Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, metode de rezolvare, exemple. §4

§unu. Sisteme de ecuații liniare.

sistem de vizualizare

numit sistem m ecuații liniare cu n necunoscut.

Aici
- necunoscut, - coeficienți pentru necunoscute,
- membri liberi ai ecuațiilor.

Dacă toți termenii liberi ai ecuațiilor sunt egali cu zero, sistemul este numit omogen.Decizie sistem se numește un set de numere
, atunci când le înlocuiesc în sistem în loc de necunoscute, toate ecuațiile se transformă în identități. Sistemul este numit comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun cu o soluție unică anumit. Cele două sisteme sunt numite echivalent dacă mulţimile soluţiilor lor sunt aceleaşi.

Sistemul (1) poate fi reprezentat sub formă de matrice folosind ecuația

(2)

.

§2. Compatibilitatea sistemelor de ecuații liniare.

Numim matricea extinsă a sistemului (1) matrice

Kronecker - teorema Capelli. Sistemul (1) este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse:

.

§3. Soluție de sistemen ecuații liniare cun necunoscut.

Luați în considerare un sistem neomogen n ecuații liniare cu n necunoscut:

(3)

teorema lui Cramer.Dacă principalul determinant al sistemului (3)
, atunci sistemul are o soluție unică determinată de formulele:

acestea.
,

Unde - determinantul obtinut din determinant înlocuire a coloana la coloana membrilor liberi.

În cazul în care un
, și cel puțin unul dintre ≠0, atunci sistemul nu are soluții.

În cazul în care un
, atunci sistemul are infinite de soluții.

Sistemul (3) poate fi rezolvat folosind notația sa matriceală (2). Dacă rangul matricei DAR egală n, adică
, apoi matricea DAR are invers
. Înmulțirea ecuației matriceale
la matrice
în stânga, obținem:

.

Ultima egalitate exprimă o modalitate de a rezolva sisteme de ecuații liniare folosind o matrice inversă.

Exemplu. Rezolvați sistemul de ecuații folosind matricea inversă.

Decizie. Matrice
nedegenerat, deoarece
, deci există o matrice inversă. Să calculăm matricea inversă:
.


,

Exercițiu. Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer.

§4. Rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare.

Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare de forma (1).

Să presupunem că sistemul este consistent, adică condiția teoremei Kronecker-Capelli este îndeplinită:
. Dacă rangul matricei
(la numărul de necunoscute), atunci sistemul are o soluție unică. În cazul în care un
, atunci sistemul are infinite de soluții. Să explicăm.

Fie rangul matricei r(A)= r< n. În măsura în care
, atunci există o ordine minoră diferită de zero r. Să-i spunem minorul de bază. Necunoscutele ai căror coeficienți formează minorul de bază se numesc variabile de bază. Necunoscutele rămase se numesc variabile libere. Rearanjam ecuațiile și renumerăm variabilele astfel încât acest minor să fie situat în colțul din stânga sus al matricei sistemului:

.

Primul r rândurile sunt liniar independente, restul sunt exprimate prin ele. Prin urmare, aceste linii (ecuații) pot fi aruncate. Primim:

Să dăm variabilelor libere valori numerice arbitrare: . Lăsăm doar variabilele de bază în partea stângă și mutam variabilele libere în partea dreaptă.

Am un sistem r ecuații liniare cu r necunoscut, al cărui determinant este diferit de 0. Are o soluție unică.

Acest sistem se numește soluția generală a sistemului de ecuații liniare (1). În caz contrar: se numește exprimarea variabilelor de bază în termeni de cele libere solutie comuna sisteme. Din el puteți obține un număr infinit decizii private, dând variabilelor libere valori arbitrare. Se numește o soluție particulară obținută dintr-una generală la valori zero ale variabilelor libere solutie de baza. Numărul de soluții de bază diferite nu depășește
. Se numește o soluție de bază cu componente nenegative pivot soluție de sistem.

Exemplu.

,r=2.

Variabile
- de bază,
- liber.

Să adăugăm ecuațiile; expres
prin
:

- decizie comună.

- solutie privata
.

- soluție de bază, de bază.

§5. metoda Gauss.

Metoda Gauss este o metodă universală pentru studierea și rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare. Constă în aducerea sistemului într-o formă diagonală (sau triunghiulară) prin eliminarea secvenţială a necunoscutelor folosind transformări elementare care nu încalcă echivalenţa sistemelor. O variabilă este considerată exclusă dacă este conținută într-o singură ecuație a sistemului cu un coeficient de 1.

Transformări elementare sistemele sunt:

Înmulțirea unei ecuații cu un număr diferit de zero;

Adunarea unei ecuații înmulțită cu orice număr cu o altă ecuație;

Rearanjarea ecuațiilor;

Eliminarea ecuației 0 = 0.

Transformările elementare pot fi efectuate nu pe ecuații, ci pe matrici extinse ale sistemelor echivalente rezultate.

Exemplu.

Decizie. Scriem matricea extinsă a sistemului:

.

Efectuând transformări elementare, aducem partea stângă a matricei la forma unitară: vom crea unități pe diagonala principală și zerouri în afara acesteia.









cometariu. Dacă, la efectuarea transformărilor elementare, o ecuație de forma 0 = k(Unde la0), atunci sistemul este inconsecvent.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda eliminării succesive a necunoscutelor poate fi formalizată sub forma Mese.

Coloana din stânga a tabelului conține informații despre variabilele excluse (de bază). Coloanele rămase conțin coeficienții necunoscutelor și termenii liberi ai ecuațiilor.

Matricea extinsă a sistemului este scrisă în tabelul sursă. Apoi, treceți la implementarea transformărilor Jordan:

1. Alegeți o variabilă , care va deveni baza. Coloana corespunzătoare se numește coloana cheie. Alegeti o ecuatie in care va ramane aceasta variabila, fiind exclusa din alte ecuatii. Rândul de tabel corespunzător se numește rândul de chei. Coeficient , care se află la intersecția rândului de chei și a coloanei cheie, se numește cheie.

2. Elementele șirului de cheie sunt împărțite la elementul cheie.

3. Coloana cheie este umplută cu zerouri.

4. Elementele rămase se calculează după regula dreptunghiului. Ele alcătuiesc un dreptunghi, la vârfuri opuse dintre care se află un element cheie și un element recalculat; din produsul elementelor de pe diagonala dreptunghiului cu elementul cheie se scade produsul elementelor altei diagonale, diferența rezultată se împarte la elementul cheie.

Exemplu. Aflați soluția generală și soluția de bază a sistemului de ecuații:

Decizie.

Solutia generala a sistemului:

Soluție de bază:
.

O transformare de substituție unică permite trecerea de la o bază a sistemului la alta: în loc de una dintre variabilele principale, se introduce în bază una dintre variabilele libere. Pentru a face acest lucru, un element cheie este selectat în coloana variabilă liberă și transformările sunt efectuate conform algoritmului de mai sus.

§6. Găsirea soluțiilor de asistență

Soluția de referință a unui sistem de ecuații liniare este o soluție de bază care nu conține componente negative.

Soluțiile suport ale sistemului se găsesc prin metoda Gauss în următoarele condiții.

1. În sistemul original, toți termenii liberi trebuie să fie nenegativi:
.

2. Elementul cheie este ales dintre coeficienții pozitivi.

3. Dacă variabila introdusă în bază are mai mulți coeficienți pozitivi, atunci șirul cheie este cel în care raportul dintre termenul liber și coeficientul pozitiv este cel mai mic.

Observație 1. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, apare o ecuație în care toți coeficienții sunt nepozitivi, iar termenul liber
, atunci sistemul nu are soluții nenegative.

Observația 2. Dacă nu există un singur element pozitiv în coloanele de coeficienți pentru variabilele libere, atunci trecerea la o altă soluție de referință este imposibilă.

Exemplu.


Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii sunt reduse la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul creării acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

  • alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
  • studiază teoria metodei alese,
  • rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare, luând în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile și conceptele necesare și introducem unele notații.

În continuare, avem în vedere metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, să ne concentrăm pe metoda Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în diferite moduri.

După aceea, trecem la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată. Formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (în cazul compatibilității lor) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Asigurați-vă că vă opriți asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, luăm în considerare sistemele de ecuații care se reduc la cele liniare, precum și diverse probleme, în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n ) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - membri liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de SLAE se numește coordona.

LA formă matriceală acest sistem de ecuații are forma ,
Unde - matricea principală a sistemului, - matricea-coloana de variabile necunoscute, - matricea-coloana de membri liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute, care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute se transformă, de asemenea, într-o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci se numește incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci vom numi astfel de SLAE-uri elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.

Trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și sunt determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu o astfel de notație, variabilele necunoscute sunt calculate prin formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemplu.

Metoda Cramer .

Decizie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculați determinantul acestuia (dacă este necesar, consultați articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Compuneți și calculați determinanții necesari (determinantul se obține prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de membri liberi, determinantul - prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de membri liberi, - prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de membri liberi. ):

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații ale sistemului este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei (folosind matricea inversă).

Fie sistemul de ecuații algebrice liniare dat sub formă de matrice , unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă . Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu din stânga, atunci obținem o formulă pentru găsirea matricei coloanelor de variabile necunoscute. Deci am obținut soluția sistemului de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda matricei.

Decizie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

La fel de

atunci SLAE poate fi rezolvat prin metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice de complemente algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat - matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse pe coloana-matrice a membrilor liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problema principală în găsirea de soluții la sistemele de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât a treia.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea succesivă a variabilelor necunoscute: în primul rând, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând cu a treia, și așa mai departe, până la doar variabila necunoscută. x n rămâne în ultima ecuație. Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute metoda Gauss directă. După ce se termină rularea înainte a metodei Gauss, x n este găsit din ultima ecuație, x n-1 este calculat din penultima ecuație folosind această valoare și așa mai departe, x 1 este găsit din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit metoda Gauss inversă.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați a doua ecuație înmulțită cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați a doua înmulțită cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați a doua înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea de sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment, începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda gaussiana.

Decizie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații, adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum excludem x 2 din a treia ecuație prin adăugarea părților din stânga și din dreapta părților din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Pe aceasta, cursul înainte al metodei Gauss este finalizat, începem cursul invers.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat, găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și aceasta completează cursul invers al metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În cazul general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și degenerată.

Teorema Kronecker-Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este incompatibil dă Teorema Kronecker–Capelli:
pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n ) să fie consistent este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică Rank( A)=Rang(T).

Să considerăm ca exemplu aplicarea teoremei Kronecker-Cappelli pentru determinarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Decizie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să trecem peste minorii de ordinul trei care îl înconjoară:

Deoarece toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, rangul matricei principale este de doi.

La rândul său, rangul matricei augmentate este egal cu trei, deoarece minorul de ordinul trei

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A) , prin urmare, conform teoremei Kronecker-Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Nu există un sistem de soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența sistemului folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești soluția SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de teorema privind rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordin superior al matricei A, altul decât zero de bază.

Din definirea bazei minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero, pot exista mai multe minore de bază; există întotdeauna un minor de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece nu sunt zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrici de ordinul p cu n este r, atunci toate elementele rândurilor (și coloanelor) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor corespunzătoare ale rândurilor (și coloanelor). ) care formează baza minoră.

Ce ne oferă teorema rangului matricei?

Dacă, prin teorema Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice minor de bază al matricei principale a sistemului (ordinea sa este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu formează minorul de bază ales. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor excesive ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

    Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

    Exemplu.

    .

    Decizie.

    Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul al treilea este egal cu zero

    iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2 .

    Ca bază minoră, luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:

    A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema rangului matricei:

    Astfel am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer:

    Răspuns:

    x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

    Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci lăsăm termenii care formează minorul de bază în părțile din stânga ecuațiilor și transferăm termenii rămași în părțile din dreapta ale ecuațiilor lui sistemul cu semnul opus.

    Variabilele necunoscute (există r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor se numesc principal.

    Sunt numite variabile necunoscute (există n - r dintre ele) care au ajuns în partea dreaptă liber.

    Acum presupunem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

    Să luăm un exemplu.

    Exemplu.

    Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare .

    Decizie.

    Aflați rangul matricei principale a sistemului prin metoda minorilor limitrofe. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor de ordinul întâi diferit de zero. Să începem să căutăm un minor de ordinul doi diferit de zero în jurul acestui minor:

    Așa că am găsit un minor diferit de zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:

    Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei augmentate este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

    Minorul non-zero găsit de ordinul al treilea va fi luat drept cel de bază.

    Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:

    Lăsăm termenii care participă la minorul de bază în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:

    Oferim variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică luăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE ia forma

    Rezolvăm sistemul elementar de ecuații algebrice liniare obținut prin metoda Cramer:

    Prin urmare, .

    În răspuns, nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

    Răspuns:

    Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare de formă generală, aflăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este inconsecvent.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci alegem minorul de bază și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea minorului de bază ales.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea minorului de bază este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și atribuim valori arbitrare ​la variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat, găsim principalele variabile necunoscute prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără examinarea lor preliminară pentru compatibilitate. Procesul de eliminare succesivă a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre inconsecvența SLAE, iar în cazul existenței unei soluții, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere al muncii computaționale, este de preferat metoda gaussiană.

Vezi descrierea sa detaliată și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Înregistrarea soluției generale a sistemelor algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectorii sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune, ne vom concentra asupra sistemelor comune omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem de decizie fundamental Un sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o mulțime de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă desemnăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt coloane matrice de dimensiunea n prin 1 ) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula definește toate soluțiile posibile ale SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1 , C 2 , ..., C (n-r), conform formulei pe care o avem va obține una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem seta toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Alegem minorul de bază al sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse toți termenii care conțin variabile necunoscute libere. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,…,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, prin metoda Cramer. Astfel, se va obține X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (2) . etc. Dacă dăm variabilelor necunoscute libere valorile 0,0,…,0,1 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (n-r) . Așa se va construi sistemul fundamental de soluții al SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată ca

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Decizie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale prin metoda franjării minorilor. Ca un minor de ordinul întâi, diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Găsiți minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

Se găsește un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este de doi. Să luăm minorul de bază. Pentru claritate, notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE original nu participă la formarea minorului de bază, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea minorului său de bază este două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

Să fie date două inegalități f 1(X) > g 1(X) și f 2(X) > g 2(X). Sistemul de inegalități este este o conjuncție a acestor inegalități . Sistemul este scris astfel:


Soluția acestui sistem X, care transformă fiecare dintre inegalități într-o adevărată inegalitate numerică. Mulțimea soluțiilor unui sistem de inegalități este intersecția mulțimilor de soluții ale inegalităților care formează sistemul dat.


Inegalitate | X| < A, Unde A> 0, este echivalent cu un sistem sau cu o inegalitate dublă -- A < X < A.


Set de inegalități f 1(X) > g 1(X) și f 2(X) > g 2(X) este tu disjuncția acestor inegalități .


Setul este scris astfel:


Rezolvarea acestui set este orice valoare a variabilei X, care transformă într-o adevărată inegalitate numerică cel puțin una dintre inegalitățile din mulțime. Mulțimea soluțiilor unei mulțimi este unirea mulțimilor de soluții ale inegalităților care formează mulțimea.


Inegalitate | X| > A, Unde A> 0, este echivalent cu mulțimea


Sarcină. Găsiți un set de soluții ale sistemului de inegalități:


Decizie. Să găsim seturile de soluții pentru fiecare dintre inegalitățile sistemului și apoi să găsim intersecția lor. Să transformăm fiecare dintre inegalități în formă X > A sau X < A.


Û Û


Û Û Û


X> -7 este un interval numeric (-7; ¥), și mulțimea soluțiilor inegalității X < 7 - промежуток (-¥; 7). Найдем их пересечение: (-7; ¥) Ç (-¥; 7) = (-7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (-7; 7).


Sarcină. Rezolvați inegalitatea | X+ 3| 4 GBP.


Decizie. Această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea dublă -4 £ X+ 3 £ 4. Rezolvând-o, constatăm că -7 £ X 1 GBP, adică XО [-7; unu].


Sarcină. Găsiți un set de soluții populaționale


Decizie. Să găsim mai întâi seturile de soluții pentru fiecare dintre inegalitățile populației și apoi unirea lor.


Transformăm fiecare dintre inegalitățile populației, înlocuind-o cu una echivalentă: Û Û Û


Setul de soluții la inegalitate X> 2 este intervalul numeric (2; ¥), și mulțimea soluțiilor inegalității X> 1 - interval (1; ¥). Să găsim uniunea lor: (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥). Prin urmare, mulțimea soluțiilor colecției este intervalul numeric (1; ¥).


Sarcină. Rezolvați inegalitatea | X+ 3| > 5.


Decizie. Această inegalitate este echivalentă cu mulțimea de inegalități:



Astfel, soluția mulțimii rezultate este intervalul numeric (-¥; -8) È (2; ¥).


Exerciții pentru munca independentă


1. Găsiți seturile de adevăr ale următoarelor conjuncții de inegalități și desenați-le pe o dreaptă reală:


A) ( X> 3) tu ( X> 5); G) ( X³ -7) u ( X³ -9);


b) ( X < 3) Ù (X < 5); д) (X> 4) u ( X£ -2);


in) ( X³ -4) u ( X£ -2); e) ( X³ -6) u ( X < 11).


2. Rezolvarea sistemelor de inegalități:


A) b)


în) G)


3. Găsiți seturi de soluții ale inegalităților:


a) | X - 6| < 13; в) |3X- 6| 0 GBP;


b) |5 - 2 X| 3 lire sterline; d) |3 X - 8| < - 1.


4. Găsiți seturile de adevăr ale următoarelor disjuncții de inegalități:


A) ( X> -9) Ú ( X> 1) Ú ( X> 6); G) ( X < 2) Ú (X > 8);

Rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea mulțimii soluțiilor sale. Iar soluția unui sistem de două ecuații cu două variabile este o pereche de valori ale variabilelor care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o adevărată egalitate numerică. Sistemele de ecuaţii cu două variabile pot fi rezolvate a) grafic; b) metoda substituţiei; c) metoda adunării. Alegerea metodei soluției depinde de ecuațiile incluse în sistem. Metoda grafică este aplicabilă rezolvării oricărui sistem, dar cu ajutorul graficelor de ecuații este posibil să se găsească aproximativ soluții ale sistemului. Doar unele dintre soluțiile găsite ale sistemului se pot dovedi exacte. Acest lucru poate fi verificat prin înlocuirea coordonatele lor în ecuațiile sistemului. Metoda substituției este „bună” la rezolvarea sistemelor când una dintre ecuații este o ecuație de gradul I. Este mai bine să folosiți metoda adunării în cazul în care ambele ecuații ale sistemului sunt ecuații de gradul doi.


Exemplul 1. Cu ajutorul graficelor, vom rezolva sistemul de ecuații: (x - 3) 2 + (y - 4) 2 = 4, Rezolvare. y - x 2 \u003d 0. În limbajul geometric, rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea tuturor punctelor comune ale graficelor ecuațiilor incluse în sistem. Așadar, aflăm care este graficul fiecăreia dintre ecuațiile acestui sistem. Deci, graficul ecuației (x - 3) 2 + (y - 4) 2 = 4 este un cerc cu raza 2 centrat în punctul cu coordonatele (3; 4). Graficul ecuației y - x 2 \u003d 0 este o parabolă y \u003d x 2, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar vârful este situat în punctul cu coordonatele (0; 0). Să descriem graficele ecuațiilor într-un sistem de coordonate și să găsim coordonatele punctelor de intersecție, acestea sunt soluțiile sistemului. Răspuns: x 1 1,7, y 1 2,5; x2 2,4, y2 5,9.


Exemplul2. Să rezolvăm sistemul de ecuații folosind metoda substituției: 0,5x 2 - y = 2, y - x = 2. Rezolvare. 1) Exprimăm din a doua ecuație a sistemului y prin x, obținem ecuația: y \u003d x) În prima ecuație a sistemului, în loc de y, înlocuim expresia (x + 2), obținem ecuația: 0,5x 2 - (x + 2) \u003d 2, o rezolvăm. 0,5x 2 - x - 2 \u003d 2, 0,5x 2 - x \u003d 0, 0,5x 2 - x - 4 \u003d 0. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu 2, obținem o ecuație echivalentă cu cea anterioară: x x - 8 \u003d 0. Folosind teorema inversă Vieta, găsim rădăcinile ecuației pătratice - acestea sunt numerele -2 și 4. 3) Dacă x = -2, atunci y = x + 2 = = 0. Dacă x = 4, atunci y = x + 2 = = 6 .Răspuns: ( (-2; 0), (4; 6) )


Exemplul 3. Rezolvăm sistemul de ecuații adăugând: x 2 - 2xy - 3 \u003d 0, 2x 2 + 3xy - 27 \u003d 0. Soluție. 1) Înmulțim prima ecuație a sistemului cu 3, iar a doua - cu 2. Obținem un sistem echivalent cu acesta: 3x 2 - 6xy - 9 \u003d 0, 4x 2 + 6xy - 54 \u003d 0. 2 ) După ce adăugăm ecuațiile sistemului, obținem o ecuație cu o variabilă: 7x 2 - 63 \u003d 0, 7x 2 \u003d 63, x 2 \u003d 63: 7, x \u003d ± 3. 3) Înlocuiți rezultatul găsit. valorile lui x în prima ecuație a sistemului: dacă x \u003d - 3, atunci (- 3) 2 - 2 *(- 3)*y - 3 = 0, prin urmare y = - 1; dacă x \u003d 3, atunci 3 2 - 2 * 3 * y - 3 \u003d 0, prin urmare y \u003d 1. Răspuns: ( (- 3; - 1), (3; 1)).


Rezolvați grafic sistemele de ecuații: 1) xy + 3 = 0, 2) y =, y = x xy - 8 = 0. Răspundeți (la clic) (- 1; 3) (4; 2)




Sugestii Sistem 1). Dacă în a doua ecuație a sistemului termenul „- 2xy” este transferat în partea stângă, atunci obținem pătratul sumei (x + y) 2. În prima ecuație a sistemului, exprimăm x prin y și înlocuiți expresia rezultată în a doua ecuație transformată; rezolvându-l, găsim valorile lui y. După ce am găsit valoarea lui y, găsim valorile corespunzătoare ale lui x. Răspuns: ( (2; - 5), (5; - 2) ). Sistemul 2). Dacă deschidem parantezele din a doua ecuație a sistemului, înlocuim termenul „xy” cu valoarea „-8” și dăm termeni similari, apoi împărțim ambele părți ale ecuației la „2”, atunci putem exprima x prin y. Înlocuind expresia rezultată x prin y în prima ecuație a sistemului, obținem o ecuație pătratică pentru y; rezolvându-l, găsim valorile lui y. După ce am găsit valoarea lui y, găsim valorile corespunzătoare ale lui x. Răspuns: ( (- 2; 4), (8; - 1) ). Sistemul 3). Dacă exprimăm x în termeni de y din prima ecuație a sistemului și îl substituim în a doua ecuație, atunci obținem o ecuație fracțională-rațională în raport cu y; rezolvându-l, găsim valorile lui y. După ce am găsit valoarea lui y, găsim valorile corespunzătoare ale lui x. Răspuns: ( (3; 1), (- 1; - 3) ). În continuare, familiarizați-vă cu metoda grafică de rezolvare a sistemelor

1. Sisteme de ecuații liniare cu un parametru

Sistemele de ecuații liniare cu un parametru sunt rezolvate prin aceleași metode de bază ca și sistemele convenționale de ecuații: metoda substituției, metoda adunării ecuațiilor și metoda grafică. Cunoașterea interpretării grafice a sistemelor liniare facilitează răspunsul la întrebarea despre numărul de rădăcini și existența acestora.

Exemplul 1

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații nu are soluții.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Decizie.

Să ne uităm la mai multe moduri de a rezolva această problemă.

1 cale. Folosim proprietatea: sistemul nu are soluții dacă raportul coeficienților în fața lui x este egal cu raportul coeficienților în fața lui y, dar nu este egal cu raportul termenilor liberi (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Atunci noi avem:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 sau un sistem

(și 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Din prima ecuație a 2 \u003d 4, prin urmare, ținând cont de condiția ca a ≠ 2, obținem răspunsul.

Răspuns: a = -2.

2 sensuri. Rezolvăm prin metoda substituției.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

După ce scoatem factorul comun y din paranteze în prima ecuație, obținem:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sistemul nu are soluții dacă prima ecuație nu are soluții, adică

(și 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Este evident că a = ±2, dar ținând cont de a doua condiție, se dă doar răspunsul cu minus.

Răspuns: a = -2.

Exemplul 2

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Decizie.

După proprietate, dacă raportul coeficienților la x și y este același și este egal cu raportul membrilor liberi ai sistemului, atunci are un număr infinit de soluții (adică a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Prin urmare, 8/a = a/2 = 2/1. Rezolvând fiecare dintre ecuațiile obținute, aflăm că un \u003d 4 este răspunsul în acest exemplu.

Răspuns: a = 4.

2. Sisteme de ecuații raționale cu un parametru

Exemplul 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Decizie.

Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Scădeți a doua ecuație din prima, obținem 5|x| = 4 – a. Această ecuație va avea o soluție unică pentru a = 4. În alte cazuri, această ecuație va avea două soluții (pentru a< 4) или ни одного (при а > 4).

Răspuns: a = 4.

Exemplul 4

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are o soluție unică.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Decizie.

Vom rezolva acest sistem folosind metoda grafică. Deci, graficul celei de-a doua ecuații a sistemului este o parabolă, ridicată de-a lungul axei Oy cu un segment de unitate. Prima ecuație definește mulțimea de drepte paralele cu dreapta y = -x (poza 1). Figura arată clar că sistemul are o soluție dacă linia dreaptă y \u003d -x + a este tangentă la parabola în punctul cu coordonatele (-0,5; 1,25). Înlocuind aceste coordonate în ecuația unei linii drepte în loc de x și y, găsim valoarea parametrului a:

1,25 = 0,5 + a;

Răspuns: a = 0,75.

Exemplul 5

Folosind metoda substituției, aflați la ce valoare a parametrului a, sistemul are o soluție unică.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Decizie.

Exprimați y din prima ecuație și înlocuiți-l în a doua:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Aducem a doua ecuație la forma kx = b, care va avea o soluție unică pentru k ≠ 0. Avem:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Trinomul pătrat a 2 + 3a + 2 poate fi reprezentat ca produs de paranteze

(a + 2)(a + 1), iar în stânga scoatem x din paranteze:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Evident, un 2 + 3a nu trebuie să fie egal cu zero, prin urmare,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ceea ce înseamnă a ≠ 0 și ≠ -3.

Răspuns: a ≠ 0; ≠ -3.

Exemplul 6

Folosind metoda soluției grafice, determinați la ce valoare a parametrului a, sistemul are o soluție unică.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Decizie.

Pe baza condiției, construim un cerc cu un centru la originea coordonatelor și o rază de 3 segmente unitare, acest cerc este cel care stabilește prima ecuație a sistemului

x 2 + y 2 = 9. A doua ecuație a sistemului (y = |x| + a) este o linie întreruptă. Prin intermediul figura 2 luăm în considerare toate cazurile posibile ale locației sale în raport cu cerc. Este ușor de observat că a = 3.

Răspuns: a = 3.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi sisteme de ecuații?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

ARTICOLE SIMILARE