Definiție.

Acesta este un hexagon, ale cărui baze sunt două pătrate egale, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

Coastă laterală este partea comună a două fețe laterale adiacente

Înălțimea prismei este un segment de dreaptă perpendicular pe bazele prismei

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal- un plan care trece prin diagonala prismei și marginile sale laterale

Secțiune diagonală- limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea diagonală a unei prisme patruunghiulare obișnuite este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt marcate cu literele corespunzătoare:

• Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
• Fețele laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare dintre acestea fiind dreptunghi
• Suprafața laterală - suma suprafețelor tuturor fețelor laterale ale prismei
• Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
• Nervurile laterale AA 1 , BB 1 , CC 1 și DD 1 .
• Diagonala B 1 D
• Diagonala bazei BD
• Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
• Secţiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2 .

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

• Bazele sunt două pătrate egale
• Bazele sunt paralele între ele
• Laturile sunt dreptunghiuri.
• Fețele laterale sunt egale între ele
• Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
• Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
• Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
• Unghiuri de secțiune perpendiculară - Dreapta
• Secțiunea diagonală a unei prisme patruunghiulare obișnuite este un dreptunghi
• Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

La rezolvarea problemelor pe tema " prismă patruunghiulară regulată" implică faptul că:

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află un poligon regulat, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Adică o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patruunghiulare obișnuite) Notă. Aceasta face parte din lecția cu sarcini de geometrie (secțiunea geometrie solidă - prismă). Iată sarcinile care provoacă dificultăți în rezolvare. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. Pentru a desemna acțiunea de extragere a rădăcinii pătrate în rezolvarea problemelor, se folosește simbolul√ .

Sarcină.

Într-o prismă pătrangulară obișnuită, aria bazei este de 144 cm 2 și înălțimea este de 14 cm. Aflați diagonala prismei și aria totală a suprafeței.

Decizie.
Un patrulater regulat este un pătrat.
În consecință, latura bazei va fi egală cu

√144 = 12 cm.
De unde diagonala bazei unei prisme dreptunghiulare regulate va fi egală cu
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonala unei prisme regulate formează un triunghi dreptunghic cu diagonala bazei și înălțimea prismei. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătraunghiulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

Sarcină

Aflați aria suprafeței totale a unei prisme patrulatere obișnuite dacă diagonala acesteia este de 5 cm și diagonala feței laterale este de 4 cm.

Decizie.
Deoarece baza unei prisme patruunghiulare obișnuite este un pătrat, atunci latura bazei (notată cu a) este găsită de teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

La baza prismei se poate afla orice poligon - un triunghi, un patrulater etc. Ambele baze sunt exact aceleași și, în consecință, prin care unghiurile fețelor paralele sunt conectate între ele, ele sunt întotdeauna paralele. La baza unei prisme regulate se află un poligon regulat, adică unul în care toate laturile sunt egale. Într-o prismă dreaptă, muchiile dintre fețele laterale sunt perpendiculare pe bază. În acest caz, un poligon cu orice număr de unghiuri se poate afla la baza unei prisme drepte. O prismă a cărei bază este un paralelogram se numește paralelipiped. Un dreptunghi este un caz special de paralelogram. Dacă această figură se află la bază, iar fețele laterale sunt situate în unghi drept față de bază, paralelipipedul se numește dreptunghiular. Al doilea nume al acestui corp geometric este dreptunghiular.

Cum arată ea

Există destul de multe prisme dreptunghiulare în mediul omului modern. Acesta, de exemplu, este cartonul obișnuit de sub pantofi, componente ale computerului etc. Uită-te in jur. Chiar și într-o cameră, cu siguranță vei vedea multe prisme dreptunghiulare. Aceasta este o carcasă pentru computer și o bibliotecă și un frigider și un dulap și multe alte articole. Formularul este extrem de popular în principal pentru că vă permite să utilizați spațiul cât mai eficient posibil, fie că decorați interiorul sau ambalați lucrurile în carton înainte de a vă muta.

Proprietățile unei prisme dreptunghiulare

O prismă dreptunghiulară are o serie de proprietăți specifice. Orice pereche de fețe poate servi ca ei, deoarece toate fețele adiacente sunt situate la același unghi una față de cealaltă, iar acest unghi este de 90 °. Volumul și aria suprafeței unei prisme dreptunghiulare sunt mai ușor de calculat decât oricare alta. Luați orice obiect care are forma unei prisme dreptunghiulare. Măsurați-i lungimea, lățimea și înălțimea. Pentru a găsi volumul, este suficient să înmulțim aceste măsurători. Adică, formula arată astfel: V \u003d a * b * h, unde V este volumul, a și b sunt laturile bazei, h este înălțimea care coincide cu marginea laterală a acestui corp geometric. Aria de bază se calculează prin formula S1=a*b. Pentru a obține suprafața laterală, trebuie mai întâi să calculați perimetrul bazei folosind formula P=2(a+b) și apoi să o înmulțiți cu înălțimea. Rezultă formula S2=P*h=2(a+b)*h. Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme dreptunghiulare, adăugați de două ori aria bazei și aria suprafeței laterale. Formula este S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

„Lecția teoremei lui Pitagora” - Teorema lui Pitagora. Determinați tipul de patrulater KMNP. Încălzire. Introducere în teoremă. Determinați tipul de triunghi: Planul lecției: Digresiune istorică. Rezolvarea unor probleme simple. Și găsește o scară lungă de 125 de picioare. Calculați înălțimea CF a trapezului ABCD. Dovada. Afișează imagini. Demonstrarea teoremei.

„Volumul unei prisme” - Conceptul de prismă. prismă directă. Volumul prismei originale este egal cu produsul S · h. Cum se află volumul unei prisme drepte? Prisma poate fi împărțită în prisme triunghiulare drepte cu înălțimea h. Desenați altitudinea triunghiului ABC. Rezolvarea problemei. Obiectivele lecției. Pași de bază în demonstrarea teoremei prismei directe? Studiul teoremei volumului prismei.

„poliedre prisme” - Definiți un poliedru. DABC este un tetraedru, un poliedru convex. Utilizarea prismelor. Unde se folosesc prismele? ABCDMP este un octaedru, format din opt triunghiuri. ABCDA1B1C1D1 este un paralelipiped, un poliedru convex. Poliedru convex. Conceptul de poliedru. Poliedrul A1A2..AnB1B2..Bn este o prismă.

„Clasa de prisme 10” - O prismă este un poliedru ale cărui fețe sunt în planuri paralele. Utilizarea unei prisme în viața de zi cu zi. Sside = Pbased. + h Pentru o prismă dreaptă: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Înclinat. Corect. Drept. Prismă. Formule pentru găsirea zonei. Utilizarea prismei în arhitectură. Sp.p \u003d S side + 2 S bazat.

„Demonstrarea teoremei lui Pitagora” - Dovada geometrică. Sensul teoremei lui Pitagora. Teorema lui Pitagora. Dovada lui Euclid. „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Demonstrațiile teoremei. Semnificația teoremei este că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei.

În programa școlară pentru cursul de geometrie solidă, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - un poliedru prismă. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, la baza căruia sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru această figură geometrică este paralelipiped drept.

Figura, care înfățișează o prismă patruunghiulară, este prezentată mai jos.

Se vede si in poza cele mai importante elemente care alcătuiesc un corp geometric. Ele sunt denumite în mod obișnuit ca:

Uneori în probleme de geometrie puteți găsi conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric care aparțin planului de tăiere. Secțiunea este perpendiculară (traversează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară se are în vedere și o secțiune diagonală (numărul maxim de secțiuni care pot fi construite este de 2), trecând prin 2 muchii și diagonalele bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru a găsi elementele prismatice reduse sunt folosite diverse rapoarte și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea biților:

V = Sprim h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a² h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați măturarea acesteia.

Din desen se poate observa că suprafața laterală este formată din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Poz h

Deoarece perimetrul unui pătrat este P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme, adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Plin = Sside + 2Sbase

Așa cum este aplicată unei prisme regulate patruunghiulare, formula are forma:

Sfull = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

• lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• înălțime sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
• suprafata de baza: Sprim = V/h;
• zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are o secțiune diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala prismei se folosește formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați rapoartele de mai sus, puteți exersa și rezolva câteva sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva dintre sarcinile care apar la examenele finale de stat la matematică.

Exercitiul 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă pătrangulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o lungime de bază de 2 ori mai mare?

Ar trebui argumentat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea container nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți defini lungimea bazei ca A. În acest caz, pentru prima casetă, volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

În măsura în care V₁ = V₂, expresiile pot fi echivalate:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare, noul nivel de nisip va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă regulată. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că baza este un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași valoare, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată prin diagonala cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală se găsește prin formula pentru cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Pătratul va fi acoperit cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50 30 = 1500 ruble.

Astfel, pentru a rezolva probleme pentru o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și a unui dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Poliedre

Obiectul principal de studiu al stereometriei sunt corpurile tridimensionale. Corp este o parte a spațiului delimitată de o suprafață.

poliedru Se numește un corp a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane plane. Un poliedru se numește convex dacă se află pe o parte a planului fiecărui poligon plat de pe suprafața sa. Se numește partea comună a unui astfel de plan și suprafața unui poliedru margine. Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe plate. Laturile fețelor se numesc marginile poliedrului, și vârfurile vârfurile poliedrului.

De exemplu, un cub este format din șase pătrate care sunt fețele sale. Conține 12 muchii (laturile pătratelor) și 8 vârfuri (vârfurile pătratelor).

Cele mai simple poliedre sunt prismele și piramidele, pe care le vom studia în continuare.

Prismă

Definiția și proprietățile unei prisme

prismă se numește poliedru format din două poligoane plate situate în planuri paralele combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor poligoane. Poligoanele sunt numite baze de prisme, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare ale poligoanelor sunt marginile laterale ale prismei.

Înălțimea prismei numită distanța dintre planele bazelor sale (). Se numește un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe diagonala prismei(). Prisma se numește n-cărbune dacă baza sa este un n-gon.

Orice prismă are următoarele proprietăți, care decurg din faptul că bazele prismei sunt combinate prin translație paralelă:

1. Bazele prismei sunt egale.

2. Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.

Suprafața unei prisme este formată din baze și suprafata laterala. Suprafața laterală a prismei este formată din paralelograme (acest lucru rezultă din proprietățile prismei). Aria suprafeței laterale a unei prisme este suma suprafețelor fețelor laterale.

prismă dreaptă

Prisma se numește Drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. În caz contrar, se numește prisma oblic.

Fețele unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Înălțimea unei prisme drepte este egală cu fețele sale laterale.

suprafața prismă completă este suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.

Prisma corectă se numește prismă dreaptă cu un poligon regulat la bază.

Teorema 13.1. Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul perimetrului și înălțimea prismei (sau, echivalent, cu marginea laterală).

Dovada. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri ale căror baze sunt laturile poligoanelor de la bazele prismei, iar înălțimile sunt marginile laterale ale prismei. Atunci, prin definiție, aria suprafeței laterale este:

,

unde este perimetrul bazei unei prisme drepte.

Paralelipiped

Dacă paralelogramele se află la bazele unei prisme, atunci se numește paralelipiped. Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme. În acest caz, fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale.

Teorema 13.2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct, iar punctul de intersecție este împărțit la jumătate.

Dovada. Luați în considerare două diagonale arbitrare, de exemplu, și . pentru că fețele paralelipipedului sunt paralelograme, apoi și , ceea ce înseamnă că după T aproximativ două drepte paralele cu a treia . În plus, aceasta înseamnă că liniile și se află în același plan (planul). Acest plan intersectează plane paralele și de-a lungul liniilor paralele și . Astfel, un patrulater este un paralelogram, iar prin proprietatea unui paralelogram, diagonalele sale și se intersectează și punctul de intersecție este împărțit la jumătate, ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește cuboid. Toate fețele unui cuboid sunt dreptunghiuri. Lungimile muchiilor neparalele ale unui paralelipiped dreptunghiular se numesc dimensiunile sale liniare (măsurători). Există trei dimensiuni (lățime, înălțime, lungime).

Teorema 13.3. Într-un cuboid, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale (demonstrat prin aplicarea de două ori a lui Pitagora).

Se numește paralelipiped dreptunghic în care toate muchiile sunt egale cub.

Sarcini

13.1 Câte diagonale are n- prismă de carbon

13.2 Într-o prismă triunghiulară înclinată, distanțele dintre muchiile laterale sunt 37, 13 și 40. Aflați distanța dintre fața laterală mai mare și muchia laterală opusă.

13.3 Prin latura bazei inferioare a unei prisme triunghiulare regulate, este trasat un plan care intersectează fețele laterale de-a lungul segmentelor, unghiul dintre care este . Aflați unghiul de înclinare al acestui plan față de baza prismei.