Ce este un derivat?
Definiția și semnificația derivatei unei funcții

Mulți vor fi surprinși de plasarea neașteptată a acestui articol în cursul autorului meu despre derivata unei funcții a unei variabile și aplicațiile acesteia. La urma urmei, așa cum a fost de la școală: manualul standard dă în primul rând definiția unei derivate, semnificația sa geometrică, mecanică. În continuare, elevii găsesc derivate ale funcțiilor prin definiție și, de fapt, abia atunci perfecționează tehnica diferențierii folosind tabele derivate.

Dar din punctul meu de vedere, următoarea abordare este mai pragmatică: în primul rând, este indicat să ÎNȚELEGI BINE limita unei funcțiiși, în special, cantități infinitezimale. Adevărul este că definiţia derivatei se bazează pe conceptul de limită, care este slab luat în considerare în cursul școlii. De aceea, o parte semnificativă a tinerilor consumatori ai granitului cunoașterii nu înțeleg însăși esența derivatului. Astfel, dacă înțelegeți puțin calculul diferențial sau un creier înțelept a scăpat cu succes de acest bagaj de-a lungul multor ani, vă rugăm să începeți cu limitele funcției. În același timp, stăpânește / amintește-ți decizia lor.

Același sens practic sugerează că este mai întâi profitabil învață să găsești derivate, inclusiv derivate ale funcţiilor complexe. Teoria este teorie, dar, după cum se spune, întotdeauna vrei să diferențiezi. În acest sens, este mai bine să lucrați prin lecțiile de bază enumerate și poate maestru al diferențierii fără să-şi dea seama măcar de esenţa acţiunilor lor.

Recomand să începeți cu materialele de pe această pagină după citirea articolului. Cele mai simple probleme cu derivatele, unde, în special, se consideră problema tangentei la graficul unei funcții. Dar poți aștepta. Faptul este că multe aplicații ale derivatului nu necesită înțelegerea acestuia și nu este surprinzător că lecția teoretică a apărut destul de târziu - când trebuia să explic constatând intervale crescătoare/descrescătoare şi extreme funcții. Mai mult, a fost pe subiect destul de mult timp. Funcții și grafice”, până când în sfârșit m-am hotărât să o pun mai devreme.

Prin urmare, dragi ceainice, nu vă grăbiți să absorbiți esența derivatului ca animalele flămânde, pentru că saturația va fi lipsită de gust și incompletă.

Conceptul de creștere, scădere, maxim, minim al unei funcții

Multe manuale introduc conceptul de derivate cu ajutorul unor probleme practice și am venit și cu un exemplu interesant. Imaginați-vă că suntem pe cale să călătorim într-un oraș la care se poate ajunge în diferite moduri. Să renunțăm imediat la căile curbe și să luăm în considerare doar autostrăzile drepte. Cu toate acestea, direcțiile în linie dreaptă sunt și ele diferite: puteți ajunge în oraș pe o autostradă lină. Sau de-a lungul unei autostrăzi deluroase - în sus și în jos, în sus și în jos. Un alt drum merge doar în sus, iar altul merge în jos tot timpul. Pasionații extremi vor alege un traseu printr-un defileu cu o stâncă abruptă și un urcuș abrupt.

Dar oricare ar fi preferințele tale, este indicat să cunoști zona sau măcar să ai o hartă topografică a acesteia. Ce se întâmplă dacă astfel de informații lipsesc? La urma urmei, puteți alege, de exemplu, o cale netedă, dar, ca rezultat, dați peste o pârtie de schi cu finlandezi veseli. Nu este un fapt că un navigator sau chiar o imagine din satelit va oferi date fiabile. Prin urmare, ar fi bine să formalizezi relieful căii folosind matematica.

Să ne uităm la un drum (vedere laterală):

Pentru orice eventualitate, vă reamintesc un fapt elementar: călătoriile se întâmplă de la stanga la dreapta. Pentru simplitate, presupunem că funcția continuuîn zona luată în considerare.

Care sunt caracteristicile acestui grafic?

La intervale funcţie crește, adică fiecare valoare următoare a acesteia Mai mult precedentul. În linii mari, programul este activ jos sus(urcăm dealul). Și pe interval funcția scade– fiecare valoare următoare Mai puțin anterior, iar programul nostru este activat de sus în jos(coboram panta).

Să fim atenți și la punctele speciale. În punctul în care ajungem maxim, acesta este există o astfel de secțiune a căii unde valoarea va fi cea mai mare (cea mai mare). În același punct se realizează minim, Și există vecinătatea sa în care valoarea este cea mai mică (cea mai mică).

Vom analiza terminologia și definițiile mai stricte în clasă. despre extremele funcției, dar deocamdată să studiem o altă caracteristică importantă: pe intervale funcția crește, dar crește la viteze diferite. Și primul lucru care vă atrage atenția este că graficul se ridică în sus în timpul intervalului mult mai misto, decât pe intervalul . Este posibil să măsurați abruptul unui drum folosind instrumente matematice?

Rata de schimbare a funcției

Ideea este următoarea: să luăm ceva valoare (citiți „delta x”), pe care o vom numi increment de argumentși să începem să „încercăm” în diferite puncte ale drumului nostru:

1) Să ne uităm la punctul cel mai din stânga: depășind distanța, urcăm panta la o înălțime (linia verde). Se numește cantitatea creșterea funcției, iar în acest caz această creștere este pozitivă (diferența de valori de-a lungul axei este mai mare decât zero). Să creăm un raport care va fi o măsură a abruptului drumului nostru. Evident, acesta este un număr foarte specific și, deoarece ambele incremente sunt pozitive, atunci .

Atenţie! Denumirile sunt UNU simbol, adică nu puteți „smulge” „delta” din „X” și luați în considerare aceste litere separat. Desigur, comentariul se referă și la simbolul de creștere a funcției.

Să explorăm mai semnificativ natura fracției rezultate. Să fim inițial la o înălțime de 20 de metri (în punctul negru din stânga). După ce am parcurs distanța de metri (linia roșie din stânga), ne vom găsi la o altitudine de 60 de metri. Apoi, incrementul funcției va fi metri (linia verde) si: . Prin urmare, pe fiecare metru acest tronson de drum creste inaltimea in medie cu 4 metri...ți-ai uitat echipamentul de alpinism? =) Cu alte cuvinte, relația construită caracterizează RATA MEDIA DE MODIFICARE (în acest caz, creșterea) funcției.

Notă : Valorile numerice ale exemplului în cauză corespund doar aproximativ proporțiilor desenului.

2) Acum să mergem la aceeași distanță de la punctul negru din dreapta. Aici creșterea este mai graduală, astfel încât creșterea (linia purpurie) este relativ mică, iar raportul față de cazul precedent va fi foarte modest. Relativ vorbind, metri și rata de creștere a funcției este . Adică aici pentru fiecare metru de potecă există in medie o jumătate de metru de înălțime.

3) O mică aventură pe versantul muntelui. Să ne uităm la punctul negru de sus situat pe axa ordonatelor. Să presupunem că acesta este marcajul de 50 de metri. Depășim din nou distanța, drept urmare ne aflăm mai jos - la nivelul de 30 de metri. Din moment ce mișcarea este efectuată de sus în jos(în direcția „contra” a axei), apoi finala creșterea funcției (înălțimea) va fi negativă: metri (segment maro din desen). Și în acest caz deja vorbim rata de scadere Caracteristici: , adică pentru fiecare metru de traseu al acestei secțiuni, înălțimea scade in medie cu 2 metri. Ai grijă de hainele tale la al cincilea punct.

Acum să ne punem întrebarea: care este cea mai bună valoare a „standardului de măsurare” de utilizat? Este complet de înțeles, 10 metri este foarte dur. O duzină bună de hummocks pot încăpea cu ușurință pe ele. De ce există denivelări, poate exista un defileu adânc dedesubt, iar după câțiva metri - cealaltă parte cu o ascensiune abruptă. Astfel, cu unul de zece metri, nu vom obține o caracteristică inteligibilă a unor astfel de secțiuni ale traseului prin raport.

Din discuția de mai sus rezultă următoarea concluzie: cu atât valoarea este mai mică, cu atât descriem mai precis topografia drumului. În plus, următoarele fapte sunt adevărate:

– Pentru oricine puncte de ridicare puteți alege o valoare (deși una foarte mică) care se încadrează în limitele uneia sau altei creșteri. Și aceasta înseamnă că creșterea corespunzătoare a înălțimii va fi garantată a fi pozitivă, iar inegalitatea va indica corect creșterea funcției în fiecare punct al acestor intervale.

- La fel, pentru orice punct de pantă există o valoare care se va potrivi complet pe această pantă. Prin urmare, creșterea corespunzătoare a înălțimii este negativă fără ambiguitate, iar inegalitatea va arăta corect scăderea funcției în fiecare punct al intervalului dat.

– Un caz deosebit de interesant este atunci când rata de modificare a funcției este zero: . În primul rând, incrementul de înălțime zero () este un semn al unei căi netede. Și în al doilea rând, există și alte situații curioase, exemple pe care le vedeți în figură. Imaginați-vă că soarta ne-a dus chiar în vârful unui deal cu vulturi înălțători sau pe fundul unei râpe cu broaște croncănitoare. Dacă faceți un pas mic în orice direcție, atunci modificarea înălțimii va fi neglijabilă și putem spune că rata de modificare a funcției este de fapt zero. Aceasta este exact imaginea observată la puncte.

Astfel, ne-am apropiat de o oportunitate uimitoare de a caracteriza perfect cu exactitate rata de schimbare a unei funcții. La urma urmei, analiza matematică ne permite să direcționăm incrementul argumentului la zero: adică să-l facem infinitezimal.

Ca urmare, apare o altă întrebare logică: este posibil să găsiți drumul și programul acestuia altă funcție, care ne-ar anunța despre toate secțiunile plate, ascensiuni, coborâri, vârfuri, văi, precum și ritmul de creștere/scădere în fiecare punct de-a lungul drumului?

Ce este un derivat? Definiţia derivative.
Semnificația geometrică a derivatei și diferențiale

Vă rugăm să citiți cu atenție și nu prea repede - materialul este simplu și accesibil tuturor! Este în regulă dacă în unele locuri ceva nu pare foarte clar, poți oricând să revii la articol mai târziu. Voi spune mai multe, este util să studiem teoria de mai multe ori pentru a înțelege temeinic toate punctele (sfatul este relevant în special pentru studenții „tehnici”, pentru care matematica superioară joacă un rol semnificativ în procesul de învățământ).

Desigur, chiar în definiția derivatei la un punct o înlocuim cu:

La ce am ajuns? Și am ajuns la concluzia că pentru funcția conform legii este pus în conformitate alta functie, Care e numit funcţie derivată(sau pur și simplu derivat).

Derivatul caracterizează rata de schimbare funcții Cum? Ideea merge ca un fir roșu încă de la începutul articolului. Să luăm în considerare un punct domeniul definirii funcții Fie funcția să fie diferențiabilă într-un punct dat. Apoi:

1) Dacă , atunci funcția crește în punctul . Și evident că există interval(chiar și una foarte mică), care conține un punct în care funcția crește, iar graficul acesteia merge „de jos în sus”.

2) Dacă , atunci funcția scade în punctul . Și există un interval care conține un punct în care funcția scade (graficul merge „de sus în jos”).

3) Dacă , atunci infinit de aproapeîn apropierea unui punct funcția își menține viteza constantă. Acest lucru se întâmplă, după cum sa menționat, cu o funcție constantă și în punctele critice ale funcţiei, în special la punctele minime și maxime.

Un pic de semantică. Ce înseamnă verbul „diferențiere” în sens larg? A diferenția înseamnă a evidenția o trăsătură. Prin diferențierea unei funcții, „izolăm” rata de schimbare a acesteia sub forma unei derivate a funcției. Apropo, ce se înțelege prin cuvântul „derivat”? Funcţie s-a întâmplat din functie.

Termenii sunt interpretați cu mare succes prin sensul mecanic al derivatului :
Să luăm în considerare legea schimbării coordonatelor unui corp, în funcție de timp, și funcția vitezei de mișcare a unui corp dat. Funcția caracterizează viteza de modificare a coordonatelor corpului, prin urmare este prima derivată a funcției în raport cu timpul: . Dacă conceptul de „mișcare a corpului” nu ar exista în natură, atunci nu ar exista derivat conceptul de „viteza corpului”.

Accelerația unui corp este rata de schimbare a vitezei, prin urmare: . Dacă conceptele inițiale de „mișcare a corpului” și „viteza corpului” nu ar exista în natură, atunci nu ar exista derivat conceptul de „accelerare corporală”.

(\large\bf Derivată a unei funcții)

Luați în considerare funcția y=f(x), specificat pe interval (a, b). Lăsa X- orice punct fix al intervalului (a, b), A Δx- un număr arbitrar astfel încât valoarea x+Δx aparține și intervalului (a, b). Acest număr Δx numit increment de argument.

Definiție. Creșterea funcției y=f(x) la punct X, corespunzătoare incrementului argumentului Δx, hai să sunăm la numărul

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Noi credem că Δx ≠ 0. Luați în considerare la un punct fix dat X raportul dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argument corespunzător Δx

Această relație va fi numită relație de diferență. Din moment ce valoarea X considerăm fix, raportul diferențelor este o funcție a argumentului Δx. Această funcție este definită pentru toate valorile argumentului Δx, aparținând unui cartier suficient de mic al punctului Δx=0, cu excepția punctului Δx=0. Astfel, avem dreptul să luăm în considerare problema existenței unei limite a funcției specificate pt Δx → 0.

Definiție. Derivată a unei funcții y=f(x) la un punct fix dat X numită limită la Δx → 0 raportul de diferență, adică

Cu condiția ca această limită să existe.

Desemnare. y′(x) sau f′(x).

Sensul geometric al derivatului: Derivată a unei funcții f(x)în acest moment X egală cu tangentei unghiului dintre axe Bouși o tangentă la graficul acestei funcții în punctul corespunzător:

f′(x 0) = \tgα.

Sensul mecanic al derivatului: Derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie a punctului:

Ecuația unei tangente la o dreaptă y=f(x) la punct M 0 (x 0 ,y 0) ia forma

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Normala curbei la un punct este perpendiculara pe tangenta din acelasi punct. Dacă f′(x 0)≠ 0, apoi ecuația normalei la dreapta y=f(x) la punct M 0 (x 0 ,y 0) este scris asa:

Conceptul de diferentiabilitate a unei functii

Lasă funcția y=f(x) definite pe un anumit interval (a, b), X- o valoare fixă ​​a argumentului din acest interval, Δx- orice creștere a argumentului astfel încât valoarea argumentului x+Δx ∈ (a, b).

Definiție. Funcţie y=f(x) se numeste diferentiabil intr-un punct dat X, dacă se incrementează Δy această funcție la punctul X, corespunzătoare incrementului argumentului Δx, poate fi reprezentat ca

Δy = A Δx +αΔx,

Unde A este un număr independent de Δx, A α - funcția argument Δx, care este infinit de mic la ∆x → 0.

Deoarece produsul a două funcții infinitezimale αΔx este un ordin infinitezimal superior Δx(proprietatea 3 a funcțiilor infinitezimale), putem scrie:

∆y = A ∆x +o(∆x).

Teorema. Pentru functia y=f(x) era diferențiabilă la un punct dat X, este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct. în care A=f′(x), acesta este

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operația de găsire a derivatei se numește de obicei diferențiere.

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) X, atunci este continuă în acest moment.

cometariu. Din continuitatea funcţiei y=f(x)în acest moment X, în general, diferențiabilitatea funcției nu urmează f(x)în acest moment. De exemplu, funcția y=|x|- continuu la un punct x=0, dar nu are derivat.

Conceptul de funcție diferențială

Definiție. diferenţial de funcţie y=f(x) se numeste produsul derivatei acestei functii si incrementul variabilei independente X:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

Pentru funcție y=x primim dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, acesta este dx=Δx- diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acestei variabile.

Astfel, putem scrie

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferenţial dyși crește Δy funcții y=f(x)în acest moment X, ambele corespunzând aceluiași increment de argument Δx, în general, nu sunt egale între ele.

Sensul geometric al diferenţialului: Diferenţiala unei funcţii este egală cu incrementul ordonatei tangentei la graficul acestei funcţii atunci când argumentul este incrementat Δx.

Reguli de diferențiere

Teorema. Dacă fiecare dintre funcţii u(x)Și v(x) diferentiabila la un punct dat X, apoi suma, diferența, produsul și câtul acestor funcții (cotul cu condiția ca v(x)≠ 0) sunt, de asemenea, diferențiabile în acest moment, iar următoarele formule sunt valabile:

Luați în considerare o funcție complexă y=f(φ(x))≡ F(x), Unde y=f(u), u=φ(x). În acest caz u numit argument intermediar, X - variabila independenta.

Teorema. Dacă y=f(u)Și u=φ(x) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor, apoi derivata funcției complexe y=f(φ(x)) există și este egal cu produsul acestei funcții față de argumentul intermediar și derivata argumentului intermediar față de variabila independentă, i.e.

cometariu. Pentru o funcție complexă care este o suprapunere a trei funcții y=F(f(φ(x))), regula de diferențiere are forma

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

unde sunt functiile v=φ(x), u=f(v)Și y=F(u) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor.

Teorema. Lasă funcția y=f(x) este în creștere (sau în scădere) și continuă într-o anumită vecinătate a punctului x 0. Fie, în plus, această funcție să fie diferențiabilă în punctul indicat x 0și derivatul său în acest moment f′(x 0) ≠ 0. Apoi în vreo vecinătate a punctului corespunzător y 0 =f(x 0) inversul este definit pentru y=f(x) funcţie x=f -1 (y), iar funcția inversă indicată este diferențiabilă în punctul corespunzător y 0 =f(x 0) iar pentru derivatul său în acest moment y formula este valabila

Tabelul derivatelor

Invarianța formei primului diferențial

Să luăm în considerare diferența unei funcții complexe. Dacă y=f(x), x=φ(t)- funcțiile argumentelor lor sunt diferențiabile, apoi derivata funcției y=f(φ(t)) exprimat prin formula

y′ t = y′ x x′ t.

A-prioriu dy=y′ t dt, apoi primim

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Deci, am dovedit

Proprietatea de invarianță a formei primei diferențiale a unei funcții: ca în cazul când argumentul X este o variabilă independentă, iar în cazul în care argumentul Xîn sine este o funcție diferențiabilă a noii variabile, diferenţialul dy funcții y=f(x) este egală cu derivata acestei funcții înmulțită cu diferența argumentului dx.

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Am arătat că diferenţialul dy funcții y=f(x), în general, nu este egal cu incrementul Δy această funcție. Cu toate acestea, până la o funcție infinitezimală de un ordin mai mare de micime decât Δx, egalitatea aproximativă este valabilă

Δy ≈ dy.

Raportul se numește eroarea relativă a egalității acestei egalități. Deoarece Δy-dy=o(Δx), atunci eroarea relativă a acestei egalități devine la fel de mică pe cât se dorește odată cu descreșterea |Δх|.

Având în vedere că Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, primim f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx sau

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Această egalitate aproximativă permite cu eroare o(Δx) funcția de înlocuire f(x)într-un cartier mic al punctului X(adică pentru valori mici Δx) funcţia liniară a argumentului Δx, stând pe partea dreaptă.

Derivate de ordin superior

Definiție. Derivată a doua (sau derivată de ordinul doi) a unei funcții y=f(x) se numește derivata primei sale derivate.

Notație pentru derivata a doua a unei funcții y=f(x):

Sensul mecanic al derivatei a doua. Dacă funcţia y=f(x) descrie legea mișcării unui punct material într-o linie dreaptă, apoi derivata a doua f″(x) egală cu accelerația unui punct în mișcare în momentul de timp X.

Derivatele a treia și a patra sunt determinate în mod similar.

Definiție. n a-a derivată (sau derivată n-al-lea) funcţii y=f(x) se numește derivata acesteia n-1 derivata-a:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Denumiri: y″′, y IV, y V etc.

Sensul geometric al derivatului

DEFINIȚIA TANGENTEI LA O CURBA Tangent la o curbă y=ƒ(x) la punct M se numește poziție limită a unei secante trasate printr-un punct Mși punctul adiacent acestuia M 1 curba, cu condiția ca punctul M 1 se apropie la infinit de-a lungul curbei până la punct M. SENSUL GEOMETRIC AL DERIVATULUI Derivată a unei funcții y=ƒ(x) la punct X 0 este numeric egal cu tangentei unghiului de înclinare la axă Oh tangentă la curbă y=ƒ(x) la punct M (x 0; ƒ(x 0)).

VARIAȚIE DOTIC LA CURBA Punctată la curbă y=ƒ(x) exact M se numeste pozitia la limita a dreptei trasate prin punct M iar următorul punct cu ea M 1 strâmb, dincolo de minte, ce rost M 1 curba se apropie inevitabil de punct M. GEOMETRIC ZMIST POKHIDNOI Funcții similare y=ƒ(x) exact x 0 egal numeric cu tangentei pantei la axă Oh dotic, efectuat la curbă y=ƒ(x) exact M (x 0; ƒ(x 0)).

Sensul practic al derivatului

Să luăm în considerare ce înseamnă practic cantitatea pe care am găsit-o ca derivată a unei anumite funcții.

În primul rând, derivat- acesta este conceptul de bază al calculului diferenţial, care caracterizează rata de schimbare a unei funcţii la un punct dat.

Ce este „rata de schimbare”? Să ne imaginăm funcția f(x) = 5. Indiferent de valoarea argumentului (x), valoarea acestuia nu se modifică în niciun fel. Adică, rata modificării sale este zero.

Acum luați în considerare funcția f(x) = x. Derivata lui x este egala cu unu. Într-adevăr, este ușor de observat că pentru fiecare modificare a argumentului (x) cu unu, valoarea funcției crește și cu unu.

Din punct de vedere al informațiilor primite, acum să ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor simple. Pe baza acestui lucru, sensul fizic al găsirii derivatei unei funcții devine imediat clar. Această înțelegere ar trebui să faciliteze rezolvarea problemelor practice.

În consecință, dacă derivata arată rata de schimbare a unei funcții, atunci derivata dublă arată accelerație.

2080.1947

Data: 20.11.2014

Ce este un derivat?

Tabelul derivatelor.

Derivata este unul dintre conceptele principale ale matematicii superioare. În această lecție vom introduce acest concept. Să ne cunoaștem, fără formulări și dovezi matematice stricte.

Această cunoștință vă va permite să:

Înțelegeți esența sarcinilor simple cu derivate;

Rezolvați cu succes aceste sarcini simple;

Pregătiți-vă pentru lecții derivate mai serioase.

În primul rând, o surpriză plăcută.

Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor și treaba este destul de complicată. Acest lucru este supărător. Dar aplicarea practică a derivatelor, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de extinse și profunde!

Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar câțiva termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Asta e tot. Asta ma face fericit.

Să începem să ne cunoaștem?)

Termeni și denumiri.

Există multe operații matematice în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă mai adăugați o operație la aceste operații, matematica elementară devine mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.

Este important să înțelegem aici că diferențierea este pur și simplu o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, după anumite reguli, o transformăm. Rezultatul va fi o nouă funcție. Această nouă funcție se numește: derivat.

Diferenţiere- acţiune asupra unei funcţii.

Derivat este rezultatul acestei acțiuni.

La fel ca, de exemplu, sumă- rezultatul adunării. Sau privat- rezultatul diviziunii.

Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formularea este următoarea: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivatași așa mai departe. Asta este tot la fel. Desigur, există și sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea problemei.

Derivata este notată printr-o liniuță în dreapta sus, deasupra funcției. Ca aceasta: y" sau f"(x) sau Sf)și așa mai departe.

citit y stroke, ef stroke din x, es stroke din te, bine, ai inteles...)

Un prim poate desemna, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. Adesea, derivatele sunt notate folosind diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.

Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Tot ce rămâne este să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli. Aceste reguli sunt surprinzător de puține.

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știi doar trei lucruri. Trei piloni pe care se sprijină toată diferențierea. Iată acești trei piloni:

1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).

3. Derivata unei functii complexe.

Să începem în ordine. În această lecție, vom lua în considerare tabelul derivatelor.

Tabelul derivatelor.

Lumea are un număr infinit de funcții. Printre acest set există funcții care sunt cele mai importante pentru utilizare practică. Aceste funcții se află în toate legile naturii. Din aceste funcții, ca și din cărămizi, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.

Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. Pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor, acesta este un lucru destul de intensiv în muncă. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața (și pe noi). Ei au calculat derivate ale funcțiilor elementare înaintea noastră. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)

Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. Stânga - funcție elementară, dreapta - derivata ei.

	Funcţie y	Derivată a funcției y y"
1	C (valoare constantă)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - orice număr)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	Buturuga A X
	ln x ( a = e)

Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Înțelegi indiciu?) Da, este indicat să cunoști pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să rezolvați mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)

Găsirea valorii de tabel a derivatului, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Aflați derivata funcției y = x 3

Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată a unei funcții de putere în formă generală (al treilea grup). În cazul nostru, n=3. Deci înlocuim trei în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Asta este.

Răspuns: y" = 3x 2

2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.

Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0 la acest derivat. E in ordinea asta! Altfel, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției originale, ci valoarea derivatul său. Derivatul, permiteți-mi să vă reamintesc, este o funcție nouă.

Folosind tableta găsim sinusul și derivata corespunzătoare:

y" = (sinx)" = cosx

Inlocuim zero in derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Acesta va fi răspunsul.

3. Diferențiați funcția:

Ce, inspiră?) Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor.

Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, căutarea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare. Masa nu ajuta...

Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinusul unui unghi dublu, atunci totul devine mai bine imediat!

Da Da! Amintiți-vă că transformarea funcției inițiale înainte de diferențiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Folosind formula cosinusului cu unghi dublu:

Acestea. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cox. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:

Răspuns: y" = - sin x.

Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:

4. Aflați derivata funcției:

Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă vă amintiți matematica elementară, operațiile cu puteri... Atunci este foarte posibil să simplificați această funcție. Ca aceasta:

Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Scriem direct după formula:

Asta e tot. Acesta va fi răspunsul.

Sper că totul este clar cu primul pilon de diferențiere - tabelul derivatelor. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare vom învăța regulile de diferențiere.

Fie ca funcția să fie definită într-un punct și o parte din vecinătatea acestuia. Să dăm argumentului un increment astfel încât punctul să se încadreze în domeniul de definire al funcției. Funcția va fi apoi incrementată.

DEFINIȚIE. Derivată a unei funcții într-un punct se numește limita raportului dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argumentului, la (dacă această limită există și este finită), adică.

Notați: ,,,.

Derivată a unei funcții într-un punct din dreapta (stânga) numit

(dacă această limită există și este finită).

Desemnată prin: , – derivată în punctul din dreapta,

, este derivata în punctul din stânga.

Evident, următoarea teoremă este adevărată.

TEOREMA. O funcție are o derivată într-un punct dacă și numai dacă în acest punct derivatele funcției din dreapta și din stânga există și sunt egale între ele. în plus

Următoarea teoremă stabilește o legătură între existența unei derivate a unei funcții într-un punct și continuitatea funcției în acel punct.

TEOREMA (conditie necesara pentru existenta unei derivate a unei functii intr-un punct). Dacă o funcție are o derivată într-un punct, atunci funcția în acel punct este continuă.

DOVADA

Lasă-l să existe. Apoi

,

unde este infinitezimal la.

cometariu

derivata unei functii si denota

diferențierea funcției .

SENS GEOMETRIC ȘI FIZIC

1) Sensul fizic al derivatului. Dacă o funcție și argumentul ei sunt mărimi fizice, atunci derivata este rata de schimbare a unei variabile în raport cu variabila într-un punct. De exemplu, dacă este distanța parcursă de un punct în timp, atunci derivata sa este viteza în momentul de timp. Dacă este cantitatea de electricitate care curge prin secțiunea transversală a conductorului într-un moment de timp, atunci este rata de modificare a cantității de electricitate într-un moment de timp, adică puterea curentă la un moment dat.

2) Sensul geometric al derivatului.

Să fie o curbă, să fie un punct pe curbă.

Se numește orice dreaptă care intersectează cel puțin două puncte secantă .

Tangent la o curbă într-un punct numită poziția limită a unei secante dacă punctul tinde să se deplaseze de-a lungul unei curbe.

Din definiție este evident că dacă o tangentă la o curbă există într-un punct, atunci este singura

Luați în considerare o curbă (adică un grafic al unei funcții). Să aibă o tangentă neverticală într-un punct. Ecuația sa: (ecuația unei drepte care trece printr-un punct și având un coeficient unghiular).

Prin definiția pantei

unde este unghiul de înclinare al dreptei față de axă.

Fie unghiul de înclinare al secantei față de axă, unde. De când este o tangentă, atunci când

Prin urmare,

Astfel, am prins asta – coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției în punct(sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct). Prin urmare, ecuația tangentei la curbă într-un punct poate fi scrisă sub formă

cometariu . Se numește o dreaptă care trece printr-un punct perpendicular pe tangenta trasată la curbă în punctul respectiv normală cu curba în punct . Deoarece pantele dreptelor perpendiculare sunt legate de relația , ecuația normalei la curba în punctul respectiv va arăta ca

, Dacă .

Dacă , atunci tangenta la curba în punct va avea forma

si normal.

ECUAȚII TANGENȚE ȘI NORMALE

Ecuația tangentei

Fie ca funcția să fie dată de ecuație y=f(X), trebuie să scrieți ecuația tangentă la punct X 0. Din definiția derivatului:

y/(X)=limΔ X→0Δ yΔ X

Δ y=f(X+Δ X)−f(X).

Ecuația tangentă la graficul funcției: y=kx+b (k,b=const). Din sensul geometric al derivatului: f/(X 0)=tgα= k Deoarece X 0 și f(X 0)∈ dreaptă, apoi ecuația tangentă se scrie ca: y−f(X 0)=f/(X 0)(X−X 0) sau

y=f/(X 0)· X+f(X 0)−f/(X 0)· X 0.

Ecuație normală

Normal- este perpendicular pe tangentă(Vezi poza). Bazat pe acest lucru:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(X 0)

Deoarece unghiul de înclinare al normalei este unghiul β1, atunci avem:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(X).

Punct ( X 0,f(X 0))∈ normal, ecuația ia forma:

y−f(X 0)=−1f/(X 0)(X−X 0).

DOVADA

Lasă-l să existe. Apoi

,

unde este infinitezimal la.

Dar aceasta înseamnă că este continuă într-un punct (vezi definiția geometrică a continuității). ∎

cometariu . Continuitatea unei funcții într-un punct nu este o condiție suficientă pentru existența unei derivate a acestei funcții într-un punct. De exemplu, o funcție este continuă, dar nu are derivată într-un punct. Într-adevăr,

si deci nu exista.

Evident, corespondența este o funcție definită pe un anumit set. Ei o sună derivata unei functii si denota

Operația de a găsi pentru o funcție funcția sa derivată se numește diferențierea funcției .

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(x) și g(x) ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

(f + g)’ = f ’ + g ’

(f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescrisă ca sumă f + (−1) g, și atunci rămâne o singură formulă - derivata sumei.