În articol, vom arăta cum se rezolvă fracții cu exemple simple clare. Să înțelegem ce este o fracție și să luăm în considerare rezolvarea fracțiilor!

concept fractii se introduce în cursul de matematică începând din clasa a VI-a de gimnaziu.

Fracțiile arată astfel: ±X / Y, unde Y este numitorul, spune în câte părți a fost împărțit întregul, iar X este numărătorul, spune câte astfel de părți au fost luate. Pentru claritate, să luăm un exemplu cu un tort:

În primul caz, prăjitura a fost tăiată în mod egal și s-a luat jumătate, adică. 1/2. În al doilea caz, prăjitura a fost tăiată în 7 părți, din care s-au luat 4 părți, adică. 4/7.

Dacă partea din împărțirea unui număr la altul nu este un număr întreg, se scrie ca fracție.

De exemplu, expresia 4:2 \u003d 2 dă un număr întreg, dar 4:7 nu este complet divizibil, așa că această expresie este scrisă ca o fracție 4/7.

Cu alte cuvinte fracțiune este o expresie care denotă împărțirea a două numere sau expresii și care se scrie cu o bară oblică.

Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, fracția este corectă, dacă invers, este incorectă. O fracție poate conține un număr întreg.

De exemplu, 5 întregi 3/4.

Această intrare înseamnă că pentru a obține întregul 6, o parte din patru nu este suficientă.

Dacă vrei să-ți amintești cum se rezolvă fracții pentru clasa a VI-a trebuie să înțelegi asta rezolvarea fracțiilor practic se rezumă la înțelegerea câtorva lucruri simple.

• O fracție este în esență o expresie pentru o fracție. Adică, o expresie numerică a ce parte este o valoare dată dintr-un întreg. De exemplu, fracția 3/5 exprimă că dacă împărțim ceva întreg în 5 părți și numărul de părți sau părți din acest întreg este trei.
• O fracție poate fi mai mică decât 1, de exemplu 1/2 (sau în esență jumătate), atunci este corectă. Dacă fracția este mai mare decât 1, de exemplu 3/2 (trei jumătăți sau una și jumătate), atunci este incorectă și pentru a simplifica soluția, este mai bine să selectăm întreaga parte 3/2= 1 întreg 1 /2.
• Fracțiile sunt aceleași numere ca 1, 3, 10 și chiar 100, doar că numerele nu sunt întregi, ci fracționale. Cu ele, puteți efectua toate aceleași operațiuni ca și cu numerele. Numărarea fracțiilor nu este mai dificilă și mai departe vom arăta acest lucru cu exemple specifice.

Cum se rezolvă fracții. Exemple.

O varietate de operații aritmetice sunt aplicabile fracțiilor.

Aducerea unei fracții la un numitor comun

De exemplu, trebuie să comparați fracțiile 3/4 și 4/5.

Pentru a rezolva problema, găsim mai întâi cel mai mic numitor comun, adică. cel mai mic număr care este divizibil fără rest cu fiecare dintre numitorii fracțiilor

Cel mai mic numitor comun (4,5) = 20

Apoi numitorul ambelor fracții se reduce la cel mai mic numitor comun

Raspuns: 15/20

Adunarea și scăderea fracțiilor

Dacă este necesar să se calculeze suma a două fracții, acestea sunt mai întâi aduse la un numitor comun, apoi se adună numărătorii, în timp ce numitorul rămâne neschimbat. Diferența de fracții este considerată într-un mod similar, singura diferență este că numărătorii sunt scăzuți.

De exemplu, trebuie să găsiți suma fracțiilor 1/2 și 1/3

Acum găsiți diferența dintre fracțiile 1/2 și 1/4

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Aici soluția fracțiilor este simplă, totul este destul de simplu aici:

• Înmulțirea - numărătorii și numitorii fracțiilor se înmulțesc între ei;
• Împărțire - mai întâi obținem o fracție, reciproca celei de-a doua fracții, adică. schimbați numărătorul și numitorul, după care înmulțim fracțiile rezultate.

De exemplu:

Despre asta despre cum se rezolvă fracții, toate. Dacă aveți întrebări despre rezolvarea fracțiilor, ceva nu este clar, atunci scrie in comentarii si iti vom raspunde.

Dacă sunteți profesor, atunci este posibil să descărcați o prezentare pentru o școală elementară (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), care vă va fi utilă.

Acest articol este o privire generală asupra operațiunilor cu fracții. Aici formulăm și justificăm regulile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la puterea fracțiilor de forma generală A/B , unde A și B sunt niște numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. Ca de obicei, vom furniza materialul cu exemple explicative cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Navigare în pagină.

Reguli pentru efectuarea operațiilor cu fracții numerice de formă generală

Să fim de acord că fracțiile numerice generale sunt fracții în care numărătorul și/sau numitorul pot fi reprezentate nu numai prin numere naturale, ci și prin alte numere sau expresii numerice. Pentru claritate, iată câteva exemple de astfel de fracții: .

Știm regulile după care . După aceleași reguli, puteți efectua operații cu fracții de formă generală:

Rațiunea regulilor

Pentru a justifica validitatea regulilor de efectuare a acțiunilor cu fracții numerice generale, se poate porni de la următoarele puncte:

• o bară fracțională este în esență un semn de divizare,
• împărțirea cu un număr diferit de zero poate fi considerată o înmulțire cu reciproca divizorului (acest lucru explică imediat regula împărțirii fracțiilor),
• proprietățile acțiunilor cu numere reale,
• și înțelegerea sa generalizată,

Ele vă permit să efectuați următoarele transformări care justifică regulile de adunare, scădere a fracțiilor cu aceiași și diferiți numitori, precum și regula de înmulțire a fracțiilor:

Exemple

Să dăm exemple de efectuare a unei acțiuni cu fracții de formă generală conform regulilor învățate în paragraful anterior. Să spunem imediat că, de obicei, după efectuarea acțiunilor cu fracții, fracția rezultată necesită simplificare, iar procesul de simplificare a unei fracții este adesea mai complicat decât efectuarea acțiunilor anterioare. Nu ne vom opri asupra simplificării fracțiilor (transformările corespunzătoare sunt discutate în articolul Transformarea fracțiilor), pentru a nu fi distras de la subiectul care ne interesează.

Să începem cu exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu aceiași numitori. Să începem prin adunarea fracțiilor și . Evident, numitorii sunt egali. Conform regulii corespunzătoare, notăm o fracție al cărei numărător este egal cu suma numărătorilor fracțiilor originale și lăsăm numitorul același, avem . Adunarea este făcută, rămâne să simplificați fracția rezultată: . Asa de, .

A fost posibil să se conducă decizia într-un mod diferit: mai întâi, faceți tranziția la fracțiile obișnuite și apoi efectuați adunarea. Cu această abordare, avem .

Acum scade din fracție fracțiune . Numitorii fracțiilor sunt egali, prin urmare, acționăm conform regulii de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori:

Să trecem la exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori diferiți. Aici principala dificultate constă în aducerea fracțiilor la un numitor comun. Pentru fracțiile unei forme generale, acesta este un subiect destul de extins, îl vom analiza în detaliu într-un articol separat. reducerea fracțiilor la un numitor comun. Deocamdată, ne vom limita la câteva recomandări generale, deoarece momentan suntem mai interesați de tehnica efectuării acțiunilor cu fracții.

În general, procesul este similar cu reducerea la un numitor comun al fracțiilor obișnuite. Adică numitorii sunt prezentați ca produse, apoi se iau toți factorii de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Când numitorii fracțiilor adăugate sau scăzute nu au factori comuni, atunci este logic să luăm produsul lor ca numitor comun. Să luăm un exemplu.

Să presupunem că trebuie să adunăm fracții și 1/2. Aici, ca numitor comun, este logic să luăm produsul numitorilor fracțiilor originale, adică . În acest caz, factorul suplimentar pentru prima fracție va fi 2 . După înmulțirea numărătorului și numitorului cu acesta, fracția va lua forma . Iar pentru a doua fracție, factorul suplimentar este expresia. Cu ajutorul ei, fracția 1/2 se reduce la forma. Rămâne să adunăm fracțiile rezultate cu aceiași numitori. Iată un rezumat al întregii soluții:

În cazul fracțiilor de formă generală, nu mai vorbim de cel mai mic numitor comun, la care se reduc de obicei fracțiile obișnuite. Deși în această chestiune este încă de dorit să lupți pentru un anumit minimalism. Prin aceasta dorim să spunem că nu este necesar să luăm imediat produsul numitorilor fracțiilor originale ca numitor comun. De exemplu, nu este deloc necesar să luăm numitorul comun al fracțiilor și al produsului . Aici, ca numitor comun, putem lua .

Ne întoarcem la exemple de înmulțire a fracțiilor unei forme generale. Înmulțiți fracțiile și . Regula pentru efectuarea acestei acțiuni ne spune să notăm o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Noi avem . Aici, ca în multe alte cazuri când înmulțiți fracții, puteți reduce fracția: .

Regula împărțirii fracțiilor vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire printr-o reciprocă. Aici trebuie să rețineți că pentru a obține o fracție reciprocă a uneia date, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul acestei fracții. Iată un exemplu de tranziție de la împărțirea fracțiilor generale la înmulțire: . Rămâne să efectuați înmulțirea și să simplificați fracția rezultată (dacă este necesar, vedeți transformarea expresiilor iraționale):

Încheind informațiile acestui paragraf, reamintim că orice număr sau expresie numerică poate fi reprezentată ca o fracție cu numitor 1, prin urmare, adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea unui număr și a unei fracții pot fi considerate ca efectuând acțiunea corespunzătoare cu fracții, dintre care una are o unitate la numitor. De exemplu, înlocuirea în expresie rădăcină a trei fracții, vom trece de la înmulțirea unei fracții cu un număr la înmulțirea a două fracții: .

Efectuarea de operații cu fracții care conțin variabile

Regulile din prima parte a acestui articol se aplică și pentru efectuarea operațiilor cu fracții care conțin variabile. Să o justificăm pe prima dintre ele - regula adunării și scăderii fracțiilor cu aceiași numitori, restul se dovedește exact în același mod.

Să demonstrăm că pentru orice expresii A , C și D (D este identic diferit de zero) avem egalitatea pe gama sa de valori acceptabile ale variabilelor.

Să luăm un set de variabile din ODZ. Fie expresiile A , C și D să ia valorile a 0 , c 0 și d 0 pentru aceste valori ale variabilelor. Apoi, înlocuirea valorilor variabilelor din setul selectat în expresie o transformă într-o sumă (diferență) de fracții numerice cu aceiași numitori ai formei, care, conform regulii de adunare (scădere) a fracțiilor numerice cu aceiași numitori, este egal cu . Dar înlocuirea valorilor variabilelor din setul selectat în expresie o transformă în aceeași fracție. Aceasta înseamnă că pentru setul selectat de valori variabile din ODZ, valorile expresiilor și sunt egale. Este clar că valorile acestor expresii vor fi egale pentru orice alt set de valori ale variabilelor din ODZ, ceea ce înseamnă că expresiile și sunt identic egale, adică egalitatea care se dovedește este adevărată. .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când numitorii fracțiilor care se adună sau se scad sunt aceiași, atunci totul este destul de simplu - numărătorii se adună sau se scad, iar numitorul rămâne același. Este clar că fracția obținută după aceasta este simplificată dacă este necesar și posibil.

Rețineți că uneori numitorii fracțiilor diferă doar la prima vedere, dar de fapt sunt expresii identice, cum ar fi, de exemplu, și , sau și . Și uneori este suficient să simplificați fracțiile inițiale, astfel încât numitorii lor identici să „apare”.

Exemplu.

, b) , în) .

Decizie.

a) Trebuie să scădem fracții cu aceiași numitori. Conform regulii corespunzătoare, lăsăm numitorul același și scădem numărătorii, avem . Acțiune făcută. Dar puteți deschide totuși parantezele în numărător și aduceți termeni similari: .

b) Evident, numitorii fracțiilor adăugate sunt aceiași. Prin urmare, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul același: . Adăugare finalizată. Dar este ușor de observat că fracția rezultată poate fi redusă. Într-adevăr, numărătorul fracției rezultate poate fi redus cu pătratul sumei ca (lgx + 2) 2 (vezi formulele de înmulțire prescurtate), astfel încât au loc următoarele transformări: .

c) Fracții în sumă au numitori diferiți. Dar, transformând una dintre fracții, puteți trece la adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori. Vă prezentăm două soluții.

Prima cale. Numitorul primei fracții poate fi factorizat folosind formula diferenței de pătrate și apoi reduceți această fracție: . Prin urmare, . Nu strică să scapi de iraționalitatea la numitorul unei fracții: .

A doua cale. Înmulțirea numărătorului și numitorului celei de-a doua fracții (această expresie nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x din DPV pentru expresia originală) vă permite să atingeți două obiective simultan: scăpați de iraționalitate și treceți la adunare. fracții cu aceiași numitori. Noi avem

Răspuns:

A) , b) , în) .

Ultimul exemplu ne-a adus la problema aducerii fracțiilor la un numitor comun. Acolo am ajuns aproape accidental la aceiași numitori, simplificând una dintre fracțiile adăugate. Dar, în cele mai multe cazuri, atunci când se adună și se scad fracții cu numitori diferiți, trebuie să aducem intenționat fracțiile la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, numitorii fracțiilor sunt de obicei prezentați ca produse, toți factorii sunt luați de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Exemplu.

Efectuați acțiuni cu fracții: a) , b), c) .

Decizie.

a) Nu este nevoie să faceți nimic cu numitorii fracțiilor. Ca numitor comun, luăm produsul . În acest caz, factorul suplimentar pentru prima fracție este expresia, iar pentru a doua fracție - numărul 3. Acești factori suplimentari aduc fracțiile la un numitor comun, ceea ce ne permite în continuare să realizăm acțiunea de care avem nevoie

b) În acest exemplu, numitorii sunt deja prezentați ca produse și nu sunt necesare transformări suplimentare. Evident, factorii din numitori diferă doar în exponenți, prin urmare, ca numitor comun, luăm produsul factorilor cu cei mai mari exponenți, adică . Atunci factorul suplimentar pentru prima fracție va fi x 4 , iar pentru a doua - ln(x+1) . Acum suntem gata să scădem fracții:

c) Și în acest caz, pentru început, vom lucra cu numitorii fracțiilor. Formulele diferenței de pătrate și pătratul sumei vă permit să treceți de la suma inițială la expresia . Acum este clar că aceste fracții pot fi reduse la un numitor comun . Cu această abordare, soluția va arăta astfel:

Răspuns:

A)

b)

în)

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

Înmulțirea fracțiilor dă o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Aici, după cum puteți vedea, totul este familiar și simplu și nu putem decât să adăugăm că fracția obținută în urma acestei acțiuni este adesea redusă. În aceste cazuri, se reduce, cu excepția cazului în care, desigur, este necesar și justificat.

Acest articol tratează operațiile pe fracții. Se vor forma și justifica reguli de adunare, scădere, înmulțire, împărțire sau exponențiere a fracțiilor de forma A B, unde A și B pot fi numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. În concluzie, vor fi luate în considerare exemple de soluții cu o descriere detaliată.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Reguli pentru efectuarea operațiilor cu fracții numerice de formă generală

Fracțiile numerice de formă generală au un numărător și un numitor, în care există numere naturale sau expresii numerice. Dacă luăm în considerare astfel de fracții ca 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , atunci este clar că numărătorul și numitorul pot avea nu numai numere, ci și expresii ale unui plan diferit.

Definiția 1

Există reguli prin care acțiunile sunt efectuate cu fracții obișnuite. Este potrivit și pentru fracții de formă generală:

• La scăderea fracțiilor cu aceiași numitori, se adaugă doar numărătorii, iar numitorul rămâne același, și anume: a d ± c d \u003d a ± c d, valorile a, c și d ≠ 0 sunt niște numere sau expresii numerice.
• Când se adună sau se scăde fracții cu numitori diferiți, este necesar să se reducă la una comună, apoi să se adună sau să se scadă fracțiile rezultate cu aceiași indicatori. Literal, arată astfel a b ± c d = a p ± c r s , unde valorile a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 sunt numere reale și b p = d r = s. Când p = d și r = b, atunci a b ± c d = a d ± c d b d.
• La înmulțirea fracțiilor, se efectuează o acțiune cu numărători, după care cu numitori, obținem a b c d \u003d a c b d, unde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 acționează ca numere reale.
• Când împărțim o fracție la o fracție, o înmulțim pe prima cu a doua reciprocă, adică schimbăm numărătorul și numitorul: a b: c d \u003d a b d c.

Rațiunea regulilor

Definiția 2

Există următoarele puncte matematice pe care ar trebui să te bazezi când calculezi:

• o bară fracțională înseamnă un semn de divizare;
• împărțirea cu un număr este tratată ca o înmulțire cu reciproca sa;
• aplicarea proprietății acțiunilor cu numere reale;
• aplicarea proprietății de bază a unei fracții și a inegalităților numerice.

Cu ajutorul lor, puteți face transformări ale formei:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Exemple

În paragraful anterior s-a spus despre acțiunile cu fracții. După aceasta, fracția trebuie simplificată. Acest subiect a fost discutat în detaliu în secțiunea privind conversia fracțiilor.

Mai întâi, luați în considerare exemplul de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor.

Exemplul 1

Având în vedere fracțiile 8 2 , 7 și 1 2 , 7 , atunci conform regulii este necesar să se adună numărătorul și să rescrie numitorul.

Decizie

Apoi obținem o fracție de forma 8 + 1 2 , 7 . După efectuarea adunării, obținem o fracție de forma 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Deci 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Răspuns: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Există o altă modalitate de a rezolva. Pentru început, se face o tranziție la forma unei fracții obișnuite, după care efectuăm o simplificare. Arata cam asa:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplul 2

Să scădem din 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fracții de forma 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Deoarece sunt dați numitori egali, înseamnă că calculăm o fracție cu același numitor. Înțelegem asta

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Există exemple de calculare a fracțiilor cu numitori diferiți. Un punct important este reducerea la un numitor comun. Fără aceasta, nu vom putea efectua alte acțiuni cu fracții.

Procesul amintește de departe de reducerea la un numitor comun. Adică se face o căutare pentru cel mai mic divizor comun la numitor, după care factorii lipsă se adaugă la fracții.

Dacă fracțiile adăugate nu au factori comuni, atunci produsul lor poate deveni unul.

Exemplul 3

Luați în considerare exemplul de adunare a fracțiilor 2 3 5 + 1 și 1 2 .

Decizie

În acest caz, numitorul comun este produsul numitorilor. Atunci obținem că 2 · 3 5 + 1 . Apoi, atunci când stabilim factori suplimentari, avem că pentru prima fracție este egal cu 2, iar pentru a doua 3 5 + 1. După înmulțire, fracțiile sunt reduse la forma 4 2 3 5 + 1. Distribuția generală 1 2 va fi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Adăugăm expresiile fracționale rezultate și obținem asta

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Răspuns: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Când avem de-a face cu fracții de formă generală, atunci cel mai mic numitor comun nu este de obicei cazul. Este neprofitabil să luăm ca numitor produsul numărătorilor. Mai întâi trebuie să verificați dacă există un număr care are o valoare mai mică decât produsul lor.

Exemplul 4

Luați în considerare exemplul 1 6 2 1 5 și 1 4 2 3 5 când produsul lor este egal cu 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Apoi luăm 12 · 2 3 5 ca numitor comun.

Luați în considerare exemple de înmulțiri de fracții dintr-o formă generală.

Exemplul 5

Pentru a face acest lucru, este necesar să înmulțiți 2 + 1 6 și 2 · 5 3 · 2 + 1.

Decizie

Urmând regula, este necesar să rescrieți și să scrieți produsul numărătorilor ca numitor. Obținem că 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Când fracția este înmulțită, se pot face reduceri pentru a o simplifica. Atunci 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Folosind regula trecerii de la împărțire la înmulțire cu o reciprocă, obținem reciproca celei date. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul sunt inversate. Să ne uităm la un exemplu:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

După aceea, trebuie să efectueze înmulțirea și să simplifice fracția rezultată. Dacă este necesar, scăpați de iraționalitatea din numitor. Înțelegem asta

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Răspuns: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Acest paragraf este aplicabil atunci când un număr sau o expresie numerică poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor egal cu 1, atunci operația cu o astfel de fracție este considerată un paragraf separat. De exemplu, expresia 1 6 7 4 - 1 3 arată că rădăcina lui 3 poate fi înlocuită cu o altă expresie 3 1. Atunci această înregistrare va arăta ca o înmulțire a două fracții de forma 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Efectuarea unei acțiuni cu fracții care conțin variabile

Regulile discutate în primul articol sunt aplicabile operațiilor cu fracții care conțin variabile. Luați în considerare regula scăderii atunci când numitorii sunt aceiași.

Este necesar să se demonstreze că A , C și D (D nu sunt egale cu zero) pot fi orice expresii, iar egalitatea A D ± C D = A ± C D este echivalentă cu intervalul său de valori valide.

Este necesar să se ia un set de variabile ODZ. Atunci A, C, D trebuie să ia valorile corespunzătoare a 0 , c 0 și d0. O substituire a formei A D ± C D are ca rezultat o diferență de forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , unde, conform regulii de adunare, obținem o formulă de forma a 0 ± c 0 d 0 . Dacă înlocuim expresia A ± C D , atunci obținem aceeași fracție de forma a 0 ± c 0 d 0 . Din aceasta concluzionăm că valoarea aleasă care satisface ODZ, A ± C D și A D ± C D sunt considerate egale.

Pentru orice valoare a variabilelor, aceste expresii vor fi egale, adică se numesc identic egale. Aceasta înseamnă că această expresie este considerată a fi o egalitate demonstrabilă de forma A D ± C D = A ± C D .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când există aceiași numitori, este necesar doar să se adună sau să scadă numărătorii. Această fracție poate fi simplificată. Uneori trebuie să lucrați cu fracții care sunt identic egale, dar la prima vedere acest lucru nu se observă, deoarece trebuie efectuate unele transformări. De exemplu, x 2 3 x 1 3 + 1 și x 1 3 + 1 2 sau 1 2 sin 2 α și sin a cos a. Cel mai adesea, este necesară o simplificare a expresiei originale pentru a vedea aceiași numitori.

Exemplul 6

Calculați: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Decizie

1. Pentru a face un calcul, trebuie să scădeți fracțiile care au aceiași numitori. Atunci obținem că x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . După aceea, puteți deschide parantezele cu reducerea termenilor similari. Obținem că x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Deoarece numitorii sunt aceiași, rămâne doar adunarea numărătorilor, lăsând numitorul: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Adăugarea a fost finalizată. Se poate observa că fracția poate fi redusă. Numătorul său poate fi pliat folosind formula sumei pătrate, apoi obținem (l g x + 2) 2 din formulele de multiplicare prescurtate. Atunci obținem asta
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Date fracții de forma x - 1 x - 1 + x x + 1 cu diferiți numitori. După transformare, puteți trece la adăugare.

Să luăm în considerare o soluție în două sensuri.

Prima metodă este ca numitorul primei fracții să fie supus factorizării folosind pătrate și cu reducerea sa ulterioară. Obținem o fracțiune din formă

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Deci x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

În acest caz, este necesar să scăpăm de iraționalitatea în numitor.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A doua modalitate este de a înmulți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu x-1. Astfel, scăpăm de iraționalitate și trecem la adunarea unei fracții cu același numitor. Apoi

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Răspuns: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

În ultimul exemplu, am constatat că reducerea la un numitor comun este inevitabilă. Pentru a face acest lucru, trebuie să simplificați fracțiile. Pentru a adăuga sau scădea, trebuie întotdeauna să căutați un numitor comun, care arată ca produsul numitorilor cu adăugarea de factori suplimentari la numărători.

Exemplul 7

Calculați valorile fracțiilor: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Decizie

1. Numitorul nu necesită calcule complicate, așa că trebuie să alegeți produsul lor de forma 3 x 7 + 2 2, apoi la prima fracție x 7 + 2 2 este ales ca factor suplimentar și 3 la a doua. Când înmulțim, obținem o fracție de forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Se poate observa că numitorii sunt prezentați ca un produs, ceea ce înseamnă că transformările suplimentare sunt inutile. Numitorul comun va fi produsul formei x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . De aici x 4 este un factor suplimentar la prima fracție și ln (x + 1) la al doilea. Apoi scadem si obtinem:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Acest exemplu are sens atunci când lucrați cu numitori de fracții. Este necesar să se aplice formulele pentru diferența de pătrate și pătratul sumei, deoarece acestea vor face posibilă trecerea la o expresie de forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Se poate observa că fracțiile sunt reduse la un numitor comun. Obținem că cos x - x cos x + x 2 .

Atunci obținem asta

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Răspuns:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

La înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Apoi puteți aplica proprietatea de reducere.

Exemplul 8

Înmulțiți fracțiile x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Decizie

Trebuie să faci înmulțirea. Înțelegem asta

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Numărul 3 este transferat pe primul loc pentru confortul calculelor și puteți reduce fracția cu x 2, apoi obținem o expresie de forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Răspuns: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Divizia

Împărțirea fracțiilor este similară cu înmulțirea, deoarece prima fracție este înmulțită cu a doua reciprocă. Dacă luăm, de exemplu, fracția x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și împărțim la 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, atunci aceasta poate fi scrisă ca

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , apoi înlocuiți cu un produs de forma x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Exponentiație

Să trecem la acțiunea cu fracții de formă generală cu exponențiere. Dacă există un grad cu un exponent natural, atunci acțiunea este considerată ca o înmulțire a fracțiilor identice. Dar se recomandă utilizarea unei abordări generale bazate pe proprietățile puterilor. Orice expresii A și C, unde C nu este identic egal cu zero, și orice r real pe ODZ pentru o expresie de forma A C r, egalitatea A C r = A r C r este adevărată. Rezultatul este o fracție ridicată la o putere. De exemplu, luați în considerare:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Ordinea operațiilor cu fracții

Acțiunile asupra fracțiilor sunt efectuate după anumite reguli. În practică, observăm că o expresie poate conține mai multe fracții sau expresii fracționale. Apoi, este necesar să efectuați toate acțiunile într-o ordine strictă: ridicați la o putere, înmulțiți, împărțiți, apoi adăugați și scădeți. Dacă există paranteze, prima acțiune este efectuată în ele.

Exemplul 9

Calculați 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Decizie

Deoarece avem același numitor, atunci 1 - x cos x și 1 c o s x , dar este imposibil să scădem conform regulii, mai întâi se execută acțiunile dintre paranteze, după care înmulțirea, apoi adunarea. Apoi, când calculăm, obținem asta

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Când înlocuim expresia în cea originală, obținem că 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. La înmulțirea fracțiilor, avem: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . După ce au făcut toate înlocuirile, obținem 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Acum trebuie să lucrați cu fracții care au numitori diferiți. Primim:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Răspuns: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Instruire

Reducere la un numitor comun.

Să fie date fracțiile a/b și c/d.

Numătorul și numitorul primei fracții se înmulțesc cu LCM / b

Numătorul și numitorul celei de-a doua fracții se înmulțesc cu LCM/d

Un exemplu este prezentat în figură.

Pentru a compara fracțiile, acestea trebuie să aibă un numitor comun, apoi să compare numărătorii. De exemplu, 3/4< 4/5, см. .

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Pentru a găsi suma a două fracții ordinare, acestea trebuie reduse la un numitor comun și apoi adăugați numărătorii, numitorul rămâne neschimbat. Un exemplu de adăugare a fracțiilor 1/2 și 1/3 este prezentat în figură.

Diferența fracțiilor se găsește într-un mod similar, după găsirea numitorului comun, se scad numărătorii fracțiilor, vezi figură.

La înmulțirea fracțiilor obișnuite, numărătorii și numitorii sunt înmulțiți împreună.

Pentru a împărți două fracții, aveți nevoie de o fracțiune din a doua fracție, adică. schimbați numărătorul și numitorul și apoi înmulțiți fracțiile rezultate.

Videoclipuri asemănătoare

Surse:

• fractii nota 5 prin exemplu
• Sarcini de bază pentru fracții

Modul reprezintă valoarea absolută a expresiei. Parantezele sunt folosite pentru a desemna un modul. Valorile conținute în ele sunt luate modulo. Soluția modulului este de a deschide paranteze după anumite reguli și de a găsi setul de valori ale expresiei. În cele mai multe cazuri, un modul este extins în așa fel încât expresia submodulului să ia o serie de valori pozitive și negative, inclusiv zero. Pe baza acestor proprietăți ale modulului, alte ecuații și inegalități ale expresiei originale sunt compilate și rezolvate.

Instruire

Notați ecuația inițială cu . Pentru aceasta, deschideți modulul. Luați în considerare fiecare expresie de submodul. Determinați la ce valoare a cantităților necunoscute incluse în acesta, expresia dintre paranteze modulare dispare.

Pentru a face acest lucru, egalați expresia submodulului cu zero și găsiți ecuația rezultată. Notează valorile găsite. În același mod, determinați valorile variabilei necunoscute pentru fiecare modul din ecuația dată.

Desenați o linie numerică și trasați pe ea valorile rezultate. Valorile variabilei din modulul zero vor servi drept constrângeri în rezolvarea ecuației modulare.

În ecuația originală, trebuie să le deschideți pe cele modulare, schimbând semnul astfel încât valorile variabilei să corespundă cu cele afișate pe linia numerică. Rezolvați ecuația rezultată. Verificați valoarea găsită a variabilei în raport cu restricția stabilită de modul. Dacă soluția îndeplinește condiția, este adevărată. Rădăcinile care nu îndeplinesc restricțiile ar trebui aruncate.

În mod similar, extindeți modulele expresiei originale, ținând cont de semn și calculați rădăcinile ecuației rezultate. Notați toate rădăcinile obținute care satisfac inegalitățile de constrângere.

Numerele fracționale vă permit să exprimați valoarea exactă a unei cantități în moduri diferite. Cu fracțiile, puteți efectua aceleași operații matematice ca și cu numerele întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. Unele operații aritmetice după execuție necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.

Vei avea nevoie

• - calculator

Instruire

Privește cu atenție numerele. Dacă există zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Această valoare va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din inițial incorectă fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracțiile cu o parte întreagă, este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Pentru valorile sub linie, găsiți numitorul comun. De exemplu, pentru 5/9 și 7/12, numitorul comun va fi 36. Pentru aceasta, numărătorul și numitorul primului fractii trebuie să înmulțiți cu 4 (se va dovedi 28/36), iar al doilea - cu 3 (se va dovedi 15/36). Acum puteți face calculele.

Dacă intenționați să calculați suma sau diferența de fracții, notați mai întâi numitorul comun găsit sub linie. Efectuați acțiunile necesare între numărători și scrieți rezultatul deasupra liniei noi fractii. Astfel, noul numărător va fi diferența sau suma numărătorilor fracțiilor originale.

Pentru a calcula produsul fracțiilor, înmulțiți numărătorii fracțiilor și scrieți rezultatul în locul numărătorului finalului fractii. Faceți același lucru pentru numitori. La împărțirea uneia fractii scrieți o fracție pe cealaltă și apoi înmulțiți-i numărătorul cu numitorul celei de-a doua. În același timp, numitorul primului fractiiînmulțit corespunzător cu numărătorul celui de-al doilea. În același timp, un fel de inversare a celui de-al doilea fractii(divizor). Fracția finală va fi din rezultatele înmulțirii numărătorilor și numitorilor ambelor fracții. Usor de invatat fractii, scris în condiția sub forma unui „cu patru etaje” fractii. Dacă separă doi fractii, rescrie-le cu un delimitator „:” și continuă cu împărțirea normală.

Pentru a obține rezultatul final, reduceți fracția rezultată împărțind numărătorul și numitorul la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.

Notă

Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțite cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.

Sfaturi utile

Când scrieți numere fracționale, dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. În acest exemplu, este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul este 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.

Instruire

Faceți clic o dată pe elementul de meniu „Inserare”, apoi selectați elementul „Simbol”. Aceasta este una dintre cele mai ușoare modalități de a introduce fractii la text. Constă în următoarele. Setul de personaje gata are fractii. Numărul lor este de obicei mic, dar dacă trebuie să scrieți ½, nu 1/2 în text, atunci această opțiune va fi cea mai optimă pentru dvs. În plus, numărul de caractere fracțiuni poate depinde de font. De exemplu, pentru fontul Times New Roman, există puțin mai puține fracții decât pentru același Arial. Variați fonturile pentru a găsi cea mai bună opțiune când vine vorba de expresii simple.

Faceți clic pe elementul de meniu „Inserare” și selectați subelementul „Obiect”. Veți vedea o fereastră cu o listă de obiecte posibile de inserat. Alegeți dintre ele Microsoft Equation 3.0. Această aplicație vă va ajuta să scrieți fractii. Și nu numai fractii, dar și expresii matematice complexe care conțin diverse funcții trigonometrice și alte elemente. Faceți dublu clic pe acest obiect cu butonul stâng al mouse-ului. Veți vedea o fereastră care conține multe simboluri.

Pentru a tipări o fracție, selectați simbolul care reprezintă o fracție cu numărător și numitor gol. Faceți clic pe el o dată cu butonul stâng al mouse-ului. Va apărea un meniu suplimentar, specificând schema fractii. Pot exista mai multe opțiuni. Alegeți cel mai potrivit pentru dvs. și faceți clic pe el o dată cu butonul stâng al mouse-ului.

Acțiuni cu fracții. În acest articol, vom analiza exemple, totul este detaliat cu explicații. Vom lua în considerare fracțiile obișnuite. În viitor, vom analiza zecimale. Recomand să urmăriți întregul și să studiați secvențial.

1. Suma fracțiilor, diferența de fracții.

Regula: atunci când se adună fracții cu numitori egali, rezultatul este o fracție - al cărei numitor rămâne același, iar numărătorul ei va fi egal cu suma numărătorilor fracțiilor.

Regula: atunci când se calculează diferența fracțiilor cu aceiași numitori, obținem o fracție - numitorul rămâne același, iar numărătorul celei de-a doua se scade din numărătorul primei fracții.

Notarea formală a sumei și diferenței fracțiilor cu numitori egali:

Exemple (1):

Este clar că atunci când sunt date fracții obișnuite, atunci totul este simplu, dar dacă sunt amestecate? Nimic complicat...

Opțiunea 1- le puteți converti în altele obișnuite și apoi le puteți calcula.

Opțiunea 2- puteți „lucra” separat cu părțile întregi și fracționale.

Exemple (2):

Mai mult:

Și dacă este dată diferența a două fracții mixte și numărătorul primei fracții este mai mic decât numărătorul celei de-a doua? De asemenea, se poate face în două moduri.

Exemple (3):

* Tradus în fracții obișnuite, calculat diferența, convertit fracția improprie rezultată într-una mixtă.

* Împărțit în părți întregi și fracționale, am obținut trei, apoi a prezentat 3 ca sumă a lui 2 și 1, cu unitatea prezentată ca 11/11, apoi a găsit diferența dintre 11/11 și 7/11 și a calculat rezultatul. Sensul transformărilor de mai sus este să luăm (selectăm) o unitate și să o prezentăm ca o fracție cu numitorul de care avem nevoie, apoi din această fracție putem deja să scădem alta.

Alt exemplu:

Concluzie: există o abordare universală - pentru a calcula suma (diferența) fracțiilor mixte cu numitori egali, acestea pot fi întotdeauna convertite în unele improprii, apoi efectuați acțiunea necesară. După aceea, dacă în rezultat obținem o fracție improprie, o traducem într-una mixtă.

Mai sus, ne-am uitat la exemple cu fracții care au numitori egali. Ce se întâmplă dacă numitorii diferă? În acest caz, fracțiile sunt reduse la același numitor și se efectuează acțiunea specificată. Pentru a schimba (transforma) o fracție, se folosește proprietatea principală a fracției.

Luați în considerare exemple simple:

În aceste exemple, vedem imediat cum una dintre fracții poate fi convertită pentru a obține numitori egali.

Dacă desemnăm modalități de reducere a fracțiilor la un numitor, atunci acesta va fi numit METODA 1.

Adică, imediat când „evaluați” fracția, trebuie să vă dați seama dacă o astfel de abordare va funcționa - verificăm dacă numitorul mai mare este divizibil cu cel mai mic. Și dacă este împărțit, atunci efectuăm transformarea - înmulțim numărătorul și numitorul astfel încât numitorii ambelor fracții să devină egali.

Acum uită-te la aceste exemple:

Această abordare nu se aplică lor. Există și alte moduri de a reduce fracțiile la un numitor comun, luați în considerare.

Metoda A DOUA.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei:

*De fapt, aducem fracții la forma când numitorii devin egali. În continuare, folosim regula adunării timizi cu numitori egali.

Exemplu:

*Această metodă poate fi numită universală și funcționează întotdeauna. Singurul negativ este că, după calcule, se poate dovedi o fracție care va trebui redusă în continuare.

Luați în considerare un exemplu:

Se poate observa că numărătorul și numitorul sunt divizibile cu 5:

Metoda A TREIA.

Găsiți cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun. Ce este acest numar? Acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre numere.

Uite, aici sunt două numere: 3 și 4, există multe numere care sunt divizibile cu ele - acestea sunt 12, 24, 36, ... Cel mai mic dintre ele este 12. Sau 6 și 15, 30, 60, 90 sunt divizibil de ei.... Cel puțin 30. Întrebare - cum se determină acest cel mai mic multiplu comun?

Există un algoritm clar, dar adesea acest lucru se poate face imediat, fără calcule. De exemplu, conform exemplelor de mai sus (3 și 4, 6 și 15), nu este nevoie de un algoritm, am luat numere mari (4 și 15), le-am dublat și am văzut că sunt divizibile cu al doilea număr, dar perechi de numere pot fi altele, cum ar fi 51 și 119.

Algoritm. Pentru a determina cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, trebuie:

- descompuneți fiecare dintre numere în factori SIMPLI

- scrieți descompunerea CEI MAI MARI dintre ele

- înmulțiți-l cu factorii LIPSĂ ai altor numere

Luați în considerare exemple:

50 și 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

în extinderea unui număr mai mare, lipsește unul cinci

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 și 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

în extinderea unui număr mai mare lipsesc doi și trei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Cel mai mic multiplu comun al două numere prime este egal cu produsul lor

Întrebare! Și de ce este util să găsiți cel mai mic multiplu comun, deoarece puteți utiliza a doua metodă și pur și simplu reduceți fracția rezultată? Da, poți, dar nu este întotdeauna convenabil. Vedeți care va fi numitorul pentru numerele 48 și 72 dacă le înmulțiți pur și simplu 48∙72 = 3456. Fiți de acord că este mai plăcut să lucrați cu numere mai mici.

Luați în considerare exemple:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

în extinderea unui număr mai mare, lipsește un triplu

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Și acum aplicăm prima metodă:

* Uitați-vă la diferența dintre calcule, în primul caz există un minim, iar în al doilea trebuie să lucrați separat pe o bucată de hârtie și chiar și fracțiunea pe care o obțineți trebuie redusă. Găsirea LCM simplifică considerabil munca.

Mai multe exemple:

* În al doilea exemplu, este deja clar că cel mai mic număr care este divizibil cu 40 și 60 este 120.

TOTAL! ALGORITM GENERAL DE CALCUL!

- aducem fracții la cele obișnuite, dacă există o parte întreagă.

- aducem fractiile la un numitor comun (mai intai ne uitam sa vedem daca un numitor este divizibil cu altul, daca este divizibil, apoi inmultim numaratorul si numitorul acestei alte fractii; daca nu este divizibil, actionam folosind alte metode indicate mai sus).

- primind fracții cu numitori egali, efectuăm acțiuni (adunare, scădere).

- daca este necesar, reducem rezultatul.

- dacă este necesar, selectați întreaga parte.

2. Produsul fracțiilor.

Regula este simplă. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii și numitorii lor se înmulțesc:

Exemple: