Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

După cum spuneau filosofii antici, „Înțelepciunea este dragostea de cunoaștere și iubirea este măsura tuturor lucrurilor”. „Măsura” în latină este „modulus”, de la care provine cuvântul „modul”. Și astăzi vom lucra cu ecuații care conțin modulul. Sper că totul va funcționa pentru noi, iar la sfârșitul lecției vom deveni mai înțelepți.

Descarca:

Previzualizare:

Pirogova Tatyana Nikolaevna, Taganrog, școala secundară nr. 10.

Subiect: „Rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru”

Nota a 10-a, lecția cursului opțional „Proprietățile unei funcții”.

Planul lecției.

1. Motivația.
2. Actualizare de cunoștințe.
3. Rezolvarea unei ecuații liniare cu un modul în diferite moduri.
4. Rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul sub un modul.
5. Cercetareprin determinarea dependenţei numărului de rădăcini ale ecuaţiei

| | x| - a |= în din valorile a și b.

1. Reflecţie.

În timpul orelor.

Motivația. După cum spuneau filosofii antici, „Înțelepciunea este dragostea de cunoaștere și iubirea este măsura tuturor lucrurilor”."Măsura" în latină -„modulus”, din care provine cuvântul"modul". Și astăzi vom lucra cu ecuații care conțin modulul. Sper că totul va funcționa pentru noi, iar la sfârșitul lecției vom deveni mai înțelepți.

Actualizare de cunoștințe.Deci, să ne amintim ce știm deja despre modul.

• Definirea modulului.Modulul unui număr real este numărul însuși, dacă este nenegativ, și numărul său opus, dacă este negativ.

• Sensul geometric al modulului.Modulul numărului real A este egală cu distanța de la origine până la punctul cu coordonate A pe linia numerică.

– a 0 a

|– a | = | a | | a | X

• Semnificația geometrică a modulului diferenței de mărime.Diferența de modul de mărime| a - în | este distanța dintre punctele cu coordonate a și c pe linia numerică

Acestea. lungimea segmentului [ a in]

1) Dacă a b 2) Dacă a > b

a b b a

S = b - a S = a - b

3) Dacă a \u003d b, atunci S \u003d a - b \u003d b - a \u003d 0

• Proprietățile de bază ale modulului

1. Modulul unui număr este un număr nenegativ, adică| x | ≥ 0 pentru orice x
2. Modulele numerelor opuse sunt egale, adică.| x | = |– x | pentru orice x
3. Pătratul modulului este egal cu pătratul expresiei submodulului, adică.| x | 2 = x 2 pentru orice x

4. Modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelorfactori, adică | a b | = | a | · | b |

5. Dacă numitorul unei fracții este diferit de zero, atunci modulul fracției este egal cu câtul de împărțire a modulului numărătorului la modulul numitorului, i.e. pentru b ≠ 0

6. Pentru egalitatea oricăror numere a și b inegalitățile:

| | a | – | b | | ≤ | a+b | ≤ | a | + | b |

| | a | – | b | | ≤ | a-b | ≤ | a | + | b |

• Graficul modulului y = | x | - un unghi drept cu un vârf la origine, ale cărui laturi sunt bisectoarele cadranului 1 și 2.
• Cum se trasează graficele funcțiilor? y = | x –4|, y = | x +3|, y = | x –3|, y = | x | + 1,
• y = | x | – 3, y = | x | – 5, y = | x - 3 | + 3, y = | x - 3 | – 2, y = | x + 2 | – 5. y = || x| – a |

Exemplu. rezolva ecuatia.

Metoda 1. Metoda de deschidere a modulelor prin goluri.

Metoda 2. Extindere directă a modulului.

Dacă modulul unui număr este 3, atunci acel număr este 3 sau -3.

Metoda 3 . Folosind sensul geometric al modulului.

Este necesar să găsiți pe axa numerelor astfel de valori x care sunt îndepărtate de la 2 cu o distanță egală cu 3.

Metoda 4. Punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației.

Aceasta folosește proprietatea module

Și faptul că ambele părți ale ecuației sunt nenegative.

Metoda 5. Rezolvarea grafică a ecuației.

Denota. Să construim grafice ale funcțiilorȘi :

Abcisele punctelor de intersecție ale graficelor vor da rădăcinile

2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5

Muncă independentă

rezolva ecuatiile:

| x – 1| = 3 | x – 5| = 3 | x –3| = 3 | x + 3| = 3 | x + 5| = 3

(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2)

Acum adăugați un alt modul la condiții și rezolvați ecuațiile:

| | x| – 1| = 3 | | x| -5| = 3 | | x | – 3| = 3 | | x | + 3| = 3 | | x | + 5| = 3

(fara radacini)

Deci, câte rădăcini poate o ecuație de forma | | x | – a |= în? De ce depinde?

Lucrări de cercetare pe această temă

«Determinarea dependenței numărului de rădăcini ale ecuației | | x | – a |= b de la a și la »

Vom lucra în grup, folosind metode analitice, grafice și geometrice de rezolvare.

Să determinăm în ce condiții această ecuație are 1 rădăcină, 2 rădăcini, 3 rădăcini, 4 rădăcini și nu are rădăcini.

1 grup (prin definiție)

2 grupa (folosind sensul geometric al modulului)

3 grupa (folosind grafice de funcții)

A > 0
	1 grup	2 grupa	3 grupa
fara radacini	V c ≥ 0 c + a	V c ≥ 0 a + b	V c ≥ 0 V A
exact o rădăcină	b > 0 și b + a = 0	b > 0 și b + a = 0	c > 0 și c = - a
exact două rădăcini	b > 0 și b + a > 0 – în + a	b > 0 și b + a > 0 – în + a	în > 0 și în > | a |
exact trei rădăcini	c > 0 și - c + a = 0	c > 0 și - c + a = 0	b > 0 și b = a
exact patru rădăcini	c > 0 și – c + a > 0	c > 0 și – c + a > 0	în > 0 și în A

Comparați rezultatele, trageți o concluzie generală și întocmește o schemă generală.

Desigur, nu neapărat această schemă memora . Obiectivul principal al studiului nostru a fostvedeți această dependență folosind diferite metode, iar acum nu ne va fi greu să ne repetăm ​​raționamentul atunci când rezolvăm astfel de ecuații.

La urma urmei, rezolvarea unei sarcini cu un parametru implică întotdeauna unele cercetări.

Rezolvarea ecuațiilor cu două module și un parametru.

1. Găsiți valori p, x| - R - 3| = 7 are exact o rădăcină.

Soluție: | | x| – (p + 3)| = 7

p +3= -7, p = -10. Sau geometric

p + 3 – 7 p + 3 p + 3+7 p + 3+7=0, p = -10

7 7 conform schemei, o ecuație de această formă are exact o rădăcină, dacă c \u003d - a, unde c \u003d 7, a \u003d p +3

2. Găsiți valori R, pentru fiecare dintre care ecuația | | x| - R - 6| = 11 are exact două rădăcini.

Soluție: | | x| – (p + 6)| = 11 geometric

P + 6 - 11 p + 6 p + 6 + 11 p + 6-11 R p + 6+11>0, p > -17

11 11

conform schemei, o ecuație de această formă are exact două rădăcini, dacăîn + a > 0 și - în + a unde a = 11, a = p +6. -17 R 5.

3. Găsiți valori R, pentru fiecare dintre care ecuația | | x| - 4 r | = 5 p -9 are exact patru rădăcini.

Rezolvare: conform schemei, o ecuație de acest fel are exact patru rădăcini dacă

0p -9 p, p > și p

acestea. 1 R 9.

Raspunsul 1 R 9.

4 . . Găsiți valorile p, pentru fiecare dintre care ecuația | | x| – 2 r | = 5 p +2 nu are rădăcini. Rezolvare: 5 r +2 p +2 =0 și –2 p >0, sau 5 p +2 >0 și 5 p +2 R.

R p = –0,4 sau p > –0,4 și p . Raspuns: p

5. La ce valori ale parametrului p ecuația | | x –4 | – 3| + 2 r = 0 are trei rădăcini. Găsiți acele rădăcini.

Să transformăm ecuația în forma:

| | x –4 | – 3|= – 2 r.

Conform schemei, o ecuație de acest fel are trei rădăcini,

dacă –2 р =3>0,

Acestea. p = -1,5.

|| x –4|–3| = 3,

| x –4|=0, x = 4,

|| x –4|=6, x = –2, x =10.

Raspuns: la r = -1,5 ecuația are trei rădăcini: x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 4, x 3 \u003d 10.

Rezumând lecția. Reflecţie.

Spune-mi, ce ai evidenția cuvintele principale ale lecției? (modul, parametru)

Ce am făcut azi? (Definiția modulului, semnificația geometrică a modulului de număr și diferența de numere, proprietățile modulului, diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor)

Ce am făcut azi?

Teme pentru acasă.

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

Raspunsul 1; 2.

§6. Rezolvarea ecuațiilor cu module și parametri

Luați în considerare mai multe ecuații în care variabila x este sub semnul modulului. Amintește-ți asta

x , dacă x ≥ 0,

x = − x dacă x< 0.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația:

a) x - 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X=1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x − 1

a) Dacă modulul unui număr este 3, atunci acest număr este fie 3, fie (− 3 ),

adică x − 2 = 3, x = 5 sau x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Din definiţia unui modul rezultă că

x+1

X + 1, pentru x + 1 ≥ 0,

adică pentru x ≥ − 1 și

x+1

= − x − 1 pentru x< − 1. Выражение

2x − 3

2x − 3 dacă x ≥ 3

și egal cu − 2 x + 3 dacă x< 3 .

X< −1

ecuația

echivalează cu

ecuaţie

- x -1 -

(− 2 x + 3 ) = 1, ceea ce implică faptul că

x = 5. Dar numărul 5 nu este

satisface condiția x< − 1, следовательно,

la x< − 1 данное

ecuația nu are soluții.

−1 ≤ x<

ecuația

echivalează cu

ecuaţie

x + 1− (2x + 3) = 1, ceea ce presupune că x = 1;

numarul 1 satisface-

nicio condiție − 1 ≤ x<

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 5, 8 celule. Matematică. Ecuații cuadratice

x ≥

ecuația

echivalează cu

ecuaţie

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, care are o soluție x = 3. Și deoarece numărul 3

satisface condiția x ≥

atunci este o soluție a ecuației.

x+2

c) Dacă numărătorul și numitorul unei fracții

au aceleași

x − 1

semne, atunci fracția este pozitivă, iar dacă este diferită, atunci este negativă, adică

x+2

x+2

Dacă x ≤ − 2, dacă x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

Dacă - 2< x < 1.

−1

Pentru x ≤ − 2

ypre x > 1

ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

x+2

X=1, x+2

X (x -1) = x -1, x 2 - x +3 =0.

x − 1

Ultima ecuație nu are soluții.

La - 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X \u003d 1, - x -2 + x 2 - x \u003d x -1, x 2 -3 x -1 \u003d 0.

x − 1

Să găsim rădăcinile acestei ecuații:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 .

inegalităților

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Urma-

Prin urmare, acest număr este o soluție a ecuației.

x ≥ 0 dat

ecuația

echivalează cu

ecuaţie

x2 - x -6 = 0,

ale căror rădăcini sunt numerele 3 și - 2. Numărul 3

satisface condiția x > 0,

iar numărul - 2 nu satisface acest lucru

legea, prin urmare, doar numărul 3 este o soluție la original

X< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 5, 8 celule. Matematică. Ecuații cuadratice
		x ≥ − 1 dat	ecuația	echivalează cu				ecuaţie
6 x 2 − x − 1 = 0, găsiți-i rădăcinile: x = 1 ±				25 , x = 1 , x				= −1 .
Ambele rădăcini satisfac condiția x ≥ − 1,					prin urmare, ele sunt
sunt soluții ale acestei ecuații. La				X< − 1 данное уравнение
este echivalentă cu ecuația 6 x 2 + x + 1 = 0, care nu are soluții.
Să fie date expresiile f (x , a ) și g (x , a ),					dependent de schimbare
X	si a.	Apoi ecuația	f (x, a) = g(x, a)		referitor la schimbare-

noah x este numit ecuație cu parametru A. A rezolva o ecuație cu un parametru înseamnă, pentru orice valoare admisibilă a parametrului, a găsi toate soluțiile acestei ecuații.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația pentru toate valorile valide ale parametrului a :

a) ax 2 - 3 \u003d 4 a 2 - 2 x 2; b) (a - 3) x 2 = a 2 - 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Expresia 4 la 2		3 > 0 pentru orice a ; pentru a > − 2 avem
	a + 2
avem două soluții: x =			4a 2 + 3	și x = −	4a 2		Dacă	a + 2< 0, то
			a + 2		a + 2

expresia 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Răspuns: x = ±	4a 2 + 3	Pentru a > − 2;	pentru a ≤ − 2 nu există soluții.
		a + 2
				atunci x 2 = a + 3. Dacă a + 3 = 0,
	b) Dacă a = 3, atunci x. Dacă a ≠ 3,
	acestea. dacă a = - 3,	atunci ecuația are o soluție unică x = 0.

fie că a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 și a ≠ 3, atunci ecuația are două soluții: x 1 = a + 3 și x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 5, 8 celule. Matematică. Ecuații cuadratice

a = 1 această ecuație ia forma

4x − 1 = 0,

x=1

este soluția lui. La

a ≠ 1 această ecuație este

pătrat, discriminantul său D 1 este

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Dacă 5 a - 1< 0, т.е. a < 1 ,

atunci această ecuație nu are soluții.

Dacă a =

atunci ecuația are o soluție unică

a+1

x = −

a - 1

−1

Dacă un >

și a ≠ 1,

atunci această ecuație are două soluții:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a - 1

−(a +1 ) ±

1 la

a = 1; x=3

Pentru o

; x=

5a - 1

a - 1

pentru a > 1

şi a ≠ 1; Pentru o< 1

ecuația nu are soluții.

§7. Rezolvarea sistemelor de ecuații. Rezolvarea problemelor care se reduc la ecuații pătratice

În această secțiune, luăm în considerare sistemele care conțin ecuații de gradul doi.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații

2x + 3y = 8

xy = 2.

În acest sistem, ecuația 2 x + 3 y = 8 este ecuația de gradul întâi, iar ecuația xy = 2 este al doilea. Rezolvăm acest sistem prin metodă

© 2011, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 5, 8 celule. Matematică. Ecuații cuadratice

substituiri. Din prima ecuație a sistemului, exprimăm x în termeni de y și înlocuim această expresie pentru x în a doua ecuație a sistemului:

	8 − 3y	4 −
				y 4			y y = 2.

Ultima ecuație se reduce la ecuația pătratică

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Găsirea rădăcinilor sale:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2, y

Din condiția x = 4 −

obținem x = 1, x

Răspuns: (1;2) și

Exemplul 2. Rezolvați sistemul de ecuații:

x 2 + y 2 \u003d 41,

xy = 20.

Înmulțiți ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu 2 și adăugați la prima

ecuația sistemului:	x 2 + y 2 + 2xy \u003d 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, de unde
rezultă că x + y = 9 sau x + y = − 9.
Dacă x + y = 9 atunci	x = 9 − y . Înlocuiți această expresie cu x în
a doua ecuație a sistemului:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y				4, x=4, x=5.
Din condiția x + y = − 9 obținem soluțiile (− 4; − 5) și (− 5; − 4 ) .
Răspuns: (± 4; ± 5) , (± 5; ± 4) .
Exemplul 3. Rezolvați sistemul de ecuații:
		y=1
	X -
	x − y

Scriem a doua ecuație a sistemului sub forma

( x − y )( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 5, 8 celule. Matematică. Ecuații cuadratice

Folosind ecuația x − y = 1, obținem: x + y = 5. Astfel, obținem un sistem de ecuații echivalent cu data

	X -	y=1
		y=5.

Adăugăm aceste ecuații, obținem: 2 x \u003d 6,		x=3, x=9.
Înlocuind valoarea x = 9 în prima ecuație			sisteme, recepție
avem 3 − y = 1, ceea ce implică că y = 4.
Răspuns: (9;4) .	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Exemplul 4. Rezolvați sistemul de ecuații: (x 2 + y 2 ) xy \u003d - 160.
				xy=v;
Să introducem noi variabile	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
sistemul se reduce la forma (u 2 − 2 v ) v = − 160.
Rezolvam ecuatia:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Inlocuim aceasta valoare pentru u in ecuatia:
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2v ) v = - 160, 2v 2 - 4v - 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Rezolvăm două sisteme de ecuații:
	X + y = 2,
X + y = 2,
	Și
X y = 10	X y = − 8.
Rezolvăm ambele sisteme prin metoda substituției. Pentru primul sistem avem:
X= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

Ecuația pătratică rezultată nu are soluții. Pentru al doilea sistem avem: X= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. ApoiX1 = − 2 ȘiX2 = 4. Răspuns: (− 2;4 ) Și(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

înmulțit cu 3, obținem:

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 5, 8 celule. Matematică. Ecuații cuadratice

Exemplul 5 Rezolvați sistemul de ecuații:

X 2 + 4 X y = 3,

y 2 + 3 X y = 2.

Din prima ecuație înmulțită cu 2, scade a doua ecuație,

2 X 2 − X y − 3 y 2 = 0.

Dacă y= 0, apoi şi X= 0, dar câteva numere (0;0 ) nu este o soluție la sistemul original. Împărțim ambele părți ale ecuației în ecuația rezultată

conducerea pe y2 ,

1 ± 5 , X = 2 y Și X = − y .

−3

= 0,

y

Substitui

sens

X =

3y

prima ecuație

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, X=

, X= −

Inlocuim valoarea X= − yîn prima ecuație a sistemului: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Nu există soluții.

Exemplul 9 Găsiți toate valorile parametrilor A, pentru care sistemul de ecuaţii

X 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = topor 2 .

are cel putin o solutie.

Acest sistem se numește sistem cu un parametru. Ele pot fi rezolvate analitic, de ex. folosind formule sau poți folosi așa-numita metodă grafică.

Rețineți că prima ecuație definește un cerc centrat în punct (0;2 ) cu raza 1. A doua ecuatie pt A≠ 0 definește o parabolă cu vârful la origine.

Dacă A 2

În cazul a), parabola atinge cercul. Din a doua ecuație a sistemului,

ei ce X2 = y/ A,

înlocuiți aceste valori cu

X 2

în prima ecuație:

1

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − Ay+ 3

= 0.

În cazul tangenței, datorită simetriei, există o valoare unică y, deci discriminantul ecuației rezultate ar trebui să fie

este 0. Deoarece ordonata y punctul de contact este pozitiv, iar pentru că

y = 2

− A

primim

> 0; D

1 2

4 − A

4 − A

− 12 = 0,

4 − A

> 0

primim: 4

= 2

= 4 −2

A =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Dacă A> 2 + 2 3 , atunci parabola va intersecta cercul în 4 puncte

© 2011, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 5, 8 celule. Matematică. Ecuații cuadratice

Prin urmare, sistemul are cel puțin o soluție dacă

A≥ 2 + 2 3 .

Exemplul 10 Suma pătratelor cifrelor unui număr natural de două cifre este cu 9 mai mult decât dublul produsului acestor cifre. După împărțirea acestui număr din două cifre la suma cifrelor sale, câtul este 4, iar restul este 3. Găsiți acest număr din două cifre.

Fie numărul cu două cifre 10 A+ b, Unde AȘi b sunt cifrele acestui număr. Apoi din prima condiție a problemei obținem: A2 + b2 = 9 + 2 ab, iar din a doua condiție obținem: 10 A+ b= 4 (A+ b) + 3.

A 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Rezolvam sistemul de ecuatii: 6 A− 3 b= 3.

Din a doua ecuație a sistemului obținem

6A− 3b= 3, 2A− b= 1, b= 2A− 1.

Inlocuim aceasta valoare cu bîn prima ecuație a sistemului:

A2 + ( 2A− 1) 2 = 9 + 2A( 2A− 1) , 5A2 − 4A+ 1 = 9 + 4A2 − 2A,

A2 − 2A− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, A= 1 ± 3, A1 = 4, A2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Răspuns: 47.

Exemplul 11. După amestecarea a două soluții, dintre care una conținea 48 g și cealaltă 20 g, de iodură de potasiu anhidră, s-au obținut 200 g de soluție nouă. Aflați concentrația fiecăreia dintre soluțiile inițiale dacă concentrația primei soluții a fost cu 15% mai mare decât concentrația celei de-a doua.

Notează prin X% este concentrația celei de-a doua soluții și prin (X+ 15 ) % este concentrația primei soluții.

(X+ 15 )%			X %
I solutie			II solutie

În prima soluție, 48 g este (X+ 15 ) % în greutate din întreaga soluție,

deci greutatea solutiei este X48 + 15 100. În a doua soluție, 20 g de co-

© 2011, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

10x - 5y - 3z = - 9,

6 x + 4 y - 5 z = - 1,3 x - 4 y - 6 z = - 23.

Egalăm coeficienții la x în prima și a doua ecuație, pentru aceasta înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu 6, iar a doua ecuație cu 10, obținem:

60x - 30 y - 18z = - 54,60x + 40 y - 50z = - 10.

Scădem din a doua ecuație a sistemului rezultat prima ecuație

obținem: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.

Scădem a treia ecuație înmulțită cu 2 din a doua ecuație a sistemului original, obținem: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12y + 7z = 45.

Acum rezolvăm un nou sistem de ecuații:

35y − 16z = 22,12y + 7z = 45.

La prima ecuație a noului sistem, înmulțită cu 7, adunăm a doua ecuație, înmulțită cu 16, obținem:

35 7y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Acum înlocuim y = 2, z = 3 în prima ecuație a sistemului original

subiecte, obținem: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Răspuns: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Rezolvarea sistemelor cu un parametru si cu module

ax + 4y = 2a,

Luați în considerare sistemul de ecuații

x + ay = a.

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 3, 8 celule. Matematică. Sisteme de ecuații.

În acest sistem, de fapt, există trei variabile și anume: a , x , y . Necunoscutele sunt x și y, iar a se numește parametru. Este necesar să se găsească soluții (x , y ) ale acestui sistem pentru fiecare valoare a parametrului a .

Să arătăm cum se rezolvă astfel de sisteme. Să exprimăm variabila x din a doua ecuație a sistemului: x = a − ay . Inlocuim aceasta valoare pentru x in prima ecuatie a sistemului, obtinem:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Dacă a = 2, atunci obținem ecuația 0 y = 0. Orice număr y satisface această ecuație și atunci x = 2 − 2 y , adică, pentru a = 2, perechea de numere (2 − 2 y ; y ) este o soluție pentru sistem. Din moment ce y pot fi

orice număr, atunci sistemul pentru a = 2 are infinite de soluții.

Dacă a = − 2, atunci obținem ecuația 0 y = 8. Această ecuație nu are soluție.

Dacă acum a ≠ ± 2,				atunci y =		a (2 - a)
						(2 − a )(2 + a )		2 + a
x = a − ay = a −
				2 + a

Răspuns: Pentru a = 2, sistemul are infinite soluții de forma (2 − 2 y ; y ) , unde y este orice număr;

pentru a = − 2 sistemul nu are soluții;
pentru a ≠ ± 2, sistemul are o soluție unică						. ▲
		2 + a		2 + a

Am rezolvat acest sistem și am stabilit pentru ce valori ale parametrului a sistemul are o singură soluție, când are infinit de soluții și pentru ce valori ale parametrului a nu are soluții.

Exemplul 1. Rezolvați sistemul de ecuații

© 2010, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 3, 8 celule. Matematică. Sisteme de ecuații.

−3

y − 1

3x − 2y = 5.

Din a doua ecuație a sistemului, exprimăm x în termeni de y, obținem

2 ani + 5

înlocuim această valoare pentru x în prima ecuație a sistemului

subiecte, obținem:

2y+5

−3

y − 1

−3

−1

5 = 0

Expresie

y = −

y > −

; Dacă

−5

= −y

Expresia y − 1 = 0,

dacă y = 1. Dacă

y > 1, atunci

y − 1

Y - 1 și

dacă y< 1, то

y − 1

1 − y .

Dacă y ≥ 1 atunci

y − 1

Y −1 și

obținem ecuația:

−3 (y

− 1) = 3,

−3 y

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Numărul 2 > 1, deci perechea (3;2) este re-

sistem.

Lasă acum

5 ≤ y<1,

y − 1

− y;

găsirea

primim

ecuația

3y−3

4 ani + 10

3y=6

13y=8

© 2010, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 3, 8 celule. Matematică. Sisteme de ecuații.

(2y + 5) =

Dar mai puțin de

deci câteva numere

este soluția pentru sistem.

y< −

atunci obținem ecuația:

3y−3

4 ani-

3y=6

5y=

28 , y = 28 .

sens

deci nu exista solutii.

Astfel, sistemul are două soluții (3;2) și 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor de ecuaţii

Exemplul 1. O mașină se deplasează dintr-un oraș într-un sat în 2,5 ore. Dacă își mărește viteza cu 20 km/h, atunci în 2 ore va parcurge o distanță cu 15 km mai mult decât distanța de la oraș la sat. Găsiți această distanță.

Notați cu S distanța dintre oraș și sat și cu V viteza mașinii. Apoi, pentru a găsi S, obținem un sistem de două ecuații

2,5 V=S

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 3, 8 celule. Matematică. Sisteme de ecuații.

în a doua ecuație:		S+202	S+15,		S=25	S = 125.

Raspuns: 125 km. ▲

Exemplul 2. Suma cifrelor unui număr de două cifre este 15. Dacă aceste cifre sunt schimbate, obțineți un număr care este cu 27 mai mult decât originalul. Găsiți aceste numere.

Fie numărul dat ab , i.e. numărul zecilor este a , iar numărul unităților este b . Din prima condiție a problemei avem: a + b = 15. Dacă scădem numărul ab din numărul ba, atunci obținem 27, de aici obținem a doua ecuație: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

Anul universitar 2010-2011 an., nr. 3, 8 celule. Matematică. Sisteme de ecuații.

Înmulțind ambele părți ale ecuației cu 20, obținem: x + 8 y = 840. Pentru a găsi x și y, avem un sistem de ecuații

Răspuns: 40 tone, 100 tone ▲

Exemplul 4. Un operator de calculator, care lucrează cu un student, procesează o sarcină în 2 ore și 24 de minute. Dacă operatorul va lucra 2 ore, iar studentul 1 oră, atunci

copiii au terminat 2 3 din toată munca. Cât timp va dura pentru un operator

ru și studentul separat pentru a procesa sarcina?

Să notăm toată munca ca 1, performanța operatorului ca x și performanța elevului ca y . Luam in calcul asta

2 ore 24 minute = 2 5 2 ore = 12 5 ore.

Din prima condiție a problemei rezultă că (x+y ) 12 5 = 1. Din a doua condiție a problemei rezultă că 2 x + y = 2 3 . Am un sistem de ecuații

(x+y)

2 x + y =

Rezolvăm acest sistem folosind metoda substituției:

− 2 x ;

−2 x

−x

− 1;

; x=

; y=

© 2010, FZFTSH la MIPT. Alcătuit de: Yakovleva Tamara Kharitonovna

slide 2

.

Rezolvarea ecuațiilor cu parametri și module, aplicarea proprietăților funcțiilor în situații neașteptate și stăpânirea tehnicilor geometrice de rezolvare a problemelor. Ecuații nestandardizate Scopul lecției.

slide 3

Valoarea absolută sau modulul numărului a este numărul a dacă a>0, numărul -a dacă a 0 ׀ a ׀=( 0 dacă a=0 -a dacă a 0) este echivalent cu inegalitatea dublă -a 0 Inegalitatea ׀ x ׀>a, (dacă a>0) este echivalentă cu două inegalități - Inegalitatea ׀ x׀>a, (dacă a

slide 4

A rezolva o ecuație cu parametri înseamnă a indica la ce valori ale parametrilor există soluții și care sunt acestea. a) determinați setul de valori admisibile ale necunoscutului și parametrilor; b) pentru fiecare sistem admisibil de valori ale parametrilor, găsiți seturile de soluții corespunzătoare ecuației. Repetarea celui mai important material teoretic pe tema „Rezolvarea ecuațiilor cu parametri”

slide 5

1. Rezolvați ecuația ׀ x-2 ׀ =5; Răspuns 7;-3 ׀ x-2 ׀ =-5; Răspunsul deciziei este nu ׀ x-2 ׀ =x+5; ; Raspunsul este nu; 1,5 ׀ x-2 ׀ \u003d ׀ x + 5 ׀; Raspunsul este nu; -1,5; nu există soluție; -1,5; exerciții orale.

slide 6

2. Rezolvați ecuațiile=1; Răspuns. Dacă a=0, atunci nu există soluție; dacă a=0, atunci x=1/ a 1.3. Rezolvați ecuația (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; atunci ecuația ia forma Ox = 2 și nu are soluție 2) a = 1; obținem Ox = O și, evident, x este oricare. 1 3) dacă a \u003d ± 1, atunci x \u003d - a-1 Răspuns. Dacă a \u003d -1, atunci x este oricare; dacă a \u003d 1, atunci nu există o soluție 1 dacă a \u003d ± 1, atunci x \u003d - a-1

Slide 7

2. Rezolvați ecuația ׀ x + 3 ׀ + ׀ y -2 ׀ = 4; . 2 3. 4. 1

Slide 8

3 3 2 x y 0 1 Răspuns: (-3; 2).

Slide 9

2. Rezolvați ecuațiile ax=1;

Răspuns. Dacă a=0, atunci nu există soluție; dacă a=0, atunci x=1/ a 1,3. Rezolvați ecuația (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; atunci ecuația ia forma Ox = 2 și nu are soluție 2) a = 1; obținem Ox = O și, evident, x este oricare. 1 3) dacă a \u003d ± 1, atunci x \u003d - a-1 Răspuns. Dacă a \u003d -1, atunci x este oricare; dacă a \u003d 1, atunci nu există o soluție 1 dacă a \u003d ± 1, atunci x \u003d - a-1

Slide 10

3 Construiți un grafic al funcției

y x Y=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I + 3