Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt de obicei rezolvate prin formule. Permiteți-mi să vă reamintesc că următoarele ecuații trigonometrice sunt numite cele mai simple:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x este unghiul care trebuie găsit,
a este orice număr.

Și iată formulele cu care puteți nota imediat soluțiile acestor ecuații simple.

Pentru sinusuri:

Pentru cosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pentru tangentă:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Pentru cotangentă:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

De fapt, aceasta este partea teoretică a rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice. Și, întregul!) Nimic. Cu toate acestea, numărul de erori pe acest subiect doar trece. Mai ales, cu o ușoară abatere a exemplului de la șablon. De ce?

Da, pentru că mulți oameni notează aceste scrisori, fără să le înțelegem deloc sensul! Cu teamă, el scrie, indiferent cum s-ar întâmpla ceva...) Acest lucru trebuie rezolvat. Trigonometrie pentru oameni sau oameni pentru trigonometrie, până la urmă!?)

Să ne dăm seama?

Un unghi va fi egal cu arccos a, al doilea: -arccos a.

Și așa va funcționa întotdeauna. Pentru orice A.

Dacă nu mă credeți, treceți mouse-ul peste imagine sau atingeți imaginea de pe tabletă.) Am schimbat numărul A la unele negative. Oricum, avem un colț arccos a, al doilea: -arccos a.

Prin urmare, răspunsul poate fi întotdeauna scris ca două serii de rădăcini:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Combinăm aceste două serii într-una singură:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Și toate lucrurile. Am obținut o formulă generală pentru rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice cu cosinus.

Dacă înțelegi că acesta nu este un fel de înțelepciune super-științifică, dar doar o înregistrare prescurtată a două serii de răspunsuri, tu și sarcinile „C” vor fi pe umăr. Cu inegalități, cu selecția rădăcinilor dintr-un interval dat... Acolo, răspunsul cu plus/minus nu se rostogolește. Și dacă tratezi răspunsul în mod business și îl împărți în două răspunsuri separate, totul este decis.) De fapt, pentru asta înțelegem. Ce, cum și unde.

În cea mai simplă ecuație trigonometrică

sinx = a

obține, de asemenea, două serii de rădăcini. Mereu. Și aceste două serii pot fi și înregistrate o linie. Doar această linie va fi mai inteligentă:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Dar esența rămâne aceeași. Matematicienii au construit pur și simplu o formulă pentru a face una în loc de două înregistrări de serii de rădăcini. Si asta e!

Să verificăm matematicienii? Și asta nu este suficient...)

În lecția anterioară, soluția (fără formule) a ecuației trigonometrice cu sinus a fost analizată în detaliu:

Răspunsul s-a dovedit a fi două serii de rădăcini:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Dacă rezolvăm aceeași ecuație folosind formula, obținem răspunsul:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

De fapt, acesta este un răspuns pe jumătate terminat.) Studentul trebuie să știe asta arcsin 0,5 = π /6. Răspunsul complet ar fi:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Aici apare o întrebare interesantă. Răspunde prin x 1; x 2 (acesta este răspunsul corect!) și prin cei singuri X (și acesta este răspunsul corect!) - același lucru, sau nu? Să aflăm acum.)

Înlocuiește ca răspuns cu x 1 valorile n =0; unu; 2; etc., considerăm, obținem o serie de rădăcini:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 etc.

Cu aceeași înlocuire ca răspuns la x 2 , primim:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 etc.

Și acum înlocuim valorile n (0; 1; 2; 3; 4...) în formula generală pentru cei singuri X . Adică ridicăm minus unu la puterea zero, apoi la prima, a doua și așa mai departe. Și, desigur, substituim 0 în al doilea termen; unu; 2 3; 4 etc. Și ne gândim. Primim o serie:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 etc.

Atât se vede.) Formula generală ne oferă exact aceleasi rezultate care sunt cele două răspunsuri separat. Toate deodată, în ordine. Matematicienii nu au înșelat.)

Pot fi verificate și formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu tangentă și cotangentă. Dar să nu facem.) Sunt atât de nepretențioși.

Toată această înlocuire și verificare am pictat intenționat. Este important să înțelegeți un lucru simplu aici: există formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice elementare, doar un rezumat al răspunsurilor. Pentru această concizie, a trebuit să introduc plus/minus în soluția de cosinus și (-1) n în soluția de sinus.

Aceste inserții nu interferează în niciun fel în sarcinile în care trebuie doar să scrieți răspunsul la o ecuație elementară. Dar dacă trebuie să rezolvați o inegalitate sau atunci trebuie să faceți ceva cu răspunsul: selectați rădăcini pe un interval, verificați ODZ etc., aceste inserții pot deranja cu ușurință o persoană.

Si ce sa fac? Da, fie pictați răspunsul în două serii, fie rezolvați ecuația / inegalitatea într-un cerc trigonometric. Apoi aceste inserții dispar și viața devine mai ușoară.)

Puteți rezuma.

Pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice, există formule de răspuns gata făcute. Patru piese. Sunt bune pentru a scrie instantaneu soluția unei ecuații. De exemplu, trebuie să rezolvați ecuațiile:

sinx = 0,3

Uşor: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nici o problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Uşor: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

A mai ramas una: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Dacă tu, strălucind de cunoștințe, scrii instantaneu răspunsul:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

atunci deja străluciți, asta... aceea... dintr-o băltoacă.) Răspunsul corect este: nu exista solutii. Nu inteleg de ce? Citiți ce este un arccosin. În plus, dacă în partea dreaptă a ecuației inițiale există valori tabelare de sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - răspunsul prin arcade va fi neterminat. Arcurile trebuie convertite în radiani.

Și dacă deja întâlniți o inegalitate, cum ar fi

atunci raspunsul este:

x πn, n ∈ Z

există o prostie rară, da ...) Aici este necesar să se decidă asupra unui cerc trigonometric. Ce vom face în subiectul corespunzător.

Pentru cei care citesc eroic până la aceste rânduri. Pur și simplu nu pot să nu apreciez eforturile tale titanice. tu un bonus.)

Primă:

Când scriu formule într-o situație de luptă anxioasă, chiar și tocilarii înrăiți devin adesea confuzi unde pn, Si unde 2πn. Iată un truc simplu pentru tine. În toate formule pn. Cu excepția singurei formule cu arc cosinus. Stă acolo 2πn. Două pien. Cuvânt cheie - Două.În aceeași formulă unică sunt Două semnează la început. Plus și minus. Aici si acolo - Două.

Deci daca ai scris Două semn în fața arcului cosinus, este mai ușor să ne amintim ce se va întâmpla la sfârșit Două pien. Și invers se întâmplă. Sari peste semnul bărbatului ± , ajunge la final, scrie corect Două pien, da, și prinde-l. Înainte de ceva Două semn! Persoana se va întoarce la început, dar va corecta greșeala! Ca aceasta.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online „Integral” pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.

Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.

Ecuații trigonometrice - ecuații în care variabila este conținută sub semnul funcției trigonometrice.

Repetăm ​​forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:

1) Dacă |а|≤ 1, atunci ecuația cos(x) = a are o soluție:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Dacă |а|≤ 1, atunci ecuația sin(x) = a are o soluție:

3) Dacă |a| > 1, atunci ecuația sin(x) = a și cos(x) = a nu au soluții 4) Ecuația tg(x)=a are o soluție: x=arctg(a)+ πk

5) Ecuația ctg(x)=a are o soluție: x=arcctg(a)+ πk

Pentru toate formulele, k este un număr întreg

Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: Т(kx+m)=a, T- orice funcție trigonometrică.

Exemplu.

Rezolvați ecuațiile: a) sin(3x)= √3/2

Decizie:

A) Să notăm 3x=t, apoi ne vom rescrie ecuația sub forma:

Soluția acestei ecuații va fi: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Din tabelul de valori obținem: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Să revenim la variabila noastră: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atunci x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Răspuns: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, unde n este un număr întreg. (-1)^n - minus unu la puterea lui n.

Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.

Rezolvați ecuațiile: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Decizie:

A) De data aceasta vom trece direct la calculul rădăcinilor ecuației:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atunci x/5= πk => x=5πk

Răspuns: x=5πk, unde k este un număr întreg.

B) Scriem sub forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Știm că: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Răspuns: x=2π/9 + πk/3, unde k este un număr întreg.

Rezolvați ecuații: cos(4x)= √2/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.

Decizie:

Să rezolvăm ecuația noastră în formă generală: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Acum să vedem ce rădăcini cad pe segmentul nostru. Pentru k Pentru k=0, x= π/16, suntem în segmentul dat .
Cu k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, au lovit din nou.
Pentru k=2, x= π/16+ π=17π/16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că nu vom lovi nici pentru k mare.

Răspuns: x= π/16, x= 9π/16

Două metode principale de soluție.

Am luat în considerare cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să ne uităm la exemple.

Să rezolvăm ecuația:

Decizie:
Pentru a ne rezolva ecuația, folosim metoda introducerii unei noi variabile, notată: t=tg(x).

Ca rezultat al înlocuirii, obținem: t 2 + 2t -1 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t=-1 și t=1/3

Atunci tg(x)=-1 și tg(x)=1/3, am obținut cea mai simplă ecuație trigonometrică, să-i găsim rădăcinile.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Răspuns: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Decizie:

Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ecuația noastră devine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Să introducem înlocuirea t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice sunt rădăcinile: t=2 și t=-1/2

Atunci cos(x)=2 și cos(x)=-1/2.

pentru că Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos(x)=2 nu are rădăcini.

Pentru cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Răspuns: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuații trigonometrice omogene.

Definiție: O ecuație de forma a sin(x)+b cos(x) se numește ecuații trigonometrice omogene de gradul I.

Ecuații de formă

ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă de gradul întâi, o împărțim la cos(x): Este imposibil să împărțiți la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este așa:
Fie cos(x)=0, apoi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, avem o contradicție, deci putem împărți în siguranță cu zero.

Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Decizie:

Scoateți factorul comun: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atunci trebuie să rezolvăm două ecuații:

cos(x)=0 și cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pentru x= π/2 + πk;

Luați în considerare ecuația cos(x)+sin(x)=0 Împărțiți ecuația noastră la cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Răspuns: x= π/2 + πk și x= -π/4+πk

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!

1. Vedeți cu ce este egal coeficientul a, dacă a \u003d 0, atunci ecuația noastră va lua forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), un exemplu al cărei soluție este în precedenta diapozitiv

2. Dacă a≠0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul pătrat, obținem:

Facem schimbarea variabilei t=tg(x) obținem ecuația:

Rezolvați Exemplul #:3

Rezolvați ecuația:
Decizie:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus:

Facem o schimbare a variabilei t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t=-3 și t=1

Atunci: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Răspuns: x=-arctg(3) + πk și x= π/4+ πk

Rezolvați Exemplul #:4

Rezolvați ecuația:

Decizie:
Să ne transformăm expresia:

Putem rezolva astfel de ecuații: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Răspuns: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Rezolvați Exemplul #:5

Rezolvați ecuația:

Decizie:
Să ne transformăm expresia:

Introducem înlocuirea tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t=-2 și t=1/2

Atunci obținem: tg(2x)=-2 și tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Răspuns: x=-arctg(2)/2 + πk/2 și x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sarcini pentru soluție independentă.

1) Rezolvați ecuația

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Rezolvați ecuațiile: sin(3x)= √3/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π/2; π].

3) Rezolvați ecuația: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Când rezolvi multe probleme de matematică, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre sarcinile menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de sarcină este rezolvată, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

În mod evident, succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz, este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

O situație diferită apare cu ecuații trigonometrice. Nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea secvenței de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil să-i determine tipul prin apariția unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercăm:

1. aduce toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „aceleași funcții”;
3. factorizați partea stângă a ecuației etc.

Considera metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Exprimați funcția trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2 Găsiți argumentul funcției folosind formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3 Găsiți o variabilă necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Decizie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituție variabilă

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți ecuația într-o formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2 Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3 Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4 Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5 Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Decizie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2 nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Schema de rezolvare

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară folosind formulele de reducere a puterii:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos2x + cos2x = 5/4.

Decizie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți această ecuație în formă

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Pasul 3 Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Decizie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, deci

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuatii folosind formule trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la o ecuație care poate fi rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Decizie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și abilitățile de a rezolva ecuații trigonometrice sunt foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort considerabil, atât din partea elevului, cât și a profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, așa cum spune, conține multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite la studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și de dezvoltare a personalității în general.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Ecuații trigonometrice mai complexe

Ecuații

păcat x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sunt cele mai simple ecuații trigonometrice. În această secțiune, folosind exemple specifice, vom lua în considerare ecuații trigonometrice mai complexe. Soluția lor, de regulă, se reduce la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Exemplu 1 . rezolva ecuatia

păcatul 2 X= cos X păcatul 2 X.

Transferând toți termenii acestei ecuații în partea stângă și descompunând expresia rezultată în factori, obținem:

păcatul 2 X(1 - cos X) = 0.

Produsul a două expresii este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar celălalt ia orice valoare numerică, atâta timp cât este definită.

În cazul în care un păcatul 2 X = 0 , apoi 2 X=n π ; X = π / 2n.

Dacă 1 - cos X = 0 , apoi cos X = 1; X = 2kπ .

Deci, avem două grupuri de rădăcini: X = π / 2n; X = 2kπ . Al doilea grup de rădăcini este în mod evident cuprins în primul, deoarece pentru n = 4k expresia X = π / 2n devine
X = 2kπ .

Prin urmare, răspunsul poate fi scris într-o singură formulă: X = π / 2n, Unde n-orice număr întreg.

Rețineți că această ecuație nu a putut fi rezolvată prin reducerea cu sin 2 X. Într-adevăr, după reducere, am obține 1 - cos x = 0, de unde X= 2k π . Astfel, am pierde niște rădăcini, de exemplu π / 2 , π , 3π / 2 .

EXEMPLUL 2. rezolva ecuatia

O fracție este zero numai dacă numărătorul ei este zero.
Asa de păcatul 2 X = 0 , de unde 2 X=n π ; X = π / 2n.

Din aceste valori X ar trebui aruncate ca străine acele valori pentru care păcatX dispare (fracțiile cu numitorul zero sunt lipsite de sens: împărțirea la zero nu este definită). Aceste valori sunt numere care sunt multipli ale π . În formulă
X = π / 2n se obţin pentru chiar n. Prin urmare, rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele

X = π / 2 (2k + 1),

unde k este orice număr întreg.

Exemplu 3 . rezolva ecuatia

2 păcatul 2 X+ 7 cos X - 5 = 0.

Expres păcatul 2 X prin cosX : păcatul 2 X = 1 - cos 2X . Apoi această ecuație poate fi rescrisă ca

2 (1 - cos 2 X) + 7 cos X - 5 = 0 , sau

2cos 2 X- 7cos X + 3 = 0.

denotând cosX prin la, ajungem la ecuația pătratică

2y 2 - 7y + 3 = 0,

ale căror rădăcini sunt numerele 1 / 2 și 3. Prin urmare, fie cos X= 1 / 2 sau cos X= 3. Cu toate acestea, acesta din urmă este imposibil, deoarece valoarea absolută a cosinusului oricărui unghi nu depășește 1.

Rămâne de recunoscut că cos X = 1 / 2 , Unde

X = ± 60° + 360° n.

Exemplu 4 . rezolva ecuatia

2 păcat X+ 3cos X = 6.

Pentru că păcatul X si cos X nu depășiți 1 în valoare absolută, apoi expresia
2 păcat X+ 3cos X nu poate lua valori mai mari decât 5 . Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Exemplu 5 . rezolva ecuatia

păcat X+ cos X = 1

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem:

păcatul 2 X+ 2 păcat X cos X+ cos2 X = 1,

dar păcatul 2 X + cos 2 X = 1 . Asa de 2 păcat X cos X = 0 . În cazul în care un păcat X = 0 , apoi X = nπ ; dacă
cos X , apoi X = π / 2 + kπ . Aceste două grupuri de soluții pot fi scrise într-o singură formulă:

X = π / 2n

Deoarece am pătrat ambele părți ale acestei ecuații, este posibil ca printre rădăcinile pe care le-am obținut să existe și altele străine. De aceea, în acest exemplu, spre deosebire de toate precedentele, este necesar să se facă o verificare. Toate valorile

X = π / 2n poate fi împărțit în 4 grupe

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

La X = 2kπ păcat X+ cos X= 0 + 1 = 1. Prin urmare, X = 2kπ sunt rădăcinile acestei ecuații.

La X = π / 2 + 2kπ. păcat X+ cos X= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ sunt și rădăcinile acestei ecuații.

La X = π + 2kπ păcat X+ cos X= 0 - 1 = - 1. Prin urmare, valorile X = π + 2kπ nu sunt rădăcini ale acestei ecuații. În mod similar, se arată că X = 3π / 2 + 2kπ. nu sunt rădăcini.

Astfel, această ecuație are următoarele rădăcini: X = 2kπși X = π / 2 + 2mπ., Unde kși m- orice numere întregi.