În acest articol, vom analiza cuprinzător una dintre principalele forme geometrice - unghiul. Să începem cu concepte și definiții auxiliare care ne vor conduce la definirea unghiului. După aceea, oferim metodele acceptate pentru desemnarea unghiurilor. În continuare, ne vom ocupa în detaliu de procesul de măsurare a unghiurilor. În concluzie, vă vom arăta cum puteți marca colțurile în desen. Am pus la dispoziție toată teoria desenele și ilustrațiile grafice necesare pentru o mai bună memorare a materialului.

Navigare în pagină.

Definirea unghiului.

Unghiul este una dintre cele mai importante figuri din geometrie. Definiția unghiului este dată prin definiția unei raze. La rândul său, ideea unei raze nu poate fi obținută fără cunoașterea unor astfel de figuri geometrice precum un punct, o linie dreaptă și un plan. Prin urmare, înainte de a vă familiariza cu definiția unghiului, vă recomandăm să reîmprospătați teoria din secțiuni și.

Deci, vom pleca de la conceptele de punct, linie dreaptă pe un plan și plan.

Să dăm mai întâi definiția unei raze.

Să ni se dea o linie dreaptă în avion. Să o notăm cu litera a. Fie O un punct al dreptei a . Punctul O împarte dreapta a în două părți. Fiecare dintre aceste părți împreună cu punctul O se numește grindă, iar punctul O se numește începutul fasciculului. De asemenea, puteți auzi că fasciculul este numit semidirectă.

Pentru concizie și comoditate, a fost introdusă următoarea notație pentru raze: o rază este desemnată fie printr-o literă latină mică (de exemplu, raza p sau raza k), fie prin două litere mari latine, prima dintre care corespunde începutului de raza, iar a doua denotă un punct al acestei raze (de exemplu, raza OA sau fasciculul CD). Să arătăm imaginea și denumirea razelor din desen.

Acum putem da prima definiție a unghiului.

Definiție.

Injecţie- aceasta este o figură geometrică plată (adică situată în întregime într-un anumit plan), care este formată din două raze nepotrivite cu o origine comună. Fiecare dintre raze este numită partea de colt, începutul comun al laturilor unghiului se numește colțul de sus.

Este posibil ca laturile unui unghi să formeze o linie dreaptă. Acest unghi are propriul nume.

Definiție.

Dacă ambele laturi ale unui unghi se află pe aceeași linie, atunci unghiul se numește dislocat.

Vă aducem în atenție o ilustrare grafică a unui unghi dezvoltat.

Un simbol unghi este folosit pentru a desemna un unghi. Dacă laturile unghiului sunt indicate cu litere mici latine (de exemplu, o parte a unghiului este k, iar cealaltă este h), atunci pentru a desemna acest unghi, după pictograma unghi, literele corespunzătoare laturilor sunt scrise în un rând, iar ordinea înregistrării nu contează (adică sau). Dacă laturile unghiului sunt indicate prin două litere mari latine (de exemplu, o parte a unghiului OA și a doua latură a unghiului OB), atunci unghiul se notează după cum urmează: după semnul unghiului, trei litere sunt scrise care participă la desemnarea laturilor unghiului și litera corespunzătoare vârfului unghiului, situată în mijloc (în cazul nostru, unghiul va fi indicat ca sau ). Dacă vârful unui unghi nu este vârful altui unghi, atunci un astfel de unghi poate fi notat cu litera corespunzătoare vârfului unghiului (de exemplu, ). Uneori puteți vedea că colțurile din desene sunt marcate cu numere (1, 2 etc.), aceste colțuri sunt notate ca și așa mai departe. Pentru claritate, vă prezentăm o figură în care sunt arătate și indicate colțurile.

Orice unghi împarte planul în două părți. În plus, dacă unghiul nu este dezvoltat, atunci se numește o parte a planului zona colțului interior, si celalalt zona de colt exterior. Următoarea imagine explică ce parte a planului corespunde cu interiorul colțului și care parte cu exteriorul.

Oricare dintre cele două părți în care un unghi aplatizat împarte un plan poate fi considerată o regiune interioară a unghiului aplatizat.

Definiția interiorului unui unghi ne conduce la a doua definiție a unghiului.

Definiție.

Injecţie- aceasta este o figură geometrică, care este formată din două raze nepotrivite cu o origine comună și regiunea interioară corespunzătoare a unghiului.

Trebuie remarcat faptul că a doua definiție a unghiului este mai strictă decât prima, deoarece conține mai multe condiții. Cu toate acestea, nu ar trebui să respingem prima definiție a unghiului și nici nu ar trebui să ia în considerare prima și a doua definiție a unghiului separat. Să explicăm acest punct. Când vine vorba de un unghi ca figură geometrică, atunci un unghi este înțeles ca o figură compusă din două raze cu o origine comună. Dacă devine necesară efectuarea oricăror acțiuni cu acest unghi (de exemplu, măsurarea unui unghi), atunci un unghi ar trebui să fie deja înțeles ca două raze cu o origine comună și o regiune internă (altfel ar apărea o situație dublă din cauza prezența atât a unei regiuni interne, cât și a uneia externe a unghiului ).

Să dăm mai multe definiții ale unghiurilor adiacente și verticale.

Definiție.

Colțuri adiacente- acestea sunt două unghiuri în care o latură este comună, iar celelalte două formează un unghi drept.

Din definiție rezultă că unghiurile adiacente se completează până la un unghi drept.

Definiție.

Unghiuri verticale sunt două unghiuri în care laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt.

Figura prezintă unghiuri verticale.

Evident, două linii care se intersectează formează patru perechi de unghiuri adiacente și două perechi de unghiuri verticale.

Comparația unghiurilor.

În acest paragraf al articolului, ne vom ocupa de definițiile unghiurilor egale și inegale și, de asemenea, în cazul unghiurilor inegale, vom explica care unghi este considerat mare și care este mai mic.

Amintiți-vă că două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi suprapuse.

Să ni se dea două unghiuri. Să oferim un raționament care ne va ajuta să obținem un răspuns la întrebarea: „Sunt aceste două unghiuri egale sau nu”?

Evident, putem întotdeauna potrivi vârfurile a două colțuri, precum și o latură a primului colț cu oricare dintre laturile celui de-al doilea colț. Să combinăm partea primului colț cu acea parte a celui de-al doilea colț, astfel încât părțile rămase ale colțurilor să fie pe aceeași parte a liniei drepte pe care se află laturile combinate ale colțurilor. Apoi, dacă celelalte două laturi ale colțurilor sunt aliniate, atunci colțurile sunt numite egal.

Dacă celelalte două laturi ale unghiurilor nu se potrivesc, atunci unghiurile sunt numite inegal, și mai mici unghiul este considerat a fi parte a altuia ( mare este unghiul care contine complet un alt unghi).

Evident, cele două unghiuri drepte sunt egale. De asemenea, este evident că un unghi dezvoltat este mai mare decât orice unghi nedezvoltat.

Măsurarea unghiului.

Măsurarea unghiului se bazează pe compararea unghiului măsurat cu unghiul luat ca unitate de măsură. Procesul de măsurare a unghiurilor arată astfel: pornind de la una dintre laturile unghiului măsurat, zona sa interioară este umplută succesiv cu unghiuri individuale, stivuindu-le strâns unul pe celălalt. În același timp, se reține numărul de colțuri stivuite, ceea ce oferă măsura unghiului măsurat.

De fapt, orice unghi poate fi luat ca unitate de măsură pentru unghiuri. Cu toate acestea, există multe unități general acceptate pentru măsurarea unghiurilor legate de diverse domenii ale științei și tehnologiei, ele au primit denumiri speciale.

Una dintre unitățile de măsurare a unghiurilor este grad.

Definiție.

un grad este un unghi egal cu o sută optzecime dintr-un unghi îndreptat.

Un grad este notat cu simbolul „”, prin urmare, un grad este notat ca.

Astfel, într-un unghi dezvoltat, putem încadra 180 de unghiuri într-un grad. Va arăta ca o jumătate de plăcintă rotundă tăiată în 180 de bucăți egale. Foarte important: „bucățile de plăcintă” se potrivesc strâns între ele (adică părțile laterale ale colțurilor sunt aliniate), cu partea primului colț aliniată cu o parte a colțului aplatizat și partea ultimului colț al unității a coincis cu cealaltă parte a colțului turtit.

La măsurarea unghiurilor, se află de câte ori se încadrează un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) în unghiul măsurat până când zona interioară a unghiului măsurat este complet acoperită. După cum am văzut deja, într-un unghi dezvoltat, gradul se potrivește exact de 180 de ori. Mai jos sunt exemple de unghiuri în care un unghi de un grad se potrivește exact de 30 de ori (un astfel de unghi este o șesime dintr-un unghi îndreptat) și exact de 90 de ori (jumătate de unghi îndreptat).

Pentru a măsura unghiuri mai mici de un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) și în cazurile în care unghiul nu poate fi măsurat cu un număr întreg de grade (unități de măsură luate), trebuie să utilizați părți dintr-un grad (părți din unități de măsură). Anumite părți ale gradului au primit nume speciale. Cele mai comune sunt așa-numitele minute și secunde.

Definiție.

Minut este o şaizecime dintr-un grad.

Definiție.

Al doilea este o şaizecime dintr-un minut.

Cu alte cuvinte, există șaizeci de secunde într-un minut și șaizeci de minute (3600 de secunde) într-un grad. Simbolul „” este folosit pentru a desemna minute, iar simbolul „” este folosit pentru a desemna secunde (a nu se confunda cu semnele derivatei și ale derivatei a doua). Apoi, cu definițiile și notația introduse, avem , iar unghiul în care se încadrează 17 grade 3 minute și 59 secunde poate fi notat ca .

Definiție.

Măsura gradului unui unghi se numește un număr pozitiv, care arată de câte ori se încadrează un grad și părțile sale într-un unghi dat.

De exemplu, gradul de măsurare a unui unghi îndreptat este o sută optzeci, iar gradul de măsurare a unui unghi este .

Pentru măsurarea unghiurilor, există instrumente speciale de măsurare, dintre care cel mai faimos este raportorul.

Dacă sunt cunoscute atât denumirea unghiului (de exemplu,) cât și măsura gradului său (fie 110), atunci utilizați o notație scurtă a formei și spuneți: „Unghiul AOB este de o sută zece grade”.

Din definițiile unghiului și gradului de măsură a unghiului rezultă că în geometrie măsura unghiului în grade se exprimă printr-un număr real din intervalul (0, 180] (în trigonometrie, unghiuri cu grad arbitrar). sunt considerate, sunt numite).Un unghi de nouăzeci de grade are o denumire specială, se numește unghi drept. Se numește un unghi mai mic de 90 de grade unghi ascutit. Se numește un unghi mai mare de nouăzeci de grade unghi obtuz. Deci, măsura unui unghi ascuțit în grade este exprimată printr-un număr din intervalul (0, 90), măsura unui unghi obtuz - printr-un număr din intervalul (90, 180), un unghi drept este egal cu nouăzeci grade. Iată ilustrații ale unui unghi ascuțit, un unghi obtuz și un unghi drept.

Din principiul măsurării unghiurilor, rezultă că măsurile gradului de unghiuri egale sunt aceleași, măsura gradului unui unghi mai mare este mai mare decât măsura gradului unui unghi mai mic și măsura gradului unui unghi care constă din mai multe unghiuri este egală cu suma gradelor unghiurilor componente. Figura de mai jos arată unghiul AOB, care este format din unghiurile AOC, COD și DOB, în timp ce .

Prin urmare, suma unghiurilor adiacente este de o sută optzeci de grade, deoarece formează un unghi drept.

Din această afirmație rezultă că . Într-adevăr, dacă unghiurile AOB și COD sunt verticale, atunci unghiurile AOB și BOC sunt adiacente și unghiurile COD și BOC sunt de asemenea adiacente, deci sunt valabile egalitățile și, din care rezultă egalitatea.

Împreună cu gradul, se numește o unitate convenabilă pentru măsurarea unghiurilor radian. Măsura radianilor este utilizată pe scară largă în trigonometrie. Să definim un radian.

Definiție.

Un unghi radian- Acest colțul central, care corespunde lungimii arcului, egală cu lungimea razei cercului corespunzător.

Să dăm o ilustrare grafică a unui unghi de un radian. În desen, lungimea razei OA (precum și a razei OB ) este egală cu lungimea arcului AB , prin urmare, prin definiție, unghiul AOB este egal cu un radian.

Abrevierea „rad” este folosită pentru a desemna radiani. De exemplu, scrierea a 5 rad înseamnă 5 radiani. Cu toate acestea, în scris, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, când se scrie că unghiul este egal cu pi, înseamnă pi rad.

Trebuie remarcat separat că valoarea unghiului, exprimată în radiani, nu depinde de lungimea razei cercului. Acest lucru se datorează faptului că figurile delimitate de un unghi dat și un arc de cerc centrat la vârful unui unghi dat sunt similare între ele.

Măsurarea unghiurilor în radiani se poate face în același mod ca și măsurarea unghiurilor în grade: aflați de câte ori se încadrează un unghi de un radian (și părțile sale) într-un unghi dat. Și puteți calcula lungimea arcului unghiului central corespunzător și apoi o puteți împărți la lungimea razei.

Pentru nevoile de practică, este util să cunoaștem modul în care măsurile de grad și radian se relaționează între ele, deoarece o parte importantă trebuie efectuată. În acest articol, se stabilește o relație între gradul și măsura în radiani a unui unghi și sunt date exemple de conversie a gradelor în radiani și invers.

Desemnarea colțurilor în desen.

În desene, pentru comoditate și claritate, colțurile pot fi marcate cu arce, care sunt de obicei desenate în regiunea interioară a colțului de la o parte a colțului la cealaltă. Unghiurile egale sunt marcate cu același număr de arce, unghiurile inegale cu un număr diferit de arce. Unghiurile drepte din desen sunt notate printr-un simbol al formei "", care este reprezentat în regiunea interioară a unghiului drept de la o parte a colțului la cealaltă.

Dacă trebuie să marcați mai multe unghiuri diferite în desen (de obicei mai mult de trei), atunci când desemnați unghiuri, în plus față de arce obișnuite, este permis să folosiți arce de un tip special. De exemplu, puteți reprezenta arce zimțate sau ceva similar.

Trebuie remarcat faptul că nu ar trebui să vă lăsați duși de desemnarea unghiurilor în desene și să nu aglomerați desenele. Vă recomandăm să marcați doar acele unghiuri care sunt necesare în procesul de rezolvare sau dovedire.

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Pogorelov A.V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 ale instituțiilor de învățământ.

- Să ne amintim tema ultimelor lecții anterioare. (Unități noi de zonă)

Ce unități noi de zonă ați învățat? (hectar, sunt)

A fost dificil sau ușor să înveți noi unități de zonă? De ce?

Ai reușit să depășești dificultățile?

Ce părere aveți, vom reuși să studiem următorul subiect nou?

Să aruncăm o privire?

1. Dictarea matematică.

- Scădeți 160 cu 90.

- Creșteți 490 cu 50.

- Reduceți 560 de 80 de ori.

- Creșteți de 70 de 9 ori.

Cu cât este 820 mai mult decât 290?

De câte ori este 400 mai puțin decât 3600?

- Aflați numărul a cărui parte a șasea este egală cu 102.

- Găsiți un sfert din 68.

(70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17)

În ce grupe poate fi împărțită această serie de numere? (După numărul de cifre, cu o multiplicitate de 2, cu o multiplicitate de 10, prin suma cifrelor, numere pentru scrierea numerelor.)

Literele sunt plasate pe tablă sub numerele primite.

70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17

G R F A U N L I

Aranjați numerele rezultate în ordine crescătoare și citiți cuvântul rezultat. (FNIGURLA)

Are sens?

Trimite 2 litere pentru a forma un termen matematic. (FIGURA)

2. Lucrul cu forme geometrice.

Care sunt formele geometrice pe care le vedeți în imagine?

(Pe imagine: punct, linie dreaptă, cerc, segment, unghi, rază, patrulater, polilinie)

Ce cifre pot fi continuate pe termen nelimitat? ( Linie dreaptă, fascicul, unghi lateral)

Dacă desenați un segment de dreaptă care leagă centrul cercului cu un punct pe acesta, ce se întâmplă? ( Rază)

Ce lucruri interesante știi despre rază? (Toate razele unui cerc sunt egale. Raza este jumătate din diametru.)

Care este relația dintre un poligon și o polilinie? (Un poligon este o polilinie închisă.)

Ce alte forme geometrice plate cunoașteți? (Triunghi, dreptunghi, pătrat, oval etc.)

Dar figurile spațiale? (Sferă, cub, paralelipiped, cilindru, con, piramidă.)

3. Lucrul cu un unghi.

Care sunt laturile unui unghi? (Raze.)

Dacă continuați laturile unghiului, veți obține același unghi sau unul diferit? (Aceeași.)

Care sunt tipurile de colțuri? (Drept, ascuțit, contondent.)

Arată cu creioanele un model de unghi ascuțit, unghi obtuz.

Imaginează-ți că creioanele tale sunt acționarea unui ceas. Așezați-le pe birou astfel încât să arate 1h, 2h, 3h, 4h, 5h. Ce se întâmplă cu unghiul dintre ei? (Crește.)

Deci putem spune care este unghiul dintre acele ceasului mai mare și care este mai mic? (Da.)

4. Lucrări practice. Sarcina individuală.

Fiecare elev are un model de unghi ascuțit (galben), un model de unghi obtuz (albastru) pe mese. Modelul unghiului acut după zonă mult depășește modelul unghiului obtuz.

Comparați unghiurile cu suprapunerea.

(Unii plasează albastrul în interiorul galben, în funcție de suprafață. Alții în funcție de extinderea laturilor și că unghiurile ar trebui comparate în funcție de viraj).

Situatie problematica:

De ce, comparând aceleași unghiuri, am obținut un rezultat diferit?

Unde și de ce a apărut dificultatea?

Ce sarcină ai făcut? (compara unghiuri)

De ce nu v-ați justificat pozițiile? (Nu știm să comparăm unghiurile)

Ce trebuie să facem - pune în fața ta poartă. (Trebuie să construim un algoritm de comparare a unghiurilor)

Formula subiectul lecției. (Comparație unghiurilor)

1. Conducerea dialogului.

(Elevii aleg un curs de acțiune și apoi derivă un algoritm pe baza acestuia)

În ce fel comparăm ceva, de exemplu, spunem - o persoană știe mai multe decât alta, sau mai multe numere, fracții, fracții ...

(Cel mai mic trebuie să fie conținut în cel mai mare, fiți parte din el)

Deci, cum trebuie să suprapunem colțurile? (Deci un colț să facă parte din celălalt)

De ce nu poate fi plasat colțul albastru în interiorul celui galben? (Laturile colțului sunt raze. Dacă le continuați, puteți vedea că colțul albastru nu este în interiorul celui galben)

Copiii primesc un model de colț albastru comparabil ca suprafață cu galbenul.

Așezați colțurile albastre unul peste altul și asigurați-vă că sunt egale.

2. Lucrați în grupuri.

Vă dă asta o idee despre cum să suprapuneți colțurile albastre și galbene pentru a afla care dintre ele este mai mare?

Consultați în grupuri.

(Copiii își exprimă versiunile. Dacă aceste versiuni nu sunt corecte, atunci profesorul sau unul dintre copii le resping. Modul corect de impunere este rostit și algoritmul este fixat.)

3. Algoritm.

1) Așezați colțurile astfel încât una dintre laturile lor să coincidă.

2) Dacă celălalt coincide, atunci unghiurile sunt egale; dacă nu, atunci cu atât mai mic este unghiul a cărui latură se află în interiorul celeilalte.

4. Schema-suport.

5. Compararea rezultatelor cu textul manualului. Pagină unu.

- Concluzia noastră se potrivea cu textul manualului?

Rostiți algoritmul pentru compararea unghiurilor.

1. Comparațiin perechi două unghiuri arbitrare, pronunțând algoritmul.

2. Sarcina numărul 4 pe pagina 2.

Comparați unghiurile folosind schema de sprijin.

Ce poți spune despre raza OS? (A împărțit colțul în două colțuri)

Ce poți spune despre aceste raze? (Unghiul AOC este mai mic decât unghiul COB)

1. Sarcina numărul 8 la pagina 2 (comparați unghiurile ochilor din manual) și dezvăluiți numele celebrului conducător al Egiptului Antic - Keops. Își amintesc ceea ce știu despre el din mersul lumii din jurul lui.

Este posibil să găsiți colțuri la piramida lui Keops?

Ce ai învățat despre colțuri?

Situatie problematica.

Crezi că aceasta este toate cunoștințele cunoscute despre unghiuri sau nu?

1. Introducerea conceptului de „bisectoare” folosind munca practica.

Îndoiți unul dintre colțurile aflate pe masă în jumătate. Extinde colțul.

Ce ai primit? (O linie care împarte un unghi în două unghiuri egale)

Cum se numește această linie în matematică? (Ray) De ce?

Pentru o rază trasată în interiorul unui unghi de la vârful său, care bisectează unghiul, există o denumire specială „bisectoare”. (Pe birou)

2. Revizuirea desenelorîn manual

Există o rimă amuzantă, dar utilă pentru a reține un nou concept:

„Bisectorul este o astfel de... care trece prin colțuri și împarte unghiul... (Copiii termină rima)

Cum ai tăiat colțul în jumătate? (A se apleca)

Ce concept nou ai învățat? (bisectoare)

Cum i-ai explica unui coleg de clasă care a sărit peste curs ce este bisectoarea?

1. Exemple pentru găsirea unei părți dintr-un număr exprimat ca fracție nr. 10 p. 3.

(Ei descifrează numele faraonului, în cinstea căruia a fost construită prima piramidă - Djoser)

2. Rezolvarea problemelor compuse pentru a găsi o parte dintr-un număr, exprimată ca fracție sau ca procent.

a) despre faraonul Thutmose nr. 11 la pagina 3.

b) despre o cămilă, care este adaptată pentru o lungă perioadă de timp să se facă fără apă și hrană să se deplaseze prin deșert Nr. 12 (a) la st. 3.

Care este subiectul lecției?

Cum se compară unghiurile?

Cum să afli ce unghi este mai mare și care este mai mic?

Ce concept nou ai învățat?

Cum afli bisectoarea unui unghi? De ce?

Cine altcineva are nevoie de ajutor cu subiectul lecției?

Am reușit să înțelegem imediat noul subiect? De ce?

Ce lucruri noi ați învățat în timp ce rezolvați probleme?

Ce cunoștințe îți vor fi de folos în viață? Unde?

Teme pentru acasă: 1) nivel de bază: repetați algoritmul de comparare a unghiurilor, nr. 5 - lucru practic privind împărțirea unui unghi în părți și compararea părților prin îndoire; Nr. 12 (b) - o problemă pentru fracții;

2) nivel avansat: Nr.7 - obținerea bisectoarelor unghiurilor unui triunghi și unui dreptunghi prin îndoire.

§ 28. Compararea unghiurilor prin impunere - Manual de matematică clasa a 5-a (Zubareva, Mordkovich)

Scurta descriere:

Diferite forme geometrice pot fi comparate între ele în diferite moduri. Una dintre aceste moduri este impunerea unei figuri pe alta. La fel ca și alte figuri, puteți compara unghiurile între ele atunci când este necesar. Astăzi veți afla despre asta din acest paragraf al manualului.
O modalitate de a compara unghiurile este suprapunerea. Unghiurile care coincid atunci când sunt suprapuse se numesc egale. Dacă unghiurile nu se potrivesc, atunci puteți determina cu ușurință care dintre unghiuri va fi mai mic și care va fi mai mare decât celălalt. Pentru a compara colțurile folosind suprapunerea, trebuie să le atașați vârfurile unul la celălalt. Apoi combinați o parte a unui colț cu partea celuilalt colț. Dacă, în același timp, a doua lor latură coincide, atunci astfel de unghiuri vor fi egale. Metoda de suprapunere este cea mai simplă modalitate grafică de a determina egalitatea unghiurilor. Pentru a utiliza această metodă, sunt potrivite hârtia de calc sau alte materiale translucide. Sau puteți folosi un raportor, măsurând valoarea unui colț și transferându-l în al doilea colț. Alegeți o modalitate convenabilă de a rezolva și de a descrie diverse probleme geometrice, deoarece în viitor aceste cunoștințe vor fi utile în rezolvarea problemelor cu forme. Consultați paragraful manualului despre acest subiect pentru a înțelege mai bine și a vă aminti materialul!

§ 1 Compararea unghiurilor

În această lecție, vom învăța cum să comparăm și să măsuram unghiurile.

Amintiți-vă că un unghi este o figură geometrică formată din două raze (laturile unghiului) care ies dintr-un punct (care se numește vârful unghiului).

Să comparăm două unghiuri cu o suprapunere și să aflăm dacă unghiurile sunt egale sau nu.

Să luăm două colțuri.

Pictați un colț în albastru și celălalt roșu și suprapuneți colțul roșu pe albastru.

Figura arată că unghiul albastru este mai mare decât cel roșu, dar nu știm cu cât. Pentru a compara unghiurile, trebuie să învățați cum să le măsurați cu precizie.

Unghiul este măsurat în același mod ca orice altă valoare.

Pentru a face acest lucru, alegeți o unitate de măsură (măsură) și aflați de câte ori este conținută în valoarea măsurată.

Să ne imaginăm următoarea situație: Seryozha, Petya și Kolya au decis să măsoare unghiul, dar fiecare a decis să ia singur măsura.

Ce s-a întâmplat?

S-a dovedit că același unghi pentru Seryozha este egal cu trei dintre măsurătorile sale, pentru Petya - pentru patru măsurători și pentru Kolya - pentru șase măsurători.

Care dintre ele are dreptate?

Care este de fapt acest unghi?

În geometrie, există o măsură general acceptată, comună pentru toți - aceasta este 1/90 dintr-un unghi drept. Această măsură se numește grad și se notează: 1 °.

Astfel, un unghi drept este de 90°, iar un unghi drept este de 180°.

Orice unghi ascuțit va fi mai mic de 90° și orice unghi obtuz va fi mai mare de 90°.

Când se adună unghiuri, se adună măsurile gradelor lor, iar când se scad, se scad, de exemplu:

De asemenea, trebuie amintit că suma unghiurilor adiacente este întotdeauna de 180°.

§ 2 Raportor. Măsurarea unghiului

Să încercăm să rezolvăm problema folosind cunoștințele noastre.

Este dat un unghi OMR - este o linie dreaptă, adică. 90°, două fascicule l-au împărțit în trei unghiuri.

După cum puteți vedea din imagine, un unghi este de 18 grade, iar celălalt este de 23 de grade.

Trebuie să calculăm care este unghiul KMN?

Pentru a afla valoarea unghiului KMN, este necesar să scădem gradele de măsură ale unghiurilor KMR și NMO din gradul de măsură a unghiului OMR:

∠KMN = ∠OMR - ∠KMR - ∠NMO = 90° - 18° - 23° = 49°

Unghiul KMN este de 49°.

Să mai rezolvăm o problemă.

În figură, vedem că ∠KOS este implementat, ceea ce înseamnă că este egal cu 180 °.

∠KOV = 60° și ∠AOC = 60°.

Să găsim valoarea ∠BOA.

∠BOA = ∠KOS - ∠KOV - ∠AOC = 180° - 60° - 60° = 60°

∠BOA = 60°

Pentru a măsura un unghi în grade, trebuie să știți de câte ori conține o măsurare de 1 °. Pentru a măsura unghiurile în grade, se folosește un instrument special - un raportor.

Raportorul este format dintr-o riglă (scara rectilinie) și un semicerc (scara goniometrică), împărțite în grade de la 0 la 180. În unele modele, de exemplu, un raportor circular - de la 0 la 360. Scara raportorului este situată pe un semicerc. .

Centrul acestui semicerc este marcat pe raportor cu o liniuță, se numește centrul raportorului.

Să măsurăm ∠MKT.

Pentru a face acest lucru, impunem un raportor astfel încât centrul raportorului să coincidă cu punctul K, începutul fasciculului CT, iar fasciculul CT în sine să treacă prin originea scalei raportorului. Măsura gradului unui unghi va fi afișată printr-o lovitură pe scara raportorului prin care trece cealaltă parte a unghiului.

Deci, ∠MKT este egal cu 32°.

Cu ajutorul unui raportor, puteți nu numai să măsurați, ci și să construiți unghiuri.

Să construim un unghi egal cu 110°, o latură a căruia este raza OA.

Să desenăm mai întâi o rază OA.

Apoi punem raportorul pe raza noastră, astfel încât centrul raportorului să coincidă cu punctul O - începutul razei OA, iar raza OA însăși să treacă prin originea scalei raportorului.

Să punem punctul B împotriva cursei scalei raportorului cu un semn de 110 ° și să desenăm un fascicul de OB.

Obținem ∠AOB care conține 110°.

Pentru comoditate, citirea gradelor pe scara raportorului merge în două direcții, iar atunci când măsurăm sau construim un unghi, trebuie să ne amintim întotdeauna că un unghi acut este mai mic de 90 °, iar unul obtuz este mai mare de 90 °.

§ 3 Rezumatul lecției

Să rezumam lecția noastră:

1. Unghiurile se măsoară cu un raportor.

2. Pentru a măsura unghiul cu un raportor, aveți nevoie de:

Atașați centrul raportorului în partea de sus a colțului;

Poziționați raportorul astfel încât o parte a unghiului să treacă prin originea diviziunii scalei raportorului 0;

vezi prin ce diviziune a acestei scari va trece cealaltă parte a colțului;

Când măsurați, rețineți că un unghi ascuțit este mai mic de 90°, iar un unghi obtuz este mai mare de 90°.

3. Pentru a construi un unghi de o anumită dimensiune, aveți nevoie de:

ține o grindă

· puneți un raportor pe acest fascicul astfel încât centrul raportorului să coincidă cu începutul fasciculului, iar fasciculul în sine să treacă prin originea diviziunii scalei raportorului 0;

· puneți un punct împotriva cursei scalei raportorului cu un semn al valorii de care avem nevoie și trageți a doua rază prin acest punct de la începutul razei inițiale.

4. Un unghi drept este de 90°, un unghi acut este mai mic de 90°, un unghi obtuz este mai mare de 90°, un unghi drept este de 180°.

5. La adunarea unghiurilor se adună măsurile gradelor lor, iar la scădere se scad.

6. Suma unghiurilor adiacente este întotdeauna 180°.

Lista literaturii folosite:

1. Peterson L.G. Matematică. clasa a IV-a. Partea 1. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 96 p.: ill.
2. Matematică. clasa a IV-a. Recomandări metodologice pentru manualul de matematică „Învățați să învățați” pentru clasa a IV-a. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 280 p.: ill.
3. Zak S.M. Toate sarcinile pentru manualul de matematică pentru clasa a IV-a L.G. Peterson și un set de lucrări independente și de control. GEF. – M.: UNVES, 2014.

Clasă: 3

Lucru: matematică (Programul de dezvoltare al lui L.V. Zankov)

Subiect: Tipuri de unghiuri și compararea lor.

Tipul de lecție: descoperirea de noi cunoștințe

Obiective:

Tutoriale: Deschideți căi de a compara unghiuri.

În curs de dezvoltare:Dezvoltați atenția, gândirea abstractă, observația, capacitatea de a compara, de a analiza independent, de a trage concluzii.

Educatori:Să cultive la elevi un interes pentru matematică, abilități de comunicare culturală, o personalitate activă.

Tehnologia folosita: RKCHP

UUD format:

de reglementare: capacitatea de a stabili un scop, o sarcină de învățare; efectuează controlul modelului.

Cognitiv: capacitatea de a compara și măsura unghiurile prin metoda ochiului și a suprapunerii; construiți unghiuri de o valoare dată folosind instrumente de măsurare; capacitatea de a alege cele mai eficiente modalități de rezolvare a problemelor; caută și evidențiază informațiile necesare îndeplinirii sarcinilor educaționale; acțiuni cu mijloace semn-simbolice (modelare); logic - comparare, identificare, generalizare.

Comunicativ: planificarea și implementarea cooperării educaționale cu profesorul și colegii; a fi capabil să-i asculte pe ceilalți, abilitatea de a pune întrebări de instruire; posesia unor forme monolog și dialogice de vorbire;

Personal: evaluarea propriilor activităţi de învăţare după criterii definite împreună cu profesorul.

Echipament: calculator, cartonașe cu unghiuri și jocul „Crezi că...”, foarfece elevilor, bețe și lut de modelat

În timpul orelor

Etape

Activitatea profesorului

Activitati elevilor

Salutari

Apel

Să verificăm pregătirea. Vă doresc succes.

Vreau să încep lecția de astăzi cu cuvintele filosofului francez Jean Jacques Rousseau: „Sunteți copii talentați! Într-o zi, tu însuți vei fi plăcut surprins cât de inteligent ești, cât de mult și cât de bine știi cum, dacă lucrezi constant la tine, îți stabilești noi obiective pentru a le atinge...”.

Vă doresc astăzi la lecție să vă convingeți de cuvintele lui J. J. Rousseau.

Ești gata de plecare?

Atunci dute.

Încălzire pentru minte.

Dacă rezolvați corect expresiile, veți putea formula tema lecției. Fiecare răspuns corect este urmat de o literă. Dacă aranjați răspunsurile în ordine crescătoare, puteți citi subiectul lecției.

Pe diapozitiv: 8x6, 9x5, 18:2, 7x4, 30:5, 42:6, 72:9, 4x6, 5x7

e i w c r a n n

500-200 900-2 733+100 580-40 806-6

u v o g l

Și acum vă invit să jucați un joc cu mine "Crezi asta..."

1) știința care studiază unghiurile se numește geometrie;

2) unghiurile sunt obtuze, drepte și ascuțite;

3) două unghiuri nu pot fi comparate;

4) există mai multe moduri de a compara unghiurile;

5) cu ajutorul colțurilor se pot modela figuri de animale;

6) nu există un instrument pentru compararea unghiurilor;

7) din trei bețe puteți așeza trei unghiuri simultan: drept, obtuz și acut

8) un unghi ascuțit este mai mare decât unul obtuz

La ce întrebări cu siguranță nu ai îndoieli și crezi că ai răspuns corect?

De ce ești sigur că răspunsurile sunt corecte?

verifica disponibilitatea

Calculați verbal

Subiect: Compararea unghiurilor

Răspundeți singuri la întrebări

Poate răspunde în #1, 2, 6, 8

știa, citește

Având sens

De ce întrebări te îndoiești?

Apoi formulați, vă rog, scopul lecției.

(Scopul este scris pe tablă).

Cum vom atinge obiectivul?

Vă ofer sarcina nr 148 p. 80 din manual.

Terminăm sarcina pe cont propriu.

Verificăm conform eșantionului: (pe diapozitiv)

3, 2, 7, 1, 4, 5, 8, 6,

A fost ușor să compari unghiurile? Care este dificultatea?

Cine este de acord, nu este de acord?

Cum au fost comparate? Cum?

Criterii:

„5” - 0 erori, „4” - 1-2 erori, „3” - 3-4 erori.

Lucrare practică №1.

Terminăm sarcina 3) din acest număr, desenăm într-un caiet 2 colțuri ușor de comparat și 2 colțuri greu de comparat. (1 persoană - la bord)

Verificare reciprocă

Verificăm, evaluăm capacitatea de a desena unghiuri pentru comparare cu ochii.

Și acum, pentru a confirma sau infirma alte afirmații din jocul „Crezi că...”, îți sugerez să te familiarizezi cu câteva informații în care, dacă citești cu atenție, poți găsi răspunsuri la întrebări.

Când citesc, vă sugerez să folosiți „ Introduce" pentru confortul captării informațiilor. (+ știa, ! - nou, ? nu înțelegea)

Text pentru serviciu:

Deci ce știai deja?

Și ce informații noi și interesante pe tema lecției ați învățat acum?

În sarcina nr. 148, am comparat unghiurile în ce fel?

Despre ce alt mod de a compara unghiurile ai învățat?

Lucrare practică №2.

Îmi propun să comparăm cele două unghiuri în acest fel.

Fiecare copil primește o foaie cu două colțuri:

Un algoritm pentru compararea unghiurilor cu ajutorul unei suprapuneri este compilat preliminar împreună cu copiii:

Pentru a compara unghiurile, aveți nevoie de: Algoritm:

1) tăiat colțul nr. 1; 2) combinați vârfurile colțurilor și una dintre părțile laterale ale colțurilor; 3) pe a doua parte a unghiului, determinați care unghi este mai mare (mai mic).

Copiii decupează unul dintre colțuri și îl pun pe celălalt conform algoritmului.

Cum se compară unghiurile acum?

Matematica este o știință exactă. Care crezi că este mai corectă?

Minut de educație fizică

Și acum voi reveni la întrebarea numărul 7 a jocului și voi finaliza această sarcină pentru a o verifica. Să modelăm colțurile cu plastilină și bețișoare.

Să verificăm proba pe diapozitiv sau pe tablă.

Estimare (capacitatea de a modela colțurile).

Recent, la o lecție de matematică, au desenat unghiuri diferite. Vă sugerez să rezolvați problema asociată cu această sarcină. Slide

Sarcină. Yulia în desen a dovedit 7 unghiuri obtuze, 1 drept și 11 acut, iar Vali 5 unghiuri obtuze, 2 drepte și 14 acute. Cine are mai multe unghiuri și cu câte?

Care dintre metodele cunoscute de scriere concisă este mai convenabilă pentru a o nota? (masa).

Să facem o masă și să rezolvăm singuri problema.

Examinare. Evaluarea capacității de a rezolva probleme.

Scop: -Compară unghiuri, -găsește modalități de a compara unghiuri

Finalizarea sarcinilor

Verificați o probă

Aproximativ

Lucrați cu fișa de evaluare

Desenați unghiuri într-un caiet pentru a compara ochi

Evaluează munca unui vecin

Citiți textul, marcați cu pictograme

Declarații ale copiilor

Raportor, 2 moduri de a compara unghiuri, grade, geometrie

aproximativ

acoperire

Împreună cu profesorul, compuneți un algoritm de comparație

Tăiați, impuneți, trageți o concluzie

suprapuneri

Modelați colțuri cu bețișoare și plastilină

A aprecia

Citiți sarcina

Desenați pe tablă și într-un caiet

Verificați față de standard

Reflecţie

Să revenim la jocul „Crezi asta...”.

La ce întrebări nu am găsit răspuns în timpul lecției?

Să revenim la scopul stabilit la începutul lecției.

Ai reușit? De ce? Ce a fost dificil? S-a răspuns la toate întrebările?

Să aruncăm o privire la fișa de evaluare. Ce abilități ai dezvoltat la clasă?

Unde pot fi de folos în viață?

Tema pentru acasă (alegerea elevului):

1) Cuvânt încrucișat pe tema lecției

2) Desenați animalul pe foi, folosind doar colțurile.

3) Completați sarcinile manualului p.80 Nr. 149, Nr. 150 (1)

Cuvinte încrucișate:

Pe orizontală: 1. Două fascicule care emană dintr-un punct formează ... .. 2. Un dispozitiv pentru măsurarea unghiurilor se numește ... .. . Pe verticală: 1. Punctul care leagă cele două raze ale unghiului se numește .... 2. Cel mai precis mod de a compara unghiurile. 3. Un unghi mai mare decât unul drept se numește ....

Completați a treia coloană a tabelului.

Nu am găsit răspunsul la întrebarea numărul 5

Răspuns.

Pune o notă medie pentru lecție.

Tăiați, construiți, faceți meșteșuguri

Aplicații

Text pentru serviciu:

Forma obiectelor și dimensiunile lor sunt studiate de geometrie - parte a marii științe a matematicii. Conceptul principal de geometrie este o figură. Figurile au propriul nume: bilă, rază, linie, punct, segment, unghi, triunghi...

Două raze care emană din același punct de plecare formează un unghi. Razele care formează un unghi se numesc laturile unghiului, iar punctul lor de plecare se numește vârful unghiului. Unghiurile sunt diferite: obtuz, drept, ascuțit și desfășurat. Unghiul poate fi comparat și măsurat. Există multe moduri de a compara unghiurile. Puteți compara cu ochiul (aproximativ) sau prin suprapunerea colțurilor unul peste altul. Măsurați unghiurile cu un dispozitiv special - un raportor. Raportorul arată unghiul în grade.

Fisa de evaluare

marcă

marcă

Rezultat:

Rezultat: