Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi trece imediat la treabă.

Pentru început, câteva exemple. Luați în considerare mai multe seturi de numere:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ce au toate aceste seturi în comun? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.

Judecă singur. Primul set este doar numere consecutive, fiecare mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja egală cu cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, există rădăcini în general. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, în timp ce $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. caz în care fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă speriați că acest număr este irațional).

Deci: toate astfel de secvențe se numesc doar progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiție. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.

Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.

Și doar câteva observații importante. În primul rând, progresia este luată în considerare numai ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Nu puteți rearanja sau schimba numerele.

În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva de genul (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Punctele de suspensie după cele patru, parcă, sugerează că destul de multe numere merg mai departe. Infinit multe, de exemplu. :)

De asemenea, aș dori să remarc că progresiile sunt în creștere și scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul, cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:

Definiție. O progresie aritmetica se numeste:

1. crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;
2. descrescătoare, dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.

În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:

1. Dacă $d \gt 0$, atunci progresia este în creștere;
2. Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
3. În sfârșit, există cazul $d=0$ — în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare de mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți din numărul din dreapta, numărul din stânga. Va arata asa:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

După cum puteți vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit cu adevărat negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.

Membrii progresiei și formulei recurente

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi interschimbate, ele pot fi numerotate:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta\)\]

Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai progresiei. Ele sunt indicate astfel cu ajutorul unui număr: primul membru, al doilea membru etc.

În plus, după cum știm deja, membrii vecini ai progresiei sunt legați prin formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Pe scurt, pentru a găsi $n$-lea termen al progresiei, trebuie să cunoașteți $n-1$-lea termen și diferența $d$. O astfel de formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr, cunoscându-l doar pe cel anterior (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai complicată care reduce orice calcul la primul termen și diferența:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]

Probabil ați mai întâlnit această formulă. Le place să-l dea în tot felul de cărți de referință și reshebniks. Și în orice manual sensibil de matematică, este unul dintre primele.

Totuși, vă sugerez să exersați puțin.

Sarcina numărul 1. Scrieți primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.

Decizie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Răspuns: (8; 3; -2)

Asta e tot! Rețineți că progresia noastră este în scădere.

Desigur, $n=1$ nu ar fi putut fi înlocuit - știm deja primul termen. Totuși, înlocuind unitatea, ne-am asigurat că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.

Sarcina numărul 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este -40 și al șaptesprezecelea termen este -50.

Decizie. Scriem starea problemei în termenii obișnuiți:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \dreapta.\]

Am pus semnul sistemului pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Și acum observăm că dacă scădem prima ecuație din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Așa am găsit diferența de progres! Rămâne să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Gata! Problema rezolvata.

Răspuns: (-34; -35; -36)

Atenție la o proprietate curioasă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de la celălalt, atunci obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

O proprietate simplă, dar foarte utilă pe care cu siguranță ar trebui să o cunoașteți - cu ajutorul ei, puteți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme de progresie. Iată un prim exemplu în acest sens:

Sarcina numărul 3. Al cincilea termen al progresiei aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.

Decizie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, de unde avem:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Răspuns: 20.4

Asta e tot! Nu a fost nevoie să compunem niciun sistem de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost decis în doar câteva linii.

Acum să luăm în considerare un alt tip de problemă - căutarea membrilor negativi și pozitivi ai progresiei. Nu este un secret că, dacă progresia crește, în timp ce primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii descrescătoare vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.

În același timp, este departe de a fi întotdeauna posibil să găsim acest moment „pe frunte”, sortând secvenţial printre elemente. Adesea, problemele sunt concepute în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe foi - doar am adormi până am găsi răspunsul. Prin urmare, vom încerca să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.

Sarcina numărul 4. Câți termeni negativi într-o progresie aritmetică -38,5; -35,8; …?

Decizie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, din care găsim imediat diferența:

Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia este în creștere. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.

Să încercăm să aflăm: cât timp (adică până la ce număr natural $n$) se păstrează negativitatea termenilor:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ultima linie are nevoie de clarificare. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, doar valorile întregi ale numărului ne vor potrivi (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16.

Sarcina numărul 5. În progresia aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.

Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen în termeni de primul și diferența folosind formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Acum procedăm prin analogie cu problema anterioară. Aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.

Vă rugăm să rețineți că în ultima sarcină totul a fost redus la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.

Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să învățăm o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor. :)

Media aritmetică și liniuțe egale

Luați în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe o linie numerică:

Membrii progresiei aritmetice pe linia numerică

Am notat în mod special membrii arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ și nu orice $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula, pe care o voi spune acum, funcționează la fel pentru orice „segmente”.

Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recursivă și să o notăm pentru toți membrii marcați:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ei bine, ce? Dar faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - ei sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ cu aceeași distanță egală cu $2d$. Puteți continua la nesfârșit, dar imaginea ilustrează bine sensul

Membrii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că puteți găsi $((a)_(n))$ dacă numerele învecinate sunt cunoscute:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Am dedus o afirmație magnifică: fiecare membru al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a membrilor vecini! Mai mult, ne putem abate de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și totuși formula va fi corectă:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Acestea. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe sarcini sunt special „ascuțite” pentru utilizarea mediei aritmetice. Aruncă o privire:

Sarcina numărul 6. Găsiți toate valorile lui $x$ astfel încât numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ să fie membri consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea specificată).

Decizie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultatul este o ecuație pătratică clasică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.

Răspuns: -3; 2.

Sarcina numărul 7. Găsiți valorile lui $$ astfel încât numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ să formeze o progresie aritmetică (în această ordine).

Decizie. Din nou, exprimăm termenul de mijloc în termenii mediei aritmetice a termenilor învecinați:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\dreapta.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

O altă ecuație pătratică. Și din nou două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.

Raspunsul 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme obții niște numere brutale, sau nu ești complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există un truc minunat care îți permite să verifici: am rezolvat corect problema?

Să presupunem că în problema 6 avem răspunsurile -3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care ar trebui să formeze o progresie aritmetică. Înlocuiește $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Am primit numerele -54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema este rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua sarcină, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.

În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste un alt fapt interesant care trebuie să ne amintim:

Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literalmente progresiile necesare pe baza stării problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja luat în considerare.

Gruparea și suma elementelor

Să revenim din nou la linia numerică. Remarcăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. merită mulți alți membri:

6 elemente marcate pe linia numerică

Să încercăm să exprimăm „coada din stânga” în termeni de $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” în termeni de $((a)_(k))$ și $ d$. E foarte simplu:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul față de celălalt sau invers pentru a ne îndepărta), apoi sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai bine reprezentat grafic:

Aceleași liniuțe dau sume egale

Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:

Sarcina numărul 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.

Decizie. Să scriem tot ce știm:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Deci, nu cunoaștem diferența progresiei $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pentru cei din rezervor: am scos factorul comun 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul dorit este o funcție pătratică în raport cu variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă deschidem parantezele, obținem:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

După cum puteți vedea, coeficientul cu cel mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:

graficul unei funcții pătratice - parabolă

Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă după schema standard (există o formulă $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să rețineți că vârful dorit se află pe simetria axei parabolei, deci punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

De aceea nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ce ne dă numărul descoperit? Cu acesta, produsul solicitat ia cea mai mică valoare (apropo, nu am calculat $((y)_(\min ))$ - acest lucru nu este cerut de la noi). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul. :)

Răspuns: -36

Sarcina numărul 9. Introduceți trei numere între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ astfel încât împreună cu numerele date să formeze o progresie aritmetică.

Decizie. De fapt, trebuie să facem o succesiune de cinci numere, primul și ultimul număr fiind deja cunoscute. Notează numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă în acest moment nu putem obține $y$ din numerele $x$ și $z$, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Amintiți-vă media aritmetică:

Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ tocmai găsit. Asa de

Argumentând în mod similar, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le notăm în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.

Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Sarcina numărul 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu numerele date, formează o progresie aritmetică, dacă se știe că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.

Decizie. O sarcină și mai dificilă, care, însă, se rezolvă la fel ca și cele precedente - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere să introducem. Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că după inserare vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică dorită poate fi reprezentată ca:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 care stau la margini cu un pas unul față de celălalt. , adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Dar atunci expresia de mai sus poate fi rescrisă astfel:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]

Rămâne doar să găsiți membrii rămași:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței - numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sarcini de text cu progresii

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme relativ simple. Ei bine, la fel de simple: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste sarcini pot părea un gest. Cu toate acestea, tocmai astfel de sarcini sunt întâlnite în OGE și USE în matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.

Sarcina numărul 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în ​​cea precedentă. Câte piese a produs brigada în noiembrie?

Decizie. Evident, numărul de piese, vopsit pe lună, va fi o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. Și:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Prin urmare, în noiembrie vor fi fabricate 202 piese.

Sarcina numărul 12. Atelierul de legătorie a legat în ianuarie 216 cărți, iar în fiecare lună următoare a legat cu 4 cărți mai multe decât în ​​cea precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?

Decizie. Tot la fel:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.

Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânăr de luptători” în progresii aritmetice. Putem trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula sumei progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• extinderea și aprofundarea ideilor elevilor despre sarcinile rezolvate cu ajutorul progresiei aritmetice; organizarea activității de căutare a elevilor în derivarea formulei pentru suma primilor n membri ai unei progresii aritmetice;
• dezvoltarea abilităților de a dobândi în mod independent noi cunoștințe, de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini sarcina;
• dezvoltarea dorinței și nevoii de generalizare a faptelor obținute, dezvoltarea independenței.

Sarcini:

• generalizarea și sistematizarea cunoștințelor existente pe tema „Progresia aritmetică”;
• deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n membri ai unei progresii aritmetice;
• invata modul de aplicare a formulelor obtinute in rezolvarea diverselor probleme;
• atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.

Echipament:

• fișe cu sarcini pentru lucru în grupuri și perechi;
• lucrare de evaluare;
• prezentare„Progresie aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Munca independentă în perechi.

prima varianta:

Definiți o progresie aritmetică. Scrieți o formulă recursivă care definește o progresie aritmetică. Dați un exemplu de progresie aritmetică și indicați diferența acesteia.

a 2-a varianta:

Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al unei progresii aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi din spatele tablei pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului comparând-o cu tabla. (Se predau pliante cu răspunsuri).

2. Momentul jocului.

Exercitiul 1.

Profesor. Am conceput o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări pentru ca după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea membru al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Întrebări de la studenți.

1. Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
2. Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, atunci profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați care este diferența. Puteți pune întrebări: care este al 6-lea termen al progresiei și care este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii spun numărul numărului, iar profesorul sună imediat numărul însuși. Explicați cum pot face asta?

Profesorul își amintește formula celui de-al n-lea termen a n \u003d 3n - 2și, înlocuind valorile date ale lui n, găsește valorile corespunzătoare un n .

II. Enunțul sarcinii educaționale.

Imi propun sa rezolv o problema veche datand din mileniul II i.Hr., gasita in papirusurile egiptene.

Sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz la 10 persoane, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”

• Cum se leagă această problemă cu subiectul progresiei aritmetice? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, deci diferența este d=1/8, 10 persoane, deci n=10.)
• Ce crezi că înseamnă numărul 10? (Suma tuturor membrilor progresiei.)
• Ce altceva trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de starea problemei? (Primul termen al progresiei.)

Obiectivul lecției- obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.

Înainte de a deriva formula, să vedem cum au rezolvat egiptenii antici problema.

Și au rezolvat așa:

1) 10 masuri: 10 = 1 masura - cota medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri - dublată in medie acțiune.
dublat in medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri - 1/8 masura = 1 7/8 masuri - dublul cotei persoanei a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - cota celui de-al cincilea; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Rezolvarea sarcinii.

1. Lucrați în grupuri

grupa 1: Aflați suma a 20 de numere naturale consecutive: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

În general

grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Concluzie:

grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Concluzie:

grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Concluzie:

Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „metoda Gauss”.

2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Găsim această sumă argumentând în mod similar:

4. Am rezolvat sarcina?(Da.)

IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute în rezolvarea problemelor.

1. Verificarea rezolvarii unei probleme vechi prin formula.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciţii pentru formarea capacităţii de aplicare a formulei în rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Dat :( si n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

A găsi: S 1500

Decizie: , și 1 = 1 și 1500 = 1500,

B) Având în vedere: ( si n) - progresie aritmetică;
(și n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

A găsi: n
Decizie:

V. Munca independentă cu verificare reciprocă.

Denis a plecat să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat într-un an?

Dat :( si n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
A găsi: S 12
Decizie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.

VI. Instruirea temelor pentru acasă.

1. p. 4.3 - învață derivarea formulei.
2. №№ 585, 623 .
3. Compuneți o problemă care ar fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

VII. Rezumând lecția.

1. Fișa de punctaj

2. Continuați propozițiile

• Astăzi la clasă am învățat...
• Formule invatate...
• Cred ca …

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Bibliografie.

1. Algebră, clasa a IX-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscova: Iluminismul, 2009.

Când studiezi algebra într-o școală secundară (clasa a 9-a), una dintre subiectele importante este studiul secvențelor numerice, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare o progresie aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se dea o definiție a progresiei luate în considerare, precum și să se dea formulele de bază care vor fi utilizate în continuare în rezolvarea problemelor.

O progresie aritmetică sau algebrică este un astfel de set de numere raționale ordonate, fiecare membru al cărora diferă de cel precedent printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să luăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie considerat, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Vom oferi acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind o progresie aritmetică. Fie un n să desemneze al n-lea membru al secvenței, unde n este un număr întreg. Diferența este notată de litera latină d. Atunci următoarele expresii sunt adevărate:

1. Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, formula este potrivită: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1)*n/2.

Pentru a înțelege orice exemplu de progresie aritmetică cu o soluție în clasa a 9-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul în cauză sunt construite pe utilizarea lor. De asemenea, nu uitați că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1 .

Exemplul #1: Găsirea unui membru necunoscut

Dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru rezolvare.

Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să găsim cinci termeni în ea.

Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

1. Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, se poate lua oricare alți doi termeni stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d \u003d a n - a n-1, apoi d \u003d a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 \u003d a 4 + d. Inlocuim valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați, așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele soluții duc la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența d a progresiei este negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare deoarece fiecare termen succesiv este mai mic decât cel anterior.

Exemplul #2: diferența de progresie

Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu de cum

Se știe că la unii primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Înlocuim datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 \u003d 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, s-a răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili secvența celui de-al 7-lea membru, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 și 7 = 18.

Exemplul #3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum trebuie să răspundeți la întrebarea cum să găsiți o progresie aritmetică. Putem da următorul exemplu: se dau două numere, de exemplu, 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică astfel încât încă trei termeni să se potrivească între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, este necesar să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Deoarece vor mai exista trei termeni între ei, apoi un 1 \u003d -4 și un 5 \u003d 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la o sarcină similară celei anterioare. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De la: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aici diferența nu este o valoare întreagă, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u, 50 care a coincis cu starea problemei.

Exemplul #4: primul membru al progresiei

Continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să aflăm de la ce număr începe această succesiune.

Formulele care au fost folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste cifre în starea problemei. Cu toate acestea, să scriem expresiile pentru fiecare termen despre care avem informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Avem două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Sistemul specificat este cel mai ușor de rezolvat dacă exprimați un 1 în fiecare ecuație și apoi comparați expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de unde diferența d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru a 1 . De exemplu, mai întâi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea membru al progresiei, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. O mică eroare se datorează faptului că în calcule a fost utilizată rotunjirea la miimi.

Exemplul #5: Sumă

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?

Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, această problemă poate fi rezolvată, adică adunăm secvențial toate numerele, ceea ce computerul va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios de observat că această problemă se numește „gaussiană”, întrucât la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă la vârsta de doar 10 ani, a putut să o rezolve în minte în câteva secunde. Băiatul nu știa formula sumei unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adaugi perechi de numere situate la marginile șirului, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., și deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul #6: suma termenilor de la n la m

Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați care va fi suma termenilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvenţial. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma unei progresii algebrice între termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n > m, este evident că suma 2 o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție condiția, să înțelegeți clar ce doriți să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, se poate opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m și împărțiți sarcina generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, se recomandă să-l verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Cum să găsești o progresie aritmetică, am aflat. Odată ce îți dai seama, nu este atât de greu.

De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(opt\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. de exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(zece\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii sunt numite in scadere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresia este indicată de o literă latină mică.

Numerele care formează o progresie se numesc aceasta membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) este formată din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor pe o progresie aritmetică

În principiu, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă pe o progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Decizie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Decizie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică fiecare element diferă de cel vecin prin același număr. Aflați care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la elementul dorit (primul negativ).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Sunt date mai multe elemente succesive ale unei progresii aritmetice: \(...5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului notat cu litera \(x\).
Decizie:

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum găsim fără probleme ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Decizie:

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile, ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile pe rând, folosind cele care ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma solicitată.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Decizie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante de progresie aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme de progresie aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element următor din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent (diferența a progresiei).

Cu toate acestea, uneori există situații când este foarte incomod să rezolvi „pe frunte”. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu, trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ce este, \ (385 \) ori să adunăm patru? Sau imaginați-vă că, în penultimul exemplu, trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Numărarea este confuză...

Prin urmare, în astfel de cazuri, ei nu rezolvă „pe frunte”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) a primilor termeni.

Formula pentru \(n\)-lea membru: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul membru al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid cel puțin elementul trei sute, chiar milionul, cunoscând doar primul și diferența de progresie.

Exemplu. Progresia aritmetica este data de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Decizie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) este ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este dată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Decizie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primelor douăzeci și cinci de elemente, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (vezi detalii). Să calculăm primul element înlocuind \(n\) cu unul.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum calculăm suma necesară fără probleme.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula pentru aceasta \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară \(n\) a primelor elemente;
\(a_1\) este primul termen care trebuie însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) - numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(paisprezece\)…
Decizie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare problemele în care trebuie nu numai să aplici formule, ci și să te gândești puțin (la matematică, acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-nouăsprezece\); \(-18,7\)…
Decizie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm la fel: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum am înlocui \(d\) în formula pentru suma ... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom înceta să mai adăugăm elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să fie mai mare decât zero. Să aflăm pentru ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Tehnica de calcul...
\(n>65.333…\)		…și se dovedește că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Astfel, trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea la \(42\) element inclusiv.
Decizie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă, trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Nu avem o formulă pentru asta. Cum să decizi? Ușor - pentru a obține suma de la \(26\)th la \(42\)th, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)th la \(42\)th, apoi scădeți din ea suma din primul la \ (25 \) al-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\) și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm patru la elementul anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\)-celele elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și, în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru o progresie aritmetică, mai există câteva formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilităţii lor practice reduse. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Care este esența formulei?

Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Desigur, trebuie să știi primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri, nu puteți nota o anumită progresie.

Nu este suficient să memorezi (sau să înșeli) această formulă. Este necesar să-i asimilezi esența și să aplici formula în diverse probleme. Da, și nu uita la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Si aici cum să-ți amintești Dacă este nevoie, vă dau un indiciu. Pentru cei care stăpânesc lecția până la sfârșit.)

Deci, să ne ocupăm de formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Ce este o formulă în general - ne imaginăm.) Ce este o progresie aritmetică, un număr de membru, o diferență de progresie - este precizat clar în lecția anterioară. Aruncă o privire dacă nu l-ai citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce al-lea membru.

Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - din un 120.

Cum se definește în general orice membru al unei progresii aritmetice, s orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:

un n

Asta e al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Sub litera n toate numerele de membri sunt ascunse simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...

Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresii aritmetice. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și o grămadă de sarcini de rezolvat în progresie. Vei vedea mai departe.

În formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- primul membru al progresiei aritmetice;

n- numarul membrului.

Formula leagă parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dși n. În jurul acestor parametri, toate puzzle-urile se învârt în progresie.

Formula a n-a termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, în problemă se poate spune că progresia este dată de condiția:

a n = 5 + (n-1) 2.

O astfel de problemă poate chiar să încurce... Nu există serie, nicio diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor să ne dăm seama că în această progresie a 1 \u003d 5 și d \u003d 2.

Și poate fi și mai supărat!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, da, deschide parantezele si da altele asemanatoare? Obținem o nouă formulă:

an = 3 + 2n.

Aceasta este Numai că nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se află capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul membru este un cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.

În sarcinile pentru progresie, există o altă notație - un n+1. Acesta este, ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei, al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm pentru un n al cincilea termen, atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.

Cel mai adesea desemnarea un n+1 apare în formule recursive. Nu vă fie teamă de acest cuvânt groaznic!) Acesta este doar un mod de a exprima un termen al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind formula recurentă:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Și cum să numărăm imediat, să spunem al douăzecilea termen, un 20? Dar în niciun caz!) În timp ce al 19-lea termen nu este cunoscut, al 20-lea nu poate fi numărat. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recursivă și formula celui de-al n-lea termen. Recursivul funcționează numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen - prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Nu numărând întreaga serie de numere în ordine.

Într-o progresie aritmetică, o formulă recursivă poate fi ușor transformată într-una obișnuită. Numără o pereche de termeni consecutivi, calculează diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma obișnuită și lucrați cu ea. În GIA, astfel de sarcini sunt adesea găsite.

Aplicarea formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației progresiei aritmetice. Adăugați, da adăugați... O oră sau două.)

Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. O poți cronometra.) Noi decidem.

Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Rămâne de văzut ce n. Nici o problema! Trebuie să găsim un 121. Aici scriem:

Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuiți toate numerele din formulă și calculați:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Cam despre asta e. La fel de repede s-ar putea găsi al cinci sute al zecelea membru și al miei și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze și luăm în considerare.

Permiteți-mi să vă reamintesc esența: această formulă vă permite să găsiți orice termenul unei progresii aritmetice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Să rezolvăm problema mai inteligent. Să presupunem că avem următoarea problemă:

Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n) dacă a 17 =-2; d=-0,5.

Dacă aveți dificultăți, vă propun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți de mână, chiar în caiet:

a n = a 1 + (n-1)d

Și acum, uitându-ne la literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Totul? Dacă crezi că asta e tot, atunci nu poți rezolva problema, da...

Avem și un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doua variante. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea membru (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „lucru” alunecă adesea pe lângă cap, iar fără el, (fără „lucru”, nu cap!) Problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)

Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să-l punem în:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Asta, în esență, este tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să calculați. Primești răspunsul: a 1 = 6.

O astfel de tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - ajută foarte mult în sarcinile simple. Ei bine, trebuie, desigur, să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...

O altă problemă populară:

Aflați diferența progresiei aritmetice (a n) dacă a 1 =2; a 15 =12.

Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Luați în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (evidențiere specială!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți în formula:

12=2 + (15-1)d

Să facem aritmetica.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Acesta este răspunsul corect.

Deci, sarcini a n, a 1și d hotărât. Rămâne să înveți cum să găsești numărul:

Numărul 99 este membru al unei progresii aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.

Înlocuim cantitățile cunoscute în formula celui de-al n-lea termen:

a n = 12 + (n-1) 3

La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n este un membru al progresiei cu numărul n... Și acest membru al progresiei îl cunoaștem! Este 99. Nu-i știm numărul. n, deci trebuie găsit și acest număr. Înlocuiți termenul de progresie 99 în formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.

Și acum o problemă pe aceeași temă, dar mai creativă):

Determinați dacă numărul 117 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Să scriem din nou formula. Ce, nu există opțiuni? Hm... De ce avem nevoie de ochi?) Vedem primul membru al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 \u003d -3,6. Diferență d se poate determina din serie? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne de a face cu un număr necunoscut nşi un număr de neînţeles 117. În problema anterioară, cel puţin se ştia că era dat termenul de progresie. Dar aici nici nu știm că... Cum să fim!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Pornește-ți abilitățile creative!)

Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da-da!)) și înlocuim numerele noastre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:

Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie tragem? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între al 101-lea și al 102-lea membru. Dacă numărul s-a dovedit a fi natural, de ex. întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.

Sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

Progresia aritmetică este dată de condiția:

a n \u003d -4 + 6,8n

Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.

Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.

Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru, se înșeală fatal!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al unei progresii aritmetice în el ascuns. Nimic, îl vom găsi acum.)

La fel ca în sarcinile anterioare, înlocuim n=1în această formulă:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!

În mod similar, căutăm al zecelea termen:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Cam despre asta e.

Și acum, pentru cei care au citit până la aceste rânduri, bonusul promis.)

Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a GIA sau a examenului de stat unificat, ați uitat formula utilă a celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Ceva îmi vine în minte, dar cumva nesigur... Fie n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?

Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar cu siguranță suficient pentru încredere și decizia corectă!) Pentru concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a progresiei aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.

Desenăm o axă numerică și o marchem pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notează diferența dîntre membri. Ca aceasta:

Ne uităm la imagine și ne gândim: cu ce este egal al doilea termen? Al doilea unu d:

A 2 =a 1 + 1 d

Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.

A 3 =a 1 + 2 d

Ai inteles? Nu pun câteva cuvinte cu caractere aldine degeaba. Bine, încă un pas.)

Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.

A 4 =a 1 + 3 d

Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică până la număr n, numărul de goluri voi n-1. Deci, formula va fi (fără opțiuni!):

a n = a 1 + (n-1)d

În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci ... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți pune o imagine într-o ecuație...

Sarcini pentru decizie independentă.

Pentru încălzire:

1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Găsiți un 3.

Sugestie: conform imaginii, problema este rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată atât prin imagine, cât și prin formulă. Simte diferenta!)

Și aceasta nu mai este o încălzire.)

2. În progresia aritmetică (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .

Ce, reticența de a face o imagine?) Totuși! E mai bine in formula, da...

3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.

În această sarcină, progresia este dată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de mandat... Nu oricine poate face o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!

4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.

5. Conform condiției sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici membri pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.

6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este zero. Găsiți un 14.

Nu este cea mai ușoară sarcină, da ...) Aici metoda „pe degete” nu va funcționa. Trebuie să scrieți formule și să rezolvați ecuații.

Răspunsuri (în dezordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

S-a întâmplat? E dragut!)

Nu merge totul? S-a întâmplat. Apropo, în ultima sarcină există un punct subtil. Va fi necesară atenție la citirea problemei. Și logica.

Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în secțiunea 555. Și elementul fantezie pentru al patrulea și momentul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme pentru formula celui de-al n-lea termen - totul este pictat. Recomanda.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.