Rădăcina pătrată a unui număr X numit un număr A, care în procesul de a se înmulți singur ( A*A) poate da un număr X.
Acestea. A * A = A 2 = X, și √X = A.

Peste rădăcini pătrate ( √x), ca și în cazul altor numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x- √y ).
Și apoi aduceți rădăcinile la forma lor cea mai simplă - dacă există altele similare între ele, trebuie să faceți o turnare. Constă în faptul că se iau coeficienții termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi se încadrează între paranteze, iar rădăcina comună este afișată în afara parantezelor multiplicatoare. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1. Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, trebuie mai întâi să extragi aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, se poate obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Totul, exemplul este rezolvat. Dar nu întotdeauna se întâmplă așa.

Pasul 2. Scoaterea multiplicatorului unui număr de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate întregi sub semnul rădăcinii, puteți încerca să scoateți multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, luați expresia √24 + √54 .

Să factorizăm numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

În listă 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. În listă 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitatea:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3. Reducerea numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul unei fracții, de exemplu, A / (√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

În mod similar, dacă numitorul conține diferența rădăcinilor: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm ca exemplu o fracție:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Un exemplu de reducere complexă a numitorului

Acum vom lua în considerare un exemplu destul de complicat de a scăpa de iraționalitate în numitor.

Să luăm ca exemplu o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 - √5 .

Primim:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Separat, pentru fiecare număr, valoarea este calculată și înregistrată cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În plus, toate operațiunile necesare sunt efectuate, ca și în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul estimat

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat, obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie adăugate rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adăugați rădăcina pătrată a lui cinci și trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva un pătrat de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule și rezultatul final al acestuia. calculul matematic ar trebui să fie numărul care ni s-a dat inițial.

Faptul 1.
\(\bullet\) Luați un număr nenegativ \(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\), la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă pentru existența unei rădăcini pătrate și trebuie reținute!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ce este \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, \(-5\) nu este potrivit, deci \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\), iar numărul \(a\) se numește expresie rădăcină.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiile \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcule rapide, va fi util să înveți tabelul de pătrate ale numerelor naturale de la \(1\) la \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce se poate face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Suma sau diferența rădăcinilor pătrate NU este EGALĂ cu rădăcina pătrată a sumei sau diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\sqrt (49)\ ) și apoi adună-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu este convertită și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) - aceasta este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi convertit în orice fel, De aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). În plus, această expresie, din păcate, nu poate fi simplificată în niciun fel.\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcinile pătrate ale numerelor mari prin factorizarea acestora.
Luați în considerare un exemplu. Găsiți \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\) , adică \(441=9\ cdot 49\) .
Astfel, avem: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Să ne uităm la un alt exemplu: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (prescurtarea expresiei \(5\cdot \sqrt2\) ). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci \ De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este asta? Să explicăm cu exemplul 1). După cum ați înțeles deja, nu putem converti cumva numărul \(\sqrt2\) . Imaginează-ți că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\) ). Și știm că acesta este egal cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .

Faptul 4.
\(\bullet\) Se spune adesea „nu se poate extrage rădăcina” când nu se poate scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) atunci când se află valoarea unui număr. De exemplu, puteți înrădăcina numărul \(16\) deoarece \(16=4^2\) , deci \(\sqrt(16)=4\) . Dar să extragi rădăcina din numărul \(3\) , adică să găsești \(\sqrt3\) , este imposibil, deoarece nu există un astfel de număr care la pătrat să dea \(3\) .
Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. sunt iraționale.
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\) ), \(e\) (acest număr se numește numărul Euler, aproximativ egal cu \(2). ,7\) ) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toate numerele raționale și toate numerele iraționale formează o mulțime numită set de numere reale (reale). Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele pe care le cunoaștem în prezent se numesc numere reale.

Faptul 5.
\(\bullet\) Modulul unui număr real \(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) pe real linia. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr negativ, atunci \(|a|=-a\) .
Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ei spun că pentru numerele negative, modulul „mâncă” minusul, iar numerele pozitive, precum și numărul \(0\) , modulul lasă neschimbat.
DAR această regulă se aplică numai numerelor. Dacă aveți o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută) sub semnul modulului, de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, egal cu zero sau negativ, atunci scăpam de modulul nu putem. În acest caz, această expresie rămâne astfel: \(|x|\) . \(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\] Se face adesea următoarea greșeală: se spune că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt același lucru. Acest lucru este adevărat numai atunci când \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acest lucru nu este adevărat. Este suficient să luăm în considerare un astfel de exemplu. Să luăm numărul \(-1\) în loc de \(a\). Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (pentru că este imposibil sub semnul rădăcină pune numere negative!).
Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), deoarece \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Deoarece \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atunci \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (expresia \(2n\) denotă un număr par)
Adică, atunci când extrageți rădăcina dintr-un număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că, dacă modulul nu este setat, atunci se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25) \) ; dar ne amintim, care, prin definiția rădăcinii, aceasta nu poate fi: atunci când extragem rădăcina, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)

Faptul 6.
Cum se compară două rădăcini pătrate?
\(\bullet\) Adevărat pentru rădăcini pătrate: dacă \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplu:
1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . În primul rând, transformăm a doua expresie în \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Astfel, deoarece \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Între care numere întregi se află \(\sqrt(50)\) ?
Deoarece \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) și \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparați \(\sqrt 2-1\) și \(0,5\) . Să presupunem că \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((pătrat ambele părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost greșită și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale inegalității cu un număr pozitiv, de asemenea, nu afectează semnul acestuia, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Ambele părți ale unei ecuații/inegalități pot fi la pătrat NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior, puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Rețineți că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numere! \(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă este extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” este, apoi între care „zeci”, și apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează cu un exemplu.
Luați \(\sqrt(28224)\) . Știm că \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) și așa mai departe. Rețineți că \(28224\) este între \(10\,000\) și \(40\,000\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) este între \(100\) și \(200\) .
Acum să stabilim între care „zeci” este numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\) ). De asemenea, știm din tabelul pătratelor că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră dau la pătrat la sfârșitul \ (4 \) ? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Găsiți \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prin urmare \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Pentru rezolvarea adecvată a examenului de matematică, în primul rând, este necesară studierea materialului teoretic, care introduce numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul unificat de stat la matematică să fie prezentată ușor și înțeles pentru studenții cu orice nivel de pregătire este, de fapt, o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Iar găsirea formulelor de bază pentru examenul la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria la matematică, nu doar pentru cei care susțin examenul?

1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studiul materialului teoretic în matematică este util pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
2. Pentru că dezvoltă intelectul. Studiind materialele de referință pentru examenul de matematică, precum și rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile corect și clar. Își dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza, trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.

Tema rădăcinilor pătrate este obligatorie în programa școlară a cursului de matematică. Nu te poți descurca fără ele când rezolvi ecuații patratice. Și mai târziu devine necesar nu numai să extrageți rădăcinile, ci și să efectuați alte acțiuni cu acestea. Printre acestea sunt destul de complexe: exponentiația, înmulțirea și împărțirea. Dar există și unele destul de simple: scăderea și adunarea rădăcinilor. Apropo, așa par doar la prima vedere. Efectuarea lor fără erori nu este întotdeauna ușor pentru cineva care abia începe să se familiarizeze cu ele.

Ce este o rădăcină matematică?

Această acțiune a apărut spre deosebire de exponențiere. Matematica presupune prezența a două operații opuse. Există scădere pentru adunare. Înmulțirea se opune împărțirii. Acțiunea inversă a gradului este extragerea rădăcinii corespunzătoare.

Dacă exponentul este 2, atunci rădăcina va fi pătrată. Este cea mai comună în matematica școlară. Nici măcar nu are un indiciu că este pătrat, adică nu îi este atribuit numărul 2. Notația matematică a acestui operator (radical) este prezentată în figură.

Din acțiunea descrisă, definiția acesteia urmează fără probleme. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui anumit număr, trebuie să aflați ce va da expresia radicală atunci când este înmulțită cu ea însăși. Acest număr va fi rădăcina pătrată. Dacă scriem asta matematic, obținem următoarele: x * x \u003d x 2 \u003d y, ceea ce înseamnă √y \u003d x.

Ce acțiuni pot fi întreprinse cu ei?

În esență, o rădăcină este o putere fracțională care are o unitate în numărător. Iar numitorul poate fi orice. De exemplu, rădăcina pătrată are o valoare de două. Prin urmare, toate acțiunile care pot fi efectuate cu grade vor fi valabile și pentru rădăcini.

Și au aceleași cerințe pentru aceste acțiuni. Dacă înmulțirea, împărțirea și exponentiația nu întâmpină dificultăți pentru elevi, atunci adunarea rădăcinilor, precum și scăderea acestora, duce uneori la confuzie. Și totul pentru că doriți să efectuați aceste operații fără să vă uitați la semnul rădăcinii. Și de aici încep greșelile.

Care sunt regulile de adunare și scădere?

Mai întâi trebuie să vă amintiți două „nu” categorice:

• este imposibil să efectuați adunarea și scăderea rădăcinilor, ca în cazul numerelor prime, adică este imposibil să scrieți expresiile rădăcinilor sumei sub un singur semn și să efectuați operații matematice cu ele;
• nu puteți adăuga și scădea rădăcini cu exponenți diferiți, cum ar fi pătratul și cubic.

Un exemplu ilustrativ al primei interdicții: √6 + √10 ≠ √16 dar √(6 + 10) = √16.

În al doilea caz, este mai bine să ne limităm la simplificarea rădăcinilor în sine. Și în răspuns lăsați suma lor.

Acum la reguli

1. Găsiți și grupați rădăcini similare. Adică cei care nu numai că au aceleași numere sub radical, dar ei înșiși au un singur indicator.
2. Efectuați adăugarea rădăcinilor combinate într-un singur grup prin prima acțiune. Este ușor de implementat, deoarece trebuie doar să adăugați valorile care vin înaintea radicalilor.
3. Extrageți rădăcinile în acei termeni în care expresia radicală formează un întreg pătrat. Cu alte cuvinte, nu lăsa nimic sub semnul radicalului.
4. Simplificați expresiile rădăcină. Pentru a face acest lucru, trebuie să le factorizați în factori primi și să vedeți dacă dau pătratul unui număr. Este clar că acest lucru este adevărat când vine vorba de rădăcina pătrată. Când exponentul este trei sau patru, atunci factorii primi trebuie să dea cubul sau puterea a patra a numărului.
5. Scoateți de sub semnul radicalului un factor care dă o putere întreagă.
6. Vedeți dacă termeni similari apar din nou. Dacă da, efectuați din nou al doilea pas.

Într-o situație în care problema nu necesită valoarea exactă a rădăcinii, aceasta poate fi calculată pe un calculator. Rotunjiți fracția zecimală infinită care va fi afișată în fereastra acesteia. Cel mai adesea acest lucru se face până la sutimi. Și apoi efectuați toate operațiile pentru fracțiile zecimale.

Acestea sunt toate informațiile despre cum se realizează adăugarea rădăcinilor. Exemplele de mai jos vor ilustra cele de mai sus.

Prima sarcină

Calculați valoarea expresiilor:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Dacă urmați algoritmul de mai sus, puteți vedea că nu există nimic pentru primele două acțiuni din acest exemplu. Dar puteți simplifica unele expresii radicale.

De exemplu, factor 32 în doi factori 2 și 16; 18 va fi egal cu produsul dintre 9 și 2; 128 este 2 cu 64. Având în vedere acest lucru, expresia se va scrie astfel:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Acum trebuie să scoateți de sub semnul radical acei factori care dau pătratul numărului. Acesta este 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Expresia va lua forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Trebuie să simplificăm puțin scrierea. Pentru aceasta, coeficienții sunt înmulțiți înaintea semnelor rădăcinii:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

În această expresie, toți termenii s-au dovedit a fi similari. Prin urmare, trebuie doar să fie pliate. Răspunsul va fi: 5√2.

b) Ca și exemplul anterior, adăugarea rădăcinilor începe cu simplificarea lor. Expresiile rădăcinii 75, 147, 48 și 300 vor fi reprezentate prin următoarele perechi: 5 și 25, 3 și 49, 3 și 16, 3 și 100. Fiecare dintre ele are un număr care poate fi scos de sub semnul rădăcinii. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

După simplificare, răspunsul este: 5√5 - 5√3. Poate fi lăsat în această formă, dar este mai bine să scoateți din paranteză factorul comun 5: 5 (√5 - √3).

c) Și din nou factorizarea: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. După factorizarea semnului rădăcinii, avem:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. După reducerea termenilor similari, obținem rezultatul: 7√11.

Exemplu fracționat

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Următoarele numere vor trebui factorizate: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. În mod similar cu cele considerate deja, trebuie să eliminați factorii de sub rădăcină. semnează și simplifică expresia:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Această expresie necesită a scăpa de iraționalitatea din numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți al doilea termen cu √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pentru a finaliza acțiunea, trebuie să selectați partea întreagă a factorilor din fața rădăcinilor. Primul este 1, al doilea este 2.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Rădăcina pătrată a numărului x este numărul a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Ca și în cazul oricăror numere, este permisă efectuarea operațiilor aritmetice de adunare și scădere peste rădăcini pătrate.

Instruire

1. În primul rând, atunci când adăugați rădăcini pătrate, încercați să extrageți acele rădăcini. Acest lucru va fi valabil dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. Să presupunem că este dată expresia?4 +?9. Primul număr 4 este pătratul numărului 2. Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3. Așadar, rezultă că: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Dacă nu există pătrate întregi sub semnul rădăcinii, atunci încercați să transferați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. Să spunem, să fie dată expresia?24 +?54. Factorizează numerele: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. În numărul 24 există un factor 4, cel care poate fi transferat din semnul rădăcinii pătrate. Numărul 54 are un factor de 9. Astfel, rezultă că: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) +? (9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . În acest exemplu, ca urmare a eliminării factorului din semnul rădăcină, s-a dovedit a simplifica expresia dată.

3. Fie suma a 2 rădăcini pătrate să fie numitorul unei fracții, de exemplu, A / (?a + ?b). Și chiar dacă te confrunți cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”. Apoi puteți utiliza următoarea metodă. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia ?a - ?b. Astfel, la numitor, obțineți formula pentru înmulțirea prescurtată: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Prin analogie, dacă diferența rădăcinilor este dată la numitor: ?a - ?b, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia?a + ?b. De exemplu, să spunem 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Luați în considerare un exemplu mai dificil de a scăpa de iraționalitate în numitor. Să fie dată fracția 12 / (?2 +?3 +?5). Trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia? 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * ( ?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. Și, în sfârșit, dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, atunci puteți calcula rădăcinile pătrate pe calculator. Calculați separat valorile pentru numărul întreg și scrieți cu precizia necesară (să zicem, două zecimale). Și apoi efectuați operațiile aritmetice necesare, ca în cazul numerelor obișnuite. Să presupunem că trebuie să aflați valoarea aproximativă a expresiei?7 +?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Videoclipuri asemănătoare

Notă!
În niciun caz nu pot fi adăugate rădăcini pătrate ca numere primitive, adică. ?3 + ?2? ?5!!!

Sfaturi utile
Dacă descompuneți numărul pentru a muta pătratul de sub semnul rădăcinii, atunci faceți verificarea inversă - înmulțiți toți factorii rezultați și obțineți numărul inițial.