Ecuații cuadratice cu parametri

(Elaborare metodologică pentru elevii din clasele 9-11)

profesor de matematică cu cea mai înaltă categorie de calificare,

Director adjunct pentru UVR

Megion 2013

cuvânt înainte

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Aplicarea teoremei Vieta

Lucrări științifice rezolvarea problemelor cu parametri și în special rezolvarea ecuațiilor pătratice cu parametrii este propedeutică munca de cercetare a elevilor. La USE în matematică (deseori sarcini C5), GIA (sarcini din partea 2) și la examenele de admitere, există în principal două tipuri de sarcini cu parametri. Mai întâi: „Pentru fiecare valoare a parametrului, găsiți toate soluțiile unei ecuații sau inegalități.” În al doilea rând: „Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre care sunt îndeplinite anumite condiții pentru o anumită ecuație sau inegalitate”. În consecință, răspunsurile la aceste două tipuri de probleme diferă în esență. În răspunsul la problema primului tip, sunt enumerate toate valorile posibile ale parametrului și sunt scrise soluții ale ecuației pentru fiecare dintre aceste valori. În răspunsul la problema de al doilea tip, sunt indicate toate valorile parametrilor în care sunt îndeplinite condițiile specificate în problemă.

După cum știți, se acordă foarte puțină atenție rezolvării problemelor cu parametrii în școală. Prin urmare, rezolvarea problemelor cu parametrii provoacă întotdeauna mari dificultăți elevilor; este greu de așteptat ca studenții a căror pregătire nu a inclus „terapia parametrică” să poată face față cu succes unor astfel de sarcini în atmosfera dură a unui examen competitiv, prin urmare, studenții ar trebui să se pregătească special pentru „întâlnirea cu parametrii”. Mulți studenți percep parametrul ca pe un număr „regulat”. Într-adevăr, în unele probleme, parametrul poate fi considerat o valoare constantă, dar această valoare constantă ia valori necunoscute. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare problema pentru toate valorile posibile ale acestei constante. În alte probleme, poate fi convenabil să declarați artificial una dintre necunoscute ca parametru.

Sarcinile cu parametri au valoare de diagnostic și prognostic - cu ajutorul sarcinilor cu parametri, puteți verifica cunoștințele principalelor secțiuni ale matematicii școlare, nivelul de gândire matematică și logică, abilitățile inițiale ale activităților de cercetare și, cel mai important, promițătoare. oportunități de a stăpâni cu succes cursul de matematică al unei universități date.

O analiză a opțiunilor de USE în matematică și examenele de admitere la diferite universități arată că majoritatea sarcinilor propuse cu parametri sunt asociate cu locația rădăcinilor unui trinom pătrat. Fiind principala la cursul de matematică școlară, funcția pătratică formează o clasă extinsă de probleme cu parametri, diverse ca formă și conținut, dar unite printr-o idee comună - proprietățile funcției pătratice stau la baza soluționării acestora. Când rezolvați astfel de probleme, se recomandă să lucrați cu trei tipuri de modele:

1. model verbal - o descriere verbală a sarcinii;

2. model geometric - o schiță a unui grafic al unei funcții pătratice;

3. model analitic - un sistem de inegalități, care descrie modelul geometric.

Manualul conține teoreme privind locația rădăcinilor unui trinom pătrat (condiții necesare și suficiente pentru amplasarea rădăcinilor unei funcții pătratice în raport cu punctele date), aplicarea teoremei lui Vieta la rezolvarea ecuațiilor pătratice cu parametri. Sunt oferite soluții detaliate a 15 probleme cu recomandări metodice. Scopul acestui manual este de a ajuta absolventul și profesorul de matematică în pregătirea pentru promovarea Examenului Unificat de Stat și a GIA la matematică și a examenului de admitere la universitate sub formă de test sau în formă tradițională.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - se află în dreapta liniei x = n (condiția xb>n) ;

3. parabola se intersectează cu dreapta x = n într-un punct situat în semiplanul superior pentru a>0 și într-un punct situat în semiplanul inferior pentru a<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

Teorema 10. Ecuații cuadratice x2 + p1x + q1 = 0 și x2 + p2x + q2 = 0,

ai căror discriminanți sunt nenegativi au cel puțin o rădăcină comună dacă și numai dacă (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Dovada.

Fie f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, iar numerele x1, x2 sunt rădăcinile ecuației f1(x) = 0. Pentru ecuațiile f1(x) ) = 0 și f2( x) = 0 au cel puțin o rădăcină comună, este necesar și suficient ca f1(x)∙f2(x) = 0, adică (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Reprezentăm ultima egalitate în formă

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Deoarece x12 + p1x1 + q1 = 0 și x22 + p1x2 + q1 = 0, obținem

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, i.e.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Prin teorema Vieta x1 +x2 = - p1 și x1x2 =q1; prin urmare,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0 sau

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), care urma să fie demonstrat.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Ecuație cuadratică topor 2 + bx + c = 0

1) are două rădăcini pozitive reale dacă și numai dacă sunt îndeplinite simultan următoarele condiții:

;

2) are două rădăcini negative reale dacă și numai dacă sunt îndeplinite simultan condițiile:

;

3) are două rădăcini reale de semne diferite dacă și numai dacă sunt îndeplinite simultan următoarele condiții:

;

4) are două rădăcini reale de același semn dacă

Observaţie 1. Dacă coeficientul la X 2 conține un parametru, este necesar să se analizeze cazul când acesta dispare.

Observația 2. Dacă discriminantul unei ecuații pătratice este un pătrat perfect, atunci la început este mai convenabil să găsiți expresii explicite pentru rădăcinile sale.

Observația 3. Dacă o ecuație care conține mai multe necunoscute este pătratică în raport cu una dintre ele, atunci cheia rezolvării problemei este adesea studiul discriminantului ei.

Prezentăm o schemă pentru studierea problemelor legate de localizarea rădăcinilor unui trinom pătratf(X) = topor2 + bx + c:

1. Studiul cazului a = o (dacă primul coeficient depinde de parametri).

2. Aflarea discriminantului D în cazul a≠0.

3. Dacă D este pătratul complet al unei expresii, atunci găsirea rădăcinilor x1, x2 și subordonarea condițiilor problemei.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. Exemple de rezolvare a problemelor pentru pregătirea pentru GIA și examenul unificat de stat la matematică

Exemplul 1 Rezolvați ecuația ( A - 2)X 2 – 2topor + 2A – 3 = 0.

Decizie. Luați în considerare două cazuri: a = 2 și a ≠ 2. în primul caz, ecuația inițială ia forma - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

Pentru un \u003d 1 sau un \u003d 6, discriminantul este zero și ecuația pătratică are o rădăcină: , adică pentru un \u003d 1 obținem rădăcina , iar pentru a = 6 - rădăcina.

La 1< A < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">ecuația nu are rădăcini; pentru a = 1 ecuația are o rădăcină X= -1; la ecuația are două rădăcini ; la A= 2 ecuația are o singură rădăcină; la A= 6 ecuația are o singură rădăcină .

Exemplul 2 La ce valoare a parametrului A ecuația ( A - 2)X 2 + (4 – 2A)X+ 3 = 0 are o singură rădăcină?

Decizie . În cazul în care un A= 2, atunci ecuația devine liniară∙ X+ 3 = 0; care nu are rădăcini.

În cazul în care un A≠ 2, atunci ecuația este pătratică și are o singură rădăcină cu discriminant zero D.

D= 0 la A 1 = 2 și A 2 = 5. Înțeles A= 2 este exclus, deoarece contrazice condiția ca ecuația inițială să fie pătratică.

Răspuns : A = 5.

4.

(A - 1)X 2 + (2A + 3)X + A+ 2 = 0 are rădăcini de același semn?

Decizie. Întrucât, după condiția problemei, ecuația considerată este pătratică, înseamnă că A≠ 1. Evident, condiția problemei presupune și existența rădăcinilor ecuației pătratice, ceea ce înseamnă că discriminantul este nenegativ

D = (2A + 3)2 – 4(A - 1)(A + 2) = 8A + 17.

Întrucât, prin condiție, rădăcinile trebuie să fie de același semn, atunci X 1∙X 2 > 0, adică..png" width="149" height="21 src=">. Sub rezerva condițiilor D≥ 0 și A≠ 1 obținem https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Exemplul 3 Găsiți toate valorile lui a pentru care ecuația x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 are două rădăcini pozitive.

Decizie. Din teorema Vieta, pentru ca ambele rădăcini x1 și x2 ale acestei ecuații să fie pozitive, este necesar și suficient ca discriminantul trinomului pătrat x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) să fie non- negativ, iar produsul x1 ∙ x2 și suma x1 + x2 au fost pozitive. Obținem că totul este un sistem satisfăcător

Și numai ele sunt soluțiile la problemă. Acest sistem este echivalent cu sistemul

Soluția căreia și, prin urmare, problema în sine, sunt toate numerele din interval

Sarcina #3.

La ce valori ale parametrului k rădăcinile ecuației (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

aparțin intervalului (0;1)?

Decizie.

Pentru k≠2, valorile parametrilor dorite trebuie să satisfacă sistemul de inegalități

Unde D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x în \u003d k / (k-2).

Acest sistem nu are soluții.

Pentru k = 2, ecuația dată are forma -4x+1 = 0, singura sa rădăcină

x = ¼, care aparține intervalului (0;1).

Sarcina #4.

La ce valori ale lui a sunt ambele rădăcini ale ecuației x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 situate pe segment?

Valorile dorite trebuie să satisfacă sistemul de inegalități

unde D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x în \u003d a.

Singura soluție a sistemului este valoarea, a = 4.

4. Munca independentă (control – instruire).

Elevii lucrează în grupuri, efectuează aceeași opțiune, deoarece materialul este foarte complex și nu toată lumea o poate face.

Numarul 1. La ce valori ale parametrului a ambele rădăcini ale ecuației x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 aparțin intervalului (-2; 4)?

nr 2. Găsiți toate valorile lui k pentru care există o rădăcină a ecuației

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 este mai mică decât 1 și cealaltă rădăcină este mai mare decât 2.

Numarul 3. La ce valori ale lui a este numărul 1 dintre rădăcinile trinomului pătrat x 2 + (a + 1) x - a 2?

La sfârșitul timpului, răspunsurile sunt afișate. Se efectuează autoverificarea muncii independente.

5. Rezumatul lecției. Termină oferta.

„Azi la clasă...”

"Amintesc..."

„Aș dori să notez…”.

Profesorul analizează întregul curs al lecției și punctele sale principale, evaluează activitățile fiecărui elev din lecție.

6. Teme pentru acasă

(din colecția de sarcini pentru pregătirea pentru GIA în clasa a 9-a, autor L. V. Kuznetsova)

MOU „Școala Gimnazială Nr. 15”

Michurinsk, regiunea Tambov

Lecție de algebră în clasa a 9-a

„Locația rădăcinilor unui trinom pătrat în funcție de valorile parametrului”

Dezvoltat

profesor de matematică categoria I

Bortnikova M.B.

Michurinsk - orașul științei 2016 an

Lecția este de 2 ore.

Dragi baieti! Studiul multor legi fizice și geometrice duce adesea la rezolvarea problemelor cu parametri. Unele universități includ, de asemenea, ecuații, inegalități și sistemele lor în biletele de examen, care sunt adesea foarte complexe și necesită o abordare non-standard pentru rezolvare. La școală, aceasta una dintre cele mai dificile secțiuni ale cursului școlar de algebră este luată în considerare doar în câteva cursuri opționale sau de materii.
În opinia mea, metoda funcțional-grafică este o modalitate convenabilă și rapidă de a rezolva ecuații cu un parametru.

Obiectivele lecției: 1. Extindeți ideea de ecuații pătratice 2. Învățați să găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre ele soluțiile ecuației îndeplinesc condițiile date. 3. Dezvoltați interesul pentru subiect.

În timpul orelor:

1. Care este parametrul

Exprimarea formei Ah 2 + bx + cîntr-un curs de algebră școlară se numește trinom pătrat în raport cuX, Unde a, b,c sunt date numere reale, în plus,A=/= 0. Valorile variabilei x, la care expresia dispare, se numesc rădăcinile unui trinom pătrat. Pentru a găsi rădăcinile unui trinom pătrat, este necesar să se rezolve ecuația pătraticăAh 2 + bx + c =0.
Să ne amintim ecuațiile de bază:ax + b = 0;
ax2 + bx + c = 0.Când căutați rădăcinile lor, valorile variabilelora, b, c,incluse în ecuație sunt considerate fixe și date. Variabilele în sine sunt numite parametri.

Definiție.Un parametru este o variabilă independentă, a cărei valoare în problemă este considerată a fi un număr real fix sau arbitrar dat, sau un număr aparținând unei mulțimi predeterminate.

2. Principalele tipuri și metode de rezolvare a problemelor cu parametri

Dintre sarcinile cu parametri se pot distinge următoarele tipuri principale de sarcini.

Ecuații de rezolvat fie pentru orice valoare a parametrilor, fie pentru valorile parametrilor care aparțin unui set predeterminat. De exemplu. Rezolvarea ecuațiilor:ax = 1 , (A - 2) x = a 2 – 4.

Ecuații pentru care doriți să determinați numărul de soluții în funcție de valoarea parametrului (parametrilor). De exemplu.

A ecuația 4 X 2 – 4 ax + 1 = 0are o singură rădăcină?

Ecuații pentru care, pentru valorile dorite ale parametrului, setul de soluții îndeplinește condițiile date în domeniul definiției.

De exemplu, găsiți valorile parametrilor pentru care rădăcinile ecuației (A - 2) X 2 – 2 ax + a + 3 = 0 pozitiv.
Principalele modalități de rezolvare a problemelor cu un parametru: analitică și grafică.

Analitic- aceasta este o metodă a așa-numitei soluții directe, repetând procedurile standard pentru găsirea unui răspuns în probleme fără parametru. Să luăm în considerare un exemplu de astfel de sarcină.

Sarcina 1

La ce valori ale parametrului a ecuațiaX 2 – 2 topor + a 2 – 1 = 0 are două rădăcini diferite aparținând intervalului (1; 5)?

Decizie

X 2 – 2 topor + a 2 – 1 = 0.
În funcție de starea problemei, ecuația trebuie să aibă două rădăcini diferite, iar acest lucru este posibil numai cu condiția: D > 0.
Avem: D = 4A 2 – 2(A 2 – 1) = 4. După cum puteți vedea, discriminantul nu depinde de a, prin urmare, ecuația are două rădăcini diferite pentru orice valoare a parametrului a. Să găsim rădăcinile ecuației:X 1 = A + 1, X 2 = A – 1
Rădăcinile ecuației trebuie să aparțină intervalului (1; 5), adică.
Deci, la 2< A < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Raspuns: 2< A < 4.
O astfel de abordare a rezolvării problemelor de tipul luat în considerare este posibilă și rațională în cazurile în care discriminantul ecuației pătratice este „bun”, i.e. este pătratul exact al oricărui număr sau expresie, sau rădăcinile ecuației pot fi găsite prin teorema inversă Vieta. Apoi, și rădăcinile nu sunt expresii iraționale. În caz contrar, rezolvarea problemelor de acest tip este asociată cu proceduri destul de complicate din punct de vedere tehnic. Iar rezolvarea inegalităților iraționale va necesita noi cunoștințe din partea dvs.

Grafic- aceasta este o metodă în care se folosesc grafice în planul de coordonate (x; y) sau (x; a). Vizibilitatea și frumusețea acestei metode de soluție ajută la găsirea unei modalități rapide de rezolvare a problemei. Să rezolvăm problema numărul 1 grafic.
După cum știți, rădăcinile unei ecuații pătratice (trinom pătrat) sunt zerourile funcției pătratice corespunzătoare: y =X 2 – 2 Oh + A 2 – 1. Graficul funcției este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus (primul coeficient este egal cu 1). Modelul geometric care îndeplinește toate cerințele problemei arată astfel.

Acum rămâne să „fixăm” parabola în poziția dorită cu condițiile necesare.

1. Deoarece parabola are două puncte de intersecție cu axaX, apoi D > 0.

   Vârful parabolei se află între liniile verticale.X= 1 și X= 5, de unde abscisa vârfului parabolei x despre aparține intervalului (1; 5), adică.
   1 < X despre< 5.

   Observăm că la(1) > 0, la(5) > 0.

Deci, trecând de la modelul geometric al problemei la cel analitic, obținem un sistem de inegalități.

Raspuns: 2< A < 4.

După cum se poate observa din exemplu, o metodă grafică pentru rezolvarea problemelor de tipul luat în considerare este posibilă în cazul în care rădăcinile sunt „rele”, adică. conțin un parametru sub semnul radical (în acest caz, discriminantul ecuației nu este un pătrat perfect).
În a doua soluție, am lucrat cu coeficienții ecuației și domeniul funcțieila = X 2 – 2 Oh + A 2 – 1.
Această metodă de rezolvare nu poate fi numită doar grafică, deoarece. Aici trebuie să rezolvăm un sistem de inegalități. Mai degrabă, această metodă este combinată: funcțional-grafic. Dintre aceste două metode, cea din urmă nu este doar elegantă, ci și cea mai importantă, deoarece arată relația dintre toate tipurile de model matematic: o descriere verbală a problemei, un model geometric - un grafic al unui trinom pătrat, un model analitic - o descriere a unui model geometric printr-un sistem de inegalități.
Deci, am luat în considerare o problemă în care rădăcinile unui trinom pătrat îndeplinesc condițiile date în domeniul definiției pentru valorile dorite ale parametrului.

Și ce alte condiții posibile pot fi îndeplinite de rădăcinile unui trinom pătrat pentru valorile dorite ale parametrului?

Exemple de rezolvare a problemelor

3. Investigarea locației rădăcinilor unui trinom pătrat în funcție de valorile dorite ale parametrului A.

Sarcina numărul 2.

La ce valori ale parametruluiA rădăcinile unei ecuații pătratice

x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 este mai mult de unul?

Decizie.

Se consideră funcția: y = x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5)

Graficul funcției este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Să descriem schematic o parabolă (un model geometric al problemei).

Acum să trecem de la modelul geometric construit la cel analitic, adică. Să descriem acest model geometric printr-un sistem de condiții adecvat acestuia.

Există puncte de intersecție (sau un punct de contact) ale parabolei cu axa x, prin urmare, D≥0, i.e. 16+4(a-1)(a-5)≥0.

Observăm că vârful parabolei este situat în semiplanul drept față de dreapta x=1, adică. abscisa sa este mai mare decat 1, i.e. 2>1 (efectuat pentru toate valorile parametrului a).

Rețineți că y(1)>0, i.e. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5)>0

Ca rezultat, ajungem la un sistem de inegalități.

;

Raspuns: 2<а<4.

Sarcina numărul 3.

X 2 + ax - 2 = 0 mai mare decât unu?

Decizie.

Se consideră funcția: y = -x 2 + ah - 2

Graficul funcției este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Să descriem modelul geometric al problemei luate în considerare.

U(1)

Să facem un sistem de inegalități.

, fara solutii

Răspuns. Nu există astfel de valori ale parametrilor.

Condițiile problemelor nr. 2 și nr. 3, în care rădăcinile unui trinom pătrat sunt mai mari decât un anumit număr pentru valorile dorite ale parametrului a, formulăm după cum urmează.

Cazul general #1.

Pentru ce valori ale parametrului a rădăcinile trinomului pătrat

f(x) = ax 2 + în + c este mai mare decât un număr k, adică. la<х 1 ≤x 2 .

Să descriem modelul geometric al acestei probleme și să scriem sistemul de inegalități corespunzător.

Tabelul 1. Model – schemă.

Sarcina numărul 4.

La ce valori ale parametrului a sunt rădăcinile ecuației pătratice

X 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 mai mic decât unu?

Decizie.

Se consideră funcția: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)

Graficul funcției este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. În funcție de starea problemei, rădăcinile sunt mai mici de 1, prin urmare, parabola intersectează axa x (sau atinge axa x la stânga dreptei x=1).

Să descriem schematic o parabolă (un model geometric al problemei).

y(1)

Să trecem de la modelul geometric la cel analitic.

Deoarece există puncte de intersecție ale parabolei cu axa x, atunci D≥0.

Vârful parabolei este situat în stânga dreptei x=1, adică. abscisa sa x 0 <1.

Rețineți că y(1)>0, i.e. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.

Ajungem la un sistem de inegalități.

;

Răspuns: -0,5<а<2.

Cazul general #2.

Pentru ce valori ale parametrului sunt ambele rădăcini ale trinomuluif(x) = ax 2 + în + c va fi mai mic decât un număr k: x 1 ≤x 2<к.

Modelul geometric și sistemul de inegalități corespunzător sunt prezentate în tabel. Este necesar să se țină cont de faptul că există probleme în care primul coeficient al trinomului pătrat depinde de parametrul a. Și apoi ramurile parabolei pot fi direcționate atât în ​​sus, cât și în jos, în funcție de valorile parametrului a. Vom ține cont de acest fapt atunci când creăm o schemă generală.

Tabelul numărul 2.

f(k)

Model analitic

(sistemul de condiții).

Model analitic

(sistemul de condiții).

Sarcina numărul 5.

La ce valori ale parametrului a 2 -2ax+a=0 aparțin intervalului (0;3)?

Decizie.

Se consideră trinomul pătrat y(x) = x 2 -2ax + a.

Graficul este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Figura prezintă modelul geometric al problemei luate în considerare.

La

Y(0)

U(3)

0 x 1 x 0 x 1 3 x

De la modelul geometric construit, să trecem la cel analitic, adică. îl descriem printr-un sistem de inegalităţi.

Există puncte de intersecție ale parabolei cu axa x (sau un punct de contact), prin urmare, D≥0.

Vârful parabolei se află între liniile x=0 și x=3, adică. abscisa parabolei x 0 aparține intervalului (0;3).

Rețineți că y(0)>0 și, de asemenea, y(3)>0.

Venim la sistem.

;

Raspuns: a

Cazul general #3.

Pentru ce valori ale parametrului a rădăcinile trinomului pătrat aparțin intervalului (k; m), adică k<х 1 ≤х 2 < m

Tabelul nr. 3. Model – schema.

f(X)

f(k)

f(m)

k x 1 x 0 x 2 mX

f(x)

0kx 1 X 0 X 2 m

f(k)

f(m)

Modelul analitic al problemei

Modelul analitic al problemei

SARCINA #6.

La ce valori ale parametrului a este doar rădăcina mai mică a ecuației pătratice x 2 +2ax+a=0 aparține intervalului X (0;3).

Decizie.

2 -2ax + a

Graficul este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Fie x 1 rădăcină mai mică a unui trinom pătrat. După starea problemei x 1 aparține intervalului (0;3). Să descriem un model geometric al problemei care îndeplinește condițiile problemei.

Y(X)

Y(0)

0 X 1 3 X 0 X 2 X

Y(3)

Să trecem la sistemul inegalităților.

1) Observați că y(0)>0 și y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Prin urmare, această condiție nu trebuie să fie scrisă în sistemul de inegalități.

Astfel, obținem următorul sistem de inegalități:

Răspuns: A >1,8.

Cazul general #4.

Pentru ce valori ale parametrului a rădăcina mai mică a trinomului pătrat aparține intervalului dat (k; m), adică k<х 1 < m<х 2 .

Tabelul nr. 4 . Model - schemă.

f(k)

k x 1 0 m X 2

f(m)

F(x)

f(m)

kx 1 mx 2 x

f(k)

Model analitic

Model analitic

SARCINA #7.

La ce valori ale parametrului a doar rădăcina mai mare a ecuației pătratice x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 aparține intervalului [-1;0).

Decizie.

Se consideră trinomul pătrat y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).

Graficul este o parabolă. Ramurile sunt îndreptate în sus.

Să descriem modelul geometric al problemei. Fie x 2 este rădăcina mai mare a ecuației. După starea problemei, doar rădăcina mai mare aparține intervalului.

y(X)

y(0)

X 1 -1 x 2 0 x

y(-1)

Rețineți că y(0)>0 și y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

Să creăm un sistem de inegalități și să-l rezolvăm.

Răspuns:

Cazul general #5.

Pentru ce valori ale parametrului a, rădăcina mai mare a trinomului pătrat aparține intervalului dat (k; m), adică x 1< k<х 2 < m.

Tabelul nr. 5. Model - schema.

f(x)

f(m)

0 x 1 k x 2 mx

f(k)

f(x)

f(k)

X 1 0kx 2 m

f(m)

Model analitic

Model analitic

W ADACHA nr 8.

La ce valori ale parametrului a este segmentul [-1; 3] situat în întregime între rădăcinile ecuației pătratice x 2 -(2a+1)x+a-11=0?

Decizie.

Se consideră trinomul pătrat y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11

Graficul este o parabolă.

Modelul geometric al acestei probleme este prezentat în figură.

Y(X)

X 1 -1 0 3 X 2 X

Y(-1)

Y(3)

În aceste condiții, D>0, deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Raspuns: a

Cazul general #6.

Pentru ce valori ale parametrului a rădăcinile trinomului pătrat sunt în afara intervalului dat (k; m), adică x 1< k < m<х 2 .

x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 se află pe părțile opuse ale numărului față de numărul 3?

Decizie.

Se consideră trinomul pătrat y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.

Graficul este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus (primul coeficient este 1). Să descriem modelul geometric al problemei.

X 1 3 X 2 X

Y(3)

Să trecem de la un model geometric la unul analitic.

1. Observăm că y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 automat.+in+c este mai mic decât un număr k: x 1 ≤ x 2 <к

   3. Pentru ce valori ale parametrului a rădăcinile trinomului pătrat ax 2 +in+c aparțin intervalului (k, t) la<х 1 ≤x 2 <т

   4. Pentru ce valori ale parametrului a doar rădăcina mai mică a axei trinomului pătrat 2 +in+c aparține intervalului dat (k, t), adică k<х 1 <т<х 2

   1. Înfățișați modelul geometric al acestei probleme.

   2. Notati sistemul de conditii la care se reduce rezolvarea acestei probleme

   1. Înfățișați modelul geometric al acestei probleme.

   2. Notati sistemul de conditii la care se reduce rezolvarea acestei probleme

   1. Înfățișați modelul geometric al acestei probleme.

   2. Notati sistemul de conditii la care se reduce rezolvarea acestei probleme

   Rădăcinile ecuației pătratice x 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, mai mare decât 1.

   Raspuns: 2<а<4

   Rădăcinile ecuației pătratice x 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, mai mic decât 1.

   Răspuns:

   -0,5<а<2

   Rădăcinile ecuației pătratice x 2 -2ax+a=0, aparțin intervalului (0;3).

   Răspuns: 1≤a< 9 / 5

   Doar rădăcina mai mică a ecuației x 2 -2ax+a=0, aparține intervalului (0;3).

   Răspuns: 1≤a< 9 / 5

   1. Înfățișați modelul geometric al acestei probleme.

   2. Notati sistemul de conditii la care se reduce rezolvarea acestei probleme

   1. Înfățișați modelul geometric al acestei probleme.

   2. Notati sistemul de conditii la care se reduce rezolvarea acestei probleme

   1. Înfățișați modelul geometric al acestei probleme.

   2. Notati sistemul de conditii la care se reduce rezolvarea acestei probleme

   Doar cea mai mare rădăcină a ecuației x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, aparține intervalului [-1;0).

   Răspuns:(-5;-4]U[-2;-1)

   Segmentul [-1; 3] se află în întregime între rădăcinile ecuației pătratice x 2 -(2a+1)x+a-11=0.

   Raspunsul 1<а<3

   Rădăcinile ecuației pătratice x 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, se află pe părțile opuse ale numărului 3.

   Răspuns( 10 / 7 ;∞)

   Mulțumesc pentru lecție băieți!

La ce valoare a parametrului o rădăcină unică a ecuației

mai mare de 1 iar celălalt mai mic de 1?

Luați în considerare funcția -

Obiectiv:

• Studiul tuturor caracteristicilor posibile ale locației rădăcinilor unui trinom pătrat relativ la un punct dat și relativ la un anumit segment pe baza proprietăților unei funcții pătratice și a interpretărilor grafice.
• Aplicarea proprietăților studiate în rezolvarea unor probleme nestandard cu un parametru.

Sarcini:

• Să studieze diferite metode de rezolvare a problemelor bazate pe studiul locației rădăcinilor unui trinom pătrat printr-o metodă grafică.
• Fundamentați toate caracteristicile posibile ale locației rădăcinilor unui trinom pătrat, dezvoltați recomandări teoretice pentru rezolvarea problemelor nestandard cu un parametru.
• Stăpânește o serie de abilități matematice tehnice și intelectuale, învață cum să le folosești în rezolvarea problemelor.

Ipoteză:

Utilizarea metodei grafice în problemele netradiționale cu un parametru simplifică calculele matematice și reprezintă o modalitate rațională de rezolvare.

atunci si numai atunci:

1. Ambele rădăcini sunt mai mici decât A,

2. Rădăcinile se află pe laturile opuse ale numărului A,

atunci si numai atunci:

• atunci si numai atunci:

atunci si numai atunci:

3. Ambele rădăcini sunt mai mari decât numărul A, adică

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care există o rădăcină a ecuației

mai mare de 1, iar celălalt mai mic de 1.

Pentru ce valori ale parametrului ecuația

are două rădăcini diferite ale aceluiași semn?

-6

-2

3

A

1. Ambele rădăcini se află între punctele A și B, adică.

atunci si numai atunci:

2. Rădăcinile se află pe laturile opuse ale segmentului

atunci si numai atunci:

3. O rădăcină se află în afara segmentului, iar cealaltă pe acesta, adică

atunci si numai atunci:

Explorați ecuația

după numărul de rădăcini în funcţie de parametru.

ecuația nu are soluții.

are o singura solutie.

Explorați ecuația

după numărul de rădăcini în

in functie de parametru.

Dacă o rădăcină se află pe un segment, iar cealaltă în stânga acestuia.

Dacă o rădăcină se află pe un segment, iar cealaltă în dreapta acestuia.

ecuația inițială va avea două rădăcini diferite.

sub care

Ecuația are trei rădăcini diferite.

Răspuns: când

sub care

ecuația inițială va avea două

rădăcini diferite.

Ecuația are patru rădăcini diferite.