutelor X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Sistemele de ecuații neliniare din MathCAD sunt rezolvate folosind o unitate de calcul Dat - găsi.

Proiecta Dat - găsi folosește o tehnică de calcul bazată pe găsirea unei rădăcini în apropierea unui punct de aproximare inițial specificat de utilizator.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații folosind blocul Dat - găsi necesar:

1) stabiliți aproximări inițiale pentru toate variabilele;

2) introduceți un cuvânt de serviciu Dat;

3) notează sistemul de ecuații folosind semnul îndrăznețe egale();

4) scrieți o funcție găsi, prin enumerarea variabilelor necunoscute ca parametri ai funcției.

Ca rezultat al calculelor, va fi afișat vectorul soluție al sistemului.

Dacă sistemul are mai multe soluții, algoritmul ar trebui repetat cu alte presupuneri inițiale.

Notă. Dacă se rezolvă un sistem de două ecuații cu două necunoscute, înainte de a-l rezolva, este de dorit să se traseze grafice de funcții pentru a verifica dacă sistemul are rădăcini (dacă graficele funcțiilor date se intersectează) și, dacă da, câte. Aproximația inițială poate fi aleasă în funcție de graficul mai aproape de punctul de intersecție.

Exemplu. Dat un sistem de ecuații

Înainte de a rezolva sistemul, construim grafice de funcții: parabole (prima ecuație) și o dreaptă (a doua ecuație). Construcția unui grafic al unei linii drepte și a unei parabole într-un sistem de coordonate este prezentată în Figura 4.5:

Orez. 4.5. Trasarea a două funcții în același sistem de coordonate

Linia și parabola se intersectează în două puncte, ceea ce înseamnă că sistemul are două soluții. Conform graficului, alegem aproximațiile inițiale ale necunoscutelor Xși y pentru fiecare solutie. Găsirea rădăcinilor sistemului de ecuații este prezentată în Figura 4.6.

Orez. 4.6. Găsirea rădăcinilor unui sistem de ecuații neliniare

Pentru a marca pe grafic punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei, introducem coordonatele punctelor găsite la rezolvarea sistemului de-a lungul axei Ox (valori X ) și de-a lungul axei Oy (valori la ) separate prin virgule. În fereastra de formatare a diagramei, în filă urme pentru urmă3 și urmă4 modificare: tip diagramă - puncte, grosimea liniei - 3, culoare - negru (Fig. 4.7).

Orez. 4.7. Grafice de funcții cu puncte de intersecție marcate

8 . Caracteristici cheie Exemple de utilizare MathCAD pentru a rezolva unele probleme matematice

Această secțiune oferă exemple de rezolvare a problemelor care necesită rezolvarea unei ecuații sau a unui sistem de ecuații.

8. 1 Găsirea extremelor locale ale funcțiilor

Condiția necesară pentru un extremum (maximum și/sau minim) al unei funcții continue este formulată astfel: extrema poate avea loc numai în acele puncte în care derivata fie este egală cu zero, fie nu există (în special, devine infinită) . Pentru a găsi extremele unei funcții continue, găsiți mai întâi punctele care îndeplinesc condiția necesară, adică găsiți toate rădăcinile reale ale ecuației.

Dacă este construit un grafic al funcției, atunci puteți vedea imediat - maximul sau minimul este atins într-un punct dat X. Dacă nu există un grafic, atunci fiecare dintre rădăcinile găsite este examinată într-unul dintre moduri.

1 cu indemnizatie . Cu egaliza e semnele derivatului . Semnul derivatei este determinat în vecinătatea punctului (în punctele care sunt separate de extremul funcției pe laturi diferite la distanțe mici). Dacă semnul derivatei se schimbă de la „+” la „-”, atunci în acest moment funcția are un maxim. Dacă semnul se schimbă de la „-” la „+”, atunci în acest moment funcția are un minim. Dacă semnul derivatului nu se schimbă, atunci nu există extreme.

al 2-lea s indemnizatie . LA calcule e al doilea derivat . În acest caz, derivata a doua este calculată la punctul extrem. Dacă este mai mică decât zero, atunci în acest moment funcția are un maxim, dacă este mai mare decât zero, atunci un minim.

Exemplu. Găsirea extremelor (minime/maxime) ale unei funcții.

Mai întâi, să construim un grafic al funcției (Fig. 6.1).

Orez. 6.1. Trasarea unei funcții

Să determinăm din grafic aproximările inițiale ale valorilor X corespunzătoare extremelor locale ale funcției f(X). Să găsim aceste extreme rezolvând ecuația. Pentru a rezolva, folosim blocul Given - Find (Fig. 6.2.).

Orez. 6.2. Găsirea extremelor locale

Să definim tipul de extreme pervcale, examinând modificarea semnului derivatei în vecinătatea valorilor găsite (Fig. 6.3).

Orez. 6.3. Determinarea tipului de extremum

Se poate observa din tabelul de valori ale derivatei și din grafic că semnul derivatei în vecinătatea punctului X 1 se schimbă de la plus la minus, astfel încât funcția atinge maximul în acest moment. Și în vecinătatea punctului X 2, semnul derivatei s-a schimbat de la minus la plus, deci în acest moment funcția atinge un minim.

Să definim tipul de extreme al doileacale, calculând semnul derivatei a doua (Fig. 6.4).

Orez. 6.4. Determinarea tipului de extremum folosind derivata a doua

Se vede că la punct X 1 derivata a doua este mai mică decât zero, deci punctul X 1 corespunde maximului funcției. Și la punctul X 2 derivata a doua este mai mare decât zero, deci punctul X 2 corespunde minimului funcției.

8.2 Determinarea ariilor figurilor delimitate prin linii continue

Aria unui trapez curbiliniu delimitată de graficul unei funcții f(X) , un segment pe axa Ox și două verticale X = Ași X = b, A < b, este determinată de formula: .

Exemplu. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii f(X) = 1 - X 2 și y = 0.

Orez. 6.5. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii f(X) = 1 - X 2 și y = 0

Aria figurii cuprinsă între graficele funcțiilor f1(X) și f2(X) si direct X = Ași X = b, se calculează prin formula:

Atenţie. Pentru a evita erorile la calcularea ariei, diferența de funcții trebuie luată modulo. Astfel, zona va fi întotdeauna pozitivă.

Exemplu. Aflarea ariei unei figuri delimitate de linii și. Soluția este prezentată în figura 6.6.

1. Construim un grafic de funcții.

2. Găsim punctele de intersecție ale funcțiilor folosind funcția rădăcină. Vom determina aproximațiile inițiale din grafic.

3. Valori găsite X sunt substituite în formula ca limite de integrare.

8. 3 Construirea curbelor după puncte date

Construirea unei drepte care trece prin două puncte date

Pentru a scrie ecuația unei drepte care trece prin două puncte A( X 0,y 0) și B( X 1,y 1), se propune următorul algoritm:

Unde Ași b sunt coeficienții dreptei pe care trebuie să-i găsim.

2. Acest sistem este liniar. Are două variabile necunoscute: Ași b

Exemplu. Construcția unei drepte care trece prin punctele A(-2,-4) și B(5,7).

Inlocuim coordonatele directe ale acestor puncte in ecuatie si obtinem sistemul:

Soluția acestui sistem în MathCAD este prezentată în Figura 6.7.

Orez. 6.7 Soluție de sistem

Ca urmare a rezolvării sistemului, obținem: A = 1.57, b= -0,857. Deci ecuația unei linii drepte va arăta astfel: y = 1.57X- 0,857. Să construim această linie dreaptă (Fig. 6.8).

Orez. 6.8. Construirea unei linii drepte

Construcția unei parabole, trecând prin trei puncte date

Pentru a construi o parabolă care trece prin trei puncte A( X 0,y 0), B( X 1,y 1) și C( X 2,y 2), algoritmul este următorul:

1. Parabola este dată de ecuație

y = topor 2 + bX + cu, Unde

A, bși cu sunt coeficienții parabolei pe care trebuie să-i găsim.

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in aceasta ecuatie si obtinem sistemul:

2. Acest sistem este liniar. Are trei variabile necunoscute: A, bși cu. Sistemul poate fi rezolvat într-un mod matricial.

3. Înlocuim coeficienții obținuți în ecuație și construim o parabolă.

Exemplu. Construcția unei parabole care trece prin punctele A(-1,-4), B(1,-2) și C(3,16).

Inlocuim coordonatele date ale punctelor in ecuatia parabolei si obtinem sistemul:

Soluția acestui sistem de ecuații în MathCAD este prezentată în Figura 6.9.

Orez. 6.9. Rezolvarea unui sistem de ecuații

Ca urmare, se obțin coeficienții: A = 2, b = 1, c= -5. Obținem ecuația parabolei: 2 X 2 +X -5 = y. Să construim această parabolă (Fig. 6.10).

Orez. 6.10. Construcția unei parabole

Construcția unui cerc care trece prin trei puncte date

Pentru a construi un cerc care trece prin trei puncte A( X 1,y 1), B( X 2,y 2) și C( X 3,y 3), puteți utiliza următorul algoritm:

1. Cercul este dat de ecuație

unde x0,y0 sunt coordonatele centrului cercului;

R este raza cercului.

2. Înlocuiți coordonatele date în ecuația cercului...........