Instruire

Metoda de adunare.
Trebuie să scrieți două strict unul sub celălalt:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Într-o ecuație aleasă în mod arbitrar (din sistem), introduceți numărul 11 ​​în locul „jocului” deja găsit și calculați a doua necunoscută:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Răspunsul acestui sistem de ecuații: x=116, y=11.

Mod grafic.
Constă în aflarea practică a coordonatelor punctului în care dreptele sunt scrise matematic în sistemul de ecuații. Ar trebui să desenați grafice ale ambelor linii separat în același sistem de coordonate. Vedere generală: - y \u003d kx + b. Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți coordonatele a două puncte, iar x este ales în mod arbitrar.
Să fie dat sistemul: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
O linie dreaptă este construită în conformitate cu prima, pentru comoditate, trebuie scrisă: y \u003d 2x-4. Vino cu valori (mai ușoare) pentru x, înlocuind-o în ecuație, rezolvându-l, găsiți y. Se obțin două puncte, de-a lungul cărora se construiește o linie dreaptă. (vezi poza)
x 0 1

y -4 -2
O linie dreaptă este construită conform celei de-a doua ecuații: y \u003d -3x + 1.
De asemenea, construiți o linie. (vezi poza)

1-5
Găsiți coordonatele punctului de intersecție a două drepte construite pe grafic (dacă liniile nu se intersectează, atunci sistemul de ecuații nu are - deci).

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Dacă același sistem de ecuații este rezolvat în trei moduri diferite, răspunsul va fi același (dacă soluția este corectă).

Surse:

• Algebră clasa a 8-a
• rezolvă online o ecuație cu două necunoscute
• Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare cu două

Sistem ecuații este o colecție de înregistrări matematice, fiecare dintre ele conține un anumit număr de variabile. Există mai multe moduri de a le rezolva.

Vei avea nevoie

• -rigla si creion;
• -calculator.

Instruire

Se consideră șirul de rezolvare a sistemului, care constă din ecuații liniare având forma: a1x + b1y = c1 și a2x + b2y = c2. Unde x și y sunt variabile necunoscute și b,c sunt membri liberi. La aplicarea acestei metode, fiecare sistem este coordonatele punctelor corespunzătoare fiecărei ecuații. Mai întâi, în fiecare caz, exprimă o variabilă în termenii celeilalte. Apoi setați variabila x la orice număr de valori. Doi este suficient. Introduceți ecuația și găsiți y. Construiește un sistem de coordonate, marchează punctele obținute pe el și trage o linie dreaptă prin ele. Calcule similare trebuie efectuate pentru alte părți ale sistemului.

Sistemul are o soluție unică dacă liniile construite se intersectează și au un punct comun. Este inconsecvent dacă sunt paralele între ele. Și are infinit de soluții atunci când liniile se îmbină unele cu altele.

Această metodă este considerată a fi foarte clară. Principalul dezavantaj este că necunoscutele calculate au valori aproximative. Un rezultat mai precis este dat de așa-numitele metode algebrice.

Orice soluție a unui sistem de ecuații merită verificată. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile obținute în locul variabilelor. De asemenea, puteți găsi soluția în mai multe moduri. Dacă soluția sistemului este corectă, atunci toată lumea ar trebui să iasă la fel.

Adesea există ecuații în care unul dintre termeni este necunoscut. Pentru a rezolva o ecuație, trebuie să vă amintiți și să faceți un anumit set de acțiuni cu aceste numere.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - Pix sau creion.

Instruire

Imaginează-ți că ai 8 iepuri în fața ta și ai doar 5 morcovi. Gândește-te că trebuie să cumperi mai mulți morcovi, astfel încât fiecare iepure să primească un morcov.

Să reprezentăm această problemă sub forma unei ecuații: 5 + x = 8. Să înlocuim numărul 3 cu x. Într-adevăr, 5 + 3 = 8.

Când ai înlocuit un număr cu x, făceai aceeași operație ca și scăderea lui 5 din 8. Astfel, pentru a găsi necunoscut termen, scade termenul cunoscut din suma.

Să presupunem că ai 20 de iepuri și doar 5 morcovi. Să compunem. O ecuație este o egalitate care este valabilă numai pentru anumite valori ale literelor incluse în ea. Se numesc literele ale căror valori doriți să le găsiți. Scrieți o ecuație cu o necunoscută, numiți-o x. La rezolvarea problemei noastre despre iepuri se obține următoarea ecuație: 5 + x = 20.

Să aflăm diferența dintre 20 și 5. La scădere se reduce numărul din care se scade. Numărul care se scade se numește , iar rezultatul final se numește diferență. Deci, x = 20 - 5; x = 15. Trebuie să cumpărați 15 morcovi pentru iepuri.

Verificați: 5 + 15 = 20. Ecuația este corectă. Bineînțeles, când vine vorba de un lucru atât de simplu, verificarea nu este necesară. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații cu trei cifre, patru cifre și așa mai departe, este imperativ să efectuați o verificare pentru a fi absolut sigur de rezultatul muncii dvs.

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.

Pentru a găsi subtraend necunoscut, este necesar să scădem diferența din minuend.

Sfat 4: Cum să rezolvi un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute

Un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute poate să nu aibă soluții, în ciuda unui număr suficient de ecuații. Puteți încerca să o rezolvați folosind metoda substituției sau folosind metoda Cramer. Metoda lui Cramer, pe lângă rezolvarea sistemului, permite să se evalueze dacă sistemul este rezolvabil înainte de a găsi valorile necunoscutelor.

Instruire

Metoda substituției constă în succesiv o necunoscută prin alte două și înlocuirea rezultatului obținut în ecuațiile sistemului. Fie dat un sistem de trei ecuații în formă generală:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Exprimați x din prima ecuație: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - și înlocuiți în a doua și a treia ecuație, apoi exprimați y din a doua ecuație și înlocuiți în a treia. Veți obține o expresie liniară pentru z prin coeficienții ecuațiilor sistemului. Acum mergeți „înapoi”: introduceți z în a doua ecuație și găsiți y, apoi introduceți z și y în prima ecuație și găsiți x. Procesul este prezentat în general în figură până când se găsește z. În plus, înregistrarea în formă generală va fi prea greoaie, în practică, înlocuind , puteți găsi destul de ușor toate cele trei necunoscute.

Metoda lui Cramer constă în compilarea matricei sistemului și calcularea determinantului acestei matrice, precum și a încă trei matrice auxiliare. Matricea sistemului este compusă din coeficienții la termenii necunoscuți ai ecuațiilor. Coloana care conține numerele din partea dreaptă a ecuațiilor, coloana din partea dreaptă. Nu este folosit în sistem, dar este folosit la rezolvarea sistemului.

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Toate ecuațiile din sistem trebuie să furnizeze informații suplimentare independente de alte ecuații. În caz contrar, sistemul va fi subdeterminat și nu va fi posibilă găsirea unei soluții clare.

Sfaturi utile

După rezolvarea sistemului de ecuații, înlocuiți valorile găsite în sistemul original și verificați dacă satisfac toate ecuațiile.

De la sine ecuația cu trei necunoscut are multe soluții, așa că cel mai adesea este completat de încă două ecuații sau condiții. În funcție de care sunt datele inițiale, cursul deciziei va depinde în mare măsură.

Vei avea nevoie

• - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

Instruire

Dacă două dintre cele trei sisteme au doar două dintre cele trei necunoscute, încercați să exprimați unele variabile în termenii celorlalte și să le conectați la ecuația cu trei necunoscut. Scopul tău cu asta este să-l transformi într-un normal ecuația cu necunoscutul. Dacă aceasta este , soluția ulterioară este destul de simplă - înlocuiți valoarea găsită în alte ecuații și găsiți toate celelalte necunoscute.

Unele sisteme de ecuații pot fi scăzute dintr-o ecuație de alta. Vedeți dacă este posibil să înmulțiți unul dintre sau cu o variabilă, astfel încât două necunoscute să fie reduse simultan. Dacă există o astfel de oportunitate, folosiți-o, cel mai probabil, decizia ulterioară nu va fi dificilă. Nu uitați că atunci când înmulțiți cu un număr, trebuie să înmulțiți atât partea stângă, cât și cea dreaptă. În mod similar, atunci când scădeți ecuații, rețineți că și partea dreaptă trebuie scăzută.

Dacă metodele anterioare nu au ajutat, utilizați metoda generală pentru rezolvarea oricăror ecuații cu trei necunoscut. Pentru a face acest lucru, rescrieți ecuațiile sub forma a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Acum faceți o matrice de coeficienți la x (A), o matrice de necunoscute (X) și o matrice de coeficienți liberi (B). Atenție, înmulțind matricea de coeficienți cu matricea de necunoscute, veți obține o matrice, o matrice de membri liberi, adică A * X \u003d B.

Aflați matricea A la puterea (-1) după ce ați găsit , rețineți că nu ar trebui să fie egală cu zero. După aceea, înmulțiți matricea rezultată cu matricea B, ca rezultat veți obține matricea X dorită, indicând toate valorile.

De asemenea, puteți găsi o soluție la un sistem de trei ecuații folosind metoda Cramer. Pentru a face acest lucru, găsiți determinantul de ordinul trei ∆ corespunzător matricei sistemului. Apoi găsiți succesiv încă trei determinanți ∆1, ∆2 și ∆3, înlocuind valorile termenilor liberi în locul valorilor coloanelor corespunzătoare. Acum găsiți x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Surse:

• soluții de ecuații cu trei necunoscute

Începând să rezolvați un sistem de ecuații, aflați care sunt aceste ecuații. Metodele de rezolvare a ecuațiilor liniare sunt bine studiate. Ecuațiile neliniare de cele mai multe ori nu sunt rezolvate. Există un singur caz special, fiecare dintre ele practic individual. Prin urmare, studiul metodelor de soluție ar trebui să înceapă cu ecuații liniare. Astfel de ecuații pot fi rezolvate chiar și pur algoritmic.

Instruire

Începeți procesul de învățare învățând cum să rezolvați un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute X și Y prin eliminare. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Coeficienții ecuațiilor sunt indicați prin indici care indică locațiile lor. Deci coeficientul a21 subliniază faptul că este scris în a doua ecuație în primul rând. În notația general acceptată, sistemul este scris prin ecuații situate una sub cealaltă, notate împreună printr-o paranteză la dreapta sau la stânga (pentru mai multe detalii, vezi Fig. 1a).

Numerotarea ecuațiilor este arbitrară. Alegeți cel mai simplu, cum ar fi unul în care una dintre variabile este precedată de un factor de 1 sau cel puțin de un număr întreg. Dacă aceasta este ecuația (1), atunci exprimați în continuare, să zicem, necunoscutul Y în termeni de X (cazul eliminării lui Y). Pentru a face acest lucru, transformați (1) în forma a12*Y=b1-a11*X (sau a11*X=b1-a12*Y dacă X este exclus)) și apoi Y=(b1-a11*X)/a12 . Înlocuindu-l pe acesta din urmă în ecuația (2) scrieți a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Rezolvați această ecuație pentru X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) sau X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Folosind relația găsită între Y și X, obțineți în sfârșit a doua necunoscută Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Dacă sistemul ar fi dat cu coeficienți numerici specifici, atunci calculele ar fi mai puțin greoaie. Pe de altă parte, soluția generală face posibil să se ia în considerare faptul că, pentru necunoscutele găsite, acestea sunt exact aceleași. Da, iar numărătorii sunt vizibili unele modele ale construcției lor. Dacă dimensiunea sistemului de ecuații ar fi mai mare de două, atunci metoda eliminării ar duce la calcule foarte greoaie. Pentru a le evita, au fost dezvoltate soluții pur algoritmice. Cel mai simplu dintre ele este algoritmul lui Cramer (formulele lui Cramer). Căci ar trebui să învețe sistemul general de ecuații ale n ecuații.

Sistemul de n ecuații algebrice liniare cu n necunoscute are forma (vezi Fig. 1a). În el, aij sunt coeficienții sistemului,
хj – necunoscute, bi – membri liberi (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Un astfel de sistem poate fi scris compact sub forma matriceală AX=B. Aici A este matricea de coeficienți a sistemului, X este matricea coloanei de necunoscute, B este matricea coloanei de termeni liberi (vezi Fig. 1b). Conform metodei lui Cramer, fiecare necunoscut xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinantul ∆ al matricei de coeficienți se numește determinant principal, iar ∆i se numește auxiliar. Pentru fiecare necunoscută, se găsește un determinant auxiliar prin înlocuirea coloanei i-a a determinantului principal cu o coloană de termeni liberi. Metoda lui Cramer pentru cazul sistemelor de ordinul doi și al treilea este prezentată în detaliu în Fig. 2.

Un sistem este o unire a două sau mai multe egalități, fiecare dintre ele având două sau mai multe necunoscute. Există două modalități principale de a rezolva sistemele de ecuații liniare care sunt utilizate în programa școlară. Una dintre ele se numește metoda, cealaltă este metoda adunării.

Forma standard a unui sistem de două ecuații

În formă standard, prima ecuație este a1*x+b1*y=c1, a doua ecuație este a2*x+b2*y=c2 și așa mai departe. De exemplu, în cazul a două părți ale sistemului în ambele date a1, a2, b1, b2, c1, c2 sunt niște coeficienți numerici prezentați în ecuații specifice. La rândul lor, x și y sunt necunoscute ale căror valori trebuie determinate. Valorile dorite transformă ambele ecuații simultan în egalități adevărate.

Rezolvarea sistemului prin metoda adiției

Pentru a rezolva sistemul, adică pentru a găsi acele valori ale lui x și y care le vor transforma în egalități adevărate, trebuie să faceți câțiva pași simpli. Prima dintre acestea este de a transforma oricare dintre ecuații în așa fel încât coeficienții numerici pentru variabila x sau y din ambele ecuații să coincidă în valoare absolută, dar să difere în semn.

De exemplu, să fie dat un sistem format din două ecuații. Primul dintre ele are forma 2x+4y=8, al doilea are forma 6x+2y=6. Una dintre opțiunile de finalizare a sarcinii este înmulțirea celei de-a doua ecuații cu un factor de -2, ceea ce o va duce la forma -12x-4y=-12. Alegerea corectă a coeficientului este una dintre sarcinile cheie în procesul de rezolvare a sistemului prin metoda adunării, deoarece determină întregul curs ulterior al procedurii de găsire a necunoscutelor.

Acum este necesar să adăugați cele două ecuații ale sistemului. Evident, distrugerea reciprocă a variabilelor cu coeficienți egali ca valoare dar opuși ca semn o va duce la forma -10x=-4. După aceea, este necesar să rezolvăm această ecuație simplă, din care rezultă fără ambiguitate că x=0,4.

Ultimul pas în procesul de rezolvare este înlocuirea valorii găsite a uneia dintre variabile în oricare dintre egalitățile inițiale disponibile în sistem. De exemplu, înlocuind x=0,4 în prima ecuație, puteți obține expresia 2*0,4+4y=8, din care y=1,8. Astfel, x=0,4 și y=1,8 sunt rădăcinile sistemului prezentat în exemplu.

Pentru a vă asigura că rădăcinile au fost găsite corect, este util să verificați prin înlocuirea valorilor găsite în a doua ecuație a sistemului. De exemplu, în acest caz, se obține o egalitate de forma 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6, ceea ce este corect.

Videoclipuri asemănătoare

O ecuație liniară cu două variabile are forma generală ax + by + c = 0. În ea, a, b și c sunt coeficienți - unele numere; iar x și y sunt variabile - numere necunoscute de găsit.

Soluția unei ecuații liniare cu două variabile este o pereche de numere x și y, pentru care ax + by + c = 0 este o egalitate adevărată.

O anumită ecuație liniară cu două variabile (de exemplu, 3x + 2y - 1 = 0) are un set de soluții, adică un set de perechi de numere pentru care ecuația este adevărată. O ecuație liniară cu două variabile este transformată într-o funcție liniară de forma y = kx + m, care este o dreaptă pe planul de coordonate. Coordonatele tuturor punctelor situate pe această dreaptă sunt soluții ale unei ecuații liniare cu două variabile.

Dacă sunt date două ecuații liniare de forma ax + by + c = 0 și este necesar să se găsească astfel de valori ale lui x și y pentru care ambele vor avea soluții, atunci ei spun că este necesar rezolva sistemul de ecuatii. Sistemul de ecuații este scris sub o paranteză comună. Exemplu:

Un sistem de ecuații nu poate avea soluție dacă dreptele care sunt graficele funcțiilor liniare corespunzătoare nu se intersectează (adică sunt paralele între ele). Pentru a concluziona că nu există o soluție, este suficient să transformăm ambele ecuații liniare cu două variabile în forma y = kx + m. Dacă în ambele ecuații k este același număr, atunci sistemul nu are soluții.

Dacă un sistem de ecuații se dovedește a fi format din două ecuații identice (ceea ce poate să nu fie evident imediat, dar după transformări), atunci are un număr infinit de soluții. În acest caz, vorbim de incertitudine.

În toate celelalte cazuri, sistemul are o singură soluție. Această concluzie poate fi trasă din faptul că oricare două drepte neparalele se pot intersecta doar într-un singur punct. Acest punct de intersecție se află atât pe prima dreaptă, cât și pe a doua, adică va fi soluția atât a primei ecuații, cât și a celei de-a doua. Prin urmare, să fie o soluție a unui sistem de ecuații. Cu toate acestea, este necesar să se stipuleze situațiile în care sunt impuse anumite restricții asupra valorilor lui x și y (de obicei, prin condiția problemei). De exemplu, x > 0, y > 0. În acest caz, chiar dacă sistemul de ecuații are o soluție, dar nu îndeplinește condiția, atunci se ajunge la concluzia că sistemul de ecuații nu are soluții în condițiile date.

Există trei moduri de a rezolva un sistem de ecuații:

1. metoda de selectie. De cele mai multe ori acest lucru este foarte greu de făcut.
2. Metoda grafică. Când se trasează două drepte pe planul de coordonate (grafice ale funcțiilor ecuațiilor corespunzătoare) și se găsește punctul de intersecție al acestora. Această metodă poate da rezultate inexacte dacă coordonatele punctului de intersecție sunt numere fracționale.
3. Metode algebrice. Sunt versatile și de încredere.

Suntem deja familiarizați cu conceptul de ecuație liniară în două necunoscute. Ecuațiile pot fi prezente într-o singură problemă atât individual, cât și mai multe ecuații simultan. În astfel de cazuri, ecuațiile sunt combinate într-un sistem de ecuații.

Ce este un sistem de ecuații liniare

Sistem de ecuații sunt două sau mai multe ecuații pentru care este necesar să se găsească toate soluțiile lor comune. De obicei, pentru a scrie un sistem de ecuații, acestea sunt scrise într-o coloană și desenează o paranteză comună. Sistemul de ecuații liniare este scris mai jos.

(4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

Această înregistrare înseamnă că este dat un sistem de două ecuații, cu două variabile. Dacă ar fi trei ecuații în sistem, atunci ar fi un sistem de trei ecuații. Și așa pentru orice număr de ecuații.

Dacă toate ecuațiile prezente în sistem sunt liniare, atunci se spune că este dat un sistem de ecuații liniare. În exemplul de mai sus, tocmai este prezentat un sistem de două ecuații liniare. După cum sa menționat mai sus, sistemul poate avea soluții generale. Vom discuta mai jos despre termenul „soluție generală”.

Care este solutia?

O soluție a unui sistem de două ecuații cu două necunoscute este o pereche de numere (x, y) astfel încât, dacă aceste numere sunt înlocuite în ecuațiile sistemului, atunci fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

De exemplu, avem un sistem de două ecuații liniare. Soluția primei ecuații va fi toate perechile de numere care satisfac această ecuație.

Pentru a doua ecuație, soluția va fi perechi de numere care satisfac această ecuație. Dacă există o astfel de pereche de numere care satisface atât prima cât și a doua ecuație, atunci această pereche de numere va fi soluția sistemului a două ecuații liniare cu două necunoscute.

Soluție grafică

Grafic, soluția unei ecuații liniare sunt toate punctele unei linii de pe plan.

Pentru un sistem de ecuații liniare, vom avea mai multe drepte (după numărul de ecuații). Iar soluția sistemului de ecuații va fi punctul în care TOATE liniile se intersectează. Dacă nu există un astfel de punct, atunci sistemul nu va avea soluții. Punctul în care se intersectează toate liniile aparține fiecăreia dintre aceste drepte, deci soluția se numește generală.

Apropo, trasarea ecuațiilor sistemului și găsirea punctului lor comun este una dintre modalitățile de a rezolva sistemul de ecuații. Această metodă se numește grafică.

Alte moduri de a rezolva ecuații liniare

Există și alte moduri de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două variabile. Metode de bază pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu două necunoscute.

Vom analiza două tipuri de sisteme de rezolvare de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului prin metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii metoda de substitutie trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Ne exprimăm. Din orice ecuație, exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate, valoarea rezultata.
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

A rezolva sistem prin adunare (scădere) termen cu termen nevoie:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face aceiași coeficienți.
2. Adunăm sau scădem ecuațiile, ca rezultat obținem o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvăm ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului este punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în cea de-a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, deci rezultă că este mai ușor să exprimăm variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2. După exprimare, înlocuim 3 + 10y în prima ecuație în locul variabilei x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (paranteze deschise)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații este punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul paragraf unde am exprimat înlocuim y acolo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând, scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm prin adunare (scădere) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Selectați o variabilă, să presupunem că selectăm x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Din prima ecuație, scădeți a doua pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fara gluma.

Mai fiabilă decât metoda grafică discutată în paragraful anterior.

Metoda de înlocuire

Am folosit această metodă în clasa a VII-a pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Algoritmul care a fost dezvoltat în clasa a VII-a este destul de potrivit pentru rezolvarea sistemelor de oricare două ecuații (nu neapărat liniare) cu două variabile x și y (desigur, variabilele pot fi notate cu alte litere, ceea ce nu contează). De fapt, am folosit acest algoritm în paragraful anterior, când problema unui număr de două cifre a condus la un model matematic, care este un sistem de ecuații. Am rezolvat mai sus acest sistem de ecuații prin metoda substituției (vezi exemplul 1 din § 4).

Algoritm pentru utilizarea metodei substituției la rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile x, y.

1. Exprimați y în termeni de x dintr-o ecuație a sistemului.
2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.
3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.
4. Înlocuiți pe rând fiecare dintre rădăcinile ecuației găsite la a treia etapă în loc de x în expresia y prin x obținută la prima etapă.
5. Notați răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y), care au fost găsite, respectiv, în pasul al treilea și respectiv al patrulea.

4) Înlocuiți pe rând fiecare dintre valorile găsite ale lui y în formula x \u003d 5 - Zy. Daca atunci
5) Perechi (2; 1) și soluții ale unui sistem de ecuații dat.

Răspuns: (2; 1);

Metoda adunării algebrice

Această metodă, ca și metoda substituției, vă este familiară de la cursul de algebră de clasa a VII-a, unde a fost folosită pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Reamintim esența metodei în exemplul următor.

Exemplul 2 Rezolvați un sistem de ecuații

Înmulțim toți termenii primei ecuații a sistemului cu 3 și lăsăm neschimbată a doua ecuație:
Scădeți a doua ecuație a sistemului din prima sa ecuație:

Ca rezultat al adunării algebrice a două ecuații ale sistemului original, s-a obținut o ecuație care este mai simplă decât prima și a doua ecuație a sistemului dat. Cu această ecuație mai simplă, avem dreptul de a înlocui orice ecuație a unui sistem dat, de exemplu, pe a doua. Apoi sistemul de ecuații dat va fi înlocuit cu un sistem mai simplu:

Acest sistem poate fi rezolvat prin metoda substituției. Din a doua ecuație găsim Înlocuind această expresie în loc de y în prima ecuație a sistemului, obținem

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale x în formulă

Dacă x = 2 atunci

Astfel, am găsit două soluții la sistem:

Metoda de introducere a noilor variabile

Te-ai familiarizat cu metoda de introducere a unei noi variabile la rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Esența acestei metode de rezolvare a sistemelor de ecuații este aceeași, dar din punct de vedere tehnic există câteva caracteristici pe care le vom discuta în exemplele următoare.

Exemplul 3 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem o nouă variabilă. Atunci prima ecuație a sistemului poate fi rescrisă într-o formă mai simplă: Să rezolvăm această ecuație în raport cu variabila t:

Ambele valori satisfac condiția și, prin urmare, sunt rădăcinile unei ecuații raționale cu variabila t. Dar asta înseamnă fie de unde găsim că x = 2y, fie
Astfel, cu ajutorul metodei de introducere a unei noi variabile, am putut, parcă, să „stratificăm” prima ecuație a sistemului, care este destul de complexă în aparență, în două ecuații mai simple:

x = 2 y; y - 2x.

Ce urmeaza? Și apoi fiecare dintre cele două ecuații simple obținute trebuie luată în considerare pe rând într-un sistem cu ecuația x 2 - y 2 \u003d 3, pe care nu ne-am amintit încă. Cu alte cuvinte, problema se reduce la rezolvarea a două sisteme de ecuații:

Este necesar să găsiți soluții pentru primul sistem, al doilea sistem și să includeți toate perechile de valori rezultate în răspuns. Să rezolvăm primul sistem de ecuații:

Să folosim metoda substituției, mai ales că totul este gata pentru asta aici: înlocuim expresia 2y în loc de x în a doua ecuație a sistemului. obține

Deoarece x \u003d 2y, găsim x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Astfel, se obțin două soluții pentru sistemul dat: (2; 1) și (-2; -1). Să rezolvăm al doilea sistem de ecuații:

Să folosim din nou metoda substituției: înlocuim expresia 2x în loc de y în a doua ecuație a sistemului. obține

Această ecuație nu are rădăcini, ceea ce înseamnă că sistemul de ecuații nu are soluții. Astfel, doar soluțiile primului sistem ar trebui incluse în răspuns.

Răspuns: (2; 1); (-2;-1).

Metoda introducerii de noi variabile la rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile este utilizată în două versiuni. Prima opțiune: o nouă variabilă este introdusă și utilizată într-o singură ecuație a sistemului. Este exact ceea ce sa întâmplat în exemplul 3. A doua opțiune: două variabile noi sunt introduse și utilizate simultan în ambele ecuații ale sistemului. Acesta va fi cazul în exemplul 4.

Exemplul 4 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem două variabile noi:

Învățăm asta atunci

Acest lucru ne va permite să rescriem sistemul dat într-o formă mult mai simplă, dar cu privire la noile variabile a și b:

Deoarece a \u003d 1, atunci din ecuația a + 6 \u003d 2 găsim: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Astfel, pentru variabilele a și b, avem o soluție:

Revenind la variabilele x și y, obținem sistemul de ecuații

Aplicam metoda adunarii algebrice pentru a rezolva acest sistem:

De atunci din ecuația 2x + y = 3 găsim:
Astfel, pentru variabilele x și y, avem o soluție:

Să încheiem această secțiune cu o scurtă, dar destul de serioasă discuție teoretică. Ai acumulat deja ceva experiență în rezolvarea diverselor ecuații: liniare, pătrate, raționale, iraționale. Știți că ideea principală a rezolvării unei ecuații este trecerea treptat de la o ecuație la alta, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. În secțiunea anterioară, am introdus noțiunea de echivalență pentru ecuațiile cu două variabile. Acest concept este folosit și pentru sistemele de ecuații.

Definiție.

Două sisteme de ecuații cu variabile x și y se spune că sunt echivalente dacă au aceleași soluții sau dacă ambele sisteme nu au soluții.

Toate cele trei metode (substituție, adunare algebrică și introducere de noi variabile) pe care le-am discutat în această secțiune sunt absolut corecte din punct de vedere al echivalenței. Cu alte cuvinte, folosind aceste metode, înlocuim un sistem de ecuații cu altul, mai simplu, dar echivalent cu sistemul original.

Metoda grafica de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Am învățat deja cum să rezolvăm sisteme de ecuații în moduri atât de comune și de încredere, cum ar fi metoda de substituție, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile. Și acum să ne amintim metoda pe care ați studiat-o deja în lecția anterioară. Adică să repetăm ​​ceea ce știi despre metoda soluției grafice.

Metoda de rezolvare grafică a sistemelor de ecuații este construirea unui grafic pentru fiecare dintre ecuațiile specifice care sunt incluse în acest sistem și se află în același plan de coordonate și, de asemenea, acolo unde este necesar să se găsească intersecția punctelor acestor grafice. . Pentru a rezolva acest sistem de ecuații sunt coordonatele acestui punct (x; y).

Trebuie amintit că este obișnuit ca un sistem grafic de ecuații să aibă fie o singură soluție corectă, fie un număr infinit de soluții, fie să nu aibă deloc soluții.

Acum să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre aceste soluții. Și astfel, sistemul de ecuații poate avea o soluție unică dacă liniile, care sunt graficele ecuațiilor sistemului, se intersectează. Dacă aceste drepte sunt paralele, atunci un astfel de sistem de ecuații nu are absolut nicio soluție. În cazul coincidenței graficelor directe ale ecuațiilor sistemului, atunci un astfel de sistem vă permite să găsiți multe soluții.

Ei bine, acum să aruncăm o privire la algoritmul pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 necunoscute folosind o metodă grafică:

Mai întâi, la început construim un grafic al primei ecuații;
Al doilea pas va fi trasarea unui grafic care se referă la a doua ecuație;
În al treilea rând, trebuie să găsim punctele de intersecție ale graficelor.
Și, ca rezultat, obținem coordonatele fiecărui punct de intersecție, care va fi soluția sistemului de ecuații.

Să ne uităm la această metodă mai detaliat cu un exemplu. Ni se oferă un sistem de ecuații de rezolvat:

Rezolvarea ecuațiilor

1. Mai întâi, vom construi un grafic al acestei ecuații: x2+y2=9.

Dar trebuie remarcat faptul că acest grafic al ecuațiilor va fi un cerc centrat la origine, iar raza lui va fi egală cu trei.

2. Următorul nostru pas va fi reprezentarea unei ecuații precum: y = x - 3.

În acest caz, trebuie să construim o dreaptă și să găsim punctele (0;−3) și (3;0).

3. Să vedem ce avem. Vedem că linia intersectează cercul în două dintre punctele sale A și B.

Acum căutăm coordonatele acestor puncte. Vedem că coordonatele (3;0) corespund punctului A, iar coordonatele (0;−3) corespund punctului B.

Și ce obținem ca rezultat?

Numerele (3;0) și (0;−3) obținute la intersecția unei drepte cu un cerc sunt exact soluțiile ambelor ecuații ale sistemului. Și de aici rezultă că aceste numere sunt și soluții ale acestui sistem de ecuații.

Adică răspunsul acestei soluții sunt numerele: (3;0) și (0;−3).