Modelul stocastic în economie. Modele deterministe și stocastice

Modelarea este unul dintre cele mai importante instrumente din viața modernă atunci când cineva dorește să se prevadă viitorul. Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece acuratețea acestei metode este foarte mare. Să aruncăm o privire la ce este un model determinist în acest articol.

informatii generale

Modelele de sisteme deterministe au caracteristica că pot fi analizate analitic dacă sunt suficient de simple. În caz contrar, atunci când se utilizează un număr semnificativ de ecuații și variabile în acest scop, pot fi folosite calculatoare electronice. Mai mult, asistența computerizată, de regulă, se reduce doar la rezolvarea acestora și găsirea de răspunsuri. Din acest motiv, este necesar să se schimbe sistemele de ecuații și să se utilizeze o discretizare diferită. Și acest lucru implică un risc crescut de erori în calcule. Toate tipurile de modele deterministe se caracterizează prin faptul că cunoașterea parametrilor pe un anumit interval studiat ne permite să determinăm pe deplin dinamica dezvoltării dincolo de indicatorii cunoscuți.

Particularități

Modelarea factorială

Referințe la acest lucru au putut fi văzute de-a lungul articolului, dar nu am discutat încă despre ce este vorba. Modelarea factorială presupune evidențierea principalelor prevederi, pentru care este necesară o comparație cantitativă. Pentru atingerea scopurilor stabilite, studiul produce o transformare a formei.

Dacă un model rigid determinist are mai mult de doi factori, atunci se numește multifactorial. Analiza acestuia poate fi efectuată prin diferite metode. Ca exemplu, dăm În acest caz, se consideră sarcinile stabilite din punct de vedere al modelelor a priori prestabilite și dezvoltate. Alegerea dintre ele se face în funcție de reprezentarea conținutului.

Pentru construcția calitativă a modelului este necesar să se utilizeze studii teoretice și experimentale ale esenței procesului tehnologic și a relațiilor sale cauză-efect. Acesta este tocmai principalul avantaj al subiectelor pe care le luăm în considerare. Modelele deterministe permit o prognoză precisă în multe domenii ale vieții noastre. Datorită parametrilor lor de calitate și versatilitate, acestea au devenit atât de răspândite.

Modele deterministe cibernetice

Ele sunt de interes pentru noi datorită proceselor tranzitorii bazate pe analiză care apar cu orice, chiar și cu cele mai nesemnificative modificări ale proprietăților agresive ale mediului extern. Pentru simplitate și rapiditate a calculelor, situația actuală este înlocuită cu un model simplificat. Este important ca acesta să îndeplinească toate cerințele de bază.

Eficiența sistemului de control automat și eficacitatea deciziilor sale depind de unitatea tuturor parametrilor necesari. În același timp, este necesar să se rezolve următoarea problemă: cu cât se colectează mai multe informații, cu atât este mai mare probabilitatea de eroare și cu atât timpul de procesare este mai lung. Dar dacă limitați colectarea datelor dvs., atunci puteți conta pe un rezultat mai puțin fiabil. Prin urmare, este necesar să se găsească o cale de mijloc care să permită obținerea de informații de suficientă acuratețe și, în același timp, să nu fie complicată inutil de elemente inutile.

Model determinist multiplicativ

Este construit prin împărțirea factorilor în setul lor. Ca exemplu, putem lua în considerare procesul de formare a volumului produselor fabricate (PP). Deci, pentru aceasta este necesar să aveți forță de muncă (PC), materiale (M) și energie (E). În acest caz, factorul PP poate fi împărțit într-o mulțime (RS; M; E). Această opțiune reflectă forma multiplicativă a sistemului de factori și posibilitatea de separare a acestuia. În acest caz, puteți utiliza următoarele metode de transformare: expansiune, descompunere formală și alungire. Prima opțiune și-a găsit o aplicare largă în analiză. Poate fi folosit pentru a calcula performanța unui angajat și așa mai departe.

Alungirea înlocuiește o valoare cu alți factori. Dar rezultatul final ar trebui să fie același număr. Un exemplu de extindere a fost considerat de noi mai sus. Rămâne doar expansiunea formală. Implică utilizarea prelungirii numitorului modelului factorial original datorită înlocuirii unuia sau mai multor parametri. Luați în considerare acest exemplu: calculăm profitabilitatea producției. Pentru a face acest lucru, valoarea profitului este împărțită la valoarea costurilor. Când înmulțim, în loc de o singură valoare, împărțim la cheltuielile însumate pentru material, personal, impozite etc.

Probabilități

Oh, dacă totul a decurs exact așa cum a fost planificat! Dar asta se întâmplă rar. Prin urmare, în practică, deterministe și sunt adesea folosite împreună.Ce se poate spune despre acestea din urmă? Particularitatea lor este că iau în considerare și diverse probabilități. Luați, de exemplu, următoarele. Există două stări. Relațiile dintre ei sunt foarte proaste. Terțul decide dacă investește în întreprinderile uneia dintre țări. La urma urmei, dacă izbucnește un război, profiturile vor avea de suferit foarte mult. Sau puteți cita exemplul construirii unei centrale într-o zonă cu activitate seismică ridicată. Aici, până la urmă, există factori naturali care nu pot fi luați în considerare exact, se poate face doar aproximativ.

Concluzie

Am luat în considerare ce sunt modelele de analiză deterministă. Din păcate, pentru a le înțelege pe deplin și a le putea pune în practică, ar trebui să înveți foarte bine. Bazele teoretice sunt deja la locul lor. De asemenea, în cadrul articolului, au fost prezentate exemple simple separate. În plus, este mai bine să urmați calea de complicare treptată a materialului de lucru. Puteți să vă simplificați puțin sarcina și să începeți să învățați software care poate efectua simularea adecvată. Dar oricare ar fi alegerea, înțelegeți elementele de bază și puteți răspunde la întrebări despre ce, cum și de ce, este încă necesar. Ar trebui să învățați să începeți cu alegerea datelor de intrare potrivite și alegerea acțiunilor potrivite. Apoi, programele își vor putea îndeplini cu succes sarcinile.

Modelele de sistem despre care am vorbit până acum au fost deterministe (definite), adică. sarcina acțiunii de intrare a determinat ieșirea sistemului fără ambiguitate. Cu toate acestea, acest lucru se întâmplă rar în practică: descrierea sistemelor reale este de obicei caracterizată de incertitudine. De exemplu, pentru un model static, incertitudinea poate fi luată în considerare prin scrierea relației de loc (2.1).

unde eroarea se reduce la ieșirea sistemului.

Motivele incertitudinii sunt variate:

– erori și interferențe în măsurători ale intrărilor și ieșirilor sistemului (erori naturale);

– inexactitatea modelului de sistem în sine, ceea ce face necesară introducerea artificială a unei erori în model;

– informații incomplete despre parametrii sistemului etc.

Dintre diversele modalități de clarificare și formalizare a incertitudinii, cea mai răspândită este abordarea haotică (probabilistă), în care cantitățile incerte sunt considerate aleatoare. Aparatul conceptual și de calcul dezvoltat al teoriei probabilităților și al statisticii matematice face posibilă darea de recomandări specifice pentru alegerea structurii unui sistem și estimarea parametrilor acestuia. Clasificarea modelelor stocastice de sisteme și metode pentru studiul lor este prezentată în tabel. 1.4. Concluziile și recomandările se bazează pe efectul de mediere: abaterile aleatorii ale rezultatelor măsurării unei anumite cantități de la valoarea ei așteptată se anulează reciproc atunci când sunt însumate, iar media aritmetică a unui număr mare de măsurători se dovedește a fi apropiată de valoarea așteptată. . Formulările matematice ale acestui efect sunt date de legea numerelor mari și teorema limitei centrale. Legea numerelor mari spune că dacă sunt variabile aleatoare cu așteptări matematice (medie) și varianță, atunci

pentru suficient de mare N. Aceasta indică posibilitatea fundamentală a unei estimări arbitrar precise din măsurători. Teorema limită centrală, care rafinează (2.32), afirmă că

unde este o variabilă aleatoare standard distribuită normal

Deoarece distribuția mărimii este bine cunoscută și tabulată (de exemplu, se știe că relația (2.33) ne permite să calculăm eroarea de estimare. Să fie, de exemplu, se cere să aflăm la ce număr de măsurători eroarea în estimare așteptarea lor matematică cu o probabilitate de 0,95 va fi mai mică de 0,01 , dacă varianța fiecărei măsurători este egală cu 0,25 Din (2.33) aflăm că inegalitatea trebuie să fie valabilă de unde N> 10000.

Desigur, formulărilor (2.32), (2.33) li se poate da o formă mai riguroasă, iar acest lucru se poate realiza cu ușurință folosind conceptele de convergență probabilistică. Apar dificultăți atunci când se încearcă verificarea condițiilor acestor afirmații stricte. De exemplu, în legea numerelor mari și teorema limită centrală, sunt necesare independența măsurătorilor (realizărilor) individuale ale unei variabile aleatorii și caracterul finit al varianței acesteia. Dacă aceste condiții sunt încălcate, atunci concluziile pot fi și ele încălcate. De exemplu, dacă toate măsurătorile sunt aceleași: atunci, deși toate celelalte condiții sunt îndeplinite, media este exclusă. Un alt exemplu: legea numerelor mari este nedreaptă dacă variabilele aleatoare sunt distribuite conform legii Cauchy (cu o densitate de distribuție care nu are așteptări și variații matematice finite. Dar o astfel de lege apare în viață! pe mare (pe o navă) și pornit în momente aleatorii.

Dar și mai dificilă este verificarea validității înseșii utilizării termenului „aleatoriu”. Ce este o variabilă aleatoare, un eveniment aleatoriu etc. Se spune adesea că evenimentul DARîntâmplător, dacă în urma experimentului poate apărea (cu o probabilitate R) să nu apară sau să nu apară (cu o probabilitate de 1- R). Totul, însă, nu este atât de simplu. Conceptul de probabilitate în sine poate fi asociat cu rezultatele experimentelor numai prin frecvența apariției sale într-un anumit rând (serie) de experimente: , unde N / A este numărul de experimente în care a avut loc evenimentul, N- numărul total; experimente. Dacă numere pentru suficient de mari N se apropie de un număr constant r A:

acel eveniment DAR poate fi numit aleatoriu, iar numărul R- probabilitatea acesteia. În acest caz, frecvențele observate în diferite serii de experimente ar trebui să fie apropiate una de alta (această proprietate se numește stabilitate statistică sau omogenitate). Acest lucru se aplică și conceptului de variabilă aleatoare, deoarece valoarea este aleatorie dacă evenimentele sunt aleatoare (și<£<Ь} для любых чисел A,b. Frecvențele de apariție a unor astfel de evenimente în serii lungi de experimente ar trebui să se grupeze în jurul unor valori constante.

Deci, pentru aplicabilitatea abordării stocastice, trebuie îndeplinite următoarele cerințe:

1) natura de masă a experimentelor, i.e. un număr suficient de mare;

2) repetabilitatea condițiilor experimentelor, justificând compararea rezultatelor diferitelor experimente;

3) stabilitate statistică.

Abordarea stocastică, evident, nu poate fi aplicată unor experimente individuale: expresii precum „probabilitatea ca mâine să plouă”, „Zenithul va câștiga cupa cu o probabilitate de 0,8”, etc. sunt lipsite de sens. Dar chiar dacă există experimente pe scară largă și repetabile, este posibil să nu existe stabilitate statistică și nu este o sarcină ușoară să verifici acest lucru. Estimările cunoscute ale abaterii frecvenței de la probabilitate se bazează pe teorema limită centrală sau pe inegalitatea lui Cebyshev și necesită ipoteze suplimentare despre independența sau dependența slabă a măsurătorilor. Verificarea experimentală a condiției de independență este și mai dificilă, deoarece necesită experimente suplimentare.

Metodologia și rețetele practice de aplicare a teoriei probabilității sunt descrise mai detaliat în cartea instructivă a lui V.N. Tutubalina, a cărei idee este dată de următoarele citate:

„Este extrem de important să eradicăm amăgirea, întâlnită uneori printre inginerii și oamenii de știință natural care nu sunt suficient de familiarizați cu teoria probabilității, că rezultatul oricărui experiment poate fi considerat o variabilă aleatorie. În cazuri deosebit de severe, acest lucru este însoțit de credința în legea distribuției normale, iar dacă variabilele aleatoare în sine nu sunt normale, atunci ei cred că logaritmii lor sunt normali.

„Potrivit conceptelor moderne, domeniul de aplicare al metodelor probabilistice se limitează la fenomene care se caracterizează prin stabilitate statistică. Cu toate acestea, testul de stabilitate statistică este dificil și întotdeauna incomplet, în plus, de multe ori dă o concluzie negativă. Ca urmare, în domenii întregi de cunoaștere, de exemplu, în geologie, o astfel de abordare a devenit norma, în care stabilitatea statistică nu este deloc verificată, ceea ce duce inevitabil la erori grave. În plus, propaganda ciberneticii, întreprinsă de oamenii noștri de știință de frunte, a dat (în unele cazuri!) un rezultat oarecum neașteptat: acum se crede că doar o mașină (și nu o persoană) este capabilă să obțină rezultate științifice obiective.

În astfel de împrejurări, datoria fiecărui profesor este să propagă din nou și din nou acel vechi adevăr pe care Petru I a încercat (fără succes) să-i inspire pe comercianții ruși: că trebuie să faci comerț cinstit, fără înșelăciune, pentru că în cele din urmă este mai profitabil pentru ei înșiși.

Cum se construiește un model de sistem dacă există incertitudine în problemă, dar abordarea stocastică nu este aplicabilă? Una dintre abordările alternative bazate pe teoria mulțimilor fuzzy este prezentată pe scurt mai jos.

Vă reamintim că o relație (relație între și) este o submulțime a unei mulțimi. acestea. un set de perechi R=(( X, la)), Unde,. De exemplu, o relație funcțională (dependență) poate fi reprezentată ca o relație între mulțimi, inclusiv perechi ( X, la) pentru care.

În cel mai simplu caz, poate, un R este o relație de identitate dacă.

Exemplele 12-15 din tabel. 1. 1 inventat în 1988 de un elev din clasa 86 a școlii 292 M. Koroteev.

Matematicianul de aici, desigur, va observa că minimul din (1.4), strict vorbind, poate să nu fie atins, iar în formularea (1.4) este necesar să se înlocuiască rnin cu inf („infimum” este infimumul lui). a stabilit). Cu toate acestea, situația nu se va schimba din această cauză: formalizarea în acest caz nu reflectă esența problemei; efectuat incorect. Pe viitor, pentru a nu „sperii” inginerul, vom folosi notația min, max; având în vedere că, dacă este necesar, acestea ar trebui înlocuite cu inf, sup.

Aici termenul „structură” este folosit într-un sens oarecum mai restrâns; 1.1 și înseamnă compoziția subsistemelor din sistem și tipurile de conexiuni între ele.

Un grafic este o pereche ( G, R), unde G=(g 1 ... gn) este o mulțime finită de vârfuri, a - relație binară pe G. Dacă, atunci și numai dacă, atunci se spune că graficul este nedirecționat; în caz contrar, direcționat. Perechile se numesc arce (margini), iar elementele multimii G- vârfuri grafice.

Adică algebric sau transcendental.

Strict vorbind, un set numărabil este un fel de idealizare care nu poate fi implementată în practică din cauza dimensiunii finite a sistemelor tehnice și a limitelor percepției umane. Astfel de modele idealizate (de exemplu, mulțimea numerelor naturale N=(1, 2,...)) are sens să se introducă pentru mulțimi de elemente finite, dar cu un număr nelimitat (sau necunoscut) de elemente anterior.

Formal, conceptul de operație este un caz special al conceptului de relație între elementele mulțimilor. De exemplu, operația de adunare a două numere definește o relație de 3 locuri (ternară). R: triplet de numere (x, y, z) z) aparține relației R(scriem (x, y, z)) dacă z = x+y.

Număr complex, argument de polinoame DAR(), LA().

Această presupunere este adesea îndeplinită în practică.

Dacă valoarea este necunoscută, atunci ar trebui înlocuită în (2.33) cu estimarea unde În acest caz, valoarea va fi distribuită nu normal, ci conform legii Student, care este practic imposibil de distins de cea normală la.

Este ușor de observat că (2.34) este un caz special de (2.32) atunci când este luată dacă evenimentul DAR a venit în j- m experiment, altfel. în care

Și astăzi puteți adăuga „... și informatica” (nota autorului).

1. Modele matematice deterministe și probabiliste în economie. Avantaje și dezavantaje

Metodele de studiere a proceselor economice se bazează pe utilizarea modelelor matematice - deterministe și probabiliste - reprezentând procesul, sistemul sau tipul de activitate studiat. Astfel de modele oferă o descriere cantitativă a problemei și servesc drept bază pentru luarea deciziilor manageriale în căutarea celei mai bune opțiuni. Cât de justificate sunt aceste decizii, sunt cele mai bune posibile, au fost luați în considerare și cântăriți toți factorii care determină soluția optimă, care este criteriul care vă permite să determinați că această soluție este cu adevărat cea mai bună - acestea sunt gama de întrebări care sunt de mare importanță pentru managerii de producție, iar răspunsul la care poate fi găsit folosind metodele de cercetare operațională [Ceșnokov S. V. Analiza deterministă a datelor socio-economice. - M.: Nauka, 1982, p. 45].

Unul dintre principiile de formare a sistemului de control este metoda modelelor cibernetice (matematice). Modelarea matematică ocupă o poziție intermediară între experiment și teorie: nu este nevoie să construim un model fizic real al sistemului, acesta va fi înlocuit cu un model matematic. Particularitatea formării sistemului de control constă în abordarea probabilistică, statistică, a proceselor de control. În cibernetică, se acceptă că orice proces de control este supus unor influențe aleatorii, perturbatoare. Deci, procesul de producție este influențat de un număr mare de factori, care nu pot fi luați în considerare în mod determinist. Prin urmare, se consideră că procesul de producție este afectat de semnale aleatorii. Din acest motiv, planificarea muncii unei întreprinderi nu poate fi decât probabilistică.

Din aceste motive, atunci când vorbim despre modelarea matematică a proceselor economice, de multe ori se înțeleg modele probabilistice.

Să descriem fiecare dintre tipurile de modele matematice.

Modelele matematice deterministe se caracterizează prin faptul că descriu relația anumitor factori cu indicatorul de performanță ca o dependență funcțională, adică în modelele deterministe, indicatorul de performanță al modelului este prezentat ca produs, coeficient, sumă algebrică a factorilor sau ca orice altă funcție. Acest tip de modele matematice este cel mai des întâlnit, deoarece, fiind destul de simplu de utilizat (comparativ cu modelele probabilistice), vă permite să înțelegeți logica acțiunii principalelor factori în desfășurarea procesului economic, să cuantificați influența acestora, înțelegeți ce factori și în ce proporție este posibil și oportun să se schimbe pentru a crește eficiența producției.

Modelele matematice probabiliste diferă fundamental de cele deterministe prin aceea că în modelele probabilistice relația dintre factori și caracteristica rezultată este probabilistică (stochastică): cu o dependență funcțională (modele deterministe), aceeași stare a factorilor corespunde singurei stări a rezultatului. caracteristică, în timp ce în modelele probabilistice una și aceeași stare a factorilor corespunde unui întreg set de stări ale atributului rezultat [Tolstova Yu. N. Logica analizei matematice a proceselor economice. - M.: Nauka, 2001, p. 32-33].

Avantajul modelelor deterministe este ușurința lor de utilizare. Principalul dezavantaj este adecvarea scăzută a realității, deoarece, după cum sa menționat mai sus, majoritatea proceselor economice sunt de natură probabilistică.

Avantajul modelelor probabiliste este că, de regulă, sunt mai conforme cu realitatea (mai adecvate) decât cele deterministe. Cu toate acestea, dezavantajul modelelor probabiliste este complexitatea și laboriozitatea aplicării lor, așa că în multe situații este suficient să ne limităm la modele deterministe.

Pentru prima dată, formularea unei probleme de programare liniară sub forma unei propuneri de pregătire a unui plan optim de transport; permițând reducerea la minimum a kilometrajului total, a fost dat în lucrarea economistului sovietic A. N. Tolstoi în 1930.

Studiile sistematice ale problemelor de programare liniară și dezvoltarea metodelor generale de rezolvare a acestora au fost dezvoltate în continuare în lucrările matematicienilor ruși L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov și alți matematicieni și economiști. De asemenea, multe lucrări ale oamenilor de știință străini și, mai ales, americani sunt dedicate metodelor de programare liniară.

Sarcina programării liniare este de a maximiza (minimiza) o funcție liniară.

, Unde

sub restricții

si tot

Cometariu. Inegalitățile pot avea și sensul opus. Înmulțind inegalitățile corespunzătoare cu (-1), se poate obține întotdeauna un sistem de forma (*).

Dacă numărul de variabile ale sistemului de constrângeri și funcția obiectiv în modelul matematic al problemei este 2, atunci acesta poate fi rezolvat grafic.

Deci trebuie să maximizăm funcția

la un sistem satisfăcător de constrângeri.

Să ne întoarcem la una dintre inegalitățile sistemului de constrângeri.

Din punct de vedere geometric, toate punctele care satisfac această inegalitate trebuie fie să se afle pe o dreaptă

, sau aparțin unuia dintre semiplanurile în care este împărțit planul acestei linii. Pentru a afla, trebuie să verificați care dintre ele conține un punct ().

Observaţia 2. Dacă

, este mai ușor să luați punctul (0;0).

Condiții pentru non-negativitate

definiți de asemenea semiplanuri, respectiv, cu linii de limită

. Presupunem că sistemul de inegalități este consistent, atunci semiplanurile, care se intersectează, formează o parte comună, care este o mulțime convexă și este o colecție de puncte ale căror coordonate sunt soluția acestui sistem - acesta este mulțimea soluțiilor fezabile. . Mulțimea acestor puncte (soluții) se numește poligon soluție. Poate fi un punct, o rază, un poligon, o zonă poligonală nemărginită. Astfel, sarcina programării liniare este de a găsi un astfel de punct al poligonului soluție la care funcția obiectiv ia valoarea maximă (minimă). Acest punct există atunci când poligonul soluție nu este gol și funcția obiectiv de pe acesta este mărginită de sus (de jos). În aceste condiții, la unul dintre vârfurile poligonului de decizie, funcția obiectiv ia valoarea maximă. Pentru a determina acest vârf, construim o linie dreaptă

(unde h este o constantă). Cel mai adesea luat drept

. Rămâne să aflăm direcția de mișcare a acestei linii drepte. Această direcție este determinată de gradientul (anti-gradientul) funcției obiectiv.

perpendicular pe o dreaptă în fiecare punct

, deci valoarea lui f va crește atunci când linia dreaptă se deplasează în direcția gradientului (scăderea în direcția anti-gradient). Pentru a face acest lucru, paralel cu linia

trage linii drepte, deplasându-se în direcția gradientului (anti-gradient).

Vom continua aceste construcții până când linia trece prin ultimul vârf al poligonului soluție. Acest punct determină valoarea optimă.

Deci, găsirea unei soluții la o problemă de programare liniară printr-o metodă geometrică include următorii pași:

Se construiesc linii ale căror ecuații sunt obținute ca urmare a înlocuirii semnelor inegalităților din restricții cu semne ale egalităților exacte.

Aflați semiplanurile definite de fiecare dintre constrângerile problemei.

Găsiți un poligon soluție.

Construiește vector

Construiți o linie dreaptă

Construiți linii paralele

în direcția gradientului sau anti-gradientului, în urma căruia se găsește punctul în care funcția ia valoarea maximă sau minimă, sau se stabilește nelimitarea de sus (de jos) a funcției pe mulțimea admisibilă.

Se determină coordonatele punctului maxim (minim) al funcției și se calculează valoarea funcției obiectiv în acest punct.

Problema nutriției raționale (problema dietei)

Formularea problemei

Ferma produce animale de îngrășat în scop comercial. Pentru simplitate, să presupunem că există doar patru tipuri de produse: P1, P2, P3, P4; costul unitar al fiecărui produs este C1, C2, C3, C4, respectiv. Din aceste produse este necesar să se facă o dietă, care să conțină: proteine - cel puțin unități b1; carbohidrați - nu mai puțin de unități b2; grăsime - cel puțin b3 unități. Pentru produsele P1, P2, P3, P4, conținutul de proteine, carbohidrați și grăsimi (în unități pe unitate de produs) este cunoscut și dat în tabel, unde aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - unele numere specifice primul indice indică numărul produsului, al doilea - numărul elementului (proteine, carbohidrați, grăsimi).

Modele matematice în economie și programare

1. Modele matematice deterministe și probabiliste în economie. Avantaje și dezavantaje

Din aceste motive, atunci când vorbim despre modelarea matematică a proceselor economice, de multe ori se înțeleg modele probabilistice.

Să descriem fiecare dintre tipurile de modele matematice.

2. Enunțarea problemei de programare liniară pe exemplul problemei rației alimentare

Sarcina programării liniare este de a maximiza (minimiza) o funcție liniară.

sub restricții

si tot

Cometariu. Inegalitățile pot avea și sensul opus. Înmulțind inegalitățile corespunzătoare cu (-1), se poate obține întotdeauna un sistem de forma (*).

Dacă numărul de variabile ale sistemului de constrângeri și funcția obiectiv în modelul matematic al problemei este 2, atunci acesta poate fi rezolvat grafic.

Deci, este necesar să se maximizeze funcția la un sistem satisfăcător de constrângeri.

Să ne întoarcem la una dintre inegalitățile sistemului de constrângeri.

Din punct de vedere geometric, toate punctele care satisfac această inegalitate trebuie fie să se afle pe linie, fie să aparțină unuia dintre semiplanurile în care este împărțit planul acestei drepte. Pentru a afla, trebuie să verificați care dintre ele conține un punct ().

Observația 2. Dacă , atunci este mai ușor să luăm punctul (0;0).

Condițiile de non-negativitate definesc, de asemenea, semiplanuri, respectiv, cu linii de limită. Presupunem că sistemul de inegalități este consistent, atunci semiplanurile, care se intersectează, formează o parte comună, care este o mulțime convexă și este o colecție de puncte ale căror coordonate sunt soluția acestui sistem - acesta este mulțimea soluțiilor fezabile. . Mulțimea acestor puncte (soluții) se numește poligon soluție. Poate fi un punct, o rază, un poligon, o zonă poligonală nemărginită. Astfel, sarcina programării liniare este de a găsi un astfel de punct al poligonului soluție la care funcția obiectiv ia valoarea maximă (minimă). Acest punct există atunci când poligonul soluție nu este gol și funcția obiectiv de pe acesta este mărginită de sus (de jos). În aceste condiții, la unul dintre vârfurile poligonului de decizie, funcția obiectiv ia valoarea maximă. Pentru a determina acest vârf, construim o linie dreaptă (unde h este o constantă). Cel mai adesea, se ia o linie dreaptă. Rămâne să aflăm direcția de mișcare a acestei linii drepte. Această direcție este determinată de gradientul (anti-gradientul) funcției obiectiv.

Vectorul din fiecare punct este perpendicular pe linie, deci valoarea lui f va crește pe măsură ce linia se mișcă în direcția gradientului (scăderea în direcția antigradientului). Pentru a face acest lucru, desenăm linii drepte paralele cu linia dreaptă, deplasându-se în direcția gradientului (anti-gradient).

Vom continua aceste construcții până când linia trece prin ultimul vârf al poligonului soluție. Acest punct determină valoarea optimă.

Deci, găsirea unei soluții la o problemă de programare liniară printr-o metodă geometrică include următorii pași:

Se construiesc linii ale căror ecuații sunt obținute ca urmare a înlocuirii semnelor de inegalități din restricții cu semne de egalități exacte.

Aflați semiplanurile definite de fiecare dintre constrângerile problemei.

Găsiți un poligon soluție.

Construiește un vector.

Construiți o linie dreaptă.

Liniile paralele sunt construite în direcția gradientului sau anti-gradientului, în urma cărora găsesc punctul în care funcția ia valoarea maximă sau minimă sau setează funcția să fie nemărginită de sus (de jos) pe set admisibil.

Se determină coordonatele punctului maxim (minim) al funcției și se calculează valoarea funcției obiectiv în acest punct.

Problema nutriției raționale (problema dietei)

Formularea problemei

Ferma produce animale de îngrășat în scop comercial. Pentru simplitate, să presupunem că există doar patru tipuri de produse: P1, P2, P3, P4; costul unitar al fiecărui produs este C1, C2, C3, C4, respectiv. Din aceste produse este necesar să se facă o dietă, care să conțină: proteine - cel puțin unități b1; carbohidrați - nu mai puțin de unități b2; grăsime - cel puțin b3 unități. Pentru produsele P1, P2, P3, P4, conținutul de proteine, carbohidrați și grăsimi (în unități per unitate de produs) este cunoscut și dat în tabel, unde aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - unele numere specifice primul indice indică numărul produsului, al doilea - numărul elementului (proteine, carbohidrați, grăsimi).

23 ianuarie 2017

Modelul stocastic descrie situația în care există incertitudine. Cu alte cuvinte, procesul este caracterizat de un anumit grad de aleatorie. Adjectivul „stohastic” în sine provine din cuvântul grecesc „ghici”. Deoarece incertitudinea este o caracteristică cheie a vieții de zi cu zi, un astfel de model poate descrie orice.

Cu toate acestea, de fiecare dată când îl aplicăm, rezultatul va fi diferit. Prin urmare, modelele deterministe sunt mai des folosite. Deși nu sunt cât mai aproape de starea reală a lucrurilor, ele dau întotdeauna același rezultat și fac mai ușor de înțeles situația, o simplifică prin introducerea unui set de ecuații matematice.

Caracteristici principale

Un model stocastic include întotdeauna una sau mai multe variabile aleatoare. Ea caută să reflecte viața reală în toate manifestările ei. Spre deosebire de modelul determinist, cel stocastic nu își propune să simplifice totul și să-l reducă la valori cunoscute. Prin urmare, incertitudinea este caracteristica sa cheie. Modelele stocastice sunt potrivite pentru a descrie orice, dar toate au următoarele caracteristici comune:

Orice model stocastic reflectă toate aspectele problemei pentru care a fost creat.
Rezultatul fiecărui fenomen este incert. Prin urmare, modelul include probabilități. Corectitudinea rezultatelor generale depinde de acuratețea calculului lor.
Aceste probabilități pot fi utilizate pentru a prezice sau descrie procesele în sine.

Modele deterministe și stocastice

Pentru unii, viața apare ca o serie de evenimente întâmplătoare, pentru alții - procese în care cauza determină efectul. De fapt, se caracterizează prin incertitudine, dar nu întotdeauna și nu în toate. Prin urmare, uneori este dificil să găsești diferențe clare între modelele stocastice și cele deterministe. Probabilitățile sunt destul de subiective.

De exemplu, luați în considerare o situație de aruncare a monedelor. La prima vedere, se pare că există 50% șanse de a obține cozi. Prin urmare, trebuie utilizat un model determinist. Cu toate acestea, în realitate, se dovedește că mult depinde de dexteritatea mâinilor jucătorilor și de perfecțiunea echilibrării monedei. Aceasta înseamnă că trebuie utilizat un model stocastic. Există întotdeauna parametri pe care nu îi cunoaștem. În viața reală, cauza determină întotdeauna efectul, dar există și un anumit grad de incertitudine. Alegerea între utilizarea modelelor deterministe și stocastice depinde de ceea ce suntem dispuși să renunțăm - simplitatea analizei sau realismul.

Videoclipuri asemănătoare

În teoria haosului

Recent, conceptul despre care model este numit stocastic a devenit și mai neclar. Acest lucru se datorează dezvoltării așa-numitei teorii a haosului. Descrie modele deterministe care pot da rezultate diferite cu o ușoară modificare a parametrilor inițiali. Aceasta este ca o introducere în calculul incertitudinii. Mulți oameni de știință au recunoscut chiar că acesta este deja un model stocastic.

Lothar Breuer a explicat totul cu eleganță cu ajutorul imaginilor poetice. El a scris: „Un pârâu de munte, o inimă care bate, o epidemie de variolă, o coloană de fum în creștere - toate acestea sunt un exemplu de fenomen dinamic, care, după cum se pare, este uneori caracterizat de întâmplare. În realitate, astfel de procese sunt întotdeauna supuse unei anumite ordini, pe care oamenii de știință și inginerii abia încep să o înțeleagă. Acesta este așa-numitul haos determinist.” Noua teorie sună foarte plauzibilă, motiv pentru care mulți oameni de știință moderni sunt susținătorii ei. Cu toate acestea, rămâne încă puțin dezvoltat și este destul de dificil de aplicat în calculele statistice. Prin urmare, se folosesc adesea modele stocastice sau deterministe.

Clădire

Modelul matematic stocastic începe cu alegerea spațiului rezultatelor elementare. Deci în statistică ei numesc lista de rezultate posibile ale procesului sau evenimentului studiat. Cercetătorul determină apoi probabilitatea fiecăruia dintre rezultatele elementare. De obicei, acest lucru se face pe baza unei anumite tehnici.

Cu toate acestea, probabilitățile sunt încă un parametru destul de subiectiv. Apoi, cercetătorul determină care evenimente sunt cele mai interesante pentru rezolvarea problemei. După aceea, pur și simplu determină probabilitatea lor.

Exemplu

Luați în considerare procesul de construire a celui mai simplu model stocastic. Să presupunem că aruncăm un zar. Dacă „șase” sau „unu” cade, atunci câștigurile noastre vor fi de zece dolari. Procesul de construire a unui model stocastic în acest caz va arăta astfel:

Să definim spațiul rezultatelor elementare. zarul are șase fețe, așa că pot apărea una, două, trei, patru, cinci și șase.
Probabilitatea fiecăruia dintre rezultate va fi egală cu 1/6, indiferent cât de mult vom arunca zarul.
Acum trebuie să stabilim rezultatele care ne interesează. Aceasta este pierderea unei fețe cu numărul „șase” sau „unu”.
În cele din urmă, putem determina probabilitatea evenimentului care ne interesează. Este 1/3. Însumăm probabilitățile ambelor evenimente elementare care ne interesează: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Concept și rezultat

Simularea stocastică este adesea folosită în jocurile de noroc. Dar este indispensabil și în prognoza economică, deoarece vă permite să înțelegeți situația mai profund decât cele deterministe. Modelele stocastice în economie sunt adesea folosite în luarea deciziilor de investiții. Acestea vă permit să faceți ipoteze cu privire la rentabilitatea investițiilor în anumite active sau grupurile acestora.

Modelarea face planificarea financiară mai eficientă. Cu ajutorul acestuia, investitorii și comercianții își optimizează distribuția activelor. Utilizarea modelării stocastice are întotdeauna avantaje pe termen lung. În unele industrii, refuzul sau incapacitatea de a o aplica poate duce chiar la falimentul întreprinderii. Acest lucru se datorează faptului că în viața reală apar zilnic noi parametri importanți, iar dacă nu sunt luați în considerare, acest lucru poate avea consecințe dezastruoase.

Portal pentru student. Autoinstruire