Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.
Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);
2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
Пример 1. Решить уравнение
Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x 1 = -2 - истинно:
При x 2 = -2- истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Пример 2.
Решить уравнение
.
Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.
Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:
ОДЗ данного уранения: x.
Ответ: корней нет.
Пример 3.
Решить уравнение
=+ 2.
Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Произведя проверку устанавливаем, что x 2 =0 лишний корень.
Ответ: x 1 =1.
Пример 4. Решить уравнение x =.
В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:
Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:
x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.
Пример 5 . Решить уравнение+= 7.
Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 - х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 - 15x + 44 =0.
Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x 1 = 4, х 2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
Отв. х 1 = 4, х 2 = 11.
Замечание
. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения = 12, пишут уравнение
= 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.
В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.
Пример 6 . Решить уравнение-= 3.
Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, равносильное уравнению
4x - 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - Зх + 3), или
7x 2 - 13x - 2 = 0.
Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x 1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x 2 =- не удовлетворяет.
Ответ: x = 2.
Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.
При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем - иррациональные уравнения.
Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.
В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
Допустим, дано следующее уравнение:
\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]
Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:
Получив квадратное уравнение, находим его корни:
Ответ: \
Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.
Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:
Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:
- Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
- 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g (x ) ≥ 0.
- Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?
Решение иррационального уравнения
Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:
2x
2 − 14x
+ 13 = (5 − x
) 2
2x
2 − 14x
+ 13 = 25 − 10x
+ x
2
x
2 − 4x
− 12 = 0
Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:
D
= b
2 − 4ac
= (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x
1 = 6; x
2 = −2
Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.
Как упростить решение
Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.
Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g (x ) = 5 − x , которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:
g (x ) ≥ 0
Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:
g
(x
1) = g
(6) = 5 − 6 = −1 < 0
g
(x
2) = g
(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0
Из полученных значений следует, что корень x 1 = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x 2 = −2 нам вполне подходит, потому что:
- Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
- Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x 2 = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.
Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.
Каждое новое действие в математике мгновенно порождает обратное ему. Когда-то давно древние греки обнаружили, что квадратный кусок земли длиной и шириной в 2 метра будет иметь площадь 2*2 = 4 квадратных метра (в дальнейшем будет обозначаться m^2) . А теперь наоборот, если бы грек знал, что его участок земли квадратный и имеет площадь 4 m^2, как бы он узнал, какая длина и ширина его участка? Была введена операция, являющейся обратной к операции возведения в квадрат и стала называться извлечением квадратного корня. Люди стали понимать, что 2 в квадрате (2^2) равно 4. И наоборот, квадратный корень из 4 (далее будет обозначаться √(4)) будет равен двойке. Модели усложнялись, записи, описывающие процессы с корнями, также усложнялись. Многократно возникал вопрос, как решить уравнение с корнем.
Пусть некоторая величина x при умножении самой на себя один раз даёт 9. Это можно записать как x*x=9. Или же через степень: x^2=9. Чтобы найти х, следует извлечь корень из 9, что уже в какой-то степени является уравнением с радикалом: x=√(9) . Корень можно извлекать устно или использовать для этого калькулятор. Далее следует рассмотреть обратную задачу. Некая величина, при извлечении из неё квадратного корня, даёт значение 7. Если записать это в виде иррационального уравнения, получится: √(x) = 7. Для решения такой задачи необходимо обе части выражения возвести в квадрат. Учитывая, что √(x) *√(x) =x, получается x = 49. Корень сразу готов в чистом виде. Далее следует разобрать более сложные примеры уравнения с корнями.
Пусть от некой величины отняли 5, затем выражение возвели в степень 1/2. В итоге было получено число 3. Теперь данное условие необходимо записать как уравнение: √(x-5) =3. Далее следует умножить каждую часть уравнения саму на себя: x-5 = 3. После возведения во вторую степень, выражение было избавлено от радикалов. Теперь стоит решить простейшее линейное уравнение, перенеся пятёрку в правую часть и поменяв её знак. x = 5+3. x = 8. К сожалению, не все жизненные процессы можно описать такими простыми уравнениями. Очень часто можно встретить выражения с несколькими радикалами, иногда степень корня может быть выше второй. Для таких тождеств не существует единого алгоритма решений. К каждому уравнению стоит искать особый подход. Приводится пример, в котором уравнение с корнем имеет третью степень.
Корень кубический будет обозначаться 3√. Найти объём контейнера, имеющего форму куба со стороной 5 метров. Пусть объём равен x m^3. Тогда кубический корень из объёма будет равен стороне куба и равняться пяти метрам. Получено уравнение: 3√(x) =5. Для его решения необходимо возвести обе части в третью степень, x = 125. Ответ: 125 кубометров. Дальше пример уравнения с суммой корней. √(x) +√(x-1) =5. Сначала необходимо возвести обе части в квадрат. Для этого стоит вспомнить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Применив к уравнению, получается: x + 2*√(x) *√(x-1) +x-1 = 25. Далее корни оставляются в левой части, а всё остальное переносится в правую: 2*√(x) *√(x-1) = 26 - 2x. Удобно поделить обе части выражения на 2: √((x) (x-1)) = 13 - x. Получено более простое иррациональное уравнение.
Далее снова следует возвести обе части в квадрат: x*(x-1) = 169 - 26x + x^2. Надо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: x^2 - x = 169 - 26x + x^2. Вторая степень пропадает, отсюда 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Выполнив проверку, подставив полученный корень в изначальное уравнение: √(6,6) +√(6,6-1) = 2,6 + √(5,6) = 2,6 + 2,4 = 5, можно получить удовлетворительный ответ. Также очень важно понимать, что выражение с корнем чётной степени не может быть отрицательным. Действительно, умножая любое число само на себя чётное число раз, невозможно получить значение меньше нуля. Поэтому такие уравнения, как √(x^2+7x-11) = -3 можно смело не решать, а писать что уравнение корней не имеет. Как упоминалось выше, решение уравнений с радикалами может иметь самые разнообразные формы.
Простой пример уравнения, где необходимо проводить замену переменных. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, где 4√(y) - корень четвёртой степени из y. Предлагаемая замена выглядит следующим образом: x = 4√(y) . Проведя таковую, получится: x^2 - 5x + 6 = 0. Получено приведённое квадратное уравнение. Его дискриминант: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Первый корень x1 будет равен (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Второй корень x2 = (5 - √1) /2 = 4/2 = 2. Также можно найти корни, воспользовавшись следствием из теоремы Виета. Корни найдены, следует провести обратную замену. 4√(y) = 3, отсюда y1 = 1,6. Также 4√(y) = 2, извлекая корень 4 степени получается что y2 = 1,9. Значения вычислены на калькуляторе. Но их можно и не делать, оставив ответ в виде радикалов.
