Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

мнаты и другое.

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.

Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.

Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,

S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см - длина прямоугольника, 5-3=2 см - ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.

Рассчитать площадь прямоугольника с подробным решением. Калькулятор находит площадь по формуле через длину и ширину прямоугольника. Основные способы и объяснение формул, по которым вы сможете самостоятельно решить свои задачи.

Онлайн-калькулятор

Вначале давайте разберемся с определением. У прямоугольника есть 4 стороны. Каждая сторона равна противоположной и параллельна ей. Здесь важно понимать, что все 4 стороны не могут быть равны, иначе получится квадрат. В прямоугольнике будут 2 одинаковые стороны одной длины и 2 одинаковые другой.

Все 4 угла, находящиеся внутри прямоугольника, - прямые. То есть каждый угол равен 90°.

Формула площади прямоугольника через его стороны

Чтобы найти площадь S S S прямоугольника, нужно перемножить две его стороны: сторону a a a умножаем на сторону b b b .

S = a ⋅ b . S = a \cdot b. S = a ⋅ b .

Пример

У нас есть прямоугольник A B C D ABCD A B C D . Одна его сторона A B AB A B равна 5 5 5 см, вторая B C BC B C равна 3 3 3 см. Нам нужно найти его площадь S S S .

Решение:

Чтобы найти площадь S S S , нужно умножить сторону A B AB A B на сторону B C BC B C и получаем: S = 5 ⋅ 3 S = 5 \cdot 3 S = 5 ⋅ 3 .

Ответ : S = 15 S = 15 S = 1 5 см 2 .

Формула площади прямоугольника через диагонали

S = 1 2 d 2 sin ⁡ α . S = \frac {1}{2}d^2 \sin \alpha. S = 2 1 ​ d 2 sin α .

Помним, длины диагоналей в прямоугольнике равны и при пересечении делятся пополам.

Пример

Дан прямоугольник A B C D ABCD A B C D . Его диагональ A C AC A C равна 8 8 8 см, а острый угол между диагоналями 30 ° 30° 3 0 ° . Найдите площадь фигуры.

Используем приведенную выше формулу и получаем:
S = 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ = 1 2 ⋅ 64 ⋅ 1 2 = 64 4 = 16 S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = \frac{64}{4} = 16 S = 2 1 ​ ⋅ 8 2 ⋅ sin 3 0 ∘ = 2 1 ​ ⋅ 6 4 ⋅ 2 1 ​ = 4 6 4 ​ = 1 6

Ответ: S = 16 S = 16 S = 1 6 см 2 .

– это параллелограмм, у которого все углы равны 90°, а противоположные стороны попарно параллельны и равны.

У прямоугольника есть несколько неопровержимых свойств, которые применяются в решении множества задач, в формулах площади прямоугольника и его периметра. Вот они:

Длина неизвестной стороны или диагонали прямоугольника вычисляется по или по теореме Пифагора. Площадь прямоугольника можно найти двумя способами – по произведению его сторон или по формуле площади прямоугольника через диагональ. Первая и самая простая формула выглядит так:

Пример расчета площади прямоугольника по этой формуле очень прост. Зная две стороны, к примеру a =3 см, b = 5 см, мы легко высчитаем площадь прямоугольника:
Получаем, что в таком прямоугольнике площадь будет равна 15 кв. см.

Площадь прямоугольника через диагонали

Иногда требуется применить формулу площади прямоугольника через диагонали. Для нее потребуется не только узнать длину диагоналей, но и угол между ними:

Рассмотрим пример расчета площади прямоугольника через диагонали. Пусть дан прямоугольник с диагональю d = 6 см и углом = 30°. Подставляем данные в уже известную формулу:

Итак, пример расчета площади прямоугольника через диагональ показал нам, что найти площадь таким образом, если задан угол, довольно просто.
Рассмотрим еще одну интересную задачку, которая поможет нам немного размять мозги.

Задача: Дан квадрат. Его площадь равна 36 кв. см. Найдите периметр прямоугольника, у которого длина одной из сторон равна 9 см, а площадь такая же, как у заданного выше квадрата.
Итак, у нас есть несколько условий. Для наглядности запишем их, чтобы увидеть все известные и неизвестные параметры:
Стороны фигуры попарно параллельны и равны. Поэтому периметр фигуры равен удвоенной сумме длин сторон:
Из формулы площади прямоугольника, которая равняется произведению двух сторон фигуры, найдем длину стороны b
Отсюда:
Подставляем известные данные и находим длину стороны b :
Рассчитываем периметр фигуры:
Вот так, зная несколько легких формул, можно вычислить периметр прямоугольника, зная его площадь.

Урок на тему: "Формулы определения площади треугольника, прямоугольника, квадрата"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 5 класса
Тренажер к учебнику И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича
Тренажер к учебнику Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсона

Определение и понятие площади фигуры

Чтобы лучше понять, что такое площадь фигуры, рассмотрим рисунок.
Эта произвольная фигура разбита на 12 маленьких квадратика. Сторона каждого квадратика равна 1 см. А площадь каждого квадратика равна 1 квадратному сантиметру, что записывается так: 1 см 2 .

Тогда площадь фигуры равна 12 квадратным сантиметрам. В математике площадь обозначается латинской буквой S.
Значит, площадь нашей фигуры равна: S фигуры = 12 см 2 .

Площадь фигуры равна площади всех маленьких квадратиков, из которых она состоит!

Ребята, запомните!
Площадь измеряется квадратными единицами длины. Единицы измерения площади:
1. Квадратный километр - км 2 (когда площади очень большие, например, страна или море).
2. Квадратный метр - м 2 (вполне подходит для того, чтобы измерять площадь участка или квартиры).
3. Квадратный сантиметр - см 2 (обычно используется на уроках математики, когда рисуют фигуры в тетради).
4. Квадратный миллиметр - мм 2 .

Площадь треугольника

Рассмотрим два вида треугольников: прямоугольный и произвольный.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника необходимо знать длину основания и высоту. В прямоугольном треугольнике высоту заменяет одна из сторон. Поэтому в формулу площади треугольника вместо высоты подставляем одну из сторон.
В нашем примере стороны равны 7 см и 4 см. Формула для расчета площади треугольника записывается так:
S прямоугольного треугольника АВС = ВС * СА: 2

S прямоугольного треугольника АВС = 7 см * 4 см: 2 = 14 см 2

Теперь рассмотрим произвольный треугольник.

Для такого треугольника необходимо провести высоту к основанию.
В нашем примере высота равна 6 см, а основание равно 8 см. Как и в предыдущем примере, рассчитываем площадь по формуле:
S произвольного треугольника АВС = ВС * h: 2.

Подставим в формулу наши данные и получим:
S произвольного треугольника АВС = 8 см * 6 см: 2 = 24 см 2 .

Площадь прямоугольника и квадрата

Возьмем прямоугольник АВСD со сторонами 5 см и 8 см.
Формула расчета площади прямоугольника записывается так:
S прямоугольника АВСD = АВ * ВС.

S прямоугольника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см 2 .

Теперь рассчитаем площадь квадрата. В отличии от прямоугольника и треугольника, для нахождения площади квадрата необходимо знать только одну сторону. В нашем примере сторона квадрата ABCD равна 9 см. S квадрата АВСD = АВ * ВС = АВ 2 .

Подставим в формулу наши данные и получим:
S квадрата АВСD = 9 см * 9 см = 81 см 2 .

Площадь многоугольника

Понятие площади многоугольника будем связывать с такой геометрической фигурой, как квадрат. За единицу площади многоугольника будем принимать площадь квадрата со стороной, равной единице. Введем два основных свойства, для понятия площади многоугольника.

Свойство 1: Для равных многоугольников значения их площадей равны.

Свойство 2: Любой многоугольник можно разбить на несколько многоугольников. При этом площадь исходного многоугольника равняется сумме площадей всех многоугольников, на которые разбит данный многоугольник.

Площадь квадрата

Теорема 1

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны.

где $a$ -- длина стороны квадрата.

Доказательство.

Для доказательства нам необходимо рассмотреть три случая.

Теорема доказана.

Площадь прямоугольника

Теорема 2

Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$, у которого $AB=b,\ AD=a$. Достроим его до квадрата $APRV$, длина стороны которого равняется $a+b$ (рис. 3).

Рисунок 3.

По второму свойству площадей имеем

\ \ \

По теореме 1

\ \

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти площадь прямоугольника со сторонами $5$ и $3$.