MOU profesor de matematică

„Școala secundară Multanovskaya”

Makhanova Samiga Galimzhanovna

cu. M u l t a n o v o

februarie 2011

Tema lecției:„Numărul e. Derivată a funcției exponențiale”.

Ţintă: Introduceți conceptul de „exponent”, „logaritm natural”, formați conceptul de derivată a funcției exponențiale y \u003d e x, funcția exponențială antiderivată.

Educational:

Repetați și aprofundați cunoștințele pe tema „Funcția exponențială. Proprietăți ale funcției exponențiale”;

Repetați regulile de diferențiere a unei funcții;

Introduceți elevii conceptul de „exponent” (numărul e);

Pentru a familiariza elevii cu formulele pentru derivata funcției exponențiale y \u003d A X și y = a kx +b ;

Introduceți formula funcției exponențiale antiderivative;

Să formeze abilitățile de calcul a derivatei unei funcții exponențiale, folosind regulile și formulele de diferențiere.

În curs de dezvoltare:

Dezvoltarea și îmbunătățirea aplicării regulilor de diferențiere

pentru funcția exponențială;

Să-i învețe pe elevi să aplice tehnologiile electronice ale informației în predarea și pregătirea pentru lecțiile de matematică.

Pentru a îmbunătăți cultura grafică a elevilor;

Să promoveze dezvoltarea abilităților de realizare a autoevaluării activităților educaționale.

Educational:

Să creeze o motivație pozitivă pentru elevi pentru lecția de matematică prin implicarea tuturor în activități active;

Să educe necesitatea de a evalua propriile activități și munca camarazilor;

Pentru a ajuta la realizarea valorilor muncii în echipă;

Pentru a educa elevii în acuratețe, cultura vorbirii matematice.

Echipament pentru lecție:

Clasă de calculatoare (8 laptopuri + 1 laptop pentru demonstrație), proiector, prezentare, fișe.

În timpul orelor:

Organizarea lecției, anunțarea temei și scopul lecției:

Astăzi, în lecție, studiem o nouă temă „Derivata funcției exponențiale”. Scopul nostru: (Diapozitivul 2.) să ne familiarizăm cu conceptul de „exponent”, „logaritm natural”, cu teorema de diferențiere a funcției exponențiale și să învățăm cum să diferențiem funcția exponențială.

Ca epigraf la lecția noastră, am ales versurile lui B. Slutsky: (diapozitivul 3.)

…Functie exponentiala

Nu întâmplător s-a născut

Integrat organic în viață

Și a preluat mișcarea progresului.

B. Slutsky

eu.Actualizarea cunoștințelor de bază:

Lucru frontal oral cu clasa:

Formulați definiția unei funcții exponențiale (Slide 5.)

Enumerați principalele proprietăți ale funcției exponențiale conform graficului.

(Diapozitivul 6)

Proprietățile funcției exponențiale:(diapozitivul 4)

Domeniul de aplicare a funcției

Domeniul funcției exponențiale

Graficul funcției cu axa y se intersectează în punctul (0;1) și nu se intersectează cu axa x.

Funcția exponențială ia valori pozitive pe întreaga linie numerică.

Enumerați proprietățile funcției exponențiale pentru a 1.

Enumerați proprietățile funcției exponențiale la 0 .

Definiți derivata unei funcții într-un punct x 0 . (slide 7)

Formulați semnificația geometrică a derivatei. (diapozitivul 8)

Și acum ne amintim regulile de diferențiere a funcțiilor:

2) Jocul „Găsiți perechile”. (diapozitivul 9.)

Pentru formulele din prima coloană, găsiți răspunsurile corecte în a doua coloană și citiți cuvântul din a treia coloană. Oral, cu comentarii.

(u+v)"	cos x	E
(u v)"	n x n-1	P
(u/v)"	-1/sin2x	DAR
(xn)"	Sin x	H
C"	u"v + uv"	La
(Cu)"	1 / cos 2 x	T
(sinx)"	(u "v - u v") / v 2	Cu
(cosx)"	0	O
(tgx)"	u"+v"	E
(ctgx)"	C u"	H

E	u"+v"	(u+v)"
La	u"v + uv"	(u v)"
Cu	(u "v - u v") / v 2	(u/v)"
P	n x n-1	(xn)"
O	0	C"
H	C u"	(Cu)"
E	Cos x	(sinx)"
H	-Sin x	(cosx)"
T	1 / cos 2 x	(tgx)"
DAR	-1/sin2x	(ctgx)"

Verificați răspunsul dvs. față de tabel :( slide 10)

II.Învățarea unui subiect nou:

1) Lucrări de cercetare folosind resurse ESM pentru laptopuri. Lucru pereche.

Deschideți Internet Digital Educational Resources for Algebra and Beginnings of Analysis Tema 11: „Derivate ale funcției exponențiale, numărul e și logaritmul natural”. modulul I1
Citește cu atenție fiecare element al Modulului, notează principalele formule în caiete, citește dovezile lor.

Completați sarcini pentru autocontrol. Verificați rezumatul muncii dvs. în „Statistici” (C).

Planul de lucru al modulului:

O funcție exponențială cu baza e. - (Introducere în exponent)

Formula pentru derivata funcției exponențiale. - (Derivarea formulei pentru derivata funcției y \u003d e x)

O sarcină pentru autocontrol. – (test cu răspunsuri la alegere)

Definiția logaritmului natural ln. – (ln x = log e x)

Formula pentru derivata funcției exponențiale. - (derivarea formulei derivatei formulei exponențiale)

O sarcină pentru autocontrol. - (sarcină cu răspuns scurt)

Antiderivata funcției exponențiale - (derivarea formulei pentru derivata funcției exponențiale)

Sarcina de autocontrol - (test cu o alegere de răspunsuri)
2) Cl. 15-18 Sondaj frontal, pe baza materialului studiat. Fixarea primară a materialului. Aplicarea formulelor pentru derivata unei funcții exponențiale.

(e X )" = e X ;

(e kx + b )" = ke kx + b ;

(A X )" = A X ∙ lnA ;

(A kx + b )" = kA Kx+b ∙ lnA

Fa X ) =
Elevul lucrează independent la tablă:

Rezolvare: f(x) = x 2 * 2 –x; D(f) = R; f "= 2x * 2 -x - x 2 * 2 -x ln2, D (f) \u003d R,

2x * 2 –x – x 2 * 2 –x ln2 = 0;

X * 2 -x (2 - x * ln 2) = 0; - min + max - f "(x)

X * 2 –x = 0; 2 – x * ln x = 0 2 – x > 0, x = 0; 2 – x * ln2 = 0 0 2/ln2 f(x)

Raspuns: x max = 2 / ln2; x min = 0
Muncă independentă cu caracter didactic:

Lucru independent în perechi la laptopuri. Modulul interactiv P1 „derivată a funcției exponențiale. Numărul e. Logaritmul natural. - test de 5 sarcini. Când deschideți modulul, pe fiecare computer apar sarcini diferite.

V. Rezumatul lecției: Ce nou ați învățat în lecție?

Ce părți ale lecției au fost cele mai interesante pentru tine?

Cine este mulțumit de munca lor la clasă?

VI. Tema pentru acasă: itemul 41; Nr. 539(a,b,d); 540(c); 542(a,b); 544(b).

Test interactiv cu un computer. Proprietățile funcției exponențiale K1.

Pe desktopul fiecărui computer, deschideți Modulul Word. unsprezece

„Proprietăți ale funcției exponențiale K1”. Faceți clic pe „mouse” pe „modul de redare”. Vi se va da un test de 5 sarcini.

Finalizați prima sarcină a Modulului, faceți clic cu mouse-ul pe numărul răspunsului corect sau notați răspunsul în test. Faceți clic pe „mouse” pe „răspuns” și treceți la o altă sarcină.

Dacă ați finalizat greșit sarcina, deschideți un indiciu,

găsiți eroarea în soluția dvs.

Verificați rezumatul muncii dvs. în „Statistici” (C).

Subiect: Derivată a unei funcții exponențiale. Număr .

Scopul didactic: de a forma o idee despre numărul e, de a demonstra diferențiabilitatea funcției în orice moment , diferențierea funcției . Definiți logaritmul natural.

Scop de dezvoltare: dezvoltarea capacității de a efectua rapid și corect calcule folosind un computer personal.

obiectiv educațional: continuă formarea capacității de a percepe corect și de a memora în mod activ informații noi, care este cea mai importantă calitate a unui viitor specialist.

Ajutoare vizuale: postere.

Înmânează: carduri de sarcini pentru munca individuală. Echipament: calculator profesor, proiector multimedia, ecran. Motivarea activității cognitive a elevilor. Să spună ce rol important joacă logaritmii în cursul matematicii, precum și în disciplinele tehnice generale și speciale, subliniind în același timp importanța numărului e și a logaritmului natural.

În timpul orelor.

I. Moment organizatoric.

II. Explicația noului material.

1) Grafice ale funcției exponențiale.

3) Numărul .

4) Calcularea numărului .

5) Formula pentru derivata functiei exponentiale.

6) Calcularea logaritmului natural folosindDOMNIȘOARĂexcela.

7) Antiderivata functiei exponentiale.

8) Valoare cu 3 numere .

III. Rezolvarea exemplelor.

IV. Rezultatele lecției.

V. Tema pentru acasă.

Explicaţie. Graficele funcției exponențiale au fost reprezentate ca linii netede (adică, fără întreruperi), la care poate fi desenată o tangentă în fiecare punct. Dar existența unei tangente la graficul unei funcții într-un punct cu abscisă este echivalentă cu diferențiabilul său în x 0 . Prin urmare, este firesc să presupunem că este diferențiabilă în toate punctele domeniului de definiție. Să desenăm mai multe grafice ale funcției y \u003d a X pentru y=2 X , y=3 X , y=2,3 X (Anexa nr. 1)

Desenați tangente la ele într-un punct cu o abscisă . Tangentele sunt situate la graficele sunt diferite. Măsurăm unghiurile de înclinare ale fiecăruia dintre ele față de axa absciselor și ne asigurăm că unghiurile de înclinare ale acestor tangente sunt aproximativ egale cu 35 ° ... 51 °, adică. cu o creștere în a, panta către grafic în punctul M (0; 1) crește treptat de latg35 latg51.

Există un număr mai mare decât 2 și mai mic decât 3 astfel încât funcția exponențială y=a X în punctul 0 are o derivată egală cu 1. Baza acestei funcții este de obicei notată cu litera e. Numărul e este irațional și, prin urmare, este scris ca o fracție zecimală infinită

e ≈ 2,7182818284…

Cu ajutorul unui calculator au fost găsite peste 2 mii de zecimale ale numărului e. Primele numere sunt 2,718288182459045~2,7.

Funcţie adesea denumit exponent. Numărul rezultat joacă un rol imens în matematica superioară, precum și celebrul număr 3.14. Formula pentru derivata funcției exponențiale.

Teorema 1. Funcția .

Dovada. Găsirea incrementului unei funcții

la .

Prin definiția derivatului , adică pentru orice .

Demonstrează asta pe cont propriu.

Exemplu.

Dau o definiție: logaritmul natural este logaritmul de bază :

Teorema 2. Funcția exponențială este diferențiabilă în fiecare punct al domeniului definiției și .

Exemple. , . Găsiți derivate ale funcțiilor.

Calculul logaritmului natural folosindDOMNIȘOARĂexcela.

Exemplu. Explorarea funcției pentru a crește (scădea) și extremul și a reprezenta graficul acestuia.

La fel de pentru orice , atunci semnul coincide cu semnul . Prin urmare pe , - creste

pe , - scade.

Folosim programul pentru a reprezenta graficul.DOMNIȘOARĂexcela.

Antiderivata functiei exponentiale.

Teorema 3. Antiderivată pentru o funcție peReste o funcție . Dovada:

Exemple:

A) ,

b) ,

în) , .

d) Calculați aria figurii delimitată de linii , , , .

Valoarea lui e.

Numărul primit joacă un rol imens în matematică, fizică, astronomie, biologie și alte științe. Aici sunt câteva:

Acest lucru este glorios

Ajută destul

Fă-mi clar pentru tine și pentru mine

Anul nașterii lui Tolstoi L.N. 2,71828

Formula lui Euler.

Leonhard Euler (1707-1783) Renumit matematician al secolului al XVIII-lea. Euler a stabilit dependența forței de frecare de numărul de rotații ale frânghiei în jurul grămezii.

, - forța împotriva căreia este îndreptat efortul nostru ; e;

Coeficientul de frecare între frânghie și grămadă, - unghi de înfăşurare, adică raportul dintre lungimea unui arc închis de o frânghie și raza arcului respectiv. În viața de zi cu zi, noi, fără să ne bănuim, profităm adesea de beneficiile pe care ni le indică formula Euler.

Ce este un nod? Aceasta este sfoară înfășurată pe o rolă. Cu cât numărul de spire ale frânghiei este mai mare, cu atât frecarea este mai mare. Regula creșterii frecării este astfel încât, prin creșterea numărului de rotații într-o progresie aritmetică, frecarea crește într-o progresie geometrică.

Inconștient, croitorul profită de aceeași împrejurare atunci când coase un nasture. El înfășoară firul de multe ori în jurul zonei de materie capturată de cusătură și apoi îl rupe, dacă numai firul este puternic, butonul nu se va desprinde. Aici se aplică regula deja familiară nouă: odată cu creșterea numărului de rotații ale firului într-o progresie aritmetică, rezistența de coasere crește într-o progresie geometrică. Dacă nu ar exista frecare, nu am putea folosi nasturi: firele s-ar desfășura sub greutatea lor și nasturii s-ar desprinde. , - Ludwig Boltzmann (1844-1906), un fizician austriac care a descoperit legea de bază a naturii, care determină direcția tuturor proceselor fizice care tind spre echilibru ca starea cea mai probabilă. -entropia, adică măsura unui sistem care ajunge la echilibru, -probabilitatea stării sistemului.

Rezultatele lecției. Tema pentru acasă: nr. 538, nr. 542

Cererea nr. 1

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția derivatei unei funcții într-un punct. Să luăm unde X- orice număr real, adică X– orice număr din zona de definire a funcției . Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limitei se obține o expresie, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Prin urmare, derivata unei functii constanteeste egal cu zero pe întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p este orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, ...

Vom folosi definiția unei derivate. Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială a lui Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a funcției exponențiale.

Deducem formula derivată pe baza definiției:

A ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă și pentru . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.

Să efectuăm o înlocuire în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, atunci ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata funcției logaritmice pentru toate X din domeniul de aplicare și toate valorile de bază valide A logaritm. Prin definiția derivatei, avem:

După cum ați observat, în demonstrație, transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitate este valabilă datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus, avem .

Folosim formula pentru diferența de sinusuri:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Deci derivata funcției sin x există cos x.

Formula pentru derivata cosinus este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x există –sin x.

Derivarea formulelor pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă se va efectua folosind regulile dovedite de diferențiere (derivată a fracției).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru ca în prezentare să nu existe confuzie, să notăm în indexul inferior argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) pe X.

Acum formulăm regula pentru aflarea derivatei functiei inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punctul există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă intrare .

Această regulă poate fi reformulată pentru oricare X din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și X- argument). Rezolvarea acestei ecuații pentru X, primim (aici X este o funcție și y argumentul ei). adica și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor, vedem că și .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

Lecție și prezentare pe tema: „Număr e. Funcție. Grafic. Proprietăți”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Băieți, astăzi vom studia un număr special. Ocupă un loc separat în matematica „adulților” și are multe proprietăți remarcabile, dintre care unele le vom lua în considerare.

Să revenim la funcțiile exponențiale $y=a^x$, unde $a>1$. Putem reprezenta multe grafice de funcții diferite pentru baze diferite.
Dar trebuie remarcat faptul că:

• toate funcțiile trec prin punctul (0;1),
• pentru $x→-∞$ graficul are o asimptotă orizontală $y=0$,
• toate funcțiile sunt crescătoare și convexe în jos,
• și sunt, de asemenea, continue, ceea ce înseamnă, la rândul său, că sunt diferențiabile.

Dacă funcțiile sunt diferențiabile peste tot, atunci putem construi tangente la ele în fiecare punct. Dacă toate funcțiile trec prin punctul (0;1), atunci este de interes deosebit. Să construim mai multe tangente succesive.

Luați în considerare funcția $y=2^x$ și construiți o tangentă la ea.
Prin trasarea cu atenție a graficelor noastre, putem vedea că panta tangentei este de 35°.
Acum să reprezentăm funcția $y=3^x$ și să reprezentăm și tangenta:
De data aceasta unghiul tangentei este de aproximativ 48°. În general, este de remarcat: cu cât baza funcției exponențiale este mai mare, cu atât unghiul de înclinare este mai mare.
Un interes deosebit este tangenta cu un unghi de înclinare de 45°. Pe graficul cărei funcție exponențială se poate trasa o astfel de tangentă în punctul (0;1)?
Baza functiei exponentiale trebuie sa fie mai mare decat 2 dar mai mica decat 3, deoarece unghiul tangenta necesar este atins undeva intre functiile $y=2^x$ si $y=3^x$. Un astfel de număr a fost găsit și s-a dovedit a fi destul de unic.

O funcţie exponenţială, în care tangenta care trece prin punctul (0;1) are un unghi de înclinare egal cu 45°, se notează de obicei: $y=e^x$ .
Baza funcției noastre este un număr irațional. Matematicienii au dedus valoarea aproximativă a acestui număr $e=2,7182818284590…$.
În cursul matematicii școlare, se obișnuiește să se rotunjească până la zecimi, adică $e=2,7$.
Să construim un grafic al funcției $y=e^x$ și o tangentă la acest grafic.
Funcția noastră se numește exponențială.
Proprietățile funcției $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Nu este nici par, nici impar.
3. Creșteri pe întregul domeniu de definire.
4. Nelimitat de sus, limitat de jos.
5. Nu există valoare maximă, nu există valoare minimă.
6. Continuu.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Convex în jos.
În matematica superioară, se dovedește că o funcție exponențială este peste tot diferențiabilă, iar derivata ei este egală cu funcția însăși: $(e^x)"=e^x$.
Funcția noastră este utilizată pe scară largă în multe ramuri ale matematicii (în analiza matematică, în teoria probabilităților, în programare), iar cu acest număr sunt asociate multe obiecte reale.

Exemplu.
Găsiți tangenta la graficul funcției $y=e^x$ în punctul $x=2$.
Decizie.
Ecuația tangentei este descrisă prin formula: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Să găsim succesiv valorile necesare:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Răspuns: $y=e^2*x-e^2$

Exemplu.
Aflați valoarea derivatei funcției $y=e^(3x-15)$ în punctul $x=5$.
Decizie.
Să ne amintim regula de diferențiere a unei funcții de forma $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
În cazul nostru $f(kx+m)=e^(3x-15)$.
Să găsim derivata:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$.
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$.
Raspuns: 3.

Exemplu.
Investigați funcția $y=x^3*e^x$ pentru extrema.
Decizie.
Găsiți derivata funcției noastre $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+ x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Funcția nu are puncte critice, deoarece derivata există pentru orice x.
Echivalând derivata cu 0, obținem două rădăcini: $x_1=0$ și $x_2=-3$.
Să ne marchem punctele pe linia numerică:

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți tangenta la graficul funcției $y=e^(2x)$ în punctul $х=2$.
2. Aflați valoarea derivatei funcției $y=e^(4x-36)$ în punctul $х=9$.
3. Investigați funcția $y=x^4*e^(2x)$ pentru extrema.

Obiectivele lecției: formați o idee despre un număr e; demonstrați diferențiabilitatea unei funcții în orice punct X;luați în considerare demonstrația teoremei de derivabilitate pentru funcția ; verificarea formării deprinderilor şi abilităţilor la rezolvarea exemplelor pentru aplicarea acestora.

Obiectivele lecției.

Educativ: repetați definiția unei derivate, regulile de diferențiere, derivata funcțiilor elementare, amintiți-vă graficul și proprietățile unei funcții exponențiale, formați capacitatea de a găsi derivata unei funcții exponențiale, controlați cunoștințele folosind o sarcină de testare și un Test.

Dezvoltare: pentru a promova dezvoltarea atenției, dezvoltarea gândirii logice, intuiția matematică, capacitatea de analiză, aplicarea cunoștințelor în situații non-standard.

Educațional: pentru a educa cultura informațională, pentru a dezvolta abilitățile de a lucra în grup și individual.

Metode de predare: verbal, vizual, activ.

Forme de antrenament: colectiv, individual, de grup.

Echipamente : manualul „Algebra și începuturile analizei” (editat de Kolmogorov), toate sarcinile grupei B „Segment închis” editate de A.L. Semenov, I.V. Yashchenko, proiector multimedia.

Pașii lecției:

1. Raportarea temei, scopurilor, obiectivelor lecției (2 min.).
2. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetarea celor studiate anterior (15 min.).
3. Introducere în material nou (10 min.)
4. Înțelegerea primară și consolidarea noilor cunoștințe (15 min.).
5. Tema pentru acasă (1 min.).
6. Rezumat (2 min.).

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Se anunță tema lecției: „Derivata funcției exponențiale. Numărul e.”, obiective, sarcini. Slide 1. Prezentare

2. Activarea cunoștințelor de bază.

Pentru a face acest lucru, în prima etapă a lecției, vom răspunde la întrebări și vom rezolva sarcini pentru repetare. Slide 2.

La tablă, doi elevi lucrează pe cartonașe, realizând sarcini precum B8 USE.

Sarcina pentru primul student:

Sarcina pentru al doilea student:

Restul elevilor realizează munca independentă în funcție de opțiunile:

Opțiunea 1		Opțiunea 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

Perechile fac schimb de soluții și își verifică reciproc munca, făcând referire la răspunsurile de pe diapozitivul 3.

Sunt luate în considerare soluțiile și răspunsurile elevilor care lucrează la tablă.

Verificarea temei nr. 1904. Afișați diapozitivul 4.

3. Actualizarea subiectului lecției, crearea unei situații problematice.

Profesorul cere să dea o definiție a funcției exponențiale și să enumere proprietățile funcției y \u003d 2 x. Graficele funcțiilor exponențiale sunt afișate ca linii netede, la care se poate trasa o tangentă în fiecare punct. Dar existența unei funcții tangente la grafic într-un punct cu abscisă x 0 este echivalentă cu diferențiabilitatea ei la x 0.

Pentru graficele funcției y \u003d 2 x și y \u003d 3 x, desenăm tangente la ele în punctul cu abscisa 0. Unghiurile de înclinare ale acestor tangente la axa absciselor sunt aproximativ egale cu 35 ° și 48. °, respectiv. Slide 5.

Concluzie: dacă baza funcţiei exponenţiale A crește de la 2 la, de exemplu, 10, apoi unghiul dintre tangenta la graficul funcției în punctul x=0 și axa x crește treptat de la 35° la 66,5°. Este logic să presupunem că există un motiv A, pentru care unghiul corespunzător este 45

Se dovedește că există un astfel de număr mai mare decât 2 și mai mic decât 3. Se obișnuiește să-l notăm cu litera e. În matematică, se stabilește că numărul e- irațional, adică este o fracție zecimală neperiodică infinită.

e = 2,7182818284590...

Notă (nu foarte gravă). slide 6.

Pe următorul slide 7 există portrete ale marilor matematicieni - John Napier, Leonard Euler și o scurtă notă despre ei.

• Se consideră proprietățile funcției y=e x
• Demonstrarea teoremei 1. Slide 8.
• Demonstrarea teoremei 2. Slide 9.

4. Pauză dinamică sau descărcare pentru ochi.

(Poziția de pornire - stând, fiecare exercițiu se repetă de 3-4 ori):

1. Aplecați-vă pe spate, inspirați adânc, apoi aplecați-vă înainte, expirați.

2. Rezemat pe spate într-un scaun, închideți pleoapele, închideți strâns ochii fără a deschide pleoapele.

3. Mâinile de-a lungul corpului, mișcări circulare ale umerilor înainte și înapoi.

5. Consolidarea materialului studiat.

5.1 Rezolvarea exercițiilor nr. 538, nr. 540, nr. 544c.

5.2 Aplicarea independentă a cunoștințelor, abilităților și abilităților. Lucrare de verificare sub forma unui test. Timp pentru a finaliza sarcina - 5 minute.

Criterii de evaluare:

"5" - 3 puncte

"4" - 2 puncte

„3” - 1 punct

6. Însumarea rezultatelor și rezultatelor lucrării din lecție.

1. Reflecţie.
2. Notare.
3. Trimiterea sarcinilor de testare.

7. Tema pentru acasă: p. 41 (1, 2); Nr. 539 (a, b, d); 540 (c, d), 544 (a, b).

„Segment închis” Nr. 1950, 2142.