Primul nivel

ecuații exponențiale. Ghid cuprinzător (2019)

Hei! Astăzi vom discuta cu tine cum să rezolvi ecuațiile care pot fi atât elementare (și sper că, după ce ai citit acest articol, aproape toate vor fi așa pentru tine), cât și cele cărora li se acordă de obicei „rambleu”. Aparent, să adorm complet. Dar voi încerca să fac tot posibilul pentru ca acum să nu ai probleme când te confrunți cu acest tip de ecuație. Nu voi mai bate în jurul tufișului, dar voi dezvălui imediat un mic secret: astăzi vom studia ecuații exponențiale.

Înainte de a trece la o analiză a modalităților de rezolvare a acestora, vă voi contura imediat un cerc de întrebări (destul de mic) pe care ar trebui să le repetați înainte de a vă grăbi să asalteze acest subiect. Deci, pentru cele mai bune rezultate, vă rog repeta:

1. proprietăţi şi
2. Soluție și ecuații

Repetat? Uimitor! Atunci nu vă va fi greu să observați că rădăcina ecuației este un număr. Ești sigur că înțelegi cum am făcut-o? Adevăr? Apoi continuăm. Acum răspunde-mi la întrebarea, ce este egal cu a treia putere? Ai dreptate: . Opt este ce putere a doi? Așa este - al treilea! Pentru că. Ei bine, acum să încercăm să rezolvăm următoarea problemă: Lasă-mă să înmulțesc numărul cu el însuși o dată și să obțin rezultatul. Întrebarea este de câte ori m-am înmulțit singur? Desigur, puteți verifica acest lucru direct:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinia)

Atunci poți trage concluzia că am înmulțit ori singur. Cum altfel poate fi verificat acest lucru? Și iată cum: direct după definiția gradului: . Dar, trebuie să recunoașteți, dacă aș întreba de câte ori doi trebuie înmulțiți singuri pentru a obține, să zicem, mi-ați spune: nu mă voi păcăli și mă voi înmulți singur până nu voi fi albastru la față. Și ar avea perfectă dreptate. Pentru că cum poți notează pe scurt toate acțiunile(și concizia este sora talentului)

unde - acesta este chiar "ori" când te înmulți singuri.

Cred că știți (și dacă nu știți, urgent, foarte urgent repetați diplomele!) că atunci problema mea se va scrie sub forma:

Cum puteți concluziona în mod rezonabil că:

Așa că, în liniște, am notat cel mai simplu ecuație exponențială:

Și chiar l-a găsit rădăcină. Nu crezi că totul este destul de banal? Exact asta cred si eu. Iată un alt exemplu pentru tine:

Dar ce să faci? La urma urmei, nu poate fi scris ca un grad al unui număr (rezonabil). Să nu disperăm și să observăm că ambele numere sunt perfect exprimate în termeni de putere a aceluiași număr. Ce? Dreapta: . Apoi ecuația inițială este transformată în forma:

De unde, așa cum ați înțeles deja, . Să nu mai tragem și să scriem definiție:

În cazul nostru cu dumneavoastră: .

Aceste ecuații se rezolvă prin reducerea lor la forma:

cu rezolvarea ulterioară a ecuației

Noi, de fapt, am făcut asta în exemplul anterior: am primit asta. Și am rezolvat cea mai simplă ecuație cu tine.

Pare să nu fie nimic complicat, nu? Să exersăm mai întâi pe cel mai simplu. exemple:

Vedem din nou că părțile din dreapta și din stânga ecuației trebuie reprezentate ca o putere a unui număr. Adevărat, acest lucru s-a făcut deja în stânga, dar în dreapta există un număr. Dar, la urma urmei, este în regulă, iar ecuația mea se transformă în mod miraculos în asta:

Ce a trebuit să fac aici? Ce regula? Regulă putere la putere care scrie:

Ce-ar fi dacă:

Înainte de a răspunde la această întrebare, să completăm următorul tabel cu tine:

Ne este ușor să observăm că cu cât este mai mică, cu atât valoarea este mai mică, dar, cu toate acestea, toate aceste valori sunt mai mari decât zero. SI VA FI Intotdeauna ASA!!! Aceeași proprietate este valabilă PENTRU ORICE BAZĂ CU ORICE INDEX!! (pentru orice și). Atunci ce putem concluziona despre ecuație? Și iată unul: acesta nu are rădăcini! La fel ca orice ecuație nu are rădăcini. Acum să exersăm și Să rezolvăm câteva exemple simple:

Sa verificam:

1. Aici nu ți se cere nimic, decât să cunoști proprietățile puterilor (pe care, de altfel, ți-am cerut să le repeți!) De regulă, totul duce la cea mai mică bază: , . Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu următoarea: Tot ce am nevoie este să folosesc proprietățile puterilor: la înmulțirea numerelor cu aceeași bază, se adună exponenții, iar la împărțire se scad. Apoi voi obține: Ei bine, acum cu conștiința curată voi trece de la ecuația exponențială la cea liniară: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. În cel de-al doilea exemplu, trebuie să fii mai atent: problema este că nici în partea stângă nu putem reprezenta același număr ca o putere. În acest caz, uneori este util reprezintă numere ca produs de puteri cu baze diferite, dar aceiași exponenți:

Partea stângă a ecuației va lua forma: Ce ne-a dat asta? Și iată ce: Se pot înmulți numere cu baze diferite, dar cu același exponent.În acest caz, bazele sunt înmulțite, dar exponentul nu se modifică:

Aplicat situației mele, aceasta va da:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Nu-i rău, nu?

3. Nu-mi place când am doi termeni pe o parte a ecuației și niciunul pe cealaltă (uneori, desigur, acest lucru este justificat, dar nu este cazul acum). Mutați termenul minus la dreapta:

Acum, ca și înainte, voi scrie totul prin puterile triplei:

Adun puterile din stânga și obțin o ecuație echivalentă

Îi puteți găsi cu ușurință rădăcina:

4. Ca și în exemplul trei, termenul cu minus - un loc în partea dreaptă!

În stânga, aproape totul este în regulă cu mine, în afară de ce? Da, „gradul greșit” al zeului mă deranjează. Dar pot rezolva cu ușurință acest lucru scriind: . Eureka - în stânga, toate bazele sunt diferite, dar toate gradele sunt la fel! Ne inmultim repede!

Din nou, totul este clar: (dacă nu ați înțeles cum am obținut în mod magic ultima egalitate, luați o pauză de un minut, luați o pauză și citiți din nou proprietățile gradului cu mare atenție. Cine a spus că puteți sări peste grad cu exponent negativ? Ei bine, aici sunt cam la fel ca nimeni). Acum voi primi:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Iată sarcinile pe care să le exersați, la care voi da doar răspunsurile (dar într-o formă „mixtă”). Rezolvă-le, verifică și ne vom continua cercetările!

Gata? Răspunsuri ca acestea:

1. orice număr

Bine, bine, glumeam! Iată schița soluțiilor (unele sunt destul de scurte!)

Nu crezi că nu este o coincidență că o fracțiune din stânga este o alta „inversată”? Ar fi un păcat să nu folosești asta:

Această regulă este foarte des folosită la rezolvarea ecuațiilor exponențiale, rețineți-o bine!

Atunci ecuația inițială devine:

Rezolvând această ecuație pătratică, veți obține următoarele rădăcini:

2. O altă soluție: împărțirea ambelor părți ale ecuației la expresia din stânga (sau dreapta). Voi împărți la ceea ce este în dreapta, apoi voi obține:

Unde (de ce?!)

3. Nici nu vreau să mă repet, totul a fost deja „mestecat” atât de mult.

4. echivalent cu o ecuație pătratică, rădăcinile

5. Trebuie să utilizați formula dată în prima sarcină, apoi veți obține:

Ecuația s-a transformat într-o identitate banală, ceea ce este adevărat pentru orice. Atunci răspunsul este orice număr real.

Ei bine, aici sunteți și exersați să decideți cele mai simple ecuații exponențiale. Acum vreau să vă dau câteva exemple de viață care vă vor ajuta să înțelegeți de ce sunt necesare în principiu. Aici voi da două exemple. Unul dintre ele este destul de cotidian, dar celălalt are un interes mai mult științific decât practic.

Exemplul 1 (comercial) Lasă-ți ruble, dar vrei să le transformi în ruble. Banca vă oferă să luați acești bani de la dvs. la o dobândă anuală cu o capitalizare lunară a dobânzii (cumulare lunară). Întrebarea este, pentru câte luni trebuie să deschideți un depozit pentru a încasa suma finală dorită? O sarcină destul de banală, nu-i așa? Cu toate acestea, soluția sa este legată de construcția ecuației exponențiale corespunzătoare: Fie - suma inițială, - suma finală, - rata dobânzii pentru perioada, - numărul de perioade. Apoi:

În cazul nostru (dacă rata este pe an, atunci se calculează pe lună). De ce este împărțit în? Dacă nu știți răspunsul la această întrebare, amintiți-vă de subiectul „”! Apoi obținem următoarea ecuație:

Această ecuație exponențială poate fi deja rezolvată doar cu un calculator (aspectul ei sugerează acest lucru, iar acest lucru necesită cunoașterea logaritmilor, cu care ne vom familiariza puțin mai târziu), ceea ce voi face: ... Astfel, pentru a primim un milion, trebuie să facem o contribuție pentru o lună (nu foarte repede, nu?).

Exemplul 2 (mai degrabă științific). In ciuda lui, o oarecare „izolare”, iti recomand sa-i acorzi atentie: in mod regulat „se strecoara la examen!! (sarcina este preluată din versiunea „reală”) În timpul dezintegrarii unui izotop radioactiv, masa acestuia scade conform legii, unde (mg) este masa inițială a izotopului, (min.) este timpul scurs de la momentul inițial, (min.) este timpul de înjumătățire. În momentul inițial de timp, masa izotopului este mg. Timpul său de înjumătățire este de min. În câte minute va fi masa izotopului egală cu mg? E în regulă: luăm și înlocuim toate datele din formula propusă:

Să împărțim ambele părți la, „în speranța” că în stânga obținem ceva digerabil:

Ei bine, suntem foarte norocoși! Stă în stânga, apoi să trecem la ecuația echivalentă:

Unde min.

După cum puteți vedea, ecuațiile exponențiale au o aplicație foarte reală în practică. Acum vreau să discut cu tine un alt mod (simplu) de a rezolva ecuațiile exponențiale, care se bazează pe scoaterea factorului comun din paranteze și apoi gruparea termenilor. Nu vă fie teamă de cuvintele mele, această metodă ați întâlnit-o deja în clasa a VII-a când ați studiat polinoamele. De exemplu, dacă trebuie să factorizați expresia:

Să grupăm: primul și al treilea termen, precum și al doilea și al patrulea. Este clar că primul și al treilea sunt diferența dintre pătrate:

iar al doilea și al patrulea au un factor comun de trei:

Atunci expresia originală este echivalentă cu aceasta:

Unde să eliminați factorul comun nu mai este dificil:

Prin urmare,

Cam așa vom acționa atunci când rezolvăm ecuații exponențiale: căutați „comunalitate” între termeni și scoateți-o din paranteze, apoi - orice ar fi, cred că vom avea noroc =)) De exemplu:

În dreapta este departe de puterea lui șapte (am verificat!) Și în stânga - puțin mai bine, puteți, desigur, să „tai” factorul a din primul termen și din al doilea, apoi să te ocupi de cea rezultată, dar să facem mai prudent cu tine. Nu vreau să mă ocup de fracțiile care sunt produse inevitabil de „selecție”, așa că nu ar trebui să suport mai bine? Atunci nu voi avea fracții: după cum se spune, atât lupii sunt plini, cât și oile sunt în siguranță:

Numărați expresia dintre paranteze. Magic, magic, se dovedește că (în mod surprinzător, deși la ce să ne mai așteptăm?).

Apoi reducem ambele părți ale ecuației cu acest factor. Obținem: unde.

Iată un exemplu mai complicat (destul de puțin, într-adevăr):

Iată necazul! Nu avem un punct comun aici! Nu este complet clar ce să faci acum. Și să facem ce putem: în primul rând, vom muta „patru” într-o direcție, iar „cinci” în cealaltă:

Acum să scoatem „comunul” din stânga și din dreapta:

Deci ce acum? Care este beneficiul unei astfel de grupări stupide? La prima vedere, nu este deloc vizibil, dar haideți să privim mai profund:

Ei bine, acum să facem astfel încât în ​​stânga să avem doar expresia c, iar în dreapta - orice altceva. Cum putem face acest lucru? Și iată cum: Împărțim mai întâi ambele părți ale ecuației cu (deci scăpăm de exponentul din dreapta), apoi împărțim ambele părți cu (deci scăpăm de factorul numeric din stânga). În sfârșit obținem:

Incredibil! În stânga avem o expresie, iar în dreapta - doar. Atunci tragem imediat concluzia că

Iată un alt exemplu de consolidat:

Îi voi da soluția pe scurt (nu mă deranjez cu adevărat să explic), încercați să vă dați seama singur toate „subtilitățile” soluției.

Acum consolidarea finală a materialului acoperit. Încercați să rezolvați singur următoarele probleme. Voi oferi doar scurte recomandări și sfaturi pentru a le rezolva:

1. Să scoatem factorul comun din paranteze:
2. Reprezentăm prima expresie sub forma: , împărțim ambele părți la și obținem asta
3. , apoi ecuația originală este convertită în forma: Ei bine, acum un indiciu - căutați unde am rezolvat deja această ecuație!
4. Imaginați-vă cum, cum, ah, bine, apoi împărțiți ambele părți la, astfel încât să obțineți cea mai simplă ecuație exponențială.
5. Scoate-l din paranteze.
6. Scoate-l din paranteze.

ECUATII EXPOZIONALE. NIVEL MIJLOCIU

Presupun că după ce am citit primul articol, care spunea ce sunt ecuațiile exponențiale și cum să le rezolvi, ai stăpânit minimul necesar de cunoștințe necesare pentru a rezolva cele mai simple exemple.

Acum voi analiza o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale, aceasta este

„metoda de introducere a unei noi variabile” (sau substituție). Rezolvă majoritatea problemelor „dificile”, pe tema ecuațiilor exponențiale (și nu numai a ecuațiilor). Această metodă este una dintre cele mai frecvent utilizate în practică. În primul rând, vă recomand să vă familiarizați cu subiectul.

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. exponențială să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva deja cu ușurință. Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este să faceți o „înlocuire inversă”: adică să reveniți de la înlocuit la înlocuit. Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

Exemplul 1:

Această ecuație este rezolvată printr-o „înlocuire simplă”, așa cum o numesc în mod disprețuitor matematicienii. Într-adevăr, înlocuirea aici este cea mai evidentă. Trebuie doar văzut că

Atunci ecuația inițială devine:

Dacă ne imaginăm în plus cum, atunci este destul de clar ce trebuie înlocuit: desigur, . Ce devine atunci ecuația originală? Și iată ce:

Îi poți găsi cu ușurință rădăcinile pe cont propriu:. Ce ar trebui să facem acum? Este timpul să revenim la variabila inițială. Ce am uitat să includ? Și anume: la înlocuirea unui anumit grad cu o variabilă nouă (adică la înlocuirea unui tip), voi fi interesat de doar rădăcini pozitive! Tu însuți poți răspunde cu ușurință de ce. Astfel, nu suntem interesați de tine, dar a doua rădăcină este destul de potrivită pentru noi:

Atunci unde.

Răspuns:

După cum puteți vedea, în exemplul anterior, înlocuitorul ne cerea mâinile. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Cu toate acestea, să nu trecem direct la trist, ci să exersăm pe încă un exemplu cu o înlocuire destul de simplă

Exemplul 2

Este clar că cel mai probabil va fi necesară înlocuirea (aceasta este cea mai mică dintre puterile incluse în ecuația noastră), totuși, înainte de a introduce o înlocuire, ecuația noastră trebuie să fie „pregătită” pentru aceasta, și anume: , . Apoi puteți înlocui, ca urmare voi obține următoarea expresie:

Oh groază: o ecuație cubică cu formule absolut groaznice pentru rezolvarea ei (ei bine, vorbind în termeni generali). Dar să nu disperăm imediat, ci să ne gândim la ce ar trebui să facem. Îți voi sugera să înșeli: știm că pentru a obține un răspuns „frumos”, trebuie să ajungem sub forma unei puteri de trei (de ce ar fi asta, nu?). Și să încercăm să ghicim cel puțin o rădăcină a ecuației noastre (voi începe să ghicesc din puterile lui trei).

Prima presupunere. Nu este o rădăcină. vai și ah...

.
Partea stângă este egală.
Partea dreapta:!
Există! Am ghicit prima rădăcină. Acum lucrurile vor deveni mai ușoare!

Știți despre schema de împărțire „colț”? Bineînțeles că știi, îl folosești când împărți un număr la altul. Dar puțini oameni știu că același lucru se poate face cu polinoamele. Există o teoremă minunată:

Aplicabil situației mele, îmi spune ce este divizibil fără rest prin. Cum se realizează împărțirea? Așa:

Mă uit la ce monom ar trebui să înmulțesc pentru a obține Clear, apoi:

Scăd expresia rezultată din, obțin:

Acum, ce trebuie să înmulțesc pentru a obține? Este clar că pe, atunci voi obține:

și din nou scădeți expresia rezultată din cea rămasă:

Ei bine, ultimul pas, înmulțesc cu și scad din expresia rămasă:

Ura, diviziunea s-a terminat! Ce am acumulat în privat? De la sine: .

Apoi am obținut următoarea extindere a polinomului original:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Are rădăcini:

Apoi ecuația inițială:

are trei rădăcini:

Desigur, aruncăm ultima rădăcină, deoarece este mai mică decât zero. Și primele două după înlocuirea inversă ne vor da două rădăcini:

Răspuns: ..

Prin acest exemplu, nu am vrut deloc să vă sperii, ci mai degrabă mi-am propus să arăt că, deși am avut o înlocuire destul de simplă, totuși, a condus la o ecuație destul de complexă, a cărei rezolvare ne-a necesitat niște abilități speciale. . Ei bine, nimeni nu este imun la asta. Dar schimbarea în acest caz a fost destul de evidentă.

Iată un exemplu cu o înlocuire puțin mai puțin evidentă:

Nu este deloc clar ce ar trebui să facem: problema este că în ecuația noastră există două baze diferite și o bază nu poate fi obținută din cealaltă ridicând-o la orice grad (rezonabil, firesc). Totuși, ce vedem? Ambele baze diferă doar prin semn, iar produsul lor este diferența de pătrate egală cu unu:

Definiție:

Astfel, numerele care sunt baze în exemplul nostru sunt conjugate.

În acest caz, mișcarea inteligentă ar fi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numărul conjugat.

De exemplu, pe, atunci partea stângă a ecuației va deveni egală, iar partea dreaptă. Dacă facem o înlocuire, atunci ecuația noastră originală cu tine va deveni astfel:

rădăcinile sale, atunci, dar amintindu-ne asta, obținem asta.

Răspuns: , .

De regulă, metoda înlocuirii este suficientă pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor exponențiale „școlare”. Următoarele sarcini sunt preluate de la examenul de stat unificat C1 (nivel de dificultate crescut). Sunteți deja suficient de alfabetizat pentru a rezolva singur aceste exemple. Voi oferi doar înlocuirea necesară.

1. Rezolvați ecuația:
2. Găsiți rădăcinile ecuației:
3. Rezolvați ecuația: . Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului:

Acum pentru câteva explicații și răspunsuri rapide:

1. Aici este suficient să observăm că și. Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu aceasta: Această ecuație se rezolvă prin înlocuirea Efectuați singuri următoarele calcule. În final, sarcina ta se va reduce la rezolvarea celei mai simple trigonometrice (în funcție de sinus sau cosinus). Vom discuta soluția unor astfel de exemple în alte secțiuni.
2. Aici puteți face chiar și fără înlocuire: este suficient să transferați subtraendul la dreapta și să reprezentați ambele baze prin puteri de doi: și apoi treceți imediat la ecuația pătratică.
3. A treia ecuație este de asemenea rezolvată într-un mod destul de standard: imaginați-vă cum. Apoi, înlocuind obținem o ecuație pătratică: atunci,

   Știți deja ce este un logaritm? Nu? Atunci citeste urgent subiectul!

   Prima rădăcină, evident, nu aparține segmentului, iar a doua este de neînțeles! Dar vom afla foarte curând! Deoarece, atunci (aceasta este o proprietate a logaritmului!) Să comparăm:

   Scădem din ambele părți, atunci obținem:

   Partea stângă poate fi reprezentată ca:

   înmulțiți ambele părți cu:

   poate fi înmulțit cu, atunci

   Atunci să comparăm:

   de atunci:

   Apoi a doua rădăcină aparține intervalului dorit

   Răspuns:

Cum vedeți, selectarea rădăcinilor ecuațiilor exponențiale necesită o cunoaștere destul de profundă a proprietăților logaritmilor, așa că vă sfătuiesc să fiți cât mai atenți când rezolvați ecuații exponențiale. După cum știți, în matematică totul este interconectat! După cum obișnuia să spună profesorul meu de matematică: „Nu poți citi matematică ca istoria peste noapte”.

De regulă, toate dificultatea în rezolvarea problemelor C1 este tocmai alegerea rădăcinilor ecuaţiei. Să exersăm cu un alt exemplu:

Este clar că ecuația în sine este rezolvată destul de simplu. După ce am făcut înlocuirea, reducem ecuația noastră inițială la următoarea:

Să ne uităm mai întâi la prima rădăcină. Compara si: de atunci. (proprietatea funcției logaritmice, la). Atunci este clar că nici prima rădăcină nu aparține intervalului nostru. Acum a doua rădăcină: . Este clar că (din moment ce funcția este în creștere). Rămâne de comparat și

de atunci, în acelaşi timp. Astfel, pot „conduce un cuier” între și. Acest cui este un număr. Prima expresie este mai mică decât și a doua este mai mare decât. Atunci a doua expresie este mai mare decât prima și rădăcina aparține intervalului.

Răspuns: .

În concluzie, să ne uităm la un alt exemplu de ecuație în care înlocuirea este mai degrabă nestandard:

Să începem imediat cu ce poți face și ce - în principiu, poți, dar e mai bine să nu faci asta. Este posibil - să reprezinte totul prin puterile lui trei, doi și șase. Unde duce? Da, și nu va duce la nimic: un amestec de grade, dintre care unele vor fi destul de greu de scăpat. Atunci de ce este nevoie? Să observăm că a Și ce ne va oferi? Și faptul că putem reduce soluția acestui exemplu la soluția unei ecuații exponențiale destul de simple! Mai întâi, să ne rescriem ecuația ca:

Acum împărțim ambele părți ale ecuației rezultate în:

Eureka! Acum putem înlocui, obținem:

Ei bine, acum e rândul tău să rezolvi problemele pentru demonstrație și le voi face doar scurte comentarii ca să nu te rătăci! Noroc!

1. Cel mai dificil! Să vezi un înlocuitor aici este oh, ce urât! Cu toate acestea, acest exemplu poate fi rezolvat complet folosind selectarea unui pătrat complet. Pentru a o rezolva, este suficient să rețineți că:

Deci, iată înlocuitorul tău:

(Rețineți că aici, odată cu înlocuirea noastră, nu putem elimina rădăcina negativă!!! Și de ce, ce credeți?)

Acum, pentru a rezolva exemplul, trebuie să rezolvați două ecuații:

Ambele sunt rezolvate prin „înlocuirea standard” (dar al doilea într-un exemplu!)

2. Observați asta și faceți o înlocuire.

3. Extindeți numărul în factori coprimi și simplificați expresia rezultată.

4. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la (sau dacă preferați) și faceți înlocuirea sau.

5. Rețineți că numerele și sunt conjugate.

ECUATII EXPOZIONALE. NIVEL AVANSAT

În plus, să ne uităm la un alt mod - rezolvarea ecuațiilor exponențiale prin metoda logaritmului. Nu pot spune că soluția ecuațiilor exponențiale prin această metodă este foarte populară, dar în unele cazuri doar aceasta ne poate conduce la soluția corectă a ecuației noastre. Mai ales adesea este folosit pentru a rezolva așa-numitul " ecuații mixte': adică cele unde există funcții de diferite tipuri.

De exemplu, o ecuație ca:

în cazul general, poate fi rezolvată doar luând logaritmul ambelor părți (de exemplu, după bază), în care ecuația inițială se transformă în următoarea:

Să luăm în considerare următorul exemplu:

Este clar că ne interesează doar ODZ-ul funcției logaritmice. Totuși, acest lucru rezultă nu numai din ODZ al logaritmului, ci și din alt motiv. Cred că nu vă va fi greu să ghiciți care dintre ele.

Să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației noastre la bază:

După cum puteți vedea, luarea logaritmului ecuației noastre originale ne-a condus rapid la răspunsul corect (și frumos!). Să exersăm cu un alt exemplu:

Nici aici nu trebuie să vă faceți griji: luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației în termeni de bază, apoi obținem:

Să facem un înlocuitor:

Totuși, am omis ceva! Ai observat unde am greșit? La urma urmei, atunci:

care nu satisface cerința (gândiți-vă de unde a venit!)

Răspuns:

Încercați să scrieți soluția ecuațiilor exponențiale de mai jos:

Acum verificați soluția cu aceasta:

1. Logaritmăm ambele părți la bază, având în vedere că:

(a doua rădăcină nu ne convine din cauza înlocuirii)

2. Logaritmul la bază:

Să transformăm expresia rezultată în următoarea formă:

ECUATII EXPOZIONALE. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULĂ DE BAZĂ

ecuație exponențială

Tip ecuație:

numit cea mai simplă ecuație exponențială.

Proprietăți de grad

Abordări ale soluției

• Reducere la aceeași bază
• Reducere la același exponent
• Substituție variabilă
• Simplificați expresia și aplicați una dintre cele de mai sus.

Primul nivel

ecuații exponențiale. Ghid cuprinzător (2019)

Hei! Astăzi vom discuta cu tine cum să rezolvi ecuațiile care pot fi atât elementare (și sper că, după ce ai citit acest articol, aproape toate vor fi așa pentru tine), cât și cele cărora li se acordă de obicei „rambleu”. Aparent, să adorm complet. Dar voi încerca să fac tot posibilul pentru ca acum să nu ai probleme când te confrunți cu acest tip de ecuație. Nu voi mai bate în jurul tufișului, dar voi dezvălui imediat un mic secret: astăzi vom studia ecuații exponențiale.

Înainte de a trece la o analiză a modalităților de rezolvare a acestora, vă voi contura imediat un cerc de întrebări (destul de mic) pe care ar trebui să le repetați înainte de a vă grăbi să asalteze acest subiect. Deci, pentru cele mai bune rezultate, vă rog repeta:

1. proprietăţi şi
2. Soluție și ecuații

Repetat? Uimitor! Atunci nu vă va fi greu să observați că rădăcina ecuației este un număr. Ești sigur că înțelegi cum am făcut-o? Adevăr? Apoi continuăm. Acum răspunde-mi la întrebarea, ce este egal cu a treia putere? Ai dreptate: . Opt este ce putere a doi? Așa este - al treilea! Pentru că. Ei bine, acum să încercăm să rezolvăm următoarea problemă: Lasă-mă să înmulțesc numărul cu el însuși o dată și să obțin rezultatul. Întrebarea este de câte ori m-am înmulțit singur? Desigur, puteți verifica acest lucru direct:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinia)

Atunci poți trage concluzia că am înmulțit ori singur. Cum altfel poate fi verificat acest lucru? Și iată cum: direct după definiția gradului: . Dar, trebuie să recunoașteți, dacă aș întreba de câte ori doi trebuie înmulțiți singuri pentru a obține, să zicem, mi-ați spune: nu mă voi păcăli și mă voi înmulți singur până nu voi fi albastru la față. Și ar avea perfectă dreptate. Pentru că cum poți notează pe scurt toate acțiunile(și concizia este sora talentului)

unde - acesta este chiar "ori" când te înmulți singuri.

Cred că știți (și dacă nu știți, urgent, foarte urgent repetați diplomele!) că atunci problema mea se va scrie sub forma:

Cum puteți concluziona în mod rezonabil că:

Așa că, în liniște, am notat cel mai simplu ecuație exponențială:

Și chiar l-a găsit rădăcină. Nu crezi că totul este destul de banal? Exact asta cred si eu. Iată un alt exemplu pentru tine:

Dar ce să faci? La urma urmei, nu poate fi scris ca un grad al unui număr (rezonabil). Să nu disperăm și să observăm că ambele numere sunt perfect exprimate în termeni de putere a aceluiași număr. Ce? Dreapta: . Apoi ecuația inițială este transformată în forma:

De unde, așa cum ați înțeles deja, . Să nu mai tragem și să scriem definiție:

În cazul nostru cu dumneavoastră: .

Aceste ecuații se rezolvă prin reducerea lor la forma:

cu rezolvarea ulterioară a ecuației

Noi, de fapt, am făcut asta în exemplul anterior: am primit asta. Și am rezolvat cea mai simplă ecuație cu tine.

Pare să nu fie nimic complicat, nu? Să exersăm mai întâi pe cel mai simplu. exemple:

Vedem din nou că părțile din dreapta și din stânga ecuației trebuie reprezentate ca o putere a unui număr. Adevărat, acest lucru s-a făcut deja în stânga, dar în dreapta există un număr. Dar, la urma urmei, este în regulă, iar ecuația mea se transformă în mod miraculos în asta:

Ce a trebuit să fac aici? Ce regula? Regulă putere la putere care scrie:

Ce-ar fi dacă:

Înainte de a răspunde la această întrebare, să completăm următorul tabel cu tine:

Ne este ușor să observăm că cu cât este mai mică, cu atât valoarea este mai mică, dar, cu toate acestea, toate aceste valori sunt mai mari decât zero. SI VA FI Intotdeauna ASA!!! Aceeași proprietate este valabilă PENTRU ORICE BAZĂ CU ORICE INDEX!! (pentru orice și). Atunci ce putem concluziona despre ecuație? Și iată unul: acesta nu are rădăcini! La fel ca orice ecuație nu are rădăcini. Acum să exersăm și Să rezolvăm câteva exemple simple:

Sa verificam:

1. Aici nu ți se cere nimic, decât să cunoști proprietățile puterilor (pe care, de altfel, ți-am cerut să le repeți!) De regulă, totul duce la cea mai mică bază: , . Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu următoarea: Tot ce am nevoie este să folosesc proprietățile puterilor: la înmulțirea numerelor cu aceeași bază, se adună exponenții, iar la împărțire se scad. Apoi voi obține: Ei bine, acum cu conștiința curată voi trece de la ecuația exponențială la cea liniară: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. În cel de-al doilea exemplu, trebuie să fii mai atent: problema este că nici în partea stângă nu putem reprezenta același număr ca o putere. În acest caz, uneori este util reprezintă numere ca produs de puteri cu baze diferite, dar aceiași exponenți:

Partea stângă a ecuației va lua forma: Ce ne-a dat asta? Și iată ce: Se pot înmulți numere cu baze diferite, dar cu același exponent.În acest caz, bazele sunt înmulțite, dar exponentul nu se modifică:

Aplicat situației mele, aceasta va da:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Nu-i rău, nu?

3. Nu-mi place când am doi termeni pe o parte a ecuației și niciunul pe cealaltă (uneori, desigur, acest lucru este justificat, dar nu este cazul acum). Mutați termenul minus la dreapta:

Acum, ca și înainte, voi scrie totul prin puterile triplei:

Adun puterile din stânga și obțin o ecuație echivalentă

Îi puteți găsi cu ușurință rădăcina:

4. Ca și în exemplul trei, termenul cu minus - un loc în partea dreaptă!

În stânga, aproape totul este în regulă cu mine, în afară de ce? Da, „gradul greșit” al zeului mă deranjează. Dar pot rezolva cu ușurință acest lucru scriind: . Eureka - în stânga, toate bazele sunt diferite, dar toate gradele sunt la fel! Ne inmultim repede!

Din nou, totul este clar: (dacă nu ați înțeles cum am obținut în mod magic ultima egalitate, luați o pauză de un minut, luați o pauză și citiți din nou proprietățile gradului cu mare atenție. Cine a spus că puteți sări peste grad cu exponent negativ? Ei bine, aici sunt cam la fel ca nimeni). Acum voi primi:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Iată sarcinile pe care să le exersați, la care voi da doar răspunsurile (dar într-o formă „mixtă”). Rezolvă-le, verifică și ne vom continua cercetările!

Gata? Răspunsuri ca acestea:

1. orice număr

Bine, bine, glumeam! Iată schița soluțiilor (unele sunt destul de scurte!)

Nu crezi că nu este o coincidență că o fracțiune din stânga este o alta „inversată”? Ar fi un păcat să nu folosești asta:

Această regulă este foarte des folosită la rezolvarea ecuațiilor exponențiale, rețineți-o bine!

Atunci ecuația inițială devine:

Rezolvând această ecuație pătratică, veți obține următoarele rădăcini:

2. O altă soluție: împărțirea ambelor părți ale ecuației la expresia din stânga (sau dreapta). Voi împărți la ceea ce este în dreapta, apoi voi obține:

Unde (de ce?!)

3. Nici nu vreau să mă repet, totul a fost deja „mestecat” atât de mult.

4. echivalent cu o ecuație pătratică, rădăcinile

5. Trebuie să utilizați formula dată în prima sarcină, apoi veți obține:

Ecuația s-a transformat într-o identitate banală, ceea ce este adevărat pentru orice. Atunci răspunsul este orice număr real.

Ei bine, aici sunteți și exersați să decideți cele mai simple ecuații exponențiale. Acum vreau să vă dau câteva exemple de viață care vă vor ajuta să înțelegeți de ce sunt necesare în principiu. Aici voi da două exemple. Unul dintre ele este destul de cotidian, dar celălalt are un interes mai mult științific decât practic.

Exemplul 1 (comercial) Lasă-ți ruble, dar vrei să le transformi în ruble. Banca vă oferă să luați acești bani de la dvs. la o dobândă anuală cu o capitalizare lunară a dobânzii (cumulare lunară). Întrebarea este, pentru câte luni trebuie să deschideți un depozit pentru a încasa suma finală dorită? O sarcină destul de banală, nu-i așa? Cu toate acestea, soluția sa este legată de construcția ecuației exponențiale corespunzătoare: Fie - suma inițială, - suma finală, - rata dobânzii pentru perioada, - numărul de perioade. Apoi:

În cazul nostru (dacă rata este pe an, atunci se calculează pe lună). De ce este împărțit în? Dacă nu știți răspunsul la această întrebare, amintiți-vă de subiectul „”! Apoi obținem următoarea ecuație:

Această ecuație exponențială poate fi deja rezolvată doar cu un calculator (aspectul ei sugerează acest lucru, iar acest lucru necesită cunoașterea logaritmilor, cu care ne vom familiariza puțin mai târziu), ceea ce voi face: ... Astfel, pentru a primim un milion, trebuie să facem o contribuție pentru o lună (nu foarte repede, nu?).

Exemplul 2 (mai degrabă științific). In ciuda lui, o oarecare „izolare”, iti recomand sa-i acorzi atentie: in mod regulat „se strecoara la examen!! (sarcina este preluată din versiunea „reală”) În timpul dezintegrarii unui izotop radioactiv, masa acestuia scade conform legii, unde (mg) este masa inițială a izotopului, (min.) este timpul scurs de la momentul inițial, (min.) este timpul de înjumătățire. În momentul inițial de timp, masa izotopului este mg. Timpul său de înjumătățire este de min. În câte minute va fi masa izotopului egală cu mg? E în regulă: luăm și înlocuim toate datele din formula propusă:

Să împărțim ambele părți la, „în speranța” că în stânga obținem ceva digerabil:

Ei bine, suntem foarte norocoși! Stă în stânga, apoi să trecem la ecuația echivalentă:

Unde min.

După cum puteți vedea, ecuațiile exponențiale au o aplicație foarte reală în practică. Acum vreau să discut cu tine un alt mod (simplu) de a rezolva ecuațiile exponențiale, care se bazează pe scoaterea factorului comun din paranteze și apoi gruparea termenilor. Nu vă fie teamă de cuvintele mele, această metodă ați întâlnit-o deja în clasa a VII-a când ați studiat polinoamele. De exemplu, dacă trebuie să factorizați expresia:

Să grupăm: primul și al treilea termen, precum și al doilea și al patrulea. Este clar că primul și al treilea sunt diferența dintre pătrate:

iar al doilea și al patrulea au un factor comun de trei:

Atunci expresia originală este echivalentă cu aceasta:

Unde să eliminați factorul comun nu mai este dificil:

Prin urmare,

Cam așa vom acționa atunci când rezolvăm ecuații exponențiale: căutați „comunalitate” între termeni și scoateți-o din paranteze, apoi - orice ar fi, cred că vom avea noroc =)) De exemplu:

În dreapta este departe de puterea lui șapte (am verificat!) Și în stânga - puțin mai bine, puteți, desigur, să „tai” factorul a din primul termen și din al doilea, apoi să te ocupi de cea rezultată, dar să facem mai prudent cu tine. Nu vreau să mă ocup de fracțiile care sunt produse inevitabil de „selecție”, așa că nu ar trebui să suport mai bine? Atunci nu voi avea fracții: după cum se spune, atât lupii sunt plini, cât și oile sunt în siguranță:

Numărați expresia dintre paranteze. Magic, magic, se dovedește că (în mod surprinzător, deși la ce să ne mai așteptăm?).

Apoi reducem ambele părți ale ecuației cu acest factor. Obținem: unde.

Iată un exemplu mai complicat (destul de puțin, într-adevăr):

Iată necazul! Nu avem un punct comun aici! Nu este complet clar ce să faci acum. Și să facem ce putem: în primul rând, vom muta „patru” într-o direcție, iar „cinci” în cealaltă:

Acum să scoatem „comunul” din stânga și din dreapta:

Deci ce acum? Care este beneficiul unei astfel de grupări stupide? La prima vedere, nu este deloc vizibil, dar haideți să privim mai profund:

Ei bine, acum să facem astfel încât în ​​stânga să avem doar expresia c, iar în dreapta - orice altceva. Cum putem face acest lucru? Și iată cum: Împărțim mai întâi ambele părți ale ecuației cu (deci scăpăm de exponentul din dreapta), apoi împărțim ambele părți cu (deci scăpăm de factorul numeric din stânga). În sfârșit obținem:

Incredibil! În stânga avem o expresie, iar în dreapta - doar. Atunci tragem imediat concluzia că

Iată un alt exemplu de consolidat:

Îi voi da soluția pe scurt (nu mă deranjez cu adevărat să explic), încercați să vă dați seama singur toate „subtilitățile” soluției.

Acum consolidarea finală a materialului acoperit. Încercați să rezolvați singur următoarele probleme. Voi oferi doar scurte recomandări și sfaturi pentru a le rezolva:

1. Să scoatem factorul comun din paranteze:
2. Reprezentăm prima expresie sub forma: , împărțim ambele părți la și obținem asta
3. , apoi ecuația originală este convertită în forma: Ei bine, acum un indiciu - căutați unde am rezolvat deja această ecuație!
4. Imaginați-vă cum, cum, ah, bine, apoi împărțiți ambele părți la, astfel încât să obțineți cea mai simplă ecuație exponențială.
5. Scoate-l din paranteze.
6. Scoate-l din paranteze.

ECUATII EXPOZIONALE. NIVEL MIJLOCIU

Presupun că după ce am citit primul articol, care spunea ce sunt ecuațiile exponențiale și cum să le rezolvi, ai stăpânit minimul necesar de cunoștințe necesare pentru a rezolva cele mai simple exemple.

Acum voi analiza o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale, aceasta este

„metoda de introducere a unei noi variabile” (sau substituție). Rezolvă majoritatea problemelor „dificile”, pe tema ecuațiilor exponențiale (și nu numai a ecuațiilor). Această metodă este una dintre cele mai frecvent utilizate în practică. În primul rând, vă recomand să vă familiarizați cu subiectul.

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. exponențială să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva deja cu ușurință. Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este să faceți o „înlocuire inversă”: adică să reveniți de la înlocuit la înlocuit. Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

Exemplul 1:

Această ecuație este rezolvată printr-o „înlocuire simplă”, așa cum o numesc în mod disprețuitor matematicienii. Într-adevăr, înlocuirea aici este cea mai evidentă. Trebuie doar văzut că

Atunci ecuația inițială devine:

Dacă ne imaginăm în plus cum, atunci este destul de clar ce trebuie înlocuit: desigur, . Ce devine atunci ecuația originală? Și iată ce:

Îi poți găsi cu ușurință rădăcinile pe cont propriu:. Ce ar trebui să facem acum? Este timpul să revenim la variabila inițială. Ce am uitat să includ? Și anume: la înlocuirea unui anumit grad cu o variabilă nouă (adică la înlocuirea unui tip), voi fi interesat de doar rădăcini pozitive! Tu însuți poți răspunde cu ușurință de ce. Astfel, nu suntem interesați de tine, dar a doua rădăcină este destul de potrivită pentru noi:

Atunci unde.

Răspuns:

După cum puteți vedea, în exemplul anterior, înlocuitorul ne cerea mâinile. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Cu toate acestea, să nu trecem direct la trist, ci să exersăm pe încă un exemplu cu o înlocuire destul de simplă

Exemplul 2

Este clar că cel mai probabil va fi necesară înlocuirea (aceasta este cea mai mică dintre puterile incluse în ecuația noastră), totuși, înainte de a introduce o înlocuire, ecuația noastră trebuie să fie „pregătită” pentru aceasta, și anume: , . Apoi puteți înlocui, ca urmare voi obține următoarea expresie:

Oh groază: o ecuație cubică cu formule absolut groaznice pentru rezolvarea ei (ei bine, vorbind în termeni generali). Dar să nu disperăm imediat, ci să ne gândim la ce ar trebui să facem. Îți voi sugera să înșeli: știm că pentru a obține un răspuns „frumos”, trebuie să ajungem sub forma unei puteri de trei (de ce ar fi asta, nu?). Și să încercăm să ghicim cel puțin o rădăcină a ecuației noastre (voi începe să ghicesc din puterile lui trei).

Prima presupunere. Nu este o rădăcină. vai și ah...

.
Partea stângă este egală.
Partea dreapta:!
Există! Am ghicit prima rădăcină. Acum lucrurile vor deveni mai ușoare!

Știți despre schema de împărțire „colț”? Bineînțeles că știi, îl folosești când împărți un număr la altul. Dar puțini oameni știu că același lucru se poate face cu polinoamele. Există o teoremă minunată:

Aplicabil situației mele, îmi spune ce este divizibil fără rest prin. Cum se realizează împărțirea? Așa:

Mă uit la ce monom ar trebui să înmulțesc pentru a obține Clear, apoi:

Scăd expresia rezultată din, obțin:

Acum, ce trebuie să înmulțesc pentru a obține? Este clar că pe, atunci voi obține:

și din nou scădeți expresia rezultată din cea rămasă:

Ei bine, ultimul pas, înmulțesc cu și scad din expresia rămasă:

Ura, diviziunea s-a terminat! Ce am acumulat în privat? De la sine: .

Apoi am obținut următoarea extindere a polinomului original:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Are rădăcini:

Apoi ecuația inițială:

are trei rădăcini:

Desigur, aruncăm ultima rădăcină, deoarece este mai mică decât zero. Și primele două după înlocuirea inversă ne vor da două rădăcini:

Răspuns: ..

Prin acest exemplu, nu am vrut deloc să vă sperii, ci mai degrabă mi-am propus să arăt că, deși am avut o înlocuire destul de simplă, totuși, a condus la o ecuație destul de complexă, a cărei rezolvare ne-a necesitat niște abilități speciale. . Ei bine, nimeni nu este imun la asta. Dar schimbarea în acest caz a fost destul de evidentă.

Iată un exemplu cu o înlocuire puțin mai puțin evidentă:

Nu este deloc clar ce ar trebui să facem: problema este că în ecuația noastră există două baze diferite și o bază nu poate fi obținută din cealaltă ridicând-o la orice grad (rezonabil, firesc). Totuși, ce vedem? Ambele baze diferă doar prin semn, iar produsul lor este diferența de pătrate egală cu unu:

Definiție:

Astfel, numerele care sunt baze în exemplul nostru sunt conjugate.

În acest caz, mișcarea inteligentă ar fi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numărul conjugat.

De exemplu, pe, atunci partea stângă a ecuației va deveni egală, iar partea dreaptă. Dacă facem o înlocuire, atunci ecuația noastră originală cu tine va deveni astfel:

rădăcinile sale, atunci, dar amintindu-ne asta, obținem asta.

Răspuns: , .

De regulă, metoda înlocuirii este suficientă pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor exponențiale „școlare”. Următoarele sarcini sunt preluate de la examenul de stat unificat C1 (nivel de dificultate crescut). Sunteți deja suficient de alfabetizat pentru a rezolva singur aceste exemple. Voi oferi doar înlocuirea necesară.

1. Rezolvați ecuația:
2. Găsiți rădăcinile ecuației:
3. Rezolvați ecuația: . Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului:

Acum pentru câteva explicații și răspunsuri rapide:

1. Aici este suficient să observăm că și. Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu aceasta: Această ecuație se rezolvă prin înlocuirea Efectuați singuri următoarele calcule. În final, sarcina ta se va reduce la rezolvarea celei mai simple trigonometrice (în funcție de sinus sau cosinus). Vom discuta soluția unor astfel de exemple în alte secțiuni.
2. Aici puteți face chiar și fără înlocuire: este suficient să transferați subtraendul la dreapta și să reprezentați ambele baze prin puteri de doi: și apoi treceți imediat la ecuația pătratică.
3. A treia ecuație este de asemenea rezolvată într-un mod destul de standard: imaginați-vă cum. Apoi, înlocuind obținem o ecuație pătratică: atunci,

   Știți deja ce este un logaritm? Nu? Atunci citeste urgent subiectul!

   Prima rădăcină, evident, nu aparține segmentului, iar a doua este de neînțeles! Dar vom afla foarte curând! Deoarece, atunci (aceasta este o proprietate a logaritmului!) Să comparăm:

   Scădem din ambele părți, atunci obținem:

   Partea stângă poate fi reprezentată ca:

   înmulțiți ambele părți cu:

   poate fi înmulțit cu, atunci

   Atunci să comparăm:

   de atunci:

   Apoi a doua rădăcină aparține intervalului dorit

   Răspuns:

Cum vedeți, selectarea rădăcinilor ecuațiilor exponențiale necesită o cunoaștere destul de profundă a proprietăților logaritmilor, așa că vă sfătuiesc să fiți cât mai atenți când rezolvați ecuații exponențiale. După cum știți, în matematică totul este interconectat! După cum obișnuia să spună profesorul meu de matematică: „Nu poți citi matematică ca istoria peste noapte”.

De regulă, toate dificultatea în rezolvarea problemelor C1 este tocmai alegerea rădăcinilor ecuaţiei. Să exersăm cu un alt exemplu:

Este clar că ecuația în sine este rezolvată destul de simplu. După ce am făcut înlocuirea, reducem ecuația noastră inițială la următoarea:

Să ne uităm mai întâi la prima rădăcină. Compara si: de atunci. (proprietatea funcției logaritmice, la). Atunci este clar că nici prima rădăcină nu aparține intervalului nostru. Acum a doua rădăcină: . Este clar că (din moment ce funcția este în creștere). Rămâne de comparat și

de atunci, în acelaşi timp. Astfel, pot „conduce un cuier” între și. Acest cui este un număr. Prima expresie este mai mică decât și a doua este mai mare decât. Atunci a doua expresie este mai mare decât prima și rădăcina aparține intervalului.

Răspuns: .

În concluzie, să ne uităm la un alt exemplu de ecuație în care înlocuirea este mai degrabă nestandard:

Să începem imediat cu ce poți face și ce - în principiu, poți, dar e mai bine să nu faci asta. Este posibil - să reprezinte totul prin puterile lui trei, doi și șase. Unde duce? Da, și nu va duce la nimic: un amestec de grade, dintre care unele vor fi destul de greu de scăpat. Atunci de ce este nevoie? Să observăm că a Și ce ne va oferi? Și faptul că putem reduce soluția acestui exemplu la soluția unei ecuații exponențiale destul de simple! Mai întâi, să ne rescriem ecuația ca:

Acum împărțim ambele părți ale ecuației rezultate în:

Eureka! Acum putem înlocui, obținem:

Ei bine, acum e rândul tău să rezolvi problemele pentru demonstrație și le voi face doar scurte comentarii ca să nu te rătăci! Noroc!

1. Cel mai dificil! Să vezi un înlocuitor aici este oh, ce urât! Cu toate acestea, acest exemplu poate fi rezolvat complet folosind selectarea unui pătrat complet. Pentru a o rezolva, este suficient să rețineți că:

Deci, iată înlocuitorul tău:

(Rețineți că aici, odată cu înlocuirea noastră, nu putem elimina rădăcina negativă!!! Și de ce, ce credeți?)

Acum, pentru a rezolva exemplul, trebuie să rezolvați două ecuații:

Ambele sunt rezolvate prin „înlocuirea standard” (dar al doilea într-un exemplu!)

2. Observați asta și faceți o înlocuire.

3. Extindeți numărul în factori coprimi și simplificați expresia rezultată.

4. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la (sau dacă preferați) și faceți înlocuirea sau.

5. Rețineți că numerele și sunt conjugate.

ECUATII EXPOZIONALE. NIVEL AVANSAT

În plus, să ne uităm la un alt mod - rezolvarea ecuațiilor exponențiale prin metoda logaritmului. Nu pot spune că soluția ecuațiilor exponențiale prin această metodă este foarte populară, dar în unele cazuri doar aceasta ne poate conduce la soluția corectă a ecuației noastre. Mai ales adesea este folosit pentru a rezolva așa-numitul " ecuații mixte': adică cele unde există funcții de diferite tipuri.

De exemplu, o ecuație ca:

în cazul general, poate fi rezolvată doar luând logaritmul ambelor părți (de exemplu, după bază), în care ecuația inițială se transformă în următoarea:

Să luăm în considerare următorul exemplu:

Este clar că ne interesează doar ODZ-ul funcției logaritmice. Totuși, acest lucru rezultă nu numai din ODZ al logaritmului, ci și din alt motiv. Cred că nu vă va fi greu să ghiciți care dintre ele.

Să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației noastre la bază:

După cum puteți vedea, luarea logaritmului ecuației noastre originale ne-a condus rapid la răspunsul corect (și frumos!). Să exersăm cu un alt exemplu:

Nici aici nu trebuie să vă faceți griji: luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației în termeni de bază, apoi obținem:

Să facem un înlocuitor:

Totuși, am omis ceva! Ai observat unde am greșit? La urma urmei, atunci:

care nu satisface cerința (gândiți-vă de unde a venit!)

Răspuns:

Încercați să scrieți soluția ecuațiilor exponențiale de mai jos:

Acum verificați soluția cu aceasta:

1. Logaritmăm ambele părți la bază, având în vedere că:

(a doua rădăcină nu ne convine din cauza înlocuirii)

2. Logaritmul la bază:

Să transformăm expresia rezultată în următoarea formă:

ECUATII EXPOZIONALE. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULĂ DE BAZĂ

ecuație exponențială

Tip ecuație:

numit cea mai simplă ecuație exponențială.

Proprietăți de grad

Abordări ale soluției

• Reducere la aceeași bază
• Reducere la același exponent
• Substituție variabilă
• Simplificați expresia și aplicați una dintre cele de mai sus.

Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu o definiție și exemple simple.

Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătrate: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Pentru a putea rezolva astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „atârna” subiectul care va fi discutat acum.

Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Unele dintre ele ți se pot părea mai complicate, unele dintre ele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate sunt unite printr-o caracteristică importantă: conțin o funcție exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, introducem definitia:

O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. o expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă funcția specificată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.

Bine atunci. A înțeles definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex în același timp.

Să începem cu vestea bună: din experiența mea cu mulți studenți, pot spune că pentru cei mai mulți dintre ei, ecuațiile exponențiale sunt mult mai ușoare decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometria.

Dar există și vești proaste: uneori, compilatorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt vizitați de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât devine problematic nu numai pentru studenți să le rezolve - chiar și mulți profesori rămân blocați în astfel de probleme.

Cu toate acestea, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.

Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie ridicat numărul 2 pentru a obține numărul 4? Poate al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve. :)

Să ne uităm la următoarea ecuație:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Dar aici este puțin mai dificil. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția exponenților negativi (similar cu formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

În cele din urmă, doar câțiva bănuiesc că aceste fapte pot fi combinate și rezultatul este următorul rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Și acum acest lucru este deja complet rezolvat! În partea stângă a ecuației există o funcție exponențială, în partea dreaptă a ecuației este o funcție exponențială, nu există nimic altceva decât ei în altă parte. Prin urmare, este posibil să „renunți” bazele și să echivalezi prostesc indicatorii:

Avem cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dacă nu ați înțeles ce se întâmplă în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ecuații liniare” și repetați-l. Pentru că, fără o asimilare clară a acestui subiect, este prea devreme să vă asumați ecuații exponențiale.

\[((9)^(x))=-3\]

Ei bine, cum te decizi? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă astfel:

\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]

Apoi ne amintim că atunci când creșteți un grad la o putere, indicatorii sunt înmulțiți:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Iar pentru o astfel de decizie, primim un duu sincer meritat. Căci noi, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei la puterea tocmai acestor trei. Și nu poți face asta. Si de aceea. Aruncă o privire la diferitele puteri ale triplei:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Compilând această tabletă, nu am pervertit imediat ce am făcut-o: am luat în considerare grade pozitive și negative și chiar fracționale ... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? El nu este! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna numai valori pozitive (indiferent cât de mult ați înmulți unul sau împărțiți cu doi, va fi totuși un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții, numărul $a$, este prin definiție un număr pozitiv!

Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Nu, nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu cele pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuațiile pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminantul este pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), atunci în ecuațiile exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.

Astfel, formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b>0$. Cunoscând acest simplu fapt, poți determina cu ușurință dacă ecuația care ți se propune are rădăcini sau nu. Acestea. merită să o rezolvi deloc sau notează imediat că nu există rădăcini.

Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori atunci când trebuie să rezolvăm probleme mai complexe. Între timp, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Deci, să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:

În plus, dacă există o expresie în locul variabilei $x$, vom obține o nouă ecuație care poate fi deja rezolvată. De exemplu:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Dar ceilalți 10% atunci? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

La ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? In primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. In secunda? Nici: $((2)^(2))=4$ nu este prea mult. Ce atunci?

Studenții cunoscători probabil au ghicit deja: în astfel de cazuri, când este imposibil să rezolvi „frumos”, „artileria grea” este conectată la caz - logaritmi. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr pozitiv (cu excepția unuia):

Îți amintești această formulă? Când le spun elevilor mei despre logaritmi, vă avertizez mereu: această formulă (este și identitatea logaritmică de bază sau, dacă doriți, definiția logaritmului) vă va bântui foarte mult timp și vă va „apari” cel mai mult. locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza funcției exponențiale la care dorim să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, cu un astfel de răspuns, mulți s-ar îndoi și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă ar fi o greșeală undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație destul de tipică. Așa că obișnuiește-te. :)

Acum rezolvăm prin analogie celelalte două ecuații:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Asta e tot! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:

Noi am fost cei care am introdus multiplicatorul în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:

În plus, toate cele trei opțiuni sunt corecte - sunt doar forme diferite de a scrie același număr. Pe care să-l alegi și să-l notezi în această decizie depinde de tine.

Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este că astfel de sarcini simple te vor întâlni foarte, foarte rar. Mai des vei întâlni ceva de genul acesta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Ei bine, cum te decizi? Se poate rezolva deloc acest lucru? Și dacă da, cum?

Fara panica. Toate aceste ecuații sunt rapid și simplu reduse la acele formule simple pe care le-am luat deja în considerare. Trebuie doar să știi să-ți amintești câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome aici. Voi vorbi despre toate acestea acum. :)

Transformarea ecuațiilor exponențiale

Primul lucru de reținut este că orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - tocmai acelea pe care le-am luat deja în considerare și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:

1. Notați ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fă niște prostii. Sau chiar niște prostii numite „transform the ecuation”;
3. La ieșire, obțineți cele mai simple expresii precum $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.

Cu primul punct, totul este clar - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o frunză. Și cu al treilea punct, se pare, este mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.

Dar ce zici de al doilea punct? Care sunt transformările? Ce să convertești în ce? Si cum?

Ei bine, hai să ne dăm seama. În primul rând, aș dori să subliniez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:

1. Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în soluția lor vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum selecția expresiilor stabile.

Evidențierea unei expresii stabile

Să ne uităm din nou la această ecuație:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Mai simplu spus, adăugarea exponenților poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea este ușor convertită în diviziune. Să încercăm să aplicăm aceste formule la puterile din ecuația noastră:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac((((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi colectăm toți termenii din stânga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -unsprezece; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ — să-l scoatem din paranteză:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Asta e tot! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă și am obținut răspunsul final.

În același timp, în procesul de rezolvare, am descoperit (și chiar am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este expresia stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu acuratețe și obține un răspuns. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:

Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.

Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială admite o expresie atât de stabilă.

Dar există și vești proaste: astfel de expresii pot fi foarte complicate și poate fi destul de dificil să le distingem. Deci, să ne uităm la o altă problemă:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Iată diferite baze - 5 și 0.2. Dar să încercăm să convertim o putere cu baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracția zecimală, aducând-o la obișnuit:

\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Și acum ne amintim una dintre cele mai importante reguli pentru lucrul cu grade:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aici, bineînțeles, am înșelat puțin. Deoarece pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi a trebuit să fie scrisă după cum urmează:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm cu o singură fracție:

\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Dar, în acest caz, trebuie să poți ridica un grad la un alt grad (vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați). Dar nu a trebuit să „întorc” fracțiile - poate pentru cineva va fi mai ușor. :)

În orice caz, ecuația exponențială inițială va fi rescrisă ca:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Deci, se dovedește că ecuația inițială este chiar mai ușor de rezolvat decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să evidențiați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=((5)^(0))$, de unde obținem:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Asta e toata solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să notez un truc care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:

În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de fracțiile zecimale, traduceți-le în cele obișnuite. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze ale gradelor și să simplificați foarte mult soluția.

Acum să trecem la ecuații mai complexe în care există baze diferite, care în general nu sunt reductibile între ele folosind puteri.

Folosind proprietatea exponentului

Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Principala dificultate aici este că nu este clar ce și pe ce bază să conducă. Unde sunt expresiile fixe? Unde sunt temeiurile comune? Nu există nimic din toate acestea.

Dar să încercăm să mergem în altă direcție. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor disponibile.

Să începem cu prima ecuație:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Dar, la urma urmei, puteți face opusul - alcătuiți numărul 21 din numerele 7 și 3. Este deosebit de ușor să faceți acest lucru în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Asta e tot! Ai scos exponentul din produs și ai obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.

Acum să ne ocupăm de a doua ecuație. Aici totul este mult mai complicat:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. Acest lucru va duce adesea la motive interesante cu care puteți lucra deja.

Din păcate, nu am venit cu nimic. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:

Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din exponent, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Deci, să rescriem ecuația inițială:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

În a doua linie, doar am încadrat totalul din produs conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, iar în acesta din urmă au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.

Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, evident: sunt puteri de același număr! Noi avem:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]

Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \dreapta))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

În același timp, în dreapta, puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient doar să „întoarceți” fracția:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

În cele din urmă, ecuația noastră va lua forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Asta e toata solutia. Ideea sa principală se rezumă la faptul că, chiar și din motive diferite, încercăm prin cârlig sau prin escroc să reducem aceste motive la același. În aceasta suntem ajutați de transformări elementare ale ecuațiilor și regulile de lucru cu puteri.

Dar ce reguli și când să folosiți? Cum să înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta - să descompuneți baza funcției exponențiale în factori?

Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mai întâi ecuații simple, apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din aceeași UTILIZARE sau orice muncă independentă / de testare.

Și pentru a vă ajuta în această sarcină dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații pe site-ul meu pentru o soluție independentă. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți verifica întotdeauna.

În etapa de pregătire pentru proba finală, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească cu atenție teoria, să memoreze formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de sarcini, absolvenții vor putea conta pe scoruri mari la promovarea examenului la matematică.

Pregătește-te pentru examenul împreună cu Shkolkovo!

La repetarea materialelor parcurse, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare rezolvării ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selecția informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm o metodă complet nouă de pregătire pentru testul final. Studiind pe site-ul nostru, vei putea identifica lacunele în cunoștințe și vei fi atent tocmai acelor sarcini care provoacă cele mai mari dificultăți.

Profesorii de la „Șkolkovo” au colectat, sistematizat și prezentat tot materialul necesar pentru promovarea cu succes a examenului în cea mai simplă și accesibilă formă.

Principalele definiții și formule sunt prezentate în secțiunea „Referință teoretică”.

Pentru o mai bună asimilare a materialului, vă recomandăm să exersați temele. Revizuiți cu atenție exemplele de ecuații exponențiale cu soluții prezentate pe această pagină pentru a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați cu sarcinile din secțiunea „Cataloguri”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți merge direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care ți-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. Așa că le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul.

Pentru a trece cu succes examenul, studiați pe portalul Shkolkovo în fiecare zi!