Lecție și prezentare pe tema: „Ecuații exponențiale și inegalități exponențiale”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Definiţia ecuaţiilor exponenţiale

Băieți, am studiat funcțiile exponențiale, le-am învățat proprietățile și am construit grafice, am analizat exemple de ecuații în care au fost întâlnite funcții exponențiale. Astăzi vom studia ecuațiile exponențiale și inegalitățile.

Definiție. Ecuațiile de forma: $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ se numesc ecuații exponențiale.

Reamintind teoremele pe care le-am studiat la tema „Funcția exponențială”, putem introduce o nouă teoremă:
Teorema. Ecuația exponențială $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ este echivalentă cu ecuația $f(x)=g(x) $.

Exemple de ecuații exponențiale

Exemplu.
Rezolvarea ecuațiilor:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Decizie.
a) Știm bine că $27=3^3$.
Să ne rescriem ecuația: $3^(3x-3)=3^3$.
Folosind teorema de mai sus, obținem că ecuația noastră se reduce la ecuația $3x-3=3$, rezolvând această ecuație, obținem $x=2$.
Răspuns: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Atunci ecuația noastră poate fi rescrisă: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

C) Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ și $x_2=-3$.
Răspuns: $x_1=6$ și $x_2=-3$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\frac((((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Decizie:
Vom efectua secvențial o serie de acțiuni și vom aduce ambele părți ale ecuației noastre la aceleași baze.
Să efectuăm o serie de operații în partea stângă:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Să trecem la partea dreaptă:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Decizie:
Să ne rescriem ecuația: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Să facem o schimbare de variabile, fie $a=3^x$.
În noile variabile, ecuația va lua forma: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ și $a_2=3$.
Să efectuăm schimbarea inversă a variabilelor: $3^x=-12$ și $3^x=3$.
În ultima lecție, am învățat că expresiile exponențiale pot lua doar valori pozitive, amintiți-vă graficul. Aceasta înseamnă că prima ecuație nu are soluții, a doua ecuație are o singură soluție: $x=1$.
Răspuns: $x=1$.

Să facem o notă cu moduri de a rezolva ecuațiile exponențiale:
1. Metoda grafică. Reprezentăm ambele părți ale ecuației ca funcții și construim graficele lor, găsim punctele de intersecție ale graficelor. (Am folosit această metodă în ultima lecție).
2. Principiul egalității indicatorilor. Principiul se bazează pe faptul că două expresii cu aceleași baze sunt egale dacă și numai dacă gradele (exponenții) acestor baze sunt egale. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda schimbării variabilelor. Această metodă ar trebui folosită dacă ecuația, la schimbarea variabilelor, își simplifică forma și este mult mai ușor de rezolvat.

Exemplu.
Rezolvați sistemul de ecuații: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cazuri)$.
Decizie.
Luați în considerare ambele ecuații ale sistemului separat:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Luați în considerare a doua ecuație:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Să folosim metoda schimbării variabilelor, fie $y=2^(x+y)$.
Atunci ecuația va lua forma:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ și $y_2=-3$.
Să trecem la variabilele inițiale, din prima ecuație obținem $x+y=2$. A doua ecuație nu are soluții. Atunci sistemul nostru inițial de ecuații este echivalent cu sistemul: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cazuri)$.
Scădeți a doua ecuație din prima ecuație, obținem: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cazuri)$.
$\begin (cazuri) y=-1, \\ x=3. \end(cazuri)$.
Răspuns: $(3;-1)$.

inegalități exponențiale

Să trecem la inegalități. Când rezolvați inegalitățile, este necesar să acordați atenție bazei gradului. Există două scenarii posibile pentru dezvoltarea evenimentelor la rezolvarea inegalităților.

Teorema. Dacă $a>1$, atunci inegalitatea exponențială $a^(f(x))>a^(g(x))$ este echivalentă cu inegalitatea $f(x)>g(x)$.
Dacă 0 USD a^(g(x))$ este echivalent cu $f(x)

Exemplu.
Rezolvarea inegalităților:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Decizie.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) În ecuația noastră, baza cu un grad mai mic decât 1, atunci când înlocuiți o inegalitate cu una echivalentă, este necesară schimbarea semnului.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Să folosim metoda soluției pe intervale:
Răspuns: $(-∞;-5]U \ \

Răspuns: $(-4,6)$.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații

Figura 3

Decizie.

Acest sistem este echivalent cu sistemul

Figura 4

Aplicam a patra metoda de rezolvare a ecuatiilor. Fie $2^x=u\ (u >0)$ și $3^y=v\ (v >0)$, obținem:

Figura 5

Rezolvăm sistemul rezultat prin metoda adunării. Să adăugăm ecuațiile:

\ \

Apoi, din a doua ecuație, obținem asta

Revenind la înlocuire, am primit un nou sistem de ecuații exponențiale:

Figura 6

Primim:

Figura 7

Răspuns: $(0,1)$.

Sisteme de inegalități exponențiale

Definiția 2

Sistemele de inegalități formate din ecuații exponențiale se numesc un sistem de inegalități exponențiale.

Vom lua în considerare soluția sistemelor de inegalități exponențiale folosind exemple.

Exemplul 3

Rezolvați sistemul de inegalități

Figura 8

Decizie:

Acest sistem de inegalități este echivalent cu sistemul

Figura 9

Pentru a rezolva prima inegalitate, amintiți-vă următoarea teoremă de echivalență pentru inegalitățile exponențiale:

Teorema 1. Inegalitatea $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, unde $a >0,a\ne 1$ este echivalentă cu mulțimea a două sisteme

\}