Energia cinetică a unui corp în rotație este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor particulelor corpului:

Masa oricărei particule, viteza sa liniară (circumferențială), proporțională cu distanța acestei particule de axa de rotație. Înlocuind în această expresie și luând viteza unghiulară o comună pentru toate particulele din semnul sumei, găsim:

Această formulă pentru energia cinetică a unui corp în rotație poate fi redusă la o formă similară cu expresia pentru energia cinetică a mișcării de translație dacă introducem valoarea așa-numitului moment de inerție al corpului. Momentul de inerție al unui punct material este produsul dintre masa punctului și pătratul distanței acestuia față de axa de rotație. Momentul de inerție al corpului este suma momentelor de inerție ale tuturor punctelor materiale ale corpului:

Deci, energia cinetică a unui corp în rotație este determinată de următoarea formulă:

Formula (2) diferă de formula care determină energia cinetică a unui corp în mișcare de translație prin aceea că în locul masei corpului intră aici momentul de inerție I și în locul vitezei, viteza de grup.

Energia cinetică mare a unui volant rotativ este utilizată în tehnologie pentru a menține uniformitatea mașinii sub o sarcină care se schimbă brusc. La început, pentru a aduce volantul cu un moment mare de inerție în rotație, mașina necesită o muncă considerabilă, dar atunci când o sarcină mare este pornită brusc, mașina nu se oprește și funcționează datorită rezervei de energie cinetică a volantului.

Volantile deosebit de masive sunt folosite la laminoarele actionate de un motor electric. Iată o descriere a uneia dintre aceste roți: „Roata are un diametru de 3,5 m și cântărește La o turație normală de 600 rpm, energia cinetică a roții este de așa natură încât în ​​momentul rulării roții conferă morii o putere. de 20.000 de litri. cu. Frecarea în rulmenți este menținută la minimum printr-un basm sub presiune, iar pentru a evita efectul nociv al forțelor de inerție centrifugă, roata este echilibrată astfel încât sarcina pusă pe circumferința roții să o scoată din repaus.

Prezentăm (fără a efectua calcule) valorile momentelor de inerție ale unor corpuri (se presupune că fiecare dintre aceste corpuri are aceeași densitate în toate secțiunile sale).

Momentul de inerție al unui inel subțire în jurul unei axe care trece prin centrul său și perpendicular pe planul său (Fig. 55):

Momentul de inerție al unui disc rotund (sau cilindru) în jurul unei axe care trece prin centrul său și perpendicular pe planul său (momentul polar de inerție al discului; Fig. 56):

Momentul de inerție al unui disc rotund subțire în jurul unei axe care coincide cu diametrul său (momentul de inerție ecuatorial al discului; Fig. 57):

Momentul de inerție al mingii în jurul axei care trece prin centrul mingii:

Momentul de inerție al unui strat sferic subțire de rază în jurul unei axe care trece prin centru:

Momentul de inerție al unui strat sferic gros (o bilă goală având o rază a suprafeței exterioare și o rază a cavității) în jurul unei axe care trece prin centru:

Calculul momentelor de inerție a corpurilor se realizează folosind calcul integral. Pentru a face o idee despre cursul unor astfel de calcule, găsim momentul de inerție al tijei în raport cu axa perpendiculară pe aceasta (Fig. 58). Să fie o secțiune a tijei, densitate. Evidențiem o parte elementar mică a tijei, care are o lungime și este situată la o distanță x de axa de rotație. Apoi masa sa Deoarece se află la o distanță x de axa de rotație, atunci momentul său de inerție Integram de la zero la I:

Momentul de inerție al unui paralelipiped dreptunghic în jurul axei de simetrie (Fig. 59)

Momentul de inerție al torusului inelar (Fig. 60)

Să luăm în considerare modul în care energia de rotație a unui corp care se rostogolește (fără alunecare) de-a lungul planului este conectată cu energia mișcării de translație a acestui corp,

Energia mișcării de translație a unui corp de rulare este , unde este masa corpului și viteza mișcării de translație. Să notăm viteza unghiulară de rotație a corpului de rulare și raza corpului. Este ușor de înțeles că viteza mișcării de translație a unui corp care se rostogolește fără alunecare este egală cu viteza circumferențială a corpului în punctele de contact ale corpului cu planul (în timpul în care corpul face o rotație, centrul de greutate al corpului se mișcă la o distanță, prin urmare,

Prin urmare,

Energia de rotație

prin urmare,

Înlocuind aici valorile de mai sus ale momentelor de inerție, constatăm că:

a) energia mișcării de rotație a cercului de rulare este egală cu energia mișcării sale de translație;

b) energia de rotație a unui disc omogen rulant este egală cu jumătate din energia mișcării de translație;

c) energia de rotație a unei mingi omogene care rulează este energia mișcării de translație.

Dependența momentului de inerție de poziția axei de rotație. Fie ca tija (Fig. 61) cu centrul de greutate în punctul C să se rotească cu o viteză unghiulară (o în jurul axei O, perpendicular pe planul desenului. Să presupunem că într-o anumită perioadă de timp s-a deplasat din poziţia A B în iar centrul de greutate a descris un arc.Această tijă de mișcare poate fi considerată ca și cum tija mai întâi translațional (adică rămânând paralelă cu ea însăși) s-a deplasat în poziție și apoi s-a rotit în jurul C până la poziția Să notăm (distanța centrului de gravitația față de axa de rotație) cu a, iar unghiul cu Când tija se mișcă din poziție Și În poziție, deplasarea fiecăreia dintre particulele sale este aceeași cu deplasarea centrului de greutate, adică este egală cu sau To obţinem mişcarea efectivă a tijei, putem presupune că ambele aceste mişcări sunt efectuate simultan.în jurul axei care trece prin O se poate descompune în două părţi.

Să determinăm energia cinetică a unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe. Să împărțim acest corp în n puncte materiale. Fiecare punct se deplasează cu o viteză liniară υ i =ωr i , apoi energia cinetică a punctului

sau

Energia cinetică totală a unui corp rigid rotativ este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor sale materiale:

(3.22)

(J - momentul de inerție al corpului față de axa de rotație)

Dacă traiectoriile tuturor punctelor se află în planuri paralele (ca un cilindru care se rostogolește pe un plan înclinat, fiecare punct se mișcă în planul său fig), aceasta este mișcare plată. Conform principiului lui Euler, mișcarea plană poate fi întotdeauna descompusă într-un număr infinit de moduri în mișcare de translație și rotație. Dacă mingea cade sau alunecă de-a lungul unui plan înclinat, aceasta se deplasează doar înainte; când mingea se rostogolește, se rotește și ea.

Dacă un corp efectuează mișcări de translație și rotație în același timp, atunci energia lui cinetică totală este egală cu

(3.23)

Dintr-o comparație a formulelor energiei cinetice pentru mișcările de translație și rotație, se poate observa că măsura inerției în timpul mișcării de rotație este momentul de inerție al corpului.

§ 3.6 Lucrarea forțelor externe în timpul rotației unui corp rigid

Când un corp rigid se rotește, energia sa potențială nu se modifică, prin urmare, munca elementară a forțelor externe este egală cu creșterea energiei cinetice a corpului:

dA = dE sau

Având în vedere că Jβ = M, ωdr = dφ, avem α al corpului la un unghi finit φ este egal

(3.25)

Când un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe, munca forțelor exterioare este determinată de acțiunea momentului acestor forțe în jurul unei axe date. Dacă momentul forțelor în jurul axei este egal cu zero, atunci aceste forțe nu produc muncă.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 2.1. masa volantuluim=5kg și razar= 0,2 m se rotește în jurul axei orizontale cu o frecvențăν 0 =720 min -1 și se oprește la frânaret=20 s. Găsiți cuplul de frânare și numărul de rotații înainte de oprire.

Pentru a determina cuplul de frânare, aplicăm ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație

unde I=mr 2 este momentul de inerție al discului; Δω \u003d ω - ω 0, iar ω \u003d 0 este viteza unghiulară finală, ω 0 \u003d 2πν 0 este cea inițială. M este momentul de frânare al forțelor care acționează asupra discului.

Cunoscând toate cantitățile, este posibil să se determine cuplul de frânare

Domnul 2 2πν 0 = Δt (1)

(2)

Din cinematica mișcării de rotație, unghiul de rotație în timpul rotației discului până la oprire poate fi determinat prin formula

(3)

unde β este accelerația unghiulară.

După condiția problemei: ω = ω 0 - βΔt, deoarece ω=0, ω 0 = βΔt

Atunci expresia (2) poate fi scrisă ca:

Exemplul 2.2. Două volante sub formă de discuri cu aceleași raze și mase au fost rotite până la viteza de rotațien= 480 rpm și lăsați singuri. Sub acțiunea forțelor de frecare ale arborilor asupra rulmenților, primul s-a oprit dupăt\u003d 80 s, iar al doilea a făcut-oN= 240 de rotații pentru a opri. La ce volant, momentul fortelor de frecare ale arborilor pe rulmenti a fost mai mare si de cate ori.

Vom găsi momentul forțelor spinilor M 1 al primului volant folosind ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație.

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

unde Δt este timpul de acțiune al momentului forțelor de frecare, I \u003d mr 2 - momentul de inerție al volantului, ω 1 \u003d 2πν și ω 2 \u003d 0 sunt vitezele unghiulare inițiale și finale ale volantelor

Apoi

Momentul forțelor de frecare M 2 al celui de-al doilea volant se exprimă prin relația dintre munca A a forțelor de frecare și modificarea energiei sale cinetice ΔE k:

unde Δφ = 2πN este unghiul de rotație, N este numărul de rotații ale volantului.

Atunci unde

O raportul va fi

Cuplul de frecare al celui de-al doilea volant este de 1,33 ori mai mare.

Exemplul 2.3. Masa unui disc solid omogen m, masele sarcinilor m 1 si m 2 (fig.15). Nu există alunecare și frecare a filetului în axa cilindrului. Aflați accelerația maselor și raportul tensiunilor firuluiîn procesul de mişcare.

Nu există alunecare a filetului, prin urmare, atunci când m 1 și m 2 vor face mișcare de translație, cilindrul se va roti în jurul axei care trece prin punctul O. Să presupunem pentru certitudine că m 2 > m 1.

Apoi sarcina m 2 este coborâtă și cilindrul se rotește în sensul acelor de ceasornic. Să notăm ecuațiile de mișcare ale corpurilor incluse în sistem

Primele două ecuații sunt scrise pentru corpuri cu mase m 1 și m 2 care efectuează mișcare de translație, iar a treia ecuație este pentru un cilindru rotativ. În a treia ecuație, în stânga se află momentul total al forțelor care acționează asupra cilindrului (momentul forței T 1 este luat cu semnul minus, deoarece forța T 1 tinde să rotească cilindrul în sens invers acelor de ceasornic). În dreapta, I este momentul de inerție al cilindrului în jurul axei O, care este egal cu

unde R este raza cilindrului; β este accelerația unghiulară a cilindrului.

Deoarece nu există nicio alunecare a firului,
. Luând în considerare expresiile pentru I și β, obținem:

Adunând ecuațiile sistemului, ajungem la ecuație

De aici găsim accelerația A marfă

Din ecuația rezultată se poate observa că tensiunile firului vor fi aceleași, adică. =1 dacă masa cilindrului este mult mai mică decât masa greutăților.

Exemplul 2.4. O bilă goală cu masa m = 0,5 kg are o rază exterioară R = 0,08 m și o rază interioară r = 0,06 m. Bila se rotește în jurul unei axe care trece prin centrul ei. La un moment dat, o forță începe să acționeze asupra mingii, în urma căreia unghiul de rotație al mingii se modifică conform legii
. Determinați momentul forței aplicate.

Rezolvăm problema folosind ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație
. Principala dificultate este determinarea momentului de inerție al bilei goale, iar accelerația unghiulară β se găsește ca
. Momentul de inerție I al unei bile goale este egal cu diferența dintre momentele de inerție ale unei bile cu raza R și ale unei bile cu raza r:

unde ρ este densitatea materialului bilei. Găsim densitatea, cunoscând masa unei bile goale

De aici determinăm densitatea materialului mingii

Pentru momentul forței M obținem următoarea expresie:

Exemplul 2.5. O tijă subțire cu o masă de 300 g și o lungime de 50 cm se rotește cu o viteză unghiulară de 10 s -1 într-un plan orizontal în jurul unei axe verticale care trece prin mijlocul tijei. Aflați viteza unghiulară dacă, în timpul rotației în același plan, tija se mișcă astfel încât axa de rotație să treacă prin capătul tijei.

Folosim legea conservării momentului unghiular

(1)

(J i - momentul de inerție al tijei față de axa de rotație).

Pentru un sistem izolat de corpuri, suma vectorială a momentului unghiular rămâne constantă. Datorită faptului că distribuția masei tijei în raport cu axa de rotație se modifică, momentul de inerție al tijei se modifică și în conformitate cu (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Se știe că momentul de inerție al tijei în jurul axei care trece prin centrul de masă și perpendicular pe tijă este egal cu

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Conform teoremei Steiner

J = J0 +m A 2

(J este momentul de inerție al tijei în jurul unei axe arbitrare de rotație; J 0 este momentul de inerție în jurul unei axe paralele care trece prin centrul de masă; A- distanta de la centrul de masa la axa de rotatie selectata).

Să găsim momentul de inerție în jurul axei care trece prin capătul său și perpendicular pe tijă:

J 2 \u003d J 0 +m A 2, J2 = mℓ2/12 +m(l/2)2 = mℓ2/3. (4)

Să înlocuim formulele (3) și (4) în (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5s -1

Exemplul 2.6 . om de masăm= 60 kg, stând pe marginea platformei cu masa M = 120 kg, rotindu-se prin inerție în jurul unei axe verticale fixe cu o frecvență ν 1 = 12 min -1 , merge în centrul său. Considerând platforma ca un disc rotund omogen, iar persoana ca o masă punctuală, determinați cu ce frecvență ν 2 platforma se va roti apoi.

Dat: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0,2s -1 .

A găsi: v 1

Decizie:În funcție de starea problemei, platforma cu persoana se rotește prin inerție, adică. momentul rezultat al tuturor forțelor aplicate sistemului rotativ este zero. Prin urmare, pentru sistemul „om-platformă”, legea conservării impulsului este îndeplinită

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

Unde
- momentul de inerție al sistemului când o persoană stă pe marginea platformei (am luat în considerare că momentul de inerție al platformei este egal cu (R este raza p
platformă), momentul de inerție al unei persoane la marginea platformei este mR 2).

- momentul de inerție al sistemului când o persoană stă în centrul platformei (am luat în considerare că momentul unei persoane care stă în centrul platformei este egal cu zero). Viteza unghiulară ω 1 = 2π ν 1 și ω 1 = 2π ν 2 .

Înlocuind expresiile scrise în formula (1), obținem

de unde viteza de rotatie dorita

Răspuns:v2 =24 min-1.

Să începem prin a considera rotația corpului în jurul unei axe fixe, pe care o vom numi axa z (Fig. 41.1). Viteza liniară a masei elementare este unde este distanța masei față de axă. Prin urmare, pentru energia cinetică a unei mase elementare se obține expresia

Energia cinetică a unui corp este compusă din energiile cinetice ale părților sale:

Suma din partea dreaptă a acestui raport este momentul de inerție al corpului 1 în jurul axei de rotație. Astfel, energia cinetică a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este

Fie că o forță internă și o forță externă acționează asupra masei (vezi Fig. 41.1). Conform (20.5), aceste forțe vor lucra în timp

Efectuând o permutare ciclică a factorilor în produse mixte ale vectorilor (vezi (2.34)), obținem:

unde N este momentul forței interne relativ la punctul O, N este momentul analog al forței externe.

Însumând expresia (41.2) asupra tuturor maselor elementare, obținem munca elementară efectuată asupra corpului în timpul dt:

Suma momentelor forțelor interne este egală cu zero (vezi (29.12)). Prin urmare, notând momentul total al forțelor externe prin N, ajungem la expresia

(am folosit formula (2.21)).

În cele din urmă, ținând cont că există un unghi prin care corpul se rotește în timp, obținem:

Semnul lucrării depinde de semn, adică de semnul proiecției vectorului N pe direcția vectorului

Deci, atunci când corpul se rotește, forțele interne nu efectuează lucru, în timp ce munca forțelor externe este determinată de formula (41.4).

La formula (41.4) se poate ajunge folosind faptul că munca efectuată de toate forțele aplicate corpului duce la creșterea energiei cinetice a acestuia (vezi (19.11)). Luând diferența ambelor părți ale egalității (41.1), ajungem la relația

Conform ecuației (38.8) deci, înlocuind prin vom ajunge la formula (41.4).

Tabelul 41.1

În tabel. 41.1, formulele mecanicii mișcărilor de rotație sunt comparate cu formule similare ale mecanicii mișcării de translație (mecanica unui punct). Din această comparație este ușor de concluzionat că în toate cazurile rolul masei îl joacă momentul de inerție, rolul forței este momentul forței, rolul momentului este jucat de momentul impulsului etc.

Formulă. (41.1) am obținut pentru cazul când corpul se rotește în jurul unei axe fixe fixate în corp. Acum să presupunem că corpul se rotește în mod arbitrar în jurul unui punct fix care coincide cu centrul său de masă.

Să conectăm rigid sistemul de coordonate carteziene cu corpul, a cărui origine va fi plasată în centrul de masă al corpului. Viteza masei i-a elementare este Prin urmare, pentru energia cinetică a corpului, putem scrie expresia

unde este unghiul dintre vectori Înlocuind un prin și ținând cont de ceea ce obținem:

Scriem produsele scalare în termeni de proiecții ale vectorilor pe axele sistemului de coordonate asociat corpului:

În final, combinând termenii cu aceleași produse ale componentelor vitezei unghiulare și scoțând acești produse din semnele sumelor, obținem: astfel încât formula (41.7) ia forma (comparați cu (41.1)). Când un corp arbitrar se rotește în jurul uneia dintre axele principale de inerție, să spunem că axele și formula (41.7) intră în (41.10.

Prin urmare. energia cinetică a unui corp în rotație este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție și pătratul vitezei unghiulare în trei cazuri: 1) pentru un corp care se rotește în jurul unei axe fixe; 2) pentru un corp care se rotește în jurul uneia dintre axele principale de inerție; 3) pentru un blat. În alte cazuri, energia cinetică este determinată de formulele mai complexe (41.5) sau (41.7).

Luați în considerare mai întâi un corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe OZ cu o viteză unghiulară ω (fig.5.6). Să spargem corpul în mase elementare. Viteza liniară a unei mase elementare este , unde este distanța acesteia față de axa de rotație. Energie kinetică i-acea masă elementară va fi egală cu

.

Prin urmare, energia cinetică a întregului corp este formată din energiile cinetice ale părților sale

.

Avand in vedere ca suma din dreapta acestei relatii reprezinta momentul de inertie al corpului fata de axa de rotatie, obtinem in final

. (5.30)

Formulele pentru energia cinetică a unui corp în rotație (5.30) sunt similare cu formulele corespunzătoare pentru energia cinetică a mișcării de translație a unui corp. Ele sunt obținute de la acestea din urmă prin substituția formală .

În cazul general, mișcarea unui corp rigid poate fi reprezentată ca o sumă de mișcări - translație cu o viteză egală cu viteza centrului de masă al corpului și rotație cu o viteză unghiulară în jurul axei instantanee care trece prin centru de masă. În acest caz, expresia energiei cinetice a corpului ia forma

.

Să aflăm acum munca efectuată de momentul forțelor externe în timpul rotației unui corp rigid. Munca elementară a forțelor externe în timp dt va fi egală cu modificarea energiei cinetice a corpului

Luând diferența din energia cinetică a mișcării de rotație, găsim creșterea acesteia

.

În conformitate cu ecuația de bază a dinamicii pentru mișcarea de rotație

Tinand cont de aceste relatii, reducem expresia pentru munca elementara la forma

unde este proiecția momentului rezultat al forțelor externe pe direcția axei de rotație OZ, este unghiul de rotație al corpului pentru perioada de timp considerată.

Integrând (5.31), obținem o formulă pentru lucrul forțelor externe care acționează asupra unui corp în rotație

Dacă , atunci formula este simplificată

Astfel, munca forțelor exterioare în timpul rotației unui corp rigid în jurul unei axe fixe este determinată de acțiunea proiecției momentului acestor forțe pe o axă dată.

Giroscop

Un giroscop este un corp simetric care se rotește rapid, a cărui axă de rotație își poate schimba direcția în spațiu. Pentru ca axa giroscopului să se poată roti liber în spațiu, giroscopul este plasat în așa-numita suspensie a cardanului (Fig. 5.13). Volanul giroscopului se rotește în cușca inelară interioară în jurul axei C 1 C 2 trecând prin centrul său de greutate. Cușca interioară, la rândul său, se poate roti în cușca exterioară în jurul axei B 1 B 2 perpendicular pe C 1 C 2 . În cele din urmă, pista exterioară se poate roti liber în lagărele de lonjerie în jurul axei A 1 A 2 perpendiculare pe axele C 1 C 2 şi B 1 B 2 . Toate cele trei axe se intersectează într-un punct fix O, numit centru de suspensie sau punctul de sprijin al giroscopului. Giroscopul din cardan are trei grade de libertate și, prin urmare, poate face orice rotație în jurul centrului cardanului. Dacă centrul de suspensie al giroscopului coincide cu centrul său de greutate, atunci momentul de greutate rezultat al tuturor părților giroscopului față de centrul de suspensie este egal cu zero. Un astfel de giroscop se numește echilibrat.

Să luăm acum în considerare cele mai importante proprietăți ale giroscopului, care și-au găsit o largă aplicație în diverse domenii.

1) Sustenabilitate.

Cu orice rotație a raftului giroscopului echilibrat, axa de rotație a acestuia rămâne aceeași direcție în raport cu cadrul de referință al laboratorului. Acest lucru se datorează faptului că momentul tuturor forțelor externe, egal cu momentul forțelor de frecare, este foarte mic și practic nu provoacă o modificare a momentului unghiular al giroscopului, adică.

Deoarece momentul unghiular este îndreptat de-a lungul axei de rotație a giroscopului, orientarea acestuia trebuie să rămână neschimbată.

Dacă o forță externă acționează pentru o perioadă scurtă de timp, atunci integrala care determină creșterea momentului unghiular va fi mică

. (5.34)

Aceasta înseamnă că sub influențele pe termen scurt chiar și ale unor forțe mari, mișcarea unui giroscop echilibrat se schimbă puțin. Giroscopul, așa cum spune, rezistă tuturor încercărilor de a schimba mărimea și direcția momentului său unghiular. Legat de aceasta este stabilitatea remarcabilă pe care o dobândește mișcarea unui giroscop după ce îl aduce în rotație rapidă. Această proprietate a giroscopului este utilizată pe scară largă pentru a controla automat mișcarea aeronavelor, navelor, rachetelor și altor vehicule.

Dacă, totuși, giroscopul este acționat îndelung de un moment al forțelor externe constant în direcție, atunci axa giroscopului se stabilește, în final, în direcția momentului forțelor exterioare. Acest fenomen este folosit în girobusola. Acest dispozitiv este un giroscop, a cărui axă se poate roti liber într-un plan orizontal. Datorită rotației zilnice a Pământului și acțiunii momentului forțelor centrifuge, axa giroscopului se rotește astfel încât unghiul dintre și devine minim (Fig. 5.14). Aceasta corespunde poziției axei giroscopului în planul meridianului.

2). Efect giroscopic.

Dacă o pereche de forțe este aplicată unui giroscop rotativ, având tendința de a-l roti în jurul unei axe perpendiculare pe axa de rotație, atunci acesta se va roti în jurul celei de-a treia axe, perpendicular pe primele două (Fig. 5.15). Acest comportament neobișnuit al giroscopului se numește efect giroscopic. Se explică prin faptul că momentul unei perechi de forțe este direcționat de-a lungul axei O 1 O 1 și o modificare a vectorului cu o valoare în timp va avea aceeași direcție. Ca rezultat, noul vector se va roti în jurul axei O 2 O 2. Astfel, comportamentul aparent nenatural al giroscopului corespunde pe deplin cu legile dinamicii mișcării de rotație.

3). Precesia giroscopului.

Precesia unui giroscop este mișcarea conică a axei sale. Apare atunci când momentul forțelor externe, rămânând constant ca mărime, se rotește simultan cu axa giroscopului, formând tot timpul un unghi drept cu aceasta. Pentru a demonstra precesia, poate servi o roată de bicicletă cu o axă extinsă, adusă în rotație rapidă (Fig. 5.16).

Dacă roata este suspendată de capătul extins al axei, atunci axa acesteia va începe să precede în jurul axei verticale sub acțiunea propriei greutăți. Un blat care se rotește rapid poate servi și ca o demonstrație a precesiei.

Aflați motivele precesiunii giroscopului. Luați în considerare un giroscop dezechilibrat a cărui axă se poate roti liber în jurul unui anumit punct O (Fig. 5.16). Momentul de greutate aplicat giroscopului este egal ca mărime

unde este masa giroscopului, este distanța de la punctul O până la centrul de masă al giroscopului, este unghiul format de axa giroscopului cu verticala. Vectorul este îndreptat perpendicular pe planul vertical care trece prin axa giroscopului.

Sub influența acestui moment, momentul unghiular al giroscopului (începutul său este plasat în punctul O) va primi o creștere în timp, iar planul vertical care trece prin axa giroscopului se va roti cu un unghi. Vectorul este întotdeauna perpendicular pe , prin urmare, fără a se schimba în mărime, vectorul se schimbă doar în direcție. În acest caz, după un timp, poziția relativă a vectorilor și va fi aceeași ca la momentul inițial. Ca rezultat, axa giroscopului se va roti continuu în jurul verticalei, descriind un con. Această mișcare se numește precesiune.

Să determinăm viteza unghiulară a precesiei. Conform Fig.5.16, unghiul de rotație al planului care trece prin axa conului și axa giroscopului este egal cu

unde este momentul unghiular al giroscopului și este creșterea acestuia în timp.

Împărțind la , ținând cont de relațiile și transformările de mai sus, obținem viteza unghiulară a precesiei

. (5.35)

Pentru giroscoapele utilizate în tehnologie, viteza unghiulară a precesiunii este de milioane de ori mai mică decât viteza de rotație a giroscopului.

În concluzie, observăm că fenomenul de precesiune se observă și la atomi datorită mișcării orbitale a electronilor.

Exemple de aplicare a legilor dinamicii

La rotire

1. Luați în considerare câteva exemple de legea conservării momentului unghiular, care poate fi implementată folosind bancul Jukovski. În cel mai simplu caz, banca Zhukovsky este o platformă (scaun) în formă de disc care se poate roti liber în jurul unei axe verticale pe rulmenți cu bile (Fig. 5.17). Demonstratorul stă sau stă în picioare pe bancă, după care este adus în mișcare de rotație. Datorită faptului că forțele de frecare datorate utilizării rulmenților sunt foarte mici, momentul unghiular al sistemului format dintr-un banc și un demonstrator despre axa de rotație nu se poate schimba în timp dacă sistemul este lăsat singur. Dacă demonstrantul ține gantere grele în mâini și își întinde brațele în lateral, atunci va crește momentul de inerție al sistemului și, prin urmare, viteza unghiulară de rotație trebuie să scadă, astfel încât momentul unghiular să rămână neschimbat.

Conform legii conservării momentului unghiular, compunem o ecuație pentru acest caz

unde este momentul de inerție al persoanei și al băncii și este momentul de inerție al ganterelor în prima și a doua poziție și sunt vitezele unghiulare ale sistemului.

Viteza unghiulară de rotație a sistemului la creșterea ganterelor în lateral va fi egală cu

.

Munca efectuată de o persoană atunci când mișcă ganterele poate fi determinată printr-o modificare a energiei cinetice a sistemului

2. Să mai dăm un experiment cu banca lui Jukovski. Demonstratorul stă sau stă în picioare pe o bancă și i se oferă o roată care se rotește rapid cu o axă îndreptată vertical (Fig. 5.18). Demonstratorul rotește apoi roata 180 0 . În acest caz, modificarea momentului unghiular al roții este transferată în întregime pe bancă și demonstrator. Ca urmare, banca, împreună cu demonstratorul, intră în rotație cu o viteză unghiulară determinată pe baza legii conservării momentului unghiular.

Momentul unghiular al sistemului în starea inițială este determinat doar de momentul unghiular al roții și este egal cu

unde este momentul de inerție al roții, este viteza unghiulară de rotație a acesteia.

După întoarcerea roții la un unghi de 180 0, momentul de impuls al sistemului va fi deja determinat de suma momentului de impuls al bancului cu persoana și momentul de impuls al roții. Ținând cont de faptul că vectorul de impuls al roții și-a schimbat direcția în sens opus, iar proiecția sa pe axa verticală a devenit negativă, obținem

,

unde este momentul de inerție al sistemului „om-platformă”, este viteza unghiulară de rotație a bancului cu persoana.

Conform legii conservării momentului unghiular

și .

Ca urmare, găsim viteza de rotație a bancului

3. Masa de tijă subțire m si lungime l se rotește cu o viteză unghiulară ω=10 s -1 într-un plan orizontal în jurul unei axe verticale care trece prin mijlocul tijei. Continuând să se rotească în același plan, tija se mișcă astfel încât axa de rotație să treacă acum prin capătul tijei. Găsiți viteza unghiulară în al doilea caz.

În această problemă, datorită faptului că distribuția masei tijei în raport cu axa de rotație se modifică, se modifică și momentul de inerție al tijei. În conformitate cu legea conservării momentului unghiular al unui sistem izolat, avem

Aici - momentul de inerție al tijei în jurul axei care trece prin mijlocul tijei; - momentul de inerție al tijei în jurul axei care trece prin capătul acesteia și găsit prin teorema lui Steiner.

Înlocuind aceste expresii în legea conservării momentului unghiular, obținem

,

.

4. Lungimea tijei L=1,5 m și greutate m 1=10 kg este articulat la capătul superior. Un glonț lovește centrul tijei cu o masă m2=10 g, zboară orizontal cu o viteză de =500 m/s, și se blochează în tijă. În ce unghi se va abate tija după impact?

Să ne imaginăm în fig. 5.19. sistem de corpuri care interacționează „tijă-glonț”. Momentele forțelor externe (gravitație, reacția axelor) în momentul impactului sunt egale cu zero, deci putem folosi legea conservării momentului unghiular

Momentul unghiular al sistemului înainte de impact este egal cu momentul unghiular al glonțului în raport cu punctul de suspensie

Momentul unghiular al sistemului după un impact neelastic este determinat de formulă

,

unde este momentul de inerție al tijei în raport cu punctul de suspensie, este momentul de inerție al glonțului, este viteza unghiulară a tijei cu glonțul imediat după impact.

Rezolvând ecuația rezultată după înlocuire, găsim

.

Să folosim acum legea conservării energiei mecanice. Să echivalăm energia cinetică a tijei după ce glonțul o lovește cu energia sa potențială în punctul cel mai înalt al ascensiunii:

,

unde este înălțimea centrului de masă al sistemului dat.

După ce am efectuat transformările necesare, obținem

Unghiul de deviere al tijei este legat de valoarea prin raport

.

După efectuarea calculelor, obținem =0,1p=18 0 .

5. Determinaţi acceleraţia corpurilor şi tensiunea firului la maşina Atwood, presupunând că (Fig. 5.20). Momentul de inerție al blocului în jurul axei de rotație este eu, raza blocului r. Ignorați masa firului.

Să aranjam toate forțele care acționează asupra sarcinilor și blocului și să compunem ecuațiile de dinamică pentru ele

Dacă nu există nicio alunecare a firului de-a lungul blocului, atunci accelerația liniară și unghiulară sunt legate de relația

Rezolvând aceste ecuații, obținem

Atunci găsim T 1 și T 2 .

6. Un fir este atașat de scripetele crucii Oberbeck (Fig. 5.21), la care o sarcină de masă M= 0,5 kg. Determinați cât timp durează o încărcătură să cadă de la înălțime h=1 m până la poziția de jos. Raza scripetelui r\u003d 3 cm. Patru greutăți de masă m=250g fiecare la distanta R= 30 cm de axa sa. Se neglijează momentul de inerție al crucii în sine și al scripetelui în comparație cu momentul de inerție al greutăților.

Energia cinetică este o mărime aditivă. Prin urmare, energia cinetică a unui corp care se mișcă într-un mod arbitrar este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor n puncte materiale în care acest corp poate fi împărțit mental:

Dacă corpul se rotește în jurul unei axe fixe z cu o viteză unghiulară, atunci viteza liniară a punctului i , Ri este distanța până la axa de rotație. Prin urmare,

Comparând și se poate observa că momentul de inerție al corpului I este o măsură a inerției în timpul mișcării de rotație, la fel cum masa m este o măsură a inerției în timpul mișcării de translație.

În cazul general, mișcarea unui corp rigid poate fi reprezentată ca suma a două mișcări - de translație cu o viteză vc și de rotație cu o viteză unghiulară ω în jurul axei instantanee care trece prin centrul de inerție. Apoi energia cinetică totală a acestui corp

Aici Ic este momentul de inerție în jurul axei instantanee de rotație care trece prin centrul de inerție.

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație.

Dinamica rotațională

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație:

sau M=Je, unde M este momentul forței M=[rF], J- momentul de inerție este momentul de impuls al corpului.

dacă M(extern)=0 - legea conservării momentului unghiular. - energia cinetică a unui corp în rotație.

munca rotativa.

Legea conservării momentului unghiular.

Momentul unghiular (momentul) al unui punct material A în raport cu un punct fix O este o mărime fizică determinată de un produs vectorial:

unde r este vectorul rază trasat din punctul O în punctul A, p=mv este impulsul punctului material (Fig. 1); L este un pseudovector, a cărui direcție coincide cu direcția mișcării de translație a șurubului drept în timpul rotației acestuia de la r la p.

Modulul vectorului de impuls

unde α este unghiul dintre vectorii r și p, l este umărul vectorului p față de punctul O.

Momentul unghiular relativ la axa fixă ​​z este valoarea scalară Lz, care este egală cu proiecția pe această axă a vectorului moment unghiular, definit față de un punct arbitrar O al acestei axe. Momentul unghiular Lz nu depinde de poziția punctului O pe axa z.

Când un corp absolut rigid se rotește în jurul unei axe fixe z, fiecare punct al corpului se mișcă de-a lungul unui cerc de rază constantă ri cu o viteză vi. Viteza vi și impulsul mivi sunt perpendiculare pe această rază, adică raza este brațul vectorului mivi. Deci putem scrie că momentul unghiular al unei particule individuale este

și este îndreptată de-a lungul axei în direcția determinată de regula șurubului drept.

Momentul unui corp rigid în raport cu axa este suma impulsului particulelor individuale:

Folosind formula vi = ωri, obținem

Astfel, momentul unghiular al unui corp rigid în jurul unei axe este egal cu momentul de inerție al corpului în jurul aceleiași axe, înmulțit cu viteza unghiulară. Să diferențiem ecuația (2) în funcție de timp:

Această formulă este o altă formă a ecuației dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe: derivata momentului unghiular al unui corp rigid în jurul unei axe este egală cu momentul forțelor în jurul aceleiași axe.

Se poate demonstra că egalitatea vectorială este valabilă

Într-un sistem închis, momentul forțelor externe este M = 0 și de unde

Expresia (4) este legea conservării momentului unghiular: momentul unghiular al unui sistem închis este conservat, adică nu se modifică în timp.

Legea conservării momentului unghiular, precum și legea conservării energiei este o lege fundamentală a naturii. Este asociat cu proprietatea de simetrie a spațiului - izotropia acestuia, adică cu invarianța legilor fizice în ceea ce privește alegerea direcției axelor de coordonate ale sistemului de referință (în ceea ce privește rotația unui sistem închis în spațiu prin orice unghi).

Aici vom demonstra legea conservării momentului unghiular folosind bancul Jukovski. O persoană care stă pe o bancă, se rotește în jurul unei axe verticale și ține gantere în mâinile întinse (Fig. 2), este rotită de un mecanism extern cu o viteză unghiulară ω1. Dacă o persoană apasă ganterele pe corp, atunci momentul de inerție al sistemului va scădea. Dar momentul forțelor externe este egal cu zero, momentul unghiular al sistemului este păstrat și viteza unghiulară de rotație ω2 crește. În mod similar, gimnastul, în timp ce sare peste cap, își apropie brațele și picioarele de corp pentru a-și reduce momentul de inerție și, prin urmare, a crește viteza unghiulară de rotație.

Presiune în lichid și gaz.

Moleculele de gaz, făcând o mișcare haotică, haotică, nu sunt legate sau mai degrabă slab legate de forțele de interacțiune, motiv pentru care se mișcă aproape liber și, ca urmare a ciocnirilor, se împrăștie în toate direcțiile, în timp ce umplu întregul volum care le este oferit, adică volumul de gaz este determinat de volumul vasului ocupat de gaz.

Iar lichidul, având un anumit volum, ia forma vasului în care este închis. Dar, spre deosebire de gazele din lichide, distanța medie dintre molecule rămâne constantă în medie, astfel încât lichidul are un volum aproape constant.

Proprietățile lichidelor și gazelor sunt foarte diferite în multe privințe, dar în mai multe fenomene mecanice proprietățile lor sunt determinate de aceiași parametri și ecuații identice. Din acest motiv, hidroaeromecanica este o ramură a mecanicii care studiază echilibrul și mișcarea gazelor și lichidelor, interacțiunea dintre acestea și între corpurile solide care curg în jurul lor, adică. se aplică o abordare unificată a studiului lichidelor și gazelor.

În mecanică, lichidele și gazele sunt considerate cu un grad ridicat de precizie drept continue, distribuite continuu în porțiunea de spațiu ocupată de acestea. În gaze, densitatea depinde în mod semnificativ de presiune. Stabilit din experiență. că compresibilitatea unui lichid și a unui gaz poate fi adesea neglijată și este indicat să folosim un singur concept - incompresibilitatea unui lichid - un lichid cu aceeași densitate peste tot, care nu se modifică în timp.

Îl așezăm într-o placă subțire în repaus, ca urmare, părți din lichid situate pe părțile opuse ale plăcii vor acționa asupra fiecăruia dintre elementele sale ΔS cu forțe ΔF, care vor fi egale în valoare absolută și îndreptate perpendicular pe amplasament. ΔS, indiferent de orientarea locului, altfel prezența forțelor tangențiale ar pune în mișcare particulele de lichid (Fig. 1)

Mărimea fizică determinată de forța normală care acționează din partea lichidului (sau gazului) pe unitate de suprafață se numește presiune p / lichid (sau gaz): p=ΔF / ΔS.

Unitatea de măsură a presiunii este pascal (Pa): 1 Pa este egal cu presiunea creată de o forță de 1 N, care este distribuită uniform pe o suprafață de 1 m2 normală acesteia (1 Pa = 1 N/m2).

Presiunea la echilibrul lichidelor (gazelor) respectă legea lui Pascal: presiunea în orice loc a unui fluid în repaus este aceeași în toate direcțiile, iar presiunea este transmisă în mod egal în întregul volum ocupat de fluidul în repaus.

Să investigăm efectul greutății unui fluid asupra distribuției presiunii în interiorul unui fluid incompresibil staționar. Când un lichid este în echilibru, presiunea de-a lungul oricărei linii orizontale este întotdeauna aceeași, altfel nu ar exista echilibru. Aceasta înseamnă că suprafața liberă a unui fluid în repaus este întotdeauna orizontală (nu ținem cont de atracția fluidului de către pereții vasului). Dacă un fluid este incompresibil, atunci densitatea fluidului este independentă de presiune. Apoi, cu secțiunea transversală S a coloanei de lichid, înălțimea sa h și densitatea ρ, greutatea este P=ρgSh, în timp ce presiunea pe baza inferioară este: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

adică presiunea se modifică liniar cu altitudinea. Presiunea ρgh se numește presiune hidrostatică.

Conform formulei (1), forța de presiune asupra straturilor inferioare ale lichidului va fi mai mare decât asupra celor superioare, prin urmare, o forță determinată de legea lui Arhimede acţionează asupra unui corp scufundat într-un lichid (gaz): plutitor în sus. forță egală cu greutatea lichidului (gazului) deplasat de corp: FA=ρgV, unde ρ este densitatea lichidului, V este volumul corpului scufundat în lichid.