În geometrie hipercub- Acest n-analogia dimensională a unui pătrat ( n= 2) și cubul ( n= 3). Aceasta este o figură convexă închisă, constând din grupuri de linii paralele situate pe marginile opuse ale figurii și conectate între ele în unghi drept.

Această cifră este cunoscută și ca tesseract(teseract). Teseract este la cub, așa cum cubul este la pătrat. Mai formal, un tesseract poate fi descris ca un politop cu patru dimensiuni convex obișnuit (politop) a cărui limită constă din opt celule cubice.

Conform Oxford English Dictionary, cuvântul „tesseract” a fost inventat în 1888 de Charles Howard Hinton și folosit în cartea sa A New Era of Thought. Cuvântul a fost format din grecescul „τεσσερες ακτινες” („patru raze”), este sub forma a patru axe de coordonate. În plus, în unele surse, a fost numită aceeași cifră tetracub(tetracub).

n-hipercubul dimensional mai este numit n-cub.

Un punct este un hipercub de dimensiunea 0. Dacă deplasați un punct cu o unitate de lungime, obțineți un segment de unitate de lungime - un hipercub de dimensiunea 1. În plus, dacă deplasați un segment cu o unitate de lungime într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului se obține un cub - un hipercub de dimensiunea 2. Deplasând pătratul cu o unitate de lungime în direcția perpendiculară pe planul pătratului, se obține un cub - un hipercub de dimensiunea 3. Acest proces poate fi generalizat la orice număr de dimensiuni. De exemplu, dacă mutați un cub cu o unitate de lungime în a patra dimensiune, obțineți un tesseract.

Familia hipercuburilor este una dintre puținele poliedre regulate care pot fi reprezentate în orice dimensiune.

Elemente de hipercub

Hipercubul de dimensiune n are 2 n„laturi” (linia unidimensională are 2 puncte; pătrat bidimensional - 4 laturi; cub tridimensional - 6 fețe; tesseract cu patru dimensiuni - 8 celule). Numărul de vârfuri (puncte) ale hipercubului este 2 n(de exemplu, pentru un cub - 2 3 vârfuri).

Cantitate m-hipercuburi dimensionale la limita n-cubul este egal

De exemplu, pe marginea unui hipercub sunt 8 cuburi, 24 de pătrate, 32 de muchii și 16 vârfuri.

Elemente de hipercuburi

n-cub	Nume	Vertex (0-față)	Margine (1-față)	margine (2 fețe)	Celulă (3 fețe)	(4 fețe)	(5 fețe)	(6 fețe)	(7 fețe)	(8 fețe)
0-cub	Punct	1
1-cub	Segment de linie	2	1
2-cub	Pătrat	4	4	1
3-cub	cub	8	12	6	1
4-cub	tesseract	16	32	24	8	1
5-cub	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-cub	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-cub	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-cub	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-cub	Eneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Proiecția avionului

Formarea unui hipercub poate fi reprezentată în felul următor:

• Două puncte A și B pot fi conectate pentru a forma segmentul de linie AB.
• Două segmente paralele AB și CD pot fi conectate pentru a forma un pătrat ABCD.
• Două pătrate paralele ABCD și EFGH pot fi unite pentru a forma cubul ABCDEFGH.
• Două cuburi paralele ABCDEFGH și IJKLMNOP pot fi conectate pentru a forma un hipercub ABCDEFGHIJKLMNOP.

Această ultimă structură nu este ușor de imaginat, dar este posibil să se înfățișeze proiecția ei pe două sau trei dimensiuni. Mai mult decât atât, proiecțiile pe un plan 2D pot fi mai utile prin rearanjarea pozițiilor vârfurilor proiectate. În acest caz, se pot obține imagini care nu mai reflectă relațiile spațiale ale elementelor din interiorul teseractului, ci ilustrează structura conexiunilor de vârf, ca în exemplele de mai jos.

Prima ilustrație arată cum se formează, în principiu, un tesseract prin unirea a două cuburi. Această schemă este similară cu schema de creare a unui cub din două pătrate. A doua diagramă arată că toate marginile teseractului au aceeași lungime. Această schemă este, de asemenea, forțată să caute cuburi conectate între ele. În cea de-a treia diagramă, vârfurile teseractului sunt situate în conformitate cu distanțele de-a lungul fețelor față de punctul de jos. Această schemă este interesantă deoarece este folosită ca schemă de bază pentru topologia rețelei de conectare a procesoarelor în organizarea calculului paralel: distanța dintre oricare două noduri nu depășește 4 lungimi de margine și există multe moduri diferite de a echilibra sarcina.

Hipercubul în art

Hipercubul a apărut în science fiction din 1940, când Robert Heinlein, în povestea „The House That Teal Built” („And He Built a Crooked House”), a descris o casă construită în formă de tesseract. În poveste, acest Mai departe, această casă este pliată, transformându-se într-un tesseract cu patru dimensiuni. După aceea, hipercubul apare în multe cărți și romane.

Cubul 2: Hypercube este aproximativ opt oameni prinși într-o rețea de hipercuburi.

Tabloul Răstignirea (Corpus Hypercubus), 1954 de Salvador Dali îl înfățișează pe Iisus răstignit pe o scanare a teseractelor. Acest tablou poate fi văzut la Museum of Art (Metropolitan Museum of Art) din New York.

Concluzie

Hipercubul este unul dintre cele mai simple obiecte cu patru dimensiuni, pe exemplul căruia se poate observa toată complexitatea și neobișnuirea celei de-a patra dimensiuni. Și ceea ce pare imposibil în trei dimensiuni este posibil în patru, de exemplu, figuri imposibile. Deci, de exemplu, barele unui triunghi imposibil în patru dimensiuni vor fi conectate în unghi drept. Și această figură va arăta așa din toate punctele de vedere și nu va fi distorsionată, spre deosebire de implementările triunghiului imposibil în spațiul tridimensional (vezi Fig.

Puncte (±1, ±1, ±1, ±1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:

Teseractul este limitat de opt hiperplane, a căror intersecție cu teseractul însuși își definește fețele tridimensionale (care sunt cuburi obișnuite). Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, un tesseract are 8 fețe 3D, 24 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.

Descriere populară

Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta hipercubul fără a părăsi spațiul tridimensional.

În „spațiul” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Veți obține un CDBA pătrat. Repetând această operație cu un plan, obținem un cub tridimensional CDBAGHFE. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul CDBAGHFEKLJIOPNM.

Construirea unui tesseract pe un plan

Segmentul unidimensional AB este latura pătratului bidimensional CDBA, pătratul este latura cubului CDBAGHFE, care, la rândul său, va fi latura hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de limită, un pătrat are patru vârfuri, iar un cub are opt. Astfel, într-un hipercub cu patru dimensiuni, vor exista 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 vârfuri deplasate în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - câte 12 oferă pozițiile inițiale și finale ale cubului original, iar încă 8 muchii „desenează” opt dintre vârfurile sale care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele hipercubului. În spațiul bidimensional, este unul (pătratul însuși), cubul are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și alte patru vor descrie laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate din douăsprezece dintre muchiile sale.

Deoarece laturile unui pătrat sunt 4 segmente unidimensionale, iar laturile (fețele) unui cub sunt 6 pătrate bidimensionale, așadar pentru „cubul cu patru dimensiuni” (teseract) laturile sunt 8 cuburi tridimensionale. Spațiile perechilor opuse de cuburi tesseract (adică spațiile tridimensionale cărora le aparțin aceste cuburi) sunt paralele. În figură, acestea sunt cuburi: CDBAGHFE și KLJIOPNM, CDBAKLJI și GHFEOPNM, EFBAMNJI și GHDCOPLK, CKIAGOME și DLJBHPNF.

În mod similar, putem continua raționamentul pentru hipercuburi de un număr mai mare de dimensiuni, dar este mult mai interesant de văzut cum ne va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, locuitorii spațiului tridimensional. Să folosim pentru aceasta metoda deja cunoscută a analogiilor.

Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea feței. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (fețele sale apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine – fețe tridimensionale – vor fi proiectate pe spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați un cub nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.

Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea unei fețe, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în viitor vor arăta ca o figură destul de complexă. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.

Tăiind șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale, plus încă unul - fața opusă acesteia. O dezvoltare tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi care „cresc” din acesta, plus încă unul – „hiperfața” finală.

Proprietățile unui tesseract sunt o extensie a proprietăților figurilor geometrice de o dimensiune mai mică într-un spațiu cu patru dimensiuni.

proiecții

către spațiul bidimensional

Această structură este greu de imaginat, dar este posibil să proiectezi un tesseract în spații 2D sau 3D. În plus, proiecția pe un plan facilitează înțelegerea locației vârfurilor hipercubului. În acest fel este posibil să se obțină imagini care nu mai reflectă relațiile spațiale din cadrul unui tesseract, dar care ilustrează structura conexiunii vârfurilor, ca în următoarele exemple:

A treia imagine prezintă teseractul în izometrie, relativ la punctul de construcție. Această vedere este de interes atunci când se folosește tesseract ca bază pentru o rețea topologică pentru a lega mai multe procesoare în calcul paralel.

către spațiul tridimensional

Una dintre proiecțiile teseractului pe spațiul tridimensional este două cuburi tridimensionale imbricate, ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin segmente. Cuburile interioare și exterioare au dimensiuni diferite în spațiul 3D, dar sunt cuburi egale în spațiul 4D. Pentru a înțelege egalitatea tuturor cuburilor teseractului, a fost creat un model rotativ al teseractului.

• Șase piramide trunchiate de-a lungul marginilor teseractului sunt imagini de șase cuburi egale. Cu toate acestea, aceste cuburi sunt pentru tesseract, așa cum pătratele (fețele) sunt pentru cub. Dar, de fapt, un tesseract poate fi împărțit într-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub poate fi împărțit într-un număr infinit de pătrate, sau un pătrat poate fi împărțit într-un număr infinit de segmente.

O altă proiecție interesantă a teseractului în spațiul tridimensional este un dodecaedru rombic cu cele patru diagonale desenate, conectând perechi de vârfuri opuse la unghiuri mari de romburi. În acest caz, 14 din cele 16 vârfuri ale teseractului sunt proiectate în 14 vârfuri ale dodecaedrului rombic, iar proiecțiile celor 2 rămase coincid în centrul acestuia. Într-o astfel de proiecție pe spațiul tridimensional, egalitatea și paralelismul tuturor laturilor unidimensionale, bidimensionale și tridimensionale sunt păstrate.

pereche stereo

O stereopereche a unui tesseract este reprezentată ca două proiecții în spațiul tridimensional. Această reprezentare a teseractului a fost concepută pentru a reprezenta adâncimea ca o a patra dimensiune. Perechea stereo este vizualizată astfel încât fiecare ochi să vadă doar una dintre aceste imagini, apare o imagine stereoscopică care reproduce adâncimea teseractului.

Desfășurarea teseractului

Suprafața unui tesseract poate fi desfășurată în opt cuburi (similar cu modul în care suprafața unui cub poate fi desfășurată în șase pătrate). Există 261 de desfășurări diferite ale teseractului. Desfășurările unui teseract pot fi calculate prin trasarea colțurilor conectate pe grafic.

Teseract în art

• În New Plain a lui Edwine A. Abbott, hipercubul este naratorul.
• Într-un episod din Aventurile lui Jimmy Neutron, „geniul băiat” Jimmy inventează un hipercub cu patru dimensiuni identic cu cutia pliabilă din romanul Glory Road (1963) de Robert Heinlein.
• Robert E. Heinlein a menționat hipercuburi în cel puțin trei povești științifico-fantastice. În Casa celor patru dimensiuni (The House That Teel Built), el a descris o casă construită ca o desfășurare a unui teseract, iar apoi, din cauza unui cutremur, s-a „format” în a patra dimensiune și a devenit un „adevărat” tesseract.
• În romanul Glory Road de Heinlein, este descrisă o cutie hiperdimensională care era mai mare la interior decât la exterior.
• Povestea lui Henry Kuttner „All Borog’s Tenals” descrie o jucărie educativă pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.
• În romanul lui Alex Garland ( ), termenul „tesseract” este folosit pentru desfășurarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni, mai degrabă decât hipercubul în sine. Aceasta este o metaforă menită să arate că sistemul de cunoaștere ar trebui să fie mai larg decât cel de cunoaștere.
• Intriga din The Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi legate.
• Serialul TV Andromeda folosește generatoare de teseract ca dispozitiv de conspirație. Ele sunt menite în primul rând să controleze spațiul și timpul.
• Pictura „Răstignirea” (Corpus Hypercubus) de Salvador Dali ().
• Cartea de benzi desenate Nextwave descrie un vehicul care include 5 zone tesseract.
• În albumul Voivod Nothingface, una dintre melodii se numește „În hipercubul meu”.
• În romanul lui Anthony Pierce Route Cube, una dintre lunile orbitale ale IDA este numită tesseract care a fost comprimat în 3 dimensiuni.
• În serialul „Școală” Black Hole „” în al treilea sezon există un episod „Tesseract”. Lucas apasă butonul secret și școala începe să „prindă formă ca un teseract matematic”.
• Termenul „tesseract” și termenul „tesse” derivat din acesta se găsesc în povestea „Wrinkle of Time” a lui Madeleine L'Engle.
• TesseracT este numele unui grup de djent britanic.
• În seria de filme Marvel Cinematic Universe, Tesseract este un element cheie al intrigii, un artefact cosmic în formă de hipercub.
• În povestea lui Robert Sheckley „Miss Mouse and the Fourth Dimension”, un scriitor ezoteric, o cunoștință a autorului, încearcă să vadă tesseract, căutând ore în șir la dispozitivul pe care l-a proiectat: o minge pe un picior cu tije înfipte în el, pe care cuburi sunt plantate, lipite cu tot felul de simboluri ezoterice. Povestea menționează opera lui Hinton.
• În filmele Primul răzbunător, Răzbunătorii. Tesseract este energia întregului univers

Alte nume

• Hexadecachoron (engleză) Hexadecachoron)
• Octochoron (engleză) Octachoron)
• tetracub
• 4-cub
• Hypercube (dacă nu este specificat numărul de dimensiuni)

Note

Literatură

• Charles H Hinton. A patra dimensiune, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Carnavalul matematic, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Concepte de matematică modernă, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Legături

In rusa

• Programul Transformator4D. Formarea modelelor de proiecții tridimensionale ale obiectelor cu patru dimensiuni (inclusiv Hypercube).
• Un program care implementează construcția unui tesseract și toate transformările sale afine, cu surse C++.

În limba engleză

• Mushware Limited este un program de ieșire tesseract ( Tesseract Trainer, licențiat conform GPLv2) și un shooter 4D la persoana întâi ( Adanaxis; grafică, mai ales tridimensională; există o versiune GPL în arhivele OS).

Poliedre
Corect (solide platonice)
Dodecaedru stelat Icosidodecaedru stelat Icosaedru stelat Poliedru stelat Octaedru stelat
convex	Solide arhimediene Cuboctaedru Icosidodecaedru Tetraedru trunchiat Octaedru trunchiat Icosaedru trunchiat Cub trunchiat Dodecaedru trunchiat Rombicuboctaedru Romboicosidodecaedru Romboicosidodecaedru Cuboctaedru trunchiat Romboctaedru trunchiat Cosidoedru-cuboctaedru trunchiat S-cuboctaedru trunchiat-cosidodecaedru trunchiat organismele catalane Rombododecaedru Rombotriacontaedru Triakistetraedru Tetrakishexaedru Pentakisdodecaedru Triakisoctaedru Triakisicosaedru Icositetraedru deltoidal Hexecontaedru deltoidal Icositetraedru pentagonal Hexecontaedru pentagonal Disdakisdodecaedru Disdakisdodecaedru Fără simetrie spațială completă Prismă piramidală Bipiramidă Antiprismă Zonoedru Paralelepiped Romboedru Prismatoid Piramidă trunchiată Pentagondodecaedru Paraleloedru
formule, teoreme, teorii
Alte

Dacă ești fan al filmelor Avengers, primul lucru care ți-ar putea veni în minte când auzi cuvântul „Tesseract” este vasul transparent în formă de cub al Pietrei Infinitului care conține o putere nelimitată.

Pentru fanii Universului Marvel, Tesseract este un cub albastru strălucitor, din care oamenii de pe Pământ, ci și de pe alte planete înnebunesc. De aceea, toți Răzbunătorii s-au unit pentru a-i proteja pe pământeni de forțele extrem de distructive ale Teseractului.

Ceea ce trebuie spus însă este următorul: un tesseract este un concept geometric real, mai precis, o formă care există în 4D. Nu este doar un cub albastru din The Avengers... este un concept real.

Un tesseract este un obiect în 4 dimensiuni. Dar înainte de a-l explica în detaliu, să începem de la început.

Ce este o „măsurare”?

Toată lumea a auzit termenii 2D și 3D, reprezentând obiecte bidimensionale sau tridimensionale ale spațiului. Dar care sunt acestea?

O dimensiune este doar o direcție în care poți merge. De exemplu, dacă desenați o linie pe o bucată de hârtie, puteți merge la stânga/dreapta (axa x) sau în sus/jos (axa y). Deci spunem că hârtia este bidimensională, deoarece poți merge doar în două direcții.

Există un sentiment de profunzime în 3D.

Acum, în lumea reală, pe lângă cele două direcții menționate mai sus (stânga/dreapta și sus/jos), puteți intra și ieși. În consecință, se adaugă un sentiment de profunzime în spațiul 3D. De aceea spunem că viața reală este tridimensională.

Un punct poate reprezenta 0 dimensiuni (pentru că nu se mișcă în nicio direcție), o linie reprezintă 1 dimensiune (lungime), un pătrat reprezintă 2 dimensiuni (lungime și lățime), iar un cub reprezintă 3 dimensiuni (lungime, lățime și înălțime). ).

Luați un cub 3D și înlocuiți fiecare față (care este în prezent un pătrat) cu un cub. Așadar! Forma pe care o obțineți este teseract.

Ce este un tesseract?

Mai simplu spus, un tesseract este un cub în spațiu cu 4 dimensiuni. De asemenea, puteți spune că acesta este echivalentul 4D al unui cub. Aceasta este o formă 4D în care fiecare față este un cub.

O proiecție 3D a unui tesseract care efectuează o rotație dublă în jurul a două plane ortogonale.
Imagine: Jason Hise

Iată o modalitate simplă de a conceptualiza dimensiunile: un pătrat este bidimensional; astfel încât fiecare dintre colțurile sale are 2 linii care se extind de la el la 90 de grade unul la celălalt. Cubul este 3D, astfel încât fiecare dintre colțurile sale are 3 linii care ies de pe el. La fel, tesseractul este o formă 4D, astfel încât fiecare colț are 4 linii care se extind din el.

De ce este dificil să-ți imaginezi un tesseract?

Deoarece noi, ca oameni, am evoluat pentru a vizualiza obiectele în trei dimensiuni, orice intră în dimensiuni suplimentare, cum ar fi 4D, 5D, 6D etc., nu are prea mult sens pentru noi, deoarece nu le putem vizualiza deloc. Creierul nostru nu poate înțelege a 4-a dimensiune în spațiu. Pur și simplu nu ne putem gândi la asta.

Hipercubul și Solidele platonice

Simulați un icosaedru trunchiat („minge de fotbal”) în sistemul „Vector”.
unde fiecare pentagon este delimitat de hexagoane

Icosaedru trunchiat poate fi obținut prin tăierea a 12 vârfuri pentru a forma fețe sub formă de pentagoane regulate. În acest caz, numărul de vârfuri ale noului poliedru crește de 5 ori (12 × 5 = 60), 20 de fețe triunghiulare se transformă în hexagoane regulate (în total fețele devine 20+12=32), A numărul muchiilor crește la 30+12×5=90.

Etape pentru construirea unui icosaedru trunchiat în sistemul Vector

Figuri în spațiu 4-dimensional.

--à

--à ?

De exemplu, dat un cub și un hipercub. Există 24 de fețe într-un hipercub. Aceasta înseamnă că un octaedru cu 4 dimensiuni va avea 24 de vârfuri. Deși nu, hipercubul are 8 fețe de cuburi - în fiecare centru este un vârf. Aceasta înseamnă că un octaedru cu 4 dimensiuni va avea 8 vârfuri ale celui mai ușor.

octaedru cu 4 dimensiuni. Este format din opt tetraedre echilaterale și egale,
conectate câte patru la fiecare vârf.

Orez. O încercare de a simula
hiperbile-hipersferă în sistemul „Vector”.

Fețe față - spate - bile fără distorsiuni. Alte șase bile - pot fi specificate prin elipsoide sau suprafețe pătratice (prin 4 linii de contur ca generatoare) sau prin fețe (definite mai întâi prin generatoare).

Mai multe trucuri pentru a „construi” o hipersferă
- aceeași „minge de fotbal” în spațiul 4-dimensional

Anexa 2

Pentru poliedre convexe, există o proprietate care leagă numărul vârfurilor, muchiilor și fețelor sale, demonstrată în 1752 de Leonhard Euler și numită teorema lui Euler.

Înainte de a-l formula, luați în considerare poliedrele cunoscute nouă și completați următorul tabel, în care B este numărul de vârfuri, P - muchii și G - fețe ale unui poliedru dat:

Numele poliedrului
piramida triunghiulara
piramida patruunghiulara
prisma triunghiulara
prismă pătrangulară
n-piramida cărbunelui	n+1	2n	n+1
n-prismă de carbon	2n	3n	n+2
n-carbon trunchiat piramidă	2n	3n	n+2

Din acest tabel se vede direct că pentru toate poliedrele alese este valabilă egalitatea B - P + T = 2. Rezultă că această egalitate este adevărată nu numai pentru aceste poliedre, ci și pentru un poliedru convex arbitrar.

teorema lui Euler. Pentru orice poliedru convex, egalitatea

V - R + G \u003d 2,

unde B este numărul de vârfuri, P este numărul de muchii și G este numărul de fețe ale poliedrului dat.

Dovada. Pentru a demonstra această egalitate, imaginați-vă suprafața unui poliedru dat dintr-un material elastic. Să ștergem (decupăm) una dintre fețele ei și să întindem suprafața rămasă pe un plan. Obținem un poligon (format din muchiile feței îndepărtate a poliedrului), împărțit în poligoane mai mici (formate din fețele rămase ale poliedrului).

Rețineți că poligoanele pot fi deformate, mărite, reduse sau chiar îndoite laturile lor, atâta timp cât laturile nu se rupe. Numărul de vârfuri, muchii și fețe nu se va modifica.

Să demonstrăm că împărțirea rezultată a unui poligon în poligoane mai mici satisface egalitatea

(*) V - R + G "= 1,

unde B este numărul total de vârfuri, P este numărul total de muchii și Г "este numărul de poligoane incluse în partiție. Este clar că Г" = Г - 1, unde Г este numărul de fețe ale poliedru dat.

Să demonstrăm că egalitatea (*) nu se schimbă dacă desenăm o diagonală într-un poligon al partiției date (Fig. 5, a). Într-adevăr, după desenarea unei astfel de diagonale, noua partiție va avea B vârfuri, P + 1 muchii, iar numărul de poligoane va crește cu unul. Prin urmare, avem

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

Folosind această proprietate, desenăm diagonalele care împart poligoanele de intrare în triunghiuri, iar pentru partiția rezultată arătăm că egalitatea (*) este îndeplinită (Fig. 5, b). Pentru a face acest lucru, vom elimina în mod constant marginile exterioare, reducând numărul de triunghiuri. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

a) pentru a elimina triunghiul ABC este necesară îndepărtarea a două coaste, în cazul nostru ABși î.Hr;

b) pentru a elimina triunghiulMKNeste necesară îndepărtarea unei margini, în cazul nostruMN.

În ambele cazuri, egalitatea (*) nu se va modifica. De exemplu, în primul caz, după îndepărtarea triunghiului, graficul va fi format din B - 1 vârfuri, R - 2 muchii și G "- 1 poligon:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

Luați în considerare al doilea caz pentru dvs.

Astfel, eliminarea unui triunghi nu schimbă egalitatea (*). Continuând acest proces de eliminare a triunghiurilor, vom ajunge în cele din urmă la o partiție formată dintr-un singur triunghi. Pentru o astfel de partiție, B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1 și, în consecință, B - Р + Г" = 1. Prin urmare, egalitatea (*) este valabilă și pentru partiția originală, din care obținem în sfârșit că pentru o partiție de poligon dat egalitatea (*) este adevărată. Astfel, pentru poliedrul convex original, egalitatea B - P + G = 2 este adevărată.

Un exemplu de poliedru pentru care relația Euler nu este valabilă este prezentat în Figura 6. Acest poliedru are 16 vârfuri, 32 de muchii și 16 fețe. Astfel, pentru acest poliedru, egalitatea B - P + G = 0 este îndeplinită.

Anexa 3

Movie Cube 2: Hypercube "(ing. Cube 2: Hypercube) - un film fantastic, o continuare a filmului "Cube".

Opt străini se trezesc în camere în formă de cub. Camerele sunt în interiorul unui hipercub cu patru dimensiuni. Camerele se mișcă în mod constant prin „teleportare cuantică”, iar dacă urci în camera următoare, atunci este puțin probabil să te întorci la cea anterioară. Lumile paralele se intersectează în hipercub, timpul curge diferit în unele camere, iar unele camere sunt capcane mortale.

Intriga imaginii repetă în mare măsură povestea primei părți, care se reflectă și în imaginile unor personaje. Laureatul Nobel Rosenzweig, care a calculat ora exactă a distrugerii hipercubului, moare în încăperile hipercubului.

Critică

Dacă în prima parte oamenii închiși într-un labirint au încercat să se ajute unii pe alții, în acest film este fiecare bărbat pentru el însuși. Există o mulțime de efecte speciale inutile (sunt capcane) care nu leagă în mod logic această parte a filmului cu cea anterioară. Adică, se dovedește că filmul Cube 2 este un fel de labirint al viitorului 2020-2030, dar nu 2000. În prima parte, toate tipurile de capcane pot fi, teoretic, create de o persoană. În a doua parte, aceste capcane sunt un program al unui fel de computer, așa-numita „Realitate Virtuală”.

Evoluția creierului uman a avut loc în spațiul tridimensional. Prin urmare, ne este greu să ne imaginăm spații cu dimensiuni mai mari de trei. De fapt, creierul uman nu poate imagina obiecte geometrice cu mai mult de trei dimensiuni. Și, în același timp, ne putem imagina cu ușurință obiecte geometrice cu dimensiuni nu numai trei, ci și cu dimensiunile două și unu.

Diferența și analogia dintre 1D și 2D și diferența și analogia dintre 2D și 3D ne permit să ridicăm puțin din misterul care ne îndepărtează de spațiile dimensionale superioare. Pentru a înțelege cum este utilizată această analogie, luați în considerare un obiect cu patru dimensiuni foarte simplu - un hipercub, adică un cub cu patru dimensiuni. Să presupunem, pentru certitudine, că vrem să rezolvăm o problemă specifică, și anume, să numărăm numărul de fețe pătrate ale unui cub cu patru dimensiuni. Toate considerațiile de mai jos vor fi foarte laxe, fără nicio dovadă, pur prin analogie.

Pentru a înțelege cum este construit un hipercub dintr-un cub obișnuit, trebuie mai întâi să ne uităm la modul în care este construit un cub obișnuit dintr-un pătrat obișnuit. Pentru originalitatea prezentării acestui material, vom numi aici un SubCube pătrat obișnuit (și nu îl vom confunda cu un succubus).

Pentru a construi un cub dintr-un subcub, este necesar să extindeți subcubul într-o direcție perpendiculară pe planul subcubului în direcția celei de-a treia dimensiuni. În același timp, un subcub va crește din fiecare parte a subcubului inițial, care este o față laterală bidimensională a cubului, care va limita volumul tridimensional al cubului din patru laturi, două perpendiculare pe fiecare direcție în planul subcubului. Și de-a lungul noii axe a treia, există și două subcuburi care limitează volumul tridimensional al cubului. Aceasta este fața bidimensională în care a fost localizat inițial subcubul nostru și fața bidimensională a cubului unde a venit subcubul la sfârșitul construcției cubului.

Ceea ce tocmai ai citit este expus în detaliu excesiv și cu multe precizări. Și nu întâmplător. Acum vom face un astfel de truc, vom înlocui unele cuvinte din textul anterior în mod formal în acest fel:
cub -> hipercub
subcub -> cub
avion -> volum
a treia -> a patra
2D -> 3D
patru -> șase
tridimensional -> patrudimensional
doi -> trei
avion -> spatiu

Drept urmare, obținem următorul text semnificativ, care nu mai pare prea detaliat.

Pentru a construi un hipercub dintr-un cub, trebuie să întindeți cubul într-o direcție perpendiculară pe volumul cubului în direcția celei de-a patra dimensiuni. În același timp, din fiecare parte a cubului original va crește câte un cub, care este fața laterală tridimensională a hipercubului, care va limita volumul bidimensional al hipercubului din șase laturi, trei perpendiculare pe fiecare direcție în spațiul cubului. Și de-a lungul noii a patra axe, există și două cuburi care limitează volumul patrudimensional al hipercubului. Aceasta este fața tridimensională în care a fost localizat inițial cubul nostru și fața tridimensională a hipercubului, unde cubul a venit la sfârșitul construcției hipercubului.

De ce suntem atât de siguri că am primit descrierea corectă a construcției hipercubului? Da, pentru că prin exact aceeași înlocuire formală a cuvintelor obținem o descriere a construcției unui cub dintr-o descriere a construcției unui pătrat. (Verificați-l singur.)

Acum este clar că, dacă un alt cub tridimensional ar trebui să crească de fiecare parte a cubului, atunci o față trebuie să crească de la fiecare margine a cubului inițial. În total, cubul are 12 muchii, ceea ce înseamnă că vor exista încă 12 fețe noi (subcuburi) pentru acele 6 cuburi care limitează volumul cu patru dimensiuni de-a lungul celor trei axe ale spațiului tridimensional. Și mai sunt două cuburi care limitează acest volum cu patru dimensiuni de jos și de sus de-a lungul celei de-a patra axe. Fiecare dintre aceste cuburi are 6 fețe.

În total obținem că hipercubul are 12+6+6=24 fețe pătrate.

Următoarea imagine arată structura logică a unui hipercub. Este ca o proiecție a unui hipercub în spațiul tridimensional. În acest caz, se obține un cadru tridimensional de coaste. În figură, desigur, vedeți proiecția acestui cadru și pe un plan.

Pe acest cadru, cubul interior este, parcă, cubul inițial de la care a început construcția și care limitează volumul bidimensional al hipercubului de-a lungul celei de-a patra axe de jos. Întindem acest cub inițial în sus de-a lungul axei a patra dimensiune și merge în cubul exterior. Deci, cuburile exterioare și interioare din această figură limitează hipercubul de-a lungul axei dimensiunii a patra.

Și între aceste două cuburi mai sunt vizibile încă 6 cuburi noi, care sunt în contact cu primele două prin fețe comune. Aceste șase cuburi limitează hipercubul nostru de-a lungul a trei axe ale spațiului tridimensional. După cum puteți vedea, ele nu sunt doar în contact cu primele două cuburi, care sunt interne și externe pe acest cadru tridimensional, dar sunt încă în contact unul cu celălalt.

Puteți calcula direct în figură și vă asigurați că hipercubul are într-adevăr 24 de fețe. Dar aici vine întrebarea. Acest cadru hipercub 3D este umplut cu opt cuburi 3D fără goluri. Pentru a realiza un hipercub real din această proiecție 3D a unui hipercub, este necesar să întoarceți acest cadru pe dos, astfel încât toate cele 8 cuburi să limiteze volumul 4D.

Se face așa. Invităm un rezident al spațiului cu patru dimensiuni să viziteze și să-l rugăm să ne ajute. Ea apucă cubul interior al acestui cadru și îl mută către a patra dimensiune, care este perpendiculară pe spațiul nostru 3D. Noi, în spațiul nostru tridimensional, îl percepem ca și cum întregul cadru interior ar fi dispărut și ar fi rămas doar cadrul cubului exterior.

În continuare, asistentul nostru 4D se oferă să ajute în cazul nașterilor nedureroase, dar femeile noastre însărcinate sunt îngrozite de perspectiva ca bebelușul să dispară pur și simplu din burtă și să ajungă într-un spațiu 3D paralel. Prin urmare, patrulatul este refuzat politicos.

Și ne întrebăm dacă unele dintre cuburile noastre s-au desprins când cadrul hipercubului a fost întors pe dos. La urma urmei, dacă unele cuburi tridimensionale care înconjoară hipercubul își ating vecinii de pe cadru, vor atinge aceleași fețe dacă cel cu patru dimensiuni întoarce cadrul pe dos.

Să ne întoarcem din nou la analogia cu spațiile de dimensiune inferioară. Comparați imaginea cadrului hipercub cu proiecția cubului 3D în planul prezentat în imaginea următoare.

Locuitorii spațiului bidimensional au construit pe un plan un cadru de proiecție de cub pe un plan și ne-au invitat pe noi, rezidenții tridimensionali, să întoarcem acest cadru pe dos. Luăm cele patru vârfuri ale pătratului interior și le mutăm perpendicular pe plan. În același timp, rezidenții bidimensionali văd dispariția completă a întregului cadru interior și au doar cadrul pătratului exterior. Cu o astfel de operație, toate pătratele care au fost în contact cu marginile lor continuă să se atingă ca înainte cu aceleași margini.

Prin urmare, sperăm că nici schema logică a hipercubului nu va fi încălcată atunci când cadrul hipercubului este întors pe dos, iar numărul de fețe pătrate ale hipercubului nu va crește în acest caz și va rămâne egal cu 24. Aceasta, de desigur, nu este deloc o dovadă, ci pur și simplu o presupunere prin analogie.

După tot ce citești aici, poți să desenezi cu ușurință cadrul logic al unui cub cu cinci dimensiuni și să calculezi câte vârfuri, muchii, fețe, cuburi și hipercuburi are. Nu este deloc greu.