Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcția de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. Pentru claritate, să rezolvăm următoarea problemă:

Calculați \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] dacă \

În primul rând, să fim atenți la faptul că un număr este reprezentat în formă algebrică, celălalt - în formă trigonometrică. Trebuie simplificat și adus la următoarea formă

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Expresia \ spune că, în primul rând, facem înmulțirea și ridicarea la puterea a 10-a după formula Moivre. Această formulă a fost formulată pentru forma trigonometrică a unui număr complex. Primim:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Respectând regulile de înmulțire a numerelor complexe în formă trigonometrică, vom face următoarele:

În cazul nostru:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Făcând corectă fracția \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], ajungem la concluzia că este posibil să „răsucim” 4 spire \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Răspuns: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Această ecuație poate fi rezolvată într-un alt mod, care se rezumă la aducerea celui de-al 2-lea număr în formă algebrică, apoi efectuarea înmulțirii în formă algebrică, traducerea rezultatului în formă trigonometrică și aplicarea formulei Moivre:

Unde pot rezolva online un sistem de ecuații cu numere complexe?

Puteți rezolva sistemul de ecuații pe site-ul nostru https: // site-ul. Soluția online gratuită vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

Pentru a rezolva probleme cu numere complexe, trebuie să înțelegeți definițiile de bază. Sarcina principală a acestui articol de revizuire este de a explica ce sunt numerele complexe și de a prezenta metode de rezolvare a problemelor de bază cu numere complexe. Astfel, un număr complex este un număr de formă z = a + bi, Unde a, b- numerele reale, care se numesc părțile reale și, respectiv, imaginare ale unui număr complex, și denotă a = Re(z), b=Im(z).
i se numește unitatea imaginară. i 2 \u003d -1. În special, orice număr real poate fi considerat complex: a = a + 0i, unde a este real. Dacă a = 0și b ≠ 0, atunci numărul se numește pur imaginar.

Introducem acum operații pe numere complexe.
Luați în considerare două numere complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i.

Considera z = a + bi.

Mulțimea numerelor complexe extinde mulțimea numerelor reale, care la rândul său extinde mulțimea numerelor raționale și așa mai departe. Acest lanț de înglobări poate fi văzut în figură: N - numere naturale, Z - numere întregi, Q - rațional, R - real, C - complex.

Reprezentarea numerelor complexe

Notația algebrică.

Luați în considerare un număr complex z = a + bi, această formă de scriere a unui număr complex se numește algebric. Am discutat deja despre această formă de scriere în detaliu în secțiunea anterioară. Destul de des folosiți următorul desen ilustrativ

formă trigonometrică.

Din figură se vede că numărul z = a + bi poate fi scris diferit. Este evident că a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, prin urmare z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se numește argumentul unui număr complex. Această reprezentare a unui număr complex se numește formă trigonometrică. Forma trigonometrică a notației este uneori foarte convenabilă. De exemplu, este convenabil să îl utilizați pentru a ridica un număr complex la o putere întreagă, și anume, dacă z = rcos(φ) + rsin(φ)i, apoi z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, această formulă se numește formula lui De Moivre.

Forma demonstrativă.

Considera z = rcos(φ) + rsin(φ)i este un număr complex în formă trigonometrică, îl scriem într-o formă diferită z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ultima egalitate rezultă din formula lui Euler, așa că am obținut o nouă formă de scriere a unui număr complex: z = re iφ, Care e numit demonstrativ. Această formă de notație este, de asemenea, foarte convenabilă pentru ridicarea unui număr complex la o putere: z n = r n e inφ, Aici n nu neapărat un număr întreg, dar poate fi un număr real arbitrar. Această formă de scriere este destul de des folosită pentru a rezolva probleme.

Teorema fundamentală a algebrei superioare

Imaginați-vă că avem o ecuație pătratică x 2 + x + 1 = 0 . Evident, discriminantul acestei ecuații este negativ și nu are rădăcini reale, dar rezultă că această ecuație are două rădăcini complexe diferite. Deci, teorema principală a algebrei superioare afirmă că orice polinom de grad n are cel puțin o rădăcină complexă. De aici rezultă că orice polinom de gradul n are exact n rădăcini complexe, ținând cont de multiplicitatea acestora. Această teoremă este un rezultat foarte important în matematică și este aplicată pe scară largă. O consecință simplă a acestei teoreme este următorul rezultat: există exact n rădăcini distincte de unitate de n grade.

Principalele tipuri de sarcini

În această secțiune, vor fi luate în considerare principalele tipuri de probleme simple cu numere complexe. În mod convențional, problemele privind numerele complexe pot fi împărțite în următoarele categorii.

• Efectuarea de operații aritmetice simple pe numere complexe.
• Găsirea rădăcinilor polinoamelor în numere complexe.
• Ridicarea numerelor complexe la putere.
• Extragerea rădăcinilor din numere complexe.
• Aplicarea numerelor complexe pentru rezolvarea altor probleme.

Acum luați în considerare metodele generale de rezolvare a acestor probleme.

Cele mai simple operații aritmetice cu numere complexe se efectuează conform regulilor descrise în prima secțiune, dar dacă numerele complexe sunt prezentate în forme trigonometrice sau exponențiale, atunci în acest caz ele pot fi convertite în formă algebrică și pot efectua operații conform regulilor cunoscute.

Găsirea rădăcinilor polinoamelor se reduce de obicei la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să presupunem că avem o ecuație pătratică, dacă discriminantul ei este nenegativ, atunci rădăcinile sale vor fi reale și se găsesc după o formulă binecunoscută. Dacă discriminantul este negativ, atunci D = -1∙a 2, Unde A este un anumit număr, atunci putem reprezenta discriminantul în formă D = (ia) 2, prin urmare √D = i|a|, și apoi puteți utiliza formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice.

Exemplu. Să revenim la ecuația pătratică menționată mai sus x 2 + x + 1 = 0.
discriminant - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Acum putem găsi cu ușurință rădăcinile:

Ridicarea numerelor complexe la o putere se poate face în mai multe moduri. Dacă doriți să ridicați un număr complex în formă algebrică la o putere mică (2 sau 3), atunci puteți face acest lucru prin înmulțire directă, dar dacă gradul este mai mare (în probleme este adesea mult mai mare), atunci trebuie să scrieți acest număr în forme trigonometrice sau exponențiale și folosiți metode deja cunoscute.

Exemplu. Se consideră z = 1 + i și se ridică la a zecea putere.
Scriem z în formă exponențială: z = √2 e iπ/4 .
Apoi z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Să revenim la forma algebrică: z 10 = -32i.

Extragerea rădăcinilor din numere complexe este operația inversă de exponențiere, deci se face într-un mod similar. Pentru a extrage rădăcinile, este adesea folosită forma exponențială de scriere a unui număr.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile de gradul 3 de unitate. Pentru a face acest lucru, găsim toate rădăcinile ecuației z 3 = 1, vom căuta rădăcinile în formă exponențială.
Înlocuiți în ecuație: r 3 e 3iφ = 1 sau r 3 e 3iφ = e 0 .
Prin urmare: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, deci φ = 2πk/3.
Se obțin diverse rădăcini la φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Prin urmare 1 , e i2π/3 , e i4π/3 sunt rădăcini.
Sau sub formă algebrică:

Ultimul tip de probleme include o mare varietate de probleme și nu există metode generale de rezolvare a acestora. Iată un exemplu simplu de astfel de sarcină:

Găsiți suma sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Deși formularea acestei probleme nu se referă la numere complexe, dar cu ajutorul lor se poate rezolva cu ușurință. Pentru a o rezolva, se folosesc următoarele reprezentări:


Dacă substituim acum această reprezentare în sumă, atunci problema se reduce la însumarea progresiei geometrice obișnuite.

Concluzie

Numerele complexe sunt utilizate pe scară largă în matematică, acest articol de recenzie a discutat despre operațiile de bază asupra numerelor complexe, a descris mai multe tipuri de probleme standard și a descris pe scurt metode generale de rezolvare a acestora, pentru un studiu mai detaliat al posibilităților numerelor complexe, se recomandă să folosi literatura de specialitate.

Literatură

Expresii, ecuații și sisteme de ecuații
cu numere complexe

Astăzi, în lecție, vom lucra acțiuni tipice cu numere complexe, precum și vom stăpâni tehnica rezolvării expresiilor, ecuațiilor și sistemelor de ecuații pe care le conțin aceste numere. Acest atelier este o continuare a lecției și, prin urmare, dacă nu sunteți familiarizat cu subiectul, atunci vă rugăm să urmați linkul de mai sus. Ei bine, sugerez ca cititorii mai pregătiți să se încălzească imediat:

Exemplul 1

Simplificați expresia , dacă . Prezentați rezultatul sub formă trigonometrică și reprezentați-l pe plan complex.

Decizie: deci, trebuie să înlocuiți fracția „teribilă”, să efectuați simplificări și să traduceți rezultatul număr complexîn formă trigonometrică. Plus la naiba.

Care este cel mai bun mod de a lua o decizie? Este mai profitabil să faci față unei expresii algebrice „fanteziste” în etape. În primul rând, atenția este mai puțin împrăștiată și, în al doilea rând, dacă sarcina nu este creditată, va fi mult mai ușor să găsiți o eroare.

1) Să simplificăm mai întâi numărătorul. Înlocuiți valoarea în ea, deschideți parantezele și fixați coafura:

... Da, un astfel de Quasimodo din numere complexe s-a dovedit ...

Vă reamintesc că în cursul transformărilor se folosesc lucruri complet ingenioase - regula înmulțirii polinoamelor și egalitatea deja banală. Principalul lucru este să fii atent și să nu te încurci în semne.

2) Acum numitorul este următorul. Daca atunci:

Observați în ce se folosește o interpretare neobișnuită formula sumei pătrate. Alternativ, puteți schimba aici subformula . Rezultatele se vor potrivi, desigur.

3) Și în sfârșit, întreaga expresie. Daca atunci:

Pentru a scăpa de fracție, înmulțim numărătorul și numitorul cu expresia conjugată la numitor. Cu toate acestea, în scopul aplicării formule de diferență de pătrate ar trebui să fie preliminar (și cu siguranță!) pune partea reală negativă pe locul 2:

Și acum regula cheie:

IN NICIO CAZ NU NU NE GRABIM! Mai bine să joci în siguranță și să prescrii un pas suplimentar.
În expresii, ecuații și sisteme cu numere complexe calcule orale presupuse plin ca întotdeauna!

A existat o contracție frumoasă în pasul final și acesta este doar un semn grozav.

Notă : strict vorbind, aici a avut loc împărțirea numărului complex la numărul complex 50 (reamintim că ). Am tăcut până acum despre această nuanță și despre ea vom vorbi puțin mai târziu.

Să denotăm realizarea noastră cu scrisoarea

Să reprezentăm rezultatul în formă trigonometrică. În general, aici puteți face fără un desen, dar de îndată ce este necesar, este ceva mai rațional să îl finalizați chiar acum:

Calculați modulul unui număr complex:

Dacă executați un desen la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule tetrade), atunci valoarea rezultată este ușor de verificat folosind o riglă obișnuită.

Să găsim un argument. Deoarece numărul este situat în al 2-lea trimestru de coordonate, atunci:

Unghiul este pur și simplu verificat de un raportor. Acesta este plusul incontestabil al desenului.

Astfel: - numărul dorit în formă trigonometrică.

Sa verificam:
, care urma să fie verificat.

Este convenabil să găsiți valori nefamiliare ale sinusului și cosinusului prin tabel trigonometric.

Răspuns:

Un exemplu similar pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Exemplul 2

Simplificați expresia , Unde . Desenați numărul rezultat pe planul complex și scrieți-l în formă exponențială.

Încercați să nu săriți peste tutoriale. Ele pot părea simple, dar fără antrenament, „a intra într-o băltoacă” nu este doar ușor, ci și foarte ușor. Deci să punem mâna pe el.

Adesea, problema permite mai multe soluții:

Exemplul 3

Calculați dacă,

Decizie: în primul rând, să fim atenți la condiția inițială - un număr este prezentat sub formă algebrică, iar celălalt sub formă trigonometrică și chiar cu grade. Să-l rescriem imediat într-o formă mai familiară: .

În ce formă ar trebui efectuate calculele? Expresia, evident, implică prima înmulțire și ridicarea în continuare la puterea a 10-a în Formula De Moivre, care este formulat pentru forma trigonometrică a unui număr complex. Astfel, pare mai logic să convertiți primul număr. Găsiți modulul și argumentul acestuia:

Folosim regula înmulțirii numerelor complexe în formă trigonometrică:
daca atunci

Făcând fracția corectă, ajungem la concluzia că este posibil să „răsuciți” 4 ture ( bucuros.):

A doua modalitate de a rezolva este de a traduce al 2-lea număr în forma algebrică , efectuați înmulțirea în formă algebrică, traduceți rezultatul în formă trigonometrică și utilizați formula De Moivre.

După cum puteți vedea, o acțiune „în plus”. Cei care doresc pot urmări soluția până la capăt și se pot asigura că rezultatele se potrivesc.

Condiția nu spune nimic despre forma numărului complex rezultat, deci:

Răspuns:

Dar „pentru frumusețe” sau la cerere, rezultatul poate fi ușor reprezentat în formă algebrică:

Pe cont propriu:

Exemplul 4

Simplificați expresia

Aici este necesar să ne amintim actiuni cu puteri, deși nu există o regulă utilă în manualul de instruire, iată-l:.

Și încă o notă importantă: exemplul poate fi rezolvat în două stiluri. Prima opțiune este să lucrezi cu Două numere și suportate cu fracții. A doua opțiune este reprezentarea fiecărui număr din formular coeficientul a doua numere: și scapă de cele cu patru etaje. Din punct de vedere formal, nu contează cum să decideți, dar există o diferență semnificativă! Vă rugăm să luați în considerare bine:
este un număr complex;
este coeficientul a două numere complexe ( și ), totuși, în funcție de context, se poate spune și așa: un număr reprezentat ca un coeficient de două numere complexe.

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Expresiile sunt bune, dar ecuațiile sunt mai bune:

Ecuații cu coeficienți complexi

Cum diferă ele de ecuațiile „obișnuite”? Coeficienți =)

În lumina observației de mai sus, să începem cu acest exemplu:

Exemplul 5

rezolva ecuatia

Și un preambul imediat în urmărire fierbinte: iniţial partea dreaptă a ecuației este poziționată ca un coeficient de două numere complexe (și 13) și, prin urmare, ar fi proastă să rescrieți condiția cu numărul (chiar daca nu va cauza o eroare). Apropo, această diferență se vede mai clar în fracții - dacă, relativ vorbind, , atunci această valoare este înțeleasă în primul rând ca rădăcina complexă „completă” a ecuațieiși nu ca divizor al numărului și cu atât mai mult - nu ca parte a numărului!

Decizie, in principiu, se poate si aranja pas cu pas, dar in acest caz jocul nu merita lumanarea. Sarcina inițială este de a simplifica tot ceea ce nu conține un „Z” necunoscut, drept urmare ecuația va fi redusă la forma:

Simplificați cu încredere fracția medie:

Transferăm rezultatul în partea dreaptă și găsim diferența:

Notă : și din nou vă atrag atenția asupra punctului semnificativ - aici nu am scăzut numărul din număr, ci am însumat fracțiile la un numitor comun! Trebuie remarcat faptul că deja în cursul soluției nu este interzis să lucrați cu numere: , cu toate acestea, în exemplul luat în considerare, un astfel de stil este mai dăunător decât util =)

Conform regulii proporției, exprimăm „z”:

Acum puteți împărți și înmulți din nou cu expresia alăturată, dar numerele suspect de similare ale numărătorului și numitorului sugerează următoarea mișcare:

Răspuns:

În scopul verificării, înlocuim valoarea rezultată în partea stângă a ecuației originale și efectuăm simplificări:

- se obține partea dreaptă a ecuației inițiale, astfel încât rădăcina este găsită corect.

… Acum-acum… Voi alege ceva mai interesant pentru tine… Ține:

Exemplul 6

rezolva ecuatia

Această ecuație se reduce la forma și, prin urmare, este liniară. Sugestia, cred, este clară - mergi!

Desigur... cum poți trăi fără el:

Ecuație pătratică cu coeficienți complexi

La lecție Numere complexe pentru manechini am aflat că o ecuație pătratică cu coeficienți reali poate avea rădăcini complexe conjugate, după care apare o întrebare firească: de ce, de fapt, coeficienții înșiși nu pot fi complexi? Voi formula cazul general:

Ecuație pătratică cu coeficienți complexi arbitrari (1 sau 2 dintre care sau toate trei pot fi în special valide) Are doi și numai doi rădăcini complexe (posibil dintre care unul sau ambele sunt valide). În timp ce rădăcinile (atât real, cât și cu o parte imaginară diferită de zero) poate coincide (fi multiplu).

O ecuație pătratică cu coeficienți complecși se rezolvă în același mod ca ecuația „școală”., cu unele diferențe în tehnica de calcul:

Exemplul 7

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice

Decizie: unitatea imaginară este pe primul loc și, în principiu, poți scăpa de ea (înmulțind ambele părți cu ), cu toate acestea, nu este nevoie în mod special de acest lucru.

Pentru comoditate, scriem coeficienții:

Nu pierdem „minusul” membrului gratuit! ... S-ar putea să nu fie clar pentru toată lumea - voi rescrie ecuația în formă standard :

Să calculăm discriminantul:

Iată principalul obstacol:

Aplicarea formulei generale de extragere a rădăcinii (vezi ultimul paragraf al articolului Numere complexe pentru manechini) este complicată de dificultăți grave asociate cu argumentul numărului complex radical (convinge-te singur). Dar există o altă modalitate, „algebrică”! Vom căuta rădăcina sub forma:

Să pătram ambele părți:

Două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale. Astfel, obținem următorul sistem:

Sistemul este mai ușor de rezolvat prin alegere (o modalitate mai amănunțită este de a exprima din a 2-a ecuație - înlocuiți în prima, obțineți și rezolvați ecuația biquadratică). Presupunând că autorul problemei nu este un monstru, emitem ipoteza că și sunt numere întregi. Din prima ecuație rezultă că „x” modulo mai mult decât „y”. În plus, produsul pozitiv ne spune că necunoscutele sunt de același semn. Pe baza celor de mai sus și concentrându-ne pe a doua ecuație, notăm toate perechile care se potrivesc cu aceasta:

Evident, ultimele două perechi satisfac prima ecuație a sistemului, astfel:

O verificare intermediară nu va strica:

care urma să fie verificată.

Ca rădăcină „de lucru”, puteți alege orice sens. Este clar că este mai bine să luați versiunea fără „contra”:

Găsim rădăcinile, fără a uita, de altfel, că:

Răspuns:

Să verificăm dacă rădăcinile găsite satisfac ecuația :

1) Inlocuitor:

egalitate corectă.

2) Inlocuitor:

egalitate corectă.

Astfel, soluția este găsită corect.

Inspirat de problema tocmai discutată:

Exemplul 8

Găsiți rădăcinile ecuației

Rețineți că rădăcina pătrată a pur complex numerele sunt extrase perfect și folosind formula generală , Unde , deci ambele metode sunt prezentate în eșantion. A doua remarcă utilă se referă la faptul că extragerea preliminară a rădăcinii din constantă nu simplifică deloc soluția.

Și acum te poți relaxa - în acest exemplu, vei scăpa cu o ușoară frică :)

Exemplul 9

Rezolvați ecuația și verificați

Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Ultimul paragraf al articolului este dedicat

sistem de ecuații cu numere complexe

Ne-am relaxat și... nu ne încordăm =) Să luăm în considerare cel mai simplu caz – un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

Exemplul 10

Rezolvați sistemul de ecuații. Prezentați răspunsul în forme algebrice și exponențiale, descrieți rădăcinile în desen.

Decizie: condiția în sine sugerează că sistemul are o soluție unică, adică trebuie să găsim două numere care să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului.

Sistemul poate fi într-adevăr rezolvat într-un mod „copilăr”. (exprimă o variabilă în termenii alteia) , dar este mult mai comod de utilizat formulele lui Cramer. Calcula determinant principal sisteme:

, astfel încât sistemul are o soluție unică.

Repet că este mai bine să nu vă grăbiți și să prescrieți pașii cât mai detaliați posibil:

Înmulțim numărătorul și numitorul cu o unitate imaginară și obținem prima rădăcină:

În mod similar:

Laturile din dreapta corespunzătoare, p.t.p.

Să executăm desenul:

Reprezentăm rădăcinile în formă exponențială. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți modulele și argumentele lor:

1) - arc-tangenta celor „doi” este calculată „prost”, așa că o lăsăm așa: