Ecuația Schrödinger temporală și staționară
Interpretarea statistică a undelor de Broglie și a relației de incertitudine Heisenberg a condus la concluzia că ecuația mișcării din mecanica cuantică, care descrie mișcarea microparticulelor în diferite câmpuri de forță, ar trebui să fie o ecuație din care proprietățile undei observate experimental ale particulelor ar trebui să fie urma. Ecuația principală trebuie să fie o ecuație pentru funcția de undă (x, y, z, t), deoarece această funcție, sau mai precis, mărimea 2, determină probabilitatea ca particula să se afle în volumul dV la momentul t , adică în zona cu coordonatele x și x+dx, y și y+dy, z și z+dz. Deoarece ecuația dorită trebuie să țină cont de proprietățile de undă ale particulelor, trebuie să fie o ecuație de undă, similară cu ecuația care descrie undele electromagnetice.
Această ecuație este postulată, iar corectitudinea ei este confirmată prin acordul cu experiența rezultatelor obținute cu ajutorul ei.
Ecuația de bază a mecanicii cuantice non-relativiste (1926)
4.1 Ecuația timpului Schrödinger:
Ecuația este valabilă pentru particule non-relativiste<< ,
unde (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) este masa particulei; - unitate imaginară; 
este funcția potențială a particulei în câmpul de forță în care se mișcă; 
este funcția de undă dorită; ∆ este operatorul Laplace 
Condiții impuse funcției de undă:
Funcția de undă trebuie să fie finită, cu o singură valoare și continuă.
Derivatele ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t trebuie să fie continue.
Funcția 2 trebuie să fie integrabilă (această condiție se reduce la condiția de normalizare pentru probabilități).
4.2 Ecuația Schrödinger staționară
În cazul unui câmp de forță staționar (funcția U=U(x, y, z) nu depinde în mod explicit de timp și are sensul de energie potențială. În acest caz, soluția ecuației Schrödinger poate fi reprezentată ca un produs a două funcții, dintre care una este doar o funcție a coordonatelor, cealaltă este doar o funcție a timpului, iar dependența de timp este exprimată prin factor 
).
Atunci funcția de undă pentru stările staționare (stări cu valori fixe de energie) poate fi reprezentată ca:
Ecuația staționară Schrödinger:
obţinută după înlocuirea funcţiei de undă în ecuaţia de timp Schrödinger şi transformări (∆ este operatorul Laplace, m- masa particulelor; - constanta Planck redusă ( = h/2π); E este energia totală a particulei, U este energia potențială a particulei. În fizica clasică, cantitatea (EU) ar fi egală cu energia cinetică a particulei. În mecanica cuantică, din cauza relației de incertitudine, conceptul de energie cinetică este lipsit de sens. Aici energia potențială U este o caracteristică câmp de forță externîn care particula se mișcă. Această valoare este destul de clară. Este, de asemenea, o funcție a coordonatelor, în acest caz U =U(x,y,z)).
Ideea principală a lui Schrödinger este de a transfera analogia matematică dintre optica geometrică și mecanica clasică la proprietățile undei ale luminii și ale particulelor.
Obținem ecuația Schrödinger din expresia funcției de undă a unui electron liber. Să-l rescriem într-o formă complexă.
Folosind relația dintre frecvență cu energia și numărul de undă cu impulsul, obținem: 
.
În cazul general, este energia totală a particulei, , este energia cinetică și este energia de interacțiune.
Să găsim prima derivată în raport cu și a doua în raport cu coordonatele funcției Y: (1), (2).
Înmulțim ecuația (1) cu , iar ecuația (2) cu (astfel, factorii din partea dreaptă vor avea dimensiunea energiei):
, 
.
Adăugăm ecuațiile rezultate:
.
Deoarece , ultima egalitate poate fi rescrisă sub forma 
.
Aceasta este ecuația Schrödinger. A fost obținut pentru o coordonată. Dacă este rescris pentru 3 coordonate, atunci prin introducerea operatorului Laplace, vom avea în sfârșit
.
Ecuația Schrödinger nu poate fi derivată direct din legile fundamentale ale fizicii clasice. Ecuația Schrodinger vă permite să găsiți funcția de undă la un moment arbitrar de timp. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți funcția de undă la un moment fix în timp, masa particulei și energia de interacțiune a particulei cu câmpul de forță. Funcția de undă găsită face posibilă calcularea probabilității de a găsi o particulă într-un punct arbitrar din spațiu pentru orice moment de timp.
Principalele proprietăți pe care trebuie să le îndeplinească funcțiile de undă sunt soluțiile ecuației Schrödinger:
1. Funcția de undă este liniară, adică dacă … sunt soluții ale ecuației, atunci combinația lor liniară este o soluție.
2. Derivatele prime parțiale în raport cu coordonatele sunt liniare
3. Funcția de undă și derivatele ei spațiale trebuie să fie cu o singură valoare, finite și continue.
4. Deoarece tindem spre ∞, valoarea funcției de undă ar trebui să tindă spre zero.
Ecuația Schrödinger pentru stări staționare.
Dacă câmpul de forță în care se mișcă particula descrisă este staționar, atunci potențialul său nu depinde în mod explicit de timp, iar funcția are semnificația energiei potențiale și depinde doar de coordonate. În acest caz, funcția de undă poate fi reprezentată ca produsul a doi. O funcție depinde doar de , cealaltă depinde doar de timp:
Inlocuim ultima expresie in ecuatia Schrödinger
După reducerea cu un factor de timp și câteva transformări elementare, obținem: 
(*).
Aceasta este ecuația Schrödinger pentru stările staționare. Include doar partea de coordonate a funcției de undă - . Dacă acesta din urmă este găsit, atunci funcția de undă totală este găsită prin înmulțirea părții de coordonate cu factorul de timp .
Deoarece probabilitatea este determinată de pătratul funcției de undă, iar pătratul valorii complexe este găsit prin înmulțirea cu conjugatul complex, atunci următoarea relație este valabilă pentru funcțiile de undă staționare:
Astfel, pentru a găsi funcția de undă pentru stările staționare, este necesar să se rezolve ecuația (*) și să se cunoască energia totală .
Libera circulație a particulelor.
În timpul mișcării libere a unei particule cuantice, nicio forță nu acționează asupra ei, iar energia sa potențială poate fi egală cu zero. Lăsați particula să se miște în direcția , apoi (*) ia forma: 
.
O soluție specială a acestei ecuații este o funcție a formei 
, unde și sunt constante. Dacă înlocuim soluția dorită în ecuația însăși, atunci vom obține legătura dintre energia particulei și cantitatea:
Funcția de undă completă, ținând cont de dependența de timp pentru o particulă liberă, are forma . Este o undă plană monocromatică cu frecvență și număr de undă. De când , și , atunci .
ECUAȚIA SCHROEDINGER
ȘI CAZURILE ALE SPECIALE (continuare): trecerea unei particule printr-o BARIERĂ POTENȚIALĂ, Oscilator armonic
Trecerea unei particule printr-o barieră de potențial pentru cazul clasic, am luat în considerare deja în PRELEGEREA 7 PARTEA 1 (vezi Fig. 7.2). Să considerăm acum o microparticulă a cărei energie totală este mai mică decât nivelul U barieră de potențial (Fig. 19.1). În versiunea clasică, în acest caz, trecerea unei particule prin barieră este imposibilă. Cu toate acestea, în fizica cuantică, există posibilitatea ca particula să treacă. Mai mult decât atât, nu va „sări” peste el, ci, așa cum ar fi, „scurge prin”, folosind calitățile sale de val. Prin urmare, efectul se mai numește și „tunnel”. Pentru fiecare zonă I, II, III scriem ecuația staționară Schrödinger (18.3).
Pentru euși III: 
, (19.1, a)
pentru II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, unde a = const. Apoi 
și y" = . Înlocuind y" în (19.1a) rezultă: Soluția generală necesară pentru domeniu eu scris ca o suprapunere
https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)
În acest caz, punctul inițial de propagare a undei este deplasat cu L, A LA 3 = 0 , pentru că în regiune III există doar un val care trece.
În zonă II(barieră) substituție y" în (19.1b) dă
https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.
Probabilitatea de trecere este caracterizată coeficient de transmisie- raportul dintre intensitatea undei transmise și intensitatea incidentului:
(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)
dintre care primele două înseamnă „cusutul” funcțiilor pe limitele din stânga și din dreapta ale barierei, iar al treilea și al patrulea - netezimea unei astfel de tranziții. Înlocuind funcțiile y1, y2 și y3 în (19.5), obținem ecuațiile
Să le împărțim în DAR 1 și notează A 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; A 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.
. (19.6)
Înmulțim prima ecuație (19.6) cu ik si adauga-l la al doilea. Să luăm 2 ik = a 2(q +ik)-b 2(q-ik) . (19.7)
A doua pereche de ecuații (19.6) va fi considerată ca un sistem de două ecuații cu necunoscute A 2 și b 2.
Determinanții acestui sistem sunt:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,
unde e- qL(q+ik) 2 » 0, pentru că qL >> 1.
Prin urmare https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> și pentru a găsi modulul valorii complexe A 3, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției rezultate cu ( q +ik)2. După simple transformări, obținem
https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">De obicei EU~ 90% și întregul coeficient înainte de „e” este de ordinul unu. Prin urmare, probabilitatea ca o particule să treacă prin barieră este determinată de următoarea relație:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.
Aceasta înseamnă că la E< U particula nu va depăși bariera, adică nu există efect de tunel în fizica clasică.
Acest efect este folosit în practica ingineriei pentru a crea diode tunel utilizate pe scară largă în dispozitivele de inginerie radio (vezi PARTEA 3, PRELECȚIA 3).
În plus, s-a dovedit a fi posibilă inițierea unei reacții de fuziune termonucleară în condiții terestre, care are loc pe Soare în condițiile obișnuite pentru Soare - la o temperatură T ~ 109 K. Nu există o astfel de temperatură pe Pământ, însă, datorită efectului de tunel, este posibil să începem reacția la o temperatură T ~ 107 K, care are loc în timpul exploziei unei bombe atomice, care a fost dispozitivul de aprindere al bombei cu hidrogen. Mai multe despre asta în următoarea parte a cursului.
Oscilator armonic.Clasic oscilatorul armonic a fost, de asemenea, luat în considerare de noi (LECȚELE 1,2 PARTEA 3). Este, de exemplu, un pendul cu arc, a cărui energie totală E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoretic, această energie poate lua o serie continuă de valori, începând de la zero.
Un oscilator armonic cuantic este o microparticulă care oscilează conform legii armonice, care se află într-o stare legată în interiorul unui atom sau nucleu. În acest caz, energia potențială rămâne clasică, caracterizând o forță elastică de restabilire similară kx. Avand in vedere ca frecventa ciclica 
obținem energie potențială https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)
Din punct de vedere matematic, această problemă este și mai dificilă decât precedentele. Prin urmare, ne mărginim să afirmăm care va fi rezultatul. Ca și în cazul puțului unidimensional, obținem discret spectrul de funcții proprii și energii proprii, iar o valoare proprie a energiei va corespunde unei singure funcții de undă: EnÛ y n(nu există degenerare a stărilor, ca în cazul unei fântâni tridimensionale). Densitatea de probabilitate |yn|2 este, de asemenea, o funcție oscilantă, dar înălțimea „cocoașelor” este diferită. Nu mai este banal păcat2
, în timp ce polinoamele Hermite mai exotice hn(X). Funcția de undă are forma
, Unde Cun- depinde de n constant. Spectru de valori proprii ale energiei:
, (19.10)
unde este numărul cuantic n = 0, 1, 2, 3 ... . Astfel, există și „energie zero” , deasupra căruia spectrul energetic formează o „stivă”, unde rafturile sunt situate la aceeași distanță unele de altele (Fig. 19.2). Aceeași figură arată densitatea de probabilitate corespunzătoare |yn|2 pentru fiecare nivel de energie, precum și energia potențială a câmpului extern (parabola punctată).
Existența unei energii minime posibile diferite de zero a unui oscilator are o semnificație profundă. Aceasta înseamnă că oscilațiile microparticulelor nu se opresc nu, ceea ce la rândul său înseamnă că temperatura zero absolut este de neatins.
1., Fizica Bursiană: Un curs de prelegeri cu suport informatic: Proc. indemnizație pentru studenți. superior manual instituţii: În 2 volume - M .: Editura VLADOS-PRESS, 2001.
În principiu, nimic deosebit, pot fi găsite în tabele și chiar în grafice.
Pentru particulele lumii cuantice se aplică alte legi decât pentru obiectele mecanicii clasice. Conform ipotezei lui de Broglie, micro-obiectele au proprietățile atât ale particulelor, cât și ale undelor - și, într-adevăr, atunci când un fascicul de electroni se împrăștie într-o gaură, se observă difracția, care este caracteristică undelor.
Prin urmare, nu putem vorbi despre mișcarea particulelor cuantice, ci despre probabilitatea ca particula să se afle într-un anumit punct la un anumit moment în timp.
Ce descrie ecuația Schrödinger
Ecuația Schrödinger are scopul de a descrie caracteristicile mișcării obiectelor cuantice în câmpurile forțelor externe. Adesea, o particulă se mișcă printr-un câmp de forță care nu depinde de timp. Pentru acest caz, ecuația staționară Schrödinger se scrie:
În ecuația prezentată, m și E sunt, respectiv, energia particulei în câmpul de forță, iar U este energia acestui câmp. 
este operatorul Laplace. - constanta lui Planck, egală cu 6,626 10 -34 J s.
(se mai numește și amplitudinea probabilității, sau funcție psi) - aceasta este funcția care vă permite să aflați unde în spațiu este cel mai probabil să fie micro-obiectul nostru. Sensul fizic nu este funcția în sine, ci pătratul ei. Probabilitatea ca particula să se afle într-un volum elementar este:
Prin urmare, este posibil să găsim o funcție într-un volum finit cu probabilitatea:
Deoarece funcția psi este o probabilitate, ea nu poate fi nici mai mică decât zero și nici nu poate depăși unu. Probabilitatea totală de a găsi o particulă într-un volum infinit este condiția de normalizare:
Pentru funcția psi, principiul suprapunerii funcționează: dacă o particulă sau un sistem poate fi într-un număr de stări cuantice, atunci este posibilă și o stare determinată de suma lor:
Ecuația staționară Schrödinger are multe soluții, dar atunci când se rezolvă, ar trebui să țineți cont de condițiile la limită și să selectați numai soluții adecvate - cele care au o semnificație fizică. Astfel de soluții există numai pentru valorile individuale ale energiei particulei E, care formează spectrul energetic discret al particulei.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Funcția de undă descrie distanța dintre electron și nucleul de hidrogen: r este distanța dintre electron și nucleu, a este prima rază Bohr. Cât de departe de nucleu este probabil să fie electronul? |
| Decizie | 1) Exprimând volumul în termeni de rază a nucleului, găsim probabilitatea ca electronul să se afle la o anumită distanță de nucleu: 2) Probabilitatea ca electronul să se afle în „inelul” elementar dr:
3) Pentru a găsi distanța cea mai probabilă, găsim din ultima expresie: Rezolvând această ecuație, obținem r = a - distanța cea mai probabilă dintre electron și nucleu. |
| Răspuns | r = a – cu cea mai mare probabilitate nucleul este situat la distanța primei raze Bohr de nucleu. |
EXEMPLUL 2
| Exercițiu | Găsiți nivelurile de energie ale unei particule într-un puț de potențial infinit de adâncime. |
| Decizie | Lăsați particula să se miște de-a lungul axei x. Lățimea gropii - l. Numărăm energia din fundul puțului și o descriem cu funcția: Scriem ecuația Schrödinger staționară unidimensională:
Luați în considerare condițiile la limită. Deoarece credem că particula nu poate pătrunde în pereți, atunci în afara puțului = 0. La limita puțului, funcția psi este, de asemenea, egală cu zero: În puț, energia potențială este U=0. Atunci ecuația Schrödinger scrisă pentru puț va fi simplificată:
În formă, acesta este DE-ul unui oscilator armonic: |
Mișcarea microparticulelor în diferite câmpuri de forță este descrisă în cadrul mecanicii cuantice non-relativiste folosind ecuația Schrödinger, din care rezultă proprietățile undei observate experimental ale particulelor. Această ecuație, ca toate ecuațiile de bază ale fizicii, nu este derivată, ci postulată. Corectitudinea sa este confirmată de acordul dintre rezultatele calculului și experiment. Ecuația de undă Schrödinger are următoarea formă generală:
- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
unde ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - constanta lui Planck;
m este masa particulei;
∆ - operator Laplace (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - funcție de undă dorită;
U (x, y, z, t) este funcția potențială a particulei în câmpul de forță în care se mișcă;
i este unitatea imaginară.
Această ecuație are o soluție numai în condițiile impuse funcției de undă:
- ψ (x, y, z, t) trebuie să fie finit, cu o singură valoare și continuu;
- primele derivate ale acestuia trebuie să fie continue;
- funcția | ψ | 2 trebuie să fie integrabil, ceea ce în cele mai simple cazuri se reduce la condiția de normalizare a probabilităților.
∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
unde ψ = ψ (x, y, z) este numai funcția de undă a coordonatelor;
E este parametrul ecuației - energia totală a particulei.
Pentru această ecuație, numai soluțiile care sunt exprimate prin funcții regulate ψ (numite funcții proprii) care au loc numai pentru anumite valori ale parametrului E, numită valoare proprie a energiei, au o semnificație fizică reală. Aceste valori ale lui E pot forma fie o serie continuă, fie o serie discretă, adică spectru energetic atât continuu cât și discret.
Pentru orice microparticulă aflată în prezența ecuației Schrödinger de tip (8.2), problema mecanicii cuantice se reduce la rezolvarea acestei ecuații, i.e. aflarea valorilor funcțiilor de undă ψ = ψ (x, y, z) corespunzătoare spectrului de energie proprie E. În continuare, densitatea de probabilitate | ψ | 2 , care determină în mecanica cuantică probabilitatea de a găsi o particulă într-o unitate de volum în vecinătatea unui punct cu coordonate (x, y, z).
Unul dintre cele mai simple cazuri de rezolvare a ecuației Schrödinger este problema comportamentului unei particule într-un „puț de potențial” dreptunghiular unidimensional cu „pereți” infinit de înalți. O astfel de „groapă” pentru o particulă care se mișcă numai de-a lungul axei X este descrisă de o energie potențială de forma
unde l este lățimea „gropii”, iar energia este măsurată de la fundul acesteia (Fig. 8.1).
Ecuația Schrödinger pentru stările staționare în cazul unei probleme unidimensionale poate fi scrisă ca:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
Datorită faptului că „pereții gropii” sunt infinit de înalți, particula nu pătrunde dincolo de „groapă”. Aceasta duce la condițiile de limită:
ψ (0) = ψ (l) = 0
În „groapă” (0 ≤ x ≤ l), ecuația (8.4) se reduce la:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
unde k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Soluția ecuației (8.7), ținând cont de condițiile la limită (8.5), în cel mai simplu caz are forma:
ψ (x) = A ∙ sin (kx)
unde k = (n ∙ π)/ l
pentru valori întregi ale lui n.
Din expresiile (8.8) și (8.10) rezultă că
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
acestea. energia stărilor staționare depinde de un număr întreg n (numit număr cuantic) și are anumite valori discrete, numite niveluri de energie.
În consecință, o microparticulă într-un „puț de potențial” cu „pereți” infinit de înalți nu poate fi decât la un anumit nivel de energie E n , i.e. în stări cuantice discrete n.
Înlocuind expresia (8.10) în (8.9) găsim funcțiile proprii
ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x
Constanta de integrare A poate fi găsită din condiția de normalizare mecanică cuantică (probabilistă).
care pentru acest caz poate fi scris ca:
De unde, ca rezultat al integrării, obținem А = √ (2 / l) și atunci avem
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Graficele funcției ψ n (x) nu au sens fizic, în timp ce graficele funcției | ψ n | 2 arată distribuția densității de probabilitate a detectării unei particule la distanțe diferite de „pereții gropii” (Fig. 8.1). Doar aceste grafice (precum și ψ n (x) - pentru comparație) sunt studiate în această lucrare și arată clar că ideile despre traiectoriile particulelor în mecanica cuantică sunt insuportabile.
Din expresia (8.11) rezultă că intervalul de energie dintre două niveluri adiacente este egal cu
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
Acest lucru arată că pentru microparticule (cum ar fi un electron) cu dimensiuni mari de „puț” (l≈ 10 -1 m), nivelurile de energie sunt atât de strâns distanțate încât formează un spectru aproape continuu. O astfel de stare apare, de exemplu, pentru electronii liberi dintr-un metal. Dacă dimensiunile „gropii” sunt proporționale cu cele atomice (l ≈ 10 -10 m), atunci se obține un spectru de energie discret (spectru de linie). Aceste tipuri de spectre pot fi studiate și în această lucrare pentru diferite microparticule.
Un alt caz de comportare a microparticulelor (precum și a microsistemelor - pendule), care este adesea întâlnit în practică (și luat în considerare în această lucrare), este problema unui oscilator armonic liniar în mecanica cuantică.
După cum se știe, energia potențială a unui oscilator armonic unidimensional cu masa m este egală cu
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
unde ω 0 este frecvența naturală de oscilație a oscilatorului ω 0 = √ (k / m);
k - coeficientul de elasticitate al oscilatorului.
Dependenta (8.17) are forma unei parabole, i.e. „fântâna potențială” în acest caz este parabolic (Fig. 8.2).
Oscilatorul armonic cuantic este descris de ecuația Schrödinger (8.2), care ia în considerare expresia (8.17) pentru energia potențială. Rezolvarea acestei ecuații se scrie astfel:
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
unde N n este un factor de normalizare constant în funcție de întregul n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) este un polinom de grad n, ai cărui coeficienți sunt calculați folosind o formulă recursivă pentru diferite numere întregi n.
În teoria ecuațiilor diferențiale, se poate demonstra că ecuația Schrödinger are o soluție (8.18) numai pentru valorile proprii ale energiei:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
unde n = 0, 1, 2, 3... este numărul cuantic.
Aceasta înseamnă că energia unui oscilator cuantic poate lua doar valori discrete, de exemplu. este cuantificat. Pentru n = 0 are loc E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, adică. energia de vibrații zero, care este tipică pentru sistemele cuantice și este o consecință directă a relației de incertitudine.
După cum arată soluția detaliată a ecuației Schrödinger pentru oscilatorul cuantic, fiecare valoare proprie de energie la n diferit are propria sa funcție de undă, deoarece factorul de normalizare constant depinde de n
și, de asemenea, H n (x) este un polinom Chebyshev-Hermite de gradul n.
În plus, primele două polinoame sunt egale:
H0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Orice polinom ulterior este legat de ele prin următoarea formulă recursivă:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Funcțiile proprii de tipul (8.18) fac posibilă găsirea pentru un oscilator cuantic a densității de probabilitate de a găsi o microparticulă ca | ψ n (x) | 2 și explorați comportamentul său la diferite niveluri de energie. Rezolvarea acestei probleme este dificilă din cauza necesității de a folosi o formulă recursivă. Această problemă poate fi rezolvată cu succes numai cu utilizarea unui computer, ceea ce se face în lucrarea de față.
